I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI To¸n häc cã vai trò vị trí đặc biệt quan trọng khoa học kĩ thuật đời sống, giúp ng-ời tiếp thu cách dễ dàng môn khoa học khác có hiệu Thông qua việc học toán, học sinh nắm vững đ-ợc nội dung toán học ph-ơng pháp giải toán, từ vận dụng vào môn học khác môn khoa học tự nhiên Hơn Toán học sở ngành khoa học khác, toán học có vai trò quan trọng tr-ờng phổ thông, đòi hỏi ng-ời thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo để có đ-ợc ph-ơng pháp dạy học giúp học sinh học giải toán Với tốn cụ thể, tìm nhiều cách giải khác phong phú thú vị có cách giải làm cho tốn đơn giản hơn, đưa từ toán lạ thành toán quen thật ấn tượng Việc rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh việc làm thường xuyên quan trọng người dạy toán.Trong Toán học có nhiều đề tài lý thú, thiết thực cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào Đại học Trong viết chọn đường tròn khai thác phần nhỏ ứng dụng Trong chương trình hình học 10, em tiếp cận với đường tròn, tương giao đường tròn với đường thẳng Đường tròn phần quan trọng chương trình Tốn THPT ta thường bắt gặp toán đường tròn đề thi đại học Đề tài đường tròn có nhiều tốn hay Có nhìn qua khơng có màu sắc đường tròn ta áp dụng đường tròn để giải Trong khuôn khổ viết , tơi nêu ví dụ việc sử dụng phương trình tính chất đường tròn để giải biện luận hệ, phương trình, bất phương trình có chứa tham số Dĩ nhiên tốn dùng phương pháp đại số để làm tương đối phức tạp học sinh Yêu cầu tốn thường là: Tìm giá trị tham số để phương trình, hệ phương trình có nghiệm nhất, có nghiệm Thực tế cho thấy em làm dạng toán thường em lúng túng khơng xét hết trường hợp tham số, mắc sai lầm khơng đáng có Tuy nhiên số tập ta sử dụng phương trình tính chất đường tròn (hình tròn) mặt phẳng tọa độ để khảo sát tương giao hình tốn nói trở nên đơn giản nhiều Năm học 2010-2011, phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10 Tuy lớp chọn khối A, đa số học sinh nhận thức chậm, kĩ làm kém, tư chưa rõ ràng Chính mà lần lên lớp, thân trăn trở, làm để truyền đạt cho em dễ hiểu? Dạy cho em kĩ làm toán đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp , khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề: “Khảo sát tương giao đường tròn đường thẳng để giải hệ, phương trình, bất phương trình có tham số” Qua nội dung chuyên đề mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp số kỹ biết đưa tốn từ ngơn ngữ đại số ngơn ngữ hình học để giải Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm biến đổi Hy vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp toán giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ,hệ phương trình, hệ chứa bất phương trình có chứa tham số việc xét tương giao đường tròn đường thẳng II.NỘI DUNG Bài 1: Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất: x + y − x 2(1) x − y + a = 0(2) Lời giải: Ta có (1) ( x − 1) + y Bất phương trình biểu diễn hình tròn tâm I(1;0) bán kính R= mặt phẳng tọa độ Oxy Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng Để hệ có nghiệm đường thẳng : x − y + a = tiếp xúc với đường tròn có phương trình: ( x − 1) + y2 = d ( I , ) = R 1− − a = a = −1 − 6; a = −1 + Bài 2:Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất: x + y + xy + m m x + y Lời giải : Hệ tương đương với 2 xy + m (1 − ( x + y ) ) xy + m − ( x + y ) x + y x + y ( x − 1) + ( y − 1) m + 1( 3) x + y 1( ) Với m+1 hay m hệ vô nghiệm Với m+1 > hay m>-1, BĐT(3) biểu diễn hình tròn tâm I(1;1),bán kính R= m + mặt phẳng tọc độ Oxy BPT(4) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ đường thẳng x+y=1.Hệ có nghiệm đường thẳng x+y=1 tiếp xúc với đường tròn ( x − 1) + ( y − 1) = m +1 1 = m +1 m = − 2 Bài 3: Tìm a để hệ sau có nghiệm: 4 x − y + 2 x + y = a Lời giải: Nếu a hệ vơ nghiệm Nếu a> số nghiệm hệ (nếu có) số giao điểm nửa mặt phẳng biểu diễn 4x-3y+2 đường tròn tâm (0;0) bán kính R= a Vậy hệ có nghiệm a OH a (với H chân đường vng góc hạ từ O xuống 25 đường thẳng 4x-3y+2= 0) Bài 4: Cho hệ: ( x − 1) + ( y − 1) 2(5) x − y + m = 0(6) Xác định m để hệ nghiệm với x 0; 2 Lời giải: Tập hợp điểm (x;y) thỏa mãn (5) điểm nằm đường tròn ( x −1) + ( y − 1) 2 = với tâm I(1;1) bán kính R = Tập hợp điểm 9x;y) thỏa mãn (6) điểm nằm đường thẳng có phương trình : x-y+m=0 Gỉa sử A cho xA = A(0;m); B cho xB = B(2;2+m) Đế hệ có nghiệm với x 0; 2 đoạn thẳng AB nằm đường tròn(I;R).Lúc 2 IA R ( − 1) + ( m − 1) m=0 2 IB R ( − 1) + ( + m − 1) Bài 5: Cho hệ phương trình x + y − x = 0(7) x + ay − a = 0(8) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt 1 Lời giải: Pt(7) x − + y = 2 Vậy tập nghiệm Pt(7) tọa độ điểm nằm đường tròn tâm I ;0 bán kính R= Tập nghiệm pt(8) tọa độ điểm nằm đường thẳng x+ay-a=0 Họ đường thẳng di qua điểm A(0;1) cố định.Ta có A nằm ngồi đường tròn (I;R), từ A dựng hai tiếp tuyến với đường tròn (I;R) 4 Phương trình tiếp tuyến là: x=0 x + y − = qua A(0;1) Để hệ có hai nghiệm phân biệt đường thẳng x+ay-a=0 phải cắt đường tròn (I;R) hai điểm phân biệt Vậy đường thẳng x+ay-a=0 phải nằm hai tiếp tuyến Lúc 0 m = Vậy để phương trình cho có nghiệm −1 m Từ toán ta phát triển thành tốn sau Bài 7: Tìm GTLN hàm số: y = x + a − x (a 0) Lời giải: Đặt t = a − x2 x2 + t = a x+t-y=0 Vậy hệ sau có nghiệm x + t = a (1) x + t − y = 0(2) suy khoảng cách từ tâm đường tròn(1) đến đường thẳng (2) nhỏ bán kính −y x= a − 2a y 2a max y = a a Bài 8: Hãy biện luận số nghiệm hệ sau theo m x + y = 4(1) 2 x + y = m (2) + m=0 hệ vơ nghiệm + m ta có: Số nghiệm hệ số giao điểm đường tròn x + y = m2 đường thẳng () : x + y = có d(O, ( ) ) = −4 =2 Vậy ta có: + Nếu m 2 hệ vơ nghiệm + Nếu m = 2 hệ có nghiệm nhất: x = y = +Nếu m 2 hệ có hai nghiệm phân biệt Bài 9: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm a − x + x + a a(a 0)( I ) Lời giải: Đặt u = a + x điều kiện u,v v = a − x Khi bất phương trình chuyển thành hệ: u + v a (1) 2 u + v = 2a (2) + (1) tập điểm nằm phía (d): u+v=a + (2) tập điểm cung tròn hình (C) : u2+v2=2a Do để (I) có nghiệm d(O,(d))