skkn đường tròn bàng tiếp

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc - MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số:………………………… Tên sáng kiến: “Đường tròn bàng tiếp” (Nguyễn Thị Thanh Loan,Nguyễn Thanh Diệu, ,@THPT Trần Văn Ơn) Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy Tốn học Mơ tả chất sáng kiến: 3.1.Tình trạng giải pháp biết: Trong kì thi học sinh giỏi, câu hình học câu khơng thể thiếu đề thi Nó đòi hỏi người làm phải có trí tưởng tượng cách nhìn tinh tế hình Đây câu hỏi mang nặng tính tư Do đó, hình học thường xem câu hỏi khó đề thi Chúng ta thấy rằng, đề thi năm gần đây, toán đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tốn quen thuộc thường gặp Bên cạnh đó, khơng lần bắt gặp tốn “đường tròn bàng tiếp” Tuy nhiên, tài liệu viết đường tròn bàng tiếp Có vài toán thi đưa lên trang mạng Đây điều trở ngại cho việc tự học học sinh chuyên toán, học sinh tham gia học bồi dưỡng Đứng trước khó khăn đó, giáo viên, người giúp em chiếm lĩnh tri thức, ta phải làm gì? Sáng kiến kinh nghiệm “ Đường tròn bàng tiếp” viết để giải tình hình thực tế Mong muốn giúp học sinh có tư liệu với kiến thức tảng Trang “Đường tròn bàng tiếp” Tạo bước đệm để em tự học, tự nghiên cứu tiến đến thành công kì thi học sinh giỏi 3.2.Nội dung, giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: + Mục đích: Tìm hướng giải cho tốn chứng minh liên quan đến đường tròn bàng tiếp + Nội dung sáng kiến: ●Vị trí vai trò : Các tốn hình học phẳng chiếm vị trí đặc biệt quan trọng, xuất hầu hết kỳ thi chọn học sinh giỏi toán thường xuất dạng tốn khó đề Điều tất nhiên gặp toán học sinh phải nhiều thời gian, công sức để giải ● Yêu cầu chung: Để chứng minh tốn hình phẳng liên quan đến đường tròn bàng tiếp học sinh phải nắm vững kiến thức hình phẳng ● Thực trạng vấn đề: Qua khảo sát thực tiễn thực tế giảng dạy tơi thấy học sinh bộc lộ nhiều yếu nhược điểm: -Kỹ giải toán hình học phẳng yếu; -Khơng biết phân biệt dạng tập; -Học sinh yếu khâu vận dụng kiến thức để giải tốn… Từ thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn học sinh từ kiến thức ● Nội dung: -Giới thiệu định nghĩa đường tròn bàng tiếp - Nêu tính chất đường tròn bàng tiếp tốn áp dụng cho tính chất vừa nêu - Các tập rèn luyện nâng cao Trang ● Bài học kinh nghiệm: giáo viên cần khai thác nguồn kiến thức toán học cho phù hợp nhằm tạo hứng thú cho học sinh Tùy theo mục tiêu, nội dung tiết học đặc điểm học sinh mà giáo viên áp dụng nhằm tránh gây nhàm chán cho đối tượng học sinh không theo kịp 3.3 Khả áp dụng sáng kiến: áp dụng rộng rãi cho giáo viên Toán học sinh khá, giỏi Toán Giáo viên sử dụng phần nội dung để lồng ghép vào số tiết học Toán lớp, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán… 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu áp dụng sáng kiến: Qua việc áp dụng đề tài, giáo viên không nhiều thời gian để xây dựng chứng minh hình phẳng, em học sinh có tiến nhận thức kĩ vận dụng kiến thức, kĩ thực hành Từ em chủ động, sáng tạo việc học ngày u thích mơn Tốn Tóm lại, kết đạt cho thấy tính hiệu quả, tính khả thi, tính thực tiễn khả ứng dụng đề tài 3.5 Các bước thực hiện: Bước 1: Tập hợp tài liệu hoi từ nguồn: hội thảo khoa học , tạp chí tốn học tuổi trẻ, đề thi học sinh giỏi Bước 2: Đọc nghiên cứu tài liệu để từ rút số tính chất thường áp dụng “ Đường tròn bàng tiếp” Bước 3:Dựa vào tính chất để tìm hệ thống tập có liên quan Hệ thống tập giúp học sinh dễ dàng thấy vận dụng tính chất tốn cụ thể Bước 4: Soạn tập nâng cao tiếp cận kì thi học sinh giỏi 3.6 Tài liệu kèm theo: phụ lục minh họa số tính chất liên quan đến đường tròn bàng tiếp hệ thống tốn liên quan Trang PHỤ LỤC MINH HỌA MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ BÀI TỐN VỀ ĐƯỜNG TRỊN BÀNG TIẾP Trước vào định nghĩa “ Đường tròn bàng tiếp” ta giải toán sau: Bài toán mở đầu: Cho tam giác ABC , chứng minh đường phân giác góc hai đường phân giác ngồi hai góc lại đồng quy Chứng minh: Gọi d1 đường phân giác góc A, d2, d3 đường phân giác ngồi góc B, C tam giác ABC Gọi J giao điểm d2, d3 Suy J cách đường thẳng AB, AC Do đó, J thuộc d1 Vậy, ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy J Khi đó, J cách đường thẳng d1, d2, d3 Gọi A1, B1, C1 hình chiếu J lên đường thẳng BC, AC, AB Khi đó, đường tròn qua ba điểm A1, B1, C1 đươc gọi đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC  Định nghĩa “Đường tròn bàng tiếp” Đường tròn bàng tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với hai phần kéo dài hai cạnh Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc với hai đường phân giác ngồi hai góc lại Trang Từ định nghĩa ta giải số toán sau Bài toán 1: Chứng minh tam giác, đường tròn ngoại tiếp qua trung điểm đoạn thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp tam giác Bài toán đơn giản giúp học sinh hiểu định nghĩa đường tròn bàng tiếp, tạo bước khởi động nhẹ nhàng Phân tích: �  900 Do đó, để chứng minh D trung điểm đoạn IJ ta cần chứng Ta có IBJ minh BD = DI Trang Giải: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp J tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC Suy I, J nằm đường phân giác góc A tam giác ABC Gọi D giao điểm đường thẳng IJ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC �  DBC �  CBI �  DAC �  IAB �  IAB �  BID � Ta có DBI �  900 Do đó, D trung điểm IJ Suy ra, BD = DI Mà IBJ Nhận xét: Trong toán học sinh cần vận dụng kiến thức đường phân giác phân giác giải vấn đề Bài tốn 2: Cho tam giác ABC, gọi D trung điểm cạnh BC I, J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD ADC Gọi K, L tâm đường tròn bàng tiếp góc D tam giác ABD ADC Chứng minh bốn điểm I, J, K, L đồng viên Phân tích Trang Để chứng minh bốn điểm I, J, K, L đồng viên ta chứng minh DI DK  DJ DL Để chứng minh đẳng thức đó, điều trước tiên nghĩ đến sử dụng hai tam đồng dạng Do đó, cần quan sát hình vẽ vận dụng kiến thức để tìm tam giác đồng dạng Nhận xét: Bài tốn khơng phải tốn khó khơng phải toán đơn giản Học sinh thể nhanh trí cách quan sát hình vẽ � � nhận KBD AID Mấu chốt tồn tốn giải Nếu xem tính chất tốn trở thành tốn q đơn giản Do đó, q trình giải tốn biết thêm số tính chất hình q trình giải tốn đơn giản Giải: �  900  � � � ABD  900  (1800  BAD ADB)  1800  � AID  � ADI  � AID Ta có KBD 2 � Mà � ADI  KDI Suy tam giác DIA đồng dạng với tam giác DBK Trang Do đó, DI.DK = DB.DA (1) Tương tự, ta chứng minh DJ.DL = DC.DA (2) Theo giả thiết DB = DC (3) Từ (1), (2) (3) ta suy DI DK  DJ DL Vậy, bốn điểm I, J, K, L đồng viên Dưới tơi giới thiệu số tích chất quan trọng “ Đường tròn bàng tiếp”  Các tính chất “Đường tròn bàng tiếp” tốn áp dụng Tính chất 1: Cho tam giác ABC có J tâm đường tròn bàng tiếp góc A Khi đó, JB  JC  BC.( AC  AB) Chứng minh: Gọi A1, B1, C1 tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc A với đường BC, Trang CA, AB Ta có JB  JC  BA12  RJ2  (CA12  RJ2 )  ( BA1  CA1 )( BA1  CA1 )  BC ( BC1  CB1 )  BC ( AC1  AB  AB1  AC )  BC ( AC  AB ) (vì AC1  AB1 ) Bài toán 3: Cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F điểm đối xứng B, C qua AC, AB, D  BF �CE Gọi K tâm đường ngoại tiếp tam giác DEF Chứng minh đường thẳng AK vng góc với BC Phân tích: Dựa vào tính chất đối xứng ta có AB, AC đường phân giác ngồi góc � , DCB � Do đó, A tâm đường tròn bàng tiếp góc D tam giác ABC CBD Suy ra, AB  AC  BC.( DC  DB) ( theo tính chất 1) Từ ta nghĩ tới việc chứng minh AK vng góc với BC theo định lí bốn điểm Tức là, ta cần chứng minh AB  AC  KA2  KB Trang Giải: Ta có KB  KC  ( KB  RK2 )  ( KC  RK2 ) �B /( K ) �C /( K )  BD.BF  CD.CE   BD.BF  CD.CE Mà BF = BC = CE (do tính chất đối xứng) Suy KB  KC  BC (CD  BD ) (1) Mặt khác,do tính chất đối xứng ta có AB, AC đường phân giác � , DCB � Do đó, A tâm đường tròn bàng tiếp góc D tam giác ABC góc CBD Suy ra, AB  AC  BC.( DC  DB) (2) Từ (1) (2) ta có AB  AC  KA2  KB Suy AK  BC Nhận xét: Rõ ràng, biết tính chất người làm nhận hướng giải toán Bài toán mở rộng thành tốn sau Nhưng trước tiên ta tìm hiểu thêm tích chất thú vị “ Đường tròn bàng tiếp” Tính chất 2: Cho tam giác ABC có J tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Khi đó, tứ giác ABOC nội tiếp Chứng minh: Trang 10 Ta có �  1800  � � )  (180  JCB � ) BAC ABC  � ACB  1800  (1800  JBC �  JCB � )  1800  2(1800  JBC �  1800  BOC �  1800  BJC Vậy, tứ giác ABOC nội tiếp Từ toán ta mở rộng thành toán sau: Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định Hai điểm B, C cố định A di chuyển cung lớn BC Gọi E, F điểm đối xứng B, C qua AC, AB Chứng minh đường thẳng qua A vuông góc với EF ln qua điểm cố định A thay đổi Phân tích: Trang 11 Mấu chốt tốn tìm điểm cố định Trong đề ta cần lưu ý đến điểm cố định B, C, O Từ mơ hình tốn nên ta gọi D giao điểm BF CE Theo tính chất ta có tứ giác DBOC nội tiếp Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Khi đó, K điểm cố định cần tìm Tiếp theo ta cần chứng minh IA vng góc với EF Tương tự tốn Giải: Gọi D giao điểm BF CE Theo tính chất ta có tứ giác DBOC nội tiếp Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Khi đó, K điểm cố định Ta cần chứng minh KA vng góc với EF Thật vậy, KE  KF  ( KE  RK2 )  ( KF  RK2 ) �E /( K ) �F /( K )  EC ED  FB.FD  BC ( ED  FD)  BC ( DC  DB )  AB  AC  AE  AF2 Trang 12 Suy điều phải chứng minh Nhận xét: Qua hai toán 3,4 ta thấy số toán mở rộng từ tốn gốc.Nếu thấy tốn gốc sở để ta giải tốn mở rộng Do q trình học giải tốn, khơng cần đáp án toán mà cần nghiền ngẫm thêm đề , hướng để đến lời giải, tốn liên quan gặp… từ rút kinh nghiệm làm riêng cho thân Tính chất 3: Cho tam giác ABC, gọi Ja , Jb , Jc tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C.Gọi A1, B1, C1 tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc A với cạnh BC, CA, AB; A2, B2, C2 tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc B với cạnh BC, CA, AB A3, B3, C3 tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc C với cạnh BC, CA, AB Khi đó, a) AB1  AC1  BA2  BC2  CA3  CB3  p ( p nửa chu vi tam giác ABC) b) BC3 = CB2 = p - a , AB2 = BA1 = p - c, CA1 = AC3 = p - b Chứng minh: Trang 13 a) Ta có AB1  AC1  AB  AC  BC  p � AB1  AC1  p Tương tự BA2  BC2  CA3  CB3  p b) Ta có BC3  BA  AC3  BA  AB3  BA  (CB3  CA)  c  ( p  b)  p  a Ta lại có CB2  CA  AB2  CA  AC2  b  ( p  c )  p  a Do đó, BC3 = CB2 = p – a Tương tự ta chứng minh AB2 = BA1 = p - c, CA1 = AC3 = p - b Nhận xét: Đây tính chất quan trọng “ Đường tròn bàng tiếp” Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu cách nhớ tính chất Dưới toán nhỏ để học sinh hiểu cách vận dụng tính chất Bài tốn 5: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F theo thứ tự tiếp điểm ba đường tròn bàng tiếp với ba cạnh BC, CA, AB Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy Phân tích Trang 14 Rõ ràng , ta nghĩ đến định ý Cêva Đồng thời kết hợp với tính chất có lời giải cho tốn Giải: Theo tính chất 3.b ta có DB EC FA p  c p  a p  b  1 DC EA FB p  b p  c p  a Suy DB EC FA  1 DC EA FB Áp dụng định lí Cêva cho tam giác ABC ta có ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy Nhận xét: Gọi N điểm đồng quy ba đường thẳng AD, BE, CF Khi đó, N gọi điểm Nagel tam giác ABC Tính chất 4: Cho tam giác ABC điều kiện sau tương đương: Trang 15 i) J thuộc đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC �  900  A ii) J thuộc đường phân giác góc A, nằm tam giác ABC BJC �  900  A iii) J thuộc đường phân giác góc B BJC  BÀI TẬP RÈN LUYỆN Cho tam giác ABC, gọi J tâm đường tròn bàng tiếp góc A Lấy E, F theo thứ tự thuộc tia đối tia CA, BA cho CE = BF = BC Gọi K tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác AEF Chứng minh JK vng góc với BC Nhận xét: Ý tưởng lời giải toán tương tự toán Gợi ý giải: Ta có KB  KC  ( KB  RK2 )  ( KC  RK2 ) �B /( K ) �C /( K )  BA.BF  CA.CE   BA.BF  CA.CE Trang 16 Mà CE = BF = BC Suy KB  KC  BC ( AC  AB) Theo tính chất ta lại có JB  JC  BC ( AC  AB) Do đó, KB  KC  JB  JC Vậy, JK vng góc với BC Trang 17 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc - ĐƠN YÊU CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Mã số:………………………… Kính gửi: Thường trực Hội đồng sáng kiến cấp tỉnh Chúng ghi tên đây: Ngày STT Họ tên tháng Nơi công tác năm sinh Nguyễn Thị Thanh Loan Nguyễn Thanh Diệu 09/11/1976 14/9/1983 Trường THPT Trần Văn Ơn Trường THPT Trần Văn Ơn Tỷ lệ đóng góp Chức Trình độ danh chun mơn Giáo viên Cử nhân Toán 50% Giáo viên Cử nhân Toán 50% vào việc tạo sáng kiến Là đồng tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến “ĐƯỜNG TRỊN BÀNG TIẾP” - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Tốn học - Mơ tả chất sáng kiến: + Tình trạng giải pháp biết: Trong kì thi học sinh giỏi, câu hình học câu khơng thể thiếu đề thi Nó đòi hỏi người làm phải có trí tưởng tượng cách nhìn tinh tế hình Đây câu hỏi mang nặng tính tư Do đó, hình học thường xem câu hỏi khó đề thi Chúng ta thấy rằng, đề thi năm gần đây, tốn đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tốn quen thuộc thường gặp Bên cạnh đó, khơng lần bắt gặp tốn “đường tròn bàng tiếp” Trang 18 Tuy nhiên, tài liệu viết đường tròn bàng tiếp Có vài toán thi đưa lên trang mạng Đây điều trở ngại cho việc tự học học sinh chuyên toán, học sinh tham gia học bồi dưỡng Sáng kiến kinh nghiệm “ Đường tròn bàng tiếp” viết để giải tình hình thực tế Mong muốn giúp học sinh có tư liệu với kiến thức tảng “Đường tròn bàng tiếp” Tạo bước đệm để em tự học, tự nghiên cứu tiến đến thành cơng kì thi học sinh giỏi + Mục đích sáng kiến: Tìm hướng giải cho tốn chứng minh hình học liên quan đến đường tròn bàng tiếp + Nội dung sáng kiến:  Giới thiệu định nghĩa đường tròn bàng tiếp  Nêu tính chất đường tròn bàng tiếp tốn áp dụng cho tính chất vừa nêu  Các tập rèn luyện nâng cao - Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: học sinh biết thêm vận dụng cách chứng minh bất đẳng thức nhiều biến, giáo viên xây dựng bất đẳng thức đối xứng đẹp mắt - Danh sách giáo viên tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: +Nguyễn Thanh Diệu: Giáo viên Toán trường THPT Trần Văn Ơn- Bến Tre + Nguyễn Thị Thanh Loan: Giáo viên Toán trường THPT Trần Văn Ơn- Bến Tre + Võ Anh Tuấn: Giáo viên Tốn trường THPT Trần Văn Ơn- Bến Tre Chúng tơi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Châu thành, ngày 15 tháng năm 2018 Người nộp đơn Nguyễn Thanh Diệu Trang 19 Trang 20 ... gọi đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC  Định nghĩa Đường tròn bàng tiếp Đường tròn bàng tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với hai phần kéo dài hai cạnh Tâm đường. .. tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C.Gọi A1, B1, C1 tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc A với cạnh BC, CA, AB; A2, B2, C2 tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc B với cạnh BC, CA, AB A3, B3, C3 tiếp. .. đây, toán đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tốn quen thuộc thường gặp Bên cạnh đó, khơng lần bắt gặp tốn đường tròn bàng tiếp Trang 18 Tuy nhiên, tài liệu viết đường tròn bàng tiếp Có