(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề hệ có khối lượng biến đổi bài toán chuyển động của tên lửa

HỆ CĨ KHỐI LƯỢNG BIẾN ĐỔI BÀI TỐN CHUYỂN ĐỘNG CỦA TÊN LỬA A – Lý thuyết: 1- Định luật II Niu Tơn viết dạng khác: uuu r uur ur ur r dV d (mV ) d P ur F  ma  m �  F dt dt dt 2- Thành lập phương trình chuyển động vật có khối lượng thay đổi * Xét vật có khối lượng m thay đổi theo thời gian theo quy luật: m = m(t) (chẳng hạn tên lửa), Khối lượng tên lửa giảm theo thời gian * Trong đơn vị thời gian , tên lủa lượng khí Gọi r u dm  dt ur vận tốc khí tên lửa, V vận tốc tên lửa hệ quy chiếu đất.Ta có động lượng khí  Tại thời điểm ban đầu tên lửa có động lượng r ur dm(u  V ) ur ur P  mV ur uur xét thời điểm t, tên lửa có khối lượng (m+dm), có vận tốc ( V  dV ) ur uur có động lượng là(m+dm)( V  dV ) Động lượng hệ gồm tên lửa khí là: ur ur uur r ur P  (m  dm) ( V  dV )  dm(u  V ) -1- r ur ur uur r ur ur uu ur d p  p '  p  (m+dm)( V  dV )  dm(u  V ) - mV Ta có ur uuu r r d p  mdV  udm Thay ( bỏ qua dm.dV) uur ur dp ur dV r dm F m  u dt dt dt hay ur dV ur r dm m  F  u dt dt Đây phương trình chuyển động tên lửa  Xét thứ nguyên của đại lượng ur r dm Q  u dt Vậy đại lượng dm u , dt thứ nguyên lực phản lực khí  Chọn chiều chuyển động làm chiều dương, dm 0� dt + Nếu r u  Q>0: tên lửa tăng tốc (khí sau) + Nếu r u  Q< 0: tên lửa giảm tốc (khí trước) B Bài toán áp dụng Bài 1: a) Hãy thiết lập phương trình chuyển động tên lửa Vận tốc tương đối Vr khí khỏi tên lửa xem không đổi Khối lượng tên lửa thay đổi theo thời gian theo qui luật m = m0.f(t) (qui luật cháy) Lực cản khơng khí hàm cho trước vận tốc vị trí tên lửa R = R(x, x' ) b) Cho m m0 (1 t) ; R = Vận tốc tên lửa mặt đất , Vr= 2000m/s ;  1/ s 100 Tên lửa độ cao vào lúc t = 10s ; 30 s ; 50s c) Cho m m0e  t , bỏ qua lực cản , tìm chuyển động tên lửa giả thiết đến thời điểm t0 tất nhiên liệu cháy hết Hãy xác định độ cao cực đại tên lửa đạt Biết t = h = d) Với điều kiện tóan câu c xác định giá trị giá trị Hmax tên lửa ( cần xem đại lượng  t0 ln m0 m1 m1 khối lượng tên lửa thời điểm t0) Giải a) * Lực phát động tên lửa có độ lớn : Fd  Ta có phương trình : F d  P  R ma Chiếu lên phương chuyển động : Fd - P -R = mx" -3- dm Vr dt  tương ứng với không đổi , dm dm R Vr  mg R mx''  x''  g  Vr  dt mdt m ' , f (t) R(x, x )  x''  g  Vr  f (t) m0f (t)  b) Theo câu a x''  g  f ' (t) R(x, x, ) Vr  f (t) m0f (t) với R = , f ' (t)    x''  g  , Vr   x,  gt Vr ln(1 t)  c1 1 t t = , x' =0 suy c1 = Do đó: gt2 vr x    (1 t) ln(1 t)  t  1  c2  t = ; x = 0; c2  vr  gt2 vr x(t)    (1 t) ln(1 t)  t  Sau thay giá trị cho ta có; x(10) = 0,54km ; x(30) = 5,65 km ; x(50) = 18,4 km c) Với R = " x =-g + x''  g .Vr f ' (t) Vr ; f (t) e t ; f , (t)  e t f (t) ; V(t0) = (-g + t20 V r ) v2 (t0 ) t20 Vr H S(t0 )  ( g  Vr )(g  Vr  g)  (Vr  g)t20 2g 2g 2g d) H  Vr (Vr  g)t20 ;   t0 2g H  Vr gVr 2 (Vr  g)  (Vr2  ) 2g 2g   Hmax   ( cháy tức thời) Vậy Vr2 H max  2g Bài : Một tên lửa không chịu tác dụng lực hấp dẫn vũ trụ, chuyển động nhanh dần theo quỹ đạo thẳng Khối lượng vỏ tên lửa thiết bị M thời điểm t khối lượng nhiên liệu chứa tên lửa m = m 0e-Kt vận tốc tương đối (so với tên lửa) lượng khí u = u 0.e-Kt Giả sử m0 80 s nhiên liệu cháy hết nên a = – g suy với t = phút > 80 s nên a = – 10 m/s2 2) Chọn chiều dương chiều chuyển động tên lửa: dv dm   mg  u dt dt dm � dv  gdt  u m m Có : + Trường hợp m 0,8.12000 t  nl   80s  120 v  gt  u.ln v  mf 0 mi mf m  t  gt  u.ln i mi mi V = vmax thời điểm hết nhiên liệu: t � 120.80 � v max  g  ( 2400).ln � 1  3100m / s � � 12000 � -11- dm dv  g � dt  u � � m + Ta có t tên lửa lên đến độ cao cực đại v  v max  g(t  ) + Đường từ 0� � t � t mi u � t �� � t � � z� dz  � v.dt  g � t.dt  u � ln � 1 dt  g  1 ln � 1 � � �� � 1� C  � mi �� � mi � � � mi � Tại t = z = nên Vậy z1  g C mi u  2 mi u �  �� �  � � mi u  1 ln � 1 � �� � 1�  � m i �� � mi � �  Và đường từ  � t max z2  v 2max 2g Bài : Một tên lửa có khối lượng ban đầu m0 khí với vận tốc khơng đổi u lên thẳng đứng khơng gian có gia tốc trọng trường g không đổi Hỏi khối lượng tên lửa biến thiên trường hợp sau a/ Tên lửa có vận tốc khơng đổi vận tốc ban đầu v0 b/ Tên lửa có gia tốc không đổi a Giải 12   Có phương trình  F ex   dm u dv  m m a (1) dt dt  + Trường hợp 1: v = const nên dv o dt Chiếu (1) lên phương chuyển động tên lửa, chiều dương chiều chuyển động tên lửa  mg  m Lấy tích phân hai vế : dm dm dm g u � mg  u�   dt dt dt m u t dm g m g �g �  � dt � ln   t � m  m 0exp � - t� � m u0 m0 u �u � m0 + Trường hợp 2: a = const ma  mg  dm dm dm ga u �  m(g  a)  u�  dt dt dt m u �g+a � m  m 0exp �  t� � u � -13- ... 2g Bài : Một tên lửa có khối lượng ban đầu m0 khí với vận tốc không đổi u lên thẳng đứng khơng gian có gia tốc trọng trường g không đổi Hỏi khối lượng tên lửa biến thiên trường hợp sau a/ Tên. .. tốc (khí trước) B Bài toán áp dụng Bài 1: a) Hãy thiết lập phương trình chuyển động tên lửa Vận tốc tương đối Vr khí khỏi tên lửa xem không đổi Khối lượng tên lửa thay đổi theo thời gian theo... max  2g Bài : Một tên lửa không chịu tác dụng lực hấp dẫn vũ trụ, chuyển động nhanh dần theo quỹ đạo thẳng Khối lượng vỏ tên lửa thiết bị M thời điểm t khối lượng nhiên liệu chứa tên lửa m =