Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1.. TÍCH PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26..[r]

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx C k xd kx C



1

d

1 n

n x

x x C

n 

 



  ( ) d ( )

1 n

n ax b

ax b x C

a n

 

  

 

 1dx lnx C

x  

  dx 1lnax b C

ax b a  

  12dx C

x

x   

  2d 1

(ax b) x   a axb C 

  sin dx x  cosxC  sin(ax b x)d 1cos(ax b) C. a

    

   cos dx x sinx C

 cos(ax b x)d 1sin(ax b) C a

   



 12 d cot

sin x x   x C

  2 d 1cot( )

sin ( )

x

ax b C

a

ax b    



 12 d tan

cos x x  x C

  2d 1tan( )

cos ( )

x

ax b C

a

ax b   



 e xxd ex C  eax bdx 1eax b C. a

   



 d

ln x

x a

a x C

a

 

  d

ln x

x a

a x C

a    

 

  



♦ Nhận xét Khi thay x (axb) lấy nguyên hàm nhân kết thêm 1 a Một số nguyên tắc tính

 Tích đa thức lũy thừa PP  khai triễn  Tích hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ

 Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 1cos2 , cos2 1cos2

2 2

a  a a  a

 Chứa tích thức x PP  chuyển lũy thừa

Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) khoảng K

A F x'( ) f x( ), x K B f x'( )F x( ), x K C F x'( ) f x( ), x K D f x'( ) F x( ), x K Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) x dx2

A 2x C B 1

3x C C

x C D 3x3C NGUYÊN HÀM

Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số f x x3

A B C D

Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) x x4d A 1

5x C B

3

4x C C x5C D 5x5C Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) x dx5

A 5x4C B 1

6x C C

6

x C D 6x6C Câu (Mã 101- 2020 Lần 2) 5x dx4

A 1

5x C B

x C C 5x5C D 20x3C Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) 6x dx5



A 6x6C B x6C C 1

6x C D 30x C Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2)

2

3 dx x

 bằng

A 3x3C B 6x C C

3x C D

3

x C Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2)

4 dx x



A 4x4C B 1

4x C C

2

12x C D x4C Câu 10 (Mã 103 2018) Nguyên hàm hàm số f x x4x2

A 1

5x 3x C B

x x C C x5x3C D 4x32xC Câu 11 (Mã 104 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x4

A x2C B 2x2C C 2x24xC D x24xC Câu 12 (Mã 102 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x6

A x2C B x26x C C 2x2C D 2x26x C Câu 13 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số f x cosx6x

A sinx3x2C B sinx3x2C C sinx6x2C D sinx C Câu 14 (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x 2 sinx

A 2 sinxdx 2 cosx C B 2 sinxdx2 cosx C C 2 sinxdxsin2x C D 2 sinxdxsin 2x C Câu 15 (Mã 101 2018) Nguyên hàm hàm số f x x3x

A 1

4x 2x C B

3x  1 C C x3 x C D x4x2C Câu 16 (Mã 103 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x3

A x23xC B 2x23xC C x2C D 2x2C

4x C

3x C

x C

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A   22 1

3

f x dx x x C

 B   12 1

3

f x dx x x C 

C  

3

f x dx  x C

 D  

2

f x dx x C 

Câu 18 (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x  x2 22 x

 

A  

3 d

3 x

f x x C

x

  

 B  

3 d

3 x

f x x C

x

  



C  

1 d

3 x

f x x C

x

  

 D  

3 d

3 x

f x x C

x

  



Câu 19 (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm hàm số  

5

f x x 



A d 1ln

5

x

x C

x   

 B d ln

5

x

x C

x   



C d 1ln

5 2

x

x C

x    

 D d ln

5

x

x C

x   

 Câu 20 (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x cos 3x

A cos 3xdx3 sin 3x C B cos sin 

x

xdx C

C cos 3xdxsin 3x C D cos  sin 

x

xdx C

Câu 21 (Mã 104 2018) Nguyên hàm hàm số f x x3x2 A 1

4x 3x C B

3x 2xC C x3x2C D x4x3C Câu 22 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x exx

A x

e  C B exx2C C 2 x

e  x C D 1

1

x

e x C

x  

Câu 23 (Mã 101 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số ( )f x 2x5

A x2C B x25x C C 2x25x C D 2x2C Câu 24 (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x 7x

A d

ln x x

x C

 B

7 dx x7x C 

C

1 7 d

1 x x

x C

x



 



 D 7 dx x7 ln 7x C

Câu 25 (Mã 102 2018) Nguyên hàm hàm số f x x4x A 4x3 1 C B x5x2C C 1

5x 2x C D

x  x C Câu 26 (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm hàm số f x( )3x21

A x3C B

3 x

x C

  C 6xC D x3xC

Câu 27 (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm ngun hàm x x 2715dx

 ?

A 1x2716C B

 16

7

x C

   C x2716C D

 16

Câu 28 (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm hàm số (x) x

f e hàm số sau đây? A 3exC B 1

3 

x

e C C 1

3 

x

e C D 3e3xC Câu 29 (THPT Cẩm Giàng 2019) Tínhxsin dx x

A

sin x

x C

  B

2

cos 2

x

x C

  C cos

2 x

x  C D

cos

2

x x

C

 

Câu 30 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số e2x

y 

 A 2e2x1C B e2x1C C 1e2

2 x

C



 D 1e

x C

 Câu 31 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2

f x x

 

A ln 2x3C B 1ln

2 x C C

ln

ln x C D  

1

lg x C Câu 32 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số y x2 3x

x    A

3

2

3

, ln

x x

C C x

    B

3

2

3 ,

3 x x

C C x

   

C

3

ln ,

3 ln x x

x C C

    D

3

ln ,

3 ln x x

x C C

   

Câu 33 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x sin 3x

A 3cos3x C B 3cos3x C C 1cos3

3 xC D

1 cos3

3 x C

 

Câu 34 (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x 3x2sinx

A x3cosxC B 6xcosx C C x3cosxC D 6xcosx C Câu 35 (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức sau sai?

A ln dx x C x

 

 B 12 d tan

cos x x x C



C sin dx x cosx C D e dx xex C

Câu 36 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu  f x dx4x3x2C hàm số f x  A  

3

3 x

f x x  Cx B f x 12x22x C

C f x 12x22x D  

3

3 x f x x 

Câu 37 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A cos 1sin

2 d

x x x C

 B

e e

1 d

e x

x x C



 





C 1dx ln x C

x  

 D

1 e e d

1 x x

x C

x



 





Câu 38 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm hàm số y2x A 2xdxln 2.2xC

 B 2xdx2xC C

2

d

ln x x

x C

 D

1 d

2

x x

x C

x

 



TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 39 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số

  sin f x  x x

A f x x d 3x2cosx C B  

2

d cos

2 x

f x x  x C



C  

2

d cos

2 x

f x x  x C

 D f x x d  3 cosx C Câu 40 (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm hàm số ( )f x xs inxlà

A x2cos x+C B x2cos x+C C

cos x+C

x

 D

2

cos x+C

x  Câu 41 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm hàm số ( )f x cosx là:

A cosx C B cosx C C sinx C D sinx C

Câu 42 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x x4x2 A 4x32x C B x4x2C C 1

5x 3x C D x x C Câu 43 (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x ex2x

A ex x2C B exx2C C

x

e x C

x   D

x

e  C Câu 44 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ nguyên hàm hàm số ycosx x

A sin 2

x x C B sinxx2C C sin 2

x x C

   D sinxx2C Câu 45 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm hàm số y x2 3x

x

  

A

3

3

ln

3

x x

x C

   B

3

3

ln

3

x x

x C

  

C

3

3

ln

3

x x

x C

   D

3

2

3

3

x x

C x

  

Câu 46 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x  sinx x

  A lnxcosxC B 12 cosx C

x

   C ln xcosx C D ln xcosx C Câu 47 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Hàm số  

3

F x  x nguyên hàm hàm số sau  ; ?

A f x 3x2 B f x  x3 C f x x2 D   4 f x  x Câu 48 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x 2x

A  f x dx2xC B  d

ln x f x x C



C f x dx2 ln 2x C

 D  

1 d

1 x

f x x C

x



 





Câu 49 (THPT - n Định Thanh Hóa 2019) Tìm nguyên hàm hàm số  

2 x f x

x



A  

1 d

3 x

f x x C

x

  

 B  

3 d

3 x

f x x C

x

  



C  

1 d

3 x

f x x C

x

  

 D  

3 d

3 x

f x x C

x

  



Câu 50 (Sở Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau nguyên hàm hàm số yex? A y

x

 B yex C yex D ylnx

Câu 51 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F x( )e dx2 , e số 2, 718

e A

2 ( )

2 e x

F x  C B

3 ( )

3 e

F x  C C F x( )e x C2  D F x( )2ex C Câu 52 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm hàm số  

1 f x

x 



;

 



 

  A 1ln

2 x C B  

1

ln

2  x C C

ln

2 x C

   D ln 2x 1 C Câu 53 (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số f x 2xx

A

2

2

ln 2 2

x x

C

  B

2x

x C

  C 2

ln 2

x

x C

  D

2

2 2

x x C

  Câu 54 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x  1 sinx

A cos x C B cos x C C xcosxC D xcosxC Câu 55 (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Ngun hàm hàm số f(x) 2 2019

3x  x  x A x  x  x C

2

2 12

1

B

2

4

1

2019

9

x

x  x   x C C

2

4

1

2019

12

x

x  x   x C D

2

4

1

2019

9

x

x  x   x C Câu 56 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm hàm số ( )

3

f x x



 khoảng

1 ;

3

 



 

  là:

A 1ln(3 1)

3 x C B ln(1 ) x C C

ln(1 )

3  x C D ln(3x 1) C Câu 57 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A 2 dx x2 ln 2x C B

2

2 e

e d

x x

x C



C cos d 1sin 2

x x x C

 D d ln

1 x x C

x   

   x 1

Câu 58 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số

4

2

( ) x f x

x



TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A

3

2

( )

3

x

f x dx C

x

  

 B

3

2

( )

3 x

f x dx C

x

  



C

3

2

( )

3 x

f x dx C

x

  

 D f x dx( ) 2x3 C

x

  



Câu 59 (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f x 2x x 1 Tìm  f x dx A  f x dx2xx2 x C B  d 1 2 1

ln 2 2

x

f x x  x  x C



C  d 2 1

2 x

f x x  x  x C

 D  d 1 2 1

1 2

x

f x x x x C

x   

 



Câu 60 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số   sin

f x  x x

A f x x d 3x2cosx C B  

2

d cos

2 x

f x x  x C



C  

2

d cos

2 x

f x x  x C

 D f x x d  3 cosx C Câu 61 (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số   x2

F x e nguyên hàm hàm số hàm số sau:

A f x( )2xex2 B f x( )x e2 x21 C f x( )e2x D

2

( )

x e f x

x



Câu 62 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất nguyên hàm hàm số ( )f x 3x A

ln x

C



  B 3xC C 3xln 3C D 3

ln x

C





Câu 63 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x x3x2 A

4  

x x

C B x4x3C C 3x22xC D

4

3  

x x

C

Câu 64 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau không nguyên hàm hàm số yx2019?

A 2020

1 2020

x

 B

2020 2020

x

C y2019x2018 D 2020

1 2020

x

 Câu 65 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số yx23x 1

x A

3

ln ,

3 ln x x

x C C R

    B

3

ln ,

3 ln x x

x C C R

   

C

2

3 ,

3 x x

C C R x

    D

3

2

3

, ln

x x

C C R x

   

Câu 66 (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm hàm số   2017 20185 x

x e

f x e

x



 

   

 

A  d 2017 x 20184

f x x e C

x

  

 B  d 2017 x 20184

f x x e C

x

  



C  d 2017 x 504,54

f x x e C

x

  

 D  d 2017 x 504,54

f x x e C

x

  

Câu 67 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm hàm số 2 cos

x

x e

y e

x



 

   

 

A 2ex tanx C B 2extanx C C 2

cos x

e C

x

  D 2

cos x

e C

x

 

Câu 68 (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F x  hàm số f x   x1x2x3 ? A.  

4

3 11

6

4

x

F x   x  x  x C B. F x x46x311x26x C . C.  

4

3 11

2

4

x

F x   x  x  x C D. F x x36x211x26x C Câu 69 (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm hàm số  

5

  f x

x là: A. 1ln 5 4

5 x C B ln 5x4C C.

ln

ln x C D

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng Nguyên hàm có điều kiện

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx C k xd kx C. 

 

1

d

1

n

n x

x x C

n



 



    

1

1 ( )

( ) d

1

n

n ax b

ax b x C

a n





  



  

  1dx lnx C

x  

     dx 1lnax b C

ax b a  

  

  12dx C

x

x   

     2d 1

(ax b) x   a axb C

  

  sin dx x  cosxC. 

  sin(ax b x)d 1cos(ax b) C

a

    

  

  cos dx x sinx C. 

  cos(ax b x)d 1sin(ax b) C

a

   

  

  12 d cot

sin x x   x C

     2 d 1cot( )

sin ( ) x

ax b C

a

ax b    

  

  12 d tan

cos x x  x C

     2d 1tan( )

cos ( ) x

ax b C

a

ax b   

  

  e xxd ex C

  

  eax bdx 1eax b C

a

   

  

  d

ln

x

x a

a x C

a

 

     d

ln

x

x a

a x C

a

   





  

  

♦ Nhận xét Khi thay x (axb) lấy nguyên hàm nhân kết thêm 1

a 

Một số nguyên tắc tính  Tích đa thức lũy thừa PP  khai triễn

 Tích hàm mũ PP  khai triển theo cơng thức mũ

 Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 1cos2 , cos2 1cos2

2 2

a  a a  a

 Chứa tích thức x PP  chuyển lũy thừa. 

Câu (Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  f x( )  xác  định  trên  \

     

   thỏa  mãn 

  ,  0 1,  1

2

f x f f

x

   

  Giá trị của biểu thức  f 1  f  3  bằng

A 2 ln15 B 3 ln15 C ln15 D 4 ln15  

Câu (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x  là một nguyên hàm của    1

 

f x

x  trên khoảng 1; thỏa 

mãn F e 14Tìm F x . 

NGUYÊN HÀM

A 2 lnx12  B lnx13 C 4 lnx1  D lnx13

Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F x   là một nguyên hàm của hàm  số    ,

f x x



  

biết F 1 2. Giá trị của F 0  bằng 

A 2 ln 2. B ln C 2ln2  D ln 2

Câu (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019)  Cho  F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm 

 

2

f x x



 ; biết F 0 2. Tính F 1  

A  1 2

F  ln    B F 1 ln32.  C F 1 2 2ln    D  1 2

F  ln    Câu (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số y

x

  trên ;0  thỏa mãn F 2 0. Khẳng định nào sau đây đúng? 

A   ln  ;0

2

x

F x      x

   

B F x ln xC   x  ;0 với C là một số thực bất kì.  C F x ln xln 2  x  ;0. 

D F x lnxC   x  ;0 với C là một số thực bất kì. 

Câu (THPT  Minh  Khai Hà Tĩnh  2019)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  R\ 1   thỏa  mãn 

 

1

f x

x

 

 ,  f 0 2017,  f  2 2018. Tính S f 3  f 1  

A Sln 4035.  B S4.  C S ln 2.  D S1. 

Câu (Mã 105 2017)  Cho F x   là một nguyên hàm của hàm  số  ( ) x2

f x e x thỏa mãn   0 3

F  

Tìm F x 

A    21

x

F x e x B    25

x

F x e x

C    23

x

F x e x D  2  21

x

F x e x  

Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số  f x e2x  và F 0 0. Giá trị của Fln 3 bằng 

A 2.  B 6.  C 8.  D 4. 

Câu (Sở Bình Phước 2019) Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số e2x và   0 201

F   Giá trị 

1

F  

  là 

A 1 200

2e B 2e100 C

1 50

2e D

1 100 2e

Câu 10 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019)  Hàm  số  f x   có  đạo  hàm  liên  tục  trên    và: 

 

2e x 1,

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số   2  x

f x x e  Tìm một nguyên hàm F x  của hàm số  f x   thỏa mãn F 0 2019. 

A F x x2ex2018.  B F x x2ex2018.  C   2 x2017

F x x e   D   x2019

F x e  

Câu 12 Gọi F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  f x 2x,  thỏa  mãn   0 ln

F    Tính  giá  trị  biểu 

thức T F 0 F 1  F2018F2019.  A

2019

2

1009 ln

T     B T 22019.2020. 

C

2019

2

ln

T     D

2020

2

ln

T    

Câu 13 (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x  của hàm số  f x sinxcosx thoả mãn  2

F   

A F x  cosxsinx3 B F x  cosxsinx1 C F x  cosxsinx1 D F x cosxsinx3 

Câu 14 (Mã 123 2017) Cho hàm số  f x  thỏa mãn f x'  3 sinx và f 0 10. Mệnh đề nào dưới  đây đúng?

A f x 3x5 cosx15 B f x 3x5 cosx2

C f x 3x5 cosx5 D f x 3x5 cosx2 

Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số  f x  thỏa mãn  f x  2 5sinx và  f 0 10. Mệnh đề  nào dưới đây đúng? 

A f x 2x5 cosx3.  B f x 2x5 cosx15.  C f x 2x5 cosx5.  D f x 2x5 cosx10. 

Câu 16 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết  F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm 

  cos

f x  x và 

2

F 

   Tính F



     . 

A

9

F  

    B

3

9

F  

    C

3

9

F  

    D

3

9

F  

   

Câu 17 (Chuyên  Lê  Quý  Đôn  Quảng  Trị  2019)  Cho  F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

1 cos

f x

x

  Biết 

4

F kk

   với mọi k. Tính F 0 F  F F10. 

A 55.  B 44.  C 45.  D 0. 

Câu 18 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số    2x

f x  , thỏa mãn 

 0

ln

F   Tính giá trị biểu thức T F 0 F 1 F 2  F2019.  A

2020

2

ln

T     B

2019

2

1009

T     C T 22019.2020.  D

2019

2

ln

T    

Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm If x dx  , trong đó ta có thể phân tích 

     ' 

f x g u x u x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số tu x  

 

'

dt u x dx

   Khi đó: Ig t dt  G t CG u x  C 

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay tu x   1 Đổi biến số với số hàm thường gặp

   f ax b x x(  )n d   PP t ax b

    ( ) ( )d ( )

b

PP

n n

a

f x f x x  t f x





1

   (ln ) d ln

b

PP

a

f x x t x

x  



    ( ) d

b

PP

x x x

a

f e e x t e

 

   (sin ) cos d sin

b

PP

a

f x x x t x



    (cos ) sin d cos

b

PP

a

f x x x t x

 

2

1

   (tan ) d tan

cos b

PP

a

f x x t x

x  



    (sin cos ).(sin cos )d sin cos

b

a

f x x x x x t x x





2 2

   f( a x )x ndx PP x asin t





  



    f( x2 a2)mx2ndx PP x atan t 



  

     f a x dx PP x acos t

a x





  

 

 

 

 







d

  

( )( )

x

t ax b cx d

ax b cx d





    

 

 

1

   s ,.,sk d n

R ax b ax b x t ax b





      

 



    d

( )

PP n

n n

x

x t

a bx a bx





  

 

  2 Đổi biến số với hàm ẩn

 Nhận dạng tương đối: Đề cho f x( ), yêu cầu tính f(x) đề cho f(x), yêu cầu tính f x( )

 Phương pháp: Đặt t ( x)

 Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận sử dụng tính chất: “Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số, mà phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa ( )d ( )d ( )d

b b b

a a a

f u u f t t   f x x 

  

 

Câu 19 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F x ex x2 là một nguyên hàm của hàm số   

f x  trên . Khi  đó  f 2x dx bằng 

A 2ex 2x2C.  B 1 2

x

e x C   C 1 2

2 x

e  x C   D e2x4x2C. 

Câu 20 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết    x 2

F x e  x  là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên . Khi  đó  f 2x dx bằng 

A 2ex4x2C.  B 1 4 .

x

e  x C   C e2x8x2C.  D 1 2 .

x

e  x C  

Câu 21 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F x exx2 là một nguyên hàm của hàm số 

 

f x  trên . Khi  đó  f 2x dx bằng 

A 1 2 2

x

e  x C B e2x4x2C C 2ex2x2C D 1 2

2 x

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Câu 22 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết    ex 2

F x   x  là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên . Khi  đó  f 2x dx bằng 

A e2x8x2C.  B 2ex 4x2C.  C 1e2 2 2

x x C.  D 1e2 4 2

x x C. 

Câu 28 [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết 

2 d sin2 ln

f x x x xC

  Tìm nguyên hàm f x dx?  A  d sin2 ln

2

x

f x x  x C

   B  f x dx2sin 22 x2lnx C     C  d 2sin2 ln

2

x

f x x  x C

   D  f x dx2sin2x2lnx C   Câu 46 [DS12.C3.1.D09.b] Cho  f(4 ) dx xx23x c  Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A

2

( 2) d

4

x

f x x  xC

   B  f x( 2) dxx27x C   

C

2

( 2) d

4

x

f x x  xC

   D

2

( 2) d

2

x

f x x  xC

   

Câu [DS12.C3.1.D09.b] Cho f x dx4x32x C 0. Tính I xf x 2 dx A I 2x6x2C B

10

10 6

x x

I   C C I 4x62x2C D I 12x22

Câu 23 (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  x2.ex31. 

A  

3

d e

3 

 

 f x x x x C.  B  f x dx3ex31C.  C  f x dxex31C. D  d 1e

3 

 

f x x x C. 

Câu 24 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của f x sin x esin2x là 

A sin2 sin2x

x e  C

   B

2

sin

sin x

e

C x





   C

2

sin x

e C.  D

2

sin

sin x

e

C x





  

Câu 25 Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số    9 5

3x

f x x



  

A  

4

4

1

x ln

3x 36

x

f x d C

x

   



 B  

4

4

1

x ln

12x 36

x

f x d C

x

   



  

C  

4

4

1

x ln

3x 36

x

f x d C

x

   



   D  

4

4

1

x ln

12x 36

x

f x d C

x

   



  

Câu 26 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019)  Tìm  hàm  số  F x   biết   

3 d

1

x

F x x

x

 

   và 

 0

F   

A F x lnx411. B   1ln 1

4

F x  x    

C   1ln 1

Câu 27 Biết   

 

2017

2019

1 1

,

1

b

x x

dx C x

a x

x

   

     



 



  với  ,a b. Mệnh đề nào sau đây đúng? A a2b.  B b2a.  C a2018b.  D b2018a. 

Câu 28 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018)  Biết  rằng  F x   là  một  nguyên  hàm  trên    của  hàm  số 

 

 2018 2017

1

x f x

x

 

 thỏa mãn F 1 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x . 

A

2

m    B

2017 2018

2

m    C

2017 2018

2

m    D

2

m  

Câu 29 Cho  F x   là  nguyên  hàm  của  hàm  số   

1

x

f x e



   và  F 0  ln 2e.  Tập  nghiệm  S  của 

phương trình F x lnex12 là: 

A S  3   B S 2;3  C S   2; 3  D S   3;3  Câu 30 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x  x3x212019là 

A    

2021 2020

2

1

1

2 2021 2020

x x

   

  

 

 

.  B    

2021 2020

2

1

2021 2020

x  x 

  

C    

2021 2020

2 1 1

2021 2020

x x

C

 

    D    

2021 2020

2

1

1

2 2021 2020

x x

C

   

  

 

 

. 

Câu 31 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của   ln

.ln

x f x

x x



  là: 

A ln d ln ln ln

x

x x C

x x



 

   B ln d ln 2.ln

.ln

x

x x x C

x x



 

  

C ln d ln ln ln

x

x x x C

x x



  

   D ln d ln ln

.ln

x

x x x C

x x



 

  

Câu 32 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x x e2 x31  A f x dxex31C

  B f x dx3ex31C

  

C  d 3

x

f x x e  C

 

   D  

3 d

3

x

x

f x x e  C

  

Câu 33 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số   

3

f x  x  là 

A  f x dx3x133x 1 C B  f x dx33x 1 C C  d 133

3

f x x x C

 D  d 13 133

4

f x x x x C

  

Câu 34 Nguyên hàm của hàm số  f x  3x2 là  A 2(3 2)

3 x x C B

(3 2) 3 x x C  C 2(3 2)

9 x x C D

3

2 3x2 C 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

A 12 1

3 x x C

      B 1

2 x C. 

C 22 1

3 x x C.  D  

1

2

3 x x C. 

Câu 36 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số  f x  x ln

x

  Hàm số nào dưới đây không là 

nguyên hàm của hàm số f x ? 

A F x 2 x C  B F x 2 2 x1C 

C F x 2 2 x 1C  D  

2 x

F x   C

Câu 37 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019)  Khi  tính  nguyên  hàm  d

x x x

 

 ,  bằng  cách  đặt 

u x  ta được nguyên hàm nào?

A 2u24 d u.  B u24 d u.  C u23 d u.  D 2u u 24 d u.  Câu 38 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số   

2

f x

x



  

A  d 2

f x x x C

   B  f x x d  2x 1 C. 

C  f x x d 2 2x 1 C.  D  

 

1 d

2

f x x C

x x

 

 

  

Câu 39 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số f x lnx x21 là  A F x xlnx x21 x2 1 C.  B

  ln 1 1

F x x x x   x  C. 

C F x xlnx x21C.  D F x x2lnx x21C.  Câu 40 (Chuyên Hạ Long - 2018)  Biết rằng trên khoảng  3;

2

 

 

 

 , hàm số   

2

20 30

2

x x

f x

x

 



   có 

một  nguyên  hàm  F x ax2bx c  2x3  (a b c, ,   là  các  số  nguyên).  Tổng  Sa b c   

A 4.  B 3   C   D 6  

Câu 41 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số  ( ) sin 3cos

x f x

x



  

A ( ) d 1ln 3cos

f x x  xC

   B  f x( ) dxln 3cos xC.  C  f x( ) dx3ln 3cos xC.  D ( ) d 1ln 3cos

3

f x x   xC

  

Câu 42 (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số  f x( ) biết  '

2

cos ( )

(2 sin )

x f x

x



  

A ( ) sin 2 (2 sin )

x

f x C

x

 

   B

1 ( )

(2 cos )

f x C

x

 

  

C ( ) sin

f x C

x

  

   D

sin ( )

2 sin

x

f x C

x

 

Câu 43 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019)  Biết  F x là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

sin ( )

1 3cos

x f x

x



  và F 2

  

    

.Tính F 0   A (0) 1ln 2

3

F      B (0) 2ln 2

F     C (0) 2ln 2

F     D (0 1ln 2

F     

Câu 44 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết f x dx3 cos 2x  x5C.  Tìm  khẳng  định đúng trong các khẳng định sau

A  f 3x dx3 cos 6x  x5C  B  f 3x dx9 cos 6x  x5C  C  f 3x dx9 cos 2x  x5C  D  f  3x dx3 cos 2x  x5C  Câu 45 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x tan5x. 

A  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

B  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

C  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

D  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

Câu 46 (Hồng  Bàng  -  Hải  Phòng  -  2018)  Biết F x  nguyên hàm hàm số

 

sin cos

f x  x x F 0  Tính

2

F 

 

A

2

F    

.  B

2

F   

.  C

2

F    

.  D

2

F   

. 

Câu 47 Cho F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số    ln

f x

x x

   thỏa  mãn  e

F  

    và F e ln 2. 

Giá trị của biểu thức  12  e2 e

F F

   bằng  

A 3ln 2   B ln 2   C ln 1   D 2ln 1   

Câu 48 (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F x   là  nguyên  hàm  của  hàm  số 

2 ( )

8

 

x f x

x

  thỏa 

mãn F 2 0. Khi đó phương trình F x x có nghiệm là:

A x0 B x1 C x 1 D x 1 Câu 49 Gọi F x  là nguyên hàm của hàm số    12

1

x f x

x x

 

  Biết F 3 6, giá trị của F 8  là

A 217

8 B 27 C

215

24 D

215  

Câu 50 Họ nguyên hàm của hàm số   

20 30

2

x x

f x

x

 



  trên khoảng 

3 ;

 



 

 

 là

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

1 Công thức thường áp dụng

1

dx lnax b C

axb a  



 2 d 1

(ax b) x   a axb C 



lnalnbln( ).ab

 lna lnb lna b

  



lnan nln a

  ln 10

2 Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỷ ( )d ( )

P x

I x

Q x 

 Nếu bậc tử số P x( ) bậc mẫu số Q x( ) PP  Chia đa thức

 Nếu bậc tử số P x( ) bậc mẫu số Q x( ) PP  phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, sử dụng phương pháp che để đưa công thức nguyên hàm số 01

 Nếu mẫu khơng phân tích thành tích số PP  thêm bớt để đổi biến lượng giác hóa cách đặt X atan ,t mẫu đưa dạng X2a2

Câu 51 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  ( )

x f x

x

 

   trên  khoảng 

1; là 

A x3lnx1C.  B x3lnx1C.  C

 2

3

x C

x

 

   D  2

3

x C

x

 

  

Câu 52 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   

 2

3

2

x f x

x

 



 trên khoảng 

2; là

A 3 ln 2 2

x C

x

  

 B  

2 ln

2

x C

x

  



C 3 ln 2

x C

x

  

 D  

4 ln

2

x C

x

  



Câu 53 (Mã đề 101 - BGD - 2019)  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số   

 2

2 1  



x f x

x   trên 

khoảng  1;  là A 2 ln 1

1

  



x C

x B  

3 ln

1

  



x C

x

C 2 ln 1

  



x C

x D  

3 ln

1

  



x C

x  

Câu 54 (Chun  Lê  Q  Dơn  Diện  Biên  2019)  Tìm  một  ngun  hàm  F x của  hàm  số 

  2 , b

f x ax x

x

   biết rằng F 1 1,F 1 4,f 1 0  A   3

2 4

F x x

x

     B   3

4

F x x

x

   . 

C   3

4

F x x

x

     D   3

2 2

F x x

x

Câu 55 Cho biết 

  

2 13

dx ln ln

1

x

a x b x C

x x



    

 

  

Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A a2b8.  B ab8.  C 2a b 8.  D a b 8.  Câu 56 Cho biết    

3

dx aln x x bln x C

x x     

  Tính giá trị biểu thức: P2a b  

A 0.  B -1.  C 1

2.  D 1. 

Câu 57 Cho biết  24 11 dx ln ln

5

x

a x b x C

x x



    

 

  Tính giá trị biểu thức: Pa2ab b 2. 

A 12.  B 13.  C 14.  D 15. 

Câu 58 Cho hàm số  f x  thỏa mãn  f  x ax2 b3 x

   ,  f 1 3,  f 1 2,  1

2 12

f      Khi đó  2ab 

A

 B 0 C 5 D 3

2 Câu 59 (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  ( ) 12

( 1)

x f x

x

 

  trên khoảng (1;) là

A 3ln( 1) 1

x c

x

  

 B

2 3ln( 1)

1

x c

x

  



C 3ln( 1)

x c

x

  

 D

1 3ln( 1)

1

x c

x

  

  

Câu 60 (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   

 2

2

2

x f x

x

 



 trên khoảng 2;  là

A 2 ln 2

x C

x

  

 B  

1 ln

2

x C

x

  



C 2 ln 2

x C

x

  

 D  

3 ln

2

x C

x

  

  

Câu 61 (THPT  Yên  Khánh  -  Ninh Bình  -  2019)  Cho  F x( )  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

2

2

x f x

x x x

 

    trên  khoảng  0;  thỏa  mãn   

1

2

F    Giá  trị  của  biểu  thức 

 1  2  3 2019

S F F F   F  bằng

A 2019

2020 B

2019.2021

2020 C

1 2018

2020 D 2019 2020

  

Câu 62 Giả sử   

     

2 d

1



  

   

 x x C

x x x x g x  (C là hằng số). 

Tính tổng các nghiệm của phương trình g x 0. 

A 1.  B 1.  C 3.  D 3. 

Câu 63 (Nam Trực - Nam Định - 2018)  Cho 

 

3

1

I dx

x x





   ln ln 1 2

a

b x c x C

x



       Khi 

đó S a b c   bằng  A

4 

.  B 3

4.  C

7

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Câu 64 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  R\1;1  thỏa  mãn 

  '

1

f x x



   Biết  f 3  f 3 4  và 

1

2

3

f   f 

      Giá  trị  của  biểu  thức 

 5  0  2

f   f  f  bằng 

A 5 1ln 2

   B 6 1ln

2

   C 5 1ln

2

   D 6 1ln

2

  

Câu 65 (Quảng Xương - Thanh Hóa  -  2018)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  \2;1  thỏa  mãn   2

2

f x

x x

 

  ,  f 3  f  3 0  và   

3

f    Giá  trị  của  biểu  thức 

 4  1  4

f   f   f  bằng 

A 1ln

3 3 B ln 80 1   C

ln ln

3 5    D

ln 5  

Câu 66 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên \ 1   thỏa mãn   

1

f x

x

 

 ,  f 0 2017,,  f 2 2018. Tính S f 3 2018f 1 2017. 

A S 1.  B

1 ln

S    C S 2 ln 2.  D ln

S  

Câu 67 (Sở Phú Thọ - 2018)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  \1;1  thỏa  mãn    22

1

f x

x

 

 , 

 2  2

f   f   và  1

2

f  f  

     Tính f 3  f  0  f 4  được kết quả 

A ln6

5   B

6 ln

5   C

4 ln

5   D

4 ln

5   Dạng Nguyên hàm phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên a b;  và có đạo hàm liên tục trên a b; . Khi đó: 

  udvuv vdu 

   

Để tính tích phân   

b

a

I  f x dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: Bước 1:Chọn u v,  sao cho  f x dx  udv (chú ý: dvv x dx'  ). 

Tính vdv và duu dx' . 

Bước 2:Thay vào cơng thức   và tính vdu

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn 

udv

  Ta thường gặp các dạng sau  Dạng :   sin

cos

x

I P x dx

x

 

  

 

 , trong đó P x  là đa thức  Với dạng này, ta đặt   ,   sin

cos

x

u P x dv dx

x

 

   

 

. 

Dạng :I  x eax b dx

Với dạng này, ta đặt   

ax b

u P x

dv e  dx

      

, trong đó P x  là đa thức  Dạng : IP x  ln mx n dx   

Với dạng này, ta đặt   

 

ln

u mx n

dv P x dx

         

Dạng : sin cos

x

x

I e dx

x           Với dạng này, ta đặt  sin cos x x u x dv e dx

            

 để tính vdu ta đặt 

sin cos x x u x dv e dx

                

Câu 68 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số    2 x f x x  

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

     

g x  x f x  là 

A 2 2 2 x x C x       B 2 x C x      C 2 2 x x C x       D 2 2 x C x     

Câu 69 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số  f x  x x

 

2

3

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

   1   g x  x f x  là

A x x C x     2 3

.  B x C

x    3

.  C x x C

x     2 3

.  D x C

x    3  

Câu 70 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số 

2 ( ) x f x x  

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

( ) ( 1) '( )

g x  x f x  

A 2 2 x x C x       B 1 x C x      C 2 1 x x C x       D 1 x C x     

Câu 71 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số    x f x x  

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

   1   g x  x f x  là 

A 4 x C x      B 4 x C x      C 2 4 x x C x       D 2 4 x x C x      

Câu 72 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số  f x  liên tục trên . Biết cos 2x là một nguyên hàm  của hàm số  f x ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ex là: 

A sin 2xcos 2xC. B 2 sin 2xcos 2xC. 

C 2 sin 2xcos 2xC.  D 2 sin 2xcos 2xC.  Câu 73 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x 4x1 ln x là:

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

A F x xcosxsinx C B F x xcosxsinx C C F x  xcosxsinx C D F x  xcosxsinx C   Câu 75 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x( )x e 2x là : 

A

( )

2

x

F x  e x C

 

  B  

( )

2

x

F x  e x C 

C F x( )2e2xx2C  D ( ) 2 2

x

F x  e x C

 

Câu 76 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x   2x1ex là  A 2 3 x

x e C.  B 2 3 x 

x e C. 

C 2 1 x

x e C.  D 2 1 x

x e C. 

Câu 77 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x( )xe2x?

A

( )

2

x

F x  e x C

 

B  

( )

2

x

F x  e x C

C ( ) 2x 2

F x  e x C D ( ) 2

2

x

F x  e x C

 

Câu 78 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x x1 sin x là  A

2

sin cos

x

x x x C

     B

2

cos sin

x

x x x C

    

C

cos sin

x

x x x C

     D

2

sin cos

x

x x x C

    

Câu 79 (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Giả sử F x ax2bx c e  x là một nguyên hàm của hàm  số  f x x e2 x.Tính tích Pabc. 

A 4.  B 1.  C 5.  D 3.  Câu 80 Họ nguyên hàm của hàm số  ( )f x 2 (1x ex)là

A 2 1 x

x e x   B 2 1 x

x e x   C 2 2 x

x e x   D 2 2 x

x e x  

Câu 81 Họ nguyên hàm của  f x xlnx là kết quả nào sau đây?  A   2ln

2

F x  x x x C.  B   2ln

2

F x  x x x C. 

C   2ln

2

F x  x x x C.  D   2ln

2

F x  x x x C  

Câu 82 (Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Tìm  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

  3 1 ln

f x  x  x. 

A    

3

1 ln

x f x dxx x  x C

   B  

3

ln

x f x dxx x C

  

C    

3 1 ln

3

x

f x dxx x  x  x C

   D  

3 3ln

3

x

f x dxx x  x C

  

Câu 83 (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số    2

sin

x f x

x

   trên  khoảng 

0; là 

C xcotxln sinx C. D xcotxln s in xC. 

Câu 84 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số y3x x cosx A x33xsinxcosxC B x33xsinxcosxC

C x33xsinxcosxC D x33xsinxcosxC

Câu 85 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số    ex

f x x x  là 

A 1  1 e

x

x  x C.  B 1  1 e

x

x  x C. 

C 1 e

x

x x C.  D 4  e x

x  x C. 

Câu 86 Cho hai hàm số F x G x ,   xác định và có đạo hàm lần lượt là  f x   ,g x  trên . Biết rằng 

     

ln

F x G x x x   và     

3 2

1

x F x g x

x



  Họ nguyên hàm của  f x G x     là 

A x21 ln x212x2C.  B x21 ln x212x2C.  C x21 ln x21x2C.  D x21 ln x21x2C.  Câu 87 (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A xe xxd ex xexC.  B

2 d

2

  

xe xx x ex ex C.  C xe xxd xexexC.  D

2 d

2

 

xe xx x ex C. 

Câu 88 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F x , G x  xác đinh và có đạo hàm lần lượt là  f x , 

 

g x   trên .  Biết       

.G ln

F x x  x x    và      2

1

x F x g x

x



   Tìm  họ  nguyên  hàm  của 

    f x G x

A x21 ln x212x2C B x21 ln x212x2C C x21 ln x21x2C D x21 ln x21x2C Câu 89 Cho  biết    2

3

F x x x

x

     là  một  nguyên  hàm  của      2

2

x a

f x

x



   Tìm  nguyên  hàm  của 

  cos

g x x ax. 

A xsinxcosx C   B 1 sin 1cos 2x x4 x C   C xsinxcosC  D 1 sin 1cos

2x x4 x C  

Câu 90 Họ nguyên hàm của hàm số   

l

2x x n

y

x x

 

  là 

A  

2

1 ln

x

x x x

x     C.  B  

2

1 ln

x

x x x

x     C. 

C  

2

1 ln

x

x x x

x     C.  D  

2

1 ln

x

x x x

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Câu 91 (Mã 104 2017) Cho    12

2

F x x

  là một nguyên hàm của hàm số  f x 

x  Tìm nguyên hàm của 

hàm số f x lnx

A f  x ln dx x ln2x 12 C

x x

 

    

 

 B  ln d ln2 12

2

x

f x x x C

x x

   



C  ln d ln2 12

x

f x x x C

x x

 

    

 

 D f  x ln dx x ln2x 12 C

x x

   

  

Câu 92 (Mã 105 2017) Cho     13 F x

x  là một nguyên hàm của hàm số    f x

x  Tìm nguyên hàm của 

hàm số f x lnx

A   ln d ln3  15  x

f x x x C

x x B      

ln

ln d

5 x

f x x x C

x x

C   ln d  ln3  13  x

f x x x C

x x D      3

ln

ln d

3 x

f x x x C

x x  

Câu 93 (Mã 110 2017) Cho     1 x

F x  x e  là một nguyên hàm của hàm số  f x e  2x. Tìm nguyên hàm  của hàm số  f x e2x

A f x e2xdx42x e xC

 B f x e2xdxx2ex C



C   d 2

x x x

x

f e x  e C

 D  f x e2xdx2x e xC

Câu 94 Cho hàm số  f x thỏa mãn    x

f x xe và  f  0 2.Tính  f 1  

A f  1 3.  B f  1 e.  C f 1  5 e.  D f 1  8 2e. 

Câu 95 (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Cho  hàm  số  f x   thỏa  mãn  f x  f x e ,x  x   và 

 0

f   Tất cả các nguyên hàm của  f x e2x là 

A x2 e xexC  B x2 e 2xexCC x1 e xC  D x1 e xC 

Câu 96 (Việt Đức Hà Nội 2019)  Cho  hàm  số  y f x   thỏa  mãn  f '  x  x1 e ,   x f 0 0  và 

 d  ex

f x x ax b c

  với a b c, ,  là các hằng số. Khi đó: 

A ab2.  B ab3.  C ab1.  D ab0. 

Câu 97 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số 

  e x

f x x  . Tính 

 

F x  biết F 0 1. 

A F x  x1 e x2.  B F x   x1 e x1.  C F x   x1 e x2.  D F x  x1 e x1

Câu 98 (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết xcos dx xaxsin 2x b cos 2x C   với a, b  là  các  số  hữu  tỉ.  Tính tích ab? 

A

8

ab   B

4

ab   C

8

ab    D

4

ab   

Câu 99 (Chuyên Đh Vinh - 2018)  Giả  sử  F x   là  một  nguyên  hàm  của  f x  lnx2 3 x



   sao  cho 

 2  1

A. 10ln 5ln

3 6 B. C.

7 ln

3   D.

2

ln ln

3 6

Câu 100 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g x  là một nguyên hàm của hàm  số  f x lnx1.  Cho  biết  g 2 1  và  g 3 alnb  trong  đó  ,a b  là  các  số  nguyên  dương  phân biệt. Hãy tính giá trị của T 3a2b2 

A. T 8 B.T  17 C. T 2 D. T  13

Câu 101 (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết xcos dx xaxsin 2x b cos 2x C   với a, b  là  các  số  hữu tỉ Tính tích ab? 

A

8

ab   B

4

ab   C

8

ab    D

4

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng Nguyên hàm hàm ẩn liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x) Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )u x f x'( ) ( )h x( )

Phương pháp:

Dễ dàng thấy ( )u x f x( )u x f x( ) ( )[ ( ) ( )]u x f x 

Do dó ( )u x f x( )u x f x( ) ( )h x( )[ ( ) ( )]u x f x  h x( ) Suy u x f x( ) ( )h x x( )d

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) f x( )h x( ) Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc exf x( )exf x( )exh x( )ex f x( ) exh x( ) Suy x ( ) x ( )d

e f x e h x x Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) f x( )h x( ) Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc ex f x( )exf x( )exh x( )ex f x( ) exh x( ) Suy ex f x( )exh x x( )d

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) p x( )f x( )h x( ) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)

Phương pháp:

Nhân hai vế với ep x dx( ) ta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) p x dx ( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( ) p x dx ( ) p x dx

f x e p x e f x h x e f x e h x e



       

          

 

Suy f x e( ) p x dx( ) ep x dx( ) h x x( )d Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) p x( ) f x( )0 Phương pháp:

Chia hai vế với f x( ) ta đựơc ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy ( )d ( )d ln | ( ) | ( )d ( )

f x

x p x x f x p x x

f x



    

  

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x( ) p x( ) [ ( )] f x n0 Phương pháp:

Chia hai vế với [ ( )]f x n ta ( ) ( ) 0 ( ) ( )

[ ( )]n [ ( )]n

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy

1

( ) [ ( )]

d ( )d ( )d

[ ( )]

n n

f x f x

x p x x p x x

f x n

  

    

 

  

Từ dầy ta dễ dàng tính f x( )

Câu (Mã 103 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn  2 25  

f f x 4x3f x 2 với 

x Giá trị f 1 A 391

400

 B

40

 C 41

400

 D

10 

Câu (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x  đồng biến có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f x 2  f x e  , x  x 

 0

f  Khi f 2 thuộc khoảng sau đây?

A 12;13  B 9;10  C 11;12  D 13 14; .

Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y f x  thỏa mãn  2 19 f  

  2 

f x x f x  x  Giá trị f 1 A

3

 B

2

 C 1 D

4 

Câu (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f x  liên tục \1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1  2 ln x x. 1  f x  f x x2x Biết f  2 a b ln (a, b) Giá trị 2a2b2

A 27

4 B 9 C

3

4 D

9

Câu (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x 0, x có đạo hàm

 

f x liên tục khoảng 0;  thỏa mãn f  x  2x1f2 x , x  1

f   Giá

trị biểu thức f  1  f 2   f2020 A 2020

2021

 B 2015

2019

 C 2019

2020

 D 2016

2021



Câu (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x  liên tục \1;0 thỏa mãn f 1 2 ln 1 ,

 1    2    1

x x f x  x f x x x ,  x \1;0 Biết f 2 a b ln 3, với a, b hai số hữu tỉ Tính T a2b

A

16

T  B 21 16

T  C

2

T  D T 0

Câu (THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs y f x  thỏa mãn y xy2 f 1 1 giá trị f 2

A e2 B 2e C e1 D e3

Câu (Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f x  liên tục , f x 0 với x thỏa mãn

 1

2

f   , f  x  2x1f2 x Biết f 1 f 2 f2019 a b

     với

 

, , ,

a b a b  Khẳng định sau sai?

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x  liên tục 0; thỏa mãn 2xf x  f x 3x2 x Biết  1

2

f  Tính f 4 ?

A 24 B 14 C 4 D 16

Câu 10 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f x 0 với x, f  0 1

   

f x  x f x với x Mệnh đề đúng?

A f x 2 B 2 f x 4 C f x 6 D 4 f x 6

Câu 11 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục

2;  f x 0, x 2; 4 Biết     3, 2; ,  2

x f x f x  x  x f  Giá trị

 4

f

A 40



B 20



C 20



D 40



Câu 12 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f x( ) hàm số liên tục  thỏa mãn

    ,

f x  f x x  x  f 0 1 Tính f 1 A 2

e B

1

e C e D

e

Câu 13 (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn

  2    

1

xf x x f x f x

      

    với x dương Biết f  1  f 1 1 Giá trị f2 2 A f2 2  2 ln 22 B

 

2 ln 2

f  

C f2 2 ln 1 D f2 2  ln 1

Câu 14 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( '( ))f x 2 f x f( ) ''( )x x32 ,x  x R

và f(0) f'(0) 1 Tính giá trị T  f2(2)

A 43

30 B

16

15 C

43

15 D

26 15 Câu 15 (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm 0;

2 

 

 

 

, thỏa mãn

  tan   cos

x

f x x f x

x 

  Biết 3 ln

3

f f a b

    a b, 

 Giá trị biểu thức Pa b

A 14

9 B

2

 C 7

9 D

4 

Câu 16 (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x  đồng biến 0;;

 

y f x liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn  3 f 

     

'

f x  x f x

 

  Tính f 8

A f  8 49 B f  8 256 C  8 16

f  D  8 49

64

Câu 17 Cho hàm số f x  thỏa mãn f 1 2 x212 f x f x 2x21 với x Giá trị f 2

A 2

5 B

2

 C

2

 D 5

2

Câu 18 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục khoảng 0; , biết f  x  2x1f2 x 0,

  0,

f x   x  2

f  Tính giá trị

 1  2 2019

P f  f   f

A 2021

2020 B

2020

2019 C

2019

2020 D

2018 2019

Câu 19 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 2;1 thỏa mãn f 0 3

 

f x 2.f x 3x24x2 Giá trị lớn hàm số

 

y f x đoạn 2;1 A

2 42 B

2 15 C 3

42 D 3

15

Câu 20 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1)4

3

( ) ( )

f x xf x  x  x với x0 Giá trị f(2)

A 5 B 10 C 20 D 15

Câu 21 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x  liên tục R thỏa mãn điều kiện: f 0 2 2,

 0,

f x  x  f x f    x  2x1 1 f2 x ,  x  Khi giá trị f  1

A 26 B 24 C 15 D 23

Câu 22 (Cần Thơ 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 2 f x f .  x 2x2x1

  ,  x 

 0  0

f  f  Giá trị f 1 2

A 28 B 22 C 19

2 D 10

Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn

x2   f x  x1  f x ex  0

f  Tính f 2 A  2 e

3

f  B  2 e

6

f  C  

2

e

3

f  D  

2

e

6

f 

Câu 24 (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y f x  liên tục \ 0; 1 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln x x 1  f x  f x x2x Giá trị

 2 ln

f a b , vớia b,  Tính

2

a b A 25

4 B

9

2 C

5

2 D

13

Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn f 1 1, f x  f x 3x1, với x0 Mệnh đề sau đúng?

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 26 (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện

    2 

2

f x  x f x  0

f   Biết tổng

 1  2  3 2017 2018 a

f f f f f

b

      với a,b* a

b phân số tối giản Mệnh đề sau đúng?

A a

b  B

a

b C ab1010 D ba3029

Câu 27 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f x 0,    

4

2

3x x

f x f x

x

 

 

 1

3

f   Tính f 1  f 2   f 80 A 3240

6481

 B 6480

6481 C

6480 6481

 D 3240

6481

Câu 28 (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai đoạn 0; 2 thỏa mãn f x 2 f x f   x f x 20 Biết f  0 1, f 2 e6 Khi

 1

f

A

3

e B e3 C

5

e D e2

Câu 29 Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f x 2 x f x ex2,  x  f 0 0 Tính f 1

A f 1 e2 B

 1 e

f   C  1 12 e

f  D  1 e

f 

Câu 30 Cho hàm số y f x  thỏa mãn f '   x f x x4x2 Biết f 0 2 Tính f2 2 A 2  313

2 15

f  B 2  332

2 15

f  C 2  324

2 15

f  D 2  323

2 15

f 

Câu 31 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x  f  x e ,x x 

   

 0

f  Tất nguyên hàm f x e2x A x2 e xexC B x2 e 2xexC C  e x

x C D  e x x C

Câu 32 Cho hàm số y f x  có đạo hàm 0;  thỏa mãn 2xf x  f x 2x  x 0 ; ,

 1

f  Giá trị biểu thức f 4 là: A 25

6 B

25

3 C

17

6 D

17

Câu 33 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện x6 f x 327 f x 1 0 , x

   

     f 1 0 Giá trị f 2

A 1 B C 7 D 7

Câu 34 (Bến Tre 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn: f x 2 f x f   x 15x412x,  x 

 0  0

f  f  Giá trị f2 1

A 5

Câu 35 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 1;  thỏa mãn

   

   

2 ln

xf x  f x xx  f x ,  x 1; ; biết f 3e 3e Giá trị f 2 thuộc khoảng

nào đây? A 12;25

2

 

 

  B

27 13;

2

 

 

  C

23 ;12

 

 

  D

29 14;

2

 

 

 

Câu 36 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn

   

 

3 1

2

2 3f x ef x x x

f x

 

   với  x  Biết f 0 1, tính tích phân  

7

0

d

x f x x



A 11

2 B

15

4 C

45

8 D

9

Câu 37 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y f x  liên tục không âm  thỏa mãn

 .   2 2  1

f x f x  x f x  f 0 0 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x  đoạn 1;3 Biết giá trị biểu thức P2Mm có dạng

 

11 , , ,

a b c a b c Tính a b c 

A a b c  7 B a b c  4 C a b c  6 D a b c  5

Câu 38 Cho hàm số y f x  liên tục \1; 0 thỏa mãn f 1 2 ln 1 ,

 1    2    1

x x f x  x f x x x ,  x \1; 0 Biết f 2  a bln 3, với a b, hai số hữu tỉ Tính T a2b

A 21

16

T  B

2

T  C T 0 D

16

T  

Câu 39 Cho hàm số y f x  liên tục 0;  thỏa mãn x f x x f2  x 2f2 x , với

  0, 0; 

f x   x    1

f  Gọi M m, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

hàm số y f x  đoạn 1; 2 Tính M  m A

10 B

21

10 C

5

3 D

7 Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm

Câu (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F x  nguyên hàm hàm số f x ex2x34x Hàm số  



F x x có điểm cực trị?

A 6 B 5 C 3 D 4

Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho     

2

1 cos sin cot sin

x x x

F x dx

x

 

 S tổng

tất nghiệm phương trình  

F x F 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F x  nguyên hàm hàm số

 

2 cos sin

x f x

x 

 khoảng 0; Biết giá trị lớn F x  khoảng 0; 3 Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A. 3

6

F  

  B.

2

3

F  

  C. F 3

  

   

  D.

5

3

F     Câu Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  xcosx2 sinx

x



 Hỏi đồ thị hàm số yF x  có điểm cực trị khoảng 0; 4?

A. B.1 C. D.

Câu (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  x cos2 x x 

 Hỏi đồ thị hàm số yF x  có điểm cực trị?

A.1 B.2 C.vơ số điểm D.0

Câu (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số  

'

y f x 5;3 hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol

2

y ax bx c )

Biết f 0 0, giá trị 2f 5 3f  2

A 33 B 109

3 C.

35

3 D.11

Câu Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0;  thỏa mãn f  x f x  4x2 3x x

   

 1

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH

Dạng Nguyên hàm

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)

  0dx C k xd kx C



1

d

1

n

n x

x x C

n



 



 

1

1 ( )

( ) d

1

n

n ax b

ax b x C

a n





  



  1dx lnx C

x  

  dx 1lnax b C

ax b a  

  12dx C

x

x   

  2d 1

(ax b) x   a axb C 

  sin dx x  cosxC

 sin(ax b x)d 1cos(ax b) C

a

    



  cos dx x sinx C

 cos(ax b x)d 1sin(ax b) C

a

   



 12 d cot

sin x x   x C

  2 d 1cot( )

sin ( ) x

ax b C a

ax b    



 12 d tan

cos x x  x C

  2d 1tan( )

cos ( ) x

ax b C a

ax b   

  e xxd ex C

 

d

ax b ax b

e x e C

a

   



 d

ln

x

x a

a x C

a

 

  d

ln

x

x a

a x C

a

   





  



♦ Nhận xét Khi thay x (axb) lấy nguyên hàm nhân kết thêm 1

a

Một số nguyên tắc tính

 Tích đa thức lũy thừa PP  khai triễn  Tích hàm mũ PP  khai triển theo cơng thức mũ

 Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 1cos2 , cos2 1cos2

2 2

a  a a  a

 Chứa tích thức x PP  chuyển lũy thừa.

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) khoảng

K

A F x'( ) f x( ), x K B f x'( )F x( ), x K

C F x'( ) f x( ), x K D f x'( ) F x( ), x K

Lời giải Chọn C

Theo định nghĩa hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) khoảng K

nếuF x'( ) f x( ), x K

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1) x dx2

A 2x C B 1

3x C C

3

x C D 3x3C

Lời giải

Chọn B

Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số f x x3

A B C D

Lời giải Chọn D

Ta có

Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1) x x4d

A 1

5x C B

3

4x C C x5C D 5x5C

Lời giải Chọn A

4

d

x x



5x C

 

Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1) x dx5

A

5x C B 1

6x C C

x C D

6x C

Lời giải Chọn B

Câu 6. (Mã 101- 2020 Lần 2) 5x dx4

A 1

5x C B

5

x C C 5x5C D 20x3C

Lời giải Chọn B

Ta có 5x dx4 x5C

Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 2) 6x dx5



A 6x6C B x6C C 1

6x C D

4

30x C

Lời giải Chọn B

Ta có: 6x dx5 x6C



Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2)

2 dx x

 bằng

A 3x3C B 6x C C

3x C D

3 x C

4x C 3x2C x4C

4x C

4

d

x x x C

Lời giải Chọn D

Ta có:

3

2

3 d

3

x

x x C x C



Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) dx x



A 4x4C B 1

4x C C

12x C D x4C

Lời giải Chọn D

Ta có dx x

 x4C

Câu 10. (Mã 1032018) Nguyên hàm hàm số f x x4x2

A 1

5x 3x C B

x x C C x5x3C. D 4x32xC

Lờigiải ChọnA

 

f x dx

 x4x2dx 5x 3x C

  

Câu 11. (Mã104-2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x4

A x2C. B 2x2C. C 2x24xC. D x24xC

Lờigiải ChọnD

Ta có  f x dx  2x4dxx24x C

Câu 12. (Mã102-2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x6

A x2C B x26x C C 2x2C D 2x26x C

Lờigiải ChọnB

 

2x6 dxx 6x C



Câu 13. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số f x cosx6x

A sinx3x2C B sinx3x2C C sinx6x2C D sinxC

Lời giải Chọn A

Ta có    

d cos d sin

f x x x x x x x C

 

Câu 14. (Mã1052017) Tìm nguyên hàm hàm số f x 2 sinx

A 2 sinxdx 2 cosx C B 2 sinxdx2 cosx C

C 2 sinxdxsin2x C D 2 sinxdxsin 2x C

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A 1

4x 2x C B

3x  1 C C x3 x C D x4x2C

Lờigiải ChọnA

x3x2dx

 14x412x2C

Câu 16. (Mã103- 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f x 2x3

A x23xC B 2x23xC C x2C D 2x2C

Lờigiải ChọnA

Ta có  

2x3 dxx 3xC



Câu 17. (ĐềMinhHọa2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x  2x1

A   22 1

3

f x dx x x C

 B   12 1

3

f x dx x x C



C  

3

f x dx  x C

 D  

2

f x dx x C



Lờigiải ChọnB

     

 

1

2 2

2

2

f x dx x dx x d x

x x C

    

   

  

Câu 18. (ĐềThamKhảo2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x  x2 22 x

 

A  

3

1 d

3

x

f x x C

x

  

 B  

3

2 d

3

x

f x x C

x

  



C  

3

1 d

3

x

f x x C

x

  

 D  

3

2 d

3

x

f x x C

x

  



Lờigiải ChọnA

Ta có

3

2

2

d

x

x x C

x x

 

   

 

 



Câu 19. (Mã1102017) Tìm nguyên hàm hàm số  

f x x





A d 1ln

5

x

x C

x   

 B d ln

5

x

x C

x   



C d 1ln

5 2

x

x C

x    

 D d ln

5

x

x C

x   



Lờigiải ChọnA

Áp dụng công thức dx 1ln ax b C a 0

ax b a   

 ta d 1ln

5

x

x C

x   

Câu 20. (Mã1232017) Tìm nguyên hàm hàm số f x cos 3x

A cos 3xdx3 sin 3x C B cos sin 

3 x

xdx C

C cos 3xdxsin 3x C D cos  sin 

3 x

xdx C

Lờigiải ChọnB

Ta có:cos sin 

x

xdx C

Câu 21. (Mã1042018) Nguyên hàm hàm số f x x3x2

A 1

4x 3x C B

3x 2xC C

x x C D

x x C

Lờigiải ChọnA

Câu 22. (ĐềThamKhảo 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x exx

A x

e  C B exx2C C 2

x

e  x C D 1

1

x

e x C

x  

Lờigiải ChọnC

Câu 23. (Mã101-2019) Họ tất nguyên hàm hàm số ( )f x 2x5

A x2C. B x25x C . C 2x25x C . D 2x2C

Lờigiải ChọnB

Họ tất nguyên hàm hàm số ( )f x 2x5 F x( )x25x C .

Câu 24. (Mã1042017) Tìm nguyên hàm hàm số f x 7x

A d ln

x x

x C

 B 7 dx x7x1C



C

1

7 d

1

x x

x C

x 

 



 D 7 dx x7 ln 7x C

Lờigiải ChọnA

Áp dụng công thức d , 0 1 ln

x

x a

a x C a

a

   

 ta đáp án B

Câu 25. (Mã1022018) Nguyên hàm hàm số f x x4x

A 4x3 1 C B x5x2C C 1

5x 2x C D

4

x  x C

Lờigiải ChọnC

Ta có  d

5

x x x x  x C

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A x3C B

3

3

x

x C

  C 6xC D x3xC

Lờigiải ChọnD

3x21dxx3 x C.



Câu 27. (THPTAnLãoHảiPhịng2019) Tìm ngun hàm x x 2715dx?

A 1 716

2 x  C B  

16

7

32 x C

   C  716

16 x  C D   16

7 32 x  C

Lờigiải ChọnD

 715dx  715  7  716

2 32

x x   x  d x   x  C

 

Câu 28. (THPTBaĐình-2019) Họ nguyên hàm hàm số (x) x

f e hàm số sau đây?

A 3exC B 1 3 

x

e C C 1

3 

x

e C D

3e xC

Lờigiải

Ta có: 3

d ,

3

x x

e x e C

 với C số

Câu 29. (THPTCẩmGiàng2 2019) Tínhxsin dx x

A

2

sin

x

x C

  B

2

cos 2

x

x C

  C cos

2

x

x  C D

2

cos

2

x x

C

 

Lờigiải

Ta có xsin 2xd =x x xd sin dx x

2

cos

2

x x

C

  

Câu 30. (THPTHoàngHoaThámHưngYên2019) Nguyên hàm hàm số ye2x1

A 2e2x C 

 B e2x C 

 C 1e2

x C 

 D 1e

x C



Lờigiải

Ta có: e2 1d e2 1d 2 1 1e2

2

x x x

x x C

  

   

 

Câu 31. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2

f x x

 

A ln 2x3C B 1ln

2 x C C

1

ln

ln x C. D  

lg

2 x C

Câu 32. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số 3x

y x

x

  

A

3

2

3

, ln

x

x

C C x

    B

3

2

3 ,

3

x

x

C C x

   

C

3

ln , ln

x

x

x C C

    D

3

ln , ln

x

x

x C C

   

Ta có:

3

2 3 d ln ,

3 ln

x

x x

x x x C C

x

 

      

 

 

 

Câu 33. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x sin 3x

A 3cos3x C B 3cos3x C C 1cos3

3 xC D

cos3

3 x C

 

Lờigiải

cos sin dx

3

x

x   C



Câu 34. (ChuyênKHTN2019) Họ nguyên hàm hàm số f x 3x2sinx

A x3cosxC B 6xcosx C C x3cosxC D 6xcosx C

Lờigiải

Ta có 3x2sinxdxx3cosxC

Câu 35. (ChuyênBắcNinh-2019) Công thức sau sai?

A ln dx x C x

 

 B 12 d tan

cos x x x C



C sin dx x cosx C D e dx xexC



Lờigiải

Ta có: ln dx x C x

 

 sai

Câu 36. (ChuyênBắcNinh2019) Nếu f x dx4x3x2C

 hàm số f x 

A  

3

3

x

f x x  Cx B f x 12x22x C

C f x 12x22x D  

3

3

x f x x 

Lờigiải

Có f x 4x3x2C12x22x

Câu 37. (THPTLươngThếVinhHàNội2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A cos 1sin 2 d

x x x C

 B

e e

1

1 d

e

x

x x C



 





C 1dx ln x C

x  

 D

1

e e d

1

x x

x C

x 

 





Lờigiải

Ta có:

1

e e d

1

x x

x C

x 

 



 sai e dx xex C



Câu 38. (THPTLươngThếVinhHàNội2019) Nguyên hàm hàm số y2x

A 2xdxln 2.2xC B 2xd 2x x C

 C

2

d

ln

x x

x C

 D

1 d

2

x x

x C

x

 





NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Do theo bảng nguyên hàm:

l a d

n

x

x a

a x C



Câu 39. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số

  sin

f x  x x

A f x x d 3x2cosx C B  

2

3

d cos

2

x

f x x  x C



C  

2

3

d cos

2

x

f x x  x C

 D f x x d  3 cosx C

Lờigiải

Ta có    

2

3

d sin d cos

2

x

f x x x x x  x C

 

Câu 40. (SởBìnhPhước2019) Họ nguyên hàm hàm số ( )f x xs inxlà

A x2cos x+C B x2cos x+C C

cos x+C

x

 D

2

cos x+C

x



Lờigiải ChọnC

Theo bảng nguyên hàm

Câu 41. (THPTMinhKhaiHàTĩnh2019) Họ nguyên hàm hàm số ( )f x cosx là:

A cosx C B cosx C C sinx C D sinx C

Lờigiải

Ta có cos d x xsinx C

Câu 42. (THPTĐoànThượng-HảiDương-2019) Họ nguyên hàm hàm số f x x4x2

A 4x32xC B x4x2C C 1

5x 3x C D

x x C

Lờigiải

Ta có  d  2d

5

f x x x x x x  x C

 

Câu 43. (THPTCùHuyCận2019) Họ nguyên hàm hàm số f x ex2x

A exx2C B exx2C C

1

x

e x C

x   D

x

e  C

Lờigiải

Ta có:  x  x e  x dxe x C



Câu 44. (ChuyênHùngVươngGiaLai2019) Họ nguyên hàm hàm số ycosx x

A

sin

x x C B

sinxx C C sin

2

x x C

   D

sinx x C

  

Lờigiải

 

cos d sin

xx x x x C



Câu 45. (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Họ nguyên hàm hàm số y x2 3x x

A

3

3

ln

3

x x

x C

   B

3

3

ln

3

x x

x C

  

C

3

3

ln

3

x x

x C

   D

3 2

3

3

x x

C x

  

Lờigiải

Ta có:

3

2

( )d ln

3

x x

x x x x C

x

     



Câu 46. (ChuyenPhanBộiChâuNghệAn2019) Họ nguyên hàm hàm số f x  sinx x

 

A lnxcosxC B 12 cosx C x

   C ln xcosx C D ln xcosx C

Lờigiải

Ta có f x dx sinx dx 1dx sin dx x ln x cosx C

x x

 

        

 

   

Câu 47. (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Hàm số   3

F x  x nguyên hàm hàm số sau  ; ?

A f x 3x2 B f x  x3 C f x x2 D   4

f x  x

Lờigiải

Gọi   3

F x  x nguyên hàm hàm số f x 

Suy F' x  f x  f x x2

Câu 48. (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x 2x

A  f x dx2xC B  d ln

x f x x C



C  f x dx2 ln 2x C D  

1

2 d

1

x

f x x C

x 

 





Lờigiải

Ta có:  d d ln

x x

f x x x C

 

Câu 49. (THPT-YênĐịnhThanhHóa 2019) Tìm nguyên hàm hàm số  

2

2

x f x

x





A  

3

1 d

3

x

f x x C

x

  

 B  

3

2 d

3

x

f x x C

x

  



C  

3

1 d

3

x

f x x C

x

  

 D  

3

2 d

3

x

f x x C

x

  



Lờigiải

Ta có:  

4

2

2

2 2

d d d

3

x x

f x x x x x C

x x x

  

       

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 50. (SởHàNội2019) Hàm số hàm số sau nguyên hàm hàm số yex?

A y x

 B yex C yex

D ylnx

Lờigiải

Ta có:  ex ex yex nguyên hàm hàm số yex

Câu 51. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính

( )

F x e dx, e số

2, 718

e

A

2

( )

e x

F x  C B

3

( )

e

F x  C C F x( )e x C2  D F x( )2ex C

Lờigiải

Ta có: F x( )e dx2 e x C2 

Câu 52. (Chun Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm hàm số   1

f x

x





;

 



 

 

A 1ln

2 x C B  

ln

2  x C C

ln

2 x C

   D ln 2x 1 C

Lờigiải

Trên khoảng ;1

 



 

 

, ta có:  f x x d d 2x x

 

 1 d 2  2x x

  



 1ln

2 x C

   

Câu 53. (ChuyênHưngYên2019) Nguyên hàm hàm số f x 2xx

A

2 2 ln 2 2

x x

C

  B

2x

x C

  C 2

ln 2 x

x C

  D

2 2

2 x x

C  

Lờigiải

Ta có 2 d 2

ln 2

x x

x x x C

   



Câu 54. (ChuyênSơnLa2019) Họ nguyên hàm hàm số f x  1 sinx

A 1 cos x C B 1 cos x C C xcosxC D xcosxC

Lờigiải

Ta có  f x x d 1 sin x xd  x cosx C

Câu 55. (THPTĐơngSơnThanhHóa2019) Ngun hàm hàm số f(x) 2 2019 3x  x  x

A x  x  x C

2

2 12

1

B

2

4

1

2019

9

x

x  x   x C

C

2

4

1

2019

12

x

x  x   x C D

2

4

1

2019

9

x

x  x   x C

Sử dụng công thức

1

1

n

n x

x dx C

n 

 



 ta được:

4

3

1 1

2 2019 2019 2019

3 12

x x x

x x x dx x C x x x x C

 

            

 

 



Câu 56. (THPTYênKhánh-NinhBình-2019) Họ nguyên hàm hàm số ( )

3

f x x



 khoảng

1 ;

3

 



 

  là:

A 1ln(3 1)

3 x C B ln(1 ) x C C

1

ln(1 )

3  x C D ln(3x 1) C

Lờigiải

Ta có: 1 (3 1) 1ln 1ln(1 x) C

3 3 3

d x

dx x C

x x



      

 

  (do ;1

3

x    )

Câu 57. (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A dx ln 2x

x C

 B

2

2 e

e d

x x

x C



C cos d 1sin

2

x x x C

 D d ln

1 x x C

x   

   x 1

Lờigiải ChọnA

Ta có: d ln

x x

x C



Câu 58. (Chuyên Lê HồngPhong Nam Định 2019) Cho hàm số

4

2

( ) x

f x x



 Khẳng định sau đúng?

A

3

2

( )

3

x

f x dx C

x

  

 B

3

2

( )

3

x

f x dx C

x

  



C

3

2

( )

3

x

f x dx C

x

  

 D f x dx( ) 2x3 C

x

  



Lờigiải ChọnB

Ta có

4

2

2

2 3

( )

3

x x

f x dx dx x dx C

x x x

  

       

 

  

Câu 59. (SởThanhHóa2019) Cho hàm số f x 2x x 1 Tìm  f x dx

A  f x dx2xx2 x C B  d 1 2 1

ln 2 2

x

f x x  x  x C



C  d 2 1

2

x

f x x  x  x C

 D  d 1 2 1

1 2

x

f x x x x C

x   

 



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có: 2 1d 1 2 1 .

ln 2 2

x x x x x  x C



Câu 60. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số

  sin

f x  x x

A f x x d 3x2cosx C B  

2

d cos

2

x

f x x  x C



C  

2

d cos

2

x

f x x  x C

 D f x x d  3 cosx C

Lờigiải ChọnC

Ta có    

2

d sin d cos

2

x

f x x x x x  x C

 

Câu 61. (ChuyênBắcGiang2019) Hàm số   x2

F x e nguyên hàm hàm số hàm số sau:

A f x( )2xex2 B f x( )x e2 x2 1 C f x( )e2x D

2 ( )

2

x

e f x

x



Lờigiải ChọnA

Ta có f x F x   f x  ex2 2xex2.

Câu 62. (ChuyênĐạiHọcVinh2019) Tất nguyên hàm hàm số ( )f x 3x

A

ln

x C 

  B 3xC C 3xln 3C D 3

ln

x C 



Lờigiải ChọnA

Ta có ( )d d d( ) ln

x

x x

f x x x x C



 

      

  

Câu 63. (SởPhúThọ2019) Họ nguyên hàm hàm số f x x3x2

A

4

4  

x x

C B

 

x x C C

3x 2xC D

4

3  

x x

C

Lờigiải ChọnA

   

4 3

d

4

    

 f x dx  x x x x x C

Câu 64. (Chuyên ĐHSPHàNội2019) Hàm số hàm số sau không nguyên hàm hàm số yx2019?

A

2020

1 2020

x

 B

2020

2020

x

C y2019x2018 D

2020

1 2020

x



Ta có:

2020 2019

d ,

2020

x

x x C C

 số Nên phương án A,B,D nguyên hàm hàm số yx2019

Câu 65. (ChuyênQuốcHọcHuế2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số yx23x 1

x

A

3 3

ln , ln

x

x

x C C R

    B

3 3

ln , ln

x

x

x C C R

   

C

3

2

3 ,

3

x

x

C C R

x

    D

3

2

3

, ln

x

x

C C R

x

   

Lờigiải

Ta có:

3

2

d ln ,

3 ln

1

x

x x

x R

x x C C

x



   

  

 

  



Câu 66. (QuảngNinh2019) Tìm nguyên hàm hàm số   2017 20185

x

x e

f x e

x



 

   

 

A f x dx 2017ex 20184 C x

  

 B f x dx 2017ex 20184 C

x

  



C f x dx 2017ex 504,54 C x

  

 D f x dx 2017ex 504,54 C

x

  



Lờigiải

  5

2018 2018 504,

d 2017 d 2017 d 2017

x

x e x x

f x x e x e x e C

x x x



   

          

 

 

  

Câu 67. (HSGBắcNinh2019) Họ nguyên hàm hàm số 2 cos

x

x e

y e

x



 

   

 

A 2extanx C B 2extanx C C 2 cos

x

e C

x

  D 2

cos

x

e C

x

 

Lờigiải

Ta có: 2 12

cos cos

x

x e x

y e e

x x



 

    

 

2

2 tan

cos

x x

ydx e dx e x C

x

 

      

 

 

Câu 68. (ChuyênHạLong2019) Tìm nguyên F x  hàm số f x   x1x2x3 ?

A  

4

3 11

6

4

x

F x   x  x  x C B F x x46x311x26x C

C  

4

3 11

2

4

x

F x   x  x  x C D F x x36x211x26x C

Lờigiải

Ta có: f x x36x211x6    

3 11

6 11 6

4

x

F x x x x dx x x x C

         

Câu 69. (SởBắcNinh2019) họ nguyên hàm hàm số   



f x

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A 1ln 5 4

5 x C B ln 5x4C C.

ln

ln x C D

ln 5 x C

Lờigiải

Ta có d 1 d 5 4 1ln 5 4 5 4  5  

 x  x x C

 

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng Nguyên hàm có điều kiện

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx C k xd kx C. 

 

1

d

1 n

n x

x x C

n



 



    

1 ( )

( ) d

1 n

n ax b

ax b x C

a n





  



  

  1dx lnx C

x  

     dx 1lnax b C

ax b a  

  

  12dx C x

x   

     2d 1

(ax b) x   a axb C

  

  sin dx x  cosxC. 

  sin(ax b x)d 1cos(ax b) C

a

    

  

  cos dx x sinx C. 

  cos(ax b x)d 1sin(ax b) C

a

   

  

  12 d cot

sin x x   x C

     2 d 1cot( )

sin ( )

x

ax b C a

ax b    

  

  12 d tan

cos x x  x C

     2d 1tan( )

cos ( )

x

ax b C a

ax b   

  

 e xxd ex C. 

  eax bdx 1eax b C

a

   

  

  d

ln x

x a

a x C

a

 

     d

ln x

x a

a x C

a

   





  

  

♦ Nhận xét Khi thay x (axb) lấy nguyên hàm nhân kết thêm 1 a  Một số nguyên tắc tính

 Tích đa thức lũy thừa PP  khai triễn

 Tích hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ

 Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 1cos2 , cos2 1cos2

2 2

a  a a  a

 Chứa tích thức x PP  chuyển lũy thừa. 

Câu 1. (Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  f x( )  xác  định  trên  \

2

     

   thỏa  mãn 

  ,  0 1,  1

2

f x f f

x

   

  Giá trị của biểu thức  f 1  f  3  bằng

A 2 ln15 B 3 ln15 C ln15 D 4 ln15  

Lời giải

Chọn C

 

2

ln

dx x C f x

  

NGUYÊN HÀM

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Với 

2

x , f 0 1C1 nên f  1  1 ln 3 

Với  1,  1 2

2

x f  C  nên f  3  2 ln 5 

Nên  f  1  f 3  3 ln15

Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x  là một nguyên hàm của   

1

 

f x

x   trên khoảng 1; thỏa 

mãn F e 14Tìm F x . 

A 2 lnx12  B lnx13 C 4 lnx1  D lnx13

Lờigiải

Chọn B

 

F x =  ln 1

    



 dx C x C

x  

 14

F e  Ta có 1C 4 C3 

Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F x   là một nguyên hàm của hàm  số    ,

2 f x

x 

  

biết F 1 2. Giá trị của F 0  bằng 

A 2 ln 2. B ln C 2 ln  2 D ln 2

Lờigiải Cách 1: 

Ta có:   d d ln ,

2

f x x x x C C

x

    



  . 

Giả sử F x ln x2C0 là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãnF 1 2. 

Do F 1  2 C0  2 F x ln x22.Vậy F 0  2 ln 2. 

Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019)  Cho  F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm 

  f x

x 

 ; biết F 0 2. Tính F 1  

A  1

2

F  ln    B F 1 ln32.  C F 1 2 2ln    D  1 2

F  ln    Lời giải 

Chọn D 

Ta có    1ln

2

F x dx x C

x

   



  

Do   0 1ln 2.0 2

2

F    C  C   

Vậy    1ln 2  1 1ln

2

Câu 5. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số y x

  trên ;0 

thỏa mãn F 2 0. Khẳng định nào sau đây đúng? 

A   ln  ;0

2 x

F x      x

   

B F x ln xC   x  ; 0 với C là một số thực bất kì.  C F x ln x ln 2  x  ;0. 

D F x lnxC   x  ;0 với C là một số thực bất kì.  Lời giải 

Ta có F x  1dx ln x C ln x C

x

       với   x  ;0. 

Lại có F 2  0 ln 2C 0 C ln 2. Do đó    ln  ln ln

2 x F x  x    

 . 

Vậy    ln  ;0

2 x

F x      x

   

Câu 6. (THPT Minh Khai  Hà  Tĩnh 2019)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  R\ 1   thỏa  mãn 

  1 f x

x  

 , f 0 2017,  f 2 2018. Tính S  f  3  f 1  

A Sln 4035.  B S4.  C Sln 2.  D S1.  Lời giải

Trên khoảng 1; ta có  ' 

1 f x dx dx

x 



  lnx1C1 f x lnx1C1. 

Mà f(2)2018C12018. 

Trên khoảng;1 ta có  ' 

1 f x dx dx

x 



  ln 1 xC2 f x ln 1 xC2. 

Mà f(0)2017C2 2017. 

Vậy    ln( 1) 2018

ln(1 ) 2017

x x

f x

x x

  

  

  



. Suy ra  f 3  f 1 1. 

Câu 7. (Mã 105 2017) Cho F x  là  một nguyên  hàm của  hàm số  f x( )ex2x  thỏa mãn   



0

F  

Tìm F x 

A    21

2

x

F x e x B    25

2

x

F x e x

C    23

2

x

F x e x D  2  21

2

x

F x e x  

Lời giải

Chọn A

Ta có

        

2

2 d

x x

F x e x x e x C 

Theo bài ra ta có:   0  1  3 

2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 8. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số  f x e2x 

và F 0 0. Giá trị của Fln 3 bằng 

A 2.  B 6.  C 8.  D 4. 

Lời giải

  d ;  0 0  

2 2

x x x

F x e x e C F  C  F x  e   

Khi đó    ln

ln

2

  

F e  

Câu 9. (Sở Bình Phước 2019) Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số e2x và   0 201

2

F   Giá trị 

1 F  

  là 

A 1 200

2e B 2e100 C

1 50

2e D

1 100 2e Lời giải 

Chọn D

Ta có  d

2

x x

e x e C

  

Theo đề ra ta được:   0 201 201 100

2 2

F   e C C  

Vậy 

1

2

1 1

( ) 100 100 100

2 2

x

F x  e  F   e    e

   

Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019)  Hàm  số  f x   có  đạo  hàm  liên  tục  trên    và: 

 

2e x 1,

f x   x f,  0 2. Hàm f x  là 

A y2ex 2x.  B y2ex2.  C ye2x x 2.  D ye2x x 1. 

Lời giải

Ta có:  f x dx  

2e x dx

  e2x x C.  Suy ra  f x e2x x C. 

Theo bài ra ta có:  f 0 2 1 C2C1. 

Vậy:  f x e2x x 1. 

Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số  f x 2x e x. Tìm một nguyên hàm F x  của hàm số f x  

thỏa mãn F 0 2019. 

A F x x2ex2018.  B F x x2ex2018. 

C F x x2ex2017.  D F x ex2019. 

Lời giải

Ta có     

2

    

f x dx  x e dxx x ex C. 

Suy ra     

2

0 2019

   

 

  

x

F x x e C

F  1 C2019C2018. 

Vậy    2 x2018

F x x e  

Câu 12. Gọi F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  f x 2x,  thỏa  mãn   0

ln

F    Tính  giá  trị  biểu 

thức T F 0 F 1  F2018F2019.  A

2019

2

1009 ln

T     B T 22019.2020. 

C

2019

2

ln

T     D

2020

2

ln

T    

Lời giải

Ta có   d d

ln x x

f x x x C

   

 

F x  là một nguyên hàm của hàm số  f x 2x, ta có 

  ln

x

F x  C mà   0 ln F     

0

ln x

C F x

     

 0  1 2018 2019

T F F  F F  

 2018 2019

1

1 2 2 ln

     

2020

1

ln 2

 



2020

2

ln



  

Câu 13. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x  của hàm số  f x sinxcosx thoả mãn 

2

F   

A F x  cosxsinx3 B F x  cosxsinx1

C F x  cosxsinx1 D F x cosxsinx3 

Lời giải

Chọn C

Có F x  f x dxsinxcosxdx cosxsinxC 

Do  cos sin 2

2 2

F      C  C C

   

cos sin

F x x x

      

Câu 14. (Mã 123 2017) Cho hàm số  f x  thỏa mãn f x'  3 sinx và f 0 10. Mệnh đề nào dưới 

đây đúng?

A f x 3x5 cosx15 B f x 3x5 cosx2

C f x 3x5 cosx5 D f x 3x5 cosx2 

Lời giải

Chọn C

Ta có  f x 3 sinx dx3x5 cosx C   Theo giả thiết  f 0 10 nên 5C10C5. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 15. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số  f x  thỏa mãn f x  2 5sinx và f  0 10. Mệnh đề 

nào dưới đây đúng? 

A f x 2x5 cosx3.  B f x 2x5 cosx15. 

C f x 2x5 cosx5.  D f x 2x5 cosx10. 

Lời giải

Ta có:  f x  f x dx2 5sin xdx2x5 cosxC. 

Mà  f 0 10 nên  5C10C5. 

Vậy  f x 2x5 cosx5. 

Câu 16. (Liên Trường  Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết  F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm 

  cos

f x  x và 

2

F 

   Tính F



     . 

A

9

F  

    B

3

9

F  

    C

3

9

F  

    D

3

9

F  

   

Lời giải

  cos d sin

3

x F x  x x C 

2

2

F 

  C1   

sin 3

x F x

    

sin

3 1

9

F



 

 

    

   

Câu 17. (Chuyên  Lê  Quý  Đôn  Quảng  Trị  2019)  Cho  F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

1 cos

f x

x

  Biết 

4

F kk

   với mọi k. Tính F 0 F  F F10. 

A 55.  B 44.  C 45.  D 0. 

Lời giải

Ta có   d d2 tan

cos

x

f x x x C

x

  

   

Suy ra   

0 0

1 1

2

9

10

tan , ; 1

2

3

tan , ; 1

2

3

tan , ;

2

17 19

tan , ;

2

19 21

tan , ;

2

x C x F C C

x C x F C C

x C x F

F x

x C x

x C x

  



  



  



   

    

           



   



    

       

    

   



    

  

   

    

 

  

   



 



  

 

  

 



2

9

10 10

1

9

4

10 10

4

C C

F C C

F C C

  



      

    

 

 

 

  

     

 



 



  

     

  

 



 

Câu 18. (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số    2x

f x  , thỏa mãn 

 0 ln

F   Tính giá trị biểu thức T F 0 F 1 F 2  F2019. 

A

2020

2

ln

T     B

2019

2

1009

T     C T 22019.2020.  D

2019

2

ln

T    

Lời giải  Chọn A

Ta có:    d

ln x x

F x  x C. 

Theo giả thiết   

0

1

0

ln ln ln

F   C C   Suy ra:   

ln x

F x   

Vậy         

0 2019

2 2

0 2019

ln ln ln ln

T F F F  F       

 2019 2020 2020

1 1 2

2 2

ln ln 2 ln

 

      

  

Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số

“ Nếu  f x dx  F x C thì  f u x   'u x dx  F u x  C”. 

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I  f x dx  , trong đó ta có thể phân tích 

     ' 

f x g u x u x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số tu x  

 

'

dt u x dx

   Khi đó: Ig t dt  G t CG u x  C 

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay tu x  

1 Đổi biến số với số hàm thường gặp    f ax b x x(  )n d   PP t ax b

    ( ) ( )d ( )

b

PP

n n

a

f x f x x  t f x 



1

   (ln ) d ln

b

PP

a

f x x t x

x  



    ( ) d

b

PP

x x x

a

f e e x t e 



   (sin ) cos d sin b

PP

a

f x x x t x 

    (cos ) sin d cos

b

PP

a

f x x x t x 



2

1

   (tan ) d tan

cos b

PP

a

f x x t x

x  



    (sin cos ).(sin cos )d sin cos

b

a

f x x x x x t x x 



2 2

   f( a x )x ndx PP x asin t





  



  2 

   f ( x a )m x ndx PP x atan t





  





   f a x dx PP x acos t a x





  

 

 

 

 

 



d

  

( )( )

x

t ax b cx d

ax b cx d





    

 





1

   s ,.,sk d n

R ax b ax b x t ax b





      

 



    d

( )

PP n

n n

x

x t a bx a bx





  

 





2 Đổi biến số với hàm ẩn

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

 Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số, mà phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa ( )d ( )d ( )d

b b b

a a a

f u u f t t   f x x 

  

 

Câu 19. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết    x

F x e x  là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên . Khi 

đó  f 2x dx bằng 

A 2ex 2x2C.  B 1 2

x

e x C   C 1 2

2

2 x

e  x C   D e2x4x2C. 

Lời giải  Chọn C

Ta có: F x exx2 là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên          2

2 2 2

2 2

x

f x dx f x d x F x C e x C

         

Câu 20. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết    x 2

F x e  x  là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên . Khi 

đó  f 2x dx bằng  A 2ex4x2C.

  B 1 4 .

2 x

e  x C   C e2x8x2C.

  D 1 2 .

2 x

e  x C  

Lời giải  Chọn B

Ta có: F x ex2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x  trên    Suy ra: 

     2  

2

x x x

f x F x  e  x e  x f x e  x 

    2

2

2

x x

f x dx e x dx e x C

       

Câu 21. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F x exx2 là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên . Khi 

đó  f 2x dx bằng 

A 1 2

2 x

e  x C B e2x4x2C C 2ex2x2C D 1 2

x

e x C.  Lời giải

Chọn A

Ta có f  2x dx    2 d

2 f x x

     2 2F x C

    2 2

x

e x C     

Câu 22. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết    ex 2

F x   x  là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên . Khi 

đó  f 2x dx bằng 

A 2

e x 8x C.  B

2ex4x C.  C 1 2

e

2 x

x C

    D 1 2

e

2 x

x C

   

Lời giải Chọn D

Đặt  d 2d d d

2

 2 d  d   e 2 1e2  2 1e2 4

2 2 2

t x x

f x x f t t F t C    t C  x C  x C

   

Câu 28 [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết 

2 d sin2 ln

f x x x xC

  Tìm nguyên hàm f x dx? 

A  d sin2 ln

2 x

f x x  x C

   B  f x dx2sin 22 x2lnx C     C.

   

2

d 2sin ln x

f x x  x C

   D.

   

2

d 2sin 2ln

f x x x x C

  

Lời giải  Chọn C

Ta có:        cos  

2 d sin ln d ln ln

2

x

f x x x x C  f x x    x  C

   

 f    2x d 2x  1 cos 2x2 ln 2 x 2 ln 22C 

 d 1 cos 2 ln 2 ln 2 2  d 2 sin2 2 ln

2

x

f x x x x C f x x x C

           

Câu 46 [DS12.C3.1.D09.b] Cho  f(4 ) dx xx23x c  Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A

2

( 2) d

4

x

f x x  xC

   B  f x( 2) dxx27x C    C

2

( 2) d

4

x

f x x  xC

   D

2

( 2) d

2

x

f x x  xC

   

Lời giải  Chọn C

Từ giả thiết bài toán  f(4 ) dx xx23x c  

Đặt t4xdt4dx từ đó ta có 

2

1

( )d ( )d

4 4

t t t

f t t       c f t t  tc

   

   

Xét 

2

( 2)

( 2)d ( 2)d( 2) 3( 2)

4

x x

f x x f x x    x  c  xC

   

Vậy mệnh đề đúng là 

2

( 2)d

4

x

f x x  x C

  

Câu [DS12.C3.1.D09.b] Cho f x dx4x32x C 0. Tính I xf x 2 dx

A I 2x6x2C B

10

10 6

x x

I   C C I 4x62x2C D I 12x22

Lời giải  Chọn A

Ta có:   2 d 1  2 d 14 2 2 2  2

2 2

xf x f x x x C

I  x  x     x x C. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A  

3

d e

3 

 

 f x x x x C.  B  f x dx3ex31C.  C f x dxex31C. D  d 1e

3 

 

 f x x x C.  Lời giải  d

 f x x 2e31d  x

x x e 1d 1

3 

  x x  1e

3 

 x C. 

Câu 24. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của  f x sin x esin2x là  A sin2 sin2x

x e  C

   B

sin

sin x e

C x





   C sin x

e C.  D

sin

sin x e

C x



    Lời giải

Ta có  sin x esin2xdx

  esin2xdsin2x

 esin2xC 

Câu 25. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số    9 5

3x f x

x 

  

A  

4

4

1

x ln

3x 36

x

f x d C

x

   



 B  

4

4

1

x ln

12x 36

x

f x d C

x

   



  

C  

4

4

1

x ln

3x 36

x

f x d C

x

   



   D  

4

4

1

x ln

12x 36

x

f x d C

x

   



  

Lời giải 

Chọn A

 

       

 

   

4

3

4

2 2

9 4 4 4 4 4 4

3

1 1

x x

3 3 3 12 3

x x

x dx

f x d d dx dx

x x x x x x x x

 

   

   

      

   

4 4

2 4 4

4

1 1

ln

12 12 12x 36

dx dx x

C x

x x x

 

      



  

   

Câu 26. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019)  Tìm  hàm  số  F x   biết   

3 1d

x

F x x

x

 

   và 

 0

F   

A F x lnx411. B   1ln 1

4

F x  x    

C   1ln 1

4

F x  x     D F x 4lnx411.  Lời giải 

Chọn C

Ta có:    41 d 1 1ln 1

4

F x x x C

x

    



  

Do F 0 1 nên 1ln 1  1

4  C C  

Vậy:    1ln 1

4

Câu 27. Biết     

2017 2019

1 1

,

1

b

x x

dx C x

a x x

   

     



 



  với  ,a b. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a2b.  B b2a.  C a2018b.  D b2018a. 

Lời giải  Ta có: 

 

   

2017 2017 2017 2018

2019

1 1 1 1

1 1 4036

1

x x x x x

dx dx d C

x x x x

x x

            

          

   

       

 

    

4036, 2018

a b

    

Do đó: a2b. 

Câu 28. (Chuyên Quốc Học Huế - 2018)  Biết  rằng  F x   là  một  nguyên  hàm  trên    của  hàm  số 

 

 2018 2017

1 x f x

x 



 thỏa mãn F 1 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x . 

A

2

m    B

2017 2018

1 2

m    C

2017 2018

1 2

m    D

2 m   Lời giải 

Ta  có   

 2 2018

2017

x

f x dx dx

x 



    2017  1 2018  1

2 x d x



       

2017

2 1

2017

2 2017

x

C





 

  

 2017

2

C x

  

  

F x

  

Mà F 1 0 12017 20181

2.2 C C

       

Do đó   

 2017 2018

1

2

F x

x

  



 suy ra 

 

F x  đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 

 2017 x 1

 lớn nhất   

1 x

   nhỏ nhất x0 

Vậy 

2017

2018 2018

1 1

2 2

m      

Câu 29. Cho  F x   là  nguyên  hàm  của  hàm  số   

1 x f x

e 

   và  F 0  ln 2e.  Tập  nghiệm S  của 

phương trình F x lnex12 là: 

A S  3   B S2;3  C S   2;3  D S   3;3 

Lời giải

Chọn  A

Ta có      ln 1

1

x

x

x x

dx e

F x f x dx dx x e C

e e

 

         

   

    

 0 ln ln

F   C   eC   

       

: ln x ln x 1 ln x

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 30. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x  x3x212019là 

A    

2021 2020

2

1

1

2 2021 2020

x x

   

  

 

 

.  B    

2021 2020

2

1

2021 2020

x  x 

  

C    

2021 2020

2

1

2021 2020

x x

C

 

    D    

2021 2020

2

1

1

2 2021 2020

x x

C

   

  

 

 

. 

Lời giải  Xét  f x dx x3x212019dxx2x212019x xd   Đổi biến tx2 1 dt d x x, ta có: 

    2019  2020 2019

d dt dt

2

f x x t t  t t 

    

 2021  2020

2021 2020 1 1

1

2 2021 2020 2021 2020

x x

t t

C C

   

   

      

 

 

 

. 

Câu 31. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của   ln

.ln x f x

x x 

  là: 

A ln d ln ln ln

x

x x C

x x 

 

   B ln d ln 2.ln ln

x

x x x C x x



 

  

C ln d ln ln

.ln x

x x x C x x



  

   D ln d ln ln

.ln x

x x x C x x



 

  

Lời giải

Ta có   d ln d

.ln x

I f x x x

x x 

   

Đặt  lnx xtlnx1 d xdt. Khi đó ta có  ln d

.ln x

I x

x x 

 1dt

t

 lnt C ln lnx x C. 

Câu 32. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x x e2 x31  A  f x dxex31C. B  f x dx3ex31C. 

C  d

3 x f x x e  C

 

   D  

3

d

x

x

f x x e  C

  

Lời giải  Đặt t x3 1 dt3 dx x2  

Do đó, ta có   d 1d d1 1 31

3 3

x t t x

f x x x e  x e t e C e  C

  

Vậy   

3 1 d

3 x f x x e  C

  

Câu 33. (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số  f x 33x1 là 

C  d 133

f x x x C

 D  d 13 133

4

f x x x x C

  

Lời giải

Ta có       

1

d d

3

f x x x x

  1 3

3

4 x x C

   

Câu 34. Nguyên hàm của hàm số  f x  3x2 là 

A 2(3 2)

3 x x C B

1

(3 2)

3 x x C 

C 2(3 2)

9 x x C D

3

2 3x2 C 

Lời giải

Chọn C

Do       

1

1

2

1

3

1

3 2d d (3 2)

3

x

x x x x C x x C







         

   

Câu 35. (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x  2x1 là 

A 12 1

3 x x C

      B 1

2 x C. 

C 22 1

3 x x C.  D  

1

2

3 x x C.  Lời giải

Đặt  d d d d

2

t x t x t t x

x

     

  

   

3

2

d 1d d 2

3

t

f x x x x t x C x x C

           

Câu 36. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số  f x  x ln

x

  Hàm số nào dưới đây không là 

nguyên hàm của hàm số f x ? 

A F x 2 x C  B F x 2 2 x1C 

C F x 2 2 x 1C  D

 

2 x F x   C Lời giải

Chọn A

Ta có F x  f x dx x ln 2dx x

 x ln 2dx x

  

Đặt  d d

2

u x u x

x

    

Vậy    ln 2 du

F x   u ln 2

ln u

C

 

2 x C

   

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 37. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019)  Khi  tính  nguyên  hàm  d

1

x x x

 

 ,  bằng  cách  đặt 

1

u x  ta được nguyên hàm nào?

A 2u24 d u.  B u24 d u.  C u23 d u.  D 2u u 24 d u.  Lời giải

Chọn A

Đặt u x1xu2 1 dx2 du u. 

Khi đó  dx

1

x x

 

  trở thành   

2

2

4

.2 d d

u

u u u u

u



 

   

Câu 38. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số   

2

f x

x



  

A  d

2

f x x x C

   B  f x x d  2x 1 C.  C  f x x d 2 2x 1 C.  D  

  d

2

f x x C

x x

 

 

  

Lời giải  Đặt  2x 1 t2x 1 t2dxtdt. 

Khi đó ta có  1d

2 x x

 12tdtt  dt

  2t C

 

2 x C

   . 

Câu 39. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số     

ln

f x  x x   là 

A F x xlnx x21 x2 1 C.  B F x xlnx x21 x2 1 C. 

C    

ln

F x x x x  C.  D    

ln

F x x x x  C.  Lời giải

Đặt t x x21   

2

2

1

1 x x x x t

x x

   



 

 = 

2

1

x x



 

1

1

x x

t     

1

t x

t

    1 12

2

dx

t

 

   

 

; t 2 x2 1

t

    

   

ln

f x dx x x  dx

  = 1 12 ln

2 t tdt

 



 

 

 = 1 12 lnt

2 t dt I

 

 

 

 

  

Đặt ulnt  du 1dt

t

  

2

1

dv dt

t

 

  

  

1

v t t

  ; 

1 1 1

ln

2

I t t t dt

t t t

   

       

     = 

1 1

ln

2 t t t t dt

   

  

   

    = 

1 1

ln

2 t t t t t C

   

   

   

     

Câu 40. (Chuyên Hạ Long - 2018)  Biết rằng trên khoảng  3;

 

 

 

 , hàm số   

2

20 30

2

x x

f x

x

 



   có 

một  nguyên  hàm  F x ax2bx c  2x3  (a b c, ,   là  các  số  nguyên).  Tổng  Sa b c   

A 4.  B 3   C 5   D 6  

Lời giải Đặt t 2x 3 t22x 3 dxt td  

Khi đó 

2

20 30

d

2

x x

x x

 





2

2

3

20 30

2

d

t t

t t t

     

 

   

   

 5t415t27 d t t55t37t C  5  3

2x 2x 2x C

       2x32 2x 3 2 x3 2x 3 2x 3 C

 

4x 2x 2x C

      

Vậy F x 4x22x1 2x3. Suy ra Sa  b c

Câu 41. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số  ( ) sin

1 3cos x f x

x 

   A ( ) d 1ln 3cos

3

f x x  xC

   B  f x( ) dxln 3cos xC.  C  f x( ) dx3ln 3cos xC.  D ( ) d 1ln 3cos

3

f x x   xC

  

Lời giải

Ta có:  sin d 1 d 3cos  1ln 3cos

1 3cos 3cos

x

x x x C

x   x     

 

   

Câu 42. (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số  f x( ) biết  '

2

cos ( )

(2 sin )

x f x

x



  

A ( ) sin 2

(2 sin ) x

f x C

x

 

   B

1 ( )

(2 cos )

f x C

x

 

  

C ( )

2 sin

f x C

x

  

   D

sin ( )

2 sin x

f x C

x

 

  

Lời giải 

Ta có  '

2

cos d(2 sin )

( ) ( )d d

2 sin

(2 sin ) (2 sin )

x x

f x f x x x C

x

x x



     



 

    

Câu 43. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019)  Biết  F x là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

sin ( )

1 3cos x f x

x 

  và F 2



    

  Tính F 0  

A (0) 1ln 2

F      B (0) 2ln 2

F     C (0) 2ln 2

F     D (0 1ln 2

F      Lời giải

Ta có  ( ) sin d

1 3cos x x F x

x 



   3cosd(cos )xx1 



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

mà 

2  

1

F   ln cos  C 

    C 2

. 

Do đó,   0    0 2  2    2

3 3

F   ln cos     ln    ln   

Vậy   0 2

3

F   ln   

Câu 44. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết f x dx3 cos 2x  x5C.  Tìm  khẳng  định đúng trong các khẳng định sau

A  f 3x dx3 cos 6x  x5C  B  f 3x dx9 cos 6x  x5C  C  f 3x dx9 cos 2x  x5C  D  f  3x dx3 cos 2x  x5C 

Lời giải Cách 2:

Đặt x3tdx3dt. 

Khi đó: f x dx3 cos 2x  x5C 

     

3 f dt t 3 cos 2.3t t C

      f  3 dt t3 cos 6t  t5C

 3 d cos 6 5

f x x x x C

     

Câu 45. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x tan5x. 

A  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

B  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

C  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

D  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x xC

  

Lời giải   

5

5

sin

d tan d d

cos

x

I f x x x x x

x

  

 

   

2

5

1 os os s inx

sin sin s inx

d d

cos cos

c x c x

x

x x

x x

 

   

Đặt tcosxdt sin dx x        

2 2 4

5

1 1 2

d d

t t t t

I t t

t t

   

     

5

1

dt t t t

 

     

 

 d ln

t t t t t t C

t

   

 

      

 

 

  

4

4

1 1

cos cos ln cos ln cos

4 x x x C cosx cosx x C

 

         

  2 

1

tan tan ln cos

4 x x x C

   

1

tan tan tan ln cos

4 x x x x C

        

4

1 1

tan tan ln cos

4 x x x C

      

4

1

tan tan ln cos

4 x x x C

     

Câu 46. (Hồng  Bàng  -  Hải  Phòng  -  2018)  Biết F x  nguyên hàm hàm số

 

sin cos

f x  x x F 0  Tính

2 F 

  A

2 F  

    B F 

  

  

    C

1

2

F        D

1

2

F       Lời giải

Đặt tsinxdtcos dx x.     d

F x  f x xsin3xcos dx x t t3d

4

4

t C

 

4

sin

x C

   

 0

F 

4

sin

4 C





   C  

4

sin

x

F x 

  

4

sin

2

F

 

      

1   

Câu 47. Cho F x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số   

ln

f x

x x

   thỏa  mãn 

e F  

    và F e ln 2. 

Giá trị của biểu thức  12  e2

e F F

   bằng  

A 3ln 2   B ln 2   C ln 1   D 2ln 1   

Lời giải  Chọn A

Ta có:  d

ln x

x x

 d lnlnxx ln lnx C, x0, x1. 

Nên:     

 

1

ln ln khi 

ln ln khi 0

x C x

F x

x C x

 

   

   

 

. 

Mà 

e

F    

 nên ln ln1 2

e C

 

  

 

  C2 2

; F e ln 2 nên ln ln e C1ln 2C1ln 2. 

Suy ra     

 

ln ln ln khi 

ln ln khi 0

x x

F x

x x

 

   

   

 

. 

Vậy   2

2

1

e e

F F

   

2

1

ln ln ln ln e ln

e

 

    

 

3ln 2

   

Câu 48. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F x   là  nguyên  hàm  của  hàm  số 

2

( )

 

x f x

x

  thỏa 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Lời giải  Chọn D

Ta có:     

1

2 2

2

2

d d 8

2

x

x x x C

x

x       

 

   

Mặt khác:

   

2

8 2

2 C C .

F       

 

Nên   

8

x .

F  x 

   

 

2

2 2

2

8

2

2 2

1

1

2 4

8

1

x x x x

x

x x

x .

x x x

x x

x F x x        

   

   

 

       

    

  

  



     

Câu 49. Gọi F x  là nguyên hàm của hàm số    12

1

x f x

x x

 

  Biết F 3 6, giá trị của F 8  là

A 217

8 B 27 C

215

24 D

215

8  

Lời giải

Chọn A 

Ta có:    12 2 1 12

1

x x

f x dx dx dx

x x

x x

 

 

 

       

 

   

    

2

1

2

1

x dx dx dx

x x

 

     



 

    

 12     12  

2 x d x x  d x x dx

          

 32

4 1

4

3 x

x C

x 

      

Suy ra     

3

4 1

4

3 x

F x x C

x 

      

Mặt khác:     

3

4 1

3 6 3

3

F        CC  

Vậy     

3

4 1 217

8

3 8

F         

Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số   

2

20 30

2

x x

f x

x

 



  trên khoảng 

3 ;

 



 

  là

A 4x22x1 2x 3 C B 4x22x1 2x3

C 3x22x1 2x3 D 4x22x1 2x 3 C

Lời giải  Chọn D

Xét trên khoảng  3;

2

 



 

 , ta có: 

   

2 10 2 3 7

20 30

d d d

2 3

x x

x x

f x x x x

x x

 

 

 

 

    

Khi đó: 

   

 

2

2

5

10

d d d 15 d

2

u u x x

x u u u u u u u u

u x

 

 

   

          



     

     

 

2

5

2

5 7

4 2

u u u C u u u C x x x C

x x x C

 

              

 

    

 

Dạng Nguyên hàm hàm số hữu tỉ

1 Công thức thường áp dụng

1

dx lnax b C

axb a  



 2 d 1

(ax b) x   a axb C





lnalnbln( ).ab

 lna lnb lna

b

  



lnan nln a

  ln 10

2 Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỷ ( )d

( ) P x

I x

Q x



 Nếu bậc tử số P x( ) bậc mẫu số Q x( ) PP  Chia đa thức

 Nếu bậc tử số P x( ) bậc mẫu số Q x( ) PP  phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, sử dụng phương pháp che để đưa công thức nguyên hàm số 01

 Nếu mẫu khơng phân tích thành tích số PP  thêm bớt để đổi biến lượng giác hóa cách đặt X atan ,t mẫu đưa dạng X2a2

Câu 51. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  ( )

1 x f x

x  

   trên  khoảng 

1; là 

A x3lnx1C.  B x3lnx1C.  C

 2

x C

x

 

   D  2

x C

x

 

  

Lời giải 

Chọn A 

Trên khoảng 1; thì x 1 0nên 

 

2

( )d d d 3ln 3ln

1

x

f x x x x x x C x x C

x x

  

            

   

  

 

Câu 52. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   

 2

3

2

x f x

x

 



 trên khoảng 

2; là

A 3 ln 2

2

x C

x

  

 B  

2

3 ln

2

x C

x

  



C 3 ln 2

2

x C

x

  

 D  

4

3 ln

2

x C

x

  



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Ta có   

 

 

   

2 2

3

3

2

2 2

x x

f x

x

x x x

 



   



  

. Do đó 

 2  2  

3 4

3ln

2

2

x

dx dx x C

x x

x x

 



       

   

   

 

Câu 53. (Mã đề 101 - BGD - 2019)  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số   

 2 1  

 x f x

x   trên 

khoảng  1;  là

A 2 ln 1

1

  



x C

x B  

3

2 ln

1

  



x C

x

C 2 ln 1

1

  



x C

x D  

3

2 ln

1

  



x C

x  

Lời giải Chọn B 

Ta có   

 

 

     

2 2

2

2 3

d d d d ln

1

1 1

 

 



         

 

    

f x x  x x  x x  x x C

x x

x x x  

Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số    2

3

x f x

x x

 

   là 

A ln x 1 ln x2C.  B 2 ln x 1 ln x2C. 

C 2 ln x 1 ln x2 C.  D ln x 1 ln x2 C. 

Lời giải

Ta có   

  

2

3

3 2

x x

f x

x x x x x x

 

   

       

Suy ra họ nguyên hàm của hàm số    2

3

x f x

x x

 

   là 

Câu 54. (Chuyên  Lê  Q  Dơn  Diện  Biên  2019)  Tìm  một  ngun  hàm  F x của  hàm  số 

  2 , b

f x ax x

x

   biết rằng F 1 1,F 1 4,f 1 0 

A   3

2 4

F x x x

     B   3

4

F x x x    . 

C   3

4

F x x x

     D   3

2 2

F x x x      Lời giải 

Ta có     dx 2 dx

2

b b

F x f x ax ax C

x x

 

       

 

   

Theo bài ra 

     

1

1

2

1

1

1 4

2

1 0 7

4 a b C b F

F a b C a

f a b

C

 

    

 

 

  

  

      

  

  



    



 

 

Vậy    3

4

F x x x

  

Câu 55. Cho biết 

  

2 13

dx ln ln

1

x

a x b x C

x x



    

 

  

Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A a2b8.  B a b 8.  C 2a b 8.  D a b 8. 

Lời giải Ta có: 

  

2 13

1 2

x A B

x x x x



 

   

      

2

1

A x B x

x x

  



 

      

2

1

A B x A B

x x

   



   

2

2 13

A B A

A B B

  

 

 

     

 

. 

Khi đó: 

  

2 13

dx dx ln 3ln

1 2

x

x x C

x x x x

  

        

     

   

Suy ra a5;b 3 nên a b 8. 

Câu 56. Cho biết  31 dx alnx 1x 1 bln x C

x x     

  Tính giá trị biểu thức: P2ab. 

A 0.  B -1.  C 1

2.  D 1. 

Lời giải Ta có: 

3

1

1

A B D x x x x  x

     

3

1 1

A x Bx x Dx x

x x

    





   

3

A B D x B D x A x x

    



  

1

1

2

1

A A B D

B D B

A

D

   

  

 

 

    

  

 

  

. 

Khi đó: 

   

1 1

dx dx

2

x x x

x x

 

    

 

  

  1ln  1 1 ln

2 x x x C

      

Suy ra  1;

2

a b   nên P2ab0. 

Câu 57. Cho biết  24 11 dx ln ln

5 x

a x b x C x x



    

 

  Tính giá trị biểu thức: Pa2ab b 2. 

A 12.  B 13.  C 14.  D 15. 

Lời giải

Ta có:  24 11

5

x A B

x x x x



 

   

      

3

2

A x B x x x

  



 

      

3

2

A B x A B x x

  



   

4

3 11

A B A

A B B

  

 

 

  

 

. 

Khi đó:  24 11 dx dx

5

x

x x x x

  

   

     

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Suy ra a3;b1 nên  2

13 Pa ab b   

Câu 58. Cho hàm số  f x  thỏa mãn   

3

b f x ax

x

   ,  f 1 3,  f 1 2,  1

2 12

f      Khi đó  2ab 

A

2

 B 0 C 5 D 3

2 Lời giải

Ta có f 1 3a b 3 1  

Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;, các điểm x1, 

2

x  đều thuộc 0; 

nên 

   

3

d d

3

b ax b

f x f x x ax x C

x x

 

 

        

+  f 1 2

3

a b C

    2  

+  1

2 12

f     

24 12

a

b C

     3  

Từ   1 ,   2   và   3   ta  được  hệ  phương  trình 

3

3

1

24 12

a b a b

C a

b C



   

    



    



2 11

6 a b C

          

2a b 2.2 1

Câu 59. (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  ( ) 12

( 1)

x f x

x

 

  trên khoảng (1;) là

A 3ln( 1)

1

x c

x

  

 B

2 3ln( 1)

1

x c

x

  



C 3ln( 1)

1

x c

x

  

 D

1 3ln( 1)

1

x c

x

  

   Lời giải 

Chọn C

Ta có  ( ) 3 22 3( 1) 22 2

( 1) ( 1) ( 1)

x x

f x

x x x x

   

   

     

Vậy  ( )d ( 2)d

1 ( 1)

f x x x

x x

 

 

 

d( 1) d( 1)

3

1 ( 1)

x x

x x

 

 

 

   

2

3 ln x (x 1) d( x 1)

        ln( 1)

1

x C

x

   

  vì x1. 

Câu 60. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   

 2

2

2

x f x

x

 



 trên khoảng 2;  là

A 2 ln 2

2

x C

x

  

 B  

1 ln

2

x C

x

  

C 2 ln 2

x C

x

  

 D  

3 ln

2

x C

x

  

   Lời giải 

Chọn B

Đặt x  2 t x  t dxdt với t0 

Ta có  f x dx 2t2 1dt = 12 dt lnt C

t t t t

  

      

 

    

Hay   d ln 2

2

f x x x C

x

   

 

Câu 61. (THPT  Yên  Khánh  -  Ninh  Bình  -  2019)  Cho  F x( )  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

2

2

x f x

x x x

 

    trên  khoảng  0;  thỏa  mãn   

1

2

F    Giá  trị  của  biểu  thức 

 1  2  3 2019

S F F F   F  bằng

A 2019

2020 B

2019.2021

2020 C

1 2018

2020 D 2019 2020    Lời giải 

Ta có   

 2

4 2

2

2

x x

f x

x x x x x

 

 

    

Đặt t x x 1 x2x 

 

dt 2x dx

    

Khi đó     

 

2

1 1

d d

1

F x f x x t C C

t t x x

       



   

Mặt khác,   1

2

F    1

2 C

     C1. 

Vậy   

 

1 F x

x x

  

  

Suy ra 

 1  2  3 2019 1 2019 1.2 2.3 3.4 2019.2020

1 1 1 1

1 2019 2019

2 3 2019 2020 2020

1

2018 2018

2020 2020

SF F F F       

 

   

              

   

  

 

Câu 62. Giả sử   

     

2 d

1



  

   

 x x C

x x x x g x  (C là hằng số). 

Tính tổng các nghiệm của phương trình g x 0. 

A 1.  B 1.  C 3   D 3. 

Lời giải 

Ta có x x 1x2x3 1 x23xx23x21  

3

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Đặt tx23x, khi đó dt2x3 d x.  Tích phân ban đầu trở thành 

 2

d

1

    

 t C

t t

. 

Trở lại biến x, ta có   

   

2 d

1 3



  

     

 x x C

x x x x x x  

Vậy g x x23x1. 

 

3

2

0

3

2

  

  

     

  

  

x

g x x x

x

. 

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng  3  

Câu 63. (Nam Trực - Nam Định - 2018)  Cho 

 

3

1

I dx

x x





   ln ln 1 2

a

b x c x C x



       Khi 

đó S a b c   bằng 

A

4 

.  B 3

4.  C

7

4.  D 2  

Lời giải 

 

4

1

x

I dx

x x





  

2

1

t x  dt2xdx 

 2

1

2

I dt

t t  



  2

1 1

2 t t t dt

  

    

   

 

 ln 1 ln

2 t t t C

 

      

   

2

2

1

ln ln

2 x x x C

 

     

     

2

1

ln ln

2x x x C

       

1

1

a b c

      

   

  S  a b c   

Câu 64. (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  R\1;1  thỏa  mãn 

 

1 '

1

f x x



   Biết  f 3  f  3 4  và 

1

2

3

f   f 

      Giá  trị  của  biểu  thức 

 5  0  2

f   f  f  bằng 

A 5 1ln

2

   B 6 1ln

2

   C 5 1ln

2

   D 6 1ln

2

  

Lời giải Chọn A

Ta có  '  21

1

f x x



    

1 1

' ln

1

x

f x f x dx dx C

x x



    

 

Khi đó:   

1

2

3

1

ln

2

1

ln 1

2

1

ln

2

x

C khi x x

x

f x C khi x

x x

C khi x x

 

 

 



 

    

 

 

  



 

   

3

1

2

3

f f C C

f f C

     



     

  

    

    

1

2

4

C C

C

 

  

 

 

Vậy  f 5  f 0  f 2 1ln3 3 2 1ln1 1 1ln1 5 1ln

2 C C C 2

          

Câu 65. (Quảng Xương - Thanh Hóa  -  2018)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  \2;1  thỏa 

mãn   2

2 f x

x x  

  ,  f 3  f  3 0  và   

3

f    Giá  trị  của  biểu  thức 

 4  1  4

f   f   f  bằng 

A 1ln

3 3 B ln 80 1   C

ln ln

3 5    D

ln 5   Lời giải

 

1 d

f x x

x x 

  

     

1

2

3

1

ln , ;

3

1

ln , 2;1

3

1

ln , 1;

3

x

C x

x x

C x

x x

C x

x

 

    

 



 

    

 

 

   



 

. 

Ta có   3 1ln 1,  ; 2

3

f   C   x ,   0 1ln1 1,  2;1

f  C   x ,     

1

3 ln , 1;

3

f  C  x  , 

Theo giả thiết ta có   0

3

f  2 11 ln 2

C

    

 1 2ln

3

f

     

Và  f 3  f  3 0 1 3 1ln

3 10 C C

    

Vậy  f 4  f 1  f  4 1ln5 1 1ln 1ln 1ln 2

3 C 3 3 C

       1ln

3

   

Câu 66. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên \ 1  

thỏa mãn   

1 f x

x  

 ,  f 0 2017,,  f 2 2018. Tính Sf  3 2018f 1 2017. 

A S 1.  B

1 ln

S    C S 2 ln 2.  D

ln S   Lời giải

Ta có    d

1

f x x

x 



 ln x 1 C    

1

ln   khi  

ln   khi  

x C x

x C x

   

  

  

 

. 

Lại có  f 0 2017 ln 0  C22017 C22017. 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Do đó S ln 1  2018 2018  ln 1   1 2017 2017  ln   

 

Câu 67. (Sở Phú Thọ - 2018)  Cho  hàm  số  f x   xác  định  trên  \1;1  thỏa  mãn    22

1 f x

x  

 ,   2  2

f   f   và  1

2

f  f   

     Tính  f 3  f 0  f  4  được kết quả 

A ln6

5   B

6 ln

5   C

4 ln

5   D

4 ln

5   Lời giải 

Ta có  f x  f x dx 22 1dx x 



 11 11 dx x x

 

   

 

 



1

2

3

1

ln

1

ln 1

1

ln

1

 

  

 



 

    

 

 

 

  

khi

x

C x

x x

C x

x x

C x

x

. 

Khi đó 

    1 3

1

2

2

1

2 ln 3 ln 0

0

1

1

2

ln ln

2

3



  

    

   

 

 

       

   

   

     

   

 

f f C C

C C

C

f f

C C

 

Do đó   3  0  4 ln 1 2 ln3 3 ln6

5

         

f f f C C C  

 

Dạng Nguyên hàm phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên a b;  và có đạo hàm liên tục trên a b; . Khi đó:   

udvuv vdu 

   

Để tính tích phân   

b

a

If x dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: Bước 1:Chọn u v,  sao cho  f x dx  udv (chú ý: dvv x dx'  ). 

Tính vdv và duu dx' . 

Bước 2:Thay vào cơng thức   và tính vdu

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn 

udv

  Ta thường gặp các dạng sau 

Dạng :   sin cos

x

I P x dx

x

 

  

 

 , trong đó P x  là đa thức 

Với dạng này, ta đặt   ,   sin

cos

x

u P x dv dx

x

 

   

 

Với dạng này, ta đặt    ax b u P x dv e  dx       

, trong đó P x  là đa thức  Dạng : I P x  ln mx n dx   

Với dạng này, ta đặt   

  ln

u mx n

dv P x dx

         

Dạng : sin cos

x

x

I e dx

x           Với dạng này, ta đặt  sin cos x x u x dv e dx

            

 để tính vdu ta đặt 

sin cos x x u x dv e dx

              

Câu 68. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số   

2 x f x x  

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số       

g x  x f x  là  A 2 2 2 x x C x       B 2 x C x      C 2 2 x x C x       D 2 2 x C x      Lời giải

Chọn B

Tính                 

2

1 d 1 d d

2

x x

g x x f x x x f x x f x x f x x

x                 

2 d

2

x x x

x x x       2 2 2 2

x x x

x C C

x x

 

     

 

 

Câu 69. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số  f x  x

x

 

2

3

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số     1  

g x  x f x  là

A x x C

x     2 3

.  B x C

x    3

.  C x x C

x     2 3

.  D x C

x    3   Lời giải Chọn D

Ta có         

2

3

1 d d

3

x x

x f x x x f x x C

x x              

Câu 70. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số 

2 ( ) x f x x  

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

( ) ( 1) '( )

g x  x f x  

A 2 2 x x C x       B 1 x C x      C 2 1 x x C x       D 1 x C x      Lời giải Chọn D

ux dudx

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Vậy g x dx( ) (x1) ( )f x  f x dx( )

2

( 1)

( )

1

x x x

g x dx dx

x x         2 ( 1)

( )

1

x x

g x dx x C

x         2 ( )

x x x

g x dx C

x         ( ) x

g x dx C

x



  



  

Câu 71. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số   

2 x f x x  

.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số     1  

g x  x f x  là 

A 4 x C x      B 4 x C x      C 2 4 x x C x       D 2 4 x x C x      

Lời giải  Chọn B

Ta có:   

2 4 x f x x       2

4

4

x x x x

f x x                2 2 2 4 4 4 4

x x x

x x x x f x x x x                

Suy ra: g x   x1  f x x f  x  f x  

         

g x dx x f x  f x dx x f x dx f x dx

     

 3  

4 x

dx f x dx x         Xét: 

 3 4 x I dx x     

Đặt tx2 4 dt2xdx 

Suy ra: 

 

1

3 2

2

1 1

3 2

2

2 4

2

1 4

2

dt dt t

I t dt C C C

t x t t                    

và: J  f x dx f x C2 

Vậy:   

2 2

4

4 4

x x

g x dx C C

x x x

 

    

  

  

Cách 2: g x   x1  f x      1   g x dx x f x dx

    

Đặt: 

   

u x du dx

dv f x dx v f x

Suy ra:           

2

1

4

x x x

g x dx x f x f x dx dx

x x



    

 

    

 

2

2

4

4

d x x x

x x

 

 

  

2

2

2

4

x x

x C

x



   



4

x

C x



 



. 

Câu 72. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số  f x  liên tục trên . Biết  cos 2x là một nguyên hàm 

của hàm số  f x ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ex là:  A sin 2xcos 2xC. B 2 sin 2xcos 2xC. 

C 2 sin 2xcos 2xC.  D 2 sin 2xcos 2xC.  Lời giải

Chọn C

Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số  f x ex 

nên f x ex cos 2x  f x ex  2 sin 2x.  Khi đó ta có  f x e dx xcos 2x C  

Đặt    d  d

d e dx ex

u f x u f x x v x v



   

 



 

 

 

 

 

Khi đó  f x e dx xcos 2x C f x d e x cos 2x C

   ex  e dx cos

f x f x x x C

     f x e dx x 2sin 2xcos 2x C   Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số  f x ex là  sin 2 xcos 2xC. 

Câu 73. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x 4x1 ln x là:

A 2x2lnx3x2 B 2x2lnx x C  2x2lnx3x2C. D 2x2lnx x 2C. 

Lời giải

Chọn D

Ta có  f x 4x1 ln x F x 4x1 ln xdx  đặt 

  2  2  2 2

1 ln

2 ln 2 ln ln

4

u x du

F x x x xdx x x x C x x x C x

dv x v x 

   



          



    



Câu 74. Họ các nguyên hàm của hàm số f x xsinx là 

A F x xcosxsinx C B F x xcosxsinx C

C F x  xcosxsinx C D F x  xcosxsinx C  

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Đặt  du dx

dv sin dx cos

u x

x v x

 

 



 

  

 

 

Suy ra xsin dxx  xcosxcos dxx  xcosxsinxC. 

Câu 75. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x( )x e 2x là : 

A ( )

2

x

F x  e x C

 

  B ( )  2

2 x

F x  e x C 

C ( ) 2x 2

F x  e x C  D

( )

2 x

F x  e x C

 

Lờigiải

Đặt  2

2

2 x x

du dx u x

v e dv e

  

 



 

 

 

 

2 2

2

x x x

x e dx x e e dx

     

2 2

2

x x x

x e dx x e e C

   

2

x

e x  C

   

   

Câu 76. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x   2x1ex là 

A 2x3ex C.  B 2x3exC.  C 2x1exC.  D 2x1exC. 

Lời giải Gọi I2x1e xxd  

Đặt  du 2d

d d

  

 



 

 

 x  x

u x x

v e x v e  

2 1 d 2 1 2 3

I  x ex e xx  x ex exC x exC. 

Câu 77. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  ( ) 2x

f x xe ?

A ( )

2

x

F x  e x C

  B  

2

1

( )

2 x

F x  e x C

C ( ) 2x 2

F x  e x C D ( ) 2 .

2 x

F x  e x C

 

Lời giải Ta có F x( ) xe dx2x

  

Đặt  2 1 2

2 x x

du dx u x

v e dv e dx

  

 



 

 

 

 

Suy ra  ( ) 2

2

x x

F x  xe  e dx 2

2 2

x x x

xe e C e x  C

      

 

A

2

sin cos

x

x x x C

     B

2

cos sin

2

x

x x x C

    

C

2

cos sin

2

x

x x x C

     D

2

sin cos

2

x

x x x C

    

Lời giải

Ta có:  f x dxx1 sin xdxx xd x.sin dx xx xd xd cos x 

 

2

= cos cos d = cos sin

2

x x

x x x x x x x C

      

Câu 79. (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Giả sử F x ax2bx c e  x là một nguyên hàm của hàm 

số  f x x e2 x.Tính tích Pabc. 

A 4.  B 1.  C 5.  D 3. 

Lời giải

Chọn A 

Ta đặt: 

2 2

x x

du xdx u x

v e dv e dx



  





 

 

 



2

2

x x x

x e dx x e xe dx

     

Ta đặt: 

x x

u x du dx dv e dx v e

 

 



 

 

     

2 x x 2 x x 2 2 x

x e dx x e xe e dx x x e

        

Vậy a1,b 2,c 2 Pabc 4. 

Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số  ( )f x 2 (1x ex)là

A  

2x1 exx   B 2x1exx2.  C 2x2exx2.  D 2x2exx2.  Lời giải 

Ta có  (1 x) 2 x

x e dx xdx xe dx

    

Gọi I2xlnxdx. Đặt  u xx du dxx

dv e dx v e

   



 

  



.  Khi đó I2xex2e dxx  

Vậy 2 (1x e dxx) 2xdxxex2e dxx x2xex2x C   =2x2exx2C. 

Câu 81. Họ nguyên hàm của  f x xlnx là kết quả nào sau đây? 

A   2ln

2

F x  x x x C.  B   2ln

2

F x  x x x C. 

C   2ln

2

F x  x x x C.  D   2ln

2

F x  x x x C   Lời giải 

Ta có F x  f x dx  xlnxdx. Đặt  ln 2

dx du

u x x

dv xdx x

v

   

 



 



  

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Theo cơng thức tính ngun hàm từng phần, ta có:    1 2

ln ln

2 2

F x  x x xdx x x x C. 

Câu 82. (Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Tìm  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

   

3 ln

f x  x  x. 

A    

3

1 ln

x f x dxx x  x C

   B  

3

ln

x f x dxx x C

  

C    

3

1 ln

x

f x dxx x  x  x C

   D  

3

ln

x

f x dxx x  x C

  

Lời giải  Chọn C 

Ta có I3x21 ln xdx 

Đặt 

   

2

1 ln

3

3

u x du dx

x

dv x dx

v x dx x x



 



 



 

 

 

     

. 

 ln  1  1 ln  1  1 ln

3

x

I x x x x x dx x x x x dx x x x x C

x

               

Câu 83. (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số    2

sin x f x

x

   trên  khoảng 

0; là 

A xcotxln sin xC.  B xcotxln s inxC.  C xcotxln sinx C. D xcotxln s in xC. 

Lời giải Chọn A 

   d s in2 d

x F x f x x x

x

   

Đặt 

2

d d

1

cot

d d

s in

u x

u x

v x

v x

x

 

  



 

 

 

 

. 

Khi đó:    2 d cot cot d cot cos d cot d sin 

s in sin sin

x

x x

F x x x x x x x x x x x

x x x

           

.cot ln s in

x x x C

     Với x0;s inx0ln s inx ln s in x. 

Vậy F x  xcotxln s in xC. 

Câu 84. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số y3x x cosx

A x33xsinxcosxC B x33xsinxcosxC

C x33xsinxcosxC D x33xsinxcosxC

Lời giải

Chọn A

Ta có: 3  cos d  3 d2  3 cos d



3 d  

 x x x C

 3 cos dx x x3 d sinx  x3 sinx x3sin dx x3 sinx x3cosxC2

Vậy 3x x cosxdxx33xsinxcosxC

Câu 85. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x x4xex là 

A 1  1 e

5

x

x  x C.  B 1  1 e

5

x

x  x C. 

C 1

e

x

x x C.  D 4x3x1 e xC.  Lời giải

Ta có:   

ex dx dx e dxx

x x  x  x

    

+) 

1

1 dx=

5

x x C

  

+) Đặt  du dx

dv e dxx ex u x

v

 

 



 

 

 

 

Suy ra: xe dxx xexe dxx xexexC2   e x 2

x C

    

Vậy     

e dx e

5

x x

x x  x  x C

  

Câu 86. Cho hai hàm số F x G x ,   xác định và có đạo hàm lần lượt là  f x ,g x  trên . Biết rằng 

     

ln

F x G x x x   và     

3

2

1

x F x g x

x



  Họ nguyên hàm của  f x G x     là 

A x21 ln x212x2C.  B x21 ln x212x2C.  C x21 ln x21x2C.  D x21 ln x21x2C. 

Lời giải

Chọn C

Ta có 

          d   .G   .G  d

F x G x  F x G x  x F x x F x  x x.     

F x G x dx F x G x    F x .G x dx

    

       

2 2 2

2

2

ln d ln 1 ln

1 x

x x x x x x x C

x

 

           



 

  

   

1 ln

x x x C

      

Câu33. Họ nguyên hàm của hàm số    2x

f x  x e  là 

A  

2

x

F x  e x C

 

.  B    2

2 x

F x  e x C. 

C F x 2e2xx2C.  D   2

2 x

F x  e x C

   

Lời giải

Đặt 

du dx ux  

 



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

  2 2

2 2

x x x x x

F x x e  e dx x e  e C e x C

 

  

Câu 87. (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A xe xxd ex xexC.  B

2

d

  

xe xx x ex ex C. 

C xe xxd xexexC.  D

2

d

 

xe xx x ex C.  Lời giải

Sử dụng công thức: u vd u v v ud  

Ta có:xe xxd xd ex xexe xxd xexexC. 

Câu 88. (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F x , G x  xác đinh và có đạo hàm lần lượt là  f x , 

 

g x   trên .  Biết F x .G x  x2lnx21  và 

   

3

2

x F x g x

x



   Tìm  họ  nguyên  hàm  của 

    f x G x

A x21 ln x212x2C B x21 ln x212x2C

C x21 ln x21x2C D x21 ln x21x2C

Lời giải Ta có: 

   d  d   f x G x x G x F x

   

     d   G x F x F x G x

  G x F x    F x   g x dx.       

2

2

d ln d

1

x

f x G x x x x x

x

    



   

2

ln d

1

x

x x x x

x

 

     



 



   

2 2

2

ln d

1

x x x x

x

   



    

ln ln

x x x x C

     

   

1 ln

x x x C

    

Câu 89. Cho  biết    2

3

F x x x

x

     là  một  nguyên  hàm  của     

2

2

x a f x

x



   Tìm  nguyên  hàm  của 

  cos g x x ax. 

A xsinxcosx C   B 1 sin 1cos

2x x4 x C  

C xsinxcosC  D 1 sin 1cos

2x x4 x C  

Lởi giải

Chọn C

Ta có     

2 2

2

1

2 x

F x x

x x



      

Do F x  là một nguyên hàm của     

2

2

x a f x

x



  nên a1. 

 d cos d

g x x x x x

Đặt  d d

d cos d sin

u x u x

v x x v x

            

 d cos d sin sin d sin cos

g x x x x xx x x xx x xC

    

Câu 90. Họ nguyên hàm của hàm số   

2

l

2x x n y

x x

 

  là 

A  

2

1 ln x

x x x

x     C.  B  

2

1 ln x

x x x

x     C. 

C  

2

1 ln x

x x x

x     C.  D  

2

1 ln x

x x x

x     C.  Lời giải

Ta có:     

2

1

l

2 ln 1

n d

d d

x x

x x x I x

x

x x  x I

 

  

   

 

1 ln d

I  x x x. Đặt 

 

ln d d 1 d d x

v x x

u x u x x v x                             

2 2

1

2

1

ln 1d ln d

l

n

I x x x x

x

x x x x x x x

x x x x x C

                 2

dx ln

I x C

x            2 2 2 2 d ln

ln ln ln

2 x x I x x x x x I x

x x x C x C x x x x C

                    Dạng 4.2 Tìm ngun hàm có điều kiện 

Câu 91. (Mã 104 2017) Cho    12

2 F x

x

  là một nguyên hàm của hàm số  f x 

x  Tìm nguyên hàm của 

hàm số f x lnx

A f  x ln dx x ln2x 12 C

x x

 

    

 

 B  ln d ln2 12

2 x

f x x x C

x x

   



C  ln d ln2 12

2

x

f x x x C

x x

 

    

 

 D f  x ln dx x ln2x 12 C

x x

   

  

Lời giải

Chọn C

Ta có:   d 12

2

f x x

x  x

  Chọn  f x  21

x    

Suy ra  f  x ln dx x 23ln dx x

x

 

   Đặt 

3 d ln d d d x

u x u

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Khi đó:   

3 2

ln ln ln

ln d d d

2

x x x

f x x x x x C

x x x x x

 

        

 

  

Câu 92. (Mã 105 2017) Cho     13

3

F x

x  là một nguyên hàm của hàm số 

  f x

x  Tìm nguyên hàm của 

hàm số f x lnx

A   ln d  ln3  15 

5

x

f x x x C

x x B      5

ln

ln d

5

x

f x x x C

x x

C   ln d  ln3  13 

3

x

f x x x C

x x D      

ln

ln d

3

x

f x x x C

x x  

Lời giải

Chọn C

Ta có           



 

         

 

3

3

1

3

f x

F x f x x F x x x x

x x  

     

 

 f x  3x 4 f x lnx 3x 4lnx 

Vậy f x ln dx x3x4ln dx x  3 ln  x x4dx 

Đặt 

 

    



3

4 d

ln ; d d ;

3

x x

u x dv x x u v

x  

Nên   



   

           



 

   

4

4

3 3

ln ln ln

ln d ln d d d

3

3

x x x x

f x x x x x x x x x C

x x x x  

Câu 93. (Mã 110 2017) Cho F x   x1ex là một nguyên hàm của hàm số  f x e  2x. Tìm nguyên hàm 

của hàm số  f x e2x

A  f x e2xdx42x e xC B  f x e2xdxx2exC

C   d

2

x x x

x

f e x  e C

 D f x e2xdx2x e xC

 Lời giải Chọn D 

Theo đề bài ta có     

xd x

f x e x x e C

 , suy ra f x e . 2x x1exexx1 ex

   

  x   x x   1  x f x e x e x e f x x e

         

Suy ra             

d d d d

x x x x x x

K  f x e x x e x x e e x e x x e C Câu 94. Cho hàm số  f x thỏa mãn f x xexvà  f 0 2.Tính  f 1  

A f 1 3.  B f 1 e.  C f  1  5 e.  D f  1  8 2e. 

Lời giải  Ta có: 

    x f x  f x dxx e dx 

Đặt 

x x

u x du dx

dv e dx v e

 

 



 

 

   

x x x x

f x x e e dx x e e C

Theo đề:  f 0 22  1 CC3 

  x x

f x x e e

     

 1

f

   

Câu 95. (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Cho  hàm  số  f x   thỏa  mãn  f x  f x e ,x  x   và   0

f   Tất cả các nguyên hàm của  f x e2x là 

A x2 e xexC  B x2 e 2xexCC. x1 e xC  D x1 e xC  Lời giải

Chọn D 

Ta có  f x  f x ex  f x ex f x ex 1

 

 e   e

x x

f x  f x x C

      

Vì   0 1  e2x  e x

f  C   f x  x     e dx e dx

f x x x x

    

Đặt  d d

d e dx ex

u x u x

v x v

  

 



 

 

 

     

e dx e dx

f x x x x

   x2 e xe dx x  e x ex  e x

x C x C

        

Câu 96. (Việt Đức Hà Nội 2019)  Cho  hàm  số  y f x   thỏa  mãn  f '  x  x1 e ,   x f 0 0  và   d  ex

f x x ax b c

  với a b c, ,  là các hằng số. Khi đó: 

A ab2.  B ab3.  C ab1.  D ab0. 

Lời giải Theo đề:  f'  x  x1 e x. Nguyên hàm 2 vế ta được 

           

' d e d e e

1 e e e

x x x

x x x

f x x x x f x x dx

f x x C x C

     

      

    

Mà  f 0 00.e0C0C0 f x xex.   d e dx ex e dx ex ex  e x

f x x x x x x x C x C

           

Suy ra a1;b    1 a b 0. 

Câu 97. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số 

  e x

f x x   Tính F x  biết F 0 1. 

A F x  x1 e x2.  B F x   x1 e x1.  C F x   x1 e x2.  D F x  x1 e x1

Lời giải 

Đặt  d d

d e dx e x

u x u x

v  x v 

 

 



 

  

 

. 

Do đó xe dx x xexe dx x xex exCF x C ; .   0

F  e0 C C

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 98. (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết xcos dx xaxsin 2x b cos 2x C   với a, b  là  các  số  hữu tỉ. 

Tính tích ab? 

A

8

ab   B

ab   C

ab    D ab    Lời giải

Đặt 

d d

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

  

 



 

 

 

 

Khi đó  cos d sin sin d

2

x x x x x x x

  sin 1cos

2x x x C

  

 

2 a

  ,  b  

Vậy 

8 ab  

Câu 99. (Chuyên Đh Vinh - 2018)  Giả  sử  F x   là  một  nguyên  hàm  của  f x  lnx2 3

x



   sao  cho 

 2  1

F  F   Giá trị của F 1 F 2  bằng 

A 10ln 5ln

3 6   B 0   C

7 ln

3   D

2

ln ln 6   Lời giải

Tính  lnx2 3dx x



  

Đặt 

 

2

d

ln d

3

d 1

d

x

u x u

x x

v

v

x x



 

  

  

 



   

 

 

Ta có     

 

2

ln d

d ln

3

x x

x x

x x x x



   



  1ln 3 1ln  , 

3

x

x C F x C

x x

     

  

Lại có F2F 1 0 1ln ln 1ln1

3 C C

   

       

   

7 ln

3 C

   

Suy ra   1  2 ln 1ln 1ln 1ln2

3

F  F      C 10ln 5ln

3

   

Câu 100. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g x  là một nguyên hàm của hàm 

số  f x lnx1.  Cho  biết  g 2 1  và  g 3 alnb  trong  đó  ,a b  là  các  số  nguyên  dương  phân biệt. Hãy tính giá trị của T 3a2b2 

A T 8.  B T  17.  C T 2.  D T  13. 

Lời giải 

Đặt   

1

ln

1

u x du

x

dv dx v x



 

 

 

 

 

 

   

 

  ln 1  ln  1  ln  1

1

x

g x x dx x x dx x x x C

x



          



   

Suy ra: g 3 2 ln 3  2 ln 2ln 4 a1, b4 3a2b2 13 

Câu 101. (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết xcos dx xaxsin 2x b cos 2x C   với a, b  là  các  số  hữu  tỉ

Tính tích ab? 

A

8

ab   B

ab   C

ab    D ab    Lời giải

Đặt 

d d

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

  

 



 

 

 

Khi đó  cos d sin sin d

2

x x x x x x x

  sin 1cos

2x x x C

  

1 a

  ,  b  

Vậy 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng Nguyên hàm hàm ẩn liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)

Dạng 1. Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )u x f x'( ) ( )h x( )

Phương pháp:

Dễ dàng thấy ( )u x f x( )u x f x( ) ( )[ ( ) ( )]u x f x 

Do dó ( )u x f x( )u x f x( ) ( )h x( )[ ( ) ( )]u x f x  h x( ) Suy u x f x( ) ( )h x x( )d

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang 2. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) f x( )h x( )

Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc exf x( )exf x( )exh x( )ex f x( ) exh x( )

Suy x ( ) x ( )d

e f x e h x x

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang 3. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) f x( )h x( )

Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc ex f x( )exf x( )exh x( )ex f x( ) exh x( )

Suy ex f x( )exh x x( )d

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dạng 4. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) p x( )f x( )h x( ) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)

Phương pháp:

Nhân hai vế với ep x dx( ) ta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) p x dx ( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( ) p x dx ( ) p x dx

f x e p x e f x h x e f x e h x e



       

          

 

Suy f x e( ) p x dx( ) ep x dx( ) h x x( )d Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang 5. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) p x( ) f x( )0

Phương pháp:

Chia hai vế với f x( ) ta đựơc ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy ( )d ( )d ln | ( ) | ( )d

( )

f x

x p x x f x p x x

f x



    

  

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dạng 6. Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x( ) p x( ) [ ( )] f x n0

Phương pháp:

Chia hai vế với [ ( )]f x n ta ( ) ( )

( ) ( )

[ ( )]n [ ( )]n

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy

1

( ) [ ( )]

d ( )d ( )d

[ ( )]

n n

f x f x

x p x x p x x

f x n

  

    

 

  

NGUYÊN HÀM

Từ dầy ta dễ dàng tính f x( )

Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn  2 25

 

f  4  

 

 

f x x f x với



x Giá trị f 1

A 391

400

 B

40

 C 41

400

 D

10



Lờigiải ChọnD

Ta có  4 3  2

 

f x x f x  

 

3

2



   

 

 

f x

x

f x  

3

1

4



 

   

 

x

f x  

4

1

  x C f x

Do  2

25

 

f , nên ta có C 9 Do   41

  

f x

x  

1

10

 f  

Câu 2. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x  đồng biến có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f x 2  f x e  , x  x  f 0 2 Khi f 2 thuộc khoảng

nào sau đây?

A 12;13  B 9;10  C 11;12  D 13 14; . Lời giải

Chọn B

Vì hàm số y f x  đồng biến có đạo hàm liên tục  đồng thời f 0 2 nên f x 0 f x 0 với x0;

Từ giả thiết f x 2 f x e  , x  x  suy    . 2, 0; .

x

f x  f x e  x 

Do đó,  

   

2

1

, 0;

2

x

f x

e x

f x 

   

Lấy nguyên hàm hai vế, ta   , 0; 

x

f x e C  x  với C số Kết hợp với f 0 2, ta C 1

Từ đó, tính f 2 e 1 29,81

Câu 3. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y f x  thỏa mãn  2 19

f  

  2 

f x x f x  x  Giá trị f 1

A

3

 B

2

 C 1 D

4



Lời giải Chọn C

Ta có      

 

3

2

f x

f x x f x x

f x



     

   

4

2

1

f x x

dx x dx C

f x f x



TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Mà  2

19

f   19 16

4 C C

     Suy   44

3

f x x  



Vậy f 1  1

Câu 4. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f x  liên tục \1;0 thỏa mãn điều kiện: f  1  2 ln x x. 1  f x  f x x2x Biết f  2 a b ln (a, b) Giá trị 2a2b2

A 27

4 B 9 C

3

4 D

9

Lời giải Chọn B

Chia hai vế biểu thức x x. 1  f x  f x x2x cho x12 ta có

 

 2    

1

1 1 1

x x x x

f x f x f x

x x x x x



 

     

      

Vậy     d d 1 d ln

1 1

x x x

f x f x x x x x x C

x x x x



   

           

        

Do f 1  2 ln nên ta có  1 ln ln ln 2 f   C    CC 

Khi f x  x 1x ln x 1

x 

   

Vậy ta có  2 32 ln 1 31 ln 3 3ln 3,

2 2 2

f        a b 

Suy  

2

2 3

2

2

a b            

 

 

Câu 5. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x 0, x có đạo hàm

 

f x liên tục khoảng 0;  thỏa mãn f  x  2x1f2 x , x  1

f   Giá trị biểu thức f 1  f  2   f2020

A 2020

2021

 B 2015

2019

 C 2019

2020

 D 2016

2021



Lời giải Chọn A

Ta có:

    2 

2

f x  x f x  

 

2

f x x f x



    

   

2 d d

f x

x x x

f x



  

 

2

1

x x C

f x

    

Mà  1

f   C0  

1

f x

x x



 



1

1

x x

 

     

 

1

1

2

1

2

3

1

3

4

1

2020

2021 2020

f

f

f

f



 

 

  

  

 

   

  

  



 1  2 2020 1 2021

f f f

       2020

2021

 

Câu 6. (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x  liên tục \1;0 thỏa mãn f 1 2 ln 1 ,

 1    2    1

x x f x  x f x x x ,  x \1;0 Biết f 2 a b ln 3, với a, b hai số hữu tỉ Tính T a2b

A

16

T  B 21

16

T  C

2

T  D T 0

Lời giải Chọn A

Ta có x x 1   f x  x2  f x x x 1

 

   

2

1

x

f x f x

x x  

  

  

 

   

2

2

2

1 1

x x

x x

f x f x

x x x

 

  

  

 

'

2

1

x x

f x

x x

 

  

 

   

2

1

x x

f x dx

x x

 

    

2

ln

1

x x

f x x x c

x

     



 

2

1

ln

x x

f x x x c

x

 



       

 

Ta có f  1 2 ln 1  c

Từ  

2

1

ln 1

x x

f x x x

x

 



      

 

,  2 3ln

4

f   Nên

3 4

a

b

        

Vậy

16

T a   b

Câu 7. (THPT NguyễnTrãi-ĐàNẵng-2018) Cho hs y f x  thỏa mãn y xy2

 1

f   giá trị f 2

A e2 B 2e C e1 D e3

Lờigiải

Ta có

y xy y

x y



 

d d

y

x x x

y   

3

ln

x

y C

  

3

3

e x

C

y 

 

Theo giả thiết f 1 1 nên

1

3

e

3 C

C

 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy  

3 1

3

=e

x

y f x  Do  

2 e

f 

Câu 8. (SởHàNội Năm2019) Cho hàm số f x  liên tục , f x 0 với x thỏa mãn

 1

2

f   , f  x  2x1f2 x Biết f 1 f  2 f2019 a

b

     với

 

, , ,

a b a b  Khẳng định sau sai?

A a b 2019 B ab2019 C 2ab2022 D b2020

Lờigiải

    2 

2x f

f x   x  

 

2 2x

f x f x

     

   

2 dx

f

x dx

f x x

   

 

 

   

2

d f x

x dx

f x

  

 

2

1

x x C

f x

      1 (Với C số thực)

Thay x1 vào  1 1

C

  



0

C

  Vậy   1

1

f x

x x

 



1 1 1

(1) (2) (2019)

2 2020 2019

T  f  f   f          

     

1

2020

  

Suy ra: 2019

2020

a

a b b

 

   

  

(Chọn đáp số sai)

Câu 9. (THPTChuyênLêHồng PhongNamĐịnh2019) Cho hàm số y f x  liên tục 0;

thỏa mãn 2xf x  f x 3x2 x Biết  1

f  Tính f 4 ?

A 24 B 14 C 4 D 16

Lờigiải ChọnD

Trên khoảng 0; ta có: '    '  2

xf x f x x x x f x x

x

    

 

 ' 3   ' 3

. .

2 2

x f x x x f x dx x dx

    

 

2

x f x x C

    

Mà  1

f  nên từ   có:   1

1 1

2 2

f  C  CC  

2

2

x x

f x

 

Vậy  

2

4

4 16

2

f  

Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f x 0 với x, f  0 1

   

f x  x f x với x Mệnh đề đúng?

A f x 2 B 2 f x 4 C f x 6 D 4 f x 6

Ta có:  

 

1

f x

f x x

 



   

1

d d

1

f x

x x

f x x



 



  lnf x 2 x 1 C

Mà f 0 1 nên C  2 f x e2 x 1  f 3 e26

Câu 11. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục

2;  f x 0, x 2; 4 Biết     3, 2; ,  2

x f x f x  x  x f  Giá trị

 4

f

A 40

2



B 20

4



C 20

2



D 40

4



Lờigiải

Ta có: f x 0, x 2; 4 nên hàm số y f x  đồng biến 2; 4  f x  f  2 mà

 2

f  Do đó: f x 0, x 2; 4

Từ giả thiết ta có: 4x f x3  f x 3x3x34f x 1f x 3

     

 

3

3

4

f x

x f x f x x

f x  

    



Suy ra:  

 

   

2

3

d

1

d d

4

4

f x

f x x

x x x C

f x f x



 

  

   

 

    

2

3

4

8

x

f x C

     

 2

4 2

f    CC 

Vậy:  

 

3

4

1

3

x f x

 

 

 

 

  4 40

4

f 

 

Câu 12. (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f x( ) hàm số liên tục  thỏa mãn

    ,

f x  f x x  x  f 0 1 Tính f 1

A 2

e B

1

e C e D

e

Lờigiải

    (1)

f x  f x x

Nhân vế (1) với ex ta e x f x e x f x x.ex Hay e x f x   x.ex e x f x x.e dx x

Xét I x.e dx x

Đặt d d

e dx d ex

u x u x

x v v

  

 

  



.e dx ex e dx ex ex

Ix xx  xx  C Suy exf x x.exexC Theo giả thiết f(0)1 nên C 2   e e  1

e e

x x x

x

f x   f

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 13. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn

  2    

1

xf x x f x f x

      

    với x dương Biết f  1  f 1 1 Giá trị f2 2

A 2 

2 ln 2

f   B 2 

2 ln 2

f  

C f2 2 ln 1 D

 

2

2 ln

f  

Lờigiải

Ta có: xf x 2 1 x21 f x f  " x ; x0

     

2. ' 1 1 "

x f x x f x f x

       

     

     

   

2 2

2 '

2

1

' "

1

' "

1

'

f x f x f x

x

f x f x f x

x f x f x

x

    

    

   

Do đó: f x f  ' x '.dx 12 dx f x f  ' x x c1

x x

 

     

   

 

 

 

Vì f 1  f' 1    1 c1c1 1 Nên f x f  ' x dx x 1 dx

x

 

    

 

  f x .df x  x 1 dx

x

 

     

 

 

 

2

2

ln

2

f x x

x x c

     Vì   2

1

1 1

2

f     c c 

Vậy    

2

2

ln 2 ln 2

2

f x x

x x f

      

Câu 14. (ChuyênBắcNinh2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn

( '( ))f x  f x f( ) ''( )x x 2 ,x  x R

và f(0) f'(0) 1 Tính giá trị T  f2(2)

A 43

30 B

16

15 C

43

15 D

26 15

Lờigiải

Có ( '( ))f x 2 f x f( ) ''( )x x32x( ( ) '( )) 'f x f x x32x

3

( ) '( ) ( )

f x f x x x dx x x C

     

Từ f(0) f'(0) 1 Suy C1 Vậy ( ) '( ) 4

f x f x  x x 

Tiếp, có ( ) '( ) 2 ( 2( )) ' 2

2

f x f x  x  x   f x  x  x 

2

( ) ( 2)

2 10

f x x x dx x x x C

       

Từ f(0) 1 Suy C 1 Vậy 2( ) 10

f x  x  x  x

Do 43

15

Câu 15. (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm 0;



 

 

 

, thỏa mãn

  tan  

cos

x

f x x f x

x 

  Biết 3 ln

3

f  f a b

   

a b,  Giá trị biểu thức Pa b

A 14

9 B

2

 C 7

9 D

4

 Lờigiải

ChọnD

  tan  

cos

x

f x x f x

x 

  cos   sin   2

cos

x

x f x x f x

x 

  

  2

sin

cos

x x f x

x 

  

Do sin   d 2 d

cos

x

x f x x x

x  

 

 

  sin   cos2 d

x

x f x x

x

 

Tính 2 d

cos

x

I x

x



Đặt

2

d d

d

tan d

cos

u x

u x

x

v x

v

x



 

 



 



 

 

Khi

 

2

d cos

d tan tan d tan d tan ln cos

cos cos

x x

I x x x x x x x x x x x

x x

      

Suy   tan ln cos ln cos

sin cos sin

x x x x x

f x

x x x



  

2 ln 3

3 ln 3 ln

3 3

a b  f  f        

       

5

ln



  Suy

5

a b

       

Vậy

9

P   a b

Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x  đồng biến 0;;

 

y f x liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn  3

f 

     

'

f x  x f x

 

  Tính f  8

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lờigiải

ChọnA

Ta có với  x 0; y f x 0; x 1

Hàm số y f x  đồng biến 0; nên f x 0, x 0;

Do f x 2 x1  f x  f x  x1  f x  

   1

f x

x f x



  

Suy  

 d  d

f x

x x x

f x 

 

     13

3

f x x C

   

Vì  3

f  nên

3

C    

Suy    

2

1

1

3

f x  x  

  , suy f  8 49

Câu 17. Cho hàm số f x  thỏa mãn f  1 2 x212 f x f x 2x21

  với x Giá

trị f 2

A 2

5 B

2

 C

2

 D 5

2

Lờigiải ChọnD

Từ giả thiết ta có:    

 

2

2

1

1

x

f x f x

x



   



với x1; 2

Do f x  f 1  1 với x 1; Xét với x 1; ta có:

         

   

 

   

2

2

2

2

2

2

2 1

1

1

1 f x x f x d x d

f x f x

x

f x

x

x x

x x

f x

 

 

    

   

   

   

2 2

1

d d

1

f x x

x x

x x

x f

 



 



 

 

   

 

2

1 d d

1

x

f x x

x x

x f x

 



 

  



 



 

 

 

 

1

1 C

f x x

x

    



Mà f  1    1 1 CC0 Vậy  

2

1

x f x

x 

  2

2

f

 

Câu 18. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục khoảng 0; , biết f  x  2x1f2 x 0,

  0,

f x   x  2

f  Tính giá trị

 1  2 2019

P f  f   f

A 2021

2020 B

2020

2019 C

2019

2020 D

2018 2019

TH1: f x 0 f x 0 trái giả thiết

TH2: f x 0  f x  2x1  f2 x  

   

2

f x

x f x



     

   

2 d d

f x

x x x

f x



   

   

2

1

x x C

f x 

    

Ta có:  2

f  C0  

1 1

1

f x

x x x x

   

 

1 1 1 2019

1 2 2020 2020

P

       

Câu 19. Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 2;1 thỏa mãn f 0 3

 

 2  

f x f x  x  x Giá trị lớn hàm số y f x  đoạn 2;1

A

2 42 B 2 153 C 3

42 D 315

Lờigiải

Ta có:f x 2.f x 3x24x2 (*)

Lấy nguyên hàm vế phương trình ta

 

 2       2   

2

f x f x dx x  x dx f x d f x x  x  x C

  

 

 

 

     

3

3

3 2 2 3 2 2 1

3

f x

x x x C f x x x x C

         

Theo đề f  0 3 nên từ (1) ta có f 0 33 0 32.022.0C273CC9

 

 3  3 2   3 2 

3

3 2 ( ) 2

f x x x x f x x x x

         

Tiếp theo tìm giá trị lớn hàm số y f x  đoạn 2;1 

CÁCH1:

Vì x32x22x 9 x2x22x2 5 0,  x  2;1 nên f x  có đạo hàm 2;1

và    

   

2 2

2

3

3

3 3 4 2

0,

3 2 2

x x x x

f x

x x x x x x

   

   

         

   

 2;1 

x   

Hàm số y f x đồng biến  

     

3 2;1

2;1 maxf x f 42



   

Vậy

     

3 2;1

max f x f 42

  

CÁCH2:

   

3

3

3 3 2 .

3

223

3 2

9

x x x x

f x     x 

   

    

Vì hàm số

3

22

2

3 ,

9

3

y x  y x 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

3

33 2 223

3

2

3

y x   x 

   

đồng biến  Do đó, hàm số y f x đồng biến 2;1 

Vậy

     

3

2;1ax

m f x f

  

Câu 20. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1)4

3

( ) ( )

f x xf x  x  x với x0 Giá trị f(2)

A 5 B 10 C 20 D 15

Lờigiải

3

3

2

1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f x x f x x x f x

f x xf x x x x

x x x

 

    



         

 

Suy ra, f x( )

x nguyên hàm hàm số g x 2x3

Ta có 2x3dxx23x C , C Do đó, f x( ) x2 3x C1,

x    (1) với C1

Vì f(1)4 theo giả thiết, nên thay x1 vào hai vế (1) ta thu C10, từ

3

( )

f x x  x Vậy f(2)20

Câu 21. (SởBắc Ninh 2019) Cho hàm số f x  liên tục R thỏa mãn điều kiện: f  0 2 2,

 0,

f x  x  f x f    x  2x1 1 f2 x ,  x  Khi giá trị f 1

A 26 B 24 C 15 D 23

Lờigiải

Ta có f x f .   x  2x1 1 f2 x    

   

2

2

1



  



f x f x x f x

Suy    

   

2

d d

1



 



 f x f x x  x x

f x

 

 

   

2

d

2 d

2



  



 f x  x x

f x  

2

1

  f x x  x C

Theo giả thiết f 0 2 2, suy 12 22 CC3

Với C3 2     2

1 f x x   x f x  x  x 1 Vậy f 1  24

Câu 22. (CầnThơ 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 2 f x f   x 2x2x1,  x 

 0  0

f  f  Giá trị f 1 2

A 28 B 22 C 19

2 D 10

Lờigiải

Ta có f x f    x  f x 2 f x f   x

Suy    

2

2

3

x

f x f x  x   x C Hơn f 0  f 0 3 suy C9

Tương f2 x   2f x f    x nên  

2

2 2 9

3

x

f x   x x 

       

 

 

Suy

 

2

2 2 9 d 18

3 3

x x

f x   x   x  x x  x  x C

 

 , f  0 3 suy

 

3

2

18

3

x

f x  x  x  x Do f  1 2 28

Câu 23. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn

x2   f x  x1  f x ex  0

f  Tính f 2

A  2 e

f  B  2 e

6

f  C  

2

e

3

f  D  

2

e

6

f 

Lờigiải

Ta có

x2   f x  x1  f x ex

x 1  f x f x  x 1  f x ex

     

x 1  f x x 1  f x  ex

      exx1  f x exx1  f x  e2x

   

ex x f x  e x

 

    exx1  f x dxe d2x x    

e e

2

x x

x f x C

   

Mà  0

f  C0 Vậy   e

x

f x

x 



Khi  

2

e

6

f 

Câu 24. (LiênTrường-NghệAn-2018) Cho hàm số y f x  liên tục \ 0; 1 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln x x 1  f x  f x x2x Giá trị

 2 ln

f a b , vớia b,  Tính

2

a b

A 25

4 B

9

2 C

5

2 D

13

Lờigiải

Từ giả thiết, ta có x x 1  f x  f x x2x   

 2  

1

1 1

x x

f x f x

x x x

  

  

 

1

x x

f x

x x



 

  

 

  , với  x \ 0; 1  

Suy  

x f x

x 1d

x x x 



 hay  

1

x f x

x xln x 1 C

Mặt khác, ta có f  1  2 ln nên C 1 Do  

x f x

x xln x 1

Với x2  2 ln

3 f     

3 ln

2

f   Suy

2

a

2

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy 2

2

a b 

Câu 25. (THPTLê Xoay -2018) Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn f  1 1, f x  f x 3x1, với x0 Mệnh đề sau đúng?

A 2 f 5 3. B 1 f  5 2. C 4 f  5 5. D 3 f  5 4. Lờigiải

Ta có

   

f x  f x x  

 

1

3

f x

f x x



 



   

1

d d

3

f x

x x

f x x



 



 

 

 

 

d

d

f x

x

f x x

 



  ln  

3

f x x C

     

2

3 x C

f x e  

 

Mà f  1 1 nên

4

3 C 1

e  

3

C

   Suy  

4

5 3, 794

f e 

Câu 26. (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện

  2 3 2 

f x  x f x  0

2

f   Biết tổng

 1  2  3 2017 2018 a

f f f f f

b

      với a,b* a

b phân số tối giản

Mệnh đề sau đúng?

A a

b  B

a

b  C ab1010 D ba3029 Lờigiải

Ta có     2 

2

f x  x f x  

 

2

f x

x

f x



  

 

 d 2 d

f x

x x x

f x



  

 

2

1

3

x x C

f x

    

Vì  0

2

f   C

Vậy  

  

1 1

1 2

f x

x x x x

   

   

Do  1  2  3 2017 2018 1 1009 2020 2020

f  f  f   f  f    

Vậy a 1009; b2020 Do ba3029

Câu 27. (THPT Nam Trực - Nam Định- 2018) Cho hàm số f x 0,    

4

2

3x x

f x f x

x

 

 

 1

3

f   Tính f 1  f 2   f 80

A 3240

6481

 B 6480

6481 C 6480 6481

 D 3240

6481

Lờigiải

   

4

2

3x x

f x f x

x

 

    

 

4

2

3

f x x x

f x x

  

   

4

2

3

  



 f x dx  x x dx

f x x 

 

 

 

4

2

3  1



d f x  x x dx

f x x

   

 

2

2

1

 

    

 

d f x  x dx

f x x   

3

1

x x C

f x x



      

3

1

f x C

x x

x



 

 

Do  1

f   C0   4 2

1 x f x

x x



 

  = 2

1 1

2 x x x x

 



     

 

 1 1 f    

 

;  2 1 f    

 

;  3 1 13 f    

 

;.;  80 1

2 6481 6321 f    

 

 1  2  80

f  f   f  1

2 6481

  = 3240

6481



Câu 28. (SởHàTĩnh -2018) Cho hàm số f x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai đoạn 0;  thỏa mãn f x 2 f x f   x f x 2 0 Biết f 0 1, f 2 e6 Khi f  1

A

3

e B e3 C

5

e D e2

Lờigiải

Theo đề bài, ta có              

 

2

2

2

f x f x f x

f x f x f x f x

f x

    

 

    

   

   

 

 

   

 

   

2

1 ln

2

f x f x x

x C f x C x D

f x f x



   

         

 

Mà  

 

0 2

0

2 e

f C

D f



  





 



 

 

Suy :    

2 5

2

2

e e

x x

f x    f 

Câu 29. Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f x 2 x f x ex2,  x  f 0 0 Tính f  1

A f 1 e2 B  1 e

f   C  1 12 e

f  D  1

e

f 

Lờigiải ChọnD

Ta có

    e x2

f x  x f x   ex2 f x 2 e x x2 f x  1 e x2 f x 1

Suy e   d d e    

e

x x

x x C f x  x x f x x C  f x  

 

Vì f 0 0C0

Do  

ex

x

f x  Vậy  1 e

f 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 2 2 313

15

f  B 2 2 332

15

f  C 2 2 324

15

f  D 2 2 323

15

f 

Lời giải Chọn B

Ta có      2

' d d

f x f x x x x xC

   

2

2

f x x x

C

   

Do f 0 2 nên suy C2 Vậy 2 2 32

5

f     

 

332 15



Câu 31. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x  f x e ,x  x 

 0

f  Tất nguyên hàm f x e2x

A  e x ex

x  C B  e 2x ex

x  C

C x1 e xC D x1 e xC

Lời giải Chọn D

    e x  ex  ex   ex  ex

f x  f x    f x  f x   f x    f x x C  Vì f 0 2 nên C 2 Do  e2x  e x

f x  x Vậy:

 e d2x  2 e d x  2 d e  x  2 e x e dx  2  2 e x e dx

f x x x x x  x  x  x  x

    

 e x ex  e x

x C x C

      

Câu 32. Cho hàm số y f x  có đạo hàm 0;  thỏa mãn 2xf x  f x 2x  x 0 ; ,

 1

f  Giá trị biểu thức f 4 là:

A 25

6 B

25

3 C

17

6 D

17

Lời giải Chọn C

Xét phương trình 2xf x  f x 2x  1 0; :  1    

f x f x

x 

     2

Đặt  

2

g x x

 , ta tìm nguyên hàm G x  g x 

Ta có  d d 1ln ln

2

g x x x x C x C

x

    

  Ta chọn G x ln x

Nhân vế  2 cho eG x   x, ta được:    

x f x f x x

x



   

 

 x f x  x

   3

Lấy tích phân vế  3 từ đến 4, ta được:   

4

1

d d

x f x  x x x

 

 

       

4

3

1

2 14 14 17

4

3 3

x f x  x  f f f  

          

   

Vậy  4 17

f 

Câu 33. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện x6f x 327f x 140 , x

     f 1 0 Giá trị f  2

A 1 B 1 C 7 D 7

Lời giải Chọn D

Ta có      

 

     

3

6

2

3

1 1

27

3 1

f x

x f x f x

x x

f x f x f x



 



        

   

   

 

     

Do

 

3

1 1

d d

1 x x x x C

f x



 

     

  

 

  Suy

 

3

1

1 x C f x

  



Có f 1  0 C0 Do f x  1 x3 Khi f 2  7

Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn: f x 2 f x f .  x 15x412x,

x

 

 0  0

f  f  Giá trị f2 1

A 5

2 B 8 C 10 D 4

Lời giải Chọn B

Theo giả thiết,  x :   2    

15 12

f x  f x f x  x  x

       

15 12

f x f x f x f x x x

   

   

15 12

f x f x  x x

   

     

15 12 d

f x f x x x x x x C

       1

Thay x0 vào  1 , ta được: f  0 f 0 CC1 Khi đó,  1 trở thành: f x f   x 3x56x21

       

1

1

5 2

0 0

1

d d

2

f x f x x x x x  f x   x x x

         

   

 

       

2 2

1

1 1

2f f  f f

        

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 35. Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 1;  thỏa mãn

   

   

2 ln

xf x  f x xx  f x ,  x 1; ; biết f 3e 3e Giá trị f  2 thuộc khoảng

nào đây?

A 12;25

 

 

  B

27 13;

2

 

 

  C

23 ;12

 

 

  D

29 14;

2

 

 

  Lời giải

Chọn C

Xét phương trình xf x 2f x .lnxx3 f x   1 khoảng 1; :

           

2

3 ln

1 ln ln

ln ln

x x

x x f x x f x x f x f x

x x x



 

         2

Đặt   ln ln

x g x

x x



 Ta tìm nguyên hàm G x  g x 

Ta có  d ln d ln d ln  d ln 

ln ln ln

x x

g x x x x x

x x x x

   

     

 

   

 

ln ln lnx lnx C ln x C

x  

     

 

Ta chọn G x  ln ln2x

x       

Nhân vế  2 cho eG x  ln2x

x

 , ta được: ln2x f  x ln3 x f x 

x x

 

   

   

2

ln ln

1

x x

f x f x x C

x x



 

       

   3

Theo giả thiết, f 3e 3e nên thay x 3e vào  3 , ta được:  

 

3 3

3

ln e 1

e e 3e e

e e

f  CC   

Từ đây, ta tìm    

3 23

2

ln ln

x

f x f

x

   Vậy  2 23;12

2

f  

 

Câu 36. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm  thỏa mãn

   

 

3 1

2

2 3f x ef x x x

f x

 

   với  x  Biết f 0 1, tính tích phân  

7

0

d

x f x x



A 11

2 B

15

4 C

45

8 D

9

Lời giải Chọn C

Ta có    

 

3 1

2

2 3f x ef x x x

f x

 

    3f2 x f.  x .ef3 x 2 ex x21

    3 

2

3f x f  x ef xdx ex x dx

  ef3 xdf3 x ex21dx21  

3

1

ef x ex  C

  

Mặt khác, f 0 1 nên C0

Do ef3 x ex21 f3 x x21  

1

f x x

Vậy  

7

0

d

x f x x



7

d

x x x

    

7

3 2

0

1

1 d

2 x x

     

7

2

0

3

1

8 x x

 

  

 

45



Câu 37. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y f x  liên tục không âm  thỏa mãn

 .   2 2  1

f x f x  x f x  f 0 0 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x  đoạn 1;3 Biết giá trị biểu thức P2Mm có dạng

 

11 , , ,

a b c a b c Tính a b c 

A a b c  7 B a b c  4 C a b c  6 D a b c  5

Lời giải Chọn A

Ta có:          

 

     

2

2

2

1

f x f x f x f x

f x f x x f x x dx xdx

f x f x

 

      

   

 

2 1

f x x C

   

Mà f 0 0C 1 f2 x  1 x2 1 f2 x x212 1 x42x2

 

2

f x x x

   (do f x 0, x  )

Ta có:    

           

3

4 1;3 1;3

2

0 , 1;3 max 3 11;

2

x x

f x x f x f f x f

x x



         



Ta có: P2M m6 11 3a6;b1;c0a  b c

Câu 38. Cho hàm số y f x  liên tục \1; 0 thỏa mãn f 1 2 ln 1 ,

 1    2    1

x x f x  x f x x x ,  x \1; 0 Biết f 2  a bln 3, với a b, hai số hữu tỉ Tính T a2b

A 21

16

T  B

2

T  C T 0 D

16

T  

Lời giải Chọn D

Ta có: x x 1   f x  x2  f x x x 1,  x \1; 0

       

2 2

2

2

1 1

x x x x

f x f x

x x x

 

  

   ,  x \1; 0

 

2

1

x x

f x

x x



 

  

 

 

,  x \1; 0

 

2

d

1

x x

x f x C

x x 

  

 

 ,  x \1; 0

 

2

1

1 d

1

x

x x f x C

x x

 



      

 

 

 ,  x \1; 0

 

2

ln

2

x x

x x C f x C

x

 

      



 

2

ln

x x

x x C f x

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Ta có: f 1 2 ln 1 f 1   1 ln 2 CC1

 

2

ln 1

2

x x

x x f x

x

     



 2 3.ln 4

f

    2 ln 3, 3

4 16 16

f  a b  a b Ta  b  

Câu 39. Cho hàm số y f x  liên tục 0;  thỏa mãn     2 

3 x f x x f  x 2f x , với

  0, 0; 

f x   x    1

f  Gọi M m, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x  đoạn 1; 2 Tính M  m

A

10 B

21

10 C

5

3 D

7

Lời giải Chọn C

Ta có: x f x x f2  x 2f2 x 3 x f x2  x f3  x 2 x f2 x

   

 

2

2

3

2

x f x x f x

x

f x

 

  f x 0, x 0; 

   

3

2

2 d

x x

x x x x C

f x f x



 

      

  

Mà    

3

1

1

3

x

f C f x

x

    



Ta có:    

   

3

2

2 2

6

0, 0;

2 2

x x x

f x f x x

x x

 

       

 

Vậy, hàm số  

3

2

x f x

x 

 đồng biến khoảng 0; 

Mà 1; 20;  nên hàm số  

3

2

x f x

x 

 đồng biến đoạn 1; 2

Suy ra,  2 4;  1

3 3

M  f  m f  Mm

Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm

Câu 1. (ChuyênThái Nguyên2019) Cho F x  nguyên hàm hàm số f x ex2x3 4x

Hàm số  



F x x có điểm cực trị?

A 6 B 5 C 3 D 4

Lờigiải

             

2

2 2

2 2 2

 2x 



F x x  f x x x x   x x ex x x x 

        

2

2

2x 1  2

  x x ex x x x x x

        

2

2

2x 1 2 2; 1; ; 0;1

2

   

            

 

x x

x x x x x x e x

  0

  

F x x có nghiệm đơn nên F x x có điểm cực trị

Câu 2. (THCS-THPTNguyễnKhuyến2019) Cho     

2

1 cos sin cot sin

x x x

F x dx

x

 

 S tổng

tất nghiệm phương trình  

F x F 

 

khoảng 0; 4 Tổng S thuộc khoảng

A 6 ;9  B 2 ; 4  C 4 ;6  D 0; 2

Lờigiải Chọn

Ta có:         

2 2

4 4

1 cos sin cot cos sin cos cot

sin sin sin

x x x x x x x

F x dx dx dx

x x x

   

  

Gọi  

2

1 cos cot sin

x x

A dx

x 

  

2

1 cos sin sin

x x

B dx

x  

Ta có:

   

   

2

3

4

2

1

1 cos cot cot cot

cot cot cot

sin sin

cot cot

2

x x x x

A dx dx x x d x

x x

x x

C

 

    

 

   

 

  

   

 

2

2

4 2

1 cos sin cos sin

sin 1 cos

x x x x

B dx dx

x x

 

 



 

Đặt tcosx, suy dt sin x dx Khi đó:

         

2

2

2 2 2

2

2

1 1 1 1

2 1

1 1

1

1 1

2 cos cos

t t

B dt dt dt C

t t

t t t t

t

C

x x

 

   

            

 

 

     

  

 

   

 

 

  

Do đó:

 

2

1 1 cot cot

2 cos cos 2

x x

F x A B C

x x

 

 

       

 

   

Suy ra:

 

2

1 1 cot cot

2 cos cos 2

x x

F x F C C

x x

  

   

        

 

     

2

1

cot cot

cosx cosx x x

    

 

2

2

2 cos cos cos sin sin sin

x x x

x x x

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 

   

3

2

2

2

cos cos 0

* cos

2 cos cos cos cos

2 cos

sin

cos cos

1 17 cos cos cos

4

x x

x

x x x x

x

x

x x

x x x



  



  

    

   



  

 

  



    





Theo giả thiết x0; 4 nên ; ; ;

2 2

x x  x   x   ;

;

x x ;

;

x x 

Khi tổng nghiệm lớn 9

Câu 3. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F x  nguyên hàm hàm số

 

2cos sin

x f x

x 

 khoảng 0; Biết giá trị lớn F x  khoảng 0;

3 Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A 3

6

F  

  B

2

3

F  

  C F 3



 

 

 

  D

5

3

6

F  

 

Lờigiải

Ta có:

  2

2cos cos

d d d d

sin sin sin

x x

f x x x x x

x x x



  

   

 

2

d sin

2 d cot

sin sin sin

x

x x C

x x x

      

Do F x  nguyên hàm hàm số   2cos2

sin

x f x

x 

 khoảng 0; nên hàm số

 

F x có cơng thức dạng   cot

sin

F x x C

x

    với x0;

Xét hàm số   cot

sin

F x x C

x

    xác định liên tục 0;

   

2cos '

sin

x

F x f x

x 

 

Xét '  2cos2 cos  

sin

x

F x x x k k

x

  

         

Trên khoảng 0;, phương trình F x' 0 có nghiệm

3

x

0;   

max

3

F x F C





 

    

 

Theo đề ta có,  3C 3C2 3

Do đó,   cot

sin

F x x

x

   

Câu 4. Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  xcosx2 sinx x



 Hỏi đồ thị hàm số yF x  có điểm cực trị khoảng 0; 4?

A 2 B 1 C 3 D 0

Lời giải Chọn C

Ta có F x'  f x  xcosx2 sinx x



  0; 4

    cos 2 sin

' x x x cos sin

F x f x x x x

x



      0; 4

Đặt g x xcosxsinx 0; 4

Ta có '  sin

3

x

g x x x x

x 

     

    

  

0; 4

Từ có bảng biến thiên g x :

Vì g x  liên tục đồng biến  ;  g    g 2 0 nên tồn x1 ; 

sao cho g x 1 0

Tương tự ta có g x 2 0, g x 3 0 với x22 ;3 , x33 ; 4 

Từ bảng biến thiên g x  ta thấy g x 0 x0;x1 xx x2; 3; g x 0

 1; 2

x x x xx3; 4 Dấu f x  dấu g x  0; 4 Do ta có bảng biến thiên F x :

0

0

0

4π

-3π 2π

-π

+

-+

- 0

0

x3 x2

x1 2π 3π 4π

π

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy hàm số yF x  có ba cực trị

Câu 5. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  x cos2 x x 

 Hỏi đồ

thị hàm số yF x  có điểm cực trị?

A 1 B 2 C vô số điểm D 0

Lời giải Chọn A

Vì F x   f x nên ta xét đổi dấu hàm số f x  để tìm cực trị hàm số cho Ta xét hàm số g x xcosx, ta có g x  1 sinx 0 x

Vì g x  hàm số đồng biến toàn trục số

Hơn ta có

0

2

0

2

g

g

 

 

  

 

 



  



 

    

 

  



, g x 0 có nghiệm ; 2

    

 

Ta có bảng xét dấu

Kết luận hàm số cho có cực trị

Câu 6. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số

 

'

y f x 5;3 hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol

2

y ax bx c )

+ +

-

-CT CĐ

CT F(x)

f(x) 0

4π

x x1 x2 x3

Biết f 0 0, giá trị 2f  5 3f 2

A 33 B 109

3 C

35

3 D 11

Lời giải Chon C

*)Parabol y ax 2bx c qua điểm 2;3 , 1;4 , 0;3 ,     1;0 , 3;0   nên xác định

2

2 3, 1

y  x x   x suy  

3

1

3 3

x

f x   x  x C Mà

   

3

0 0 0, 3

3

x

f  C  f x   x  x

Có  1

3

f    ;  2 22

f  (1)

*)Đồ thị f x'  đoạn  4; 1 qua điểm 4;2 , 1;0 nên

     

2

2

2

'

3

x

f x   x  f x    xC

 

Mà    

2

5 2

1 2

3 3

x

f    C        f x    x

   

, hay  4 14 f   *) Đồ thị f x'  đoạn  5; 4 qua điểm 4;2 ,  5; 1 nên

   

2

3

3

' 3 14 14

2

x

f x  x  f x   x C

Mà      

2

3

3

14 14

4 14

3

f        C   suy 3 82

3 C 

Ta có    

2

3 82 31

14 5

2 3 6

x

f x   x  f    (2)

Từ (1) (2) ta  5  2 31 22 35

3

f   f    

Câu 7. Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0;  thỏa mãn f  x f x  4x2 3x x

   

 1

f  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x  điểm có hồnh độ x2

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B

       

4

f x

f x x x xf x f x x x

x

        

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf x 4x33x2dxx4x3C Với x1 ta có: f  1  2 C

Theo f 1 2 2 C 2 C0 Vậy xf x x4x3  f x x3x2

Ta có: f x 3x22x; f 2 16; f 2 12

Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x  điểm có hồnh độ x2 là:

 

16 12

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm để tính tích phân

1.Địnhnghĩa: Cho hàm số y f x  liên tục K; a b, hai phần tử thuộc K, F x 

là nguyên hàm f x  K Hiệu số F b F a  gọi tích phân của f x  từ a

đến b kí hiệu:        

b

b a a

f x dxF x F b F a



2.Cáctínhchấtcủatíchphân:

  

a

a

f x dx 

    

a b

b a

f x dx  f x dx

 

    

b b

a a

k f x dxk f x dx

 

        

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 

  

      

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

 Nếu f x g x   x a b;     

b b

a a

f x dx g x dx

 

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp

1

1 x

x dx C

 

 

 



    

1

1

1 ax b

ax b dx C

a

 

 



  





ln

dx x C

x  

 dx 1.ln ax b C

ax b a  



2

1

dx C

x  x

  2

1 1

dx C

a ax b ax b

    



sin x dx cosx C

 sinax b dx 1.cosax b C

a

    

 cos x dxsinx C

 cosax b dx 1.sinax b C

a

   



2

1

cot

sin xdx  x C

 2   

1

.cot

sin ax b dx a ax b C



2

1

tan cos xdx x C

 2   

1

tan

cos ax b dx a ax b C



x x

e dxe C

 ax b ax b

e dx e C

a

 

 



ln

x

x a

a dx C

a

 

 2

1 ln

dx x a

C

x a a x a



 

 



 Nhận xét Khi thay x ax b  lấy nguyên hàm nhân kết thêm

a

Câu (ĐềMinhHọa2020Lần1) Nếu  

2

1

d

f x x 

  

3

2

d

f x x

  

3

1

d

f x x



TÍCH PHÂN

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu (ĐềThamKhảo2020Lần2) Nếu  

1

0

d

f x x

  

1

0

2f x dx



A 16 B 4 C 2 D 8

Câu (Mã101-2020Lần1) Biết  

3

1

d

f x x

 Giá trị  

3

1

2f x dx



A 5 B 9 C 6 D 3

2

Câu (Mã101-2020Lần1) Biết F x x2 nguyên hàm hàm số f x   Giá trị

 

2

1

2 f x dx

 

 



A 5 B 3 C 13

3 D

7

Câu (Mã102-2020Lần1) Biết Giá trị

A B C D

Câu (Mã102-2020Lần1) Biết nguyên hàm hàm số Giá trị

A B C D

Câu (Mã103-2020Lần1) Biết  

2

1

2

f x dx

 Giá trị  

3

1

3f x dx



A 5 B 6 C 2

3 D 8

Câu (Mã103-2020Lần1) Biết F x( )x3 nguyên hàm hàm số f x( )  Giá trị

3

1

(1 f( ) dx) x



A 20 B 22 C 26 D 28

Câu (Mã104-2020Lần1) Biết  

3

2

d

f x x

 Giá trị  

3

2

2f x dx



A 36 B 3 C 12 D 8

Câu 10 (Mã 104 -2020Lần 1) Biết F x  x2 nguyên hàm hàm số f x( )  Giá trị

của  

3

1

1 f x dx( )



A 10 B 8 C 26

3 D

32  

5

1

d

f x x

  

5

1

3f x dx



7

3 64 12

 

F x x f x  

 

2

1

2 f x( ) dx

 23

4

Câu 11 (Mã101-2020Lần2) Biết  

3

2

f x dx4

  

3

2

g x dx 1

 Khi đó:    

3

2

f x g x dx   

 

 bằng:

A 3 B 3 C 4 D 5

Câu 12 (Mã101-2020Lần2) Biết  

1

0

f x 2x dx=2

  

 

 Khi  

1

0

f x dx

 :

A 1 B 4 C 2 D 0

Câu 13 (Mã102-2020Lần2) Biết  

3

2

3

f x dx

  

3

2

1

g x dx

 Khi    

3

2

f x g x dx

  

 



A 4 B 2 C 2 D 3

Câu 14 (Mã102-2020Lần2) Biết  

1

0

2

f x  x dx

 

 

 Khi  

1

0

d

f x x



A 1 B 5 C 3 D 2

Câu 15 (Mã103-2020Lần2) Biết  

2

1

d

f x x

  

2

1

d

g x x

 Khi    

2

1

d

f x g x x

  

 

 bằng?

A 6 B 1 C 5 D 1

Câu 16 (Mã103-2020Lần2) Biết  

0f x 2xdx4

 Khi  

0 f x dx



A 3 B 2 C 6 D 4

Câu 17 (Mã104-2020Lần2) Biết

2

1

( )

f x dx



2

1

( )

g x dx

 Khi

2

1

[ ( )f x g x dx( )]



A 1 B 5 C 1 D 6

Câu 18 (Mã104-2020Lần2) Biết  

1

0

2 d

f x  x x

 

 

 Khi  

1

0

d

f x x



A 7 B 3 C 5 D 4

Câu 19 (Mã103-2019) Biết  

2

1

d

f x x

  

2

1

d

g x x

 ,    

2

1

d

f x g x x

  

 



A 8 B 4 C 4 D 8

Câu 20 (Mã 102 - 2019) Biết tích phân  

1

0

3

f x dx

  

1

0

4

g x dx 

 Khi    

1

0

f x g x dx

 

 



bằng

A 7 B 7 C 1 D 1

Câu 21 (Mã104-2019) Biết

0 f x x( )d 2



0g x x( )d  4

 , 1 

0 f x( )g x( ) dx



A 6 B 6 C 2 D 2

Câu 22 (Mã1012019) Biết  

1

0

d

f x x 

  

1

0

d

g x x

 ,    

1

0

d

f x g x x

  

 



A 1 B 1 C 5 D 5

Câu 23 (ĐềThamKhảo2019) Cho  

1

d

f x x

  

1

d

g x x

 ,    

1

2 d

f x g x x

  

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A 8 B 1 C 3 D 12

Câu 24 (THPTBaĐình2019) Khẳng định khẳng định sau với hàm f , g liên

tục K a, b số thuộc K?

A  ( ) ( ) d ( )d +2 ( )d

b b b

a a a

f x  g x x f x x g x x

   B

( )d ( )

d ( )

( )d

b b

a b a

a

f x x f x

x g x

g x x



 



C  ( ) ( ) d ( )d ( )d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

   D

2

( )d = ( )d

b b

a a

f x x  f x x

 

 

Câu 25 (THPTCẩmGiàng22019) Cho  

2

2

d

f x x





 ,  

4

2

d

f t t



 

 Tính  

4

2

d

f y y



A I5 B I 3 C I3 D I 5

Câu 26 (THPTCùHuyCận-2019) Cho  

0 f x dx3

  

0 g x dx7

 ,    

0f x 3g x dx



bằng

A 16 B 18 C 24 D 10

Câu 27 (THPT-YÊNĐịnhThanhHóa2019) Cho

1

( )

f x

 dx 1;

3

( )

f x

 dx5 Tính

3

1

( ) f x

 dx

A 1 B 4 C 6 D 5

Câu 28 (THPT QuỳnhLưu3NghệAn2019) Cho  

2

1

d

f x x 

  

3

2

d

f x x

 Khi  

3

1

d

f x x



bằng

A 12 B 7 C 1 D 12

Câu 29 Cho hàm số f x  liên tục, có đạo hàm 1; , f  1 8; f 2  1 Tích phân  

2

1

f ' x dx



bằng

A 1 B 7 C 9 D 9

Câu 30 (Sở Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số f x  liên tục R có

2

0

( )d 9; ( )d

f x x f x x

  Tính

4

( )d

I f x x

A I 5 B I 36 C

4

I D I 13

Câu 31 Cho    

0

1

3

f x dx f x dx



 

  Tích phân  

3

1

f x dx



A 6 B 4 C 2 D 0

Câu 32 (ChuyênNguyễn TrãiHảiDương2019) Cho hàm số f x  liên tục   

4

0

d 10

f x x

 ,

 

4

d

f x x

 Tích phân  

3

d

f x x

A 4 B 7 C 3 D 6

Câu 33 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nếu  

2

F x x

 

 F 1 1 giá trị  4

F

A ln B 1 1ln

 C ln D 1 ln 7.

Câu 34 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số f x  liên tục  thoả mãn

 

8

1

d

f x x

 ,  

12

4

d

f x x

 ,  

8

4

d

f x x



Tính  

12

1

d

I  f x x

A I17 B I 1 C I 11 D I7

Câu 35 (THPTQuangTrungĐốngĐaHàNội2019) Cho hàm số f x  liên tục 0;10 thỏa mãn

 

10

0

7

f x dx

 ,  

6

2

3

f x dx

 Tính    

2 10

0

Pf x dx f x dx

A P10 B P4 C P7 D P 6

Câu 36 (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Cho f, g hai hàm liên tục đoạn  1;3 thoả:

   

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

 ,    

3

1

2f x g x dx6

 

 

 Tính    

3

1

d

f x g x x

 

 



A 7 B 6 C 8 D 9

Câu 37 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;10  

10

0

7

f x dx

 ;

 

6

2

3

f x dx

 Tính    

2 10

0

P f x dx f x dx

A P4 B P10 C P7 D P 4

Câu 38 Cho f g, hai hàm số liên tục  1;3 thỏa mãn điều kiện    

3

1

3 dx=10

f x  g x

 

 

 đồng thời

   

3

1

2f x g x dx=6

 

 

 Tính    

3

1

dx

f x g x

 

 



A 9 B 6 C 7 D 8

Câu 39 (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Cho f , g hai hàm liên tục 1;3

thỏa:    

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

    

3

1

2f x g x dx6

 

 

 Tính    

3

1

d

I f x g x  x

A 8 B 7 C 9 D 6

Câu 40 (Mã1042017) Cho  

2

0

d

f x x





 Tính  

2

0

2 sin d

I f x x x



 

   

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 41 (Mã1102017) Cho  

2

1

d

f x x





  

2

1

d

g x x



 

 Tính    

2

1

2 d

I x f x g x x



 

   

A 17

2

I B

2

I  C

2

I D 11

2 I

Câu 42 (THPT HàmRồngThanh Hóa2019) Cho hai tích phân  

5

2

d





 f x x  

2

5

d





g x x Tính

   

5

2

4 d



    

I f x g x x

A 13 B 27 C 11 D 3

Câu 43 (Sở Bình Phước 2019) Cho

2

1

( )

f x dx







2

1

( )

g x dx



 

 ,  

2

1

2 ( ) ( )

x f x g x dx



 



bằng

A 5

2 B

7

2 C

17

2 D

11

Câu 44 (SởPhúThọ2019) Cho  

2

0

d

f x x

 ,  

2

0

d

g x x 

    

2

0

5 d

f x g x x x

   

 

 bằng:

A 12 B 0 C 8 D 10

Câu 45 (Chuyên LêHồngPhongNamĐịnh2019) Cho  

5

0

d

f x x 

 Tích phân  

5

2

4f x 3x dx

  

 



bằng

A 140 B 130 C 120 D 133

Câu 46 (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh-2019) Cho  

2

1

4f x 2x dx1

 

 

 Khi  

2

1

f x dx

 bằng:

A 1 B 3 C 3 D 1

Câu 47 Cho  

1

0

1

f x dx

 tích phân    

1

2

2f x 3x dx



A 1 B 0 C 3 D 1

Câu 48 (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Tính tích phân  

0

1

2

I x dx



  

A I 0 B I 1 C I 2 D

2

I  

Câu 49 Tích phân   

1

0

3x1 x3 dx



A 12 B 9 C 5 D 6

Câu 50 (KTNLGVThptLýTháiTổ-2019) Giá trị

2

0

sinxdx





A 0 B 1 C -1 D

2



Câu 51 (KTNLGVBắcGiang2019) Tính tích phân

2

0

(2 1) I  x dx

A I 5 B I 6 C I 2 D I 4

Câu 52 Với a b, tham số thực Giá trị tích phân  

0

3 d

b

x  ax x



A b3b a b2  B b3b a b2  C b3ba2b D 3b22ab1

Câu 53 (THPTAnLãoHảiPhòng2019) Giả sử

4

0

2 sin

2

I xdx a b



   a b,  Khi giá trị

a b

A

6

 B

6

 C

10

 D 1

5

Câu 54 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số f x  liên tục 

 

 

2

2

3 d 10

 

 f x x x Tính  

2

0

d

f x x



A 2 B 2 C 18 D 18

Câu 55 (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương2019) Cho  

0

3 d

m

x  x x

 Giá trị tham số m thuộc

khoảng sau đây?

A 1; 2 B ;0 C 0; 4 D 3;1.

Câu 56 (Mã1042018)

2

12

dx x



A 1ln 35

2 B

7 ln

5 C

1

ln

2 D

7 ln

5

Câu 57 (Mã1032018)

2

13

dx x



A 2 ln B 1ln

3 C

2 ln

3 D ln

Câu 58 (ĐềThamKhảo2018) Tích phân

2

0

dx x



A

15 B

16

225 C

5 log

3 D

5 ln

3

Câu 59 (Mã105 2017) Cho     

 

 



0

1

d ln ln

1 x a b

x x với a b, số nguyên Mệnh đề

dưới đúng?

A a2b0 B a b 2 C a2b0 D a b  2

Câu 60 (THPTAnLãoHảiPhịng2019) Tính tích phân 2

1

1

e

I dx

x x

 

   

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A I

e

 B I 1

e

  C I1 D Ie

Câu 61 (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tính tích phân

3

0

d x I

x

 



A 21

100

I  B ln5

2

I C log5

2

I D 4581

5000

I

Câu 62 (THPTĐoànThượng-HảiDương-2019)

2

1

d

3

x x



A 2 ln B 2ln

3 C ln D

1 ln

3

Câu 63 Tính tích phân

2

1

1 d x

I x

x





A I  1 ln 2. B

4

I  C I  1 ln D I 2 ln

Câu 64 Biết

3

1

2

ln ,

x

dx a b c

x



 

 với , ,a b c,c9 Tính tổng S  a b c

A S7 B S5 C S8 D S6

Câu 65 (Mã1102017) Cho F x  nguyên hàm hàm số f x  lnx

x

 Tính: IF e F 1 ?

A

2

I  B I

e

 C I 1 D Ie

Câu 66 (Mã1022018)

1

d x

e  x



A 1 

3 e e B

3

e e C 1 

3 e e D

4

e e

Câu 67 (Mã1012018)

2 1

e d

 x x

A 1e5 e2

3  B  

5

1

e e

3  C

5

1

e e

3  D

5

e e

Câu 68 (Mã1232017) Cho

6

0

( ) 12

f x dx

 Tính

2

0

(3 )

I f x dx

A I5 B I36 C I4 D I6

Câu 69 (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh2019) Tích phân

1

0

1 d

I x

x

 

 có giá trị

A ln 1 B ln C ln D 1 ln 2

Câu 70 (THPTHồngHoaThámHưngn-2019) Tính

3 2

d x

K x

x

 



A K ln B 1ln8

2

K  C K 2 ln D ln

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng Tích phân có điều kiện

1.Địnhnghĩa: Cho hàm số y f x  liên tục K; a b, hai phần tử thuộc K, F x  nguyên hàm f x  K Hiệu số F b F a  gọi tích phân của f x  từ a

đến b kí hiệu:        

b

b a a

f x dxF x F b F a



2.Cáctínhchấtcủatíchphân:

  

a

a

f x dx 

    

a b

b a

f x dx  f x dx

 

    

b b

a a

k f x dxk f x dx

 

        

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 

  

      

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

 Nếu f x g x   x a b;     

b b

a a

f x dx g x dx

 

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp

1

1 x

x dx C

 





 



    

1

1

1 ax b

ax b dx C

a

 







  

 

1 ln

dx x C

x  

 dx 1.ln ax b C

ax b a  



2

1

dx C

x  x

  2

1 1

dx C

a ax b ax b

  

 



sin x dx cosx C

 sinax b dx 1.cosax b C

a

    



cos x dxsinx C

 cosax b dx 1.sinax b C

a

   



2

cot

sin xdx  x C

 2   

1

.cot

sin ax b dx a ax b C 

2

tan

cos xdx x C

 2   

1

tan

cos ax b dxa ax b C



x x

e dxe C

 eax b.dx 1.eax b C

a

   



ln

x x a

a dx C

a

 

 2

1 ln

dx x a

C

x a a x a



 

 



 Nhận xét Khi thay x ax b  lấy nguyên hàm nhân kết thêm a

TÍCH PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho F x  nguyên hàm   2 f x

x 

 Biết

 1

F   Tính F 2 kết

A ln 1 B 4 ln 1 C 2ln 2 D 2 ln

Câu (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x  Biết f 0 4 f ' x 2sin2x1,  x ,

 

4

0

d

f x x





A

2 16 4

16

  

B

2 4

16

 

C

2 15

16

  

D

2 16 16

16

  

Câu (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x  Biết f 0 4 f x 2sin2x3,  x R,

 

4

0

d

f x x





A

2

 

B

2

8

8

   

C

2

8

8

  

D

2

3

8

   

Câu (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x( ).Biết f(0)4 f x( )2cos2x3, x ,

4

0 ( )

f x dx



 bằng?

A

2

8

8

  

B

2

8

8

  

C

2

6

8

  

D

2

2

 

Câu Biết hàm số f x mxn thỏa mãn  

1

0

d

f x x

 ,  

2

0

d

f x x

 Khẳng định

là đúng?

A mn4 B mn 4 C mn2 D mn 2

Câu Biết hàm số f x ax2bxc thỏa mãn  

1

0

7 d

2

f x x 

 ,  

2

0

d

f x x 



A

 B

3

 C 4

3 D

3

Câu (ChunLêQĐơnĐiệnBiên2019) Có hai giá trị số thực a a1, a2 (0a1a2) thỏa

mãn  

1

2 d

a

x x

 Hãy tính 2

2

3a 3a log a

T

a

 

    

 

A T 26 B T 12 C T 13 D T 28

Câu (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho  

0

3 d

m

x  x x

 Giá trị tham số m

thuộc khoảng sau đây?

Câu (ThithửLômônôxốp-HàNội 2019) Cho  

1

2

4 d

 

I x m x Có giá trị nguyên

mđể I60?

A 1 B 5 C 2 D 3

Câu 10 (SởGDKonTum-2019) Có giá trị nguyên dương a để  

0 d

a

x x

 ?

A 5 B 6 C 4 D 3

Câu 11 (THPTLương Thế Vinh -HN 2018).Có số thực b thuộc khoảng  ;3  cho

4 cos

b

xdx





 ?

A 8 B 2 C 4 D 6

Câu 12 (Cần Thơ - 2018) Cho hàm số f x  xác định \2;2 thỏa mãn   24

4

f x

x

 

 ,

 3  3  1  1

f   f  f   f  Giá trị biểu thức f 4 f 0  f 4

A 4 B 1 C 2 D 3

Câu 13 (ChuyênLươngThếVinh-ĐồngNai-2018) Biết

4

2

1 e

d e e

4 e

x

b c x

x

x a

x x



   

 với a, b, c

là số nguyên Tính T a b c

A T  3 B T 3 C T 4 D T  5

Câu 14 (Sở Bạc Liêu - 2018) Cho hàm số f x  xác định \ 0  thỏa mãn f  x x 21 x



  ,

 2

f    2 ln

f   Giá trị biểu thức f 1  f 4

A 6 ln

4 

. B 6 ln

4 

C 8 ln

4 

D 8 ln

4 

Câu 15 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x( ) có f(0)4

và f( )x 2 cos2x  1, x  Khi

4

0 ( )

π

f x dx



A

16 16

16

   

B

2 16

 

C

2 14 16

  

D

2

16

16

  

Câu 16 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f x  có f 0 0 f' x sin4x,  x  Tích phân

 

2

0

d

f x x





A

6 18

 

B

2

3 32

 

C

2

3 16

64  

D

2

3

112  

Dạng Tích phân hàm số hữu tỷ

Tính  

  b

a

P x

I dx

Q x

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Nếu bậc tử P x   bậc mẫu Q x  mà mẫu số phântíchđượcthànhtích số PP đồng thức để đưa thành tổng phân số

Một số trường hợp đồng thức thường gặp:

+

  

1 a b

ax m bx n an bm ax m bx n

 

   

        1

+

  

   

  

A B m

A B x Ab Ba

mx n A B

Ab Ba n

x a x b x a x b x a x b

 

   



    

  

      

+

    

1 A Bx C

x m

x m ax bx c ax bx c



 



     với

2

4

b ac

   

+

  2 2  2  2

1 A B C D

x a x b

x a x b    x a    x b

Nếu bậc tử P x   bậc mẫu Q x  mà mẫukhơngphântíchđượcthànhtíchsố, ta xét số trường hợp thường gặp sau:

+

   

1 2 2 n , * tan

PP

dx

I n N x a t

x a

   





+ 2 2  

2

x

,

2

dx d

I

ax bx c b

a x

a a

   

      

  

   

   

 

 

  Ta đặt tan

2

b

x t

a a



   

+ I3 2px q dx

ax bx c

 

 

 với

4

b ac

    Ta phân tích:

 

2

3 2

2

2

I A

ax b dx

p b p dx

I q

a ax bx c a ax bx c

  

   

     

 

  giải A cách đặt t mẫu số

Câu (THPTQuỳnhLưu3NghệAn2019) Biết

  

2

1

d

ln ln ln

1

x

a b c

x x   

 Khi giá trị

a b c 

A 3 B 2 C 1 D 0

Câu (THPTAnLãoHảiPhòng2019) Biết  

0

1

3

ln , ,

2

x x

I dx a b a b

x



 

   



  Khi giá trị

của a4bbằng

A 50 B 60 C 59 D 40 Câu Biết

2

2

ln

x

dx n

x m

 

 



 , với m n, số nguyên Tính m n

A S 1 B S4 C S 5 D S 1

Câu (Chun LêQĐơn QuảngTrị 2019) Tích phân  

2

2

1

d ln

1 x

I x a b

x 

  



 a, b

Câu (ChuyênTrầnPhú Hải Phòng2019) Biết

5

3

1

d ln

1

x x b

x a

x  

  

 với a, b số nguyên

Tính S a 2b

A S 2 B S 2 C S 5 D S10

Câu (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho

2

1

10

d ln

1

x a

x x

x b b

 

  

  

 

 với a b,  Tính

? Pab

A P1 B P5 C P7 D P2

Câu (ChuyênSơn La2019) Cho

3

2

3

ln ln ln

3

x

dx a b c

x x



  

 

 , với a, b, c số nguyên

Giá trị a b c 

A 0 B 2 C 3 D 1

Câu (Sở Phú Thọ 2019) Cho

4

5

d ln ln ln

3



  

 

 x x a b c

x x , với , , a b c số hữu tỉ Giá

trị 2a3b c bằng

A.12 B C.1 D 64 Câu Biết

5

3

1

d ln

1

x x b

x a

x  

  

 với a, b số nguyên Tính S a 2b

A S 2 B S 2 C S 5 D S10

Câu 10 Biết

1

1 d

a x

x x b

   

 a b, ,a10 Khi a b có giá trị

A 14 B 15 C 13 D 12

Câu 11 (Đề Thi CôngBằng KHTN2019) Biết

2

2

5

d ln ln

4

x x

x a b c

x x

 

  

 

 , a b c, ,  Giá trị

của abc

A 8 B 10 C 12 D 16

Câu 12 (THPTNguyễnTrãi-DàNẵng-2018) Giả sử

0

1

3

ln

2

x x

dx a b

x



 

 



 Khi đó, giá trị

của a2b

A 30 B 60 C 50 D 40

Câu 13 (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh-2019) Biết

4

2

7

d ln

3

x x x a

x c

x x b

  

 

 

 với a, b, c

các số nguyên dương a

b phân số tối giản Tính

2

P a b c

A 5 B 4 C 5 D 0

Câu 14 Cho

1

2

4 15 11

d ln ln

2

x x

x a b c

x x

 

  

 

 với a, b, c số hữu tỷ Biểu thức T a c b 

bằng

1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (SGDBếnTre2019) Biết

1

0

2

d ln

1

x

x n

x m

 

 



 , với m, n số nguyên Tính Sm n

A S 1 B S 5 C S1 D S4

Câu 16 (THPT Cẩm Bình2019) Cho

1

2

1

d ln ln

3 x a b

x  x  

 , với a b, số hữu tỷ Khi

ab

A 0 B 2 C 1 D 1

Câu 17 (SởHàNam-2019) Cho

1

2

2

d ln ln

3

x x

x a b c

x x



  

 

 với a, b, c số nguyên Tổng

a b c 

A 3 B 2 C 1 D 1

Câu 18 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho biết

2

2

1

ln ln

4

x

dx a b

x x

  

 

 , với ,a b Tính

2

T a b

A 13 B 10 C 25 D 5

Câu 19 (Chuyên-KHTN-HàNội -2019) Biết

2

2

5

d ln ln

4

x x

x a b c

x x

 

  

 

 , a b c, ,  Giá trị

của abc

A 8 B 10 C 12 D 16

Câu 20 (Chuyên Lê Hồng Phong NamĐịnh 2019) Biết

4

2

7

d ln

3

x x x a

x c

x x b

  

 

 

 với ,a b,c

các số nguyên dương a

b phân số tối giản Tính giá trị

2

Pab c

A 5 B 3 C 6 D 4

Câu 21 (BìnhPhước-2019) Cho

  

3

2

d

ln ln ln

1

x

a b c

x x   

 với , ,a b c số hữu tỉ Giá

trị

ab c

A 3 B 6 C 5 D 4

Câu 22 (SGD Đà Nẵng 2019) Cho

4

2

2

d ln ln ln

3

x

x a b c

x x



  



 với a b c, ,  Giá trị

2a3b7c

A 9 B 6 C 15 D 3

Câu 23 (SGDĐiệnBiên-2019) Cho

 

2

2

.ln ln

x

dx a b c

x   

 , với , ,a b clà số hữu tỷ Giá trị

6a b c  bằng:

A 2 B 1 C 2 D 1

Câu 24 (SPĐồngNai-2019) Biết

3

2

5 12

d ln ln ln

5

x

x a b c

x x



  

 

 Tính S3a2b c

Dạng Tích phân đổi biến

 Tíchphânđổibiến:   '       

b

a

b

f x u x dx F u x F u b F u a

a

  

       

       



Cácbướctínhtíchphânđổibiếnsố

Bước1 Biến đổi để chọn phép đặt tu x dtu x dx'  (quan trọng)

Bước2 Đổi cận:  

 

t u b

x b

x a t u a

  

 



 

 

 

(nhớ: đổibiếnphảiđổicận)

Bước3 Đưa dạng  

   

u b

u a

I  f t dt đơn giản dễ tính tốn

Mộtsốphươngphápđổibiếnsốthườnggặp

Đổibiếndạng1  

      

   

1

'

b b b

a a a

I I

f x g x

I dx h x dx f g x dx

g x g x

  

 

với

Đổibiếndạng2

Nghĩa gặp tích phân chứa căn thức có khoảng 80% đặt t trừ số trường hợp ngoại lệ sau:

1/ I1 f a2x2 x dx  đặt xa.sint xa.cost

(xuất phát từ công thức

2

2

2

cos sin

sin cos

sin cos

x x

x x

x x



  

   

 

 

2/ I2  f x2a2 x dx  đặt xa.tant xa.cott

(mấu chốt xuất phát từ công thức tan2 12 cos

x

x 

  



3/ I3 f x2a2 x dx  đặt

sin

a x

t



cos

a x

t



4/ I4 f a x dx

a x

  

  

 

 

   đặt xa.cos 2t

5/

 

5 n n n

dx I

a bx a bx



 

  đặt x

t 

s s

  n

Có sẵn Tách từ hàm Nhân

chẵn

chẵn

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

(trong n bội số chung nhỏ s s1; ; ;2 sk 7/

  

7

dx I

ax b cx d



 

  đặt t ax b  cxd

Đổibiếndạng3 f lnx .1 dx t lnx dt 1.dx

x     x



Đổibiếndạng4 f sinx.cos x dx t sinxdtcos x dx

Đổibiếndạng5 f cosx.sin x dx t cosxdt sin x dx

Đổibiếndạng6. tan  12 tan 2

cos cos

dx

f x dx t x dt

x     x



Đổibiếndạng7 cot  12 cot 2

sin sin

dx

f x dx t x dt

x      x



Đổibiếndạng8    

   

sin cos sin cos sin cos

sin cos

sin cos sin cos

f x x x x dx t x x

t x x

f x x x x dx

     

  

     

  

Đổibiếndạng9  

 

2

n

n

f ax b xdx t ax b dt axdx

f ax b xdx t ax b dt adx

      



      

  

Câu (ĐềThamKhảo-2019) Cho

 

1

2

ln ln

xdx

a b c

x

  



 với a b c, , số hữu tỷ Giá trị

3a b c 

A 2 B 1 C 2 D 1

Câu Tính

3

2

d x

K x

x 





A K ln B 1ln8

2

K  C K 2 ln D ln8

3

K 

Câu (Chuyên LongAn -2018) Cho tích phân

 

1

5

d

x

I x

x 



 , giả sử đặt t 1 x2 Tìm mệnh đề

A  

5

1

d

t

I t

t 

  B  

3

5

1 d t

I t

t 



C  

4

1

d

t

I t

t 

  D  

3

4

1

d

t

I t

t 

Câu (KTNLGiaBìnhNăm2019) Có số thực a để

1

2

1

 

 x dx

a x

A 2 B 1 C 0 D 3

Câu (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x  có f  1 0

  2019.2020  12018,

f x  x x  x  Khi  

1

0

d

f x x



A

2021 B

1

1011 C

2 2021

 D

1011 

Câu (ĐềThamKhảo2019) Cho

 

1

2

ln ln

xdx

a b c

x   

 với a b c, , số hữu tỷ Giá trị

3a b c 

A 2 B 1 C 2 D 1

Câu (ChuyênVĩnhPhúc2019) Cho 2x3x2 d6 x A3x28B3x27C với A B C, ,  Tính giá trị biểu thức 12A7B

A 23

252 B

241

252 C

52

9 D

7 Câu (ChuyênHàTĩnh-2018) Biết

1

2

2 3

dx ln

2

x x

a b

x x

 

 

 

 với ,a b số nguyên dương Tính

2

Pa b

A 13 B 5 C 4 D 10

Câu (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh-2019) Cho với m, p, q phân số tối giản Giá trị m p q

A 10 B 6 C 22

3 D 8

Câu 10 Biết  

1

0

d

x a b c

xe  x e e

 với a b c, ,  Giá trị a b c 

A 4 B 7 C 5 D 6

Câu 11 (KTNLGVLýTháiTổ2019) Biết 2  

1

1

ln ln

e

x

dx ae b

x x x



 



 với a b, số nguyên dương

Tính giá trị biểu thức T a2ab b

A 3 B 1 C 0 D 8

Câu 12 (ChuyênLêHồngPhong NamĐịnh2019) Biết  

2

1

1

p

x q

x

x e dxme n

 , m n p q, , ,

là số nguyên dương p

q phân số tối giản Tính T m n pq

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 13 Số điểm cực trị hàm số  

2

2

2 d

x

x

t t f x

t 





A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 14 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm  đồng thời thỏa mãn

 0  1

f  f  Tính tích phân    

1

0

d

f x

I f x e x

A I 10 B I 5 C I0 D I5 Câu 15 (Đề MinhHọa 2020Lần1) Cho hàm số f x  có f 3 3  

1

x

f x

x x

 

   ,  x

Khi  

8

3

d

f x x



A 7 B 197

6 C

29

2 D

181

Câu 16 (Mã 1022018) Cho

21

5

ln ln ln

4 dx

a b c

x x   

 , với , ,a b c số hữu tỉ Mệnh đề

sau đúng?

A a b  2c B a b  2c C a b c D a b  c

Câu 17 (Mã101 2018) Cho

55

16

d

ln ln ln11

9 x

a b c

x x   

 , với , ,a b c số hữu tỉ Mệnh đề

dưới đúng?

A a b 3c B a b  3c C a b  c D a b c

Câu 18 (ĐềTham Khảo2017) Tính tích phân

2

1

2

I x x  dx cách đặt ux21, mệnh đề

dưới đúng?

A

0

I  udu B

2

1

1

I   udu C

3

0

2

I  udu D

2

1

I udu

Câu 19 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Giả sử tích phân

5

1

1

ln ln

1

I dx a b c

x

   

 

 Lúc

đó

A

a b c   B

3

a  b c C

3

a b c   D

3

a b c  

Câu 20 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hàm số f x  có f 2 0

  , 3;

2

2

x

f x x

x

  

    

   Biết

7

4

d

x a

f x

b  

    

 ( ,a b ,b 0,a

b

  phân số tối giản) Khi a b

A 250 B 251 C 133 D 221

Câu 21 (Nam Định - 2018) Biết tích phân

ln

0 e

d ln ln

1 e

x

x x a b c

 

 , với a, b, c số

A T 1 B T 0 C T2 D T1

Câu 22 (ChuyênVinh-2018) Tích phân

1

0 d

3

x x



A 4

3 B

3

2 C

1

3 D

2 Câu 23 (Đề Tham Khảo2018) Biết

2

1( 1)

dx

dx a b c

x xx x   

 với , ,a b c số nguyên

dương Tính P abc

A P18 B P 46 C P24 D P12

Câu 24 (ChuyênTrần Phú HảiPhòng 2019) Biết

1 ln

2 ln

e

x

dx a b

x  x  

 với ,a b số hữu tỷ

Tính S a b

A S1 B

S C

4

S D

3

S

Câu 25 (GangThépThái Nguyên2019) Cho tích phân

2

2

0

16 d

I   x x x4 sint Mệnh đề sau đúng?

A  

0

8 cos d

I t t



   B

4

0 16 sin d

I t t



 

C  

0

8 cos d

I t t



   D

4

0 16 cos d

I t t



  

Câu 26 Biết

5

1

1

dx ln ln

1 3x1 a b c

 ( , ,a b cQ) Giá trị a b c

A 7

3 B

5

3 C

8

3 D

4 Câu 27 Cho

1

1

d ln

1

x b

x d

x a c

 

   

  

 , với , , ,a b c d số nguyên dương b

c tối giản Giá trị a b c d  

A.12 B.10 C.18 D.15 Câu 28 (Lê QuýĐôn -Quảng Trị -2018) Cho biết

7

3

0

d

 

 x x m

n x

với m

n phân số tối giản Tính m7n

A 0 B 1 C 2 D 91

Câu 29 (ChuyênĐạiHọcVinh2019) Biết

1

0

ln ln ln

3

dx

a b c

x x    

 , với a b c, ,

các số hữu tỉ Giá trị a b c

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 30 Biết

1 ln

2 ln

e

x

dx a b

x  x  

 với ,a b số hữu tỷ Tính S a b

A S1 B

S C

4

S D

3

S

Câu 31 (THPT NgôSĩ LiênBắc Giang 2019) Cho

3

0

ln ln 3

4

x a

dx b c

x   

 

 với a,b,c

số nguyên Giá trị a b c  bằng:

A 9 B 2 C 1 D 7 Câu 32 (THPT Ba Đình 2019) Cho

3

0

d ln ln

4

x a

I x b c d

d x

   

 

 , với a b c d, , , số

nguyên a

d phân số tối giản Giá trị a b c d  

A 16 B 4 C 28 D 2

Câu 33 Tính

3

2

d

a

x x

I x

x  





A Ia21 a2 1 B  1 1

I  a  a   

 

C  1 1

I  a  a   

  D  

2

1 1

I a  a  

Câu 34 (THCS -THPTNguyễn Khuyến -2018) Giá trị tích phân

1

0

d

x x x 

 tích phân

dưới đây?

A

2

0

2sin ydy



 B

1 2

0

sin d cos

x x x

 C

2

0

sin dy cosy

y



 D

2

0

2sin ydy





Câu 35 (Chuyên ThăngLong -ĐàLạt -2018) Biết

2

2

3

d ln ln

1

x b

x c

a

x x

 

  

 với a b c, ,

các số nguyên phân số a

b tối giản Tính P3a2b c

A 11 B 12 C 14 D 13

Câu 36 (Bình Giang - Hải Dương - 2018) Cho tích phân

4

1

25 12

6 ln ln

5 12 x

dx a b c d

x

 

 

    



 

 với a b c d, , , số hữu tỉ Tính tổng

a b c d  

A

 B

25

 C

2

 D

20



Câu 37 (SởHưngYên-2018) Cho tích phân

1

2

d

x I

x 



 đổi biến số sin , ;

2

x t t  

 

 

A

0

d

π

I t B

6

0

d

π

I t C

4

0

d

π

I t t D

6

0

d

π

t I

t 

Câu 38 (THPTPhúLương-TháiNguyên-2018) Biết

1

2

0 15

x a b c

dx

x x

 

 

 với , , a b c số

nguyên b0 Tính

P a b c

A P3 B P7 C P 7 D. P5

Câu 39 Cho n số nguyên dương khác 0, tính tích phân  

1

0

1 n d

I  x x x theo n

A

2

I n 

 B

1

I n

 C

2

I n 

 D

1

2

I n 



Câu 40 (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Giả sử

64

3

d

ln

x

I a b

x x

  



 với a b, số nguyên

Khi giá trị a b

A 17 B 5 C 5 D 17

Câu 41 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f x  có f 2  2

  2,  6; 6

6 x

f x x

x

    



Khi  

3

0

.d

f x x



A



 B 3

4



C

4



D

4





Câu 42 (ChuyênTrầnPhú -Hải Phòng-2018) Biết

2

2

d 35

3

x

x a b c

x x

  

 

 với a, b, c

là số hữu tỷ, tính Pa2b c

A

 B 86

27 C 2 D

67 27 Câu 43 (THPTPhan Chu Trinh -ĐắcLắc - 2018) Biết

 

2

1

d

1

x

a b c

x x  x x   

 với a,

b, c số nguyên dương Tính Pa b c

A P 44 B P  42 C P  46 D P  48

Câu 44 (SởPhúThọ-2018) Biết  

4

0

2 1d

ln ln , ,

3

2 3

x x

a b c a b c

x x



   

  

  Tính T 2a b c 

A T4 B T2 C T1 D T 3

Câu 45 (Đề Tham Khảo2020Lần 2) Cho hàm số f x  có f 0 0 f x cos cos ,x xR

Khi  

0

d

f x x





A 1042

225 B

208

225 C

242

225 D

149

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 46 (Sở Bình Phước - 2020) Cho

2

cos

d ln

sin 5sin

x

x a

x x b





 

 Giá trị a b

A 0 B 1 C 4 D 3

Câu 47 (ĐềMinhHọa2017) Tính tích phân

0

cos sin d

I x x x





A

4

I   B

4

I   C I 4 D I0

Câu 48 (THPTKinhMôn-2018) Cho

2

cos

d ln ,

sin 5sin

x

x a b

x x c



 

 

 tính tổng S a b c

A S 1 B S 4 C S3 D S0

Câu 49 (BìnhDương2018) Cho tích phân

2

0

2 cos sin d

I x x x



  Nếu đặt t2 cos x kết

sau đúng?

A

3

d

I t t B

3

2

d

I t t C

2

3

2 d

I  t t D

2

0

d

I t t





Câu 50 (Đồng Tháp-2018) Tính tích phân

2

4

sin d cos

x

I x

x



 cách đặt utanx, mệnh đề đúng?

A

2

0

d

I u u



 B

2

2

1 d

I u

u

 C

1

0 d

I u u D

1

0 d

Iu u

Câu 51 (THTPLêQĐơn-HàNội-2018) Tính tích phân

π

3

sin d cos

x

I x

x 

A

I B

2

I C π

3 20

I  D

4

I

Câu 52 (THPTLýTháiTổ-BắcNinh-2018) Cho tích phân

2

3

sin

d ln ln

cos

x

x a b

x





 



 với a b, 

Mệnh đề đúng?

A 2a b 0 B a2b0 C 2a b 0 D a2b0

Câu 53 (THPTĐơngSơnThanhHóa2019) Có số a0;20sao cho

2 sin sin d

7

a

x x x



Câu 54 (HSG Bắc Ninh 2019) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin cos sin

x x

f x

x  

 F(0)2 Tính

2

F 

 

A 2

2

F  

 

B 2

2

F  

 

C

2

F  

 

D

2

F  

 

Câu 55 Biết

6

0

d

1 sin

x a b

x c



  

 , với a b, ,c , ,a b c số nguyên tố Giá trị tổng a b c 

A 5 B 12 C 7 D 1

Câu 56 Cho tích phân số

2

3 s in

d ln ln

cos

x

x a b

x





 



 với ,a b Mệnh đề đúng?

A 2a b 0 B a2b0 C 2a b 0 D a2b0

Câu 57 (THPTNghen-HàTĩnh-2018) Cho

 

2

2

sin

d ln

cos cos

x

x a b

c

x x



 

 

 , với a, b số

hữu tỉ, c0 Tính tổng S a b c 

A S 3. B S0. C S 1. D S 4.

Câu 58 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x( ) có f(0)1

3

( ) tan tan ,

f x  x x  x  Biết

4

0

( ) a ; ,

f x dx a b

b



 

 

 , b a

A 4 B 12 C 0 D 4

Câu 59 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số y f x  có f 0 0

  8

sin cos 4sin ,

f x  x x x  x  Tính  

0

16 d

I f x x





A I102 B I160 C I 16



 D I 10



 

Câu 60 (ĐềThamKhảo2017) Cho

1

0

d

ln

1

x

x e

a b e

   

 , với ,a b số hữu tỉ Tính 3

S a b

A S 2 B S0 C S1 D S2

Câu 61 (CầnThơ-2018) Cho tích phân

e

1

3ln

d x

I x

x 

 Nếu đặt tlnx

A

0

3

d et

t

I  t B

e

1

3

d t

I t

t 

 C  

e

1

3 d

I  t t D  

1

0

3 d

I  t t

Câu 62 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho

 2

1

ln

ln ln

ln

e

x c

I dx a b

x x

   



 , với

, ,

a b c Khẳng định sau đâu

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 63 (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết  

4

0

ln d ln ln

I x x  xa b c a b c, , số thực Giá trị biểu thức T a b c là:

A T 11 B T 9 C T 10 D T 8

Câu 64 Cho  

e

2

ln d

ln

x

I x

x x



 

có kết dạng Ilna b với a0, b Khẳng định sau đúng?

A 2ab 1 B 2ab1 C ln

2

b a

    D ln

2

b a

  

Câu 65 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho

 

e

2

2 ln

d ln

ln

x a c

x

b d

x x



 



 với a, b, c số

nguyên dương, biết a c;

b d phân số tối giản Tính giá trị

ab c d?

A 18 B 15 C 16 D 17

Câu 66 (KimLiên-HàNội–2018) Biết

1 3

0

2 e 1 e

d ln

e.2 e ln e

x x

x

x x

x p

m n



 

   

    

   

 với m, n, p

là số nguyên dương Tính tổng Sm n  p

A S6 B S 5 C S7 D S8

Câu 67 (THPT-YênĐịnhThanhHóa2019) Cho    

3

3

1

e 3 1 ln 3 1

d ln

1 ln e e

x x x

x a b c

x x

  

   



 với

, ,

a b c số nguyên ln e 1 Tính 2

Pa b c

A P9 B P14 C P10 D P3

Câu 68 Biết ln  

0

d

ln ln ln

4

ex 3e x

x

I a b c

c





   



 với a, b, c số nguyên dương

Tính P2a b c 

A P 3 B P 1 C P4 D P3

Câu 69 (ChuyênHạLong -2018) Biết  

2

2

1

d ln ln

ln x

x a b

x x x



 



 với a, b số nguyên dương

Tính 2

Pa b ab

A 10 B 8 C 12 D 6

Câu 70 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho    

2

0

e

d e ln e

e



  

 

x

x

x x

x a b c

x với

a, b, c Tính

Pa bc

A P1 B P 1 C P0 D P 2

Câu 71 (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y f x  biết  0



f f x xex2 với x

Khi  

1

0

xf x dx

A

 e

B

4

 e

C

2

 e

D

2

 e

Câu 72 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Biết

 2

2 ln

d ln

ln

e

x b

x a

c

x x

  

 

với , ,a b c số nguyên dương b

c phân số tối giản Tính S  a b c

A S3 B S7 C S10 D S5 Dạng Tích phân phần

Nếu u v, có đạo hàm liên tục a b;  b ba b

a a

I  u dvu v  v du

Chọn

u du dx

dv dx v

   

 

  

 

Nhận dạng: tíchhaihàmkhácloạinhânnhau (ví dụ: mũ nhân lượng giác,…) Thứ tự ưu tiên chọnu là: "log–đa–lượng–mũ" dvlàphầncònlại

Nghĩa có ln hay logax chọn uln hay log ln ln a

u x x

a

  dv lại Nếu

khơng có ln; log chọn u đa thức dv lại,…

CHÚÝ:.∫ (hàm mũ) (lượng giác) dx  tích phân phần luân hồi

Nghĩa sau đặt u, dv để tính tích phân phần tiếp tục tính ∫ udv xuất lại tích phân ban đầu Giả sử tích phân tính ban đầu I lập lại, ta khơng giải tiếp mà xem phương trình bậc ẩn I ả I

Câu (ĐềThamKhảo2020Lần2) Xét

2

0

e dx

x x

 , đặt ux2

2

0

e dx

x x



A

0

2 e d u u B

4

0

2 e d u u C

2

0

e d

u

u

 D

4

0

e d

u

u



Câu (ĐềMinhHọa2017) Tính tích phân

1

ln

e

Ix xdx:

A

1 e

I  B

2

I C

2

2 e

I   D

2

1 e

I  

Câu (Mã 103 2018) Cho  

e

2

1

1xlnx dxae bec

  với a, b, c số hữu tỷ Mệnh đề đúng?

A abc B ab c C a b c D a b  c

Câu (Mã 104 2018) Cho  

1

2 ln d

e

x x x ae be c

   

 với , ,a b clà số hữu tỉ Mệnh đề sau

đây đúng?

A abc B abc C ab c D ab c

Câu (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Biết  

1

2

0

ln d ln b

x x x a

c

  

 (với , ,a b c* b

c

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A 193 B 191 C 190 D 189

Câu (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho a số thực dương Tính 2016  

0

sin cos 2018

a

I x x dx

bằng:

A

2017

cos sin 2017

2016

a a

I B

2017

sin cos 2017

2017

a a

I

C

2017

sin cos 2017

2016

a a

I D

2017

cos cos 2017

2017

a a

I

Câu (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm sốf x  có f 0  1và

  6 12 x,

f x x  x e   x  Khi  

1

0 d

f x x



A 3e B 3e1 C 43e1 D 3e1

Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Biết  

4

0

ln d ln ln

Ix x  xa b c a, b, c số thực Tính giá trị biểu thức T a b c 

A T 9 B T 11 C T 8 D T 10

Câu (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Xét hàm số

1

0

( ) x ( )

f x e xf x dx Giá trị

của f(ln(5620))

A 5622 B 5620 C 5618 D 5621

Câu 10 Tích phân  

1

2

0

2 e dx

x x



A

2

5 3e

 

B

2

5 3e



C

2

5 3e



D

2

5 3e



Câu 11 (THPTCẩmGiàng22019) Biết tích phân  

1

0

2 +1 e d =x x x a b+ e

 , tích a.b

A 15 B 1 C 1 D 20

Câu 12 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho tích phân

2

ln

ln

x b

I dx a

x c

   với a số

thực, b c số dương, đồng thời b

c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức

2

P a b c

A P6 B P5 C P 6 D P4

Câu 13 (THPTLêXoayVĩnhPhúc2019) Cho tích phân  

4

0

1 sin d

I x x x



  Tìm đẳng thức đúng?

A  

4

0

1 cos2 cos2 d

I x x x x



    B  

4

0

1

1 cos2 cos2 d

2

I x x x x

 

C  

4

0

1

1 cos2 cos2 d

2

I x x x x

 

     D  

4

0

1 cos2 cos2 d

I x x x x

 

   

Câu 14 (Chuyên KHTN 2019) Biết tồn số nguyên a b c, , cho

 

3

2

4x2 ln dx xa b ln 2cln

 Giá trị a b c

A 19 B 19 C 5 D 5

Câu 15 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho  

2

2

ln

ln ln x

dx a b

x 

 

 , với a b, số hữu tỉ Tính

4

P a b

A P0 B P1 C P3 D P3 Câu 16 Tính tích phân

 

1000

2

ln x

I dx

x 



 , ta

A

1000

1000 1000

ln 2

1001ln

1 2

I  

  . B

1000

1000 1000

1000 ln 2

ln

1 2

I   

  .

C

1000

1000 1000

ln 2

1001ln

1 2

I 

  . D

1000

1000 1000

1000 ln 2

ln

1 2

I  

 

Câu 17 Biết  

2

0

2 lnx x1 dxa.lnb

 , với a b, *, b số nguyên tố Tính 6a7b

A 6a7b33 B 6a7b25 C 6a7b42 D 6a7b39

Câu 18 (Chuyên Hưng Yên 2019) Biết  

1

ln ,

a

xdx  a a

 Khẳng định

khẳng định đúng?

A a18; 21 B a1; 4 C a11;14 D a6;9

Câu 19 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân

1

0

(x2)e dx x a be

 , với a b;  Tổng ab

bằng

A 1 B 3 C 5 D 1

Câu 20 (KTNLGVThuậnThành2BắcNinh-2019) Tính tích phân

2

1 x

Ixe dx

A I e2 B I  e2 C I e D I 3e22e

Câu 21 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Biết

3

2

ln d ln ln

x x xm n p



, ,

m n p Tính mn2p

A 5

4 B

9

2 C 0 D

5



Câu 22 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Biết  

2

0

2 ln 1x x dxa.lnb

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A 42 B 21 C 12 D 32

Câu 23 (ChuyênQuốcHọcHuế2019) Cho tích phân

2

2

ln

d ln

x b

I x a

x c

   với a số thực, b c

là số nguyên dương, đồng thời b

c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức

2

P a bc

A P6 B P 6 C P5 D P4

Câu 24 Biết

3

3

d ln

cos x

I x b

x a





   Khi đó, giá trị

a b

A 11 B 7 C 13 D 9

Câu 25 Cho      

ln x x dxF x ,F 2 ln 24

 Khi    

3

2

2 ln

F x x x

I dx

x

  

 

  

 



A 3ln 3 B 3ln 2 C 3ln 1 D 3ln 4

Câu 26 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Biết

3

3

d ln

cos x

I x b

x a





   , với a b, số

nguyên dương Tính giá trị biểu thức T a2b

A T 9 B T13 C T 7 D T 11

Câu 27 (ThptLêQuýĐônĐàNẵng2019) Cho  

2

2

ln

d ln ln ln

2

x a

x b c

x 

  

 , với a, b, c

các số nguyên Giá trị a2b c  là:

A 0 B 9 C 3 D 5

Câu 28 Cho  

2

2

ln

d ln ln

x

x a b

x 

 

 , với a, b số hữu tỉ Tính Pab

A

P B P0 C

2

P D P 3

Câu 29 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân

1

0

(x2)e dx x a be

 , với a b;  Tổng ab

bằng

A 1 B 3 C 5 D 1

Câu 30 (SởPhúThọ2019) Cho  

π

2

ln sin cos

d ln ln π

cos 

  

 x x x a b c

x với a, b, c số hữu tỉ

Giá trị abc

A 15

8 B

5

8 C

5

4 D

Câu 31 (Chuyên Thái Bình 2019) Biết

12

1 12

1

c x

x a d

x e dx e

x b



 

  

 

 

 , , ,a b c dlà số nguyên

dương phân số a c,

b d tối giản Tính bcad

A.12 B.1 C.24 D.64

Câu 32 (THPT Yên Khánh A 2018) Cho  

 

2

2

ln

d ln

2

x x a c

x

b d

x

 

 



 (với a c, ; ,b d *;a c

b d

 

các phân số tối giản) Tính Pa b c  d

A. B. 7 C. D. 3

Câu 33 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x  có  1

f   

 2

1 x

f x

x

 



với

1

x  Biết  

2

1

d lnb

f x x a d

c

 

 với a b c d, , , số nguyên dương, b3 b

c tối giản Khi a  b c d

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM

Dạng Tích phân Hàm ẩn Dạng 1.1 Giải phương pháp đổi biến

Thơng thường tốn xuất   d

b a

f u x  x

 ta đặt u x t

Câu (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f x  liên tục và thỏa mãn  

1

5

d

f x x





 Tích phân  

0

1 d

f  x  x

 

 



A 15 B 27 C 75 D 21

Câu (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;10 thỏa mãn

   

10 10

0

d 7, d

f x x f x x

  Tính  

1

0

2 d

P f x x

A P6 B P 6 C P3 D P12

Câu (ChuyênBắcNinh-2020) Cho  

1

d 26

I f x x Khi  

2

0

1 d

J x f x    x

A 15 B 13 C 54 D 52

Câu (ChuyênLào Cai-2020) Cho hàm số y f x( ) liên tục  thỏa mãn  

1

4

f x

dx

x 



 

0

sin cos 2.

f x xdx





 Tích phân

0

( )

I  f x dx

A I 8 B I 6 C I 4 D I 10

Câu (THPTCẩmGiàng2019) Cho biết  

1

d 15

f x x





 Tính giá trị  

0

5 d

Pf  x   x

A P15 B P37 C P27 D P19

Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho  

0

20 d

f x x

 Tính tích phân

   

2

0

2 d

If x  f  x  x

A I0 B I2018. C I 4036 D I1009

Câu Cho y f x  hàm số chẵn, liên tục 6;6 Biết  

1

d

f x x





 ;  

1

2 d

f  x x



Giá trị  

1 d

I f x x



 

A I5 B I 2 C I 14 D I 11

TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Câu (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số f x  liên tục   

2

0

d 2018

f x x





 , tính  2

d

I xf x x





A I1008 B I2019 C I2017 D I1009

Câu (ChuyenPhanBộiChâuNghệAn2019) Cho  

1

d

f x x

 Khi  

1

d

f x

x x



A 1 B 4 C 2 D 8

Câu 10 (SởHàNội2019)Cho  f x  x xd 

2

1

1 Khi I f x dx

5

2

A 2 B 1 C 4 D 1

Câu 11 Cho f g, hai hàm số liên tục  1;3 thỏa mãn điều kiện    

1

3 dx=10

f x  g x

 

 

 đồng thời

   

3

1

2f x g x dx=6

 

 

 Tính  

3

1

4 dx

f x

 +2  

2

1

2 dx

g x



A 9 B 6 C 7 D 8

Câu 12 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa  

0

d

f x x

  

0

3 d

f x x

 Tính  

0 d

I f x x

A I 16 B I 18 C I 8 D I20

Câu 13 (THPTQuỳnhLưu3NghệAn2019) Cho f x  liên tục  thỏa mãn f x  f10xvà  

7

3

d

f x x

 Tính  

3

d

Ixf x x

A 80 B 60 C 40 D 20

Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho  

0

d

f x x

 Tính

 

6

0

sin cos d

I f x x x





A I 5 B I 9 C I3 D I2

Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Cho tích phân  

0

d 32

 

I f x x Tính tích

phân  

0

2 d



J f x x

A J 32 B J 64 C J 8 D J 16

Câu 16 (ViệtĐứcHàNội 2019) Biết f x  hàm liên tục   

0

d

f x x

 Khi giá trị

 

4

1

3 d

f x x 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 17 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn

0

(2 )

f x dx

 Tích phân

0 ( )

f x dx



A 8 B 1 C 2 D 4

Câu 18 Cho hàm f x  thỏa mãn   2017

0

d

f x x

 Tính tích phân  

0

2017 d

I f x x

A

2017

I B I0 C I 2017 D I 1

Câu 19 Cho tích phân  

1 d

f x xa

 Hãy tính tích phân  

2

0

1 d

I xf x  x theo a

A I4a B

4

a

I  C

2

a

I  D I 2a

Câu 20 (Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn

 

4

2

0

tan x f cos x dx





  

2

ln

d

ln

e e

f x x x x 

 Tính  

1

2 d

f x

x x



A 0 B 1 C 4 D 8

Câu 21 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số  

2 ; ;

x x x

y f x

x x

  

  

 



Tính

   

1

0

2 sin cos d 3 d

I f x x x f x x



    

A 71

6

I B I31 C I 32 D 32

3

I 

Câu 22 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình- 2019) Cho  

1

d

I  f x x Giá trị

 

2

0

sin 3cos d 3cos

xf x

x x



 



A 2 B

3

 C 4

3 D 2

Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết  

1

5

f x dx

  

4

20

f x dx

 Tính

   

2 ln

2

1

4 x x

f x dx f e e dx

 

A 15

4

I B I15 C

2

Câu 24 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f x( )là hàm số liên tục thỏa mãn

2

( ) (2 ) x ,

f x  f x x e  x  Tính tích phân

0 ( )

I  f x dx

A

4

e

I   B

2

e

I   C I e42 D Ie41

Câu 25 (Chuyên VĩnhPhúcNăm2019) Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn f 2x 3f x , x

  Biết  

0

d

f x x

 Tính tích phân  

1

d

I  f x x

A I5 B I 6 C I3 D I 2

Câu 26 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn  

2

0

tan x f cos x dx





  

2 2

ln

2 ln

e e

f x

dx

x x 



Tính  

1

2

f x

dx x



A 0 B 1 C 4 D 8

Câu 27 (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) liên tục  thỏa mãn

3

2

0

( ) tan (cosx f x dx) f x dx

x 

 

  Tính tích phân

2

1

( )

f x dx x



A 4 B 6 C 7 D 10

Câu 28 (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Cho hàm số f x  liên tục  thỏa  

2018

0

d

f x x

 Khi tích phân   

2018

e

2

0

ln d

x

f x x

x



 



A 4 B 1 C 2 D 3

Câu 29 (Chuyên Vĩnh Phúc-2018) Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn  

0

tan d

f x x







 

2

d 1

x f x x

x  

 Tính  

0

d

I f x x

A I 2 B I 6 C I3 D I4

Câu 30 (SGD Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn

   

16

2

1

cot sin d d

f x

x f x x x

x 



 

  Tính tích phân  

1

4 d

f x

x x



A I3 B

2

I C I2 D

2

I

Câu 31 (SGD - Nam Định - 2018) Cho hàm số f x  liên tục đoạn 1; 4 thỏa mãn   f2 x 1 lnx

f x



  Tính tích phân  

d

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A I 3 ln 22 B I2 ln 22 C I ln 22 D I 2 ln

Câu 32 (Nam Định - 2018) Cho hàm số y f x( ) liên tục 1; thỏa mãn  (2 1) ln

( ) f x  x

f x

x

x Tính tích phân

4

3 ( )



I f x dx

A I  3 ln 22 B 2 ln



I C I ln 22 D I 2 ln

Câu 33 (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f x liên tục hàm số lẻ đoạn2; 2 Biết    

0

1

2

1, 2

f x dx f x dx



   

  Mệnh đề sau đúng?

A    

2

2

2

f x dx f x dx





  B  

1

1

4

f x dx 



C  

1

0

1

f x dx 

 D  

2

0

3

f x dx 



Câu 34 (Chuyên Sơn La -2020) Cho f x  hàm số liên tục  thỏa f 1 1  

0

1 d

3

f t t

 Tính

 

2

0

sin sin d

I x f x x



 

A

3

I B

3

I C

3

I   D

3

I

Câu 35 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số f x  liên tục 

 

 

9

1

d 4, sin cos d

f x

x f x x x

x



 

  Tính tích phân  

0

d

I f x x

A I6 B I 4 C I 10 D I 2

Câu 36 (Sở Hưng Yên - 2020) Cho f x liên tục  thỏa mãn f x  f2020x  

2017

3

x

f x d 

 Khi   2017

3

x

xf x d



A 16160 B 4040 C 2020 D 8080

Câu 37 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f x  có đạo hàm xác định  Biết f 1 2

   

1 2

0

1

d d

2

x

x f x x f x x

x



   

  Giá trị   f x dx 

A 1 B 5

7 C

3

7 D

1

Câu 38 (Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số y f x( )liên tục  thỏa mãn

2 3

4 ( ) (2 ) 4

5

xf x  f x  x  Giá trị

0

( )d

f x x



A 52

25 B 52 C

48

Câu 39 (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho f x liên tục và thỏa mãn

   

1

0

2 16, d

f   f x x Tích phân  

0

d

xf x x



A 30 B 28 C 36 D 16

Câu 40 (Kim Liên - HàNội - 2020) Cho hàm số f x  liên tục đoạn  0;1  

0

sin d

f x x







Tính  

sin d

I xf x x





A

2

I  B I 10 C I5 D I 5

Câu 41 (THPT Hoàng Hoa Thám -Hưng Yên 2019) Cho hàm số f x  liên tục , thỏa mãn

 

4

0 tan x f cos x dx





  

2

e

e

ln

d

ln

f x x x x 

 Tính 12  

2 d

f x x x



A 0 B 1 C 4 D 8

Câu 42 (Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số y  f x( ) liên tục 1;3

 

 

  thỏa

mãn f x( ) x f x3 x x

 

   

  Giá trị tích phân

3

2

( )

f x

I dx

x x

 

 bằng:

A 8

9 B

16

9 C

2

3 D

3 Dạng 1.2 Giải phương pháp phần

Thông thường toán xuất    ' d

b a

g x f x x

 ta đặt     d ' d

u g x

v f x x

   

  

Câu 43 (Đề thamkhảo2017) Cho hàm số f x  thỏa mãn    

0

1 d 10

x f x x

 2f 1  f 0 2 Tính  

1

0 d

f x x



A I 12 B I 8 C I1 D I 8

Câu 44 (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  Biết f  3 1

và  

0

3 d 1

xf x x ,  

2

0

d



x f x x

A 25

3 B 3 C 7 D 9

Câu 45 (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  Biết f  4 1  

1

0xf 4x dx1,

   x f x dx

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A 8 B 14 C 31

2 D 16

Câu 46 (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  Biết f  6 1  

1

0

6 d

xf x x

 ,  

2

0

d

x f x x



A 107

3 B 34 C 24 D 36

Câu 47 (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x( )có đạo hàm liên tục  Biết f(5)1

0

(5 )

xf x dx

 ,

2

0

( )

x f x dx



A 15 B 23 C 123

5 D 25

Câu 48 (Chuyên ĐH Vinh - NghệAn -2020) Cho f x  hàm số có đạo hàm liên tục  0;1  1

18

f   ,  

1

0

1 d

36

x f x x

 Giá trị  

0 d

f x x



A

12

 B

36 C

1

12 D

1 36



Câu 49 (Sở PhúThọ -2020) Cho hàm số f x  có f  1 e2

 

2 2x x

f x e

x



  với x khác

Khi   ln

1

d

xf x x 

A 6e2 B

2

6

e



C 9e2 D

2

9

e



Câu 50 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục  thỏa mãn

0

(2) 16, ( )

f   f x dx Tính

0

(2 )

I xf x dx

A I20 B I 7 C I 12 D I 13

Câu 51 (THCS-THPT Nguyễn Khuyến2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn  

0

1 21

x f x dx 

 , f 1 0  

1 '

7

f x dx

 

 

 Giá trị   f x dx



A

12 B

1

 C 4

5 D

7 10



Câu 52 (ChunLêQĐơnQuảngTrị-2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn

   

1

0

d 1, cot1

f x x f 

 Tính tích phân    

2

0

tan tan d

If x x f x x x

Câu 53 (THPT NgôSĩ LiênBắc Giang2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0 1; 

thỏa mãn f 1 0,  

2

0

1

x f x dx

 Tính  

3

0

'

x f x dx



A 1 B 1 C 3 D 3

Câu 54 Biết m số thực thỏa mãn  

2

0

cos dx=2

x x m



 

  

 Mệnh đề đúng?

A m0 B 0m3 C 3m6 D m6

Câu 55 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn

   

1

2

0

1 0, ( ) d

f   f x x

1

0

1 ( )d

3

x f x x

 Tính tích phân

0 ( )d

f x x 

A 4 B 7

5 C 1 D

7

Câu 56 (THPTĐoànThượng-HảiDương-2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f  0  f 1 0 Biết      

1

2

0

1

d , cos d

2

f x x f x x x

  Tính  

1

0 d

f x x



A  B 3

2



C 2

 D

1



Câu 57 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn   1

f  ,  

1

2

0

d

f x x

 

 

  

2

0

1 d

3

x f x x

 Tích phân  

0 d

f x x



A 7

5 B 1 C

7

4 D 4

Câu 58 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn   1 4

f ,  

1

2

0

d 36

 

 

 

 f x x  

0

1 d

5



x f x x Tích phân  

0 d

f x x



A 5

6 B

3

2 C 4 D

2

Câu 59 (Chuyên Vĩnh PhúcNăm 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0; 2 thỏa mãn f  2 3,  

2

2

0

d

 

 

 

 f x x  

2

0

1 d

3



x f x x Tích phân  

0

d

 f x x

A

115 B

297

115 C

562

115 D

266 115

Câu 60 ( Chuyên Vĩnh Phúc2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn  1 4

f ,  

1

2

0

d

 

 

 

 f x x  

0

1

d

2

x f x x 

 Tích phân  

0

d

f x x 

A 15

19 B

17

4 C

17

18 D

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 61 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0; thỏa mãn   2

f  ,  

2

2

0

d

f x x

 

 

  

0

17

d

2

x f x x

 Tích phân  

0

d

f x x 

A 8 B 6 C 7 D 5

Câu 62 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;3 thỏa mãn   3

f  ,  

3 d      

 f x x   154 d 

x f x x Tích phân  

3

0 d

f x x



A 53

5 B 117 20 C 153 D 13

Câu 63 (Chuyên VĩnhPhúcNăm 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 2,  

1

2

0

d

f x x

 

 

  

3

0

d 10

x f x x

 Tích phân  

0

d

f x x 

A

285

 B 194

95 C

116

57 D

584 285

Câu 64 (BắcGiang-2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn  f  1 0

     

1

2

0

1

d e d

4

x e

f x x x f x x 

 

 

  Tính tích phân  

1

0

d

I f x x

A I2 e B I e C e

2

I  D e

2

I  

Câu 65 (NamĐịnh-2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;



 

 

 

f 

 

Biết  

2

0

d

f x x

    ,  

sin d

f x x x





  

 Tính tích phân  

0

2 d

I f x x





A I1 B

2

I C I 2 D

4

I 

Câu 66 (Chuyên Vinh - 2018). Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1   0  1

f  f  Biết      

1

2

0

1

d , cos d

2

f x x f x x x

  Tính  

1

0 d

f x x



A  B 1

 C

2

 D

3



Câu 67 (THPTTrầnPhú-ĐàNẵng-2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0;



 

 

 

thỏa mãn

f    ,   d cos f x x x  

  

4

0

sin tan x x f x dx



  

 

 Tích phân  

0

sin x f x dx 



 bằng:

A 4 B 2

2



C 1

2



Câu 68 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x liên tục đoạn 0;1 thỏa  f 1 0,    2 dx

f x 



và  

1

0

1

cos d

2 x f x x



 

  

 

 Tính  

1

0 d

f x x



A

2



B  C 1

 D

2



Câu 69 (ChuyênTrầnPhú-HảiPhòng-2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1 1,  

1

2

0

d

f x x

 

 

   d

x f x x

 Tích phân  

0

d

f x x  bằng:

A 2

3 B

5

2 C

7

4 D

6

Câu 70 (THPT PhanChu Trinh -ĐắcLắc -2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn      

1

2

0

e

d e d

4

x

f x x x f x x 

 

 

  f 1 0 Tính  

0 d

f x x



A e

2



B

2 e

4 C e2 D e

Câu 71 (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; 2 thỏa mãn

    2 1 d

x f x x 

 , f  2 0  

2

1

d

f x x

  

 

 Tính tích phân  

1 d

I f x x

A

5

I B

5

I  C

20

I  D

20

I

Câu 72 (THPT Quảng Yên -Quảng Ninh -2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn:    

1

2

0

1 0, d

f  f x  x   d

x f x x

 Tính tích phân  

0 d

I f x x

A I1 B

5

I C I4 D

4

I

Câu 73 (Yên Phong 1 - 2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn

    3, 11

f  f x  dx  

4

0

7 11

x f x dx

 Giá trị  

0

f x dx 

A 35

11 B

65

21 C

23

7 D

9

Câu 74 (THPT BìnhGiang-HảiDương-2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 1;  thỏa mãn f 2 0,   

2 ln 12

f x dx 

  

  2 ln 12 f x dx

x   

 Tính tích phân  

2

1

f x dx



A 3 ln2

4 B

3 ln

2 C

3

2 ln

4 D

3

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 75 (Sở Bạc Liêu - 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1 0,  

1

2

0

4 '( ) ln

3

f x dx 

  

 

1

2

4

2 ln 3 f x dx x   

 Tính tích phân  

0

f x dx



A 1 3ln

3



B 4 ln

3



C ln

16



D ln 16



Câu 76 (Sở Hưng Yên -2018) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn  f 0 1;

    d 30

f x x

    

1

0

1 d

30

x f x x 

 Tích phân  

1

0 d

f x x



A 11

30 B

11

12 C

11

4 D

1 30

Câu 77 (Sở Nam Định - 2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;



 

 

 

0

f 

  Biết  

4

0

d

f x x

    ,  

sin d

f x x x





  

 Tính tích phân  

0

2 d

I f x x





A I 1 B

2

I C I 2 D

4

I 

Câu 78 Cho hàm số f x  liên tục, có đạo hàm , f 2 16  

0

4

f x dx

 Tích phân

0

x xf  dx

 



A 112 B 12 C 56 D 144

Câu 79 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số f x  liên tục 

   

2

0

2 16, d

f   f x x Tính  

0

d

Ix f x x

A 7 B 12 C 20 D 13

Câu 80 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn  

1

0

d 10

f x x

 , f 1 cot1 Tính tích phân    

2

0

tan tan d

If x x f x x x

A 1 ln cos1 B 1 C 9 D 1 cot1

Câu 81 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 0;3 thỏa mãn  3 0

f  ,  

3 7 ' 6

f x dx

   

   7 3 1 f x dx

x  

 Tích phân  

0

f x dx

 bằng:

A 7

3

 B 97

30



C 7

6 D

7 6



Câu 82 (Chuyên-Vĩnh Phúc-lần3 -2019) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục (0;1) thỏa mãn f(0) =

1

0

9 ( ) d x

2

f x 

 ;

1

0

3 '( ).cos dx

2

x

f x   

 Tính

1

0

( ) dx

f x

A 2

 B

1

 C

6

 D

4



Câu 83 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Cho hàm số f x  nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn 0 1;  cho f 1 1 f x f  1xex2x,  x 0 1;  Tính

     

0

2x 3x f x

I dx

f x

 



A

60

I  B

10

I C

10

I  D

10

I

Câu 84 (Sở Nam Định-2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 1; thỏa mãn: 

   

2

2

1

5 ( ) ln

12 ,

3

f   f x dx 

2

2

( )

ln ( 1) 12

f x dx

x   

 Tính tích phân  

1

f x dx



A 3 ln3

4 B

2 ln

3 C

3

2 ln

4 D

3

2 ln 4

Câu 85 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa mãn  

0

4 (1) 3, '( )

11

f   f x dx

4

0

7 ( )

11

x f x dx

 Giá trị

0

( )

f x dx

 là:

A 35

11 B

65

21 C

23

7 D

9

Câu 86 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; thỏa mãn  2 2  

1

2 d

21

x f x x 

 ,

 1

f  ,  

2

1

1 d

7

f x x

 

 

 Tính   xf x dx 

A 19

60



B

120 C



D 13

30

Câu 87 (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Giả sử hàm số f x  có đạo hàm cấp  thỏa mãn  1  1

f  f  f1xx f2  x 2x với x Tính tích phân  

0

d

Ixf x x

A I 1 B I 2 C

3

I  D

3

I Dạng 1.3 Biến đổi

Dạng 1. Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )u x f x'( ) ( )h x( )

Phương pháp:

Dễ dàng thấy ( )u x f x( )u x f x( ) ( )[ ( ) ( )]u x f x 

Do dó ( )u x f x( )u x f x( ) ( )h x( )[ ( ) ( )]u x f x  h x( ) Suy u x f x( ) ( )h x x( )d

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang 2. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) f x( )h x( )

Phương pháp:

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy exf x( )exh x x( )d

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang 3. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) f x( )h x( )

Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc ex f x( )exf x( )exh x( )ex f x( ) exh x( ) Suy ex f x( ) exh x x( )d



Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dạng 4. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) p x( )f x( )h x( ) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)

Phương pháp:

Nhân hai vế với ep x dx( ) ta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) p x dx ( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( ) p x dx ( ) p x dx

f x e p x e f x h x e f x e h x e



                

 

 

Suy f x e( ) p x dx( ) ep x dx( ) h x x( )d Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dang 5. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) p x( ) f x( )0

Phương pháp:

Chia hai vế với f x( ) ta đựơc ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy ( )d ( )d ln | ( ) | ( )d ( )

f x

x p x x f x p x x

f x



    

  

Từ ta dễ dàng tính f x( )

Dạng 6. Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x( ) p x( ) [ ( )] f x n0

Phương pháp:

Chia hai vế với [ ( )]n

f x ta ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]n [ ( )]n

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy

1

( ) [ ( )]

d ( )d ( )d

[ ( )]

n n

f x f x

x p x x p x x

f x n

  

    

 

  

Câu 88 (Mã1022018) Cho hàm số ( )f x thỏa mãn (2)

f   f x( )x f x ( )2 với x Giá trị (1)f

A

3

 B

9

 C

6

 D 11

6



Câu 89 (Mã1042018) Cho hàm số f x  thỏa mãn  2

f   f x x3 f x 

 

  với x

Giá trị f  1

A

35

 B 71

20

 C 79

20

 D

5



Câu 90 (Minh họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x  liên tục  thảo mãn

 3  2 10

1 ,

xf x  f x  x x  x x  Khi  

1 d

f x x



A 17

20



B 13

4



C 17

4 D 1

Câu 91 Cho hàm số f x  liên tục  0;1 thỏa mãn 1   3

3

f x x f x

x

  

 Khi  

1

0

d

f x x 

bằng

A 4 B 1 C 2 D 6

Câu 92 Cho hàm số f x  xác định liên tục \ 0 thỏa mãn x f2 2  x  2x1  f x xf' x 1, với x\ 0 đồng thời thỏa f 1  2 Tính  

2

1 d

f x x



A ln 2

  B ln

2

  C ln

2

  D ln

2

 

Câu 93 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn

    3

1 6,

4

f x  x  f x  x x  x  x  x  x

   Tích phân  

2

1 d

f x x



A 1

7 B

1

3 C 7 D

19



Câu 94 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1 1  

 2      

4 40 44 32 4, 0;1

f x  x  f x  x  x  x   x Tích phân  

0

f x dx  bằng?

A 23

15 B

13

15 C

17 15

 D

15



Câu 95 Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn Tích phân

A B C D

Câu 96 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 2;4 f x 0, x 2; 4 Biết

       

3

4 , 2; ,

4

x f x f x  x  x f  Giá trị f 4

A 40

2



B 20

4



C 20

2



D 40

4



Câu 97 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 0; 2 thỏa f 1 0,  

 2  

4 32 28

f x  f x  x  x với x thuộc 0; 2 Giá trị  

0

d

f x x 

A

3

 B 4

3 C

2

 D 14

3



Câu 98 Cho hàm số f x  liên tục  0;1    

2

1

1

x x f x f x

x

 

  

 ,  x  0;1 Tính

 

d

f x x

( )

f x  f(0) 3

2

( ) (2 ) 2,

f x  f x  x  x  x 

2

0

( )d

xf x x



3



3

5

10

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A 3 ln

4 B 3 ln 2 C

ln

4 D

2 ln 2

Câu 99 Cho hàm số y  f x( ) liên tục thỏa mãn 3f x  f 2x2x1 e x22x14 Tính tích phân  

2

0

d

I f x x ta kết quả:

A I e B I8 C I2 D I  e

Câu 100 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn  5  4 11

1 3,

xf x  f x x x x  x    x x  Khi  

0

1 d

f x x



A 35

6 B

15

 C

24

 D 5

6

Câu 101 Cho hàm số f x liên tục 2;1

     

  thỏa mãn  

2

2 , ;1

5

f x f x x

x

    

  

       

  Khi

 

3

2 15

ln '

I  x f x dx bằng:

A 1ln2

5 5 35 B

1 ln

5 2 35 C

1 ln 35

  D 1ln2 5 35

 

Câu 102 Cho hàm số f x  liên tục và thỏa mãn    2

2

f x  xf x  x  x  x với x Tính tích phân  

1

0

d

xf x x 

A 1

4 B

5

4 C

3

4 D

1



Câu 103 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn  

4

2 2 4

1 2       , 0, 1

 

x x x x

x f x f x x

x x Khi  

1

1

d



f x x có giá trị

A 0 B 1 C 1

2 D

3

Câu 104 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn

    3

1 6,

4

f x  x  f x  x x  x  x  x  x

   Tích phân  

2

1 d

f x x



A 1

7 B

1

3 C 7 D

19



Câu 105 (ChuyênBiênHòa -HàNam-2020) Cho hàm số f x( ) liên tục 1; 2 thỏa mãn điều

kiện  2

( )

f x  x xf x Tích phân

2

1

( )

I f x dx





A 14

3

I B 28

3

I C

3

Câu 106 (Hậu Lộc 2 -Thanh Hóa-2020) Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai đoạn  0;1đồng thời thỏa mãn điều kiện f 0  1, f x 0,f x 2  f x , x 0;1 Giá trị

 0  1

f f thuộc khoảng

A 1; 2 B 1; 0 C 0;1 D  2; 1

Câu 107 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y f x( ) thỏa mãn

' ''

( ) ( ) ( ) ,

f x f x f x x x x R

      

  f(0) f'(0)2 Tính giá trị T  f2(2)

A 160

15 B

268

15 C

4

15 D

268 30

Câu 108 (Chuyên Thái Bình -2020) Cho f x  hàm số liên tục tập xác đinh  thỏa mãn

 

3

f x  x  x Tính  

1

d

I f x x

A 37

6 B

527

3 C

61

6 D

464

Câu 109 (ChuyênChuVănAn-2020) Cho hàm số y f x  liên tục, có đạo hàm R thỏa mãn điều

kiện f x( )x f ( )x 2 sinxx2cos ,x xR

2

f   

 

.Tính  

0

xf x dx





A 0 B

2



C 1 D 

Câu 110 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số f x  thỏa mãn  0

f 

 x x1f ' x    1, x Biết  

1

0

2 15

a b f x dx 

 với a b,  Tính T  a b

A 8 B 24 C 24 D 8

Câu 111 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số f x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn

 2  

4 x f x 3f 1x  1x Tính  

0 d

I  f x x

A

4



B

16



C

20



D

6



Câu 112 (Chuyên Nguyễn BỉnhKhiêm -Quảng Nam- 2020) Cho hàm số f x  liên tục khoảng 0; Biết f 3 3 xf ' 2 x1 f 2x1 x3, x 0; Giá trị  

5

3

f x dx



A 914

3 B

59

3 C

45

4 D 88

Câu 113 (Chuyên Thái Bình- 2020) Cho hàm số f x  có đạo hàm đồng biến  1; , thỏa mãn

   

2

x xf x  f x  với x 1; Biết  1

f  , tính  

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A 1188

45 B

1187

45 C

1186

45 D

9 2

Câu 114 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Cho hàm số f x  liên tục  thảo mãn:

   

7f x 4f 4x 2018x x 9,  x  Tính  

0 d

I  f x x

A 2018

11 B

7063

3 C

98

3 D

197764 33

Câu 115 (THPT Ba Đình 2019) Hàm số f x  có đạo hàm đến cấp hai  thỏa mãn:

     

2

1

f x  x  f x Biết f x 0, x , tính    

0

2 "

I  x f x dx

A 8 B 0 C 4 D 4

Câu 116 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục  thỏa mãn x f x f x ( ) '( ) f2( )x x, x  có (2) 1f  Tích phân

2

0 ( )

f x dx



A 3

2 B

4

3 C 2 D 4

Câu 117 (THPTĐơngSơn ThanhHóa 2019) Cho hàm số f x  nhận giá trị khơng âm có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f  x  2x1f x 2, x  f 0  1 Giá trị tích phân

 

0 f x xd 

A

6

 B ln C

9



 D

9





Câu 118 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục , f 0 0,f ' 0 0 thỏa mãn hệ thứcf x f  ' x 18x2 3x2x f '  x  6x1  f x ;

Biết      

2

0

1 f x , ,

x e dxae b a b

  Giá trị a b

A B C D

Câu 119 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 0

     

2

2

x

f x

f x f x

e x x x

 

 



  

  

0;1

x

  Biết 1 2

f    

, khẳng định sau đúng?

A 1

5

f   

  B

1 1 f 5

    

  C

1 1 f

    

  D

1

f    

Câu 120 Cho hàm số f x  liên tục nhận giá trị không âm đoạn  0;1 Giá trị nhỏ biểu thức        

1

0

2 d d

M  f x  x f x x  f x x xf x x

1 2

A

24

 B

8

 C

12

 D

6



Câu 121 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục ,  0 0,  0

f  f  thỏa mãn hệ thức

 .   18 3    6 1  ,

f x f x  x  x x f x  x f x  x  Biết    

1

2

0

1 f xd

x e xa e b

 , với ;a b Giá trị a b

A 1 B 2 C 0 D 2

3

Câu 122 (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm 1; 2

 



 

  thỏa mãn

     

1 2

2

109 d

12

f x f x x x



     

 

 Tính  

1

0

2 d

1

f x x x 



A ln7

9 B

2 ln

9 C

5 ln

9 D

8 ln

9

Câu 123 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f x  xá định 0;



 

 

  thỏa mãn

   

2

0

2 2 sin d

4

f x f x x x



 

   

    

 

 

 

 Tích phân  

2

0 d

f x x





A

4



B 0 C 1 D

2



Câu 124 (THPTHậuLộc2-TH-2018) Cho số thực a0 Giả sử hàm số f x( ) liên tục dương đoạn 0;a thỏa mãn f x f a( ) ( x) 1 Tính tích phân

 

1 d

a

I x

f x

 

 ?

A

3

a

I B

2

a

I C

3

a

I D Ia

Câu 125 (Chuyên PhanBộiChâu-NghệAn-2018) Xét hàm số f x  liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn 2f x 3f1x 1x Tích phân  

1

0

d f x x 

A 2

3 B

1

6 C

2

15 D

3

Câu 126 (HàTĩnh-2018) Cho hàm số f x  đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai đoạn 0; 2 thỏa mãn f x 2 f x f   x f x 20 Biết f 0 1, f  2 e6 Khi f 1

A e2 B

3

e C e3 D

5

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 127 (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm 0;3 ; 

3    1,  

f x f x  f x   với x0;3  0

2

f  Tính tích phân:  

   

3

2 2

1

x f x

dx

f x f x

    

 



A 1 B 5

2 C

1

2 D

3

Câu 128 (Sở Bình Phước- 2018) Cho số thực a0 Giả sử hàm số f x  liên tục dương đoạn 0;a thỏa mãn f x f a   x1 Tính tích phân

 

1 d

a

I x

f x

 

 ?

A

3

a

I B

2

a

I C I a D

3

a I

Câu 129 (THCS&THPTNguyễnKhuyến-BìnhDương-2018) Cho hàm số y f x  hàm số lẻ

 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện f x 1 f x 1,  x  f f x 2

x x

    

  ,  x

Gọi    

2

.d

f x

I x

f x





 Hãy chọn khẳng định giá trị I

A I  1; 0 B I1; 2 C I0;1 D I   2; 1

Câu 130 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho hàm số f x( )liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện

0

( )

f x dx



0

3 ( )

2

xf x dx

 Hỏi giá trị nhỏ

2

0 ( )

f x dx

 bao nhiêu?

A 27

4 B

34

5 C 7 D 8

Câu 131 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f x 0 có đạo hàm liên tục , thỏa mãn

 1    

2

f x

x f x

x



 

  

2 ln

2

f   

 

Giá trị f  3

A 14 ln ln 52

2  B  

2

4 4ln ln 5 C 14 ln ln 52

4  D  

2 4ln ln 5

Câu 132 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f x  liên tục khoảng 0; thỏa mãn

 1   1ln 1

2

f x x

f x x

x x x



    Biết   17

1

d ln ln

f x xa  b c

 với , ,a b c Giá trị

a b  c

A 29

2 B 5 C 7 D 37

Câu 133 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn

   

2

6x f x 4f 1x 3 1x Tính  

0 d

f x x

A

8



B

20



C

16



D

4



Câu 134 (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y f x  liên tục  Biết

   

4 4 2

f x  f x  x  x f  0 2 Tính  

0 d

I f x x

A 147

63 B

149

63 C

148

63 D

352 63

Câu 135 (KìmThành -HảiDương-2020) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 1; 2 thỏa mãn

   

2

2

1

1

3

x f x dx 

 , f  2 0  

2

1

7

f x dx

  

 

 Tính tích phân  

1

I  f x dx

A

5

I B

5

I   C

20

I  D

20

I

Câu 136 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y f x  liên tục  thảo mãn

   

sin cos cos sin sin sin

3

x f x  x f x  x x với  x  Tính tích phân  

0

d

I  f x x

A 1

6 B 1 C

7

18 D

1

Câu 137 (ChuyênLamSơn 2019) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 0; Biết f 0 2e  

f x thỏa mãn hệ thức f x sin x f x cos ex cosx, x 0; Tính  

d

I f x x



 (làm tròn đến hàng phần trăm)

A I 6,55 B I 17,30 C I10,31 D I16,91

Câu 138 (Chuyên TháiBình -2019) Cho hàm số f x  liên tục nhận giá trị dương 0;1 Biết    

f x f x  với  x  0;1 Tính giá trí

 

1

0 d

x I

f x

 



A 3

2 B

1

2 C 1 D 2

Câu 139 (THPT Cẩm Bình 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm khoảng 0; thỏa mãn  

   

3

.ln

x f x x

x f x f x

 

  

 

 

f 1 0 Tính tích phân  

1 d

I f x x

A 12 ln13 13 B 13ln13 12 C 12 ln13 13 D 13ln13 12

Câu 140 Cho hàm số f x  khơng âm, có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1,

     

2f x x f x 2x f x

       

  ,  x 0;1 Tích phân  

1

0 d

f x x



A 1 B 2 C 1

3 D

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 141 (KinhMôn-Hải Dương2019) Cho hàm số f x  liên tục \1;0 thỏa mãn điều kiện  1 ln

f   x x. 1  f x  f x x2x  1 Biết f 2 a b ln a b,  Giá trị 2a2b2 là:

A 27

4 B 9 C

3

4 D

9

Câu 142 (Sở Cần Thơ- 2019) Cho hàm số y f x( )xác định có đạo hàm f x liên tục [1;3] ;   0,  1;3 ;

f x   x f x 1 f x 2x12f x 4 f 1  1 Biết

   

3

d ln ,

e

f x xa b a b

  , giá trị ab2

A 4 B 0 C 2 D -1

Câu 143 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số f x  nhận giá trị dương thỏa mãn  0

f  , f x 3exf x 2, x  Tính f 3

A f  3 1 B f 3 e2 C f  3 e3 D f 3 e

Câu 144 Hàm số f x  có đạo hàm cấp hai  thỏa mãn: f21xx23  f x 1 x  Biết   0,

f x   x , tính 2    " d I x f x x

A 4 B 0 C 8 D 4

Câu 145 (Sở Nam Định - 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn  

 2    

4 4, ;1

f x  f x  x   x f 1 2 Tính  

0 d

f x x



A 1

3 B 2 C

4

3 D

21

Câu 146 Cho hàm số f x  nhận giá trị dương thỏa mãn    

2

f x

f x x

x

   ,  x 0; 

 

3

2

1 d

20

x x f x 

 Giá trị biểu thức f 2 f  3

A 110 B 90 C 20 D 25

Câu 147 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn 3f x xf x x2018, 0;1

x

  Tìm giá trị nhỏ   f x dx



A

2018.2020 B

1

2019.2020 C

1

2020.2021 D

1 2019.2021

Câu 148 Cho hàm số y f x  liên tục \ 0; 1   thỏa mãn điều kiện f 1 2 ln

     

1

x x f x  f x x  x Giá trị f 2  a bln 3, vớia b,  Tính 2 a b

A 5

2 B

13

4 C 25

Câu 149 (Chuyên LêHồngPhong-Nam Định- 2019) Cho hàm số y f x( ) liên tục  thỏa mãn:

2 2 1

3 ( ) (2 ) 2( 1) x x 4,

f x f x x e   x

       Tính giá trị tích phân ( ) I f x dx

A I e B I2e4 C I 2 D I8

Câu 150 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 2; 4 f x 0, x 2; 4 Biết

 2

f  4x f x3  f x 3x3, x 2; 4 Giá trị f  4

A 20

4



B 40

2



C 20

2



D 40

4



Câu 151 Cho hàm sốy f x( ) liên tục đoạn ;

e e

 

  Biết x f2 ( ) lnx  xxf x( )ln2x0,  x e e; 2

và f e( )

e

 Tính tích phân

2

( )d e

e

I f x x

A I 2 B

2

I  C I3 D Iln

Dạng Tích phân số hàm đặc biệt Dạng 2.1 Tích phân hàm số lẻ hàm số chẵn

Nhắc lại kiến thức hàm số lẻ hàm số chẵn:

Hàm số y f x  có miền xác định tập đối xứng D Nếu f x f x ,  x D y f x : hàm số chẵn Nếu f x f x , x Dy f x : hàm số lẻ

(thay chỗ có x x tính f x so sánh với f x ) Thường gặp cung góc đối cosxcos , sinx x sinx

Nếu hàm số f x  liên tục lẻ a a;   

a a

f x dx







Nếu hàm số f x  liên tục chẵn a a; 

   

 

 

0

1

a a

a a

x a

f x dx f x dx

f x

dx f x dx

b









 

 

 

 



 

 

Do kết khơng có SGK nên mặt thực hành, ta làm theo bước sau (sau nhận định hàm chẵn lẻ bàitốnthườngcócậnđốinhau dạng  a a):

Bước Phân tích:      

0

a a

a a

I f x dx f x dx f x dx A B

 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bước Tính  

0

a

A f x dx



  ? cách đổi biến t x cần nhớ rằng: tích phân khơng phụ thuộc vào biến, mà phụ thuộc vào giá trị hai cận, chẳng hạn ln có:

0

2

0

2

2014

2014

3 cos cos sin sin

t t x x

dt dx

t x







 

 

2.Tíchphâncủahàmsốliêntục

Nếu hàm số f x  liên tục a b;     

b b

a a

f x dx f a b x dx

 

Nếu hàm số f x  liên tục 0;1 

+    

2

0

sin cos

f x dx f x dx

 



 

+ sin  sin 

a a

a a

xf x dx f x dx

 



 



     

0

sin sin

x f x dx f x dx

 





 

+    

2

cos cos

a a

a a

xf x dx f x dx

 



 



     

2

0

cos cos

x f x dx f x dx

 





 

 Về mặt thực hành, đặt x cận  cận t xa b t   Từ tạo tích phân xoay vịng (tạo I), giải phương trình bậc với ẩn I

Nếu hàm số f x  liên tục  tuần hoàn với chu kỳ T

   

0

a T T

a

f x dx f x dx





     

0

nT T

f x dxn f x dx

 

Lưuý: Hàm số f x  có chu kỳ T f x T   f x 

 Về mặt thực hành, ta làm theo bước sau:

Bước Tách:        

0

a T T a T

a a T

C

A B

I f x dx f x dx f x dx f x dx

 

     



 

 i

Bước Tính  

a T T

C f x dx



  ?

Đặt x t T dxdt Đổi cận:

0

x a T t a

x T t

  

 



 

 

 

Khi đó:

     

0

0

a

a a

Cf t T dt   f t dt  f x dx A  ii

Thế  i vào  ii ta được:  

T

Câu (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số f x  liên tục  thoả mãn

    2 cos

f x  f x   x, x  Tính  

2

3

I f x dx







 

A I 6 B I 0 C I  2 D I6

Câu (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Cho

2

4 sin

d a c

x x

x x b









  



 , với a b c, , , 15

b Khi a b c bằng:

A 10 B 9 C 11 D 12

Câu (THCS -THPT NguyễnKhuyến 2019) Cho f x  hàm số chẵn đoạn a a;  k0 Giá trị tích phân  d

1 e

a kx a

f x x

 

A  

0 d

a

f x x

 B  d

a a

f x x



C 2  d

a a

f x x



D  

0

2 d

a

f x x



Câu (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho f x , f x liên tục  thỏa mãn

   

1

2

4

f x f x x

  

 Biết  

2

2

I f x dx m 



  Khi giá trị m

A m2 B m20 C m5 D m10

Câu (THPTHàmRồngThanhHóa-2019) Cho hàm số f x , fx liên tục  thõa mãn

    2

2

4

f x f x

x

  

 Tính  

2

2 d I f x x





A

20

I   B

10

I   C

20

I   D

10

I  

Câu (Hà Nội - 2018) Cho hàm số y f x  hàm lẻ liên tục 4; 4 biết

 

0

2

d

f x x



 

  

1

2 d

f  x x

 Tính  

4

0 d

I  f x x.

A I 10 B I 6 C I 6 D I 10

Câu (HồngQuang -Hải Dương -2018) Cho hàm số f x  liên tục đoạn ln 2; ln 2 thỏa mãn    

1

x

f x f x e

  

 Biết  

ln

ln

d ln ln

f x x a b



 

 a b;  Tính Pa b

A

2

P B P 2 C P 1 D P2

Câu (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho y f x  hàm số chẵn liên tục  Biết

   

1

0

1

d d

2

f x x f x x

  Giá trị  

2

d 3x

f x x

 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu (SGD&ĐTBRVT-2018) Hàm số f x  hàm số chẵn liên tục   

0

d 10

f x x

 Tính  

2

2

d 2x

f x

I x



 



A I10 B 10

3

I C I 20 D I 5

Câu 10 (Yên Phong 1 - 2018) Cho hàm số y f x  hàm số chẵn, liên tục đoạn 1;1  

1

1

6

f x dx





 Kết  

11 2018

x

f x dx

 

A 2 B 3 C 4 D 5

Câu 11 (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho f x  hàm liên tục đoạn 0;a thỏa mãn

   

   

0, 0;

f x f a x

f x x a

 

  

  

 

 

d

,

a

x ba

f x  c



 b, c hai số nguyên dương b

c phân số tối giản Khi b c có giá trị thuộc khoảng đây?

A 11; 22  B 0;9  C 7; 21  D 2017; 2020 

Câu 12 (ChuyênSơnLa-2020) Tích phân 2020

2

2 d

a x

x x

e b



 

 Tính tổngSa b

A S0 B S2021 C S2020 D S4042

Câu 13 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f x  liên tục đoạn ln 2; ln 2 thỏa mãn

   

ex

f x  f x 

 Biết    

ln

ln

d ln ln 3, ,

f x x a b a b



  

  Tính Pab

A P 2 B

2

P C P 1 D P2

Câu 14 (ĐạihọcHồngĐức–ThanhHóa2019) Cho f x  hàm số chẵn  

0

2

f x dx

 Giá trị tích phân  

1

11 2019

x

f x dx

 

A

2019 B 2 C 4 D 0

Dạng 2.2 Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối Tính tích phân:  

b a

I f x dx?

Bước 1 Xét dấu f x  đoạn a b;  Giả sử đoạn a b;  phương trình f x 0 có nghiệm  ; 

o

x  a b có bảng xét dấu sau:

x a xo b

 

f x  

     

o

o

x

b b

a a x

I  f x dx f x dxf x dx A B

Sử dụng phương pháp tính tích phân học tính A B, I

Câu 15 Cho a số thực dương, tính tích phân

d

a

I x x



 theo a

A

2

1

a

I  B

2

2

a

I  C

2

2

2

a

I   D

2

3

2

a I 

Câu 16 (THPT Lương Thế Vinh HàNội 2019) Cho số thực m1 thỏa mãn

2 1

m

mx dx

 Khẳng định sau đúng?

A m4;6 B m2; 4 C m3;5 D m1;3

Câu 17 (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh2019) Khẳng định sau đúng?

A 3

1x dx 1x xd

  

  B 2018 2018 

1 x x dx x x dx

      

 

C    

2 d d

x x

e x x e x x

    

  D 2

2

1 cos x xd sin dx x

 

 

   

 

Câu 18 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tích phân

1

ln ln

x

dx a b c

x



  



 với a, b, c số nguyên Tính P = abc

A P 36 B P0 C P 18 D P18

Câu 19 (ChuyênHạLong2019) Có số tự nhiên m để  

2

2 2

0

2 d d

x  m x x  m x

 

A Vô số B 0 C Duy D 2

Câu 20 (ChuVănAn-TháiNguyên-2018) Tính tích phân

1

2x x

I  dx



  

A

ln B ln C 2ln D

2 ln

Câu 21 (KTNL Gia Bình 2019) Cho hàm số f x  liên tục  có  

0

d 2

f x x

 ;

 

3

0

d 6

f x x

 Tính  

1

1

2 d

I f x x



 

A I 8 B I 6 C 3

2

I  D I 4

Câu 22 (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) liên tục  có

3

0

( )

f x dx



( )

f x dx

 Tính

( 1)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A 9

4 B

11

4 C 3 D 6

Câu 23 Cho hàm số f x  liên tục  thỏa  

0

2 d

f x x

  

0

6 d 14

f x x

 Tính  

2

2

5 d

f x x







A 30 B 32 C 34 D 36

Câu 24 (Phong 1 -2018) Cho hàm số f x  liên tục 0;3    

1

0

d 2; d

f x x f x x

  Giá trị tích phân  

1

1

2 d ?

f x x



 



A 6 B 3 C 4 D 5

Câu 25 Cho hàm số f x( ) liên tục  có

0

( )

f x dx



0

( )

f x dx

 Tính

1

( 1)

f x dx







A 9

4 B

11

4 C 3 D 6

Câu 26 Cho hàm số y f x  xác định  thỏa mãn     6 2

x

f x f x

x x

    

  với số

thực x Giả sử f  2 m, f 3 n Tính giá trị biểu thức T f 2 f  3

A Tm n B T n m C Tm n D T  m n Dạng 2.3 Tích phân nhiều hàm

Câu 27 Cho số thực a hàm số  

 2

2

0

x khi x

f x

a x x khi x

 

  

 

 

Tính tích phân   1f x dx



 bằng:

A

a

 B 2

3

a

 C

6

a

 D 2

3

a



Câu 28 (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương2019) Cho hàm số  

2

e khi

x

m x

f x

x x x

  

  

 

 

liên tục

  

1

d = e

f x x a b c



 

 , a b c, , Q Tổng a b 3c

A 15 B 10 C 19 D 17

Câu 29 (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Tính tích phân  

1

0

max e ex,  x dx

 A e1 B 3 

2 e e C

e e D 1

2 e e

 



 

 

Câu 30 Cho hàm số  

3

5

x khi x

y f x

x khi x

  

   

  

 Tính    

1

0

2 sin cos 3

I f x xdx f x dx



    

 

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM

Dạng Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm để tính tích phân 

1.Định nghĩa: Cho hàm số y f x  liên tục trên K; a b,  là hai phần tử bất kì thuộc K, F x   là một nguyên hàm của  f x  trên K. Hiệu số F b F a  gọi là tích phân của của f x  từ a  đến b và được kí hiệu:         

b

b a a

f x dxF x F b F a

  

2. Các tính chất của tích phân: 

   

a

a

f x dx

  

    

a b

b a

f x dx  f x dx

   

    

b b

a a

k f x dxk f x dx

   

        

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 

    

      

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

    

 Nếu f x g x   x a b;  thì     

b b

a a

f x dx g x dx

   

  Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp   

1

1

x

x dx C

 





 



      

1

1

1

ax b

ax b dx C

a

 







  



  

1 ln

dx x C

x  

   dx 1.ln ax b C

ax b a  

   

2

1

dx C

x  x

  

 2

1 1

dx C

a ax b ax b

  

 

   

sin x dx cosx C

   sinax b dx 1.cosax b C a

    

  

cos x dxsinx C

   cosax b dx. 1.sinax b C a

   

  

2

1

cot

sin xdx  x C

  

   

2

1

.cot

sin ax b dx a ax b C

  

2

1

tan cos xdx x C

  

   

2

1

tan

cos ax b dxa ax b C

   

x x

e dxe C

   eax b.dx 1.eax b C

a

   

   

ln

x

x a

a dx C

a

 

   2 2 ln

2

dx x a

C

x a a x a



 

 

   

 Nhận xét. Khi thay x bằng ax b  thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1 a. 

Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nếu   

2

1

d

f x x 

  và   

3

2

d

f x x

  thì   

3

1

d

f x x

  bằng

TÍCH PHÂN

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Lời giải 

Chọn B 

Ta có       

3

1

d d d 1

f x x f x x f x x    

    

Câu 2. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Nếu   

1

0

d

f x x

  thì   

1

0

2f x dx

  bằng

A 16 B 4 C 2 D 8

Lời giải 

Chọn D

Ta có:     

1

0

2f x dx2 f x dx2.48

 

Câu 3. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Biết   

3

1

d

f x x

  Giá trị của   

3

1

2f x dx

  bằng 

A 5.  B 9.  C 6.  D 3

2  

Lời giải Chọn C

Ta có:     

3

1

2f x dx2 f x dx2.36

   

Câu 4. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Biết F x x2 là một nguyên hàm của hàm số  f x  trên . Giá trị của 

 

2

1

2 f x dx

 

 

  bằng 

A 5.  B 3.  C 13

3   D

7 3. 

Lời giải Chọn A

Ta có:     

2

2

2

2 d

1

f x x x x

     

 

 

  

Câu 5. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Biết   Giá trị của   bằng 

A   B   C   D  

Lời giải Chọn D

Ta có   

Câu 6. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Biết   là một nguyên hàm của hàm số   trên   Giá trị của   bằng 

A   B   C   D  

 

5

1

d

f x x

  

5

1

3f x dx



7

3 64 12

   

5

1

3f x dx3 f x dx3.4 12

 

 

F x x f x  

 

2

1

2 f x( ) dx

 23

4

Lời giải Chọn C

Ta có   

Câu 7. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Biết   

2

1

2

f x dx

  Giá trị của   

3

1

3f x dx

  bằng 

A 5 B 6 C 2

3 D 8

Lời giải Chọn B

Ta có :     

2

1

3f x dx3 f x dx

  3.26. 

Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Biết F x( )x3 là một nguyên hàm của hàm số  f x( ) trên . Giá trị của 

3

1

(1 f( ) dx) x

 bằng 

A 20 B 22 C 26 D 28

Lời giải Chọn D

Ta có     

3 3 3

3

1

1

1 f x( ) dx xF x( ) xx ) 30 2 28

  

Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Biết   

3

2

d

f x x

  Giá trị của   

3

2

2f x dx

  bằng. 

A 36.  B 3.  C 12.  D 8. 

Lời giải Chọn C

Ta có :     

3

2

2f x dx2 f x dx12

   

Câu 10. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Biết F x x2 là một nguyên hàm của hàm số  f x( ) trên . Giá trị  của   

3

1

1 f x dx( )

  bằng 

A 10.  B 8.  C 26

3   D

32  

Lời giải Chọn A

Ta có        

3

3

2

1

1

1 f x dx( )  xF x  xx 12210.



Câu 11. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Biết   

3

2

f x dx4

  và   

3

2

g x dx 1

  Khi đó:     

3

2

f x g x dx

  

 

  bằng: 

A 3.  B 3   C 4.  D 5. 

Lời giải 

 

2 2

3

1 1

2 2

2 ( ) d 2d ( )d ( )

1 1

f x x x f x x x F x x x

       

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Ta có         

3 3

2 2

4

f x g x dx f x dx g x dx  

 

 

    

Câu 12. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Biết   

1

0

f x 2x dx=2

  

 

  Khi đó   

1

0

f x dx

  bằng : 

A 1.  B 4.  C 2.  D 0  

Lời giải Chọn A

Ta có 

   

1 1

0 0

f x 2x dx=2 f x dx+ 2xdx=2

   

 

       

1

1

0

f x dx x     

1

0

f x dx 1   

 

1

0

f x dx 1 

Câu 13. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết 

 

3

2

3

f x dx 

 và 

 

3

2

1

g x dx 

. Khi đó 

   

3

2

f x g x dx

 

 



 bằng 

A 4.  B 2.  C 2.  D 3  

Lời giải Chọn A

Ta có:         

3 3

2 2

4

f x g x dx f x dx g x dx

 

 

    

Câu 14. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết   

1

0

2

f x  x dx

 

 

  Khi đó   

1

0

d

f x x

  bằng

A 1 B 5 C 3 D 2  

Lời giải Chọn D 

Ta có       

1 1

0 0

1

2 3

0

x

f x  x dx  f x dx xdx  f x dx 

 

 

     

Suy ra     

1

2

1

3 d

0

f x x x    

  

Câu 15. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết   

2

1

d

f x x

  và   

2

1

d

g x x

  Khi đó     

2

1

d

f x g x x

  

 

  bằng?

A 6 B 1 C 5 D 1. 

Lời giải Chọn B

Ta có:         

2 2

1 1

d d d

f x g x x f x x g x x  

 

 

    

Câu 16. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết   

0f x 2xdx4

  Khi đó   

0 f x dx

  bằng

A 3 B 2 C 6 D 4  

     

1 1

0f x 2xdx4 f x dx 02 dx x4 f x dx  4

     

Câu 17. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết 

2

1

( )

f x dx

  và 

2

1

( )

g x dx

 Khi đó 

2

1

[ ( )f x g x dx( )]

  bằng 

A 1.  B 5   C 1.  D 6. 

Lời giải Chọn D

Ta có: 

2 2

1 1

[ ( )f x g x dx( )]  f x dx( )  g x dx( )   2

    

Câu 18. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết   

1

0

2 d

f x  x x

 

 

  Khi đó   

1

0

d

f x x

  bằng 

A 7   B 3   C 5   D 4. 

Lời giải Chọn D

 

1

0

2 d

f x  x x

 

 

  

1

0

d 2xd

f x x x

    

     

1 1

1

0

0 0

d d d

f x xx   f x x   f x x

    

Câu 19. (Mã 103 - 2019) Biết   

2

1

d

f x x

  và   

2

1

d

g x x

 , khi đó     

2

1

d

f x g x x

  

 



A 8 B 4 C 4 D 8. 

Lời giải 

Chọn B

Ta có:         

2 2

1 1

d d d

f x g x x f x x g x x   

 

 

  

Câu 20. (Mã 102 - 2019)  Biết  tích  phân   

1

0

3

f x dx

   và   

1

0

4

g x dx 

   Khi  đó     

1

0

f x g x dx

 

 

  

bằng

A 7 B 7 C 1 D 1. 

Lời giải 

Chọn C

Ta có           

1 1

0 0

3

f x g x dx f x dx g x dx    

 

 

  

Câu 21. (Mã 104 - 2019) Biết 

0 f x x( )d 2

 và 

0g x x( )d  4

 , khi đó  1 

0 f x( )g x( ) dx

  bằng

A 6 B 6 C 2 D 2  

Lời giải 

Chọn C

 

1 1

0 ( ) ( ) d  ( )d  0g( )d   2 ( 4) 2

 f x g x x  f x x  x x

Câu 22. (Mã 101 2019) Biết   

1

d

f x x 

  và   

1

d

g x x

 , khi đó     

1

d

f x g x x

  

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A 1 B 1 C 5 D 5. 

Lời giải Chọn C

       

1 1

0 0

d d d

       

 

 

 f x g x x  f x x g x x

Câu 23. (Đề Tham Khảo 2019) Cho   

1

0

d

f x x

  và   

1

0

d

g x x

 , khi     

1

0

2 d

f x g x x

  

 

  bằng 

A 8 B 1 C 3 D 12  

Lời giải Chọn A

Có         

1 1

0 0

2 d d d

f x  g x x f x x g x x

 

 

    2 2.5 8

Câu 24. (THPT Ba Đình 2019) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm  f , g liên  tục trên K và a,  b là các số bất kỳ thuộc K? 

A  ( ) ( ) d ( )d +2 ( )d

b b b

a a a

f x  g x x f x x g x x

     B

( )d ( )

d ( )

( )d b b

a b a

a

f x x f x

x g x

g x x

  



. 

C  ( ) ( ) d ( )d   ( )d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

     D

2

( )d = ( )d

b b

a a

f x x  f x x

 

   

Lời giải

Theo tính chất tích phân ta có 

 ( ) ( ) d ( )d + ( )d ; ( )d ( )d

b b b b b

a a a a a

f x g x x f x x g x x kf x xk f x x

     , với k

Câu 25. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho   

2

2

d

f x x





 ,   

4

2

d

f t t



 

  Tính   

4

2

d

f y y

  

A I5.  B I 3.  C I3.  D I 5. 

Lời giải

Ta có:     

4

2

d d

f t t f x x

 



  ,     

4

2

d d

f y y f x x

   

Khi đó:       

2 4

2 2

d d d

f x x f x x f x x

 

 

    

     

4

2 2

d d d

f x x f x x f x x

 

          

Vậy   

4

2

d

f y y 

  

Câu 26. (THPT Cù Huy Cận -2019) Cho   

0 f x dx3

  và   

0 g x dx7

 , khi đó     

0f x 3g x dx

  

bằng

A 16 B 18 C 24 D 10. 

Ta có 

       

2 2

0f x 3g x dx  f x dx3 0g x dx 3 3.724

    

Câu 27. (THPT - YÊN Định Thanh Hóa2019) Cho 

1

0

( )

f x

 dx 1; 

3

0

( )

f x

 dx5. Tính 

3

1

( )

f x

 dx 

A 1.  B 4.  C 6.  D 5. 

Lời giải  Ta có 

3

0

( )

f x  dx =

1

0

( )

f x  dx +

3

1

( )

f x

 dx

3

1

( )

f x

 dx =

3

0

( )

f x  dx 

1

0

( )

f x

 dx = 5+ 1= 6 

Vậy 

3

1

( )

f x

 dx = 6 

Câu 28. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho   

2

1

d

f x x 

  và   

3

2

d

f x x

  Khi đó   

3

1

d

f x x

  

bằng 

A 12.  B 7.  C 1.  D 12. 

Lời giải

 

3

1

d

f x x

    

2

1

d d

f x x f x x

    3 41

Câu 29. Cho  hàm  số  f x   liên  tục,  có  đạo  hàm  trên 1; , f  1 8;f 2  1.  Tích  phân   

2

1

f ' x dx 

 

A 1 B 7 C 9 D 9. 

Lời giải

Ta có         

2

2 1

f ' x dx f x f f 1 



        

  

Câu 30. (Sở  Thanh  Hóa  -  2019)  Cho  hàm  số  f x   liên  tục  trên  R  và  có 

2

0

( )d 9; ( )d

f x x f x x

  Tính 

4

0

( )d

I  f x x  

A I5.  B I36.  C

4

I    D I 13. 

Lời giải  Ta có: 

4

0

( )d ( )d ( )d 13

I  f x x f x x f x x  

 

Câu 31. Cho     

0

1

3

f x dx f x dx 

 

   Tích phân   

3

1

f x dx

  bằng 

A 6  B 4   C 2   D 0 

Lời giải

Có           

0 3

1 1

3;  1;  

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

  

      

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 32. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số  f x  liên tục trên  và   

4

0

d 10

f x x

 , 

 

4

3

d

f x x

  Tích phân   

3

0

d

f x x

  bằng 

A 4   B 7.  C 3.  D 6. 

Lời giải

Theo tính chất của tích phân, ta có:       

3 4

0

d d d

f x x f x x f x x

    

Suy ra:   

3

0

d

f x x

    

4

0

d d

f x x f x x

  10 4 6. 

Vậy   

3

0

d

f x x

  

Câu 33. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019)  Nếu   

2

F x x

 

   và F 1 1  thì  giá  trị  của 

 4

F  bằng 

A ln 7.  B 1 1ln

   C ln 3.  D 1 ln 7.  

Lời giải

Ta có:   

4

4

1

1

1 1

d d ln | 1| ln

2 2

F x x x x

x

    



   

Lại có:         

4

4 1

d

F x x F x F F

  

Suy ra   4  1 1ln

F F   Do đó   4  1 1ln 1ln

2

F F     

Câu 34. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019)  Cho  hàm  số  f x   liên  tục  trên    thoả  mãn 

 

8

1

d

f x x

 ,   

12

4

d

f x x

 ,   

8

4

d

f x x

  

Tính   

12

1

d

I f x x. 

A I17.  B I 1.  C I 11.  D I7. 

Lời giải  Ta có:       

12 12

1

d d d

I  f x x f x x f x x.       

8 12

1 4

d d d

f x x f x x f x x

        

Câu 35. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số  f x  liên tục trên 0;10 thỏa mãn   

10

0

7

f x dx

 ,   

6

2

3

f x dx

  Tính     

2 10

0

P f x dx f x dx. 

A P10.  B P4.  C P7.  D P 6. 

Lời giải

Ta có         

10 10

f x dx f x dx f x dx f x dx

Suy ra         

2 10 10

0

7

f x dx f x dx f x dx f x dx  

     

Câu 36. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn  1;3  thoả: 

   

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

 ,     

3

1

2f x g x dx6

 

 

  Tính     

3

1

d

f x g x x

 

 

  

A 7.  B 6.  C 8.  D 9. 

Lời giải

   

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

        

3

1

d d 10

f x x g x x

    1

   

3

1

2f x g x dx6

 

 

      

3

1

2 f x xd g x xd 6  2

Đặt   

3

1

d

X  f x x,   

3

1

d

Yg x x. 

Từ  1  và  2  ta có hệ phương trình: 10

2

X Y X Y

 

 

 



  

2

X Y

  

 

.   

Do đó ta được:  

3

1

d

f x x

  và  

3

1

d

g x x

  

Vậy     

3

1

d

f x g x x  

 

 



Câu 37. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019)  Cho  hàm  số  f x   liên  tục  trên  đoạn 0;10  và   

10

0

7

f x dx

 ; 

 

6

2

3

f x dx

  Tính     

2 10

0

P f x dx f x dx. 

A P4  B P10  C P7  D P 4 

Lời giải  Ta có:         

10 10

0

f x dx f x dx f x dx f x dx

     

7 P P

      

Câu 38. Cho  f g,  là hai hàm số liên tục trên  1;3  thỏa mãn điều kiện     

3

1

3 dx=10

f x  g x

 

 

  đồng thời 

   

3

1

2f x g x dx=6

 

 

  Tính     

3

1

dx

f x g x

 

 

  

A 9   B 6   C 7   D 8  

Lời giải

Ta có:     

3

1

3 dx=10

f x  g x

 

 

    

3

1

dx+3 dx=10

f x g x

   

   

3

1

2f x g x dx=6

 

 

    

3

1

2 f xdx- g xdx=6

    

Đặt     

3

dx; v = dx

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Ta được hệ phương trình:  10

2

u v

u v

 

 

  

 

2

u v

   

 

 

 

 

3

1

1

dx=4

dx=2

f x g x

         

 

Vậy     

3

1

dx=6

f x g x

 

 

  

Câu 39. (THPT  Đơng  Sơn  Thanh  Hóa  2019)  Cho  f ,  g  là  hai  hàm  liên  tục  trên  1;3  thỏa:    

3

1

3 d 10

f x  g x x

 

 

  và     

3

1

2f x g x dx6

 

 

  Tính     

3

1

d

If x g x  x. 

A 8.  B 7.  C 9.  D 6. 

Lời giải  Đặt   

3

1

d

a f x x và   

3

1

d

bg x x.  Khi đó,     

3

1

3 d

f x  g x x a b

 

 

 ,     

3

1

2f x g x dx2a b

 

 

  

Theo giả thiết, ta có  10

2

a b a

a b b

  

 



 

  

 

.  Vậy I  a b

Câu 40. (Mã 104 2017) Cho   

2

0

d

f x x





  Tính   

2

0

2 sin d

I f x x x



 

   

A I 7 B

2

I   C I3 D I 5  

Lời giải Chọn A

Ta có 

   

2

2

0 0

2sin d d +2 sin d

I f x x x f x x x x



 

        

2

2 0

d cos

f x x x





     

Câu 41. (Mã 110 2017) Cho   

2

1

d

f x x





  và   

2

1

d

g x x



 

  Tính     

2

1

2 d

I x f x g x x



 

   

A 17

2

I B

2

I  C

2

I D 11

2

I

Lời giải Chọn A

Ta có:     

2

1

2 d

I x f x g x x



        

2 2 2

2

1

1

2 d d

2

x

f x x g x x

 



    3 2.2 3 1 2   

Câu 42. (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Cho hai tích phân   

5

2

d 



 f x x  và   

2

5

d 



g x x  Tính 

   

5

2

4 d 

    

I f x g x x 

A 13 B 27 C 11 D 3. 

Lời giải

   

5

2

4 d 

    

I f x g x x    

5 5

2 2

d d d

  

  f x x g x x x    

5 5

2 2

d d d

  

  f x x g x x x     

5

2

d d d



 

  f x x g x x x 4.3

2

  



x  8 4.3 7 13. 

Câu 43. (Sở Bình Phước 2019)  Cho 

2

1

( )

f x dx



    và 

2

1

( )

g x dx



 

 ,  khi  đó   

2

1

2 ( ) ( )

x f x g x dx



 

  

bằng 

A 5

2  B

7

2  C

17

2   D

11 2 

Lời giải Chọn A

Ta có   

2 2

1 1

3

2 ( ) 3g(x) ( ) ( )

2

x f x dx xdx f x dx g x dx

   

        

     

Câu 44. (Sở Phú Thọ 2019) Cho   

2

0

d

f x x

 ,  

2

0

d

g x x 

  thì     

2

0

5 d

f x g x x x

   

 

  bằng: 

A 12   B 0.  C 8.  D 10 

Lời giải Chọn D

       

2 2

0 0

5 d g d d

    

 

 

 f x g x x x  f x dx  x x x x    3 10

Câu 45. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho   

5

0

d

f x x 

  Tích phân   

5

2

4f x 3x dx

  

 

  

bằng 

A 140.  B 130.  C 120.  D 133. 

Lời giải

   

5 5

5

2

0

0 0

4f x 3x dx f x dx dx x x 125 133

            

 

    

Câu 46. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho   

2

1

4f x 2x dx1

 

 

  Khi đó   

2

1

f x dx

 bằng: 

A 1.  B 3.  C 3.  D 1. 

Lời giải 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

     

   

2

2 2 2

1 1 1

2

1

4 4

2

4

x

f x x dx f x dx xdx f x dx

f x dx f x dx

       

 

 

   

   

 

 

Câu 47. Cho   

1

0

1

f x dx

  tích phân     

1

2

2f x 3x dx

  bằng

A 1.  B 0.  C 3.  D 1. 

Lời giải

Chọn.  A

 

   

1 1

2

0 0

2f x 3x dx2 f x dx3 x dx  2 1

    

Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính tích phân   

0

1

2

I x dx



    

A I 0.  B I 1.  C I 2.  D

2

I    

Lời giải 

   

0 0

2 1

2 0

I x dx x x

 

        

Câu 49. Tích phân    

1

0

3x1 x3 dx

  bằng

A 12 B 9 C 5 D 6

Lời giải

Ta có:        

1

1

2

0

0

3x1 x3 dx 3x 10x3 dx x 5x 3x 9

   

Vậy :    

1

0

3x1 x3 dx9

  

Câu 50. (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ -2019) Giá trị của 

2

0

sinxdx



  bằng 

A 0.  B 1.  C -1.  D

2 

. 

Lời giải 

Chọn B 

+ Tính được 

2

0

sin cos

xdx x





  

  

Câu 51. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Tính tích phân 

2

0

(2 1)

I  x dx 

Chọn B

Ta có   

2

2

0

(2 1) 4 2 6

I  x dx x x     

Câu 52. Với a b,  là các tham số thực. Giá trị tích phân   

0

3 d

b

x  ax x

  bằng 

A b3b a b2    B b3b a b2    C b3ba2b.  D 3b22ab1. 

Lời giải Chọn A

Ta có   

0

3 d

b

x  ax x

  0

b

x ax x

    b3ab2b. 

Câu 53. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Giả sử 

4

0

2 sin

2

I xdx a b



    a b, . Khi đó giá trị của  a b  là 

A

6

   B

6

   C

10

   D 1

5 

Lời giải Chọn B

Ta có 

4

4 0

1 1

sin cos

3 3

xdx x





   

  Suy ra 

3

ab   a b 0. 

Câu 54. (Chuyên  Nguyễn  Tất  Thành  Yên  Bái  2019)  Cho  hàm  số  f x   liên  tục  trên    và   

 

2

2

3 d 10

 

 f x x x  Tính   

2

0

d

f x x

  

A 2.  B 2.  C 18.  D 18. 

Lời giải

Ta có:   

 

2

2

3 d 10

 

 f x x x    

2

2

0

3

d d 10

 f x x x x    

2

2

0

1

d d

 f x x  x x   

2

3

2

0 d

 f x x x    

2

0

10 d

 f x x  

Câu 55. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho   

3 d m

x  x x

  Giá trị của tham số m thuộc  khoảng nào sau đây? 

A 1; 2 B ;0.  C 0; 4.  D 3;1. 

Lời giải

Ta có:   

3 d m

x  x x

  0 6

m

x x x m m m m

          

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 56. (Mã 104 2018) 

2

12

dx x

  bằng

A 1ln 35

2 B

7 ln

5 C

1 ln

2 D

7 ln

5 

Lời giải Chọn C

Ta có   

2

1

1 1

ln ln ln ln

2 2

dx

x

x     

  

Câu 57. (Mã 103 2018) 

2

13

dx x

  bằng

A 2 ln B 1ln

3 C

2 ln

3 D ln  

Lời giải Chọn C

Ta có   

2

1

1

ln ln ln1 ln

3 3

dx

x

x     



Câu 58. (Đề Tham Khảo 2018) Tích phân 

2

0

dx x

  bằng

A

15 B

16

225 C

5 log

3 D

5 ln

3 

Lời giải Chọn D

2

2 0

5 ln ln

3

dx

x

x   



Câu 59. (Mã 105 2017) Cho      

 

 



1

0

1

d ln ln

1 x a b

x x  với a b,  là các số nguyên. Mệnh đề nào  dưới đây đúng?

A a2b0 B a b 2 C a2b0 D a b  2 

Lời giải Chọn A

 

 

      

 

 

 



1

1 0

1

d ln ln 2 ln ln

1 x x x

x x ; do đó a2;b 1

Câu 60. (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tính tích phân  2

1

1 e

I dx

x x

 

   

 

  

A I

e

 B I 1

e

  C I1 D Ie 

Lời giải Chọn A

2

1

1 1

ln

e e

I dx x

x x x e

   

       

   

Câu 61. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tính tích phân 

3

0

d

x I

x

    

A 21

100

I    B ln5

I   C log5

I    D 4581

5000

I  

Lời giải

 

3

3 0

d

ln ln ln ln

2

x

I x

x

     

 

Câu 62. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) 

2

1

d

x x

  bằng 

A 2 ln   B 2ln

3 C ln   D

ln  

Lời giải

Ta có: 

2

1

d

ln ln

3 3

x

x

x   

  

Câu 63. Tính tích phân 

2

1

1 d

x

I x

x



  

A I  1 ln 2.  B

4

I   C I  1 ln 2.  D I 2 ln 2. 

Lời giải

Ta có 

2

1

1 d

x

I x

x

 

2

1

1 dx

x

 

   

 

 xln x122 ln 2   ln1  1 ln 2

Câu 64. Biết 

3

1

2

ln ,

x

dx a b c x



 

  với  , ,a b c,c9. Tính tổng S  a b c. 

A S 7.  B S5.  C S8.  D S6. 

Lời giải  Ta có 

3 3

3

1 1

2 2

1 2 ln 2 ln

x

dx dx dx dx x

x x x

  

         

 

     

Do đó a2,b2,c 3 S 7. 

Câu 65. (Mã 110 2017) Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số  f x  lnx x

  Tính: I F e F 1 ?

A

2

I B I

e

 C I 1 D I e

Lời giải Chọn A

Theo định nghĩa tích phân:         

2

1 1

ln ln

1 d d ln ln

2 e

e e e

x x

I F e F f x x x x d x

x

      

Câu 66. (Mã 102 2018) 

1

d

x e  x

  bằng

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Lời giải 

Chọn C

3

d

x e  x

  

1

1

3

3 d

x e  x

  

1

0

1

x

e 

 1 

3 e e

 

Câu 67. (Mã 101 2018) 

2 1

e d

 x x bằng

A 1 2

e e

3  B  

5

1 e e

3  C

5

1 e e

3  D

5

e e

Lời giải 

Chọn B

Ta có

2

2

3

1

1 e d e

3

 



 x x x   1 2

e e

   

Câu 68. (Mã 123 2017) Cho 

6

0

( ) 12

f x dx

  Tính 

2

0

(3 )

I f x dx

A I5 B I36 C I4 D I6 

Lời giải Chọn C

Ta có:        

2

0 0

6

1 1

(3 ) (3 ) ( ) 12

3 3

I f x dx f x d x f t dt  

Câu 69. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tích phân 

1

0

1 d

I x

x

 

  có giá trị bằng 

A ln 1   B ln 2.  C ln   D 1 ln 2  

Lời giải 

Chọn C  Cách 1: Ta có: 

1

1

0

1 d( 1)

d ln ln ln1 ln

1

x

I x x

x x



      

 

   Chọn đáp án C

Câu 70. (THPT Hồng Hoa Thám Hưng n -2019) Tính 

3 2

d

x

K x

x

 

  

A K ln 2.  B 1ln8

2

K    C K 2 ln 2.  D ln

K  

Lời giải

2

d

x

K x

x

 

  

3

2

2

1

d x x

 



 1ln

2 x

  1ln8

2

  

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Tích phân có điều kiện

1.Địnhnghĩa: Cho hàm số y f x  liên tục K; a b, hai phần tử thuộc K, F x 

là nguyên hàm f x  K Hiệu số F b F a  gọi tích phân của f x  từ a

đến b kí hiệu:        

b

b a a

f x dxF x F b F a



2.Cáctínhchấtcủatíchphân:

  

a

a

f x dx



    

a b

b a

f x dx  f x dx

 

    

b b

a a

k f x dxk f x dx

 

        

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 

  

      

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

 Nếu f x g x   x a b;     

b b

a a

f x dx g x dx

 

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp

1

1

x x dx C

 





 



    

1

1

ax b

ax b dx C

a

 







  





1 ln

dx x C x  

 dx 1.ln ax b C

ax b a  



2

1

dx C x  x

  2

1 1

dx C a ax b ax b

  

 



sin x dx cosx C

 sinax b dx 1.cosax b C a

    



cos x dxsinx C

 cosax b dx 1.sinax b C a

   



2

1

cot

sin xdx  x C

 2   

1

.cot

sin ax b dx a ax b C



2

1

tan cos xdx x C

 2   

1

tan

cos ax b dxa ax b C



x x

e dxe C

 eax b.dx 1.eax b C

a

   



ln

x

x a

a dx C a

 

 2

1 ln

dx x a C x a a x a



 

 



 Nhận xét Khi thay x ax b  lấy nguyên hàm nhân kết thêm

a

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 1. (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho F x  nguyên hàm  

2

f x x



 Biết

 1

F   Tính F 2 kết

A ln 1 B 4 ln 1 C 2ln 2 D 2 ln

Lờigiải

Chọn D

Ta có:    

2

1

( )

f x dx F F



  

 

2

2 1

2

2 ln 2 ln ln1 ln

2 x

x 



    



  2  1 ln

F F

     F 2 2 ln (do F 1 0)

Câu 2. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x  Biết f 0 4 f ' x 2sin2x1,  x ,

 

4

0 d

f x x





A

16

16

  

B

4 16

 

C

15 16

  

D

16 16

16

  

Lờigiải

ChọnA

Ta có   2 sin2 1 d 2 cos 2  d 2 1sin 2 .

f x  x x  x x x x C

Vì f 0  4 C4

Hay   1sin

2

f x  x x

Suy  

4

0

1

d sin d

2

f x x x x x

 

 

    

 

 

2

2

4

1 16

cos

4 16 16

x x x



  

  

      

Câu 3. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x  Biết f 0 4 f x 2sin2x3,  x R,

 

0 d

f x x





A

2

 

B

2

8

8

   

C

2

8

8

  

D

2

3

8

   

Lờigiải

ChọnC

       

d 2sin d cos d cos d sin 2

f x x x x  x x  x x x x C

   

Ta có f 0 4 nên 4.0 1sin 4

2 C C

    

Nên   1sin

 

4

2

0

1

d sin d cos 4

2

0

f x x x x x x x x

 



   

         

   

 

2

8

8

  

Câu 4. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f x( ).Biết f(0)4 f x( )2cos2x3, x ,

4

0

( )

f x dx



 bằng?

A

2

8

8

  

B

2

8

8

  

C

2

6

8

  

D

2

 

Lờigiải

ChọnB

Ta có f x( ) f,( )x dx(2 cos2x3)dx (2.1 cos 3)

x dx



 

(cos 2x 4)dx

  =1sin

2 x x C f(0) 4 C4

Vậy ( ) 1sin 4

2

f x  x x nên

4

0

1

( ) ( sin 4)

2

f x dx x x dx

 

  

 

2

0

( cos 2 )

4 x x x



   

2

8

8

  



Câu 5. Biết hàm số f x mxn thỏa mãn  

1

0

d

f x x

 ,  

0

d

f x x

 Khẳng định

là đúng?

A mn4 B mn 4 C mn2 D mn 2

Lờigiải

Ta có:  f x dxmx n dx = C

m

x nx Lại có:  

1

0

d

f x x



0

m

x nx

 

   

 

1

3 2m n

    1

 

2

0

d

f x x

 2

0

m

x nx

 

   

  2m2n8  2

Từ  1  2 ta có hệ phương trình:

3

2

m n m n



 

 

  



2

m n

   

 

4

m n

  

Câu 6. Biết hàm số f x ax2bxc thỏa mãn  

1

0

7 d

2

f x x 

 ,  

0

d

f x x 



A

4

 B

3

 C 4

3 D

3

Lờigiải

Ta có:  f x dxax2bx c dx = C

3

a b

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Lại có:  

0

7 d

2

f x x 

 a3x32bx2cx10 27

 

1

3a 2b c

      1

 

2

0

d

f x x 

 2 2

0

3

a b x x cx

 

     

 

8

2 2

3a b c

      2

 

3

0

13 d

2

f x x

 3 13

0

3 2

a b x x cx

 

    

 

9 13

9

2

a b c

     3

Từ  1 ,  2  3 ta có hệ phương trình:

1

3 2

8

2 2

3

9 13

9

2

a b c a b c a b c



   

  

   

  

  

 

1

16

a b c

   

 

    

16

1

3

P a b c  

         

 

Câu 7. (ChunLêQĐơnĐiệnBiên2019) Có hai giá trị số thực a a1, a2 (0a1a2) thỏa

mãn  

1

2 d

a

x x

 Hãy tính 2

2 3a 3a log a

T

a

 

    

 

A T 26 B T 12 C T 13 D T 28

Lờigiải

ChọnC

Ta có:  

1

2 d

a

x x

  1

a x x

  a23a2

Vì  

1

2 d

a

x x

 nên a23a 2 0, suy

a a

 

 



Lại có 0a1a2 nên a11; a22

Như 2

2 3a 3a log a

T

a

 

    

 

1

2

2 3 log

1  

    

 13

Câu 8. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho  

0

3 d

m

x  x x

 Giá trị tham số m

thuộc khoảng sau đây?

A 1; 2 B ; 0 C 0; 4 D 3;1

Lờigiải

ChọnC

Ta có:    

0

3 d

m

m

x  x x x x x m m m



 

0

3 d

m

x  x x

Câu 9. (ThithửLômônôxốp-HàNội 2019) Cho  

2

4 d  

I x m x Có giá trị nguyên

mđể I60?

A 1 B 5 C 2 D 3

Lờigiải

ChọnD

Theo định nghĩa tích phân ta có    

1

1

2 2

0

4 d 2 2

       I x m x x m x m

Khi I   6 2m2    2 m2    4 m2

Mà mlà số nguyên nên m  1; 0;1 Vậy có giá trị nguyên mthỏa mãn yêu cầu

Câu 10. (SởGDKonTum-2019) Có giá trị nguyên dương a để 0a2x3 d x4?

A 5 B 6 C 4 D 3

Lờigiải

ChọnC

Ta có:    

0 d 3

a a

x x x  x a  a



Khi đó:  

0 d

a

x x

 

3

a  a   1 a4

Mà a*nêna1; 2;3; 4 Vậy có giá trị a thỏa đề

Câu 11. (THPTLương Thế Vinh -HN 2018).Có số thực b thuộc khoảng  ;3  cho

4 cos

b

xdx





 ?

A 8 B 2 C 4 D 6

Lờigiải

Ta có: cos b

xdx





 2 sin 2x b 1 sin

2

b

  12

5 12

b k

b k

  





 

  

  



Do đó, có số thực b thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 12. (Cần Thơ - 2018) Cho hàm số f x  xác định \2;2 thỏa mãn   24

4

f x x

 

 ,

 3  3  1  1

f   f  f   f  Giá trị biểu thức f 4 f 0  f 4

A 4 B 1 C 2 D 3

Lờigiải

Ta có:

4 1

d d ln ln

4 x 2 x x x C

x x x

 

        

    

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Do đó:  

1

2

3

2

ln

2

ln 2

2

ln

2

x

C x x

x

f x C x

x x

C x x

 

  

 

  

    

 

 

 

 

  3 ln 1;

f   C  3 ln1 3;

f  C f 0 C2; f 1 ln 3C2;  1 ln1 2;

f  C

 3  3  1  1

f   f  f   f  C1C32C2 2

2

C C C

 

  





Vậy f 4 f 0  f  4 ln 1 2 ln1 3

C C C

     C1C2C33

Câu 13. (ChuyênLươngThếVinh-ĐồngNai-2018) Biết

4

2

1 e

d e e

4 e

x

b c x

x

x a x x



   

 với a, b, c

là số nguyên Tính T a b c

A T  3 B T 3 C T  4 D T  5

Lờigiải

Ta có

2

1 e 1

4 e e

x

x x

x

x x x

  

   

 

nên

2

1 e

d

4 e

x

x x

x x x

 



4

1

1

d e

2 x x x

 

   

 

  

4 e x

x 

   1 e1e4

Vậy a1, b 1, c 4 Suy T 4

Câu 14. (Sở Bạc Liêu - 2018) Cho hàm số f x  xác định \ 0  thỏa mãn f  x x 21

x



  ,

 2

2

f    2 ln

f   Giá trị biểu thức f  1  f  4 A 6 ln

4



. B 6 ln

4



C 8 ln

4



D 8 ln

4



Lờigiải

Có f x  f  x dx x 21dx lnx C

x x

 

    

 

1

2

ln

1

ln

x C x

x f x

x C x

x



  

 

  

   

 

Do  2

f   ln 1 1 ln

2 C C

      

Do  2 ln

f   ln 2 ln 2 ln

2 C C

Như vậy,  

1

ln ln

1

ln ln

x x

x f x

x x

x



   

   

    

 

Vậy  1   4 ln 2 ln ln ln

4

f   f        

 

Câu 15. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x( ) có f(0)4

và f( )x 2 cos2x  1, x  Khi

4

0 ( ) π

f x dx



A

16 16 16

   

B

2

4 16

 

C

2

14 16

  

D

2

16 16

  

Lời giải

Chọn D Ta có

 

2 cos

( ) (2 cos 1)d d cos 2 d

2 sin

cos d 2d

2

x

f x x x x x x

x

x x x x C

    

  

        

    

  

 

Lại có (0) 4 ( ) sin 2

2

x

f    C f x   x

4 4 4

0 0 0

2

sin

( )d d sin d(2 ) d 4d

2

cos 16

( )

4

4 16

0

π π π π π

x

f x x x x x x x x x

π π

x π π

x x

 



        

  

   

    

Câu 16. (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f x  có f 0 0 f' x sin4x,  x  Tích phân

 

2

0 d

f x x

 

A

6 18





B

2 32





C

2

3 16

64





D

2

3

112





Lời giải

Chọn C Ta có:

 

2

4 cos 2

sin cos cos

2

x

x     x x

 

1 cos

1 cos

4

x x 

 

    

 

 

1

cos 4 cos

8 x x

  

Suy   ' d cos 4 cos d sin 1sin

8 32

f x  f x x  x x x x x x C

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Do  

0 d

f x x

 

2 2

2

0

1 1

sin sin d cos cos

32 x x 8x x 128 x x 16x

   

         

   



 

2

1 1 16

128 64 128 64

    

        

 

 

 

Dạng Tích phân hàm số hữu tỷ

Tính  

 

b

a P x

I dx

Q x

 ? với P x  Q x  đa thức không chứa Nếu bậc tử P x   bậc mẫu Q x  PP chia đa thức

Nếu bậc tử P x   bậc mẫu Q x  mà mẫu số phântíchđượcthànhtích số PP đồng thức để đưa thành tổng phân số

Một số trường hợp đồng thức thường gặp:

+

  

1 a b

ax m bx n an bm ax m bx n

 

   

        1

+

  

   

  

A B m A B x Ab Ba

mx n A B

Ab Ba n x a x b x a x b x a x b

 

   



    

  

      

+

    

1 A Bx C

x m

x m ax bx c ax bx c



 



     với

2

4

b ac

   

+

  2 2  2  2

1 A B C D

x a x b

x a x b x a x b

   

 

   

Nếu bậc tử P x   bậc mẫu Q x  mà mẫukhơngphântíchđượcthànhtíchsố, ta xét số trường hợp thường gặp sau:

+

   

1

2 n , * tan

PP

dx

I n N x a t x a

   





+ 2 2  

2 x

,

2

dx d

I

ax bx c b

a x

a a

   

      

  

   

   

 

 

  Ta đặt tan

2

b

x t

a a



   

+ I3 2px q dx ax bx c

 

 

 với  b24ac0 Ta phân tích:

 

2

3 2

2

2

I A

ax b dx

p b p dx

I q

a ax bx c a ax bx c

  

   

     

 

  giải A cách đặt t mẫu số

Câu 1. (THPTQuỳnhLưu3NghệAn2019) Biết

  

2

1

d

ln ln ln

1

x

a b c

x x   

 Khi giá trị

a b c 

A 3 B 2 C 1 D 0

Lờigiải

  

2

1

d

d

1 2 1

x

x

x x x x

 

   

     

 

2

1

1

2 d d

2x x x x

 

 

 

2

1

2 ln ln

1

2 x x

    ln 2 12 ln 12

1

x x

    ln ln 3 ln ln 2  ln 2 ln ln

  

Do đó: a1,b 2, c1 Vậy a b c    1  2  1

Câu 2. (THPTAnLãoHảiPhòng2019) Biết  

0

1

3

ln , ,

2

x x

I dx a b a b

x



 

   



  Khi giá trị

của a4bbằng

A 50 B 60 C 59 D 40

Lờigiải

ChọnC

Ta có

0

2

1

0

3 21

3 11 11 21.ln

1

2 2

x x

I dx x dx x x x

x x

 

     

          



     

 

2 19

21.ln

3

  Suy 21, 19

2

a b Vậy a4b59

Câu 3. Biết

2

2

ln

x

dx n

x m

 

 



 , với m n, số nguyên Tính m n

A S 1 B S4 C S 5 D S 1

Lờigiải

ChọnA

1

2

1 1 1

0

0 0

0

2 ( 1)

( 1) ln | 1| ln

1 2

2, 1

x dx x

dx x dx x

x x

m n m n

  

       

 

      

  

Câu 4. (ChunLêQ ĐơnQuảng Trị2019) Tích phân  

2

2

1

d ln

1

x

I x a b

x



  



 a, b

các số nguyên Tính giá trị biểu thức a b

A 1 B 0 C 1 D 3

Lờigiải

Ta có      

2

1 1

1

2

2 2 0

0 0

1

d d d d ln 1 ln

1 1

x x

I x x x x x x

x x x

  

            

    

   

1

3

a

a b b

 

   

 

Câu 5. (ChuyênTrầnPhú Hải Phòng2019) Biết

5

3

1

d ln

1

x x b x a x

 

  

 với a, b số nguyên

Tính S a 2b

A S 2 B S 2 C S 5 D S10

Lờigiải

5

5

1

d d ln ln

x x x

x x x  x 

   

         

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 6. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho

2

10

d ln

1

x a

x x

x b b

 

  

 



 

 với a b,  Tính

?

Pab

A P1 B P5 C P7 D P2

Lờigiải

Ta có

2 2

2 2

1 1

1 1

d d d

1 1

x x

x x x x x x

x x x

 

           

     

  

     

  

2

1

10 10 10

ln ln ln ln ln

3 3

x a

x x

b b

 

           

 

Suy a2;b3 Vậy ab5

Câu 7. (Chuyên SơnLa2019) Cho

3

3

ln ln ln

3

x

dx a b c x x



  

 

 , với a, b, c số nguyên

Giá trị a b c 

A 0 B 2 C 3 D 1

Lờigiải

  

 

3 3

2

1 1

3

3 2

3

2 ln ln 2 ln ln ln

x x

dx dx dx dx

x x x x x x

x x

 

  

     

      

   

Suy a2 , b1 , c 1

Nên a     b c 1

Câu 8. (Sở Phú Thọ 2019) Cho

4

5

d ln ln ln

3



  

 

 x x a b c

x x , với , , a b c số hữu tỉ Giá

trị 2a3b c bằng

A 12 B C D 64

Lờigiải

ChọnD

Ta có:

2

5

d

3

 

 

 x

I x

x x   

4

3

5

d

1

 

 

 x x

x x

      

4

3

3 2

d

1

  



 

 x x x

x x

4

3

3

d

1

 

   

 

 

 x

x x

3ln ln 24 3ln ln 3ln 3ln ln 0.ln

 x  x      

Suy

3

1 2 64

0

 

  

    

   

a b c

a b c

Câu 9. Biết

5

3

1

d ln

1

x x b x a x

 

  

 với a, b số nguyên Tính S a 2b

A S2 B S  2 C S5 D S 10

Lờigiải

5

5

3 3

1

d d ln ln

1 2

x x x

x x x x

x x

 

   

         

     

   ab83

 

2

S a b

   

Câu 10. Biết

1

2

1 d

a x x x b



  

 a b, ,a10 Khi a b có giá trị

A 14 B 15 C 13 D 12

Lờigiải

Xét

1

2

0

1

d d

1 1 3

2

I x x

x x

x

 

   

 

 

 

 

Đặt 3tan

2

x  t, với ,

2

t   

 

Khi 3 

d tan dt

2

x  t Với x0, ta có

6

t Với x1, ta có

3

t

Khi  

 

2

3 3

2

6

6

3

1 tan

2

2 dt dt=

3 1 tan 3

4

t

I t

t

  



 





  



  Từ suy 12

9

a

a b b

 

  

  

Câu 11. (Đề Thi CôngBằng KHTN2019) Biết

2 2

5

d ln ln

4

x x

x a b c x x

 

  

 

 , a b c, ,  Giá trị abc

A 8 B 10 C 12 D 16

Lờigiải

Ta có: 2

2

5

d

4

x x x x x

 

 

   

2

0

1

1 d

1

x

x x x

  

   

 

 



2

0

1

1 d

1 x

x x

 

    

 

 

 xln x 1 ln x320 ln ln

  

Vậy a2,b 3,c2, abc 12

Câu 12. (THPTNguyễnTrãi-DàNẵng-2018) Giả sử

0

1

3

ln

2

x x

dx a b x



 

 



 Khi đó, giá trị

của a2b

A 30 B 60 C 50 D 40

Lờigiải

Ta có:

0

1

3 21

3 11

2

x x

I dx x dx

x x

 

   

     

   

 

0

1

3 19

11 21.ln 21.ln 21.ln

2

x

I x x



 

        

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 19 21ln I    21 19 a b         40 a b   

Câu 13. (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh-2019) Biết

4

2

7

d ln

3

x x x a x c x x b

  

 

 

 với a, b, c

các số nguyên dương a

b phân số tối giản Tính

2

P a b c

A 5 B 4 C 5 D 0

Lờigiải

Ta có

4

2

7

d

x x x x x x         

3

2 d x x x x x              

4

4 2 1 1 d

1 27 27

2 3ln 3ln

2 2

x x

x x x x

x x                    Mà

4

2

7

d ln

3

x x x a x c x x b

  

 

 

 , suy a27, b2, c3

Vậy P a b2c3 4

Câu 14. Cho

1

2

4 15 11

d ln ln

2

x x

x a b c x x

 

  

 

 với a, b, c số hữu tỷ Biểu thức T a c b 

bằng

A 4 B 6 C

2



D 1

2

Lờigiải

Ta có

1 2

2 2

0 0

4 15 11 (4 10 4) (5 7)

d d d

2 2 2

x x x x x x

x x x

x x x x x x

                         1

1 3

2 d ln | | ln | | ln ln

0

2 x x x x

x x                         

Vậy a2, b 1,

c nên T 6

Câu 15. (SGDBếnTre2019) Biết

1

0

2

d ln

1 x x n x m     

 , với m, n số nguyên Tính Sm n

A S 1 B S 5 C S1 D S4

Lờigiải ChọnC Ta có: 2 d x x x    1 d x x x            ln x x x          ln 2   

Câu 16. (THPTCẩmBình 2019) Cho

2

1

d ln ln

3 x a b

x  x  

 , với a b, số hữu tỷ Khi

ab

A 0 B 2 C 1 D 1

Lờigiải

ChọnC

Xét

  

1 1

2

0 0

1

1 1 1

d d d ln ln ln

0

3 2 2

x

x x x

x x x x x x x



   

         

          

  

Vậy a2, b    1 a b

Câu 17. (SởHàNam-2019) Cho

1

2

2

d ln ln

3

x x

x a b c x x



  

 

 với a, b, c số nguyên Tổng

a b c 

A 3 B 2 C 1 D 1

Lờigiải

ChọnC

Ta có:

1

2

2

d

3

x x x x x



 



1

2

3

2 d

3

x

x x x



 

   

 

 



1

0

1

2 d

1 x

x x

 

    

 

 

 2xln x 1 ln x210 2 ln 2ln 3 Suy a2; b1; c 2

Vậy a b c  1

Câu 18. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho biết

2

1

ln ln

4

x

dx a b x x

  

 

 , với ,a b Tính

2

T a b

A 13 B 10 C 25 D 5

Lờigiải

ChọnA

Ta có:

  

2

1

4 3

x x A B

x x x x x x

    

     

1

1,

1

3

x x

A B

x x

x x

 

    

   

 

2

2

0

2

1

ln ln ln ln ln

0

4 3

2 ln 3ln ln ln

2, 13

x

dx dx x x

x x x x

a b

a b T

 

   

             

   

   

     

 

Câu 19. (Chuyên-KHTN-HàNội-2019) Biết

2 2

5

d ln ln

4

x x

x a b c x x

 

  

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A 8 B 10 C 12 D 16

Lờigiải

ChọnC

Ta có:

2 2

2

0 0

5 1

d d d

4 3

x x x

x x x

x x x x x x

       

        

         

  

x ln x 2ln x 302 2ln 3ln a bln cln

          

2

3 12

2

a

b a b c c

  

     

  

Câu 20. (Chuyên Lê Hồng Phong NamĐịnh 2019) Biết

4

2

7

d ln

3

x x x a

x c

x x b

  

 

 

 với ,a b,c

các số nguyên dương a

b phân số tối giản Tính giá trị

2

Pab c

A 5 B 3 C 6 D 4

Lờigiải

ChọnD

Ta có  

4

2

1

3

7

d d

3

x x x x

x x x

x x x x



 

  

    

     

   

4

2

1

2 3ln

2

x

x x x

 

     

 

27 3ln

 

Vậy

4

Pab c  

Câu 21. (BìnhPhước-2019) Cho

  

3

2 d

ln ln ln

1

x

a b c

x x   

 với , ,a b c số hữu tỉ Giá

trị

ab c

A 3 B 6 C 5 D 4

Lờigiải

ChọnB

Ta có

  

3

2

d 1

1 2

x

dx

x x x x

 

   

     

 

3

2 ln

2

x x

 



4

ln ln

5

  4 ln ln ln 5 

Suy a4, b 1,c 1 Vậy ab2c36

Câu 22. (SGD Đà Nẵng 2019) Cho

4

2

d ln ln ln

3

x

x a b c x x



  



 với a b c, ,  Giá trị

2a3b7c

A 9 B 6 C 15 D 3

Lờigiải

ChọnD

Ta có:  

    

4 4 4

2 3

3 3

3

2 1

d d d ln ln 28 ln18

3 3

x x x

x x x x x

x x x x x x

 

  

        

    

  

14

ln ln14 ln ln 2 ln ln

     

1

a

Vậy 2a3b7c3

Câu 23. (SGDĐiệnBiên-2019) Cho

 

2

2

.ln ln

x

dx a b c x   

 , với , ,a b clà số hữu tỷ Giá trị

6a b c  bằng:

A 2 B 1 C 2 D 1

Lờigiải

ChọnD

Ta có

   

2

2

1

2

1 1

ln ln ln

1

1

1

x

dx dx x

x x

x x

   

           

     

   

 

1

, 1,

6

a b c

      , nên 6a b c   1

Câu 24. (SPĐồngNai-2019) Biết

3 2

5 12

d ln ln ln

5

x

x a b c x x



  

 

 Tính S3a2b c

A 11 B 14 C 2 D 3

Lờigiải

ChọnA

Ta có  

3

2

2

3

5 12

d d ln 3ln

2

5

x

x x x x

x x x x

  

       

     

 

2 ln 3ln 6 2 ln 3ln 5 ln ln 3ln

       

4, 1,

a b c

     

Do S3a2b c  12 3   11 Dạng Tích phân đổi biến

Tíchphânđổibiến:   '       

b

a

b

f x u x dx F u x F u b F u a a

  

       

       



Cácbướctínhtíchphânđổibiếnsố

Bước1 Biến đổi để chọn phép đặt tu x dtu x dx'  (quan trọng)

Bước2 Đổi cận:  

  t u b x b

x a t u a

  

 



 

 

 

(nhớ: đổibiếnphảiđổicận)

Bước3 Đưa dạng  

   

u b

u a

I  f t dt đơn giản dễ tính tốn

Mộtsốphươngphápđổibiếnsốthườnggặp

Đổibiếndạng1  

          

1

'

b b b

a a a

I I

f x g x

I dx h x dx f g x dx

g x g x

  

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Đổibiếndạng2

Nghĩa gặp tích phân chứacănthức có khoảng 80% đặt t trừ số trường hợp ngoại lệ sau:

1/ I1 f a2x2 x dx  đặt xa.sint xa.cost (xuất phát từ công thức

2

2

2

cos sin

sin cos

sin cos

x x

x x

x x



  

   

 

 

2/ I2f  x2a2 x dx  đặt xa.tant xa.cott (mấu chốt xuất phát từ công thức tan2 12

cos

x

x



  



3/ I3 f x2a2 x dx  đặt

sin

a x

t



cos

a x

t



4/ I4 f a x dx a x

  

  

 

   đặt xa.cos 2t 5/

 

5 n n n

dx I

a bx a bx



 

  đặt x

t



6/

6 , ,

k s s

I  R ax b ax b dx 

 

  đặt tn ax b

(trong n bội số chung nhỏ s s1; ; ;2 sk

7/

  

7

dx I

ax b cx d



 

  đặt t ax b  cxd

Đổibiếndạng3 f lnx .1 dx t lnx dt 1.dx

x     x



Đổibiếndạng4 f sinx.cos x dx t sinxdtcos x dx

Đổibiếndạng5 f cosx.sin x dx t cosxdt sin x dx

Đổibiếndạng6. tan  12 tan 2

cos cos

dx f x dx t x dt

x     x



Đổibiếndạng7 cot  12 cot 2

sin sin

dx

f x dx t x dt

x      x



chẵn

chẵn

Đổibiếndạng8    

   

sin cos sin cos sin cos

sin cos

sin cos sin cos

f x x x x dx t x x

t x x

f x x x x dx

    



  

     



 

Đổibiếndạng9  

 

2 . 2

n

n

f ax b xdx t ax b dt axdx f ax b xdx t ax b dt adx

      



      



 

Câu 1. (ĐềTham Khảo-2019) Cho

 

1

2

ln ln

xdx

a b c x

  



 với a b c, , số hữu tỷ Giá trị

3a b c 

A 2 B 1 C 2 D 1

Lờigiải

ChọnD

Đặt t  x dtdx

Đổi cận: x  0 t 2; x  1 t

 

1

2

0

xdx x

  

3 2

2

t dt t





3 2

1

dt t t

 

   

 



3

2 lnt

t

 

  

   

2

ln ln

    ln ln

3

   

Suy 1; 1;

3

a  b  c 3a b c     1 1 1

Câu 2. Tính

3 2

d

x

K x

x

 



A Kln B 1ln8

2

K  C K2 ln D ln8

K 

Lờigiải

Đặt d d d d

2

t tx   t x xx x

Với x  2 t 3; x  3 t

Ta có

8

3

8

1 d 1

ln ln

3

2 2

t

K t

t

   

Câu 3. (Chuyên Long An- 2018) Cho tích phân

 

1

5

d

x

I x

x

 

 , giả sử đặt t 1 x2 Tìm mệnh đề

A  

3

5

1

d

t

I t

t



  B  

3

5

1 d

t

I t

t





C  

3

4

1

d

t

I t

t



  D  

3

4

1

d

t

I t

t



 

Lờigiải

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 

1

5

d

x

I x

x

 





 

1

5

d

x x x x

 

  

3

5

1

d

t

t t



 

Câu 4. (KTNLGiaBìnhNăm2019) Có số thực a để

1

1  

 x dx a x

A 2 B 1 C 0 D 3

Lờigiải

ChọnB

Điều kiện tích phân tồn 0,  0;1   

     

 

a a x x

a

Đặt tax2 dt2xdx Khi

2

1 2

2

0

2 1

1 1

ln

1

2

1 

  

  

 

     



      

 



 

a

a

a a e a

x dt a e

dx

t a

a x a e a a

e

So sánh điều kiện ta 21

1 



a

e

Câu 5. (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f x  có f 1 0

  2019.2020  12018,

f x  x x  x  Khi  

1

0 d

f x x



A

2021 B

1

1011 C

2 2021

 D

1011

 Lời giải

Chọn C

Cần nhớ:  f x dx f x C      

1

d

1

ax b

ax b x C

a

 

 





    





Ta có f x  f x dx2019.2020.x x 12018dx2019.2020x x 12018dx Đặt t x 1 dtdx x t

Suy     2018  2019 2018

2019.2020 d 2019.2020 d

f x   t t t  t t t

2020 2019

2020 2019

2019.2020 2019 2020

2020 2019

t t

C t t C

 

      

 

Từ f x 2019x120202020x12019C

Mà f 1 02019 1  20202020 1  2019C0C 0 Suy f x 2019x120202020x12019

Vậy          

1

2021 2020

1

2020 2019

0

0

1

d 2019 2020 d 2019 2020

2021 2020

x x

f x x x x x

   

 

      

   

 

 

2019

1

2021 2021

 

     

Câu 6. (ĐềThamKhảo2019) Cho

 

1

2

ln ln

xdx

a b c x   

 với a b c, , số hữu tỷ Giá trị

3a b c 

A 2 B 1 C 2 D 1

Lờigiải

ChọnB

Đặt t  x dtdx

Đổi cận: x  0 t 2; x  1 t

 

1

2

0

xdx x

  

3 2

2

t dt t





3 2

1

dt t t

 

   

 



3

2 lnt

t

 

  

   

2

ln ln

    ln ln

3

   

Suy 1; 1;

3

a  b  c 3a b c     1 1 1

Câu 7. (ChuyênVĩnhPhúc2019) Cho 2x3x2 d6 x A3x28B3x27C với A B C, ,  Tính giá trị biểu thức 12A7B

A 23

252 B

241

252 C

52

9 D

7

Lờigiải

Đặt t3x2 d 3d d d

3

t t x x

   

Khi

 6 2

2 d d

3

t

x x x  t t

   

8

7

2 2

2 d

9

t t

t t t   C

     

 



 8  7

1

3

36 x 63 x C

    

Từ ta có

36

A ,

63

B Suy 12 7

9

A B

Câu 8. (ChuyênHàTĩnh-2018) Biết

1

2

2 3

dx ln

2

x x

a b x x

 

 

 

 với ,a b số nguyên dương Tính

2

Pa b

A 13 B 5 C 4 D 10

Lờigiải

Ta có

1

2

2 3

d

2

x x

I x

x x

 



 



Đặt

1

dt dx t x

x t

 

   

  

suy

1

x t

x t

  

 

   

Khi

 2  

2

2

2 3

dt

t t

I

t

   

 

2

2

2

dt

t t t

  



2

2

1

2 dt

t t

 

  

 

 



2

1 2t lnt

t

 

 

 

   3 ln

Suy 2

3 13