phương trình tham số,phương trình đường thẳng

Hoàn thành ngày 17/02/2015 Thân tặng GV: Hà Quang Nhị PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG r r r Vectơ u ≠ đgl vtcp ( ∆ ) giá u song song trùng với ( ∆ )  di qua M ( x0 ; y0 )  x = x0 + u1t r có phương trình tham số là:   vtcp u = ( u1 ; u2 )  y = y0 + u2t ( ∆ ) :  ( 1) Khi cho t giá trị cụ thể ta tìm điểm thuộc đường thẳng ( ∆ ) r Nếu ( ∆ ) có vtcp u = ( u1 ; u2 ) ( ∆ ) có hệ số góc k = Chú ý: u1 ≠ u2 ≠ pt ( 1) viết lại là: x − x0 y − y0 = u1 u2 u2 u1 ( u1 ≠ ) ( ) phương trình đgl phương trình tắc đường thẳng (trường hợp a = b = pt tắc) PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG r r r Vectơ n ≠ đgl vtpt đường thẳng ( ∆ ) giá n vuông góc với ( ∆ )  di qua M ( x0 ; y0 ) r có phương trình tổng quát là: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) =  vtpt n = ( a; b ) ( ∆ ) :  Muốn tìm điểm thuộc ( ∆ ) cần cho x giá trị cụ thể vào pt ( ∆ ) tìm y ngược lại (cho y tìm x) r r r Nếu ( ∆ ) có vtpt n = ( a; b ) ( ∆ ) có vtcp u = ( −b; a ) u = ( b; − a ) Bài tập 1: Viết phương trình tham số đường thẳng ( ∆ ) trường hợp sau: r a) Qua M ( 1; −2 ) có vtcp u = ( 2; −3) r b) Qua gốc tọa độ O có vtcp u = ( −3;5 ) r c) Qua N ( 3; ) có vtpt n = ( −3;7 ) d) Qua M ( 4;1) ; N ( 4; ) e) Qua M ( −5; −8 ) có hệ số góc k = −3 f) Qua Q ( 2;1) song song với đường thẳng d có pt: x + y − = g) Qua P ( −1;1) vuông góc với đường thẳng d có pt: x − y + = giải  qua M ( 1; −3)  x = + 2t r có phương trình tham số là:   y = −3 − t vtcp u = ( 2; −1) x −1 y + = phương trình tắc ( ∆ ) là: −1 a) ( ∆ ) :   qua O ( 0;0 ) r có phương trình tham số là: vtcp u = ( −3;5 )  r r c) ( ∆ ) có vtpt n = ( −3;7 ) ⇒ ( ∆ ) có vtcp u = ( 7;3) b) ( ∆ ) :   x = −3t   y = 5t  qua N ( 3; )  x = + 7t r có phương trình tham số là:  vtcp u = ( 7;3)  y = + 3t uuuur d) ( ∆ ) qua M ( 4;1) ; N ( 4; ) nên có vtcp MN = ( 0;1) ( ∆ ) :  M  qua M ( 4;1)  x=4 uuuur nên có phương trình tham số là:   y = 1+ t vtcp MN = ( 0;1) uuuur uuuur Chú ý: ( ∆ ) qua M ( 4;1) ; N ( 4; ) nên có vtcp MN NM ; viết ptts N ( ∆ ) :  ( ∆ ) qua điểm M điểm N r e) ( ∆ ) có hệ số góc k = −3 nên ( ∆ ) có vtcp u = ( 1; −3)  qua M ( −5; −8 )  x = −5 + t ( ∆ ) :  r nên có phương trình tham số là:   vtcp u = ( 1; −3)  y = −8 − 3t r f) ( d ) có vtpt n = ( 2;1) r ( ∆ ) song song với đường thẳng d có pt: x + y − = nên ( ∆ ) có vtpt là: n = ( 2;1) r ⇒ ( ∆ ) có vtcp là: u = ( 1; −2 )  qua Q ( 2;1)  x = 2+t ( ∆ ) :  r nên có ptts là:  vtcp u = ( 1; −2 )  y = − 2t r r g) ( ∆ ) n = ( 2;1) có vtpt n = ( 2; −3) ( ∆ ) vuông góc với đường thẳng d có pt: x − y + = nên ( ∆ ) có vtcp là: r ∆ u = ( 2; −3)  qua P ( −1;1)  x = −1 + 2t ( ∆ ) :  r nên có ptts là:  vtcp u = ( 2; −3)  y = − 3t Chú ý: Hai đường thẳng song song với vtcp (vtpt) đường thẳng vtcp (vtpt) đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc với vtcp (vtpt) đường thẳng vtpt (vtcp) đường thẳng Bài tập 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng ( ∆ ) trường hợp sau: r a) Qua M ( 1;3) có vtpt n = ( 2;5 ) r b) Qua M ( 1; ) có vtcp u = ( 3;7 ) ∆ d d c) Qua M ( 4;1) ; N ( 5;3) d) Qua M ( −5; −8 ) có hệ số góc k = −3 e) Qua M ( 2;5 ) song song với đường thẳng d : x + y − = f) Qua M ( 2;5 ) vuông góc với đường thẳng d : x + y − = g) Qua A ( 5;0 ) ; B ( 0; ) Giải r a) ( ∆ ) qua M ( 1;3) có vtpt n = ( 2;5 ) nên có phương trình tổng quát là: ( x − 1) + ( y − 3) = ⇔ x + y − 17 = r r b) ( ∆ ) có vtcp u = ( 3;7 ) ⇒ ( ∆ ) có vtpt n = ( 7; −3) Phương trình tổng quát ( ∆ ) là: ( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − y − = uuuur r c) ( ∆ ) qua M ( 4;1) ; N ( 5;3) nên có vtcp MN = ( 1; ) ⇒ ( ∆ ) có vtpt n = ( 2; −1) Phương trình tổng quát ( ∆ ) là: ( x − ) − 1( y − 1) = ⇔ x − y − = d) Cách 1: ( ∆ ) có hệ số góc k = −3 nên phương trình ( ∆ ) có dạng: y = −3x + m ( ∆ ) qua M ( −5; −8 ) nên: −8 = −3 ( −5 ) + m ⇒ m = −23 Vậy pt ( ∆ ) là: y = −3 x − 23 hay x + y + 23 = Chú ý: Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k có dạng: y = kx + m Cách 2: ( ∆ ) qua M ( −5; −8 ) có hệ số góc k = −3 nên pt ( ∆ ) là: y − ( −8 ) = −3 ( x − ( −5 ) ) ⇔ x + y + 23 = e) Cách 1: ( ∆ ) song song với đường thẳng d : x + y − = ⇒ ( ∆ ) có vtpt r n = ( 3; ) Phương trình tổng quát ( ∆ ) là: ( x − ) + ( y − ) = ⇔ x + y − 26 = Cách 2: ( ∆ ) song song với đường thẳng d : x + y − = nên phương trình ( ∆ ) có dạng: x + y + c = ( ∆ ) qua điểm M ( 2;5 ) nên: 3.2 + 4.5 + c = ⇒ c = −26 Vậy phương trình tổng quát ( ∆ ) là: x + y − 26 = f) Cách 1: ( ∆ ) vuông góc với đường thẳng d : x + y − = nên ( ∆ ) có vtcp là: r u = ( 3; ) r ⇒ ( ∆ ) có vtpt n = ( 4; −3) Phương trình tổng quát ( ∆ ) là: ( x − ) − ( y − ) = ⇔ x − y + = Cách 2: ( ∆ ) vuông góc với đường thẳng d : x + y − = nên phương trình ( ∆ ) có dạng: x − y + c = ( ∆ ) qua điểm M ( 2;5 ) nên: 4.2 − 3.5 + c = ⇒ c = Vậy phương trình tổng quát ( ∆ ) là: x − y + = Chú ý: Đường thẳng ( ∆ ) / / d : ax + by + c = (a,b,c hệ số cho trước) nên pt ( ∆ ) có dạng: ax + by + d = (với d hệ số ta cần xác định) Đường thẳng ( ∆ ) ⊥ d : ax + by + c = (a,b,c hệ số cho trước) nên pt ( ∆ ) có dạng: bx − ay + d = (với d hệ số ta cần xác định) uuur g) ( ∆ ) qua A ( 5;0 ) ; B ( 0; ) nên ( ∆ ) có vtcp AB = ( −5; ) ⇒ ( ∆ ) có vtpt là: r n = ( 2;5 ) Phương trình tổng quát ( ∆ ) là: ( x − ) + ( y − ) = ⇔ x + y − 10 = x y + = ⇔ x + y − 10 = Bài tập 3: Cho tam giác ABC với A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) ; C ( 1;1) Viết phương trình Hoặc: Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn: tổng quát cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH tam giác ABC; đường trung trực cạnh AB Giải Phương trình cạnh AB: uuur Đường thẳng AB qua A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) nên có vtcp AB = ( −10; −6 ) ⇒ đường r thẳng AB có vtpt là: n = ( 6; −10 ) Phương trình tổng quát AB là: ( x − ) − 10 ( y − ) = ⇔ x − 10 y + 26 = Phương trình đường trung tuyến AM:   M trung điểm BC nên M  − ;0 ÷       uuuur  13 13  r   AM =  − ; −5 ÷ ⇒ AM có vtpt n =  5; − ÷ 2    Đường trung tuyến AM qua A ( 4;5 ) ; M  − ;0 ÷ nên AM có vtcp Phương trình tổng quát đường trung tuyến AM là: ( x − 4) − 13 ( y − 5) = ⇔ 10 x − 13 y + 25 = Phương trình đường cao AH: uuur Đường cao AH qua A ( 4;5 ) có vtpt BC = ( 7; ) Phương trình tổng quát đường cao AH là: ( x − ) + ( y − ) = ⇔ x + y − 38 = Phương trình đường trung trực AB: Gọi K trung điểm AB nên K ( −1; ) Gọi ( ∆ ) đường trung trực AB ⇒ ( ∆ ) qua điểm K ( −1; ) có vtpt uuur AB = ( −10; −6 ) Phương trình tổng quát ( ∆ ) là: −10 ( x + 1) − ( y − ) = ⇔ −10 x − y + = ⇔ x + y − = Bài toán: Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng ∆ (Tìm tọa độ điểm H ∈ ( ∆ ) cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ∆ Cách 1: Bước 1: Viết pt đường thẳng d qua A d vuông góc với ∆ Bước 2: Gọi H hình chiếu A ∆ Khi H = ∆ ∩ d Bước 3: A′ điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ∆ H trung điểm AA′  x = x0 + u1t  y = y0 + u2t Cách 2: Nếu pt ∆ cho dạng tham số:  Bước 1: Gọi H hình chiếu A ∆ H ∈ ( ∆ ) ⇒ H ( x0 + u1t ; y0 + u2t ) ⇒ uuur tọa độ AH uuur r uuur r Bước 2: Do AH ⊥ ∆ nên AH ⊥ u∆ ⇔ AH u∆ = ⇒ t ⇒ tọa độ H Bước 3: A′ điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ∆ H trung điểm AA′ A ax + by + c = Cách 3: Nếu pt ∆ cho dạng tổng quát: H Gọi H ( xH ; yH ) hình chiếu điểm A ∆  H ∈∆  AH ⊥ ∆ H ∈ ∆ ⇒ axH + byH + c = (1) uuur r AH ⊥ ∆ ⇔ AH = ( xH − xA ; yH − y A ) phương với n = ( a; b ) Khi  Do đó: b ( xH − x A ) − a ( yH − y A ) = (2) Giải (1) (2) ta tọa độ điểm H Bài tập 4: Cho đường thẳng ( ∆ ) : x − y + = điểm A ( 4;1) a) Tìm tọa độ hình chiếu A ( ∆ ) b) Tìm điểm A′ điểm đối xứng A qua ( ∆ ) Giải a) + Gọi H hình chiếu A ( ∆ ) Đường thẳng AH ⊥ ( ∆ ) ⇒ pt AH có dạng: x + y + c = AH qua A nên: 2.4 + + c = ⇒ c = −9 Vậy phương trình AH là: x + y − = + H = AH ∩ ( ∆ ) A’ ∆ 14  x=  x + y − =    14 17  ⇔ ⇒H ; ÷ Tọa độ H nghiệm hệ:  5 5 x − y + =  y = 17  b) A′ điểm đối xứng A qua ( ∆ ) ⇔ H trung điểm AA′  x A + x A′  x = ′ A  xH =   29  ⇔ ⇔ ⇒ A′  ; ÷ 5   y = y A + y A′  y ′ = 29 A H    Bài toán: Lập phương trình đường thẳng ( d1 ) đối xứng với đường thẳng ( d ) qua I + Bước 1: Lấy điểm A thuộc ( d ) ; gọi A’ điểm đối xứng A qua I (tức I trung điểm AA’) + Bước 2: Viết pt đường thẳng ( d1 ) qua điểm A’ song song với ( d ) Bài tập 5: Cho điểm I ( 1;1) đường thẳng ( d ) : x − y + = Viết phương trình tổng quát đường thẳng ( d1 ) đối xứng với đường thẳng ( d ) qua điểm I A’ Giải Dễ thấy A ( 0;1) ∈ ( d ) ; gọi A′ điểm đối xứng với A qua I suy A′ ( 2;1) d1 Vì ( d1 ) / / ( d ) nên phương trình d1 có dạng: x − y + c =  I Vậy pt đường thẳng ( d1 ) là: x − y = CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Với ∆ cho dạng tổng quát: ( ∆ ) : ax + by + c = Để chuyển dạng tham số ta thực theo bước sau: r r a) ∆ có vtpt n = ( a; b ) ⇒ ∆ có vtcp là: n = ( b; − a ) b) Lấy điểm A thuộc ∆ (cho x tìm y cho y tìm x) r c) Viết pttq ∆ với ∆ qua A có vtpt n = ( b; − a ) A ( d1 ) qua A′ ( 2;1) nên: − 2.1 + c = ⇒ c = d  x = x0 + u1t  y = y0 + u2t Với ∆ cho dạng tham số:  + Để chuyển ∆ dạng tổng quát ta khử t từ hệ ta nhận pt tổng quát r từ pt tham số ta lấy điểm thuộc ∆ tìm vtcp u = ( u1 ; u2 ) ⇒ vtpt r n = ( u2 ; −u1 ) viết pt tổng quát ∆ + Để chuyển dạng tắc ta rút t từ hệ nhận pt tắc  x − x0  u =t  x = x0 + u1t x − x0 y − y0  ⇔ ⇔ =  y − y u u2  y = y0 + u2t  =t  u2 x − x0 y − y0 = Với ∆ cho dạng tắc: u1 u2 + Để chuyển dạng tổng quát: ta đơn giản pt nhận pt tổng quát x − x0 y − y0 = ⇔ u2 x − u1 y − u2 x0 + u1 y0 = u1 u2 + Để chuyển dạng tham số ta sử dụng tham số trung gian t nhận ptts  x − x0  u =t  x = x0 + u1t x − x0 y − y0  = =t ⇔ ⇔ u1 u2  y = y0 + u t  y − y0 = t  u2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng d , d ′ có phương trình: d : ax + by + c = 0; d ′ : a′x + b′y + c′ = Trong trường hợp a′, b′, c′ khác ta có: a b + d cắt d ′ ⇔ ≠ , d cắt d ′ tọa độ giao điểm d , d ′ nghiệm a′ b′ hệ:  ax + by + c =   a′x + b′y + c′ = a b c + d Pd ′ ⇔ = ≠ a ′ b′ c ′ a b c + d ≡ d′ ⇔ = = a′ b′ c′  Cho hai đường thẳng d , d ′ có phương trình:  x = x′ + u ′t ′  x = x0 + u1t d : ; d′ :   y = y0 + u2t  y = y0′ + u2′t ′  x + u t = x′ + u ′t ′ 1 Ta xét hệ:   y0 + u2t = y0′ + u2′t ′ a) Nếu hệ có nghiệm ( x; y ) d cắt d’ b) Nếu hệ vô nghiệm d Pd ′ c) Nếu hệ có vô số nghiệm d ≡ d ′ Bài tập 6: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau tìm giao điểm (nếu có) chúng: a) d : x + y − = ; d ′ : x + y + = b) d : x − y + = ; d ′ : x − y + = c) d : x + 10 y − 108 = ; d ′ : x + y − 54 =  x = −2t  x = + 3t ′ ; d′ :   y = + 6t ′  y = −3t  x = 2t ;d′ : x + y − = e) d :  y = + t d) d :  Giải a) Ta có: ≠ d cắt d’    x + y − =  x = ⇔ Tọa độ giao điểm nghiệm hệ:  4 x + y + =  y = −19   −2 ≠ Vậy d//d’ b) Ta có: = −4 10 −108 c) Ta có: = = d ≡ d ′ 54  −2t = + 3t ′  t =1 ⇔ d) Xét hệ:   −3t = + 6t ′ t ′ = −1 Vậy d cắt d’ A ( −2; −3) e) Hướng dẫn: đưa d d’ dạng (tham số tắc làm tương tự trên) Bài toán: Tìm đường thẳng d: ax + by + c = điểm M cho MA+MB nhỏ nhất, với điểm A B cho trước không thuộc đường thẳng d  Xác định ( axA + by A + c ) ( axB + byB + c )  Khả 1: ( axA + by A + c ) ( axB + byB + c ) A,B phía d + Gọi A’ điểm đối xứng với A qua đường thẳng d B ′ ′ + Ta có MA + MB = MA + MB ≥ A B A hàng ⇔ M = d ∩ A′B Do ( MA + MB ) = A′B đạt A’, B, M thẳng A d M  M  B H A’  M d Bài tập 7: Cho hai điểm A ( 0; ) ; B ( 2; −2 ) đường thẳng d có pt: x − y − = Tìm đường thẳng điểm M cho MA + MB nhỏ Giải Ta có: ( − − 1) ( + − 1) = −9 < ⇒ A, B khác phía d Ta có: MA + MB ≥ AB Do ( MA + MB ) nhỏ ⇔ A, B, M thẳng hàng ⇔ M = d ∩ AB Phương trình đường thẳng AB là: x + y − =  x − y −1 =  x =1 ⇔ ⇒ M ( 1;0 ) 2 x + y − = y =  x = −2 + t Bài tập 8: Cho đường thẳng ( ∆ ) :  Tìm điểm M ∈ ( ∆ ) cách điểm  y = −1 + 3t Tọa độ M nghiệm hệ:  A ( 3,5 ) khoảng M ∈ ( ∆ ) ⇒ M ( −2 + t ; −1 + 3t ) Giải Theo giả thiết MA = ⇔ MA2 = 25 ⇔ ( − t ) + ( − 3t ) = 25 2  t =1  49  10t − 46t + 36 = ⇔  18 Vậy có hai điểm M cần tìm là: M ( −1; ) ; M  ; ÷ t = 5   KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 1) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = điểm M ( x0 ; yo ) Khi khoảng cách từ điểm M cho trước đến ∆ tính công thức: d ( M , ∆ ) = ax0 + by0 + c a + b2 2) Phương trình hai đường phân giác Cho hai đường thẳng cắt nhau: ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ; ∆ : a2 x + b2 y + c2 = Khi phương trình hai đường phân giác góc tạo ∆1 ; ∆ là: a1 x + b1 y + c1 a12 + b12 =± a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 3) Lưu ý: + Nếu phương trình đường thẳng cho dạng tham số, tắc ta trước hết phải đưa dạng tổng quát + Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng Bài tập 9: Tìm khoảng cách từ điểm M ( 1; −2 ) đến đường thẳng sau: a) ( ∆1 ) : 3x + y + 15 =  x = 15 + 12t  y = + 5t b) ( ∆ ) :  Giải a) d ( M , ∆1 ) = xM + yM + 15 = − + 15 =2 32 + 42  x = 15 + 12t x − 15 y − ⇔ = ⇔ x − 12 y − = b) ( ∆ ) :  12  y = + 5t d ( M , ∆2 ) = Bài tập 10: Tìm khoảng cách hai đường thẳng song song ( ∆1 ) : x + y − = 0; ( ∆ ) : x + y + = Giải Lấy M ( 0;5 ) ∈ ( ∆1 ) Vậy d ( ∆1 , ∆ ) = d ( M , ∆ ) = Bài tập 11: Tìm điểm nằm đường thẳng ( ∆1 ) : 3x + y − = có khoảng cách từ đến ( ∆ ) : x + y − = Xét M ( x0 ; y0 ) ∈ ( ∆1 ) ⇒ 3x0 + y0 − = ⇒ y0 = − 3x0 Vậy M ( x0 ;6 − x0 ) Theo giả thiết: d ( M , ∆ ) = ⇔ x0 + y0 − = ⇔ x0 + ( − x0 ) − = 5  x = ( y0 = )  −5 x0 + 10 = ⇔ −5 x0 + 10 = ⇔  ⇔  −5 x0 + 10 = −5  x0 = ( y0 = −3) Vậy có hai điểm M cần tìm là: M ( 1;3) ; M ( 3; −3) Bài tập 12: Cho M ( 1; ) ; N ( 3; −1) ; P ( 2;3) Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua P đồng thời cách M,N Giải r Gọi n = ( a, b ) vtpt ( ∆ ) Phương trình ( ∆ ) : a ( x − ) + b ( y − 3) = ( ∆ ) cách M,N nên: d ( M , ∆) = d ( N, ∆) ⇔ a.1 + b.2 − 2a − 3b a + b2 = (a + b ≠ ) ⇔ ax + by − 2a − 3b = a.3 + b ( −1) − 2a − 3b a2 + b2  2a − 3b = ( 1)  −a − b = a − 4b ⇔ − a − b = a − 4b ⇔  ⇔  − a − b = −a + 4b  5b = ( ) Trường hợp chọn a=3,b=2 ta pt đường thẳng ∆ : 3x + y − 12 = Trường hợp chọn a=1,b=0 ta pt đường thẳng ∆ : x − = Bài tập 13: Cho d : x + y − = 0; d ′ : 3x + y + = a) Chứng minh d cắt d’ b) Lập phương trình hai đường phân giác góc tạo d d’ Giải a) Vì: ≠ nên d cắt d’ b) Phương trình hai đường phân giác góc tạo d d’ là:  x + y − = 3x + y + x − y + = x + 3y − 3x + y + =± ⇔ ⇔ 10 10  x + y −1 =  x + y − = − ( 3x + y + ) Bài tập 14: Lập phương trình đường phân giác góc A ∆ABC biết A ( 2;0 ) ; B ( 4;1) ; C ( 1; ) Giải + Phương trình cạnh AB: x − y − = + Phương trình cạnh AC: x + y − = + Phương trình hai đường phân giác góc A:  x + 3y − = x − 2y − 2x + y − =± ⇔ 5 3 x − y − = (d) ( d ′) + Xét đường phân giác ( d ) : x + y − = Thế tọa độ điểm B vào vế trái d : t1 = + 3.1 − = > Thế tạo độ điểm C vào vế trái d : t2 = + 3.2 − = > Vì t1.t > nên B C nằm phía d ⇒ d đường phân giác Vậy đường phân giác góc A là: d ′ : x − y − = Bài tập 15: Cho tam giác ABC với A ( 1;0 ) ; B ( 2; −3) ; C ( −2; ) ; ∆ : x − y + = Xét xem ( ∆ ) cắt cạnh tam giác ABC Giải t A = − 2.0 + = t A t B > t B = − 2.(−3) + = ⇒ t A tC < tC tB < tC = −2 − 2.4 + = −9 ( ∆ ) cắt cạnh AC,BC; không cắt cạnh AB GÓC HỢP BỞI HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; ∆ : a2 x + b2 y + c2 = Khi góc hai đường thẳng ∆1 ; ∆ tính theo công thức: r r n1.n2 a1.a2 + b1.b2 cos ( ∆1 , ∆ ) = r r = n1 n2 a1 + b12 a22 + b22 r r đó: n1 = ( a1 , b1 ) ; n2 = ( a2 , b2 ) vtpt ∆1 , ∆ Chú ý: r r ∆1 ⊥ ∆ ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1a2 + b1b2 = Nếu: ∆1 : y = k1 x + b1 ; ∆ : y = k2 x + b2 ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k1.k2 = −1 Bài tập 16: Tìm góc ϕ hợp hai đường thẳng sau: a) d : x + y + = 0; d ′ : x − y + = b) d : x − y + = 0; d ′ : x − y + = Giải r r a) d có vtpt n1 = ( 1; ) ; d’ có vtpt n2 = ( 1; −3) 1.1 + ( −3) ⇒ ϕ = 450 10 Bài tập 17: Cho đường thẳng ∆ : x − y + = Lập phương trình đường thẳng d qua M ( 1; ) tạo với ( ∆ ) góc 450 cosϕ = = r + Gọi n1 = ( a; b ) vtpt của d Giải Phương trình đường thẳng d có dạng: a ( x − 1) + b ( y − ) = ⇔ ax + by − a − 2b = r + ∆ : 3x − y + = có vtpt n2 = ( 3; −2 ) (a + b2 ≠ 0) r r n 3a − 2b n2 = + Vì góc hợp d ∆ 450 nên: cos45 = r r ⇔ n1 n2 a + b 13 ⇔ 26 a + b2 = 3a − 2b ⇔ 26 ( a + b ) = ( 9a − 12ab + 4b ) ⇔ 10a − 48ab − 10b = ( *)  a=5 + Cho b=1 ⇒ ( *) ⇔ 5a − 24a − = ⇔  a=−  Vậy có đường thẳng cần tìm là: d : x + y − = 0; d ′ : − x + y − 11 =0 Bài tập 18: Cho điểm M ( 2;3) Viết pt đường thẳng cắt hai trục tọa độ A B cho ABM tam giác vuông cân đỉnh M Hướng dẫn: + Giả sử d đường thẳng cần tìm d cắt hai trục Ox,Oy A ( a;0 ) ; B ( 0; b ) uuur uuur  MA.MB = + Tam giác ABM vuông cân đỉnh M ⇔   MA = MB  −2a − 3b + 13 = 2  a − b − 4a + 6b = + Từ ta có hệ pt:  ( 1) rút (1) vào (2) suy pt ( 2) Vậy không tồn đường thẳng d cần tìm BÀI TẬP VẬN DỤNG: Viết phương trình tham số, pt tổng quát ∆ trường hợp sau: r a) Qua M ( 1;3) có vtpt n = ( 2;5 ) b) Qua A ( 1; −2 ) ; B ( 4; ) c) Qua A ( 5;0 ) ; B ( 0; ) d) Qua I ( −2;5 ) có hệ số góc k = −3 Cho tam giác ABC với A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) ; C ( 1;1) Viết phương trình cạnh AB, BC, CA, đường trung tuyến BM, đường cao BK tam giác ABC; đường trung trực đoạn AB Cho đường thẳng ∆ : x − y + = điểm A ( 4;1) a) Tìm tọa độ hình chiếu A lên ∆ b) Tìm điểm A′ đối xứng điểm A qua ∆  14 17   29  ĐS: H  ; ÷ ; A′  ; ÷  5 5  Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) d : x + y − = 0; d ′ : x + y + = b) d : x − y + = 0; d ′ : x − y + = c) d : x + 10 y − 108 = 0; d ′ : x + y − 54 =  x = 5+t x−4 y+7 ;d′ : =  y = −3 + 2t  x = 5+t ;d′ : x + y − = e) d :  y = − − t  d) d :  ĐS: a) d cắt d’; b) d//d’ c) d ≡ d’ d) d cắt d’ e) d ≡ d’  x = −2 + t Tìm điểm A ∈ d : AB = 10 với B ( 2;1)  y = −1 + 3t Cho đường thẳng d :  ĐS: A ( −1; )  x = −2 − 2t  y = + 2t Tìm hình chiếu vuông góc điểm M ( 3;1) đường thẳng ∆ :  1 3 ĐS: H  ; − ÷ 2 2 x−2 y+3 = Hãy viết phương trình đường thẳng: −2 a) Đi qua A song song với ∆ b) Đi qua A vuông góc với ∆ Cho điểm A ( −5; ) ; ∆ : ĐS: a) x + y + = b) x − y + = Trên đường thẳng ∆ : x − y + = , tìm điểm M cách hai điểm E ( 0; ) ; F ( 4; −9 )  133 97  ;− ÷  18 18  ĐS: M  − PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn: 2 Phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) = R Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình x + y − 2ax − 2by + c = với điều kiện a + b − c > phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R = a + b − c Phương trình tiếp tuyến đường tròn 2 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − ) = biết tiếp tuyến qua điểm M ( ) − 1;1 Giải + Đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − ) = có tâm I ( −1; ) ; bán kính R = 2 r + Gọi ∆ phương trình tiếp tuyến đường tròn với vtpt n = ( a; b ) ( ) Phương trình ∆ : a x − + + b ( y − 1) = (a + b2 ≠ ) + Để ∆ tiếp tuyến đường tròn, điều kiện cần đủ d ( I , ∆ ) = R tức là: d ( I, ∆) = ( ) a −1 − + + b ( − 1) a + b2 ( = − 5a + b a + b2 ⇔ − 5a + b = 5a + 5b ⇔ − 5a + b ) = = 5a + 5b  M  R ∆ b=0  ⇔  2b + 5a = + Trường hợp b = , chọn a = ta phương trình tiếp tuyến ∆1 : x − + = Trường hợp 2b + 5a = , ta chọn a = ⇒ b = − (thường chọn a hệ số b chọn b hệ số a) ta phương trình tiếp tuyến ∆2 : 2x − y + − = Để viết phương trình tiếp tuyến đường tròn, ta thường dung điều kiện sau: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường tròn Tuy nhiên, để viết phương tình tiếp tuyến đường tròn điểm M cho trước thuộc đường tròn, ta giải theo cách minh họa toán sau đây: 2 Bài toán 2: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + ) = 25 điểm M ( 4; ) a) Chứng tỏ điểm M nằm đường tròn cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm M Giải I a) Thay tọa độ điểm M vào vế trái  2 phương trình đường tròn ta được: ( − 1) + ( + ) = 25 = VP  Vậy điểm M nằm đường tròn M b) Gọi ∆ tiếp tuyến đường tròn điểm M uuur ∆ đường thẳng qua M ( 4; ) nhận MI = ( −3; −4 ) làm vtpt Phương trình ∆ là: −3 ( x − ) − ( y − ) = ⇔ 3x + y − 20 = Từ hai toán trên, để nhận dạng đề yêu cầu viết pttt đường tròn điểm M hay qua điểm M ta cần tọa độ điểm M vào pt đường tròn, tọa độ điểm M thỏa mãn pt đường tròn thuộc toán ngược lại Nhận dạng phương trình đường tròn tìm tâm& bán kính đường tròn Cách 1: Đưa pt dạng x + y − 2ax − 2by + c = , a + b − c > pt cho phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) ; bán kính R = a + b − c (lưu ý hệ số đứng trước x , y tỉ lệ 1:1 ) Cách 2: Đưa pt dạng ( x − a ) + ( y − b ) = R pt cho pt đường tròn 2 tâm I ( a; b ) , bán kính R (cách em phải sử dụng thành thạo đẳng thức 2 ( a − b) ;( a + b) ) Bài tập 1: Xét xem phương trình sau có phải phương trình đường tròn không? Nếu có tìm tâm bán kính: a) x + y − x + y − = b) x + y − x + y + 14 = c) x + y − x − 16 y + 19 = d) x + y − x − y − = Giải 2 a) Phương trình ( C ) có dạng x + y − 2ax − 2by + c =  −2a = −2  a =   với  −2b = ⇒ b = −2  c = −4  c = −4   Ta có: a + b − c = + + = > Vậy pt cho pt đường tròn Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = = ∆ a=2  b) Phương trình ( C ) có dạng x + y − 2ax − 2by + c = với b = −3  c = 14  2 Ta có a + b − c = −1 < Vậy pt cho không pt đường tròn 2 c) x + y − x − 16 y + 19 = ⇔ x + y − x − y + 19 =0   a =1  Phương trình ( C ) có dạng x + y − 2ax − 2by + c = với  b =  19 c =  2 Ta có: a + b − c = + + = > Vậy pt cho pt đường tròn Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; ) , bán kính R = d) Phương trình cho không pt đường tròn (hệ số x ; y khác nhau) VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Cách 1: Dùng tâm bán kính Tìm tọa độ tâm I ( a; b ) bán kính R đường tròn ( C ) Viết pt đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R Cách 2: Dùng phương trình tổng quát (dạng khai triển) Phương trình đường tròn ( C ) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = Lập hệ pt với ẩn số a,b,c Giải hệ tìm a,b,c suy pt đường tròn Chú ý: + Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R 2 + Cho đường tròn ( C ) tâm I ( a, b ) bán kính R ( C ) tiếp xúc với Ox ⇔ R = b ( C ) tiếp xúc với Oy ⇔ R = a Bài tập 2: Viết pt đường tròn ( C ) trường hợp sau: a) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) ; bán kính R = b) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) qua điểm A ( 3; −3) c) ( C ) có tâm I ( 5;1) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + y − = d) ( C ) có đường kính AB với A ( 1; ) ; B ( 3;0 ) e) ( C ) qua điểm A ( 5;3) ; B ( 6; ) ; C ( 3; −1) f) ( C ) có tâm nằm đường thẳng ( ∆ ) : x − y − = tiếp xúc với hai trục tọa độ g) ( C ) qua điểm M ( 2; −1) tiếp xúc với trục tọa độ h) ( C ) qua điểm A ( 1, ) ; B ( 3;1) tâm I nằm ( d ) : x + y + = Giải a) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) ; bán kính R = Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + y = 2 b) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) bán kính R = IA = 12 + ( −3) = 10 Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + y = 10 c) ( C ) có tâm I ( 5;1) bán kính R = d ( I , ∆ ) = + 2.1 − 1+ = Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 2 d) ( C ) có tâm I trung điểm đoạn AB nên I ( 2; ) bán kính R = IA = + = Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = Nhận xét: R = IA = IB = AB e) Cách 1: Phương trình đường tròn ( C ) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = với điều kiện a + b − c > ( C ) qua A ( 5;3) nên: −10a − 6b + c + 34 = ( C ) qua B ( 6; ) nên: −12a − 4b + c + 40 = ( C ) qua C ( 3; −1) nên: −6a + 2b + c + 10 =  −10a − 6b + c + 34 = a =   Giải hệ: −12a − 4b + c + 40 = ⇔  b =  −6a + 2b + c + 10 = c = 12   Vậy ( C ) có phương trình là: x + y − x − y + 12 = Cách 2: Gọi I ( a; b ) tâm đường tròn ( C ) ( C ) qua điểm A,B,C nên ta có: IA = IB = IC  IA = IB a = ⇒ I ( 4;1) ta   IA = IC b =1 Bán kính R = IA ( = IB = IC ) = Giải hệ:  Vậy đường tròn cần tìm có phương trình ( x − ) + ( y − 1) = Để lập pt đường tròn qua điểm A,B,C (đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) ta cần cân nhắc lựa chọn hai hướng sau: 2 Hướng 1: Giả sử pt đường tròn ( C ) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = (1) với điều kiện a + b − c > Từ đk A,B,C thuộc ( C ) ta hệ pt với ẩn a,b,c Thay a,b,c vào (1) ta pt đường tròn ( C ) Hướng 2: Dựa vào dạng đặc biệt tam giác: tâm I trung diem BC  + Nếu ∆ABC vuông A thì: ( C ) :  BC R=  tâm I tâm ∆ABC  + Nếu ∆ABC cạnh a thì: ( C ) :  a R=   f) + Phương trình đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) bán kính R có dạng: ( x − a ) + ( y − b) = R2 + I ( a; b ) ∈ ( ∆ ) ⇔ a − b − = + ( C ) tiếp xúc với Ox,Oy ⇔ b = 2 (1) a =R  b=a b = a ⇔ b = − a + Với b = a thay vào (1) ta a = ( ⇒ b = 4, R = ) Phương trình đường tròn cần tìm là: ( x − ) + ( y − ) = 16 2 4 4 Với b = −a thay vào (1) ta được: a =  ⇒ b = − ; R = ÷ 3    4  4 16 Phương trình đường tròn cần tìm là:  x − ÷ +  y + ÷ = 3  3  g) + Phương trình đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) bán kính R có dạng: ( x − a) + ( y − b) = R2 + Đường tròn ( C ) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy ⇔ a = b = R + Trường hợp 1: a = b 2 Khi pt ( C ) : ( x − a ) + ( y − a ) = a Điểm M ( 2; −1) ∈ ( C ) ⇔ ( − a ) + ( −1 − a ) = a ⇔ a − 2a + = ⇒ pt vô nghiệm + Trường hợp 2: a = −b 2 Khi pt ( C ) : ( x − a ) + ( y + a ) = a 2 a =1 a = 2 Điểm M ( 2; −1) ∈ ( C ) ⇔ ( − a ) + ( −1 + a ) = a ⇔ a − 6a + = ⇔  2 2 Với a = ⇒ b = −1, R = ta pt ( C1 ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 2 Với a = ⇒ b = −5, R = ta pt ( C2 ) : ( x − ) + ( y + ) = 25 h) Giả sử pt đường tròn ( C ) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = với đk: a + b2 − c > A ( 1; ) ∈ ( C ) ⇔ − 2a − 4b + c = B ( 3;1) ∈ ( C ) ⇔ 10 − 6a − 2b + c = Tâm I ( a; b ) ∈ d ⇔ 7a + 3b + =     a=2  − 2a − 4b + c =    Giải hệ 10 − 6a − 2b + c = ⇔  b = − (thỏa)  a + 3b + =   c = −10     2 Vậy pt đường tròn ( C ) : x + y − x + y − 10 = 2  IA = IB Cách 2: Sử dụng  để tìm a,b; bán kính R=IA  I ( a; b ) ∈ d Bài tập 3: Cho hai đường thẳng d1 : x + y − = 0; d : x − y + = Lập pt đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1 ; d có tâm thuộc đường thẳng d : x − y −1 = Giải + Giả sử đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) bán kính R + I ( a; b ) ∈ d ⇔ a − b − = ( 1) + Đường tròn ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng cắt d1 ; d suy tâm I thuộc đường phân giác góc tạo ( d1 ) ; ( d ) Phương trình hai đường phân giác góc tọa ( d1 ) ; ( d ) là: ∆ : y − = 2x + y −1 2x − y + =± ⇔ +1 1+  ∆2 : 4x + = ( 2) + Nếu I ∈ ∆1 ⇔ 2b − = Giải hệ tạo (1) (2) ta a = ; b = R = d ( I , d1 ) ( hoac = d ( I , d ) ) = 11  5  3 121 Phương trình đường tròn ( C1 ) :  x − ÷ +  y − ÷ = 2  2 20  + Tương tự I ∈ ∆ … 2 1   121  Phương trình đường tròn ( C2 ) :  x + ÷ +  y + ÷ = 4  4 80  Bài tập 4: Cho hai đường thẳng d1 : x + y + = 0; d : x + y + = Lập pt đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d : x + y + = tiếp xúc với hai đường thẳng ( d1 ) ; ( d ) Giải + Giả sử đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) bán kính R + d1//d2 ⇒ d ( d1 , d ) = R = ⇒ R = + ( C ) tiếp xúc với d1 ; d ⇒ d ( I , d1 ) = d ( I , d ) ⇔ a + 2b + = + I ∈ d ⇔ a + b +1 = ( 2) ( 1) + Giải hệ tạo (1) (2) ta a = 4; b = −5 ⇒ I ( 4; −5 ) + Vậy đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y + ) = 2 Bài tập 5: Viết phương trình đường tròn ( C ) qua điểm A ( −1; −2 ) tiếp xúc với đường thẳng d : x − y − = điểm M ( 1; ) Giải C d Vì ( ) tiếp xúc với ( ) điểm M suy tâm I thuộc đường thẳng ∆ có pt  qua M ( 1; )  x = + 7t ⇒ I ( + 7t ; − t ) r  vtcp n = ( 7; −1)  y = − t ( C ) tiếp xúc với ( d ) ⇔ IM = R ⇔ IM = R = 50t cho bởi: ∆ :  2 Khi pt đường tròn ( C ) có dạng: ( x − − 7t ) + ( y − + t ) = 50t 2 Điểm A ( −1; −2 ) ∈ ( C ) ⇔ t = −1 ⇒ I ( −6;3) ; R = 50 Vậy phương trình đường tròn ( C ) : ( x + ) + ( y − 3) = 50 2 2 Bài tập 6: Cho đường tròn ( C ) : x + y − x − y + = Lập pt đường tròn ( C1 ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua điểm E ( 1; ) Giải Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) ; bán kính R = Gọi I1 tâm đường tròn ( C1 ) Vì ( C ) ( C1 ) đối xứng với qua điểm E ( 1; ) ⇒ E trung điểm II1 ⇒ I1 ( 0;3) tâm I1 ( 0;3) ( C1 ) :   R = Phương trình đường tròn ( C ) : x + ( y − 3) = 2 2 Bài tập 7: Cho đường tròn ( C ) : x + y − x − y + = Lập phương trình đường tròn ( C1 ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng d : x − = Giải + Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; ) ; R = + Gọi I1 ( x1 ; y1 ) tâm đường tròn trung diem E cua II1 thuoc ( d ) II1 ⊥ d  Vì ( C ) ( C1 ) đối xứng qua d suy ra:  + x1   E ∈ d −2=0 x =  ⇔  uur ⇔ r ⇔  II1 ⊥ vtcp ud  y1 = ( x1 − 1) + ( y1 − ) =  + Phương trình đường tròn ( C1 ) : ( x − 3) + ( y − ) = PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Cho đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) , bán kính R 2 + Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đường tròn ( C ) điểm M ∈ ( C ) uuur Ta có ∆ qua điểm M nhận IM làm vtpt + Các trường hợp lại dùng điều kiện tiếp xúc: Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R 2 Bài tập 8: Cho đường tròn ( C ) : x + y + x − y = a) Tìm tâm bán kính ( C ) b) Viết pt tiếp tuyến ( C ) điểm A ( 1;1) c) Viết pt tiếp tuyến ( C ) qua điểm B ( 4;7 ) d) Viết pt tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x + y + = e) Viết pt tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x + y − = Giải a) ( C ) có tâm I ( −1; ) ; bán kính R = b) Gọi ∆ tiếp tuyến cầnuurtìm ∆ qua A ( 1;1) nhận IA = ( 2; −1) làm vtpt Phương trình ∆ là: ( x − 1) − 1( y − 1) = ⇔ x − y − = r c) + Gọi ∆ phương trình tiếp tuyến đường tròn với vtpt n = ( a; b ) Phương trình ∆ : a ( x − ) + b ( y − ) = (a + b2 ≠ )  M  R ∆ ⇔ ax + by − 4a − 7b = + ( C ) tiếp xúc với ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R tức là: −a + 2b − 4a − 7b d ( I, ∆) = = a + b2 2 ⇔ −5a − 5b = 5a + 5b ⇔ 25a + 25b + 50ab = 5a + 5b ⇔ 2a + 2b + 5ab = ( *)  a=−  + Chọn b = ⇒ ( *) trở thành: 2a + 5a + = ⇔   a = −2 + Với a = − , pttt phải tìm là: x − y + 10 = Với a = −2 , pttt phải tìm là: x − y − = d) ∆ / / d : 3x + y + = ⇒ phương trình ∆ có dạng: x + y + c =  c = 5 −5 = ⇔ 5+ c = 5 ⇔  25 c = −5 − Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ∆1 : x + y + 5 − = 0; ∆ : x + y − 5 − = e) ∆ ⊥ d : x + y − = ⇒ phương trình ∆ có dạng: x − y + c = −1 − + c c = 10 = ⇔ −5 + c = ⇔  ∆ tiếp xúc với ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ c=0 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ∆1 : x − y + 10 = 0; ∆ : x − y = ∆ tiếp xúc với ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ −3 + + c Bài tập 9: Cho đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 20 Lập phương trình tiếp tuyến 2 đường tròn ( C ) có hệ số góc Giải + Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) ; bk R = + Gọi ∆ tiếp tuyến đường tròn + Đường thẳng ∆ có hệ số góc nên pt ∆ có dạng: y = 2x + m ⇔ 2x − y + m = + Đường thẳng ∆ tiếp tuyến đường tròn −1+ m  m=7 ⇔ d ( I, ∆) = R ⇔ = ⇔ m + = 10 ⇔  +1  m = −13 Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: ∆1 : x − y + = 0; ∆ : x − y − 13 = Bài tập 10: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 10 Lập pt tiếp tuyến 2 đường tròn ( C ) biết tiếp tuyến tạo với d : x + y − = góc 450 Giải 2 + Giả sử tiếp tuyến ∆ có phương trình: ax + by + c = ( a + b ≠ ) (1) ∆ tiếp tuyến ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ a −b +c a + b2 = 10 + ∆ tạo với d góc 450 2  2   2a + b ⇔ cos45 = ⇔  = ÷ ÷ ÷ 2 2 +1 a + b    +1 a + b   a = −3b 2 3a + 8ab − 3b = ⇔   a=b  −3b − b + c  c = 14b = 10 ⇔ c − 4b = 10 b ⇔  + Với a = −3b ⇒ c = −6b ( −3b ) + b 2a + b Với c = 14b thay vào (1) ta được: −3bx + by + 14b = ⇔ −3 x + y + 14 = Với c = −6b thay vào (1) ta được: −3bx + by − 6b = ⇔ x − y + = b + Với a = , giải tương tự BÀI TẬP VẬN DỤNG: Trong pt sau, pt pt đường tròn, rõ tâm bán kính: a) x + y − x − y − = b) x + y − x + y + 12 = c) − x − y − x − y − = d) x + y − x − y − = e) x + y − x − y − = Lập phương trình đường tròn trường hợp sau: a) Tâm I ( 1; −3) ; bán kính R = ĐS: ( x − 1) + ( y + 3) = 2 b) Đi qua điểm A ( 3; ) tâm gốc tọa độ ĐS: x + y = 25 c) Đường kính AB với A ( 1;1) B ( 3;5 ) ĐS: ( x − ) + ( y − 3) = 2 d) Đi qua điểm A ( 3;1) ; B ( 5;5 ) tâm I nằm trục tung ĐS: x + ( y − ) = 25 e) Đi qua ba điểm A ( 7;1) ; B ( −3; −1) ; C ( 3;5 ) ĐS: x + y − x − 22 = f) Tâm I ( 5;6 ) tiếp xúc với đường thẳng d : x − y − = ĐS: ( x − ) + ( y − ) = 2 g) Tâm I ( 1;3) qua điểm A ( 3;1) ĐS: ( x − 1) + ( y − 3) = 2 h) Tâm I ( −2; ) tiếp xúc với đường thẳng d : x + y − = ĐS: ( x + ) + y = i) Đi qua điểm M ( 2;1) tiếp xúc với hai trục tọa độ 25 2 ; ( x − ) + ( y − ) = 25 j) Đi qua hai điểm M ( 1;1) ; N ( 1; ) tiếp xúc với trục Ox ĐS: ( x − 1) + ( y − 1) = 2 2 5 25 5 25   ĐS: ( x + 1) +  y − ÷ = ; ( x − 3) +  y − ÷ = 2 2   k) Đi qua điểm A ( 3;1) ; B ( 5;5 ) tâm I nằm trục hoành Ox ĐS: ( x − 10 ) + y = 50 l) Đi qua điểm A ( 0;1) ; B ( 1;0 ) tâm I nằm d : x + y + = ĐS: x + y + x + y − = m) Đi qua điểm A ( 1;1) ; B ( 3; −2 ) ; C ( 4;3) (gợi ý: tam giác ABC vuông A)  7  1 13 ĐS:  x − ÷ +  y − ÷ = 2  2   3  3 n) Đi qua điểm A 1; ÷ ÷; B 1; − ÷ ÷; C ( 0;0 ) (gợi ý tam giác ABC đều)     2  ĐS:  x − ÷ + y = 3  o) ( C ) qua điểm M ( 4; ) tiếp xúc với trục tọa độ ĐS: ( x − ) + ( y − ) = 4; ( x − 10 ) + ( y − 10 ) = 100 2 2 Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn x + y = trường hợp sau: a) Tiếp tuyến song song với d : 3x − y + 17 = b) Tiếp tuyến vuông góc với d : x + y − = c) Tiếp tuyến qua điểm A ( 2; −2 ) ĐS: a) x − y + 10 = 0;3x − y − 10 = b) x − y + = 0; x − y − = c) y + = 0; x − = Bài tập 4: Cho điểm M ( 2;3) Lập pt tiếp tuyến đường tròn ( C ) qua điểm M a) ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = b) ( C ) : x + y − x + y − 11 = ĐS: a) x − y + = ; 2 b) y − = [...]... ĐS: M  − PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn: 2 2 Phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với điều kiện a 2 + b 2 − c > 0 là phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R = a 2 + b 2 − c Phương trình tiếp tuyến của đường tròn 2 2 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp... cho là pt đường tròn Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; 2 ) , bán kính R = 1 2 d) Phương trình đã cho không là pt đường tròn (hệ số của x 2 ; y 2 khác nhau) VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Cách 1: Dùng tâm và bán kính Tìm tọa độ tâm I ( a; b ) và bán kính R của đường tròn ( C ) Viết pt đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 Cách 2: Dùng phương trình tổng quát (dạng khai triển) Phương trình đường tròn... đường thẳng d1 : 2 x + y − 1 = 0; d 2 : 2 x − y + 2 = 0 Lập pt đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1 ; d 2 và có tâm thuộc đường thẳng d : x − y −1 = 0 Giải + Giả sử đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) và bán kính R + I ( a; b ) ∈ d ⇔ a − b − 1 = 0 ( 1) + Đường tròn ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng cắt nhau d1 ; d 2 suy ra tâm I thuộc đường phân giác của góc tạo bởi ( d1 ) ; ( d 2 ) Phương trình. .. ta được phương trình tiếp tuyến ∆1 : x − 5 + 1 = 0 Trường hợp 2b + 5a = 0 , ta có thể chọn a = 2 ⇒ b = − 5 (thường chọn a là hệ số của b hoặc chọn b là hệ số của a) ta được phương trình tiếp tuyến ∆2 : 2x − 5 y + 2 − 5 = 0 Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, ta thường dung điều kiện sau: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng... Gọi I1 là tâm của đường tròn ( C1 ) Vì ( C ) và ( C1 ) đối xứng với nhau qua điểm E ( 1; 2 ) ⇒ E là trung điểm của II1 ⇒ I1 ( 0;3) tâm I1 ( 0;3) ( C1 ) :   R = 2 Phương trình đường tròn ( C ) : x 2 + ( y − 3) = 2 2 2 2 Bài tập 7: Cho đường tròn ( C ) : x + y − 2 x − 4 y + 3 = 0 Lập phương trình đường tròn ( C1 ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng d : x − 2 = 0 Giải + Đường tròn ( C )... x + 3 y − 6 = − ( 3x + y + 2 ) Bài tập 14: Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của ∆ABC biết A ( 2;0 ) ; B ( 4;1) ; C ( 1; 2 ) Giải + Phương trình cạnh AB: x − 2 y − 2 = 0 + Phương trình cạnh AC: 2 x + y − 4 = 0 + Phương trình hai đường phân giác của góc A:  x + 3y − 2 = 0 x − 2y − 2 2x + y − 4 =± ⇔ 5 5 3 x − y − 6 = 0 (d) ( d ′) + Xét đường phân giác ( d ) : x + 3 y − 2 = 0 Thế tọa... , ∆ ) = R ⇔ −3 + 8 + c Bài tập 9: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) = 20 Lập phương trình tiếp tuyến 2 2 của đường tròn ( C ) có hệ số góc bằng 2 Giải + Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) ; bk R = 2 5 + Gọi ∆ là tiếp tuyến của đường tròn + Đường thẳng ∆ có hệ số góc bằng 2 nên pt ∆ có dạng: y = 2x + m ⇔ 2x − y + m = 0 + Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn 4 −1+ m  m=7 ⇔ d ( I, ∆) =... 2;1)  y = −1 + 3t 5 Cho đường thẳng d :  ĐS: A ( −1; 2 )  x = −2 − 2t  y = 1 + 2t 6 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M ( 3;1) trên đường thẳng ∆ :  1 3 ĐS: H  ; − ÷ 2 2 x−2 y+3 = Hãy viết phương trình đường thẳng: 1 −2 a) Đi qua A và song song với ∆ b) Đi qua A và vuông góc với ∆ 7 Cho điểm A ( −5; 2 ) ; ∆ : ĐS: a) 2 x + y + 8 = 0 b) x − 2 y + 9 = 0 8 Trên đường thẳng ∆ : x − y + 2 = 0 ,... M vào vế trái của  2 2 phương trình đường tròn ta được: ( 4 − 1) + ( 2 + 2 ) = 25 = VP  Vậy điểm M nằm trên đường tròn M b) Gọi ∆ là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M uuur ∆ là đường thẳng đi qua M ( 4; 2 ) và nhận MI = ( −3; −4 ) làm vtpt Phương trình của ∆ là: −3 ( x − 4 ) − 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 3x + 4 y − 20 = 0 Từ hai bài toán trên, để nhận dạng đề yêu cầu viết pttt của đường tròn tại điểm M hay... là tâm của đường tròn trung diem E cua II1 thuoc ( d ) II1 ⊥ d  Vì ( C ) và ( C1 ) đối xứng qua d suy ra:  1 + x1   E ∈ d −2=0 x = 3  ⇔  uur ⇔ 1 2 r ⇔  II1 ⊥ vtcp ud  y1 = 2 ( x1 − 1) 0 + ( y1 − 2 ) 1 = 0  + Phương trình đường tròn ( C1 ) : ( x − 3) + ( y − 2 ) = 2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Cho đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) , bán kính R 2 2 + Viết phương trình tiếp ... với vtcp (vtpt) đường thẳng vtcp (vtpt) đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc với vtcp (vtpt) đường thẳng vtpt (vtcp) đường thẳng Bài tập 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng ( ∆ ) trường... ý: + Nếu phương trình đường thẳng cho dạng tham số, tắc ta trước hết phải đưa dạng tổng quát + Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng Bài... = Trên đường thẳng ∆ : x − y + = , tìm điểm M cách hai điểm E ( 0; ) ; F ( 4; −9 )  133 97  ;− ÷  18 18  ĐS: M  − PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn: 2 Phương trình đường tròn