Bài toán đổi tiền của frobenius

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGỤY PHƢƠNG HỒI BÀI TỐN ĐỔI TIỀN CỦA FROBENIUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGỤY PHƢƠNG HỒI BÀI TỐN ĐỔI TIỀN CỦA FROBENIUS Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Hoàng Lê Trƣờng THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục MỞ ĐẦU 1 Bài toán đổi tiền Frobenius 1.1 Hàm sinh 1.2 Hai hệ đồng xu 1.3 Phân thức đơn giản công thức Frobenius 17 1.4 Kết Sylvester 22 1.5 Số Frobenius cho hai đồng xu 25 1.6 Định lý Sylvester 29 Một số vấn đề mở rộng 33 2.1 Ba đồng xu nhiều đồng xu 33 2.2 Số Frobenius cho tập đặc biệt 39 2.3 2.2.1 Số Frobenius cho cấp số cộng 39 2.2.2 Số Frobenius cho cấp số nhân 40 Một số ví dụ 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 MỞ ĐẦU Fredinand Georg Frobenius (1849 - 1917) nhà toán học người Đức tiếng với đóng góp lý thuyết hàm Eliptic, phương trình vi phân lý thuyết nhóm Bài tốn Diophantine tuyến tính ơng có ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học lý thuyết số, lý thuyết tự động tổ hợp Một ví dụ tiếng tốn Diophantine tuyến tính Frobenius "Bài tốn đổi tiền Frobenius": Cho trước k loại tiền có mệnh giá số tự nhiên nguyên tố nhau, xác định khoản tiền lớn đổi thành loại tiền Cũng có nhiều ví dụ số học sơ cấp dạng như: Tìm khoản tiền lớn đổi thành loại tiền mệnh giá xu, xu, xu Bài toán Frobenius giải cho trường hợp hai số Ta biết cơng thức tính số Frobenius hai số tự nhiên a, b nguyên tố ab − a − b số nguyên dương không biểu diễn qua a, b (a − 1)(b − 1) Nhưng việc giải với trường hợp nhiều số vơ khó đến toán mở Trong luận văn này, tơi trình bày cách có hệ thống vài kết quan trọng Bài toán đổi tiền Frobenius Mục tiêu luận văn trả lời câu hỏi khoản tiền cho trước đổi thành đồng tiền với mệnh giá cho trước, xác định khoản tiền lớn đổi xác định có cách để đổi tiền Chính vậy, chúng tơi chọn đề tài “Bài toán đổi tiền Frobenius” làm chủ đề nghiên cứu cho luận văn Bố cục luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Trong chương 1, giới thiệu sơ lược toán đổi tiền Frobenius, trình bày cơng thức Frobenius cho trường hợp hai số kết Sylvester Bài toán Frobenius cho hai đồng xu chứng minh định lý Sylvester trình bày phần cuối Chương Chương trình bày số kết trường hợp đặc biệt toán Frobenius cho ba số cho tập đặc biệt Cuối chương chúng tơi có trình bày hai ví dụ thực tế tương tự với tốn đổi tiền Frobenius Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn K10 tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Hồng Lê Trường, người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn khoa học Với kiến thức, kinh nghiệm quý báu, thầy ân cần bảo giúp đỡ tác giả tự tin, vượt qua khó khăn, trở ngại trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Xin bày tỏ lòng biết ơn tác giả đến bạn học viên, đồng nghiệp, người thân động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn ! Tác giả Ngụy Phương Hoài Chương Bài tốn đổi tiền Frobenius Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị hàm sinh, ứng dụng hàm sinh để tìm hàm phân hoạch có giới hạn, từ chứng minh toán Frobenius cho hai số nguyên tố Bài tốn Frobenius ví dụ luận văn giúp trả lời câu hỏi số tiền lớn không xuất dùng hệ thống tiền hay số điểm cao khơng xuất trị chơi Phần cuối chương trình bày số kết số Frobenius trường hợp ba số trường hợp đặc biệt cấp số cộng, cấp số nhân 1.1 Hàm sinh Hàm sinh có nhiều ứng dụng toán rời rạc lý thuyết số Hàm sinh giúp ta chuyển toán dãy số thành toán hàm số Với điều dễ dàng giải số toán Giả sử khảo sát dãy số vô hạn (ak )∞ k=0 phát sinh hình học theo kiểu đệ quy (truy hồi) Tìm “cơng thức xác” để tính giá trị ak theo số k ? Có cách xác định ak khác nhau? Chuyển dãy số vào hàm sinh ak z k F (z) = k≥0 cho phép tìm câu trả lời cho câu hỏi cách vô nhanh chóng dễ dàng Chúng ta coi hàm F (z) kết việc chuyển đổi dãy số (ak ) từ hàm rời rạc sang hàm liên tục Để minh họa cho khái niệm này, bắt đầu ví dụ cổ điển dãy Fibonacci fk đặt tên theo tên nhà toán học Leonardo Pisano Fibonacci định nghĩa công thức truy hồi f0 = 0, f1 = 1, fk+2 = fk+1 + fk với k ≥ Từ ta có giá trị dãy số (fk )∞ k=0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ) Bây xem hàm sinh mang lại kết cho Nhắc lại hàm sinh dãy Fibonacci (fk )∞ k=0 fk z k F (z) := k≥0 Chúng ta đặt hai vế công thức truy hồi vào hàm sinh fk+2 z k = k≥0 (fk+1 + fk )z k = k≥0 fk+1 z k + k≥0 fk z k k≥0 Vế trái đẳng thức (1.1) fk+2 z k = k≥0 z2 fk+2 z k+2 = k≥0 z2 fk z k = k≥2 (F (z) − z) z2 Trong vế phải đẳng thức (1.1) có giá trị fk+1 z k + k≥0 fk z k = F (z) + F (z) z k≥0 Theo đó, đẳng thức (1.1) viết lại sau 1 (F (z) − z) = F (z) + F (z), z2 z F (z) = z − z − z2 (1.1) Khi khai triển hàm F (z) thành chuỗi lũy thừa, có dãy số Fibonacci hệ số chuỗi z = z + z + 2z + 3z + 5z + 8z + 13z + 21z + 34z + − z − z2 Bây ta sử dụng phương pháp giải hàm hữu tỷ thường dùng: phương pháp khai triển phân thức hữu tỷ thành phân thức hữu tỷ đơn giản Xét trường hợp chúng ta, phần mẫu số √ √ + 5 − − z − z2 = − z 1− z 2 khai triển thành phân thức hữu tỷ đơn giản, ta có √ √ 1/ z 1/ √ − √ = F (z) = − z − z2 1+ 1− 1− z 1− z 2 (1.2) Hai biểu thức khai triển thành chuỗi thông qua chuỗi hình học xk = k≥0 1−x (1.3) √ √ 1− 1+ z x = z Từ đó, ta thu với giá trị tương ứng x = 2 √ √ k k ∞ ∞ 1+ 1− 1 z =√ z −√ z F (z) = − z − z2 2 k≥0 k≥0  √ k √ k ∞ 1−  k  1+ z − =√ 2 k≥0 So sánh hệ số z k định nghĩa F (z) = fk z k với hệ số k≥0 z biểu thức F (z) bên trên, nhận công thức k fk = √ √ 1+ k −√ √ 1− k cho dãy Fibonacci Phương pháp phân tích hàm sinh hữu tỷ thành phân thức đơn giản cơng cụ tốn học quan trọng Bởi sử dụng phương pháp phân tích đa thức hữu tỷ thành đa thức đơn giản nên phát biểu chuẩn tắc phương pháp định lý sau Định lý 1.1.1 (Khai triển phân thức đơn giản) Cho hàm hữu tỷ F (z) := p(z) , m ek k=1 (z − ak ) p đa thức có bậc nhỏ e1 + e2 + + em ak số phân biệt, tồn phép phân tích m F (z) = k=1 ck,1 ck,ek ck,2 + + + z − ak (z − ak )2 (z − ak )ek , ck,j ∈ C giá trị 1.2 Hai hệ đồng xu Hãy tưởng tượng đưa hệ thống đồng tiền Thay việc sử dụng đồng cent, đồng cent, 10 cent 25 cent, đồng ý sử dụng đồng cent, 7cent, cent 34 cent Chúng ta nhược điểm hệ thống đồng tiền sau: vài số tiền hệ thống cũ đổi sang số tiền hệ thống (trừ đồng tiền có sẵn), ví dụ cent Tuy nhiên, nhược điểm làm cho hệ thống đồng tiền thú vị hệ thống đồng tiền cũ, đặt câu hỏi “có thể thu tổng giá trị tiền khơng đổi bao nhiêu?” Thực tế sử dụng hệ thống tiền có tiền cũ phần dư khơng đổi biến khỏi thực tế Một câu hỏi tự nhiên đặt ra, số tiền lớn khơng thể đổi có giá trị bao nhiêu? Câu hỏi nhận câu trả lời Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), James Joseph Sylvester (1814-1897) Chúng ta muốn đặt câu hỏi mang tính khái quát chung Vì đưa câu hỏi cịn gọi tốn đổi tiền Frobenius sau: Bài 1.2.1 (Bài toán đổi tiền Frobenius) Đối với đồng tiền có mệnh giá a1 , a2 , , ad số nguyên dương có ước chung lớn 1, câu hỏi đặt là: đưa cơng thức số tiền lớn khơng thể có cách sử dụng đồng tiền a1 , a2 , , ad ? Để phát biểu cụ thể mặt tốn học, có tập hợp số nguyên dương A = {a1 , a2 , , ad } với gcd(a1 , a2 , , ad ) = Định nghĩa 1.2.2 Số nguyên dương n gọi biểu diễn tập số A tồn số nguyên không âm m1 , m2 , , md cho n = m1 a1 + m2 a2 + + md ad Ví dụ 1.2.3 Cho tập số A = {2, 3, 5, 7} Khi đó, số 13 = · + · + · + · 7, 15 = · + · + · + · 7, 28 = 14 · + · + · + · 7, nên chúng biểu diễn theo A Xét ngôn ngữ đồng tiền, điều có nghĩa đổi n thành đồng xu a1 , a2 , , ad Bài toán Frobenius (thường gọi tốn Diophantine tuyến tính Frobenius) u cầu tìm số ngun lớn khơng thể biểu diễn thông qua số nguyên không âm a1 , a2 , , ad đó, số lượng số ngun khơng thể biểu diễn (a − 1)b (a − 2)b (a − (a − 1))b + + + a a a 2b (a − 1)b b + + + = a a a a−1 = i=1 ib a = (a − 1)(b − 1)theo Bổ đề 1.6.1 Để khẳng định khơng có thêm số nguyên biểu diễn, ý xem xét tất số nguyên không biểu diễn đồng dư modulo a với (a − 1)b, (a − 2)b, , (a − (a − 1))b = 1b, 2b, , (a − 1)b xem xét tất số nguyên biểu diễn có giá trị ab − kb − qa = (a − k)b − qa = (a − k)b (mod a) với k ∈ {1, 2, , a − 1}, cho q ∈ {1, 2, , tk } (trong tk có giá trị lớn nhất) Điều cho thấy xem xét tất số ngun khơng âm khơng thể biểu diễn có giá trị nhỏ ab − b − a số nguyên không âm biểu diễn cần phải đồng dư modulo a với số dãy 1b, 2b, , (a − 1)b theo Bổ đề 1.5.2 Ví dụ 1.6.3 Cho hai số nguyên dương nguyên tố a = 4, b = Khi có (a − 1)(b − 1) = số nguyên biểu diễn theo Đó số 1, 2, 3, 6, 7, 11 Số Frobenius trường hợp g(4, 5) = ab − a − b = 11 32 Chương Một số vấn đề mở rộng Trong chương này, chúng tơi trình bày thêm số cách chứng minh khác Định lý 1.2.7 Định lý 1.2.10 2.1 Ba đồng xu nhiều đồng xu Bài toán trở nên phức tạp ta có nhiều hai đồng tiền Các nhà nghiên cứu giải toán số trường hợp đặc biệt Johnson khử gcd(a1 , a2 ) = k để tính g(a1 , a2 , a3 ) Định lý 2.1.1 ([5]) Nếu a1 , a2 , a3 số nguyên tố gcd(a1 , a2 ) = k g(a1 , a2 , a3 ) = kg a1 a2 , , a3 + (k − 1)a3 k k Rõ ràng từ Định lý 2.1.1, a3 ≥ g a1 a2 k, d kg (d − 1)a3 a1 a2 k, d hay kg a1 a2 k , d , a3 = = a1 a2 − a1 − a2 , g(a1 , a2 , a3 ) = d(a1 a2 − a1 − a2 ) + Một số tác giả khác nghiên cứu trường hợp đặc biệt d = Chẳng hạn, a1 , a2 , a3 số nguyên tố a1 ước (a2 + a3 ) g(a1 , a2 , a3 ) = −a1 + max i=2,3 a1 a5−i a2 + a3 Trong số trường hợp riêng, Roberts thu kết sau 33 Định lý 2.1.2 ([5]) (a) Nếu gcd(a3 − a1 , a2 − a1 ) = a1 a3 − a1 + (a2 − a1 − 1)(a3 − a1 − 1) + a1 + a2 + a3 g(a1 , a2 , a3 ) ≤ a1 a3 − a2 − + (b) Nếu a, j > số nguyên g(a, a + 1, a + j)   a+1 + (j − 3)a a ≡ −1 j =  a+1 (a + j) + (j − 3)a a ≡ −1 j (mod j), a ≥ j − 5j + 3, (mod j), a ≥ j − 4j + 2, (c) < a < b m số nguyên thỏa mãn gcd(a, b) = 1, m ≥ m + (a − 1)(b − 1) g(m, m + a, m + b) ≤ m b − + b Goldbert nghiên cứu g(a1 , a2 , a3 ) trường hợp đặc biệt sau Định lý 2.1.3 ([5]) Cho < a < b số nguyên với gcd(a, b) = d gcd(d, m) = với md2 > b(b − a − 2d) dm = ax0 + by0 , ≤ x0 < b/d, y0 ≥ Khi đó, g(m, m + a, m + b) a + x0 + y0 + d − n + b ad − − a dx0 ≥ b − a, d = b a d + y0 + d − n + b d − − a(x0 + 1) ngược lại Dãy a1 , , an gọi độc lập khơng có phần tử biểu diễn thơng qua phần tử cịn lại Selmer tìm công thức khác tổng quát cho ba số độc lập Định lý 2.1.4 ([5]) Nếu a1 , a2 a3 số độc lập nguyên tố đơi g(a1 , a2 , a3 ) ≤ max{(s − 1)a2 + (q − 1)a3 , (r − 1)a2 + qa3 } − a1 , s xác định a3 ≡ sa2 (mod a1 ), < s < a1 r xác định a1 + qs + r, < r < s Ngoài ra, a2 ≥ t(q + 1) a3 = sa2 − ta1 , t > g(a1 , a2 , a3 ) = max{(s − 1)a2 + (q − 1)a3 , (r − 1)a2 + qa3 } − a1 34 Remirez Alfonsin tìm hai cận sau số Frobenius Định lý 2.1.4 Định lý 2.1.5 ([5]) Cho < w1 < a3 < w2 < a3 số nguyên tương ứng thỏa mãn a1 w1 ≡ a2 (mod a3 ) a2 w2 ≡ −a1 (mod a3 ), cho r1 r2 số nguyên dương lớn thỏa mãn −a3 + r1 w1 < a3 − w2 r2 > Khi (a) g(a1 , a2 , a3 ) ≤ max{a1 (a3 −r1 w1 )+a2 (r1 +1), a1 w1 +a2 r1 }−a1 −a2 −a3 (b) g(a1 , a2 , a3 ) ≤ max{a1 +a2 (a3 +(1−r2 )w2 ), a1 r2 +a2 w2 }−a1 −a2 −a3 Các cận Định lý 2.1.5 khơng gần nhau, nhiên có trường hợp mà hai cận (hoặc hai) sinh giá trị gần với g(a1 , a2 , a3 ) Kết minh họa ví dụ sau Ví dụ 2.1.6 Cho a1 = 4, a2 = a3 = Ta có w1 = 4, w2 = 2, r1 = r2 = Khi đó, g(4, 7, 9) = 10 ≤ max{25, 30} − 20 = 10 max{18, 30} − 20 = 10 theo Định lý 2.1.5(a) theo Định lý 2.1.5(b) Ví dụ 2.1.7 Cho a1 = 5, a2 = 14 a3 = 31 Ta có w1 = 11, w2 = 2, r1 = r2 = 15 Khi đó, g(5, 14, 31) = 37 ≤ max{87, 83} − 50 = 37 max{47, 103} − 50 = 87 theo Định lý 2.1.5(a) theo Định lý 2.1.5(b) Ta quay trở lại với hàm phân hoạch có giới hạn pA (n) = #{(m1 , md ) ∈ Zd : mj ≥ 0, m1 a1 + + md ad = n}, A = {a1 , , ad } Với lập luận tương tự Mục 1.3, ta dễ dàng tìm hàm sinh pA (n): pA (n)z n = n≥0 1 − z a2 1 − z a1 ··· 1 − z ad Sử dụng phương pháp Mục 1.3 thu hàm pA (n) số hạng tự hàm sinh Cụ thể, pA (n) = số hạng tự hàm (1 − z a1 )(1 − z a2 ) · · · (1 − z ad )z n 35 Bây ta khai triển hàm vế phải đẳng thức bên Để cho đơn giản, ta giả sử a1 , , ad số đơi ngun tố nhau, tức khơng có hai số có ước chung Khi khai triên phân thức đơn giản có dạng (1 − z a1 ) (1 − z ad )z n An B1 B2 Bd A1 A2 + + + n + + + + = z z z z − (z − 1)2 (z − 1)d f (z) = + a1 −1 k=1 C1k + ξak1 a2 −1 k=1 C2k + + ξak2 ad −1 k=1 Cdk ξakd (2.1) Dựa theo cách tính Mục 1.3, ta dễ dàng kiểm tra C1k = − kad k(n−1) ka3 ka2 a1 (1 − ξa1 )(1 − ξa1 ) · · · (1 − ξa1 )ξa1 (2.2) Giống trước đây, ta khơng cần tính hệ số A1 , , An chúng khơng đóng góp vào số hạng tự f (z) Để tìm hệ số B1 , , Bd , ta sử dụng phần mềm tính tốn Maple Mathematica Một lần nữa, tính hệ số này, ta tính số hạng tự f cách bỏ qua tất thành phần số mũ âm tính phần lại hàm z = 0: pa (n) = B1 Bd + ··· + + z−1 (z − 1)d d a1 −1 = −B1 + B2 − · + (−1) Bd − C1k + ··· + z − ξak1 k=1 a1 −1 k=1 C1k − ξak1 a2 −1 k=1 ad −1 k=1 Cdk z − ξakd C2k − ··· − ξak2 ad −1 k=1 z=0 Cdk ξakd Thay công thức C1k vào công thức tổng lấy tất đơn vị thứ a1 trên, ta thu a1 a1 −1 k=1 (1 − ξaka1 )(1 − ξaka1 ) · · · (1 − ξaka1 d )ξakn1 Kết thúc đẩy định nghĩa tổng Fourier–Dedekind sn (a1 , a2 , , am ; b) := b b−1 k=1 ξbkn (1 − ξbka1 )(1 − ξbka2 ) · · · (1 − ξbkam ) 36 (2.3) Với định nghĩa này, ta thu kết sau Định lý 2.1.8 Hàm phân hoạch có giới hạn với A = (a1 , a2 , , ad ), số ak đơi ngun tố nhau, tính sau pA (n) = −B1 + B2 − + (−1)d Bd + s−n (a2 , a3 , , ad ; a1 ) + s−n (a1 , a3 , a4 , , ad ; a2 ) + + s−n (a1 , a2 , , ad−1 ; ad ) Ở đây, B1 , B2 , , Bd hệ số phân thức đơn giản khai triển (2.1) Ví dụ 2.1.9 Chúng ta tính hàm phân hoạch có giới hạn d = d = Các công thức hữu ích việc phân tích chi tiết hàm tuần hồn vốn có hàm phân hoạch có giới hạn pA (n) Ví dụ, ta biểu diễn đồ thị p{a,b,c} (n) hình "parabol lượn sóng" hiển thị cơng thức n 1 1 3 n2 + + + + + + + p{a,b,c} (n) = 2abc ab ac bc 12 a b c a−1 b−1 1 + + a k=1 (1 − ξakb ) (1 − ξakc ) ξakn b k=1 − ξbkc + c c−1 k=1 a b c + + bc ac ab 1 − ξbka ξbkn , (1 − ξcka ) (1 − ξckb ) ξckn n2 1 1 n3 + + + + p{a,b,c,d} (n) = 6abcd abc abd acd bcd 3 3 a b c d n + + + + + + + + + + 12 ab ac ad bc bd cd bcd acd abd acb a a b b b c c c d d d a + + + + + + + + + + + + 24 bc bd cd ac ad cd ab ad bd ab ac bc 1 1 − + + + a b c d a−1 1 + a k=1 (1 − ξakb ) (1 − ξakc ) (1 − ξakd ) ξakn + b b−1 k=1 − ξbkc 1 − ξbkd − ξbka ξbkn 37 + c + d c−1 k=1 d−1 k=1 (1 − ξckd ) (1 − ξcka ) (1 − ξckb ) ξckn − ξdka 1 − ξdkb − ξdkc ξdkn Nhận xét 2.1.10 Như ta nhắc đến trên, toán Frobenius với d ≥ khó nhiều trường hợp d = Tất nhiên, sau trường hợp d = 3, toán Frobenius toán mở nhiều nhà toán học nỗ lực nghiên cứu Các tài liệu tốn Frobenius phong phú, cịn nhiều chỗ để cải thiện Người đọc quan tâm tham khảo chun khảo tồn diện [5] Trong tham chiếu đến tất viết toán Frobenius đưa khoảng 40 toán mở khẳng định liên quan đến toán Frobenius Để ví dụ, chúng tơi đề cập đến hai kết mang tính bước ngoặt vượt xa trường hợp d = Kết liên quan đến hàm sinh r(z) := k∈R z k , R tập tất số nguyên biểu diễn thông qua tập số nguyên dương nguyên tố a1 , a2 , , ad Khơng khó để thấy r(z) = p(z)/(1 − z a1 )(1 − z a2 ) · · · (1 − z ad ) với p đa thức Hàm sinh phân thức chứa tất thơng tin tốn Frobenius Ví dụ, số − r(z) Do tốn Frobenius rút Frobenius tổng bậc hàm 1−z gọn thành tìm đa thức p tử số r Một kết đáng ý với d = tìm Marcel Morales Graham Denham, đa thức thức p có số hạng Ngồi ra, họ đưa công thức nửa hiển p Định lý Morales–Denham kéo theo số Frobenius trường hợp d = có tính cách nhanh chóng Dường có ngăn cách trường hợp d = với trường hợp d = Có vẻ có ngăn cách trường hợp d = với d = Henrik Bresinsky chứng minh với d ≥ 4, khơng có giới hạn tuyệt đối số số hạng tử số p, điều trái ngược hoàn toàn với với định lý Morales–Denham trường hợp d = 38 Mặt khác, Alexander Barvinok Kevin Woods chứng minh với d cố định, hàm sinh phân thức r(z) viết dạng tổng hàm phân thức, cụ thể ta tính r cách hiệu d cố định Một hệ thu số Frobenius tính cách hiệu d cố định, định lý Ravi Kannan 2.2 2.2.1 Số Frobenius cho tập đặc biệt Số Frobenius cho cấp số cộng Brauer [3] tìm số Frobenius cho k số nguyên dương liên tiếp m, m + 1, , m + k − Định lý 2.2.1 (Brauer, [3]) Cho a số nguyên dương Khi đó, g(a, a + 1, , a + k − 1) = a−2 + a − k−1 Dãy a1 , , an gọi cấp số cộng ai+1 = + d với i = 1, , n − với d số nguyên dương Ramirez Alfonsin [5] tổng quát hóa kết qura cho cấp số cộng tổng quát Định lý 2.2.2 (Ramirez Alfonsin, [5]) Cho số nguyên dương a, d, s với gcd(a, d) = 1, g(a, a + d, a + 2d, , a + sd) = Chứng minh Đặt yi = s j=i xj a−2 + a + (d − 1)(a − 1) − s với i = 0, , s Rõ ràng số nguyên L có biểu diễn si=0 (a + id)xi L = ay0 + d(y1 + · + ys ) với y0 ≥ · · · ≥ ys ≥ Bây giờ, với y0 cho trước, số nguyên biểu diễn dạng y1 + · · · + ys với y0 ≥ · · · ≥ ys số nguyên z thỏa mãn ≤ z ≤ sy0 Do đó, L biểu diễn thông qua a, a + d, , a + sd L = ay + dz với ≤ z ≤ sy Chú ý Định lý 2.2.2 chứa 2.2.1 s = k − d = Trường hợp tập A = {a1 , a2 } trường hợp riêng công thức 39 2.2.2 Số Frobenius cho cấp số nhân Ta có cơng thức đóng số Frobenius tập số nguyên cấp số nhân {a, ar, ar2 , , ark }, a giá trị ban đầu r công bội Vì gcd(a, ar, ar2 , , ark ) phải 1, nên ta có a = mk r = n/m, m, n hai số nguyên nguyên tố Kết phần định lý sau Định lý 2.2.3 ([4]) Cho số nguyên dương m, n, k với gcd(m, n) = 1, g(mk , mk−1 n, mk−2 n2 , , nk ) m2 (n − 1)(mk−1 − nk−1 ) k−1 = n (mn − m − n) + m−n Ta ký hiệu A(m, n, k) nửa nhóm sinh {mk , mk−1 n, mk−2 n2 , , nk } Ta ký hiệu g(mk , mk−1 n, mk−2 n2 , , nk ) G(m, n, k) Bổ đề 2.2.4 ([4]) Cho m, n số nguyên tố k ≥ 1, G(m, n, k + 1) ≥ (n − 1)mk+1 + nG(m, n, k) Chứng minh Ta phải (n − 1)mk+1 + nG(m, n, k) ∈ / A(m, n, k + 1) Giả sử phản chứng (n − 1)mk+1 + nG(m, n, k) ∈ A(m, n, k + 1) Khi k+1 (n − 1)m k+1 + nG(m, n, k) = Lấy mod n hai vế ta thu −m i=0 k+1 ci mi nk+1−i , ci ∈ Z+ ≡ ck+1 mk+1 Vì m, n nguyên tố nhau, ta kết luận ck+1 ≡ −1 (mod n) Hay ck+1 = bn − với số nguyên dương b Khi ta có (n − 1)mk+1 + nG(m, n, k) k−1 = i=0 ci mi nk+1−i + ((b − 1)m + ck )mk n + (n − 1)mk+1 nên k−1 G(m, n, k) = i=0 ci mi nk+1−i + ((b − 1)m + ck )mk 40 Nhưng điều kéo theo G(m, n, k) ∈ A(m, n, k), mâu thuẫn Ta kết luận (n−1)mk+1 +nG(m, n, k) ∈ / A(m, n, k+1), G(m, n, k+1) ≥ (n − 1)mk+1 + nG(m, n, k) Bổ đề 2.2.5 ([4]) Cho m, n nguyên tố k ≥ G(m, n, k + 1) ≤ (n − 1)mk+1 + nG(m, n, k) Chứng minh Ta chứng minh y > (n − 1)mk+1 + nG(m, n, k), y ∈ A(m, n, k + 1) Cho y ≡ dmk+1 (mod n), d ∈ [0, n − 1] Đặt z = y − dmk+1 Vì z ≡ (mod n), ta có z = nw với w số nguyên không âm Nhưng y > (n − 1)mk+1 + nG(m, n, k) kéo theo z > nG(m, n, k), nên w > G(m, n, k), w ∈ A(m, n, k) Nhưng điều có nghĩa y = nw + dmk+1 ∈ A(m, n, k + 1), G(m, n, k + 1) ≤ (n − 1)mk+1 + nG(m, n, k) Chứng minh Định lý 2.2.3 Ta chứng minh cách quy nạp theo k Với k = điều rút gọn thành kết Sylvester, G(m, n, 1) = mn − m − n Giả sử với k = t G(m, n, t) = n t−1 (m − 1)m2 (mt−1 − nt−1 ) (mn − m − n) + m−n Theo hai bổ đề trên, ta có G(m, n, t + 1) (m − 1)m2 (mt−1 − nt−1 ) = (n − 1)m + n n (mn − m − n) + m−n t−1 nm (m − nt−1 ) t t+1 = n (mn − m − n) + (n − 1) m + m−n t t (n − 1)m (m − n ) = nt (mn − m − n) + , m−1 t+1 t−1 định lý với k = t + Ta cịn có cơng thức đơn giản thể tích đối xứng biến sau Cho số nguyên a, b, k , với gcd(a, b) = 1, đặt Ak (a, b) = 41 {ak ak−1 b, , bk } Khi g(Ak (a, b)) = σk1 (a, b) − σk (a, b) − (ak+1 + bk+1 ), σk (a, b) tổng tất số nguyên Ak (a, b) 2.3 Một số ví dụ Trong phần này, chúng tơi tham khảo nguồn internet [1] để trình bày lại hai ví dụ thực tế tương tự toán đổi tiền Frobenius Một trường hợp đặc biệt tốn đổi tiền đơi cịn gọi tốn McNugget Dạng McNugget toán đổi tiền giới thiệu Henri Picciotto sách đại số ông Picciotto nghĩ tốn năm 1980 ơng ăn tối trai nhà hàng McDonald giải toán khăn ăn Số McNugget tổng số cánh gà số lượng hộp cách gà McNugget cửa hàng McDonald Ở nước Anh, hộp phụ thuộc vào kích thước có 6, 20 cánh Theo định lý Schur, 6, 20 nguyên tố nhau, số nguyên đủ lớn biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính ba số Do đó, tồn số khơng phải số McNugget lớn nhất, tất số nguyên lớn số số McNugget Cụ thể, tất số hữu hạn, ngoại trừ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 28, 31, 34, 37, 43 Do đó, số số McNugget lớn 43 Kết tất số nguyên lớn 43 số McNugget kiểm tra cách khảo sát phân hoạch nguyên sau 44 = + + + 20 45 = + + + + 46 = + 20 + 20 42 47 = + + + 20 48 = + + + + + 49 = + 20 + 20 Bất kỳ số lớn thu cách cộng thêm vài số vào phân hoạch Nói cách khác, lcm(9, 20) = 180 ước 180, cách áp dụng công thức số Frobenius cho trường hợp ba chiều trước đây, ta thu g(6, 9, 20) = lcm(6, 9) + lcm(6, 20) − − − 20 = 18 + 60 − 35 = 43 Ngoài ra, kiểm tra trực tiếp ta thấy thật mua 43 cánh gà, vì: • hộp cánh gà khơng thể tạo thành 43 cánh gà chúng tạo thành bội (ngoại trừ số 3), • cộng thêm hộp 20 cánh gà khơng thể tạo thành 43 cánh gà phần dư 23 khơng bội 3, • nhiều hộp 20 cánh, cộng với hộp nhiều hiển nhiên không dẫn tới 43 cánh Sau cửa hàng McDonald giới thiệu thêm hộp cánh gà, số lớn số McNugget 11 Ở quốc gia khác mà hộp cánh thay hộp 11 cánh, khơng tồn số khơng phải số McNugget lớn khơng có số lẻ tạo thành Trong trị chơi bóng bầu dục liên minh, có bốn loại điểm số: penalty goal (3 điểm), drop goal (3 điểm), try (5 điểm) converted try (7 điểm) Bằng cách kết hợp điểm này, tổng số điểm ngoại trừ 1, 2, điểm Trong trò chơi bóng bầu dục bảy cầu thủ, tất bốn loại điểm số cho phép, có điểm penalty goal, điểm drop goal xuất Điều có nghĩa điểm số đội gần 43 bao gồm bội số try (5 điểm) converted try (7 điểm) Các điểm sau (ngồi 1, 2, 4) khơng thể thực từ bội số và trị chơi bóng bầu dục bảy người không thấy điểm số: 3, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18 23 44 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách có hệ thống Bài toán đổi tiền Frobenius trường hợp hai số ba số Trong luận văn, đạt số kết sau: Tiếp cận toán đổi tiền Frobenius trường hợp hai số theo nhiều cách khác Trình bày số kiến thức liên quan đến toán đổi tiền Frobenius hàm sinh, hàm phần nguyên, số Frobenius, Tổng hợp số kết toán đổi tiền Frobenius trường hợp ba chiều tổng qt Trình bày hai ví dụ thực tế toán đổi tiền trường hợp ba số bốn số Đó bài tốn McNugget tốn điểm số trị chơi bóng bầu dục 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Thị Thu Hiền (2013), Về tốn Diophantine tuyến tính Frobenius, Luận văn thạc sỹ, Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [2] M Beck and S Robins (2007), Computing the continuous discretely: integer point enumeration in polyhedra, Springer [3] A Brauer (1942), “On a problem of partitions”, Am J Math., 64, pp 299–312 [4] D C Ong and V Ponomarenko (2008), “The Frobenius Number of Geometric Sequences”, INTEGERS: the Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 8, A33 [5] J L Remirez Alfonsin (2006), The Diophantine Frobenius Problem, Oxford University Press ... trọng Bài toán đổi tiền Frobenius Mục tiêu luận văn trả lời câu hỏi khoản tiền cho trước đổi thành đồng tiền với mệnh giá cho trước, xác định khoản tiền lớn đổi xác định có cách để đổi tiền Chính... gọi toán đổi tiền Frobenius sau: Bài 1.2.1 (Bài toán đổi tiền Frobenius) Đối với đồng tiền có mệnh giá a1 , a2 , , ad số nguyên dương có ước chung lớn 1, câu hỏi đặt là: đưa cơng thức số tiền. .. quan đến toán đổi tiền Frobenius hàm sinh, hàm phần nguyên, số Frobenius, Tổng hợp số kết toán đổi tiền Frobenius trường hợp ba chiều tổng qt Trình bày hai ví dụ thực tế toán đổi tiền trường