SKKN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI TOÁN CẤP THCS

GIỚI THIỆU CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Bình Trị Đông, ngày 10 tháng 11 năm 2017 TM Tổ chuyên môn NHẬN XÉT CỦA NHÀ TRƯỜNG Bình Trị Đông, ngày tháng năm 2017 MỤC LỤC Trang Nhận xét Mục lục A MỞ ĐẦU B.NỘI DUNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐỊNH LÍ VI-ÉT II ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG TÌM NGHIỆM CỊN LẠI VÀ CHỈ RA HỆ SỐ CHƯA BIẾT CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT HAI NGHIỆM X1 VÀ X2 TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 10 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 11 ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 11 12 14 16 20 21 22 III BÀI TẬP TỔNG HỢP IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 23 26 C KẾT LUẬN : 27 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI TOÁN CẤP THCS A MỞ ĐẦU I LÝ DO NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: Ngày để theo kịp với phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật việc nâng cao kiến thức tốn học cho người nói chung học sinh nói riêng vơ cần thiết Trong chương trình Tốn 9, chương IV, học sinh làm quen với phương trình bậc hai ẩn, cơng thức tính nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt định lí Vi-ét ứng dụng việc giải tốn Ta thấy, để giải tốn có liên quan đến hệ thức Vi-ét, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức đại số Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại tốn Bên cạnh đó, nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Với mong muốn hệ thống kiến thức trọng tâm việc ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải tốn ơn thi vào lớp 10 THPT cho học sinh lớp đạt điểm số cao nhất, giúp học sinh tháo gỡ giải khó khăn, vướng mắc học tập, đồng thời làm tăng lực học toán kích thích hứng thú học tập học sinh, góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn Vì vậy, tơi chọn đề tài ”Ứng dụng định lí Vi-ét giải tốn cấp THCS” làm sáng kiến kinh nghiệm II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu nhằm giúp học sinh THCS có định hướng để giải tốn tìm điều kiện tham số phương trình bậc hai, đặc biệt có lối suy nghĩ nhanh nhẹn, linh hoạt cho trường hợp thấy ứng dụng rộng rãi định lí Vi-ét Mỗi tốn có nhiều cách giải khác nhau, việc khai thác nội dung tốn, tìm phương pháp giải có tác dụng tích cực phát triển tư lơ gíc, kĩ năng, sáng tạo góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán THCS III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Với đề tài này, theo để đề tài có tính chất khả thi nhiệm vụ khai thác triệt để tiềm sách giáo khoa tạo tiền đề, sở vững mặt kiến thức, phải nắm kiến thức sách giáo khoa, làm hết tất tập sách giáo khoa cách thành thạo, hiểu rõ yêu cầu biết phân dạng loại tập từ khai thác tập tài liệu tham khảo Lí thuyết: Dạng phương trình bậc hai ẩn, cơng thức nghiệm (thu gọn) phương trình bậc hai ẩn, hệ thức Vi - ét ứng dụng, cách xác định dấu nghiệm … IV PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp trường THCS công tác - Đề tài nghiên cứu số dạng ứng dụng hệ thức Vi-ét theo nội dung ôn thi vào lớp 10 THPT bao gồm kiến thức nâng cao đáp ứng nhu cầu học tập học sinh muốn đạt điểm cao thi vào trường THPT công lập THPT chuyên - Đề tài dành cho giáo viên tham khảo, áp dụng giảng dạy mơn Tốn giúp học sinh hệ thống hóa dạng tập phương pháp giải toán liên quan đến hệ thức Vi-ét Đề tài áp dụng trường THCS phạm vi toàn ngành V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT tốn 9, tài liệu có liên quan - Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra - Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh - Phương pháp mà sử dụng để nghiên cứu chủ yếu phương pháp thực nghiệm VI CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Khảo sát, tìm hiểu thực tế học sinh Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu hướng dẫn cần thiết Xây dựng phương pháp soạn giáo án khoá tự chọn Áp dụng vào tiết dạy lý thuyết tiết luyện tập, tiết dạy tự chọn, dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Hoàn thành phương pháp sau cho học sinh thực hành qua rút học kinh nghiệm VII NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Đề tài đề giải pháp gồm nội dung sau: - Sắp xếp dạng ứng dụng hệ thức Vi-ét theo mức độ từ dễ đến khó - Xây dựng phương pháp giải theo dạng - Rèn kỹ làm thành thạo toán ứng dụng hệ thức Vi-ét - Tìm tịi cách giải hay, khai thác tốn - Minh họa tập kỳ thi học kỳ quận Bình Tân tuyển sinh lớp 10 TP.HCM * Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức * Đối với học sinh khá, giỏi: - Phát triển tư duy, kỹ giải dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét có lồng ghép tập nâng cao - Đưa cách giải hay, sáng tạo, cho dạng B NỘI DUNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐỊNH LÍ VI-ÉT Trước hết trình dạy học giáo viên cần để học sinh nắm vững định lí Vi-ét số trường hợp đặc biệt Bởi sở, tiền đề, chìa khóa để giải tập: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a0) x1  Có hai nghiệm Suy ra: x1  x2  (1) b   2a ; x2  b   2a b    b   2b b   2a 2a a (b   )( b   ) b   ac c x1 x2    2 4a 4a 4a a Vậy - Tổng nghiệm S : - Tích nghiệm P : S= P= x1  x2  x1 x2  b a c a * Hệ quả: Xét phương trình (1) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (1)  a.12 + b.1 + c =  a + b + c = Như vây phương trình có nghiệm x1  nghiệm lại x2  c a b) Nếu cho x =  ta có (1)  a.(  1)2 + b(  1) + c =  a  b + c = Như phương trình có nghiệm x1  1 nghiệm lại x2  c a  Nếu có hai số u v thoả mãn điều kiện: u, v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx +  u  v S   u.v P P = (điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P  0) Sau số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng định lí Vi-ét giải số dạng tốn II ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1.1 Dạng đặc biệt: a) Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a  0) có a + b + c = phương trình có nghiệm là: x1 = cịn nghiệm là: x2 = c a b) Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a  0) có a - b + c = phương trình có nghiệm là: x1 = - cịn nghiệm là: x2 =  c a Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x  3x   (1) 2) x  x  11  (2) Giải Phương trình (1) có dạng a  b + c = nên có nghiệm x1  1 x2  Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1  x2  Bài tập áp dụng Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: x  199 x  201  x  500 x  507  x  39 x  40  221x  21x  200  1.2.Sử dụng hệ thức Vi-ét Ví dụ: Hãy nhẩm nghiệm phương trình (pt) sau: x  x  12  Giải Do  = 1> � pt có nghiệm phân biệt 11 Áp dụng hệ thức Vi-ét: �x1  x2  � �x1.x2  12 Vậy pt có nghiệm là: x1 = 3; x2 = Bài tập áp dụng Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: 2) x  (  5) x  15  1) x2 – 5x + =0 TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : (điều kiện để có hai số S2  4P  ) x  Sx  P  Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng a + b = tích ab = Giải Vì a + b = ab = nên a, b nghiệm phương trình : x  x   Giải phương trình ta x1  x2  Vậy a = b = a = b = Bài tập áp dụng: 1)Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 S =  P=6 2)Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a  b = ab = 36 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm tích a v b T a  b  �  a  b   81 � a  2ab  b  81 � ab  2 81   a  b   20 x 4 � x2  � Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x  x  20  � � Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) ab = 36 , cần tìm tổng : a + b Đ ặt c =  b ta có : a + c = a.c =  36 x  4 � x2  � Suy ra: a,c nghiệm phương trình : x  x  36  � � Do a =  c = nên b =  a = c =  nên b = TÌM NGHIỆM CỊN LẠI VÀ CHỈ RA HỆ SỐ CHƯA BIẾT CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Ví dụ: (Tuyển sinh 10 NH: 2013-2014) Cho phương trình x  8x  m   (*) (x ẩn số) Định m để phương trình (*) có nghiệm x  Giải Phương trình (*) có nghiệm x = �   m   � m  � m  �1 Bài tập áp dụng a) Phương trình x  px   Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Cho phương trình : x  x  q  , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình Hướng dẫn: a) Thay x1  phương trình ban đầu ta : p T x1 x2  suy x2  5  x1 b) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1  x2  11 theo VI-ÉT ta có �x  x  11 �x1  x1  x2  , ta giải hệ sau: �1 �� �x1  x2  �x2  2 Suy q  x1 x2  18 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rổi tính giá trị biểu thức 4.1 Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1  x2 ) x1 x2 Ví dụ : a) x12  x22  ( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2 = S2- 2P 3 2  x1  x2   3x1 x2 � b) x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  � � �= S -3PS 2 ( x1  x2 )  x1 x2 � c) x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )   x12  x22   x12 x22  � � � x1 x2 2 = (S2-2P)2 – 2P2 d) 1 x1  x2 S   = x1 x2 x1 x2 P x1 x2 x12  x2 S  P  e)   x2 x1 x1 x2 P f ) x1  x2  ? Ta có:  x1  x2    x1  x2   x1 x2 � x1  x2  �  x1  x2   x1 x2 2 Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: 2 x1  x2 (   x1  x2   x1  x2  =…….) x13  x23 2  x1  x2   x1 x2 � ( =  x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  � � �=…… ) 4.2 Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x  x  15  Khơng giải phương trình, tính x12  x22 (34) 1  x1 x2 �8 � � � 15 � � x1 x2  x2 x1 �34 � � � �15 �  x1  x2  (46) b) Cho phương trình x  x   có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q x12  10 x1 x2  x22 x1 x23  x13 x2 x12  10 x1 x2  x22 6( x1  x2 )  x1 x2 6.(4 3)  2.8 17    Hướng dẫn: Q  x x3  x3 x 2 80 5.8 � (4 3)  2.8� x1 x2 � 2  x1  x2   x1 x2 � � � � � Ví dụ : (Tuyển sinh 10 NH: 2014-2015) Cho phương trình x  mx   (1) (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1): Tính giá trị biểu thức : P  x12  x1  x1  x22  x2  x2 Giải a) Ta có a.c = -1 < , với m nên phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu với m 2 b) Ta có x1  mx1  x  mx  (do x1, x2 thỏa 1) Do P  mx1   x  mx   x  (m  1)x1 (m  1)x     (Vì x1.x �0 ) x1 x2 x1 x2 Bài tập áp dụng Cho phương trình: x  2(m  4) x  2m   (1) a) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị m b) Tính giá trị biểu thức: P  x12  x1  2m  x22  x2  2m    2017 x1 x2 LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT HAI NGHIỆM X1 VÀ X2 Ví dụ : Cho x1  ; x2  lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm �S  x1  x2  x1 ; x2 nghiệm phương trình có dạng: �P  x1 x2  15 Giải Theo hệ thức Vi-ét ta có � x  Sx  P  � x  x  15  Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - = (1) 10 �  x + x  = m- 20 � �x1 + x = m-10 � �� �  x1 + x  + x1x = -19 b) Ta có: � x x = -4 m+ �x1x = -4 m+1 �1 Bài tập áp dụng Cho phương trình : x   m   x   2m  1  có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy    m     2m  1  m  4m    m     2 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức Vi- ét ta có �m  x1  x2  2(1) �x1  x2  m  � � � x1 x2  � m (2) �x1.x2  2m  � � Từ (1) (2) ta có: x1  x2   x1 x2  �  x1  x2   x1 x2   TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được: A m � C� nB � Ta có: (trong A, B biểu thức không âm ; m, n số) (*) C �m (v ì A �0 ) � C  m � A  C �n (v ì B �0 ) � max C  n � B  Ví dụ 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = Tìm m để x12  x22 có giá trị nhỏ Giải  = 4m2 - 4m + - 4m + = 4m2 - 8m + = 4(m - 1)2 + > Nên phương trình cho có hai nghiệm với m Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m -  x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) 13 =4m2 - 6m + = (2m - 11 11 ) +  4 Dấu “=” xảy m = Vậy giá trị nhỏ (x12 + x22) = 11 m = 4 Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2013-2014) Cho phương trình: x  2(m  2)x  6m   (x ẩn số, m tham số) a)Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b)Tính tổng tích hai nghiệm phương trình theo m c) Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ A = x12 x + x1.x 22 Giải a)Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m Ta có:  '  (m  2)2   6m  3  m  2m    m  1 �0 Vậy phương trình cho ln có nghiệm với m b) Vì phương trình ln có nghiệm với m, theo Vi-ét: Ta có: S  x1  x  P  x1.x  b  2m  a c  6m  a c) Ta có: A = x12 x + x1.x 22 = x1.x  x1 + x  =  2m +   6m + 3 12m + 30m + 12 2 � 5� 9� � � 27 27 � 2m + �- �= �2m + ��= 3� � 2� 4� 2� 4 � � � � � Dấu "=" xảy 2m + Vậy GTNN A -5 =0 � m= 27 5 m = 4 Ví dụ 3: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2015-2016) Cho phương trình: x  2(m  3)x  m  3m   (x ẩn số, m tham số) a) Tìm m để phương trình ln có nghiệm 14 b) Tìm m để A = x1(x2 – 1) – x2 đạt giá trị nhỏ Giải a) Tìm m để phương trình ln có nghiệm với m ' 2 Ta có:   (m  3)   m  3m  1  9m  Để phương trình cho ln có nghiệm với m thì: ' �� �۳ 9m 8 m 8 phương trình ln có nghiệm với m, theo hệ thức Vi-ét: b) Khi m � Ta có: S  x1  x  b  2  m   a c P  x1.x   m  3m  a Ta có: A = x1(x2 – 1) – x2 = x1x2 – x1 – x2 = x1x2 – (x1 + x2) = m2 – 3m + + 2m + � � 27 27 =m –m+7= � m  � � � 2� Vậy A đạt GTNN 27 1 m   � m  (nhận) 2 Ví dụ 4: (Tuyển sinh 10 NH : 2012-2013) Cho phương trình x  2mx  m   (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức M = 24 đạt giá trị nhỏ x  x22  x1 x2 Giải a)  '  (m  2)   nên pt có nghiệm phân biệt với m b a b) Do đó, theo Vi-ét, với m, ta có: S =   2m ; P = M=  24 24 6  = 2 ( x1  x2 )  x1 x2 4m  8m  16 m  2m  6 Khi m = ta có (m  1)  nhỏ (m  1)  15 c  m2 a � M  6 lớn m = � M  nhỏ m = ( m  1)  (m  1)  Vậy M đạt giá trị nhỏ - m = Bài tập áp dụng Bài 1: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 2: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) Tìm m cho nghiệm x1; x2 phương trình thoả : 10x1x2 +x12+x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a    0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn Giải 1 x1  x   x1 x2   Δ , (m 2)2  (m2  2m 3) 0(1)  (2) Ta phải có:  x1.x2 0  1 x1  x2 (3)     x1 x2 (1)  ' = m2 - 4m + - m2 - 2m + = - 6m + >  m < (2)  m2 + 2m -   (m - 1)(m + 3)   m  1; m  - (3)  x1  x2 x1  x2   ( x1  x2 )(5  x1 x2 ) 0 x1 x2 * Trường hợp: x1 + x2 =  x1 = - x2  m = không thoả mãn điều kiện (1) 16 * Trường hợp: - x1.x2 =  x1.x2 = Cho ta: m2 + 2m - =  (m - 2)(m + 4) = m (loại) m (thoảmÃnĐ K) Vậy với m = - phương trình cho có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x  x2 1   x1 x Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2012-2013) Cho phương trình: x  (m  1)x  m   (x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Tính tổng tích hai nghiệm phương trình theo m 1 c) Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m nguyên để A  x  x đạt giá trị nguyên Giải a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m Ta có:   (m  1)   m    m  6m    m  3 �0 Vậy phương trình cho ln có nghiệm với m b) Vì phương trình ln có nghiệm với m, theo Vi-ét: Ta có: S  x1  x  P  x1.x  b  m 1 a c  m2 a 1 x1  x2 m -1   1 c) Ta có: A  x  x = x1.x2 m-2 m-2 Để A đạt giá trị nguyên thì: m – � Ư(1) = {-1; 1} Suy ra: m = 1; m = 1 Vậy m = hay m = A  x  x đạt giá trị nguyên Ví dụ 3: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2016-2017) 17 Cho phương trình: x  2(m  5)x  4m  16  (x ẩn số, m tham số) a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để x13.x2 – x1.x23 = (với x1, x2 nghiệm phương trình trên) Giải a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với m Ta có: '  (m  5)2   4m  16   m  6m    m  3 �0, m Vì  ' �0, m nên phương trình ln có nghiệm với m b) Vì phương trình ln có nghiệm với m, theo hệ thức Vi-ét: Ta có: S  x1  x  b   m  5 a c P  x1.x   4m  16 a Ta có: x13.x2 – x1.x23 = � x1x2(x12 – x22) = � x1x2(x1 – x2)(x1 + x2) = � 4m  16  x1x  m4 � � � � � �� x1  x  � �  m  5  � m  � � � m3 x  x  � �1  m  3  � � � Vậy m = 3; 4; x13.x2 – x1.x23 = Ví dụ 4: Cho phương trình : 3x   3m   x   3m  1  Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  Hướng dẫn : 3m  � x1  x2  � � (1) - Theo Vi-ét: � �x x  (3m  1) �1 x1  5( x1  x2 )  � � 64 x1 x2   5( x1  x2 )  6  3( x1  x2 )  6 � x2  3( x1  x2 )  - Từ giả thiết: x1  x2  Suy ra: � (2) � 64 x1 x2  15( x1  x2 )  12( x1  x2 )  36 18 m0 � � - Thế (1) vào (2) ta phương trình: m(45m  96)  � � 32 m 15 � (thoả ) Bài tập áp dụng (TUYỂN SINH 10 - NH:2015-2016) Cho phương trình x  mx  m   (1) (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 (1) thỏa mãn x12  x22  4 x1  x2  (TUYỂN SINH 10 NH:2016-2017) Cho phương trình: x2 – 2m x + m – = (1) (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Định m để nghiệm x1, x2 phương trình (1) thỏa mãn: (1+ x1)(2 - x2) + (1+ x2)(2 - x1) = x12 + x22 + XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax  bx  c  (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có Cho phương trình: nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm trái dấu dấu dương âm x1 x2 � � m + +  S  x1  x2 P  x1 x2 S>0 S0 P>0 �   0 0 0 0 Điều kiện chung P < 0 ;P>0 0 ;P>0;S>0   ; P > ; S < Ví dụ 1: Xác định tham số m cho phương trình: x   3m  1 x  m  m   có nghiệm trái dấu Giải Để phương trình có nghiệm trái dấu �   (3m  1)  4.2.( m  m  6) �0  �0 �   ( m  7) �0m � � � � m m6 �� � 2  m  � 0 �P  �P  (m  3)(m  2)  �P  � Vậy với 2  m  phương trình có nghiệm trái dấu Ví dụ 2: (Tuyển sinh 10 NH: 2014-2015) Cho phương trình x  mx   (1) (x ẩn số) 19 Giải Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu Ta có a.c = -1 < , với m nên phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu với m Bài tập áp dụng 2 Bài 1: Cho phương trình x   m  1 x  m  m   a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm trái dấu với m 2 b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị m để x1  x2 đạt giá trị nhỏ Bài 2: Cho phương trình: , (m tham số) (1) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm b) Tính tổng tích hai nghiệm và phương trình (1) theo m Tìm m cho phương trình (1) có hai nghiệm , thỏa Bài 3: Cho phương trình: x   m  1 x  m  (với m tham số) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 Tính tổng tích hai nghiệm theo m b) Tìm m cho phương trình (1) có nghiệm phân biệt nhỏ 10 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Ví dụ : Cho a, b nghiệm phương trình: x + px + = b, c nghiệm phương trình x2 + qx + = Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - Giải a,b nghiệm phương trình: x2 + px + = b,c nghiệm phương trình: x2 + qx + = Theo định lý viét ta có:  a b - p   a.b1  b  c - q  b.c2  Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 20 Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - (2) Từ (1) (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) Bài tập áp dụng Gọi a, b hai nghiệm phương trình bậc hai: x + px + = Gọi c, d hai nghiệm phương trình: y2 + qy + = Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 11 ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 x 5 x  x  x  =6 x 1   x 1   Giải ĐKXĐ: {x  R  x  - 1} 5 x   u  x x  Đặt:   x (*)   x  x 1   5 x  5 x   u   x x     x  x          x  x      u.  x . x    x 1   x 1    u, v nghiệm phương trình:  = 25 – 24 = x1 =  u  5   u. 6 x2 - 5x + = 1 =3 x2 = 5 =2 u = v = u = v =  u 3 Nếu:  (*) trở thành:  2 x2 - 2x + = có ' = - = - <  Phương trình vơ nghiệm:  u 2 (*) trở thành: x2 - 3x + =    Nếu:  Suy ra: x1 = 1; x2 = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x  y  yx7   xy  x2y 12 21 Giải Đặt x + y = S xy = P Ta có hệ:  S  P 7   S.P12 Khi S P hai nghiệm phương trình: t2 – 7t + 12 = Giải phương trình t = t = + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: u2 - 4u + =  u = u = Suy (x = 1; y = 3) (x = 3; y = 1) + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: v2 – 3v + = Phương trình vơ nghiệm  = - 16 = - < Vậy hệ cho có hai nghiệm là: (x = 1; y = 3) (x = 3; y =1) Bài tập áp dụng Giải hệ phương trình: a)  x  y 11   xy 31 b)  x  y  yx 7   xy  x2y 12 III BÀI TẬP TỔNG HỢP Cho phương trình: (m - 3)x - 2mx + m +2 = 0(1); m tham số Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm kép Tìm giá trị m để phương trình (1) vơ nghiệm 22 Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = -2 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm dấu Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm âm 10 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm dương 11 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dấu 12 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt âm 13 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương 14 Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm kép dương 15 Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm kép âm 16 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm hai số đối 17 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm hai số nghịch đảo 18 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x , x thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 19 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương 20 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bé nghiệm dương 23 21 Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm khơng âm 22 Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ 23 Tìm số nguyên m nhỏ cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 24 Tìm số nguyên m lớn cho phương trình (1) vơ nghiệm 25 Tìm giá trị nguyên m để nghiệm phương trình (1) số hữu tỷ 26 Định m để phương trình (1) phương trình (m - 3)x + 2x + 3m + = (2) có ngiệm chung 27 Tìm giá trị m để biểu thức A = x1  x 2 có giá trị nhỏ Với x , x nghiệm phương trình (1) 28 Tìm m để biểu thức B =  x1 x có giá trị lớn nhất(x , x nghiệm ( x1  x ) phương trình (1) ) 29 Xác định m để cạnh huyền tam giác vng có độ dài , với số đo độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phương trình (1) 30 Xác định m để độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phương trình (1) có độ dài , với số đo độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 24 Đề tài áp dụng năm học trước dành cho khối ôn thi tuyển sinh 10 Thông qua nội dung đề tài, học sinh hệ thống hóa dạng tập áp dụng định lí Vi-ét phương pháp giải chúng Từ đó, học sinh hiểu nắm kỹ kiến thức hơn, góp phần giúp học sinh đạt kết tốt kỳ thi học kỳ 2, đặc biệt thi tuyển sinh lớp 10 Ngoài ra, đề tài tài liệu tham khảo dành cho giáo viên Tốn Kết trung bình mơn năm học có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Khối Giỏi Khá Trung Yếu Kém Tb trở lên bình Năm học 2014-2015 32,4% 34,4% 20,9% 2.3% 97.7% Năm học 2015-2016 30,3% 33,5% 26.2% 0 100% Năm học 2016-2017 37,6% 34,6% 27,8% 0 100% C KẾT LUẬN Việc tìm hiểu nghiên cứu ứng dụng định lí Vi-ét việc giải tốn vấn đề lớn, nhiều toán tương đối phức tạp địi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tốt kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt hiểu sâu hiểu rộng vấn đề Chính lẽ đó, trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng dạng tập để học sinh hiểu rõ chất biết cách vận dụng Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung 25 thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác nhau.Sau áp dụng đề tài trường công tác thấy phần lớn em học sinh hiểu rõ chất toán liên quan đến hệ thức Vi-ét biết cách vận dụng giải tập Tơi hy vọng đề tài giúp ích cho em học sinh việc học giải toán ứng dụng hệ thức Vi-ét Qua em có phương pháp giải định cho dạng tốn, tránh tình trạng định hướng giải chưa đúng, lúng túng trình bầy lời giải, hạn chế sai lầm giải tập Tạo cho học sinh niềm đam mê, tích cực học tập đạt kết cao kỳ thi Nghiên cứu đề tài “ Ứng dụng định lý Vi-ét giải toán cấp THCS” khơng giúp cho học sinh u thích mơn tốn, mà cịn sở giúp cho thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy ,ngày tháng 11 năm 2017 Người viết TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán - NXBGD 2005 Vũ Dương Thuỵ - Lê Thống Nhất - Nguyễn Anh Qn - Tuyển tập đề thi mơn Tốn THCS NXBGD 2005 Nguyễn Văn Vinh - Nguyễn Đức Đồng - 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp - NXBGD 2005 Tôn Thân - Hướng dẫn làm tập Đại Số - NXBGD 1999 Nguyễn Đức Tuấn - Giải nhiều cách toán - NXBTH TP HCM NXBGD 2005 26 Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Việt Hải - Vũ Dương Thuỵ - Toán nâng cao chuyên đề Đại Số – NXB Giáo Dục 1996 Phan Thế Thượng - Bùi Tuấn Kiệt - Tạ Minh Quang - Tuyển chọn 400 tập Toán - NXB Đà Nẵng 2000 Sách giáo khoa Toán Tập 2-NXB Giáo Dục Sách tập Toán 9.Tập - NXB Giáo Dục 27 ... v là: S2 – 4P  0) Sau số ví dụ minh hoạ cho vi? ??c ứng dụng định lí Vi- ét giải số dạng tốn II ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI- ÉT TRONG VI? ??C GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1.1 Dạng...Nhận xét Mục lục A MỞ ĐẦU B.NỘI DUNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐỊNH LÍ VI- ÉT II ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI- ÉT TRONG VI? ??C GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG... Vi - ét ứng dụng, cách xác định dấu nghiệm … IV PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp trường THCS công tác - Đề tài nghiên cứu số dạng ứng dụng hệ thức Vi- ét