Đường tròn bàng tiếp trong tam giác

Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 1 Đường tròn bàng tiếp trong tam giác A. Đặt vấn đề Đường tròn bàng tiếp trong tam giác là một trong những vấn đề thú vị của Hình học phẳng. Là một trong những nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia môn Hình học phẳng, tôi quan tâm đến việc viết một đề tài về vấn đề đường tròn bàng tiếp để bồi dưỡng đội tuyển HSGQG. Các bài toán liên quan đến đường tròn bàng tiếp là những bài toán hay và khó. Để giải quyết được các bài toán đó việc trước tiên là phải thông hiểu về đường tròn bàng tiếp trong tam giác. Tiếp theo đó phải là việc trải nghiệm qua những bài toán áp dụng các tính chất của đường tròn bàng tiếp. B. Nội dung đề tài. I. Một số tính chất quan trọng của đường tròn bàng tiếp. TC1. Gọi I và J là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đoạn thẳng IJ tại K. Ta có BI vuông góc với BJ. và BK = KI. Suy ra KI = KJ. TC2. Cho tam giác ABC và các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C lần lượt là ( ; ),( ; ),( ; ) a a b b c c O r O r O r . Với các tiếp điểm được cho bởi hình vẽ 2 Khi đó: AD' + AF' = AB + BD + DC + CA = 2p. Mặt khác AD' = AF'  AD' = AF' = p. Như thế AD' = AF' = BE" = BF"= CE' = CD" = p K J I C B A Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 2 TC3. Cho tam giác ABC và các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C lần lượt là ( ; ),( ; ),( ; ) a a b b c c O r O r O r . Với các tiếp điểm được cho bởi hình vẽ 2 Khi đó: AE = AC - CE = AC - CF" = AC - ( 2 p - BC) = = b - 2 a b c   +a = 2 a b c    CE = 2 b c a   = BF Tương tự: AF = 2 a c b   = CD AE = 2 a b c   = BD TC4. Cho tam giác ABC. Các đường tròn bàng tiếp xúc với 3 cạnh tương ứng đỉnh lần lượt tại D, E, F. Khi đó 3 đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm gọi là điểm Nagel của tam giác ABC. Thật vậy, ta có: . . 1 BD EC FA p c p a p b p b p c p a DC EA FB                         Suy ra dpcm J D' D" F" F' E" E' F E D C B Oc Ob Oa A N F E D C B A Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 3 TC5. Đường tròn nội tiếp (I, r) tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Ta có AN = AP = 2 b c a p a     BP = BM = 2 a c b p b     CM = CN = 2 a b c p c     II. Một số bài toán áp dụng. Bài 1 P N M O3 O2 F E D O I C B A Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 4 Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp (O) , ngoại tiếp (I) . AI cắt (O) tại G . Đường thẳng qua G và vuông góc AI cắt BC tại F. Gọi D, E lần lượt là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B với AC và đường tròn bàng tiếp góc C với AB . Chứng minh IF// DE. Lời giải. Gọi N là tiếp điểm của (I) với BC . Gọi K là giao của AI, ED . Do  GIF =  GNC nên ta sẽ chứng minh  GNC  IKD hay  AKD   BNG. Gọi X là điểm thuộc AI sao cho EX // AD. Ta có  AEX   CGB và AK AD KX EX  Để ý rằng tam giác AEX cân nên EX = AE . Mặt khác AD NC AE NB  nên AK AD AD NC KX EX AE NB    Suy ra  EKX =  BNG. Từ đây ta có  AKD   BNG, suy ra đpcm. Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn không cân có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Đường thẳng qua B song song với IN cắt AC ở D, đường thẳng qua C song song với IM cắt AB ở E. Đường thẳng qua I song song với DE cắt BC ở F. Gọi R là hình chiếu của F lên AI. X K N Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 5 1. Chứng minh rằng D, E lần lượt là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B và C trên các cạnh AC và AB. 2. Chứng minh rằng tứ giác ABRC nội tiếp. Lời giải. Dễ thấy nếu tam giác ABC cân tại A thì bài toán hiển nhiên đúng (nếu công nhận giao điểm tại vô cực). Xét tam giác ABC không cân tại A và AB < AC hay c < b. Ta cũng giả sử thêm rằng AB < BC < CA hay c < a < b. Các trường hợp còn lại tương tự. Kí hiệu như hình vẽ, trong đó R là trung điểm cung nhỏ BC, F là giao của đường thẳng vuông góc với AR tại R với BC. Ta sẽ chứng minh rằng IF song song với DE. (yêu cầu này là tương đương với yêu cầu bài toán). Giả sử IN cắt BC tại P. Theo định lí Menelaus trong tam giác ASC, ta có: . . 1 IA PS NC PS IS BS a IS PC NA PC IA BA b c       2 ( )( ) PS a a b PS SC b c a b c a b c          Suy ra ( ) , a a c ab PB PC b c a b c a        Do đó 2 2 ND PB a c a c b a c ND AD NC PC b           Từ đây suy ra D chính là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B trên AC. Tương tự cho E. Ta có đpcm. Q J K S R P H F I N M E D C B A Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 6 b) Ngược của BT1. Giả sử đường thẳng qua I song song với DE cắt AB, AC lần lượt tại H và K. Cũng bằng biến đổi đại số, ta tính được tỉ lệ DE / HK từ đó tính được tỉ lệ mà F chia đoạn BC. Gọi R’ là trung điểm của cung nhỏ BC và F’ là giao điểm của đường thẳng qua R’ vuông góc với AR’ với BC thì ta cũng tính được tỉ lệ R’ chia BC. Từ đó chứng minh được F trùng với F’, R trùng R’ và có đpcm. Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Đường trung trực của AH cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại D, E . Chứng minh A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ODE Gọi M, N lần lượt là giao điểm của CH, BH với (O) . Ta chứng minh DA là phân giác góc ngoài tại đỉnh D của ΔODE (EA chứng minh tương tự). Thật vậy, AB là đường trung trực của HM . Mà DE là trung trực của AH ⇒DA = DH = DM . Mà OA = OM nên DO là trung trực của AM . Do đó  ADx =  xDM = 1 2  ADM (với Dx là tia đối của tia DO ). Vì AB là đường trung trực của HM nên  MDB =  BDH = 2  BAH =2(90 0 −  ABC) . Mặt khác  MDB =180 0 −  MDA =180 0 −2  xDA Suy ra⇒  xDA =  ABC =  ADE (do DE∥BC vì cùng ⊥AH ) Vậy A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ODE . x E N O H D M C B A Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 7 Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc ngoài nhau tại T . Một đường thẳng tiếp xúc với (I) tại X cắt (O) tại các điểm A và B . Gọi S là giao điểm thứ hai của (O) với XT . Trên cung TS không chứa A và B chọn môt điểm C . Gọi CY là tiếp tuyến từ C đến (I) với Y thuộc (I) sao cho đoạn CY không cắt đoạn ST . Gọi E là giao điểm của XY và SC . Chứng minh E là tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC. Giải. Ta có △tam giác OST cân tại O, tam giac ITX cân tại I và ∠ΔSTO = Δ∠ITX ⇒ΔIXT = ΔTSO  S//IX Do đó S là trung điểm của cung AB chứa C ⇒ CE là phân giác ngoài của ∠  ACB Để kết thúc bài toán chỉ cần chứng minh AE là phân giác trong của ∠BAC , tức là phân giác  CAX . Thật vậy, YT cắt (O) tại điểm thứ hai H, (HA) cắt XY tại K . Dễ thấy HS∥XY (so sánh góc qua tiếp tuyến trung của hai đường tròn tại T ). Do  TCE =  SHT =  TYE nên tứ giác TEYC nội tiếp. F L K H Y I E O S X T C B A Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 8 Do  TAK =∠HST =∠TXK nên tứ giác AXKT nội tiếp. Do 180 0 =  ACE +∠SFA =∠ACE +∠SHA = ∠ACE +∠AKE nên tứ giác AEKC nội tiếp. Gọi L là giao điểm của hai đường tròn (AXKT) và (TEYC) . Vì 180 0 = ∠ELT +∠TYE =∠ELT +∠TXA =∠ELT +∠TLA =  ELA nên ba điểm A, E, L thẳng hàng. Vì 180 0 = ∠TLK + ∠TXK =  TLK + ∠TYC nên ba điểm L, K, C thẳng hàng. Từ đó ∠EAX =∠EKL =∠CKY = ∠CAE nên AE là phân giác ∠CAX Bài 5.(IMO 2013) Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F là các điểm tiếp xúc của các đường tròn bàng tiếp với các cạnh BC, CA, AB tương ứng. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF. Chứng minh rằng O nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi tam giác ABC vuông. Giải. Gọi phân giác ngoài góc A cắt (O) tại K. Ta dễ chứng minh BF = CE nên trung trực EF đi qua K. Nếu tâm ngoại tiếp tam giác DEF thuộc (O) sẽ nằm ngoài tam giác DEF nên khi đó tam giác DEF tù. Không mất tổng quát giả sử  EDF tù. Do tâm ngoại tiếp tam giác DEF thuộc trung trực EF vậy tâm ngoại tiếp tam giác DEF phải là giao của trung trung trực EF và (O). Giao điểm này phải nằm trong góc EDF nên giao điểm này chính là K. Vậy K là tâm ngoại tiếp tam giác DEF. K O F E D C B A Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 9 Dễ thấy các đường thẳng qua tâm bàng tiếp Ia, Ib, Ic lần lượt vuông góc với BC,CA, AB đồng quy tại điểm V. Từ đó các tứ giác DFBV, DECV nội tiếp.  BVC =  BV D +  CV D =  AFD +  AED = 360 0 −  BAC −  EDF = 360 0 −  EKF − (180 0 − 1 2  EKF) =  EKF = 0 360 2 EKF   Mặt khác KB = KC. Từ đó suy ra K là tâm ngoại tiếp tam giác BVC. Từ tính chất đối xứng suy ra V F = BD = AE, V E = CD = AF. Vậy tứ giác AEV F là hình bình hành mà  AEV =  AFV = 90 0 . Vậy AEV F là hình chữ nhật suy ra  BAC = 90 0 . Bài 6. Cho tam giác ABC có (I) là đường tròn nội tiếp tiếp xúc AB, AC tại E, F, tương ứng; (I a ) là đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC, CA, AB tại M, N, P, tương ứng. BI cắt EF tại H, BI a cắt PN tại K, AI cắt PM tại J. Chứng minh rằng  BHC =  BKC =  AJC = 90 o . Lời giải. Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 10 i)  0 90 BHC  0 90 2 A CFH AFB       0 90 2 A HIC HBC ICB          HIC HFC     HFIC nội tiếp Suy ra 0 90 BHC IHC IFC      ii)  0 90 BKC   0 0 0 0 180 180 (90 ) 90 2 a BAC NKI BKB BPK PKB IBC                       =    0 1 1 90 2 2 2 a C ABC BAC NCI      Suy ra KCNI a nội tiếp  dpcm iii) BICI a nội tiếp nên  JI a C =  II a C = IBC  = BMJ  Suy ra JMCI a nội tiếp 0 90 a a I JC I MC     ***Chú ý: i) KH//AB ii) J có thuộc KH không ? Bài 7. Định lí Paul Yiu về đường tròn bàng tiếp Định lí: Cho tam giác ABC và các đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C tiếp xúc với 3 cạnh lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Các đường thẳng MN, PQ, RS giao nhau tại A 1 , B 1 , C 1 . Các đường thẳng NP, QR, MS giao nhau tại A 2 , B 2 , C 2 . Chứng minh rằng các bộ ba điểm (A, A 1 , A 2 ), (B, B 1 , B 2 ), (C, C 1 , C 2 ) thẳng hàng và các đường thẳng qua chúng đồng quy. [...]... các đường tròn bàng tiếp Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IaIbIc được gọi là điểm Bevan của tam giác ABC Kí hiệu Ba I O G H Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình Ba Sp 14 Đường tròn bàng tiếp Một số tính chất của điểm Bevan: * Ta thấy rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC chính là trực tâm của tam giác IaIbIc khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn chín điểm của tam giác. .. nhiên) 14 Đường tròn nội tiếp Mixtilinear Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp và tiếp xúc với hai cạnh của tam giác ABC được gọi là đường tròn nội tiếp - mixtilinear tam giác ABC * Điểm Symmedian chính là điểm đối xứng với trọng tâm qua tâm đường tròn nội tiếp tương ứng * Điểm liên hợp đẳng giác: cho tam giác ABC và M bất kì; các đường thẳng đối xứng với AM, BM, CM qua các phân giác. .. Bình 12 Đường tròn bàng tiếp Tương tự ta thấy các đường thẳng Euler của các tam giác IAC, IAB cũng cắt OG tại S (được xác định bởi hệ thức (1)) Vậy các đường thẳng Euler của 4 tam giác IAB, IBC, ICA và đồng quy tại 9 Điểm Feuerbach Trong một tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của nó,và tiếp điểm đó được gọi là điểm Feuerbach của tam giác trên Gọi E, O, I là tâm đường tròn Euler,... bàng tiếp Bài 8 Điểm Schiffler Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Khi đó 4 đường thẳng Euler của tam giác IBC, IAC, IAB và ABC đồng quy tại một điểm, gọi là điểm Schiffler của tam giác Chứng minh: Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, G là trọng tâm tam giác, M là trung điểm BC, G1 là trọng tâm tam giác IBC, AI cắt BC tại cắt (O) tại (J), (I) tiếp xúc với cạnh BC tại K, IG1... đẳng giác (hay ngắn gọn là hai điểm đẳng giác) Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 18 Đường tròn bàng tiếp Bµi to¸n 14 Cho các đường tròn (O, R), (I, r) là các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC, đường tròn (Oa, Ra) tiếp xúc trong với (O) tại T và tiếp xúc các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại E, F 1) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn EF 2) Gọi (Ob, Rb), (Oc, Rc) là các đường. .. d c đồng quy Bài toán 17 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Các phân giác trong BE, CD (D, E tương ứng thuộc các cạnh AB, AC) Đường thằng DE cắt (O) tại M, N Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 21 Đường tròn bàng tiếp Gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC Chứng minh IM = IN Bài toán 18 Cho tam giác ABC H là trực tâm (BHC) giao đường tròn Euler của tam giác ABC tại 2 điểm M,N Chứng... trực tâm H của tam giác ABC với điểm G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó G, H và Sp thẳng hàng và G cũng là trọng tâm tam giác HIBa * Điểm delongchamp là điểm đối xứng của trực tâm H qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Điểm là trung điểm của đoạn nối điểm Nagen và điểm delongchamp 11 Định lí Poncelet về bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp trong tam giác vuông Định lí: Cho tam giác ABC có... Euler, ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC H là trực tâm, QOS là đường kính vuông góc với BC, P là hình chiếu của A lên OQ R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp D là chân đường phân giác góc A 1 Đường tròn Euler tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp Ta dễ dàng chứng minh được PO = 2EF Vì AQP  IDN Suy ra QP IN = MK DN (1) 2 Vì SDC  SCA Suy ra SC = SD.SA Mặt khác, tam giác SCI cân... 2  2r  Bài toán 15 Cho tam giác , là tâm đường tròn nội tiếp Các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB tại M, N, P Các đường thẳng d a , db , d c lần lượt qua M, N, P và lần lượt song song với IA, IB, IC Chứng minh rằng d a , db , d c đồng quy Lời giải : Gọi I A , I B , I C lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C của tam giác Gọi tiếp điểm của ( I B ), ( IC... OG tại S, cắt AM tại E Rõ ràng J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC Do đó JG là đường thằng Euler của tam giác IBC Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác GOM với cát tuyến SEJ ta có: SG JO EM SG JM EG JM EG  1 Suy ra   SO JM EG SO JO EM R EM Áp dụng Menelaus cho tam giác IAM với cát tuyến JG1E ta có: JI EA G1M 1 JA EM G1I Do G1 là trọng tâm tam giác IBC nên: EA JA JB JI  2  2  2 (Do . Đường tròn bàng tiếp Trần Xuân Bang- THPTChuyên Quảng Bình 1 Đường tròn bàng tiếp trong tam giác A. Đặt vấn đề Đường tròn bàng tiếp trong tam giác là một trong những vấn. 14. Đường tròn nội tiếp Mixtilinear Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp và tiếp xúc với hai cạnh của tam giác ABC được gọi là đường tròn nội tiếp - mixtilinear tam giác. của đường tròn bàng tiếp. B. Nội dung đề tài. I. Một số tính chất quan trọng của đường tròn bàng tiếp. TC1. Gọi I và J là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Đường