Một số bài toán về các điểm, các đường thẳng đặc biệt trong tam giác file word có lời giải chi tiết

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐIỂM, CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC A PHẦN MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Bài tốn viết phương trình đường thẳng, tìm tọa độ đỉnh đa giác hình học phẳng toán quan trọng, tốn viết phương trình cạnh, xác định tọa độ đỉnh tam giác biết yếu tố liên quan toán hay sách nâng cao, đề thi chuyên đề, đề thi đại học, cao đẳng Đây câu phân loại lấy điểm cao đề thi THPT quốc gia Trong sách tham khảo có số toán đơn lẻ đường, điểm đặc biệt tam giác mà chưa hệ thống thành phương pháp chung để giải dạng tập Chính viết tơi nhằm mục đích tổng hợp số dạng tốn liên quan đường đặc biệt, điểm đặc biệt tam giác, đưa phương pháp giải cho dạng tốn cụ thể qua giúp thầy trò hệ thống, củng cố kiến thức, có nhìn thấu đáo tính chất đường, tính chất điểm đặc biệt tam giác Từ trang bị kiến thức để làm tập phương trình đường thẳng có liên quan đến đường, điểm đặc biệt tam giác kỳ thi THPT Quốc gia tới II Cơ sở lý luận Quy trình dạy học hiểu tổ hợp thao tác giáo viên học sinh tiến hành theo trình tự định đối tượng nhận thức Chẳng hạn, quy trình bốn bước Polya để giải tốn gồm : • Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn • Bước 2: Xây dựng thuật giải • Bước 3: Thực thuật giải • Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Một nhiệm vụ dạy học mơn tốn chương trình phổ thơng, đặc biệt dạy hình học phẳng hướng dẫn cho học sinh biết vận dụng tính chất đường tam giác, tính chất đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, tính chất đối xứng học sinh học từ cấp II, kiến thức hình học mà học sinh học lớp 10 để giải tập có liên quan Một số tính chất hình học đặc biệt III Cơ sở thực tiễn Bài tốn hình học phẳng tốn khó học sinh, kể học sinh học lớp 10 hay học sinh ơn thi THPT quốc gia Vì việc hệ thống thành dạng tập với phương pháp giải cho dạng việc quan trọng giảm bớt khó khăn, lúng túng cho học sinh giải tập dạng Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải B PHẦN NỘI DUNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Biể u thức to ̣a đô ̣ về các phép toán vectơ *) Trong mă ̣t phẳ ng to ̣a đô ̣ Oxy, cho a = ( x; y ) ; b = ( x '; y ') Khi đó: +) a  b = ( x  x '; y  y ') +) k.a = ( kx; ky ) với k là số thực x = x ' y = y' +) a = b   +) a.b = xx '+ yy '  a ⊥ b  a.b =  xx '+ yy ' = +) a = x + y +) cos ( a, b ) = a.b a.b = xx '+ yy ' x + y x '2 + y '2 *) Cho M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) +) Khi đó MN = ( x2 − x1; y2 − y1 ) ; MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 x +x y +y +) Trung điể m I của đoa ̣n thẳ ng AB có to ̣a đô ̣: I  A B ; A B   2  xA + xB + xC y A + yB + yC  ;  3   +) Tro ̣ng tâm G của tam giác ABC có to ̣a đô ̣ G  Phương trin ̀ h đường thẳ ng a) Phương trin ̀ h tổ ng quát của đường thẳ ng - Vectơ pháp tuyế n (VTPT) của đường thẳ ng là vectơ khác , có giá vuông góc với đường thẳ ng - Đường thẳ ng d qua M ( x0 ; y0 ) , có VTPT n = ( a; b ) ( a + b2  ) có phương trình tổ ng quát: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = (1) b) Phương trin ̀ h tham số của đường thẳ ng - Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳ ng là vectơ khác , có giá song song hoă ̣c trùng với đường thẳ ng Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Đường thẳ ng d qua M ( x0 ; y0 ) , có VTCP u = ( a; b ) đk ( a + b2  ) có phương triǹ h  x = x0 + at ( t  y = y0 + bt tham số :  ) ( 2) - Chú ý: Khi a.b  thì đường thẳ ng d có phương trình da ̣ng chiń h tắ c: x − x0 y − y0 = a b Mố i quan ̣giữa VTPT và VTCP của cùng mô ̣t đường thẳ ng: Nế u đường thẳ ng d có phương trình tổ ng quát: ax + by + c = ( a + b  ) thì đường thẳ ng d có VTPT là n = ( a; b ) , suy VTCP của đường thẳ ng d là u = ( −b; a ) hoă ̣c u = ( b; −a ) Điề u ngươ ̣c la ̣i cũng đúng Tức là đường thẳ ng d có VTCP là u = ( a; b ) thì VTPT của đường thẳ ng d là n = ( −b; a ) hoă ̣c n = ( b; −a )  x = x0 + at ( t y = y + bt  Điể m M thuô ̣c đường thẳ ng d:  ) ( ) thì M ( x0 + at; y0 + bt ) Vi tri ̣ ́ tương đố i của hai đường thẳ ng Hai đường thẳ ng có vi tri ̣ ́ tương đố i: - d//d’ - d d' - d cắ t d’ ( đă ̣c biê ̣t d ⊥ d ' ) ➢Lưu ý: - Hai đường thẳ ng song song thì cùng VTPT, cùng VTCP - Hai đường thẳ ng vuông góc thì VTPT của đường thẳ ng này là VTCP của đường thẳ ng Góc và khoảng cách - Khoảng cách giữa hai điể m M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) là: MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 - Khoảng cách từ điể m M ( xM ; yM ) đế n đường thẳ ng  : ax + by + c = là: d ( M , ) = axM + byM + c a + b2 - Góc giữa hai đường thẳ ng d, d’ là  : cos ( d , d ') = cos  = cos (u, u ') = cos ( n, n ') Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ➢Lưu ý: Khi hai đường thẳ ng cắ t nhau, chúng ta ̣o góc Khi đó phương triǹ h các đường phân giác của góc ta ̣o bởi hai đường là: ax + by + c a +b 2 = a'x +b' y +c' a '2 + b '2 ( ax + by + c = 0; a ' x + b ' y + c ' = ) là phương trình hai đường thẳ ng) II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐIỂM, CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC 2.1 Các đường đặc biệt tam giác Một số lưu ý: i) Bài toán có yế u tố đường cao  Sử du ̣ng tính chất vng góc ii) Bài toán có ́ u tớ đường trung tuyến  Sử du ̣ng tính chất trung điểm iii) Bài toán có yế u tố đường phân giác đường trung trực  Sử du ̣ng tính chất đối xứng Bài 1.[Trích đề thi đại học khối D năm 2011] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A C Phân tích hướng giải: - Khai thác tính chất: A BM = 3GM với M trung điểm AC suy M M - Khai thác tính chất đối xứng G B' phân giác ta xác định điểm B ' điểm đối xứng B qua phân giác B C D góc A Từ viết phương trình AC  A  C Hướng dẫn Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Gọi M(x;y) trung điểm AC, ta có  x + = 3( x − 1) 7  BM = 3GM    M  ;1 2   y − = 3( y − 1) Gọi B '(a; b) điểm đối xứng B qua phân giác d: x − y − = góc A Ta có BB’ vng góc với d trung điểm I BB’ thuộc d nên tọa độ B’ nghiệm 1(a + 4) + 1(b − 1) = a + b + =  hệ  a − b +   B '(2; −5) a − b − = − − =    2 Đường thẳng AC qua D B’ có phương trình: x − y − 13 = x − y −1 =  A(4;3) suy C (3; −1) Tọa độ A thỏa mãn hệ  x − y − 13 =  Bài [Trích đề thi Đại học khối B-2010] Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vng A có đỉnh đỉnh C(-4;1), phân giác góc A có phương trình: x + y − = Viết phương trình BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương Phân tích hướng giải: -Khai thác tính chất đối xứng đường phân giác ta xác định điểm D đối xứng với C qua đường phân giác góc A -Khai thác tính chất tam giác vng A nên A thuộc đường tròn đường kính CD -Khai thác giả thiết diện tích ta có AB = 2SABC suy B AC Hướng dẫn Gọi D điểm đối xứng C(-4;1) qua d : x + y − = suy tọa độ D(x;y) thỏa mãn ( x + 4) − ( y − 1) =   D(4;9)  x + y +1 + − =   2 Điểm A thuộc đường tròn đường kính CD nên tọa độ A thỏa mãn x + y − = với x  suy A(4;1)  2  x + ( y − 5) = 32 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải suy AC =  AB = 2SABC =6 AC B thuộc AD : x = suy B(4; y) ta có ( y − 1)2 = 36 suy B(4;7) B(4; −5) Do d phân giác nên AB, AD hướng suy B(4;7) Do phương trình BC : 3x − y + 16 = Bài [Trích đề thi đại học khối B năm 2008] Trong mặt phẳng Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C AB H (−1; −1) , đường phân giác góc A có phương trình x − y + = đường cao kẻ từ B có phương trình x + y − = Phân tích hướng giải: -Khai thác tính chất đối xứng qua đường phân giác ta tìm điểm H’ đối xứng với H qua phân giác góc A -AC qua H’ vng góc với d: x + y − = Từ xác định tọa độ A Hướng dẫn: Gọi d1 : x − y + = , d : x + y − = H '(a; b) điểm đối xứng với H qua d1 Khi H '  AC (a + 1) + (b + 1) =  -Ta có tọa độ H ' nghiệm hệ  a − b −  H '(−3;1) + + =   2 -Đường AC qua H’ vng góc với d2 nên có pt: 3x − y + 13 = 3x − y + 13 =  A ( 5;7 ) Khi ta có tọa độ A nghiệm hệ  x − y + =  Đường thẳng CH qua H với vectơ pháp tuyến HA = (3;4) nên có phương trình  10  3x + y + = Khi ta có tọa độ C  − ;   4 Bài [Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương 2013] Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng  đường phân giác góc A có phương trình 2x + y − = Khoảng cách từ C đến  gấp lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ A C biết C nằm trục tung Phân tích hướng giải -Khai thác yếu tố C thuộc Oy d(C,  )=3d(B,  ) suy tọa độ C -Tìm điểm B’ đối xứng với B qua phân giác  - Để ý CA = CB' Hướng dẫn Lấy C(0:y0) thuộc Oy Ta có d(B;  )= y −1 y −1 ; d(C;  )= , theo ta có =  y0 = 10; y0 = −8 5 5 Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, ý C khác phía B  suy C(0;-8) Gọi B’(a;b) điểm đối xứng với B qua  B’nằm AC Do BB ' ⊥ u  = (1; −2) nên ta có: a − 2b + = ; Trung điểm I BB’ phải thuộc  nên có: 2a + b + = Từ ta có: a= -7/5; b=4/5 Theo định lý Ta - Let suy CA = CB' ,  44  A(x; y);CA = ( x; y + ) ;CB' =  − ;   5  Từ suy A( −21 26 ; ) ; C(0;-8) 10 2.2 ĐIỂM ĐẶC BIỆT Bài toán: Xác định tọa độ đỉnh tam giác biết tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp, trọng tâm, trực tâm điểm đặc biệt tam giác Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Nhận xét: Bài toán kết hợp tâm đường, điểm đặc biệt tam giác tốn khó phần lớn xử lý toán ta phải xuất phát từ tính chất hình học tam giác Dưới tơi trình bày số tính chất hình học phẳng cần áp dụng với loại toán dạng bổ đề Kí hiệu: Cho tam giác ABC có I tâm đường tròn ngoại tiếp, H trực tâm, G trọng tâm, J tâm đường tròn nội tiếp Bổ đề 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, gọi M trung điểm BC trực tâm H, J tâm đường tròn nội tiếp G trọng tâm tam giác ABC, A giao điểm AJ với đường tròn ngoại tiếp ABC, A2 điểm đối xứng A qua I, H1 điểm đối xứng H qua BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác BHCA2 hình bình hành M trung điểm HA2 b) AH = IM c) Ba điểm I, H, G thẳng hàng IH = 3IG d) Hai tam giác A1JB, A1JC cân A1 e) H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC f) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua BC Chứng minh Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  HB ⊥ AC  HC ⊥ AB  HB / / A2C ;   HC / / A2 B a)Ta có   A2C ⊥ AC  A2 B ⊥ AB suy tứ giác BHCA2 hình bình hành Do M trung điểm BC đồng thời trung điểm HA2 hay H đối xứng với A2 qua M  IM ⊥ BC  AH / / IM I, M trung điểm HA2, AA2 nên IM b)Vì   AH ⊥ BC đường trung bình tam giác AHA2  AH = IM  AH = IM c)Ta có AH = IM  IH − IA = IM = IB + IC  IH = IA + IB + IC = 3IG H, G, I thẳng hàng d)Ta có ACJ = A1JC = A+C nên tam giác A1JC cân A1, tương tự tam giác A1JB cân A1 e)Ta có tam giác HBH1 cân nên CH1H = CHH1 (1), ta có BCH = BAH (2) (vì phụ với ABC ) mặt khác ta có CHH1 + BCH = BAH + CBA = 900  CHH1 = CBA(2) Từ (1), (2) suy CH1H = CBA suy H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC f) Từ e) suy tam giác HBC tam giác H1BC đối xứng qua đường thẳng BC suy đường tròn ngoại tiếp tam giác H1BC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC (cũng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) qua BC Vận dụng tính chất ta xét số tập khai thác dề thi đại học, đề thi HSG, đề thi thử THPT quốc gia số trường sau đây: Bài [Trích đề thi đại học khối D-2010] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định tọa độ C biết C có hồnh độ dương Phân tích hướng giải: Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Do A giao điểm AD AM nên tọa đô điểm A nghiệm hệ phương trình: 3x + y − = x =   A (1;1)  x + y − = y =1 Do B thuộc BC  B ( t; t − 4) , kết hợp với M trung điểm BC suy C ( − t;3 − t ) Do H trực tâm tam giác ABC nên t = BH BC =  ( − t )( − t ) + (8 − t )( − t ) =  ( − t )(14 − 2t ) =   t = Do t   t =  B ( 2; −2) , C (5;1) Ta có AB = (1; −3) , AC = ( 4;0 )  nAB = ( 3;1) , nAC = ( 0;1) Do AB : x + y − = 0; AC : y − = Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;1) và tâm đường tròn ngoa ̣i tiế p I(1;0) Trung điể m BC nằ m đường thẳ ng có phương trình x2y-1=0 Tìm to ̣a đô ̣ các đỉnh B, C biế t rằ ng đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác HBC qua điể m E(6;-1) và hoành đô ̣ điể m B nhỏ Phân tích hướng giải: -Khai thác bổ đề 1f) ta chứng minh A đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua BC, suy tâm J I H C đường tròn ngoại tiếp HBC đối xứng với tâm I qua BC -Mà IM ⊥ BC trung điểm M B M K H' J BC suy M trung điểm IJ -Ta có JH=JE Hướng dẫn -Go ̣i H’ là điể m đố i xứng với H qua BC chứng minh H’ thuô ̣c đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác ABC Khi tam giác H’BC đớ i xứng với tam giác HBC qua BC Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Suy tâm J của đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác HBC đố i xứng với tâm I của đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác H’BC (cũng là đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác ABC) -Go ̣i M là trung điể m của BC, M  d  M ( 2t + 1; t ) suy J(1+4t; 2t) JH = JE  (1 − 4t ) + (1 − 2t ) = ( 4t − ) + ( 2t + 1)  t = 1; M (3;1) 2 2 PT ca ̣nh BC: 2x+y-7=0 ; PT đường cao AH: x-2y=0  Go ̣i K là giao của AH và BC suy : K  14   18  ;   H ' ;   5  5 PT đường tròn tâm I(1 ;0) bán kính IH’ là : ( x − 1) + y = 10 BC cắ t đường tròn tâm I ta ̣i B, C nên to ̣a đô ̣ B, C thỏa mãn HPT 2 x + y − =  suy B(2;3); C(4;-1) 2 ( x − 1) + y = 10 Bổ đề Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H I, K, L chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C xuống cạnh đối diện Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL Chứng minh: Chứng minh AI phân giác LIK A Ta có tứ giác BLHI nội tiếp nên LIH = LBH (1) Ta có tứ giác CKHI nội tiếp K nên L H KIH = KCH (2) Mà tứ giác BCKL nội tiếp nên KCH = LBH (3) B Từ (1),(2), (3) suy LIH = KIH suy AI C I phân giác LIK (*) Tương tự suy LKH = IKH suy BK phân giác LKI (**) Từ (*), (**) suy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL Bài 10 Cho tam giác ABC có M (2; −1), N (2;2), P(−2;2) tương ứng chân đường cao hạ từ A, B, C tam giác ABC Xác định tọa độ A, B, C Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Phân tích hướng giải: - Từ bổ đề ta có H tâm đường tròn A nội tiếp tam giác MNP Từ tìm N tọa độ H P -Viết phương trình cạnh AB, BC, H CA B C M Hướng dẫn -Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP -Viết phương trình MN : x − = Phương trình đường thẳng NP : y − = Phương trình đường thẳng MP : 3x + y − =  d1 : x − y − = -Phương trình phân giác góc tạo MN, MP  d2 : x + y − = Kiểm tra ta d2 phân giác -Phương trình phân giác góc MNP d3 : x − y = 2 x + y − =  x =   H (1;1) Tọa độ H nghiệm hệ  x − y = y =   Cạnh BC qua M(-2 ;1) nhận HM (1; −2) làm VTPT nên có phương trình BC : x − y − = Cạnh AC có phương trình AC : x + y − = Cạnh AB có phương trình AB : 3x − y + = Vậy tọa độ đỉnh A(−1;5), B(−4; −4), C (4;0) Bài 11 [Trích đề thi học sinh giỏi khối 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2011 ] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết  17  D ( 2;1) , E ( 3; ) , F  ;  5  Phân tích hướng giải: - Gọi A’, B’, C’ chân đường cao hạ E A từ đỉnh A, B, C Từ bổ đề ta có H tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ Mặt khác chứng minh EF//B’C’, ED//A’B’, DF//A’C’ nên H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Từ ta có B' C' F H A' C B D thể nghĩ tới hướng chứng minh trực tiếp H tâm đường tròn nội tiếp DEF Khi ta xác định tọa độ H - AC trung trực HE nên viết phương trình cạnh AC Hướng dẫn Gọi A’, B’, C’ chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp nên FDA = FCA = ABE = ADE  H nằm đường phân giác hạ từ D tam giác DEF, tương tự ta H nằm đường phân giác hạ từ đỉnh E tam giác DEF Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Ta lập phương trình đường thẳng DE, DF DE : 3x − y − = 0; DF : 3x + y − = Do phương trình phân giác đỉnh D 3x − y − 10 = 3x + y − 10  x − = 0; y − = Kiểm tra vị trí tương đối E, F với hai đường ta phân giác kẻ từ đỉnh D d : x − = Tương tự ta lập phương trình phân giác kẻ từ đỉnh E d ' : x − y + = Mặt khác H giao d d’ nên H ( 2;3) Ta có AC trung trực HE nên AC qua trung điểm B '  ;  có vtpt 2 2 HE = (1;1)  AC : x + y − = Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bổ đề Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có tâm I, Kẻ đường cao BE, CF tam giác ABC IA vng góc với EF Chứng minh: Ta chứng minh với TH tam giác ABC nhọn Gọi K giao điểm AI DE, H trực A tâm tam giác ABC, M trung điểm AC Ta có tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn D K ADH = AEH = 90 M E suy ADE = AHE (cùng chắn AE) I H Mặt khác ABF = AHE (cùng bù với EHF ) Tam giác IAC cân I nên IAD = ICA Gọi M trung điểm AC ta có MIC = B F C AIC = ABC Suy hai tam giác ABF ICM có ICA = BAF suy IAC + ADE = ABC + BAF = 900  AKE = 900  AI ⊥ DE TH tam giác ABC tù ta chứng minh bổ đề Khai thác tính chất ta giải số tập sau : Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 25 Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B, C Giả sử D(−2; −2), E (1;2) Tìm tọa độ A, B, C biết A có tung độ âm Phân tích hướng giải: Trang 23 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải -Vận dụng bổ đề ta chứng minh A DE vng góc với IA (I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC) -Viết phương trình AI suy tọa độ A D K -Viết phương trình AC qua A, D suy E I tọa độ C -Viết phương trình AB qua A, E suy B tọa độ B C A' Hướng dẫn -Gọi I(1;-2) tâm đường tròn ngoại tiếp ABC -Ta chứng minh AI vng góc với DE -Đường thẳng AI qua I vng góc với DE có phương trình AI : 3x + y + =  x =  3 x + y + =   y =  A(5; −5)  Tọa độ A thỏa mãn hệ  2  x = ( x − 1) + ( y + 2) = 25    y = −5 -Đường thẳng AC qua A, D có phương trình AC : 3x + y + 20 = Tọa độ C thỏa mãn hệ  −114   x = 29  3 x + y + 20 =   y = −34  −114 −34    C ;     2  29 29 29 ( x − 1) + ( y + 2) = 25      x =   y = −5   -Đường thẳng AB qua A, E có phương trình AB : x + y − 15 = Tọa độ B thỏa mãn hệ Trang 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  29 x =   65  7 x + y − 15 =   y = 193  29 193    B   ;   2 65  65 65  ( x − 1) + ( y + 2) = 25    x =   y = −5  Bài 13 [Trích đề thi thử THPT quốc gia lần năm 2014-2015-Vĩnh Phúc] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3 ;0) trung điểm BC I(6 ;1) Đường cao AH có phương trình x + y − = Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương trình x − = điểm D có tung độ dương Phân tích hướng giải: -Gọi T tâm đường tròn ngoại tiếp tam A giác ABC Gọi A1 giao điểm AT đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC -Khai thác bổ đề ta chứng minh DE D vng góc với TA -Khai thác bổ đề 1a) ta chứng minh BHC A1 hình bình hành suy I T E H B I C trung điểm HA1 -Viết phương trình AT qua A1 vng A1 góc với DE Ta có A = AA1  AH -Viết phương trình đường tròn (T, AT) -Viết phương trình BC qua I, vng góc với AH Hướng dẫn -Gọi T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi A1 giao điểm AT đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Ta chứng minh BHCA1 hình bình hành suy I trung điểm H A1 Suy A1 (9 ;2) -Ta chứng minh DE vng gócvới AT Trang 25 http://dethithpt.com – Website chun đề thi thử file word có lời giải Đường thẳng A A1 qua A1 vng góc với DE có phương trình là: y − = x + y − =  x = −1   A(−1;2) Tọa độ A thoả mãn hệ  y − = y = T trung điểm A A1 nên T(4;2), AT=5 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (T): ( x − 4)2 + ( y − 2)2 = 25 Phương trình BC: 2( x − 6) − ( y − 1) =  x − y − 11 = ( x − 4) + ( y − 2) = 25  x =  x =   Tọa độ B, C thỏa mãn hệ   y =  y = −3 2 x − y − 11 = Nếu B(8 ;5), C(4 ;-3) ta có phương trình AC AC: ( x + 1) + ( y − 2) =  x + y − = x − =  D(2; −1) (loại) Tọa độ D thoả mãn hệ  x + y − =  Nếu B(4 ;-3), C(8 ;5) ta có phương trình AC AC: ( x + 1) − 3( y − 2) =  x − y + = x − =  D(2;3) (thỏa mãn) Tọa độ D thoả mãn hệ  x − 3y + = Vậy B(4 ;-3), C(8 ;5) Chú ý: Ngoài cách làm ta nhận xét: -Gọi K trung điểm AH Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm K BCDE nội tiếp đường tròn tâm I Suy IK ⊥ DE -Các bước giải sau đơn giản Bổ đề Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (C) tâm I, gọi D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ACD IE vng góc với CD Chứng minh: Ta chứng minh phương pháp vectơ Trang 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải A D E P I B Ta có CD = AD − AC = C AB − AC IA + IC + ID = 3IE  IE = ( ) ( ) 1 IA + IC + ID = IP + ID (P trung điểm AC) 3 Ta có ID AB = 0, IP AC = Khi 1 1 CD.IE = − ID AC + IP AB = − ( IA + AD) AC + ( IA + AP) AB 3 3 1 AB AC = IA( AB − AC ) − AC + AB = IA.CB = 3 3 Vậy IE vuông góc với CD Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân A có D trung điểm AB 11 13 Biết I  ;  , J  ;  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trọng  3  3 tâm tam giác ADC Biết M (3; −1), N (−3;0) thuộc CD AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết A có tung độ dương Phân tích hướng giải: Trang 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải -Vận dụng bổ đề ta chứng minh A IJ vng góc với CD Viết phương trình CD D -Có ID ⊥ ND  ID.ND = suy tọa J P I độ D N M -Viết phươg trình AB, sử dụng giả thiết J trọng tâm ACD suy A B C Hướng dẫn -Ta chứng minh IJ ⊥ CD 2  -Viết phương trình CD qua M nhận IJ =  ;0  làm VTPT suy CD : x − = 3  5  −2 Gọi D(3; a)  CD  ID =  ; a −  , ND = ( 6; a ) 3  a =  D(3;3) Ta có ID ⊥ ND  ID.ND =  a − a − =   4 a = −  D(3; − ) 3   TH1: Nếu D(3;3) phương trình AB : x − y + =  A(2a − 3; a),(a  0) Vì C  CD  C (3; c) , J trọng tâm tam giác ACD nên 11  + + a − =  a =  A(5;4)   thỏa mãn    c = − C (3; − 2)   c + + a =  4   9a +  ;a , a  TH2: Nếu D  3; −   AB : x + y + =  A  − 3    Vì C  CD  C (3; c) , J trọng tâm tam giác ACD nên 9a + 11  16  + − = a = −    (loại)   34 c + + a = c =   Vậy A(5;4), B(−1;1), C (3; −2) Trang 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Chú ý: Bổ đề chứng minh phương pháp khác mà không cần sử dụng vectơ, nhiên chuyên đề tơi trình bày cách chứng minh vectơ để nhấn mạnh phương pháp thuận lợi việc chứng minh hai đường thẳng song song vng góc Chúng ta sử dụng phương pháp để chứng minh yếu tố song song vng góc gặp sau làm tốn hình học phẳng Bài tập luyện tập Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyế n AM và ca ̣nh BC có phương trình 3x+5y-8=0 và x-y-4=0 Đường cao kẻ từ A cắ t đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác ABC ta ̣i điể m thứ hai D(4;-2) Viế t phương trình các ca ̣nh AB, AC biế t rằ ng hoành đô ̣ điể m B không lớn (HSGVP-2012) Đs: AB : 3x + y − = 0; AC : y − = Bài 2: Cho tam giác ABC nô ̣i tiế p đường tròn tâm I và A(3;3) Điể m M(3;-1) nằ m đường tròn tâm I thuô ̣c cung BC không chứa điể m A Go ̣i D, E lầ n lươ ̣t là hiǹ h chiế u của điể m M lên BC, AC Tìm to ̣a đô ̣ điể m B, C biế t trực tâm tam giác ABC là H(3;1); Trang 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải đường thẳ ng DE có phương trình: x+2y-3=0 và hoành ̣ điể m B nhỏ (Trích đề thi thử đại học- Chuyên Vĩnh Phúc) Bài 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H(5;5) PT đường thẳ ng chứa ca ̣nh BC là x+y8=0 Biế t đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác ABC qua điể m M(7;3); N(4;2) Tính diêṇ tích tam giác ABC ( Đề thi thử- Bắ c Ninh) Bài 4: Cho tam giác ABC có to ̣a đô ̣ trực tâm H(2;2) và tâm đường tròn ngoa ̣i tiế p I(1;2) Tìm to ̣a đô ̣ các đỉnh A, B, C biế t trung điể m của ca ̣nh BC có to ̣a đô ̣ là M(1;1) và hoành đô ̣ B âm (Trích đề thi thử đại học- Chuyên Vĩnh Phúc) Bài 5: Cho tam giác ABC có A(-2;-1) trực tâm H(2;1); BC= 20 Go ̣i B', C' lầ n lươ ̣t là chân đường cao kẻ từ B, C lâ ̣p Pt đường thẳ ng BC biế t trung điể m M của BC nằ m đường thẳ ng có phương trình x-2y-1=0; B'C' qua điể m (3;-4) và tung đô ̣ điể m M dương Bài 6: Cho tam giác ABC có B(4;3); C(1;4) Go ̣i H, B', C' lầ n lươ ̣t là trực tâm , chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC Trung điể m AH nằ m đường thẳ ng có phương trình: x-y=0 Tìm to ̣a đô ̣ đin ̉ h A, biế t đường thẳ ng qua B', C' có phương trình x2y-7=0 và hoành đô ̣ điể m A nhỏ Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2) Gọi H trực tâm tam giác ABC Biết đường tròn qua ba trung điểm ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là: x2+y2-2x+4y+4=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC điểm M ( 3; −1) , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B qua điểm E ( −1; −3) đường thẳng chứa cạnh AC qua điểm F (1;3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm đối xứng đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm D ( 4; −2) ĐS: A ( 2;2) , B (1; −1) , (5; −1) 7 4 Bài 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), trọng tâm G  ;  Phương 3 3 trình cạnh AB: x − y + = Xác định tọa độ A, B, C biết x A  xB Trang 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài 10: Cho tam giac ABC khơng vng, nội tiếp đường tròn tâm I Kẻ đường kính AM (I) Đường thẳng  qua A vng góc với BC,  cắt (I) N  A Tìm A, B, C biết 3 5 M(5;3), N(4;4), BC qua P(4;2), đường thẳng AC qua Q  ;  điểm B có 2 2 hoành độ dương (HSG khối 11-Vĩnh Phúc năm học 2014-2015) C PHẦN KẾT LUẬN Khi dạy học sinh phần đường thẳng toán liên quan đến đường tam giác, việc giúp học sinh nắm vững tính chất đường, điểm đặc biệt tam giác, hệ thống dạng tập có ý nghĩa lớn giúp em giải tốn dạng cách dễ dàng Đó chìa khóa để mở kiện bị ẩn toán Khi chưa hệ thống dạng tập liên quan đến đường tam giác phần lớn học sinh có cảm giác sợ học hình học phẳng, chưa định hình cách giải tốn có liên quan Qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy có nhiều học sinh hổng kiến thức tính chất đường tam giác cấp II, số tính tốn chậm Trang 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải thiếu xác dẫn đến viêc tiếp thu kiến thức vận dụng làm tập tương tự hạn chế Cũng qua thực tế giảng dạy thấy việc đưa vào giảng dạy dạng toán cách hệ thống giúp em thấy u thích học hình đặc biệt tốn hình học phẳng liên quan đến đường, điểm đặc biệt tam giác Giúp em tự tin việc giải tập hình học phẳng có liên quan Tóm lại với số tính chất đặc biệt hệ thống chứng minh cụ thể với tập tương ứng hi vọng giúp học sinh hệ thống kiến thức điểm, đường đặc biệt tam giác Từ vận dụng làm tập có liên quan đồng thời phát triển tư để phát tính chất để giải toán mới, sáng tạo tập D KIẾN NGHỊ-ĐỀ XUẤT Tôi kính đề nghị nhà trường xếp lớp học sinh tương đồng lực học tập, tăng thêm thời lượng ôn tập để việc giảng dạy thuận lợi đạt hiệu cao Tơi kính đề nghị Sở GD&ĐT tiếp tục tổ chức nhiều đợt hội thảo chuyên đề ôn thi HSG, ôn thi THPT quốc gia để học hỏi trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp tỉnh nhằm nâng cao chuyên mơn qua nâng cao hiệu giảng dạy Tư liệu tham khảo Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Ngọc Bích, Phương pháp giải tốn hình học, nhà xuất Đại Học Sư Phạm, 2004 Lê Q Mậu, Phạm Hữu Hồi, Chun đề bồi dưỡng tốn cấp Hình giải tích phẳng, nhà xuất Đà Nẵng, 1998 Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc Trang 32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Đặng Thành Nam, Kỹ thuật giải nhanh tốn hình phẳng Oxy, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2015 Trang 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... trình hai đường thẳ ng) II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐIỂM, CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC 2.1 Các đường đặc biệt tam giác Một số lưu ý: i) Bài toán có yế u tố đường cao  Sử du ̣ng tính... thi thử file word có lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng  đường phân giác góc A có phương trình 2x + y − = Khoảng cách từ C đến  gấp lần khoảng cách từ... thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC f) Từ e) suy tam giác HBC tam giác H1BC đối xứng qua đường thẳng BC suy đường tròn ngoại tiếp tam giác H1BC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam giác