i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM HỮU DANH CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG Chuyên ngành Đại số và lý thuyết số Mã s[.]
i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM HỮU DANH CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 ii LỜI CẢM ƠN Lời xin gởi đến PGS.TS Bùi Tường Trí lời cám ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt khóa học, đặc biệt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc cho ý kiến bổ ích Tơi xin cảm ơn tất thầy khoa Tốn trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy chúng tơi suốt khóa học Xin bày tỏ lòng biết ơn đến vị lãnh đạo chun viên Phịng Khoa Học Cơng Nghệ Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học Tơi xin cảm ơn bạn học viên Cao học khóa 19 hỗ trợ, động viên suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức cịn hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn nhiều thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 PHẠM HỮU DANH iii MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU iv DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ v MỞ ĐẦU CHƯƠNG I 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN 1.1.1 Các định nghĩa vành 1.1.2 Các định nghĩa module 1.2 CÁC TÍNH CHẤT TRÊN VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 1.2.1 Căn Jacobson 1.2.2 Vành địa phương 1.2.3 Vành nửa địa phương 1.2.4 Lũy đẳng 1.2.5 Vành nửa hoàn thiện 11 1.2.6 Vành tự nội xạ 12 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH 12 1.3.1 Vành Dedekin 12 1.3.2 Mở rộng cốt yếu 12 1.3.3 Định lý Bass, Papp 13 1.3.4 Module 14 1.3.5 Module kì dị 14 1.3.6 Vành Kasch 15 1.3.7 Module không xoắn 15 1.3.8 Một số định lý khác 16 CHƯƠNG II 18 2.1 VÀNH TỰA FROBENIUS 18 2.1.1 Các định nghĩa 18 2.1.2 Tính xạ ảnh nội xạ 23 2.1.3 Tính đối ngẫu 25 2.1.4 Vành tựa Frobenius giao hoán 28 2.1.5 Ví dụ 29 2.2 VÀNH FROBENIUS 31 2.2.1 Hoán vị Nakayama 31 2.2.2 Định nghĩa vành Frobenius 37 2.2.3 Ví dụ 39 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 iv DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU J ( R ) , rad ( R ) Căn Jacobson R annr ( X ) Linh hóa tử phải tập X hom R ( A, B ) Tập hợp R-đồng cấu từ module A vào B End ( M ) Tập hợp tự đồng cấu module M soc ( M ) Nền module M ⊕i∈I M i Tổng trực tiếp họ module M i ∏M Tích trực tiếp họ module M i i∈I i Z (M ) Module kì dị M E (M ) Bao nội xạ module M u.dim M Chiều M length ( M ) Chiều dài chuỗi hợp thành M R( J ) Tổng trực tiếp module M với lực lượng J MR ( R M) Phạm trù R-module phải (trái) M Rfg ( Rfg M ) Phạm trù module phải (trái) hữu hạn sinh v DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ CÁC TỪ VIẾT TẮT QF (quasi-Frobenius) Tựa Frobenius ACC (ascending chain condition) Điều kiện dây chuyền tăng DCC (descending chain condition) Điều kiện dây chuyền giảm CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ VÀNH Idempotent Lũy đẳng Annihilator Linh hóa tử Division ring Vành chia (thể) Local ring Vành địa phương Semilocal ring Vành nửa địa phương Perfect ring Vành hoàn thiện Semiperfect ring Vành nửa hoàn thiện Regular ring Vành quy Singular ring Vành kì dị Nonsingular ring Vành khơng kì dị Self-injective ring Vành tự nội xạ Primitive ring Vành nguyên thủy Simple ring Vành đơn Semisimple ring Vành nửa đơn Semiprimary ring Vành nửa nguyên sơ Von Neumann regular ring Vành quy von Neumann Primitive idempotent Lũy đẳng nguyên thủy Local idempotent Lũy đẳng địa phương Irriducible idempotent Lũy đẳng bất khả quy Isomorphic idempotent Lũy đẳng đẳng cấu vi CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ MODULE Simple module Module đơn Free module Module tự Projective module Module xạ ảnh Injective module Module nội xạ Self-injective module Module tự nội xạ Composition series Chuỗi hợp thành Right regular module Module quy phải Indecomposable module Module khơng phân tích Strongly indecomposable module Module khơng phân tích mạnh Essential extension Mở rộng cốt yếu Essential submodule Module cốt yếu Injective hull Bao nội xạ Uniform module Module Uniform dimension Chiều Singular submodule Module kì dị Singular module Module kì dị Nonsingular module Module khơng kì dị Torsionless module Module không xoắn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Đại số khơng giao hốn nói chung Lý thuyết vành nói riêng, có lớp vành đóng vai trị quan trọng vành tự nội xạ Một vành R gọi tự nội xạ (phải) R-module (phải) RR nội xạ Vành tự nội xạ điều kiện khác có nhiều tính chất phong phú đa dạng Rất khó để nghiên cứu tất cấu trúc lớp vành tự nội xạ phải Trong luận văn này, tập trung vào lớp vành đặc biệt, vành tựa Frobenius, tập chúng, vành Frobenius Vành tựa Frobenius vành nơte phải tự nội xạ phải Không cần thiết sử dụng thuật ngữ “tựa Frobenius phải” định nghĩa đối xứng trái-phải Hơn vành tựa Frobenius atin (hai phía) Có tính chất vơ đẹp mắt, thú vị module chúng tính xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh… Nhằm mục đích tiếp cận tìm hiểu số khái niệm bản, nghiên cứu tính chất đặc trưng lớp vành tựa Frobenius, chọn đề tài “CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG” Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm liên quan đến vành tựa Frobenius, Frobenius tính chất xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh module chúng Tìm hiểu số ví dụ để mơ tả lớp vành tựa Frobenius, Frobenius Mục đích nghiên cứu Mơ tả định nghĩa vành tựa Frobenius cấu trúc bên Qua tìm hiểu tính chất module lớp vành Tìm hiểu định nghĩa vành Frobenius thơng qua vành tựa Frobenius Phân tích số ví dụ mô tả khái niệm Phương pháp nghiên cứu Xây dựng định nghĩa vành tựa Frobenius, Frobenius thông qua mệnh đề tương đương Chỉ tính chất đặc trưng module lớp vành tựa Frobenius Chứng minh số định lý quan trọng thông qua kiến thức vành không giao hốn Đưa ví dụ cho khái niệm Nội dung Luận văn bao gồm hai chương Trong chương II phần Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Trình bày số khái niệm định lý bản, cần thiết vành module để phục vụ cho phần sau Chương II: Các vành tựa Frobenius Frobenius Trình bày định nghĩa vành tựa Frobenius cấu trúc bên Qua tìm hiểu tính chất module lớp vành Đưa định nghĩa vành Frobenius thông qua vành tựa Frobenius Phân tích số ví dụ mô tả CHƯƠNG I NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, ta quy ước nói tới vành R ≠ ln hiểu vành có đơn vị 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN 1.1.1 Các định nghĩa vành 1.1.1.1 Vành nơte: Một vành R gọi vành nơte phải tập khác rỗng ideal phải có phần tử tối đại 1.1.1.2 Vành atin: Vành R gọi vành atin phải tập khác rỗng ideal phải R có phần tử tối tiểu Định lý: Nếu R vành atin J(R) ideal lũy linh 1.1.1.3 Vành nguyên thủy: Vành R gọi vành nguyên thủy có module bất khả quy trung thành 1.1.1.4 Vành đơn, vành nửa đơn: Vành R gọi nửa đơn rad ( R ) = ( ) Vành R gọi đơn R ≠ ( ) R không ideal thực Định lý: (1) R / radR vành nửa đơn (2) Nếu R vừa vành đơn vừa vành atin R nửa đơn (3) Nếu R vành nguyên thủy R nửa đơn (4) Nếu R vành atin, đơn R vành nguyên thủy 1.1.1.5 Định lý Wedderburn-Artin: Giả sử R vành atin đơn R đẳng cấu với D n tập tất ma trận vuông cấp n thể (vành chia) D n D sai khác phép đẳng cấu Ngược lại D thể tùy ý D n vành atin đơn 1.1.2 Các định nghĩa module 1.1.2.1 Module đơn: M gọi R-module đơn M ≠ ( ) M khơng có module thực Bổ đề Schur: Nếu M R-module đơn End ( M R ) vành chia 1.1.2.2 Module xạ ảnh: Một R-module phải P gọi xạ ảnh với toàn cấu Rmodule phải g : B → C R-đồng cấu h : P → C , tồn R-đồng cấu h ' : P → B cho h = g h ' Ta nói h nâng lên tới h’ Tính chất: (1) Tổng trực tiếp R-module phải xạ ảnh số hạng xạ ảnh (2) Một module PR xạ ảnh hạng tử trực tiếp module tự 1.1.2.3 Module nội xạ: ... tất cấu trúc lớp vành tự nội xạ phải Trong luận văn này, tập trung vào lớp vành đặc biệt, vành tựa Frobenius, tập chúng, vành Frobenius Vành tựa Frobenius vành nơte phải tự nội xạ phải Không cần... số khái niệm bản, nghiên cứu tính chất đặc trưng lớp vành tựa Frobenius, chọn đề tài “CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG” Đối tượng, phạm vi nghiên... đến vành tựa Frobenius, Frobenius tính chất xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh module chúng Tìm hiểu số ví dụ để mô tả lớp vành tựa Frobenius, Frobenius Mục đích nghiên cứu Mơ tả định nghĩa vành tựa Frobenius