Về bài toán diophantine tuyến tính của frobenius

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THU HIỀN VỀ BÀI TỐN DIOPHANTINE TUYẾN TÍNH CỦA FROBENIUS Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - NĂM 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THU HIỀN VỀ BÀI TOÁN DIOPHANTINE TUYẾN TÍNH CỦA FROBENIUS Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Dưới hướng dẫn PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn làm không chép luận văn cơng bố trước Tác giả Đỗ Thị Thu Hiền Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI NĨI ĐẦU GIỚI THIỆU BÀI TỐN FROBENIUS 1.1 Bài toán đổi tiền Frobenius 1.2 Số Frobenius tồn 6 BÀI TOÁN FROBENIUS - TRƯỜNG HỢP HAI SỐ 13 2.1 Định lí hai đồng xu 14 2.2 Định lí Sylvester cơng thức tính n (a, b) 19 BÀI TOÁN FROBENIUS VỚI SỐ 22 3.1 Trường hợp số nguyên tố đôi 23 3.2 Vài kết lịch sử giải toán Frobenius 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 LỜI CẢM ƠN Sau trình nhận đề tài nghiên cứu hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, luận văn "Về tốn Diophantine tuyến tính Frobenius" tơi hồn thành Có kết này, nhờ dạy bảo tận tình nghiêm khắc Cơ Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Cơ gia đình! Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào Tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường thời gian tơi hồn thành đề tài Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện cán thuộc Phòng Đào tạo Khoa Toán - Tin để lại lịng chúng tơi ấn tượng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn Trường PT Vùng cao Việt Bắc - nơi công tác tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Tốn K5A (Khóa 2011 - 2013) quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ LỜI NĨI ĐẦU Mục đích luận văn trình bày lại cách tương đối hệ thống vài kết quan trọng tốn Diophantine tuyến tính Frobenius (cịn gọi toán Frobenius) Bài toán: Cho trước k số nguyên dương a1 , , ak nguyên tố Xác định số nguyên lớn g (a1 , , ak ) khơng tổ hợp tuyến tính khơng âm a1 , , ak , tức viết dạng m1 a1 + + mk ak với m1 , , mk số nguyên không âm Số g (a1 , , ak ) toán gọi số Frobenius Bài tốn Frobenius có ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác Tốn học Lí thuyết số, Lí thuyết tự động Tổ hợp Đặc biệt, toán Frobenius sử dụng để phân tích mạng Petri, để nghiên cứu tốn phân loại khơng gian véc tơ, nhóm Aben, để nghiên cứu mật mã hình học đại số thơng qua tính chất nửa nhóm đặc biệt, để nghiên cứu tốn xếp hình Một ví dụ tiếng toán Frobenius "bài toán đổi tiền Frobenius": Cho trước k loại tiền với mệnh giá số tự nhiên nguyên tố nhau, xác định khoản tiền lớn đổi thành loại tiền Trong sách số học sơ cấp, tìm thấy nhiều ví dụ dạng như: tìm khoản tiền lớn đổi thành loại tiền mệnh giá xu, xu, xu Bài toán Frobenius giải trọn vẹn cho trường hợp hai số Từ năm 1890, người ta biết cơng thức tính số Frobenius hai số tự nhiên a, b nguyên tố ab − b − a Bên cạnh đó, người ta xác định cơng thức tính số số ngun dương không biểu diễn qua a, b (a − 1) (b − 1) Vì thế, tự nhiên, nhiều nhà toán học quan tâm đến việc mở rộng toán Frobenius cho trường hợp từ số trở lên Tuy nhiên việc giải cho trường hợp nhiều số vơ khó, thách thức nhà toán học suốt thời gian dài toán mở Luận văn gồm chương Trong chương 1, giới thiệu sơ lược toán Frobenius chứng minh tồn số Frobenius g (a1 , , ak ) Chương 2, trình bày lời giải trọn vẹn cho tốn Frobenius trường hợp hai số, có cơng thức tính số Frobenius g (a, b) (Định lí 2.1.1) cơng thức tính n (a, b) - số số nguyên dương không biểu diễn qua a, b (Định lí 2.2.2) Phần đầu Chương dành để chứng minh kết bật cho toán Frobenius trường hợp số (Định lí 3.1.3) Phần cuối Chương trình bày sơ lược thành tựu hướng nghiên cứu toán Frobenius cho trường hợp từ số Các kết thông tin luận văn viết chủ yếu dựa vào sách J L Alfonsin "The diophantine Frobenius problem" xuất Oxford University Press năm 2005, sách Jefrey Shallit "The Frobenius Problem and Its Generalizartion" xuất Springer năm 2008, báo F Curtis "On formulas for the Frobenius number of a numerical semigroup" đăng Math Scand năm 1990 Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN FROBENIUS Ferdinand Georg Frobenius (26/10/1849 - 03/08/1917) nhà toán học người Đức tiếng với đóng góp lí thuyết hàm Eliptic, phương trình vi phân lí thuyết nhóm Ơng giới khoa học biết đến phát minh đồng định thức gọi cơng thức FrobeniusStickelberger Ơng có nhiều đóng góp quan trọng việc phát triển lí thuyết dạng song tồn phương người giới thiệu khái niệm xấp xỉ hữu tỷ cho hàm (ngày gọi xấp xỉ Pade) Ông người đưa chứng minh đầy đủ cho Định lí Cayley-Hamilton Tên Ông đặt cho số đối tượng hình học Vật lí Tốn đại, chẳng hạn "Đa tạp Frobenius", Ơng có đóng góp quan trọng lĩnh vực 1.1 Bài tốn đổi tiền Frobenius Alfred Brauer (1894-1985) viết báo [Bra] đăng năm 1942 Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917), nhà toán học người Đức, người vài lần giới thiệu toán sau giảng vào năm 1880, Frobenius không công bố tài liệu Bài toán Frobenius: Cho trước k số nguyên dương a1 , , ak nguyên tố Xác định số nguyên lớn g (a1 , , ak ) khơng tổ hợp tuyến tính khơng âm a1 , , ak , tức viết dạng tổ hợp tuyến tính m1 a1 + + mk ak với m1 , , mk số ngun khơng âm Alfred Brauer (là học trị Isaac Shur học trò Georg Frobenius) đầu tư cơng sức để giải tốn Frobenius suốt 10 năm sau (từ 1942 đến 1954 - xem báo Alfred Brauer B M Seelbinder: On a problem of partitions, American Journal of Mathematics, 76 (1954), 343-346) Một ví dụ tiếng toán Frobenius "bài toán đổi tiền Frobenius": Cho trước k loại tiền với mệnh giá số tự nhiên nguyên tố nhau, xác định khoản tiền lớn đổi thành loại tiền Hình 1.1 Nguồn internet Chẳng hạn, sách số học sơ cấp, tìm thấy nhiều ví dụ dạng như: a) Tìm khoản tiền lớn đổi thành loại tiền mệnh giá xu xu (Đáp án: xu) b) Tìm khoản tiền lớn khơng thể đổi thành loại tiền mệnh giá xu, xu xu (Đáp án: xu) Vào năm 1972, nhiều kết quan trọng toán Frobenius công bố Một số kết tiêu biểu viết báo P Erdos E L Graham, On a linear diophantine problem of Frobenius, Acta Arithmetica, 45 (1972), 399-408 Và từ tốn Frobenius cịn gọi "bài tốn Diophantine tuyến tính Frobenius" Một ví dụ tiếng khác tốn mua miếng gà chiên (Hình 1.2): quán ăn nhanh, gà chiên bán thành loại gói đóng sẵn, bao gồm gói miếng, gói miếng gói 20 miếng Tìm số miếng gà chiên nhiều mua quán ăn (Đáp án: 43 miếng) Hình 1.2 Nguồn internet 1.2 Số Frobenius tồn Trong tiết này, cho trước k số nguyên dương a1 , , ak nguyên tố (tức gcd (a1 , , ak ) = 1) Một tổ hợp tuyến tính không âm a1 , , ak số nguyên n dạng n = m1 a1 + + mk ak với m1 , , mk số nguyên không âm 1.2.1 Định nghĩa Số nguyên lớn khơng tổ hợp tuyến tính khơng âm số nguyên a1 , , ak gọi số Frobenius ứng với số a1 , , ak Theo Matthias Beck and Sinai Robins [BR], số Frobenius ứng với số a1 , , ak kí hiệu g (a1 , , ak ) Chú ý số nguyên x lớn số Frobenius g (a1 , , ak ) biểu diễn dạng: x = a1 x1 + a2 x2 + + ak xk với x1 , , xk số nguyên không âm Ta gọi số nguyên viết thành tổ hợp tuyến tính khơng âm a1 , , ak số biểu diễn qua số a1 , , ak 1.2.2 Ví dụ Số Frobenius ứng với Thật vậy, rõ ràng không biểu diễn qua Cho x > Nếu x chẵn x bội biểu diễn qua Nếu x lẻ x = + y , y số chẵn Vì x biểu diễn qua Vậy g (2, 5) = 1.2.3 Ví dụ Số Frobenius ứng với 3, 5, Thật vậy, ta cần chứng 23 Christian Blatter (Định lí 3.1.3) Mục đích thứ hai Chương đưa số bình luận kết biết cho toán Frobenius 3.1 Trường hợp số nguyên tố đôi Trước hết ta cần thống số kí hiệu thuật ngữ Với số nguyên dương a1 , , ak , ta kí hiệu T (a1 , , ak ) tập số tự nhiên biểu diễn qua a1 , , ak F (a1 , , ak ) tập số ngun dương khơng biểu diễn Kí hiệu N>0 tập số tự nhiên lớn Đặt l3 := {l ∈ >0 |la3 ∈ T (a1 , a2 )} l2 := {l ∈ >0 |la2 ∈ T (a1 , a3 )} l1 := {l ∈ >0 |la1 ∈ T (a2 , a3 )} Chú ý có số li = 1, chẳng hạn l1 = a1 ∈ T (a2 a3 ) Vì g (a1 , a2 , a3 ) = g (a2 , a3 ) Do toán quy trường hợp hai số giải tiết trước Do từ sau ta giả thiết li ≥ với i = 1, 2, Trước đưa công thức tính số Frobenius cho trường hợp số, ta cần số bổ đề sau 3.1.1 Bổ đề Cho a1 , a2 , a3 số nguyên dương đôi nguyên tố Giả sử li ≥ với i = 1, 2, Khi tồn biểu diễn l3 a3 = x31 a1 + x32 a2 , x31 , x32 ∈ N l2 a2 = x21 a1 + x23 a3 , x21 , x23 ∈ N l1 a1 = x12 a2 + x13 a3 , x12 , x13 ∈ N Hơn khẳng định sau đúng: a) Biểu diễn li nhất; b) Các hệ số xij ≥ với i = j c) l3 = x13 + x23 , l2 = x12 + x32 , l1 = x21 + x31 Chứng minh Theo định nghĩa l3 ta có l3 a3 ∈ T (a1 , a2 ) Vì tồn biểu diễn l3 a3 = x31 a1 + x32 a2 , x31 , x32 ∈ N Hồn tốn tương tự, ta có biểu diễn l2 a2 l1 a1 Trước chứng minh tính biểu diễn, ta chứng minh xij ≥ với i = j 24 Giả sử xij = với cặp i = j đó, i, j ∈ {1, 2, 3} Khơng tính tổng qt ta giả thiết x13 = Khi l1 a1 = x12 a2 Suy a2 ước l1 a1 Vì a1 , a2 nguyên tố nên a2 ước Lại l1 ≥ nên l1 ≥ a2 Mặt khác, l3 ≥ nên từ định nghĩa l3 ta suy a3 = × a3 ∈ F (a1 , a2 ) Do theo Định lí hai đồng xu ta có a3 ≤ g (a1 , a2 ) = a1 a2 − a1 − a2 Mặt khác, a1 , a2 nguyên tố nên tồn số nguyên p, q cho = a1 p + a2 q Suy a3 = a1 a3 p + a2 a3 q = a1 a2 + (a3 p − a2 ) a1 + a3 qa2 Vì a3 ≤ a1 a2 − a1 − a2 nên đẳng thức trên, hệ số (a3 p − a2 ) âm, hệ số a3 q a2 âm Vì cách thêm bớt a1 a2 (nếu cần thiết) vào hạng tử (a3 p − a2 ) a1 a3 qa2 với ý a3 ≤ a1 a2 − a1 − a2 , tổn số nguyên k1 , k2 ≥ cho a3 = a1 a2 − k1 a1 − k2 a2 Suy (a2 − k1 ) a1 = k2 a2 + a3 Chú ý k2 ≥ Do a2 − k1 > a2 − k1 ≥ l1 theo định nghĩa l1 Suy l1 < a2 , điều mâu thuẫn với điều kiện l1 ≥ a2 Tiếp theo, chứng minh đẳng thức l3 = x13 + x23 , l2 = x12 + x32 , l1 = x21 + x31, xij thỏa mãn đẳng thức đầu Bổ đề 3.1.1 Đặt µ3 = l3 − x13 − x23 , µ2 = l2 − x12 − x32 , µ1 = l1 − x21 − x31 Vì xij thỏa mãn đẳng thức đầu Bổ đề 3.1.1 nên ta có µ1 a1 + µ2 a2 + µ3 a3 = (l1 a1 − x21 a1 − x31 a1 ) + (l2 a2 − x12 a2 − x32 a2 ) + (l3 a3 − x13 a3 − x23 a3 ) = (l1 a1 − x12 a2 − x13 a3 ) + (l2 a2 − x21 a1 − x23 a3 ) + (l3 a3 − x31 a1 − x32 a2 ) = Vì µ1 a1 + µ2 a2 + µ3 a3 = Ta cần chứng minh µ1 = µ2 = µ3 = Giả sử ngược lại, tức có số µi = Do a1 , a2 , a3 > nên sau hoán vị số cần, trường hợp sau phải xảy ra: 25 a) µ1 > 0, µ2 < 0, µ3 ≤ b) µ1 > 0, µ2 < 0, µ3 < Xét trường hợp a) Từ µ1 a1 + µ2 a2 + µ3 a3 = ta suy (l1 − x21 − x31 ) a1 = µ1 a1 = − (µ2 a2 + µ3 a3 ) Do (l1 − x21 − x31 ) a1 = (−µ2 ) a2 + (−µ3 ) a3 Vì µ2 < µ3 ≤ nên (l1 − x21 − x31 ) a1 biểu diễn qua a2 a3 Do từ định nghĩa l1 ta suy l1 − x21 − x31 ≥ l1 Điều vơ lí theo chứng minh ta có xij ≥ Xét trường hợp b) Từ µ1 a1 + µ2 a2 + µ3 a3 = ta suy (x13 + x23 − l3 ) a3 = (−µ3 ) a3 = µ1 a1 + µ2 a2 Vì µ3 < 0, ta suy −µ3 > Do x13 + x23 − l3 > Vì µ1 > µ2 > 0, ta suy (x13 + x23 − l3 ) a3 biểu diễn qua a1 a2 Từ định nghĩa l3 ta phải có x13 + x23 − l3 ≥ l3 tức x13 + x23 ≥ 2l3 Do x13 l3 x23 ≥ l3 Khơng tính tổng quát ta giả thiết x13 ≥ l3 Từ đẳng thức đầu Bổ đề l1 a1 = x12 a2 + x13 a3 l3 a3 = x31 a1 + x32 a2 ta suy (l1 − x31 ) a1 = (x12 + x32 ) a2 + (x13 − l3 ) a3 Do xij ≥ với i = j nên x12 + x32 > Vì l1 − x31 > Suy (l1 − x31 ) a biểu diễn qua a2 a3 Theo định nghĩa l1 ta suy l1 − x31 ≥ l1 Điều vô lí x31 ≥ Vậy µ1 = µ2 = µ3 = Cuối cùng, ta chứng minh tính biểu diễn đẳng thức Bổ đề Rõ ràng l1 , l2 , l3 xác định Khi đó, từ chứng minh ta thấy số xij thỏa mãn điều kiện  x13 + x23 = l3    x12 + x32 = l2    x21 + x31 = l1 Hơn nữa, từ đẳng thức Bổ đề ta thấy lựa chọn x21 x31 phải tương thích với định nghĩa l2 l3 lựa 26 chọn lại hồn tồn độc lập Vì x21 x31 xác định Tương tự ta suy xij xác định Để phát biểu chứng minh định lí cơng thức tính số Frobenius cho trường hợp số, cần bổ đề mang nặng kĩ thuật hình học Trước hết cần số khái niệm thuật ngữ Trong không gian chiều với hệ tọa độ vuông góc, ta gọi lưới Z3 khơng gian Euclid R3 tập điểm có tọa độ nguyên, tức tập ba (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 với x1 , x2 , x3 ∈ Z Ta coi Z3 đỉnh đồ thị Γ có hướng, cạnh đoạn thẳng độ dài nối đỉnh lân cận lại với theo chiều tăng theo thứ tự từ điển (tức là theo tọa độ thứ nhất, sau đến tọa độ thứ hai tọa độ thứ ba) Chẳng hạn với hai đỉnh A (1, 2, 3) B (1, 2, 3) cạnh phải từ B đến A Cho trước số nguyên dương a1 , a2 , a3 nguyên tố đôi một, ta định nghĩa hàm biến, gọi hàm độ cao f (x1 , x2 , x3 ) := a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 Hàm f (x1 , x2 , x3 ) ánh xạ tuyến tính từ R3 vào R1 Mặt khác, hàm f cho ứng điểm (x1 , x2 , x3 ) lưới Z3 với độ cao f (x1 , x2 , x3 ) Hạt nhân ánh xạ Kerf = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Z3 /f (x1 , x2 , x3 ) = Ta có Kerf = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Z3 |a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = = (x1 , x2 , x3 ) x3 = r,x2 = s, x1 = −a3 r − a2 s a1 = {r (−a3 /a1 , 0, 1) + s (−a2 /a1 , 1, 0) |r, s ∈ R } Đặt H := Kerf Rõ ràng H mặt phẳng qua gốc tọa độ Đặt L := H ∩ Z3 Tập L gọi lưới Frobenius ứng với a1 , a2 , a3 Như vậy, lưới Frobenius ứng với a1 , a2 , a3 tập điểm (x1 , x2 , x3 ) không gian chiều R3 với tọa độ nguyên thỏa mãn f (x1 , x2 , x3 ) = 3.1.2 Bổ đề Gọi L lưới Frobenius ứng với a1 , a2 , a3 xác định Giả sử a1 , a2 , a3 đôi nguyên tố a) Cho m1 a1 + m2 a2 = với mi ∈ Z Khi hệ hai véc tơ − − {→ e1 := (a2 , −a1 , 0) , → e2 := (a3 m1 , a3 m2 , −1)} 27 sở lưới Frobenius L, tức {e1 , e2 } độc lập tuyến tính điểm lưới L tổ hợp tuyến tính e1 , e2 b) Diện tích hình chiếu miền sở L xuống mặt phẳng xi = với i ∈ {1, 2, 3} Chứng minh a) Rõ ràng f (e1 ) = f (e2 ) = Vì e1 , e2 ∈ Kerf Do tọa độ e1 , e2 nguyên nên ta có e1 , e2 ∈ L Mặt khác, lấy điểm tùy ý u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ L Đặt u + u3 e2 = (u1 , u2 , u3 ) ∈ L Chú ý u3 = Ta dễ dàng suy a1 u1 +a2 u2 = Vì a1 , a2 nguyên tố nên (u1 , u2 , 0) = ke1 với số nguyên k Do u = ke1 − u3 e2 Như véc tơ lưới Frobenius L biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính e1 , e2 Rõ ràng e1 , e2 độc lập tuyến tính Vì {e1 , e2 } sở L b) Trước hết ta tính tích có hướng hai véc tơ e1 , e2 Ta có e1 × e2 = (a1 , a2 , (m1 a1 + m2 a2 ) a3 ) = (a1 , a2 , a3 ) Vì chiếu L xuống mặt phẳng xi = 0, diên tích Các véc tơ lưới Frobenius L sau f1 := (l1 , −x12 , −x13 ) f2 := (−x21 , l2 , −x23 ) f3 := (−x31 , −x32 , l3 ) mã hóa bới số li xij đóng vai trò quan trọng Chúng ta gọi véc tơ có dạng fi −fi véc tơ sở hệ gồm véc tơ sở khác số véc tơ ±fj gọi sở giải cho toán tốn Frobenius Đình lí sau cho ta cơng thức tính số Frobenius Kết chứng minh gần Christian Blatter [Bla] năm 2010 Đây chứng minh với kĩ thuật hồn tồn hình học 3.1.3 Định lý Cho số nguyên dương a1 , a2 , a3 nguyên tố đôi Với kí hiệu li xij định nghĩa Bổ đề 3.1.1, giả sử li ≥ với i Kí hiệu g (a1 , a2 , a3 ) sốFrobenius số 28 a1 , a2 , a3 Khi ta có cơng thức tính số Frobenius g (a1 , a2 , a3 ) = l1 l2 l3 + max {x12 x23 x31 , x21 x32 x13 } − i=1 Chứng minh Trước hết ta nhận thấy quan hệ cấu trúc khơng gian chiều với tốn Frobenius sau Giả sử z số tự nhiên Khi z biểu diễn qua a1 , a2 , a3 , tức z ∈ T (a1 , a2 , a3 ), tòn điểm lưới u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ L cạnh có hướng đồ thị Γ với đường u điểm cuối điểm x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Z3 với độ cao f (x) = z Bây ta thấy tập điểm lưới chạm đến từ điểm u ∈ L cho trước tập điểm nằm tập Ou := u + R3≥0 , R3≥0 tập với tọa độ dương u + R3≥0 tập ba có dạng u + v v ∈ R3≥0 Nói cách khác, tập điểm cuối có điểm đầu điểm lưới điểm nằm hợp tập Ou với u ∈ L Kí hiệu Ω = u∈L Ou tập điểm có khả làm điểm cuối điểm lưới Khi ta kiểm tra T (a1 , a2 , a3 ) = f Ω ∩ Z3 Xét phần dương trục x3 Nó cạnh O0 nằm biên Ω bị chặn điểm p = (0, 0, u3 ) mặt phẳng x3 = c3 nằm Ou , c3 số u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ L Ta cần tìm điều kiện u thỏa mãn điều Ta có u1 ≤ 0, u2 ≤ u3 > không tồn điểm u = u1 , u2 , u3 ∈ L với u1 ≤ 0, u2 ≤ u3 < u3 Do ta có: u3 = u ∈ N>0 |∃u1 , u1 ∈ Z ≤0 a1 u1 + a2 u2 + a3 u = 0} = {u ∈ N>0 |ua3 ∈ T (a1 , a2 )} Từ ta suy u3 = l3 , −u1 = x31 , −u2 = x32 , tức (u1 , u2 , u3 ) = f3 Tiếp tục xét phần dương trục x2 , cạnh O0 nằm biên Ω cho đốn bị chạn điểm p = (0, 0, u2 ) mặt phẳng x2 = c2 nằm Ou , c2 số u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ L Tương tự ta suy điều kiện u thỏa mãn yêu cầu u2 = l2 , −u1 = x21 , −u3 = x23 , tức (u1 , u2 , u3 ) = f2 Cuối 29 cùng, xét phần dương trục x1 , cạnh O0 nằm biên O bị chặn điểm p = (0, 0, u1 ) mặt phẳng x1 = c1 nằm Ou , c1 số u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ L Tương tự ta suy điều kiện u thỏa mãn yêu cầu u1 = l1 , −u2 = x12 , −u3 = x13 , tức (u1 , u2 , u3 ) = f Các điểm lưới x = (x1 , x2 , x3 ) có độ cao dương mà khơng thể nói tới từ điểm u ∈ L điểm lưới phía nằm vùng W giới hạn H biên Ω, H = Kerf Thu hẹp f biên Ω có cực đại địa phương q1 , q2 điểm lưới phía có độ cao tối đại q1 − (1, 1, 1) q2 − (1, 1, 1) điểm tương đương sai khác L Vì độ cao tối đại, số Frobenius g = (g1 , g2 , g3 ) cho g (a1 , a2 , a3 ) = max {f (q1 ) , f (q2 )} − i=1 = l3 a3 + max {x21 a1 , x12 a2 } − (3.1) i=1 Vì hình chiếu miền sở L xuống mặt xi = có diện tích (theo Bổ đề 3.1.2) nên ta có a1 = x12 l3 + x13 x32 , a2 = x21 l3 + x23 x31 , a3 = l1 l2 + x12 x21 Tương tự ta biểu diễn a1 , a2 , a3 qua l2 số xij , biểu diễn a1 , a2 , a3 qua l1 số xij Thay biểu diễn vào biểu thức (3.1) ta g (a1 , a2 , a3 ) = l1 l2 l3 − l3 x12 x21 +max {x21 x12 l3 + x21 x13 x32 , x12 x21 l3 + x12 x23 x31 } − i=1 = l1 l2 l3 + max {x21 x13 x32 , x12 x23 x31 } − i=1 Với phương pháp hình học chứng minh Định lí 3.1.3, chứng minh định lí sau cơng thức tính số số nguyên dương không biểu diễn qua a1 , a2 , a3 30 3.1.4 Định lý Cho số nguyên dương a1 , a2 , a3 ngun tố đơi Với kí hiệu li định nghĩa Bổ đề 3.1.1, giả sử li ≥ với i Kí hiệu n (a1 , a2 , a3 ) số số nguyên dương không biểu diễn qua a1 , a2 , a3 Khi n (a1 , a2 , a3 ) = (li − 1) −l1 l2 l3 + i=1 Phần cuối tiết này, xét ví dụ minh họa kết Định lí 3.1.3 Định lí 3.1.4 3.1.5 Ví dụ Cho a1 := 2n − 1, a2 := 2n, a3 := 2n + với n số nguyên dương n ≥ Khi đó: g (a1 , a2 , a3 ) = 2n2 − 3n; n (a1 , a2 , a3 ) = n2 − n Chứng minh Ta cần tìm số l1 , l2 , l3 định nghĩa Bổ đề 3.1.1 Trước hết ta khẳng định bội dương nhỏ a1 nằm tập T (a2 , a3 ) a2 + (n − 1)a3 , T (a2 , a3 ) tập số nguyên dương biểu diễn qua a2 , a3 Thật vậy, rõ ràng a2 + (n − 1)a3 ∈ T (a2 , a3 ) a2 + (n − 1)a3 = a1 + + (n − 1)(a1 + 2) = na1 + (2n − 1) = (n + 1)a + bội dương a1 Giả sử ca2 + da3 bội dương nhỏ a1 thuộc T (a2 , a3 ), c, d số ngun khơng âm Ta có ca2 + da3 = ca1 + c + da1 + 2d bội a1 Suy c + 2d bội a1 = 2n − Suy c + 2d ≥ 2n − Rõ ràng ca2 + da3 nhỏ c + 2d nhỏ nhất, trường hợp ta có c + 2d = 2n − Suy d ≤ n − 1d Nếu d = n − c = Bây ta xét trường hợp d < n − Khi ca2 + da3 = (2n − − 2d)a2 + da3 = (2n − − 2d)2n + d(2n + 1) = 4n2 − 2n − 2nd + d = 2n2 + n − + (2n2 − 3n − 2nd + d + 1) 31 Ta có 2n2 − 3n − 2nd + d + = 2n2 − 3n + − (2n − 1)d Chú ý 2n − < d < n − nên 2n2 − 3n + − (2n − 1)d > 2n2 − 3n + − (2n − 1)(n − 1) = Do ca2 + da3 > 2n + (n − 1)(2n + 1) = a2 + (n − 1)a3 , điều mâu thuẫn với cách chọn ca2 + da3 nhỏ Vậy c = d = n − khẳng định chứng minh Vì a2 + (n − 1)a3 = 2n + (n − 1)(2n + 1) = (n + 1)(2n − 1) = (n + 1)a1 bội dương nhỏ a1 thuộc T (a2 , a3 ) nên từ định nghĩa l1 ta có l1 = n + Hồn tồn tương tự ta bội dương nhỏ a3 thuộc tập T (a1 , a2 ) na1 + a2 Vì na1 + a2 = n(2n − 1) + 2n = n(2n + 1) = na3 nên từ định nghĩa a3 ta có l3 = n Hiển nhiên 2a2 = a1 + a3 bội nguyên dương nhỏ a2 nên ta có l2 = Tiếp theo ta tìm số xij xác định Bổ đề 3.1.1 ta có l3 a3 = n(2n + 1) = n(2n − 1) + 2n = x31 a1 + x32 a2 Vì x31 = n x32 = Ta có l2 a2 = 2x2n = (2n − 1) + (2n + 1) = x21 a1 + x23 a3 Vì x21 = x23 = Cuối cùng, ta có l1 a1 = (n + 1)(2n − 1) = (2n) + (n − 1)(2n + 1) = x12 a2 + x13 a3 Do x12 = x1 = n − Theo Định lí 3.1.3 Định lí 3.1.4 ta có: g = (a1 , a2 , a3 ) = l1 l2 l3 + max {x12 x23 x31 , x21 x32 x13 } − i=1 = (n + 2) 2n + max{1 × × n, × × (n − 1) } − (2n − + 2n + 2n + 1) = 2n2 + 2n + n − 6n = 2n2 − 3n; 32 (li − 1) − l1 l2 l3 + n (a1 a2 a3 ) = i=1 = (n(2n − 1) + 2n + (n − 1)(2n + 1) − (n + 1)2n + 1) = (2n2 − n + 2n + 2n2 − n − − 2n2 − 2n + 1) = n2 − n 3.2 Vài kết lịch sử giải toán Frobenius Như trình bày Chương 2, tốn Frobenius giải trọn vẹn cho trường hợp hai số Từ năm 1980, người ta biết công thức tính số Frobenius trường hợp số (Định lí hai đồng xu) Trong báo [Sy] năm 1884, Sylvester viết cơng thức tính số số ngun dương khơng biểu diễn qua hai số (Định lí Sylvester) Cụ thể, với hai số tự nhiên nguyên tố n1 , n2 , cơng thức tính số Frobenius g (n1 , n2 ) = n1 n2 − n1 − n2 cơng thức tính số số nguyên dương không biểu diễn n (n1 , n2 ) = (n1 − 1) (n2 − 1) Nhận xét cơng thức tính số Frobenius g (n1 , n2 ) trường hợp hai số cho dạng đa thức n1 n2 − n1 − n2 biến n1 , n2 Vì thế, tự nhiên, người ta quan tâm đến việc mở rộng toán Frobenius, tức mở rộng công thức cho trường hợp số trở lên Tuy nhiên việc đưa công thức tính số Frobeniuscho trường hợp nhiều số vơ khó, thách thức nhà toán học suốt thời gian dài toán mở Giai đoạn 1960 - 1975, loạt cơng trình liên quan đến toán Frobenius trường hợp số công bố Một số trường hợp cụ thể xét đến cơng trình S M Johnson, A linear Diophantine Problem, Can J Math, 12 (1960), 390-398 Có thể nói, giai đoạn này, kết tiêu biểu cho trường hợp số báo J S Byrnes: On a partition problem of Frobenius, Journal of Combinatorial Theory (A), 33 17 (1974), 162-166 Ông chứng minh cơng thức tính số Frobenius sau cho trường hợp đặc biệt Định lí: Cho n1 , n2 , n3 số nguyên dương với n2 ≡ (modn1 ) Gọi j số nguyên cho n3 ≡ j (modn1 ) với ≤ j < n1 Khi  n1 n2 − (n1 + n2 ) n3 ≥ jn2    n1 − m   n3 − (m − 1) n2 − n1 (j − m) n2 < n3 ≤ jn2    j n1 − m − j g (n1 , n2 , n3 ) = n3 + (j − 1) n2 − n1   j    j (j − m)    n2 ≤ n3 < (j − m) n2 , n1 − m + j j = điều kiện n3 ≥ jn2 hiển nhiên thỏa mãn, g (n1 , n2 , n3 ) = n1 n2 − (n1 + n2 ), j = ta gọi m số tự nhiên thỏa mãn n1 ≡ m (modj) với ≤ m < j Hơn 40 năm trở lai đây, toán Frobenius, mở rộng toán Frobenius ứng dụng thu hút nhiều nhà toán học giới Để giải toán Frobenius, người ta theo hướng a Tìm cơng thức tính số Frobenius Quan sát kết J S Byrnes thấy số tự nhiên n1 , n2 , n3 thỏa mãn n2 ≡ (modn1 ) cơng thức tính số Frobenius g (n1 , n2 , n3 ) định nghĩa hàm (2 số không đa thức) theo biến n1 , n2 , n3 f1 = n1 n2 − (n1 + n2 ) n1 − m f2 = n3 − (m − 1) n2 − n1 j n1 − m − j f3 = n3 + (j − 1) n2 − n1 , j j m tính theo a1 , a2 , a3 Vì thế, người ta cố gắng tìm cơng thức tính số Frobenius thơng qua hữu hạn đa thức Tuy nhiên, năm 1990, báo "On formulas for the Frobenius number of a numerical semigroup, Math Scand, 67 (1990), 190-192", F.Curtis phát kết quan trọng sau đây: Định lí Khơng thể tìm cơng thức tính số Frobenius g (n1 , n2 , n3 ) xác định hữu hạn đa thức Tuy khơng thể có cơng thức mong muốn để tính số Frobenius, gần (năm 2010), Christian Blatter [Bla] đưa cơng 34 thức "đẹp có thể" để tính số Frobenius cho k số tự nhiên nguyên tố đơi Kết trình bày Chương 3, Tiết 3.1 luận văn (xem Định lí 3.1.3) b Tìm thuật tốn tính số Frobenius Xét qua điểm thuật toán, toán Frobenius có lịch sử ấn tượng Có hàng trăm cơng trình nghiên cứu thuật tốn tìm số Frobenius độ phức tạp Những kết theo hướng nghiên cứu thuộc A Brauer J E Shockley báo A problem of Frobenius đăng tạp chí tiếng J Reine Angew Math năm 1964, họ đưa thuật toán tất định để tính số Frobenius trường hợp n2 ≡ −n3 (modn1 ) Tiếp theo kết G R Hofmeister báo Zueinem Problem von Frobenius, Norske Videnskabers Seelsbs Skrifter (1966) Một số thuật tốn tìm số Frobenius g (n1 , , nk ) đề xuất thuật toán M Nijenhuis, A minimal-path algorithm for the ’money changing’ problem, American Journal Monthly, 86 (1979), 832-838, thuật toán H Greenberg, An al-gorithm for a linear Diophantine equation and a problem of Frobenius, Numer Math., 34 (1890), 349-352 Đặc biệt, báo Lattice tránlates of a polytope and the Frobenius problem, Combinatorica, 12 (1992), 161-177, R Kannan trình diễn thuật tốn thời gian đa thức để giải toán Frobenius với số k cố định Cịn nhiều thuật tốn khác để tính số Frobenius dựa thành tựu ý tưởng Toán tối ưu, Toán quy hoạch kĩ thuật khác c Chặn cho số Frobenius Bên cạnh việc tìm thuật tốn để tính số Frobenius, hướng nghiên cứu khác cho toán Frobenius chặn cho số Frobenius, mà hai cơng trình tiêu biểu hướng nghiên cứu thuộc H E Scarf D F Shallcross, The Frobenius problem and maximal lattice free bodies, Math Oper Res., 18 (1993), 511-515 J L Ramisrez Alfonsin, Complexity of the Frobenius problem, Combinatorica, 16 (1996), 143-147 Đã có nhiều sách viết lại kết quan trọng lịch sử giải toán Frobenius Một tài liệu tốt chủ đề sách J L Ramisrez Alfonsin, The diophantine Frobenius problem xuất Oxford University Pres năm 2005 (cuốn sách viết dựa 500 tài liệu tham khảo liên quan đến tốn Frobenius) 35 Bài tốn Frobenius có ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác Tốn học Lí thuyết số, Lí thuyết tự động Tổ hợp Đặc biệt, người ta hiểu độ phức tạp phương pháp "Shell-sort" J.Incerpi R Ssdgewick tốn Frobenius dùng để đưa chặn cho độ phức tạp thời gian thuật toán phân loại Bài toán Frobenius sử dụng để phân tích mạng Petri, để nghiên cứu tốn phân loại khơng gian véc tơ, nhóm Aben, để nghiên cứu mật mã hình học đại số thơng qua tính chất nửa nhóm đặc biệt, để nghiên cứu tốn xếp hình Để biết thêm ứng dụng toán Frobenius, tham khảo tài liệu: J C Rosales and P A Garcia-Shanchez, Numerical semigroups with embbeding dimension three, Arch Math (Basel) 83 (2004), 488-496; A M Robles-Perez and J C Rosales, The Frobenius problem for numerical semigroups with embbeding dimension equal to three, Math Comput., 81 (20102), 1609-1617 36 Kết luận Luận văn trình bày cách hệ thống kết quan trọng cho tốn Diophantine tuyến tính Frobenius tài liệu sau đây: J L Ramisrez Alfonsin, The diophantine Frobenius problem, Oxford University Press năm 2005 F Curtis, On formulas for the Frobenius number of a numerical semigroup, Math Scand., 67 (1990), 190-192 Jeffrey Shallit, The Frobenius Problem and Its Generalizations, Lecture Notes in Computer Science(Springer), 5257 (2008), 72-83 Nội dung luận văn là: • Giới thiệu sơ lược toán Frobenius chứng minh tồn số Frobenius g (a1 , , ak ) (Mệnh đề 1.2.5) • Trình bày hai cách chứng minh cho Định lí hai đồng xu cơng thức tính số Frobenius g (a, b) (Định lí 2.1.1) • Chứng minh cơng thức tính số số ngun dương khơng biểu diễn qua a, b (Định lí 3.1.3) • Tóm lược thành tựu hướng nghiên cứu toán Frobenius cho trường hợp từ số trở lên 37 Tài liệu tham khảo [1] [A] J.L.R Alfonsin, The diophantine Frobenius problem, Oxford University Press, 2005 [2] [BR] Matthias Beck and Sinai Robins, Computing the Contnuous Discretely, Springer, 2007 [3] [Bla] Christian Blatter, Christian Blatter, A geometric approach to the diophantine Frobenius problem, Preprint 2010 [4] [Bra] Alfred Brauer, On a problem of partitions, American Journal of Mathematics, 64 (1942), 299-312 [5] [By] J S Byrnes, On a problem of Frobenius , Journal of Combinatorial Theory (A), 17 (1974), 162-166 [6] [Cu] F Curtis, On formulas for the Frobenius number of a numerical semigroup, Math Scand, 67 (1990), 190-192 [7] [EG] P Erdos and E L Graham, On a linear diophantine problem of Frobenius, Aca Arithmetica, 45 (1972), 399-408 [8] [K] Curtis Kifer, Extending the Linear Diophantine Problem of Frobenius, Preprint, (2010) [9] [Sh] Jeffrey Shallit, The Frobenius Problem and Its Generalizalizations, Lecture Notes in Computer Science (Springer), 5257 (2008), 72-82 [10] [Sy] J J Sylvester, Mathematical questions with their solutions, Educational Times, 41 (1884), 21-41 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THU HIỀN VỀ BÀI TỐN DIOPHANTINE TUYẾN TÍNH CỦA FROBENIUS Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:... Hơn 40 năm trở lai đây, toán Frobenius, mở rộng toán Frobenius ứng dụng thu hút nhiều nhà toán học giới Để giải toán Frobenius, người ta theo hướng a Tìm cơng thức tính số Frobenius Quan sát kết... trọng tốn Diophantine tuyến tính Frobenius (cịn gọi tốn Frobenius) Bài tốn: Cho trước k số nguyên dương a1 , , ak nguyên tố Xác định số nguyên lớn g (a1 , , ak ) không tổ hợp tuyến tính khơng