Đường tròn bàng tiếp trong tam giác

Gọi I và J là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A của tam giác ABC.. Các đường tròn bàng tiếp xúc với 3 cạnh tương ứng đỉnh lần lượt tại D, E, F.. Gọi D, E lần lượt là tiếp điể

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 1

Đường tròn bàng tiếp trong tam giác

A Đặt vấn đề

Đường tròn bàng tiếp trong tam giác là một trong những vấn đề thú vị của Hình học phẳng Là một trong những nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia môn Hình học phẳng, tôi quan tâm đến việc viết một đề tài

về vấn đề đường tròn bàng tiếp để bồi dưỡng đội tuyển HSGQG

Các bài toán liên quan đến đường tròn bàng tiếp là những bài toán hay

và khó Để giải quyết được các bài toán đó việc trước tiên là phải thông hiểu về đường tròn bàng tiếp trong tam giác Tiếp theo đó phải là việc trải nghiệm qua những bài toán áp dụng các tính chất của đường tròn bàng tiếp

B Nội dung đề tài

I Một số tính chất quan trọng của đường tròn bàng tiếp

TC1 Gọi I và J là tâm đường tròn

nội tiếp và bàng tiếp góc A của tam

giác ABC Đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC cắt đoạn thẳng IJ

tại K Ta có BI vuông góc với BJ

và BK = KI Suy ra KI = KJ

TC2 Cho tam giác ABC và các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C lần

lượt là (O r a; ), (a O r b; ), (b O r c; )c Với các tiếp điểm được cho bởi hình vẽ 2

Khi đó:

AD' + AF' = AB + BD + DC + CA = 2p

Mặt khác AD' = AF'  AD' = AF' = p

Như thế AD' = AF' = BE" = BF"= CE' = CD" = p

TC3 Cho tam giác ABC và các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C lần

lượt là (O r a; ), (a O r b; ), (b O r c; )c Với các tiếp điểm được cho bởi hình vẽ 2

TC4 Cho tam giác ABC Các đường tròn

bàng tiếp xúc với 3 cạnh tương ứng đỉnh lần

lượt tại D, E, F Khi đó 3 đường thẳng AD,

BE, CF đồng quy tại một điểm gọi là điểm

Nagel của tam giác ABC

J

D' D"

Oc

Ob

Oa A

N

B A

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 3

TC5 Đường tròn nội tiếp (I, r) tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB

C B

A

Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp (O) , ngoại tiếp (I) AI cắt

(O) tại G Đường thẳng qua G và vuông góc AI cắt BC tại F Gọi

D, E lần lượt là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B với AC và

đường tròn bàng tiếp góc C với AB Chứng minh IF// DE

Lời giải Gọi N là tiếp điểm của (I) với BC

Gọi K là giao của AI, ED Do GIF = GNC nên ta sẽ chứng minh

GNC IKD hay AKD  BNG

Gọi X là điểm thuộc AI sao cho EX // AD Ta có AEX  CGB

Từ đây ta có AKD BNG, suy ra đpcm

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn không cân có I là tâm đường tròn nội

tiếp Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Đường thẳng qua B

song song với IN cắt AC ở D, đường thẳng qua C song song với IM cắt

AB ở E Đường thẳng qua I song song với DE cắt BC ở F Gọi R là hình

chiếu của F lên AI

X K

N

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 5

1 Chứng minh rằng D, E lần lượt là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp

E

D

C B

A

b) Ngược của BT1 Giả sử đường thẳng qua I song song với DE cắt AB,

AC lần lượt tại H và K Cũng bằng biến đổi đại số, ta tính được tỉ lệ DE /

HK từ đó tính được tỉ lệ mà F chia đoạn BC

Gọi R’ là trung điểm của cung nhỏ BC và F’ là giao điểm của đường thẳng qua R’ vuông góc với AR’ với BC thì ta cũng tính được tỉ lệ R’ chia BC

Từ đó chứng minh được F trùng với F’, R trùng R’ và có đpcm

Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Đường trung trực của AH cắt các cạnh AB,

AC tương ứng tại D, E Chứng minh A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ODE

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của CH, BH với (O)

Ta chứng minh DA là phân giác góc ngoài tại đỉnh D của ΔODE (EA chứng minh tương tự)

Thật vậy, AB là đường trung trực của HM Mà DE là trung trực của AH ⇒DA = DH = DM Mà OA = OM nên DO là

D M

C B

A

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 7

Bài 4 Cho hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc ngoài nhau tại T

Một đường thẳng tiếp xúc với (I) tại X cắt (O) tại các điểm

A và B Gọi S là giao điểm thứ hai của (O) với XT Trên

cung TS không chứa A và B chọn môt điểm C Gọi CY là

tiếp tuyến từ C đến (I) với Y thuộc (I) sao cho đoạn CY

không cắt đoạn ST Gọi E là giao điểm của XY và SC

Chứng minh E là tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC

Giải.

Ta có △tam giác OST cân tại O, tam giac ITX cân tại I

và ∠ΔSTO = Δ∠ITX

⇒ΔIXT = ΔTSO  S//IX

Do đó S là trung điểm của cung AB chứa C

⇒ CE là phân giác ngoài của ∠ACB

Để kết thúc bài toán chỉ cần chứng minh AE là phân giác trong của

∠BAC , tức là phân giác CAX

Thật vậy, YT cắt (O) tại điểm thứ hai H, (HA) cắt XY tại

K Dễ thấy HS∥XY (so sánh góc qua tiếp tuyến trung của hai

đường tròn tại T ) Do TCE =SHT =TYE nên tứ giác TEYC

A

Do TAK =∠HST =∠TXK nên tứ giác AXKT nội tiếp

Do 1800 =ACE +∠SFA =∠ACE +∠SHA = ∠ACE +∠AKE nên

tứ giác AEKC nội tiếp

Gọi L là giao điểm của hai đường tròn (AXKT) và (TEYC)

Vì 1800 = ∠ELT +∠TYE =∠ELT +∠TXA =∠ELT +∠TLA

=ELA nên ba điểm A, E, L thẳng hàng

Vì 1800 = ∠TLK + ∠TXK = TLK + ∠TYC nên ba điểm L, K,

Giải

Gọi phân giác ngoài góc A cắt (O) tại K Ta dễ chứng minh BF = CE nên trung trực EF đi qua K Nếu tâm ngoại tiếp tam giác DEF thuộc (O) sẽ nằm ngoài tam giác DEF nên khi đó tam giác DEF tù Không mất tổng quát giả sử EDF tù Do tâm ngoại tiếp tam giác DEF thuộc trung trực

EF vậy tâm ngoại tiếp tam giác DEF phải là giao của trung trung trực EF

và (O) Giao điểm này phải nằm trong góc EDF nên giao điểm này chính

là K Vậy K là tâm ngoại tiếp tam giác DEF

K

O F

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 9

Dễ thấy các đường thẳng qua tâm bàng tiếp Ia, Ib, Ic lần lượt vuông góc với BC,CA, AB đồng quy tại điểm V Từ đó các tứ giác DFBV, DECV nội tiếp BVC =BV D +CV D =AFD +AED = 3600 −

BAC − EDF = 3600 − EKF − (1800 −1

chất đối xứng suy ra V F = BD = AE, V E = CD = AF Vậy tứ giác AEV

F là hình bình hành mà AEV = AFV = 900 Vậy AEV F là hình chữ nhật suy ra BAC = 900

Suy ra KCNIa nội tiếp  dpcm

iii) BICIa nội tiếp nên JIaC = IIaC = IBC=BMJ

ii) J có thuộc KH không ?

Bài 7 Định lí Paul Yiu về đường tròn bàng tiếp

Định lí: Cho tam giác ABC và các đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C tiếp xúc với 3 cạnh lần lượt tại M, N, P, Q, R, S Các đường thẳng MN,

PQ, RS giao nhau tại A1, B1, C1 Các đường thẳng NP, QR, MS giao nhau tại A2, B2, C2 Chứng minh rằng các bộ ba điểm (A, A1, A2), (B, B1, B2), (C, C1, C2) thẳng hàng và các đường thẳng qua chúng đồng quy

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 11

Chứng minh:

a) Gọi giao của PQ và MS với BC lần lượt là H và K

Áp dụng định lí Menelaus cho bộ 3 điểm (C2, R, Q) trong tam giác BMK

và bộ 3 điểm Q, C1, H trong tam giác BMN, ta được:

Các bộ 3 điểm còn lại chứng minh tương tự

b) Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của MN, RS với AC, AB

Như chứng minh ở trên ta có:

Bài 8 Điểm Schiffler

Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Khi đó 4 đường thẳng Euler của tam giác IBC, IAC, IAB và ABC đồng quy tại một điểm, gọi là điểm Schiffler của tam giác

Chứng minh:

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, G là trọng tâm tam giác, M

là trung điểm BC, G1 là trọng tâm tam giác IBC, AI cắt BC tại cắt (O) tại (J), (I) tiếp xúc với cạnh BC tại K, IG1 cắt OG tại S, cắt AM tại E

Rõ ràng J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC Do đó JG là đường thằng Euler của tam giác IBC

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác GOM với cát tuyến SEJ ta có:

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 13

Tương tự ta thấy các đường thẳng Euler của các tam giác IAC, IAB cũng cắt OG tại S (được xác định bởi hệ thức (1))

Vậy các đường thẳng Euler của 4 tam giác IAB, IBC, ICA và đồng quy tại

1 Đường tròn Euler tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp

Ta dễ dàng chứng minh được PO = 2EF

Vì AQP IDN Suy ra QP IN = MK DN (1)

Vì SDC SCA Suy ra SC 2 = SD.SA

Mặt khác, tam giác SCI cân đỉnh S nên SC = SI Suy ra SI 2 = SD.SA Chiếu vuông góc lên BC, ta có MN 2 = MD.MK

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 14

2

(4) 4

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

2 Đường tròn Euler tiếp xúc ngoài với các đường tròn bàng tiếp

Từ I a kẻ I a X a vuông góc với BC do I a S = SI nên X a M = MN

Cho tam giác ABC, Ia, Ib, Ic là tâm các đường tròn bàng tiếp Khi đó

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IaIbIc được gọi là điểm Bevan của tam

giác ABC Kí hiệu Ba

G

Sp

O I

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 15

Một số tính chất của điểm Bevan:

* Ta thấy rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC chính là trực

tâm của tam giác IaIbIc khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn chín điểm của tam giác IaIbIc suy ra O là trung điểm của IBa

* Tâm Spieker Sp là trung điểm của đoạn nối trực tâm H của tam giác ABC với điểm G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó G, H và Sp

thẳng hàng và G cũng là trọng tâm tam giác HIBa

* Điểm delongchamp là điểm đối xứng của trực tâm H qua tâm O đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC Điểm là trung điểm của đoạn nối

điểm Nagen và điểm delongchamp

11 Định lí Poncelet về bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp trong tam giác vuông

Định lí: Cho tam giác ABC có r r r r, , ,a b c lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A, B, C Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi r a  r r b r c

2 sin cot cot 4 sin cos

 = sin sin sin

sin sin sin

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 17

4 sin sin cos cos 2 sin

14 Đường tròn nội tiếp Mixtilinear

Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp và tiếp xúc với hai cạnh của tam giác ABC được gọi là đường tròn nội tiếp - mixtilinear tam giác ABC

* Điểm Symmedian chính là điểm đối xứng với trọng tâm qua tâm đường

tròn nội tiếp tương ứng

* Điểm liên hợp đẳng giác: cho tam giác ABC và M bất kì; các đường thẳng đối xứng với AM, BM, CM qua các phân giác tương ứng giao nhau tại một điểm là M'; khi đó, M và M' là hai điểm liên hợp đẳng giác (hay ngắn gọn là hai điểm đẳng giác)

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 19

Bµi to¸n 14

Cho các đường tròn (O, R), (I, r) là các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp

tam giác ABC, đường tròn (Oa, Ra) tiếp xúc trong với (O) tại T và tiếp

xúc các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại E, F

1) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn EF

2) Gọi (Ob, Rb), (Oc, Rc) là các đường tròn tương tự đường tròn (Oa, Ra)

Chứng minh: 4r  Ra + Rb + Rc 2R

HD

1 Chứng minh rằng I là trung điểm của EF

Phép vị tự tâm T biến (Oa, Ra) thành (O, R), F thành K, E thành H, Oa

thành O, OaE thành OH, OaF thành OK

OaEAB nên OH AB, tương tự OK AC

Suy ra K, H à các trung điểm của các cung nhỏ trương bởi các dây AC,

Do vậy: ICF = ITF = C

Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 21

Cho Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BC, CA,

AB d M,d N,d P lần lượt là các đường thẳng đi qua M, N, P và vuông góc

với BC, CA, AB d M,d N,d P đồng quy khi và chỉ khi:

Gọi giao điểm của dM, dN tại O Qua O hạ đường vuông góc xuống AB

tại P' Áp dụng định lí thuận ta có MB 2 + NC 2 + P'A 2 = MC 2 + NA 2 +

FD, DE Gọi d d d a, b, c lần lượt là đường thẳng đi qua A', B', C' và song

song với HA, HB, HC Chứng minh rằng d d d a, b, c đồng quy

Bài toán 17

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Các phân giác trong BE, CD (D, E

tương ứng thuộc các cạnh AB, AC) Đường thằng DE cắt (O) tại M, N

Gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC Chứng minh

Xin tiếp thu các ý kiến của bạn đọc

XẾP LOẠI CỦA HĐKH TRƯỜNG