Nam tron chuyen de nguyen ham tich phan va ung dung on thi thpt qg mon toan

NG CHƯ Ơ Nhật Linh Phan NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CƠ BẢN CHỦ ĐỀ 11 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định K Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F  ( x ) = f ( x ) với x thuộc K Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) ký hiệu  f ( x) = F ( x) + C Chú ý: Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K Tính chất   f ( x)  g ( x)dx =  f ( x)dx   g ( x)dx  kf ( x)dx = k  f ( x)dx (với k  )    k f ( x) + l.g ( x)dx = k  f ( x)dx + l  g ( x)dx Nếu f , g hai hàm số liên tục K (  f ( x)dx ) = f ( x) + C Công thức đổi biến số:  f [u ( x ) ]u ( x ) dx = F[u ( x ) ] + C Công thức nguyên hàm phần:  udv = uv −  vdu Bảng nguyên hàm vi phân Hàm hợp u = u ( x ) Hàm số sơ cấp  dx = x + C   x +1 x dx = + C (  −1)  +1 dx = ln x + C ( x  ) x   du = u + C   u +1 u du = + C (  −1)  +1 du = ln u + C ( u ( x )  ) u  Thường gặp Vi phân   ( a x + b ) dx =   cos xdx = sin x + C  cos udu = sin u + C   sin xdx = − cos x + C  sin udu = − cos u + C   cos x dx = tan x + C  cos u du = tan u + C | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 d ( ax + b ) = dx a 1  (ax + b) +1 + C a  +1 dx = ln ax + b + C ( a  ) ax + b a cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a  cos dx = tan ( ax + b ) + C ax + b ) a 2( CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG 1 du = − cot u + C d x = − cot x + C sin u sin x Với u ( x )  k Với x  k     eu du = eu + C  au du = e x dx = e x + C  a x dx = ax + C (  a  1) ln a  sin e au + C (  a  1) ln a ax + b a dx −1 = cot ( ax + b ) + C ax + b ) a 2( dx = px + q ax +b e +C a dx = a px + q + C (  a  1) p.ln a Một số nguyên tắc tính nguyên hàm PP Tích đa thức lũy thừa ⎯⎯→ khai triển PP Tích hàm mũ ⎯⎯→ khai triển theo công thức mũ PP Bậc chẵn sin cos ⎯⎯→ hạ bậc: sin a = 1 1 − cos 2a ; cos a = + cos 2a 2 2 PP Chứa tích thức x ⎯⎯→ chuyển lũy thừa • Phương pháp đổi biến số  f ( x ) dx = F ( x ) + C  f u ( x ).u ( x ) dx = F u ( x ) + C Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I =  f ( x ) dx , ta phân tích hàm số cho Nếu f ( x ) = g u ( x )  u ( x ) ta thực phép đổi biến đặt t = u ( x )  dt = u ( x ) dx Khi đó, ta thấy  I = g ( t )dt = G ( t ) + C = G u ( x )  + C Chú ý: Sau ta tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t = u ( x ) • Phương pháp tính ngun hàm, tích phân hàm số hữu tỷ I = P ( x)  Q ( x )dx PP Nếu bậc tử số P ( x )  bậc mẫu số Q ( x ) ⎯⎯→ Chia đa thức PP Nếu bậc tử số P ( x )  bậc mẫu số Q ( x ) ⎯⎯→ phân tích mẫu Q ( x ) thành tích số, sử dụng phương pháp chia để đưa công thức ngun hàm số PP Nếu mẫu khơng phân tích thành tích số ⎯⎯→ thêm bớt để đổi biến lượng giác hóa cách đặt X = a tan t , mẫu đưa dạng X + a • Nguyên hàm phần Cho hai hàm số u v liên tục  a; b  có đạo hàm liên tục  a; b  Khi ta có  udv = uv −  vdu (*)   Để tính nguyên hàm udv = uv − vdu phương pháp phần ta làm sau: Bước 1: Chọn u , v cho f ( x ) dx = udv (Chú ý: dv = v ( x ) dx và), tính v = dv du = udx  Bước 2: Thay vào công thức (*) tính vdu  TÀI LIỆU TỐN 12 THPT | Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia  Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân vdu dễ tính  udv Mẹo nhớ: “Nhất lơ, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG Dạng 1: Nguyên hàm hàm số B Câu 1: VÍ DỤ MINH HỌA Nếu  f ( x ) dx = x + 3x + C hàm số f ( x ) bằng: x + x + Cx C f ( x ) = x + x3 B f ( x ) = x + x + C A f ( x ) = D f ( x ) = x + x  Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A  a x dx = a x ln a + C (  a  1) C   x dx = B  cos xdx = sin x + C x +1 + C ,   −1  +1 D  f  ( x ) dx = f ( x ) + C  Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = 2x − , x  x−2 \ 2 thỏa mãn f (1) = f ( 3) = Giá trị biểu thức f ( ) + f ( ) A C + 3ln B D −5 + ln  Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | Phan Nhật Linh Câu 4: Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x F ( ) = Giá trị F ( ln 3) A B C D  Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = 12 x + 2, x  f (1) = Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) thỏa mãn F ( ) = , F (1) A −3 B C D  Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM dx = F ( x ) + C Khẳng định đúng? x −1 −1 A F  ( x ) = B F  ( x ) = +C ln x ln x 1 C F  ( x ) = D F  ( x ) = − 2 x ln x ln x  x ln Câu 1: Cho Câu 2: Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) khoảng K nếu: Câu 3: A F  ( x ) = − f ( x ) , x  K B F  ( x ) = f ( x ) , x  K C f  ( x ) = F ( x ) , x  K D f  ( x ) = − F ( x ) , x  K Cho x dx = F ( x ) + C Khẳng định sau đúng? A F ( x ) = − x Câu 4: B F ( ) − F ( ) = 1 B F ( x ) = 3x Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa mãn: Tính f ( 2023) A 4047 Câu 7: B 4046 D F ( ) − F ( ) =  D F ( x ) = C F ( x ) = x  f ( x )dx = x + x + + C , x  C 8093 B 625 x ,C số D 8092 C 25 D 125 Tìm nguyên hàm F (t ) =  txdt x 2t +C B F (t ) = (tx) +C D F (t ) = A F (t ) = x + t + C xt +C C F (t ) = Câu 9: C F ( ) − F ( ) =  Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x Biểu thức F  ( 25 ) A Câu 8: D F ( x ) = ln x Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 ? A F ( x ) = 3x Câu 6: C F ( x ) = ln x Cho hàm số y = x có nguyên hàm F ( x ) Khẳng định sau đúng? A F ( ) − F ( ) = 16  Câu 5: B F ( x ) = x Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = đề đúng? A F ( −1) = − ln B F ( ) = − ln thỏa mãn F ( ) = F ( ) = Mệnh x −1 C F ( 3) = + ln D F ( −3) = Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = cos  ( x +  )  − 3x Khẳng định đúng?  f ( x ) dx = 2sin 2 ( x +  ) − x C  f ( x ) dx = − sin  ( x +  )  − x A +C +C  f ( x ) dx = sin x − x + C D  f ( x ) dx = −4sin  ( x +  )  − x + C B TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Câu 11: Tính  sin 2 xdx A sin x +C B x sin x + +C C − cos3 x +C D x sin x − +C D e3 x +1 − x3 Câu 12: Một nguyên hàm hàm số f ( x ) = e3 x +1 − x A e3 x +1 − x3 B e3 x +1 − x3 Câu 13: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3cos x + A −3sin x + +C x B 3cos x + C e3 x +1 − x3 ( 0; + ) x2 +C x C 3cos x + ln x + C D 3sin x − +C x Câu 14: Một nguyên hàm hàm số f ( x) = x A H ( x) = x B G ( x) = x + C F ( x) = x + x D K ( x) = x3 Câu 15: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 − x − A x − 3x3 − x + C B x − x + C C x − x − x+C D x − x + C ( 0; + ) F (1) = Tính F ( 3) ? x C F ( 3) = ln + D F ( 3) = ln + Câu 16: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( 3) = ln B F ( 3) = ln + C Câu 17: Trên khoảng ( 0; + ) , họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − A − x + C B 15 x +C − −9 D − x + C C 5x + C Câu 18: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + cos x A x sin x − +C ln C x ln − B x ln + sin x +C D sin x +C x sin x + +C ln Câu 19: Trên khoảng ( 0; + ) , họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x A C  f ( x ) dx = 13 x +C B  f ( x ) dx = 43 x +C D  f ( x ) dx = 3x + C  f ( x ) dx = 43 x +C Câu 20: Cho hàm số y = F ( x ) nguyên hàm hàm số y = x Tính F  ( 25 ) A B 25 C 625 Câu 21: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 D 125   thỏa mãn F   = Giá trị 4 CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG   biểu thức S = F ( − ) + F   2 A S =  − 4 B S = 3 − C S = Câu 22: Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = − x + x + C A − x + B x − x − x + C 3 + x D S = 3 − C x − x − x + C D − x + x + C Câu 23: Tìm nguyên hàm L hàm số f ( x ) = ( x + 1) A L = ( x + 1) + C , C số C ( x + 1) L= 3 + C , C số B L = x + C , C số D L = x3 + x + C , C số Câu 24: Họ nguyên hàm  sin ( x + 1) dx A − cos ( x + 1) +C B cos ( x + 1) +C C sin ( x + 1) +C D − cos x + C Câu 25: Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x + e x e x +1 +C x +1 C x + x + e x + C A x5 + x + B 20 x + 12 x + e x + C D x5 + x + e x +1 + C dx 2x + 1 A − ln x + + C B ln x + + C 2 Câu 26: Nguyên hàm I =  Câu 27: Kết A x + (x + e 2020 x e2020 x +C 2020 C − ln x + + C D ln x + + C ) dx B x3 + e2020 x +C 2020 C x e2020 x + +C 2020 D x + e2020 x +C 2020 1 Câu 28: Cho hàm số f ( x ) = ( x + 1) có nguyên hàm F ( x ) thỏa mãn F   = Hãy tính 2 3 P = F  2 A P = 32 B P = 34 C P = 18 D P = 30  ex  Câu 29: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e− x  +  cos x   A F ( x ) = − x + tan x + C B F ( x ) = e x − tan x + C e C F ( x ) = − x − tan x + C D F ( x ) = e − x + tan x + C e TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | Phan Nhật Linh Câu 30: Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia dx  x + −1 A ln B ln C D 10ln ln 10 Câu 31: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + sin 3x F ( ) = Khẳng định sau đúng? cos 3x +1 cos 3x C F ( x ) = 3x + −1 cos 3x + 3 cos 3x D F ( x ) = 3x − +1 A F ( x ) = 3x + B F ( x ) = 3x − Câu 32: Cho hàm số f ( x ) = x + 3x + x Khẳng định sau đúng? A C  f ( x ) dx = 8x  + 9x2 + + C f ( x ) dx = x5 + 3x + x + C B  f ( x ) dx = x D f ( x ) dx =  + x3 + x + + C x5 3x + + x2 + C Câu 33: Cho hàm số f ( x ) = cos x − x Khẳng định đúng?  f ( x ) dx = sin x − x + C C  f ( x ) dx = sin x − x  f ( x ) dx = − sin x − x D  f ( x ) dx = − sin x − x A B 2 +C Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = sin x Khẳng định đúng? 1 1 A  f ( x ) dx = x − sin x + C C  f ( x ) dx = x + sin x + C 1 1 B  f ( x ) dx = x − sin x + C D  f ( x ) dx = x + sin x + C B  f ( x ) dx = 12 (3x − 1) Câu 35: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( 3x − 1) A C  f ( x) ( 3x − 1) dx =  f ( x) ( 3x − 1) dx = +C 15 Câu 36: Cho hàm số f ( x ) = +C D  f ( x) ( 3x − 1) dx = +C 12 +C 1 − − Khẳng định đúng? cos x sin x  f ( x ) dx = tan x + cot x + x + C C  f ( x ) dx = tan x + cot x − x + C A  f ( x ) dx = tan x − cot x − x + C D  f ( x ) dx = − tan x + cot x − x + C B Câu 37: Cho hàm số f ( x ) = x − 11 Khẳng định đúng? A C  f ( x )dx = 3x + C  f ( x )dx = x4 + 11x + C | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 f ( x )dx = x4 − 11x + C B  D  f ( x )dx = x − 11x + C CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG f ( x) − f ( x) = x − ( x + 2) ( x + )3  f ( x )    f ( x) x2  =−  = x + , suy Do  nên  = − x + C hay 2  ( x + )   ( x + )  ( x + )3 ( x + )2 2  x2 f ( x ) = ( x + 2)  − 2x + C    x  Vì f ( ) = nên C = , suy f ( x ) = x  −  ( x + ) 2  x  Kết hợp hai trường hợp ta có f ( x ) = x  −  ( x + ) với x   −2; + ) 2  Phương trình f ( x ) = có nghiệm x = −2 , x = x = Bên cạnh f ( x )  với x   0;4 f ( x )  với x   −2;0 Vậy diện tích cần tìm là: S = 464 2 x  x  x  −  ( x + ) dx − x  −  ( x + ) dx = 2  2  −2   TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 38 Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Dạng 13: Ứng dụng tích phân vào tốn chuyển động A Câu 1: VÍ DỤ MINH HỌA Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian 59 quy luật V ( t ) = t + t ( m/s ) Trong t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu 150 75 chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng ( ) hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a m/s ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20 ( m/s ) B 16 ( m/s ) C 13 ( m/s ) D 15 ( m/s ) Lời giải Chọn B 15  59  t + t  dt = 96 ( m ) Quãng đường chất điểm A từ O đến lúc gặp B là: S1 =  150 75     Vận tốc chất điểm B là: VB ( t ) = adt = at + C Tại thời điểm t =  VB =  C =  VB ( t ) = at 12  at  Quãng đường chất điểm B từ O đến lúc gặp A là: S = ( at ) dt =   = 72a ( m )  0 12  quãng S1 = S2  72a = 96  a = m/s Khi A B gặp ( đường nhau, ta có: ) Vận tốc B đuổi kịp A là: VB ( t ) = t , với t = 12  VB (12 ) = 16 ( m/s ) Câu 2: Một ô tô chạy với vận tốc 10 m / s người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −2t + 10 ( m / s ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển giây cuối tính đến thời điểm dừng bánh A 16 m B 55m C 25m D 50 m Lời giải Chọn D Khi tơ dừng bánh, ta có: v =  −2t + 10 =  t = Do đó, ta có quãng đường xe giây cuối ( giây với vận tốc 10 m / s , giây sau đạp phanh) là: S = 3.10 +  ( −2t + 10 ) dt ( = 30 + −t + 10t Câu 3: ( ) = 30 − 52 + 10.5 = 55 ( m ) ) Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) = 6t m / s Vận tốc thời điểm t = giây 17 m / s Quãng đường vật khoảng thời gian từ thời điểm t = giây đến thời điểm t = 10 giây là: | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG A 1200 m B 1014 m C 966 m D 36 m Lời giải Chọn C   Ta có v = a ( t ) dt = 6tdt = 3t + C Theo giả thiết ta v ( ) = 17  3.22 + C = 17  C = Suy v ( t ) = 3t + Quãng đường vật khoảng thời gian từ thời điểm t = giây đến thời điểm t = 10 10 4 giây là: s = v ( t ) dt = Câu 4: 10  ( 3t ) ( + dt = t + 5t ) 10 = 966 m Một xe máy chạy với vận tốc 10 m / s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −2t + 10 , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 30m B 20m C 50m D 25m Lời giải Chọn D Xét phương trình −2t + 10 =  t = Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh sau 5s tơ dừng hẳn Quãng đường xe máy kể từ lúc người lái đạp phanh đến xe máy dừng s= Câu 5: 0 ( −2t + 10 ) dt = ( −t + 10t ) = 25m Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) = 6t m/s Vận tốc vật thời điểm t = giây 17t m/s Quãng đường vật khoảng thời gian từ thời điểm t = giây đến thời điểm t = 10 giây A 966 m B 36 m C 1200 m D 1014 m Lời giải Chọn A   Từ giả thiết suy v ( t ) = a ( t )  v ( t ) = a ( t )dt = 6tdt = 3t + C Mặt khác v ( ) = 17 nên 3.2 + C = 17  C = Do v ( t ) = 3t + Quãng đường vật khoảng thời gian từ thời điểm t = giây đến thời điểm t = 10 giây 10 4 s = v ( t ) dt = Câu 6: 10 4 ( 3t ) ( + dt = t + 5t ) 10 = 1050 − 84 = 966 m Một xe ô tô sau chờ hết đèn đỏ bắt đầu chuyển động với vận tốc biểu thị đồ thị đường cong parabol Biết sau phút xe đạt đến vận tốc cao 1000 m/phút bắt đầu giảm tốc, phút xe chuyển động (tham khảo hình vẽ) TÀI LIỆU TỐN 12 THPT | Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Quãng đường xe sau 10 phút kể từ hết đèn đỏ mét? A 8160 m B 8610 m C 10000 m D 8320 m Lời giải Chọn A  at + bt + c  t  Phương trình vận tốc ô tô là: v ( t ) =   t  10 v ( ) Trong khoảng thời gian phút đầu đồ thị vận tốc đường parabol qua điểm ( 0;0 ) , ( 5;1000 ) có hồnh độ đỉnh 5, đó:  c = c = a = −40     −40t + 400t  t  25a + 5b + c = 1000  5a + b = 200  b = 400  v ( t ) =   t  10  960  b 10a + b = c =   − =5  2a Vậy quãng đường ô tô 10 phút đầu là: 10 0 S = v ( t ) dt = Câu 7: 0 ( −40t ) 10 6 + 400t dt + 960dt = 8160 m Tại nơi khơng có gió, khinh khí cầu đứng yên độ cao 243 mét so với mặt đất phi công cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t ) = 12t − t t tính phút thời gian tính từ lúc khinh khí cầu bắt đầu chuyển động, v ( t ) tính theo đơn vị mét/phút Nếu vận tốc v khinh khí cầu tiếp đất v = x mét/phút giá trị x bao nhiêu? A 15 mét/phút B 18 mét/phút C 27 mét/phút D 48 mét/phút Lời giải Chọn C Gọi thời điểm khinh khí cầu bắt đầu chuyển động t = , thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất t1 Quãng đường khinh khí cầu di chuyển từ lúc chuyển động tới tiếp đất t1  −5,56 t1 t13 2 (12t − t )dt = 243  − + 6t1 − 243 =  t1  14,56 t1 = Vì v(t )    t  12 nên t1 =  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG Vận tốc khinh khí cầu lúc tiếp đất là: v ( ) = 27 mét/phút Câu 8: Một ô tô chạy với vận tốc 15 ( m / s ) tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc ( ) a = 3t − m / s , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc tăng vận tố C Hỏi sau 10 giây tăng vận tốc ô tô mét? A 150 B 180 C 246 Lời giải Chọn D D 250 3t − 8t + C Vận tốc ô tô bắt đầu tăng tốc 15 m / s : v ( ) = 15  C = 15  Ta có: v ( t ) = a ( t ) dt =  (3t − 8) dt = 3t Vận tốc ô tô v ( t ) = − 8t + 15 Quãng đường ô tô sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 10  3t  v ( t ) dt =  − 8t + 15 dt = 250 ( m )  0 10  Câu 9:  Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian 59 quy luật V ( t ) = t + t ( m/s ) Trong t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu 150 75 chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng ( ) hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a m/s ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20 ( m/s ) B 16 ( m/s ) C 13 ( m/s ) D 15 ( m/s ) Lời giải Chọn B 15  59  t + t  dt = 96 ( m ) Quãng đường chất điểm A từ O đến lúc gặp B là: S1 =  150 75     Vận tốc chất điểm B là: VB ( t ) = adt = at + C Tại thời điểm t =  VB =  C =  VB ( t ) = at 12  at  Quãng đường chất điểm B từ O đến lúc gặp A là: S = ( at ) dt =   = 72a ( m )  0 12  quãng S1 = S2  72a = 96  a = m/s Khi A B gặp ( đường nhau, ta có: ) Vận tốc B đuổi kịp A là: VB ( t ) = t , với t = 12  VB (12 ) = 16 ( m/s ) Câu 10: Một ô tô chạy với vận tốc 10 m / s người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −2t + 10 ( m / s ) , t khoảng thời gian tính TÀI LIỆU TỐN 12 THPT | Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển giây cuối tính đến thời điểm dừng bánh A 16 m B 55m C 25m D 50 m Lời giải Chọn D Khi tơ dừng bánh, ta có: v =  −2t + 10 =  t = Do đó, ta có quãng đường xe giây cuối ( giây với vận tốc 10 m / s , giây sau đạp phanh) là: S = 3.10 +  ( −2t + 10 ) dt ( = 30 + −t + 10t ( ) = 30 − 52 + 10.5 = 55 ( m ) ) Câu 11: Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) = 6t m / s Vận tốc thời điểm t = giây 17 m / s Quãng đường vật khoảng thời gian từ thời điểm t = giây đến thời điểm t = 10 giây là: A 1200 m B 1014 m C 966 m D 36 m Lời giải Chọn C   Ta có v = a ( t ) dt = 6tdt = 3t + C Theo giả thiết ta v ( ) = 17  3.22 + C = 17  C = Suy v ( t ) = 3t + Quãng đường vật khoảng thời gian từ thời điểm t = giây đến thời điểm t = 10 10 4 giây là: s = v ( t ) dt = 10 4 ( 3t ) ( + dt = t + 5t ) 10 = 966 m Câu 12: Một xe đua F1 đạt tới vận tốc lớn 360 km / h Đồ thị bên biểu thị vận tốc v xe giây kể từ lúc xuất phát Đồ thị giây phần parabol đỉnh gốc tọa độ O , giây đoạn thẳng sau giây xe đạt vận tốc lớn Biết đơn vị trục hoành biểu thị giây, đơn vị trục tung biểu thị 10 m / s giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng Hỏi giây xe quãng đường bao nhiêu? | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG A 340 (mét) B 420 (mét) C 400 (mét) Lời giải D 320 (mét) Chọn D Giả sử A ( 2;6 ) ; B ( 3;10 ) x ; phương trình đường thẳng AB y = x − 2 Vậy giây xe quãng đường là: Theo gt phương trình parabol y = 23 S = 10  x dx +  0     ( x − ) dx + 2.10  = 320 (mét) TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | Phan Nhật Linh B Câu 1: Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM t3 Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S (t ) t2 3t , t tính giây (s ) S tính mét (m ) Gia tốc chất điểm thời điểm t A 16 m / s2 B 14 m / s2 C 12 m / s2 2s D 6 m / s2 Lời giải Chọn B Ta có S (t ) 3t 2t S (t ) 6t Gia tốc chất điểm thời điểm t a t Suy gia tốc chất điểm thời điểm t Câu 2: S t 6t 2s a 2 14m / s Một ô tô chạy người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −12t + 24 ( m / s ) t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 15m  B 24m C 20m D 18m Lời giải Chọn B Thời gian từ lúc xe đạp phanh đến lúc dừng hẳn là: v ( t ) =  −12t + 24 =  t = ( s ) Từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển được: S =  ( −12t + 24 ) dt = 24 ( m ) Câu 3: Để đảm bảo an tồn lưu thơng đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu 1m Một ô tô A chạy với vận tốc 16 m / s gặp ô tô B đứng chờ đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần vận tốc biểu thị công thức v A ( t ) = 16 − 4t (đơn vị tính m / s ), thời gian tính giây Hỏi để hai tơ A B đạt khoảng cách an toàn dừng lại tơ A phải hãm phanh cách tơ B khoảng mét? A 12m B 31m C 32m D 33m Lời giải Chọn D Khi ô tô dừng lại vA ( t ) =  t = Quãng đường từ lúc ô tô A đạp phanh đến dừng hẳn là:  (16 − 4t ) dt = 32 ( m ) Vậy để đảm bảo an tồn tơ A phải hãm phanh cách ô tô B khoảng 33m Câu 4: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t vật di chuyển từ thời điểm t A 810 m B m Chọn A Thời điểm vật dừng lại v 180 20t (m/s) Tính quãng đường mà (s) đến thời điểm mà vật dừng lại C 160 m Lời giải 180 20t | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 t s D 180 m CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG Quãng đường mà vật di chuyển từ thời điểm t (s) đến thời điểm mà vật dừng lại là: s t 180 20tdt 810 m Câu 5: Một xe ô tô với vận tốc 10 m / s người lái xe bắt đầu đạp phanh, từ thời điểm xe chuyển động chậm dần với vận tốc v(t ) = 10 − 5t ( m / s) , t tính giây Quãng đường ô tô dịch chuyển từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn A m B 10 m C m Lời giải Chọn B Thời điểm xe dừng hẳn là: v(t ) = 10 − 5t =  t = (s) D 12m Vậy quãng đường ô tô dịch chuyển từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là: 2 0 S =  v(t ) dt =  10 − 5t dt = 10 (m) Câu 6: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t ) = 180 − 20t ( m / s ) Tính quãng đường mà vật di chuyển từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm mà vật dừng lại A 810 m B m C 180 m Lời giải D 160 m Chọn A Gọi t1 ( s ) thời điểm vật dừng lại Suy ra: v ( t1 ) =  180 − 20t1 =  t1 = ( s ) Quãng đường vật di chuyển là: S =  (180 − 20t ) dt = (180t − 10t ) = 810 0 Câu 7: Một xe ô tô với vận tốc 10 m / s người lái xe bắt đầu đạp phanh, từ thời điểm xe chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = 10 − 5t ( m / s ) , t tính giây Qng đường tơ dịch chuyển từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn A 5m B 10m C 6m Lời giải Chọn B D 12m Xe ô tô dừng hẳn v ( t ) =  10 − 5t =  t = Quãng đường ô tô dịch chuyển từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn:  5t  S ( t ) =  v ( t ) dt =  (10 − 5t ) dt =  10t −  = 10 ( m ) 0  0 Câu 8: Một vật chuyển động thẳng có đồ thị vận tốc-thời gian hình vẽ sau: TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | Phan Nhật Linh Tính quãng đường vật chuyển động 60 A 620 ( m ) B 630 ( m ) Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia C 250 ( m ) D 650 ( m ) Lời giải Chọn D Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ot Ta có: 60 10 30 60 0 10 30 s =  v ( t ) dt =  v ( t ) dt +  v ( t ) dt +  v ( t ) dt = SOABH + S HBCK + S KCD 1 = (10 + 15 ) 10 + 20.15 + 30.15 2 = 650 ( m ) Câu 9: Một ô tô chạy với vận tốc 20m / s người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −5t + 20 ( m / s ) , t thời gian tính giây Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ mét? A 10m B 40m C 20m D 30m Lời giải Chọn B Khi xe dừng hẳn v ( t ) =  −5t + 20 =  t = ( s ) Khi quãng đường xe từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn là:  5t  S =  ( −5t + 20 ) dt =  − + 10t  = 40 ( m )  0 Câu 10: Một vật chuyển động 10 giây với vận tốc v ( m / s ) phụ thuộc vào thời gian t ( s ) có đồ thị hình vẽ Quãng đường vật chuyển động 10 giây 63 67 61 m m m A B C 2 Lời giải Chọn B Vận tốc chuyển động vật giây đầu v1 ( t ) = D 65 m Vận tốc chuyển động vật từ giây thứ đến giây thứ v2 ( t ) = t − 4 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG 22 Vận tốc chuyển động vật từ giây thứ đến giây thứ 10 v3 ( t ) = − t + 3 Ta có S  ( t ) = v ( t ) , suy 67 3 1  22  (m) S =  v1 ( t ) dt +  v2 ( t ) dt +  v3 ( t ) dt =  2dt +   t −  dt +   − t +  dt = 4 3  3 7 7 10 10 Câu 11: Một vật chuyển động với vận tốc v ( km / h ) phụ thuộc thời gian t ( h ) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị mổ phần đường parabol có đỉnh I ( 2;7 ) trục đối xứng parabol song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng IA Tính quãng đường s mà vật di chuyển ( kết làm trịn đến hàng phần trăm) A s = 15,81( km ) B s = 17, 33 ( km ) C s = 23,33 ( km ) D s = 21,33 ( km ) Lời giải Chọn D Parabol y = ax + bx + c ( a  ) qua điểm ( 0;3) có đỉnh I ( 2;7 ) nên có c = a = −1  b   =2  b =  y = − x + x + −  2a  c = 4a + 2b + c = Đường thẳng IA qua A ( 4;3) nhận vectơ IA = ( 2; −4 ) làm vectơ phương, suy có vectơ pháp tuyến n = ( 4;2 ) Phương trình đường thẳng IA ( x − ) + ( y − 3) =  y = −2 x + 11 Quãng đường s mà vật di chuyển là: 64 s =  ( −t + 4t + 3) dt +  ( −2t + 11) dt = ( km ) Câu 12: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh đần với vận tốc vt = 8t ( m / s ) Đi 5( s ) , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −75 ( m / s ) Quãng đường S (m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn gần với giá trị đây? A S = 94, 00( m) B S = 166, 7( m) C 110, 7( m) D S = 95, 70( m) TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 10 Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Lời giải Quãng đường ô tô từ lúc xe lăn bánh đến phanh: 5 t2 S1 =  v1 (t )dt =  8tdt = = 100( m) 20 0 Vận tốc v2 (t )(m / s ) ô tô từ lúc phanh đến dừng hẳn thoả mãn v2 (t ) =  (−75)dt = −75t + C , v2 (5) = v1 (5) = 40  C = 415 Vậy v2 (t ) = −75t + 415 83 ( s) 15 Quãng đường ô tô từ lúc xe phanh đến dừng hẳn: Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thoả mãn v2 (t ) =  t = S2 = 83 15 83 15 32  v ( t ) dt =  ( −75t + 415)dt = (m) 5 Quãng đường cần tìm: S = S1 + S2 = 100 + 32 332 = ( m) 3 Câu 13: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc vt = 8t ( m / s ) Đi ( s ) , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −75 ( m / s ) Quãng đường S ( m ) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn gần với giá trị đây? A S = 94, ( m ) B S = 166, ( m ) C S = 110, ( m ) D S = 95, ( m ) Lời giải Chọn C Quãng đường ( s ) giây đầu  8t dt = 100 ( m ) Vận tốc thời điểm giây thứ v5 = 8.5 = 40 ( m / s ) Phương trình vận tốc tơ chuyển động chậm dần với gia tốc a = −75 ( m / s ) v ( t ) = 40 − 75t Xe dừng hẳn v ( t ) =  40 − 75t =  t = 15 15 Quãng đường ô tô bắt đầu hãm phanh  (80 − 75t ) dt = Quãng đường ô tô 100 + 32 (m) 32  110, ( m ) Câu 14: Hàng ngày anh An làm xe máy cung đường từ nhà đến quan 15 phút Hôm di chuyển đường với vận tốc vo anh gặp chướng ngại vật nên anh hãm phanh chuyển động chậm dần với gia tốc a = − 6m / s Biết tổng quãng đường từ lúc anh nhìn thấy chướng ngại vật quãng đường anh 3s kể từ lúc hãm phanh 35,5m Tính vo A vo = 45km / h C vo = 60km / h B vo = 40km / h Lời giải 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 D vo = 50km / h CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG Chọn A Khi chưa hãm phanh quãng đường anh An tính theo công thức S ( t ) = v0 t Suy quãng đường anh An 2s trước hãm phanh S1 = 2v0 Sau hãm phanh xe chuyển động với vận tốc v ( t ) = −6t + v0 Quãng đường anh An 3s kể từ lúc hãm phanh S =  ( −6t + v0 )dt = ( −3t + v0t ) = −27 + 3v0 0 Khi ta có S1 + S2 = 35,5  2v0 + ( −27 + 3v0 ) = 35,5  v0 = 12,5 ( m / s ) = 45km / h Câu 15: Một ô tô chạy với vận tốc 12 m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = − 4t + 12 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tơ cịn di chuyển mét? A 20 m B 10 m C 16 m D 18 m Lời giải Chọn D Thời gian ô tô chuyển động từ lúc đạp phanh đến dừng v ( t ) =  − 4t + 12 =  t = Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng 3 0 s =  v ( t ) dt =  ( −4t + 12 ) dt = 18 m Câu 16: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I ( 2; ) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển A s = 18,75 km B s = 31, km C s = 12, km Lời giải D s = 31, 25 km Chọn D Gọi ( P ) : v ( t ) = at + bt + c Vì ( P ) qua A ( 0;1) có đỉnh I ( 2; ) nên ta có TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 12 Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia  1 = c c =  = c    b    a + b =  b = − =  2a  a + 2b =  −7  8 = a + 2b + c a =  −7 t + 7t + 25 Ngoài t = ta có v = phương trình v ( t ) =  −7  25 Vậy quãng đuờng cần tìm là: s =   t + 7t + dt +  dt = 31, 25 ( km) 4  0 3 Câu 17: Cho đồ thị biểu thị vận tốc hai chất điểm A B xuất phát lúc, bên cạnh đường Biết đồ thị biểu diễn vận tốc chất điểm A parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc chất điểm B đường thẳng hình vẽ sau: Hỏi sau giây, khoảng cách hai chất điểm mét? A 90 m B 125m C 270 m D 190 m Lời giải Chọn A Gọi v A vận tốc chất điểm A Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số vận tốc chất điểm A theo thời gian có đồ thị parabol có dạng v A ( t ) = at + bt + c ( t  )( a, b, c  ) Dựa vào đồ thị ta có hệ phương trình:  vA ( ) = a.0 + b.0 + c =  c=0 a = −20     v A ( 3) = 60   a.3 + b.3 = 60  9a + 3b = 60  b = 80  v ( 4) =  a.42 + b.4 = 16a + 4b = c =     A Suy v A ( t ) = −20t + 80t ( t  ) Vậy quãng đường chất điểm A giây là: 3 0 S A =  vA ( t ) dt =  ( −20t + 80t ) dt = 180 ( m ) Gọi v B vận tốc chất điểm B Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số vận tốc chất điểm B theo thời gian có đồ thị đường thẳng có dạng vB ( t ) = at + b ( t  )( a, b  Dựa vào đồ thị ta có hệ phương trình: 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 ) CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG  vB ( ) = a.0 + b = a = 20     vB ( 3) = 60  a.3 = 60 b =  Suy vB ( t ) = 20t ( t  ) Vậy quãng đường chất điểm B giây là: 3 0 S B =  vB ( t ) dt =  20tdt = 90 ( m ) Khi đó, khoảng cách hai chất điểm bằng: 180 − 90 = 90 (m) m / s ) , t khoảng thời gian tính ( t + 3t + từ thời điểm ban đầu Vận tốc chuyển động vật v ( t ) Hỏi vào thời điểm t = 10 ( s ) vận Câu 18: Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) = tốc vật bao nhiêu, biết v ( t ) = a ( t ) vận tốc ban đầu vật v0 = 3ln ( m / s ) ? A 2, 69 ( m / s ) B 2,31( m / s ) C 2,86 ( m / s ) D 1, 23 ( m / s ) Lời giải Chọn A dt t + 3t +  t +1  =  − +C  dt = ln t+2  t +1 t +  Ta có: v ( t ) =  a ( t ) dt =  1 v ( ) = ln   + C = 3ln  C = ln 2  11  Tính v (10 ) = ln   + 4ln  2, 69  12  TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14