Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.[r]
(1)I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm ngun hàm hàm số
1 f(x) = x2 – 3x +
x
1
ĐS F(x) = x − x +lnx+C
2 3
2
2 f(x) = 2
3
x
x +
ĐS F(x) = C x
x −3+
3
f(x) = 21
x x−
ĐS F(x) = lnx +
x
1
+ C
4 f(x) = 2 2
) (
x
x −
ĐS F(x) = C x x
x − + 1+
2
3
5 f(x) =
x x
x+ + ĐS F(x) = x + x + x +C
5 4 3
2
5
6 f(x) =
3
2
x
x − ĐS F(x) = x− x +C
3
3
2
7 f(x) =
x x 1)2
( −
ĐS F(x) = x−4 x+lnx+C
8 f(x) =
1
x x−
ĐS F(x) = x −x3 +C
9 f(x) =
2 sin
2 x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x+ sin2x+C
4
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13 f(x) =
x
x
2
cos sin
1
ĐS F(x) = tanx - cotx + C 14 f(x) =
x x
x
2
cos sin
2 cos
ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = − cos3x+C
3
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = − cos5x−cosx+C
5
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e2x −ex +C
2
18 f(x) = ex(2 + ) cos2 x
e−x
ĐS F(x) = 2ex + tanx + C
19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C a
ax x
+ +
3 ln
3 ln
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x+1+C
(2)2/ Tìm hàm số f(x) biết
1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x + f’(x) = – x2và f(2) = 7/3 ĐS f(x) =
3
3
+ − x
x
3 f’(x) = x −x f(4) = ĐS f(x) =
3 40
8
− − x
x x
4 f’(x) = x - 12 +2
x f(1) = ĐS f(x) = 2
2
− +
+ x
x x
f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 6 f’(x) = ax + 2 , f'(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2
x b
ĐS f(x) =
2
2
+ +
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số
Tính I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)⇒dt=u'(x)dx
I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx=∫ f(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 ∫(5x− dx1) ∫
−
)
( x
dx
∫ 5− 2xdx ∫
−1 2x
dx
5 ∫(2x2 +1)7xdx ∫(x3+5)4x2dx ∫ x2 +1.xdx ∫
+ dx
x x
5
2 ∫
+ x dx x
3
2
3
10 ∫
+
)
( x
x dx
11 dx x
x
∫ln3 12 ∫x.ex2+1dx
13 ∫sin4 x cosxdx 14 ∫ dx x x
5
cos sin
15 ∫cotgxdx 16 ∫
x tgxdx
2
cos
17 ∫
x dx
sin 18 ∫ x dx
cos 19 ∫tgxdx 20 ∫ x dx e x
21 ∫
−
x x
e dx e
22 ∫ dx x etgx
2
cos 23 ∫ 1−x dx
2
24 ∫
−
4 x dx
25 ∫x2 1−x2.dx 26 ∫
+
1 x dx
27 ∫
− 2
1 x dx x
28 ∫
+
+
2
x x
dx
29 ∫cos3 xsin2 xdx 30 ∫x x−1.dx 31 ∫ +1
x
e dx
32 ∫x3 x2 +1.dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I
∫u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx Hay
(3)1 ∫x sin xdx ∫x cosxdx ∫(x2 +5)sinxdx 4∫(x2 +2x+3)cosxdx
5 ∫xsin2xdx ∫xcos2xdx ∫x.exdx ∫lnxdx
9 ∫x lnxdx 10 ∫ln2 xdx 11 ∫
x xdx
ln
12 ∫e xdx
13 ∫ dx
x x
2
cos 14 ∫xtg xdx
2
15 ∫sin x dx 16 ∫ln(x2 + dx1) 17 ∫ex.cosxdx 18 ∫x3ex2dx 19 ∫xln(1+x2)dx 20 ∫2xxdx
21 ∫x lgxdx 22 ∫2xln(1+ dxx) 23 ∫ + dx x
x
2
) ln(
24 ∫x2cos2xdx
TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
3
(x + +x 1)dx
∫ 2
1
1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫
3
1
2
x− dx
∫
2
1
1
x+ dx
∫
2
3
(2 sinx 3cosx x dx)
π
π
+ +
∫
1
0
(ex+x dx) ∫
6
1
(x +x x dx)
∫
2
1
( x+1)(x− x+1)dx
∫
8
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
π
π
+ +
∫
1
2
(ex+x +1)dx
∫
10
2
2
1
(x +x x+ x dx)
∫ 11
2
1
( x−1)(x+ x+1)dx
∫
12
3
1
x dx
( )
−
+
∫ 13
2
2
2 -1
x.dx x +
∫
14
2 e
1
7x x dx x
− −
∫ 15
x
5
2
dx
x+ +2 −
∫
16
2
2
x dx
x x x
( ) ln + +
∫ 17
2
3
x dx
x cos
sin
π
π
∫
18
4
2
tgx dx x cos
π
∫ 19
1 x x
x x
0
e e
e e dx
−
−
− +
∫
20
1 x
x x
0
e dx
e e
−
+
∫ 21
2
2
dx
4x +8x
(4)22
3
x x
0
dx
e e
ln
−
+
∫ 22
2
0
dx sinx
π
+
∫
24 ∫ −
+ +
1
1
)
( x x dx 25 ∫ − −
2
0
) 2
( x x dx
26 ∫ −
−
2
2
) (x dx
x 27 ∫
−
−
4
3
) (x dx
28 dx
x x
∫
+
2
1
3
1
29 ∫ −
2
1
2
dx x
x x
30 ∫
e
e
x dx
1
1
31 ∫
16
1
.dx
x
32 dx
x x x
e
∫ + −
2
1
7
33 dx
x x
∫
−
8
1 33
1
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
2
3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
2
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3
2
sin
x dx cosx
π
+
∫
4
tgxdx
π
∫
4
4
6
cot gxdx
π
π
∫
6
1 sin xcosxdx
π
+ ∫
1
1
x x + dx
∫
1
2
1
x −x dx
∫
1
1
x x + dx
∫
1
3
0
x dx
x +
∫
10
1
3
0
1
x −x dx
∫ 11
2
1
dx
x x +
∫
12
1
1 1+x dx
∫ 13
1
1
2 2dx
x x
−∫ + +
14
1
1
dx
x +
∫ 15
1
2
1 (1 3+ x ) dx ∫
16
2 sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫ 17
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
18
1
x
e + xdx
∫ 19
2
3
3
sin xcos xdx
π
π
(5)20
2 sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫ 21
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
22
1
x
e + xdx
∫ 23
2
3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
24
2
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 25
2
sin
x dx cosx
π
+
∫
26
4
tgxdx
π
∫ 27
4
6
cot gxdx
π
π
∫
28
6
1 sin xcosxdx
π
+
∫ 29
1
1
x x + dx
∫
30
1
2
1
x −x dx
∫ 31
1
1
x x + dx
∫
32
1
3
0
x dx
x +
∫ 33
1
3
0
1
x −x dx
∫
34
2
1
dx
x x +
∫ 35
1
1 ln
e
x dx x
+ ∫
36
1
sin(ln )
e
x dx x
∫ 37
1
1 3ln ln
e
x x
dx x
+ ∫
38
2ln 1
e x
e
dx x
+
∫ 39
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
+
∫
40
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
cos + x
∫ 41
2
11
x dx x
+ −
∫
42
1
0
x dx x+
∫ 43
1
0
1
x x+ dx
∫
44
1
0
1
1 dx
x+ + x
∫ 45
1
0
1
1 dx
x+ − x
∫
46
3
1
1
x dx x
+
∫ 46
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
47
1
sin(ln )
e
x dx x
∫ 48
1
1 3ln ln
e
x x
dx x
+ ∫
49
2ln 1
e x
e
dx x
+
∫ 50
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
+
(6)51
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
cos + x
∫ 52
1
2
0
5 +
∫x x dx
53 ( )
2
4
0
sin +1 cos
∫ x xdx
π
54
4
2
0
4− x dx
∫
55
4
2
0
4− x dx
∫ 56
1
2 1
dx x +
∫
57 ∫e x dx
− +
1
58 ∫ −
1
0
dx e x
59
3
x dx (2x 1)+
∫ 60
0
x dx 2x 1+
∫
61
0
x xdx−
∫ 62
2
4x 11 dx x 5x
+
+ +
∫
63
2
2x dx x 4x
−
− +
∫ 64
3
2
x
dx x +2x 1+
∫
65
6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫ 66
3
4sin x dx cosx
π
+
∫
67
2
1 sin2x dx cos x
π
+
∫ 68
2
cos 2xdx
π
∫
69
6
1 sin2x cos2x dx sin x cosx
π
π
+ +
+
∫ 70
1 x
1 dx e +1
∫
71 4(cos x sin x)dx
4
∫ −
π
72 ∫ +
4
01 2sin2
2 cos π
dx x x
73 ∫2 +
02cos3
3 sin π
dx x
x
74 ∫2 −
05 2sin
cos π
dx x x
75 ∫
− + −
+
0
2
3
2
dx
x x
x
76 ∫
+ +
−
1 x2 2x
dx
77
3
0
cos x sin xdx
π
∫ 78
2
cos xdx
π
∫
79
2
sin 4x dx cos x
π
+
∫ 80
1
3
0
x x dx− ∫
81
2
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫ 82
4
1 dx cos x
π
(7)83 e
1
1 ln x dx x +
∫ 84
4
1 dx cosx
π
∫
85
e
1
1 ln x dx x +
∫ 86
1
5
x (1 x ) dx−
∫
87
2
cosx
dx 5sin x sin x
π
− +
∫ 88
3
0
tg x dx cos2x ∫
89
cos sin sin2
x x
dx x
π
+ +
∫ 90 ∫
+
2
0 cos2 4sin2
2 sin π
dx x x
x
91 ∫
− + −
ln
ln ex 2e x
dx
92 ∫ +
2
0(2 sin )2
2 sin π
dx x x
93 ∫3
4
2 sin
) ln( π
π x dx tgx
94 ∫ −4
0
8
)
( π
dx x
tg
95 ∫ +
−
2
4
2 sin
cos sin
π
π x dx
x x
96 ∫
+ +
2
0 3cos
sin sin π
dx x
x x
97 ∫2 +
0 cos
cos sin π
dx x
x x
98 ∫2 +
0 sin
cos ) cos (
π
xdx x
e x
99 ∫
− +
2
11
dx x x
100 ∫e + dx x
x x
1
ln ln
101 ∫4 −+
0
2
2 sin
sin π
dx x
x
102
1
2
1 x dx−
∫
103
2
1 dx x+
∫ 104
1
2
1 dx x−
∫
105
2
1 dx x − +x
∫ 106
1
4
x
dx x +x +1
∫
107
1
1 cosx sinxdx
π
+ +
∫ 108
2 2
2
x dx x−
∫
109
2
1
x x dx−
∫ 110
2
2
1 dx x x −1
∫
101
3
2
9 3x dx x +
∫ 112
1
5
1 (1 )
x dx x
− +
∫
113
2
3
1 1dx
x x −
∫ 114
2
cos cos2
x dx x
π
+
(8)115
1
6
1
x dx x
+ +
∫ 116
2
cos cos
x dx x
π
+
∫
117 ∫ + +
−
1x2 2x
dx
118 ∫
+ +
1
01 3x
dx
119 ∫ −
−
2
1
1
dx x
x x
120
8
1 1dx
x x +
∫
121
7
3
0
x dx x
+
∫ 122
5
0
1
x +x dx
∫
123 ln2
x
1 dx e +2
∫ 124
7 3
1
3
x
dx x
+ +
∫
125
2
1
x x + dx
∫ 126 ∫
+
3
5 x x2
dx
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cơng thức tích phân phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b a
a a
x d =u x v x − v x u x dx
∫ ∫
Tích phân hàm số dễ phát u dv
@ Dạng
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
∫
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
⇒
= =
∫
@ Dạng 2: f x( ) ln(ax dx)
β
α
∫
Đặt ln( )
( )
( )
dx du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
=
=
⇒
=
=
∫
@ Dạng 3: sin
∫ ax ax
e dx
cosax
β
α
Ví dụ 1: tính tích phân sau
a/
1 2 0( 1)
x
x e dx x+
∫ đặt
2
2
( 1)
x
u x e
dx dv
x
= =
+
b/
3 2( 1)
x dx
x −
∫ đặt
5
( 1)
u x
x dx dv
x
=
=
−
c/
1 2 1
1
2 2 2 2
0 0
1
(1 ) (1 ) (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +
(9)Tính I1
2 01
dx x
= +
∫ phương pháp đổi biến số
Tính I2 =
2 0(1 )
x dx x
+
∫ phương pháp phần : đặt
2
(1 )
u x
x
dv dx
x
= =
+
Bài tập
1
3
3
ln
e
x dx x
∫
1
ln
e
x xdx
∫
3
1
2
0
ln( 1)
x x + dx
∫
1
ln
e
x xdx
∫
3
ln
e
x dx x
∫
1
ln
e
x xdx
∫
1
2
0
ln( 1)
x x + dx
∫
1
ln
e
x xdx
∫
9
2
0
(x cosx) s inxdx π
+
∫ 10
1
1
( ) ln
e
x xdx x
+
∫
11
2
1
ln(x +x dx)
∫ 12
3
2
4
tan
x xdx π
π
∫
13
2
5
1
ln x
dx x
∫ 14
2
0
cos x xdx
π
∫
15
1
0
x
xe dx
∫ 16
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
Tính tích phân sau
1) ∫
0
.e dx
x x 2) ∫ −
2
cos ) ( π
xdx
x 3) ∫ −
6
3 sin ) ( π
xdx
x
4) ∫
2 sin π
xdx
(10)5) ∫
e
xdx x
1
ln 6) ∫ −
e
dx x x
1
ln )
( 7) ∫
3
1
ln
4x xdx
8) ∫ +
1
0
2
) ln(
x dx
x 9) ∫ +
2
1
)
(x exdx
10) ∫ π
0
cos xdx
x 11) ∫
2
2
cos π
dx x
x 12) ∫ +
2
2
sin ) ( π
dx x x x
13)
5
ln x dx x
∫ 14)
2
x cos xdx
π
∫ 15)
1 x
e sin xdx
∫ 16)
2
0
sin xdx
π
∫ 17)
e
x ln xdx
∫ 18)
3
x sin x dx cos x
π
+
∫ 19)
0
x sin x cos xdx
π
∫ 20)
4
2
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
21)
2
ln(1 x) dx x
+
∫ 22)
1
2 2x
(x 1) e dx+
∫ 23)
e
2
(x ln x) dx
∫ 24)
2
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫
25)
2
ln ( 1)
e
e
x dx x+
∫ 26)
1
xtg xdx
∫ 27) ∫ −
1
2
)
(x e xdx
28) ∫ +
1
2
)
ln( x dx
x 29) ∫
e
dx x
x
1
ln
30)
∫ +
2
3
sin ) cos (
π
xdx x
x 31) ∫ + +
2
) ln( )
( x x dx 32) ∫ −
3
2
)
ln(x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1 ∫
+ −
−
5
3
2
1
dx x x
x
2 ∫
+ +
b
a
dx b x a
x )( )
(
3 ∫ +
+ +
1
0
1
dx x
x x
4 dx
x x x
∫1 +++
0
1
5 ∫ +
1
0
3
)
( x dx x
6 ∫
+ +
1
0
2
) ( ) (
1
dx x
x
7 ∫ + −
2
1
2008 2008
)
(
dx x
x x
8 ∫
− − +
+ + −
0
1
2
2
9
dx x
x
x x x
9 ∫ −
3
2
2
4
)
(x dx
x
10 ∫ +
−
0
3
)
( x dx
x
n n
11 ∫
+ +
−
2
1
2
2
) (
3
dx x
x x
x
12 ∫ +
2
1
4
) (
1
(11)13 ∫ + 2 dx
x 14 ∫ +
1
0
1 x dx x
15 dx
x x
∫2 − +
0
2
16 ∫ + )
( x dx
x
17 ∫
+ − 2 dx x x
x 18 ∫ − +
+ + 3 2 3 3 dx x x x x
19 ∫ + − 1 dx x x
20 ∫
+ 1 dx x
21 ∫
+ + + + 6 dx x x x x 22 ∫ + − dx x x
23 ∫ + + 1 dx x x 24 4 11 5 6 x dx x x + + + ∫ 25 1 dx x + +x
∫ 26 ∫
− + 2 dx x x
27 dx
x x ∫ − + − 2
28 ∫ − − + − − 1 2 dx x x x
29 x dx
x x ∫ − − + − 2
30 dx
x x x
∫1 ++ +
0 3
31 x dx
x x x ∫ − + − − + + 2 1
32 x dx
x x x ∫ + − + − + 1 2
33 ∫
+ + 4x x dx
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1 x xdx 2 cos sin ∫ π ∫ cos sin π xdx x
3 ∫ x xdx
2 cos sin π
4 ∫ +
2 3 ) cos (sin π dx x
5 ∫ +
2 4 ) cos (sin cos π dx x x
x ∫ − −
2 2 ) cos cos sin sin ( π dx x x x x
7 ∫
2 sin π π dx
x ∫ + −
2 4 10 10 ) sin cos cos (sin π dx x x x x
9 ∫ −
2
0 cos π
x dx
10 ∫
+
2
0 sin
1 π
(12)11 ∫ +
2
2
cos
sin π
dx x x
12 ∫
3
6
cos sin π
π x x
dx
13 ∫
− +
4
2
cos cos
sin sin π
x x
x x
dx
14 ∫ +
2
01 cos
cos π
dx x x
15 ∫ −
2
0 cos
cos π
dx x x
16 ∫ +
2
0 sin
sin π
dx x x
17 ∫ +
2
3
cos
cos π
dx x x
18 ∫
+ +
2
0 sin cos
1 π
dx x x
19 ∫ −
2
3
2
) cos (
cos π
π x
xdx
20 ∫
− + +
+ −
2
2
3 cos sin
1 cos sin
π
π
dx x x
x x
21 ∫
4
3 π
xdx
tg 22 ∫ g xdx
4
6
cot π
π
23 ∫
3
4 π
π
xdx
tg 24 ∫
+
4 01
1 π
dx tgx
25 ∫
+
4
0 )
4 cos( cos π
π
x x
dx
26 ∫
+ +
+ +
2
0 4sin 5cos
6 cos sin π
dx x x
x x
27 ∫ + π
0
sin
1 xdx 28 ∫
+ +
4
0 2sin 3cos 13 π
x x
dx
29 ∫ +
4
4
cos
sin π
dx x x
30 ∫
+ + +
2
0 sin cos
2 sin cos π
dx x x
x x
31 ∫ +
2
01 cos
3 sin π
dx x x
32 ∫
−
2
4
sin sin π
π x x
dx
33 ∫
4
2
cos sin π
dx x x
34 ∫ +
2
3
) sin ( sin π
dx x x
35 ∫ π
0
sin
cosx xdx 36 ∫ −
3
4
3 3
sin sin sin
π
π
dx xtgx
x x
37 ∫
+ +
2
01 sin cos π
x x
dx
38 ∫
+
2
0 2sin π
(13)39 ∫
2
4
5
sin cos π
π
xdx
x 40 ∫
+
4
2
cos
4 sin π
x xdx
41 ∫
+
2
0 5sin π
x dx
2 ∫
6
6
cos sin π
π x x dx
43 ∫
+
3
6 sin sin( 6) π
π x x π
dx
∫
+
3
4sin cos( 4) π
π x x π
dx
45 ∫
3
4
cos sin π
π x
xdx
46 tgxtg x )dx
6 (
3
6
π π
π
∫ +
47 ∫
+
3
3
) cos (sin
sin π
x x
xdx
48 ∫
− +
0
2
2
) sin (
2 sin
π x
x
49 ∫
2
3
sin π
dx
x 50 ∫
2
2
cos π
xdx x
51 ∫ +
2
1
sin π
dx e
x x 52 e dx
x
x x
∫2 ++
01 cos
sin π
53 ∫ +
4
6
2 cot
4 sin sin π
π
dx x g tgx
x x
54 ∫
+ −
2
2
6 sin sin
2 sin π
x x
xdx
55 ∫
2
1
)
cos(lnx dx 56 ∫
3
6
cos ) ln(sin π
π
dx x x
57 ∫ x− xdx
0
2
cos ) ( π
58 ∫
π
0
2
cos sinx xdx x
59 ∫
4
2 π
xdx
xtg 60 ∫
π
0
2
sin xdx
e x
61 ∫
2
3 sin
cos sin
2
π
xdx x
e x 62 ∫ +
4
) ln( π
dx tgx
63 ∫
+
4
2
) cos (sin π
x x
dx
64 ∫
− +
−
2
2
) cos )( sin (
cos ) sin ( π
dx x x
(14)65
2
2
sin sin 7
−∫
x xdx
π
π
66
4
0
cos (sin +cos )
∫ x x x dx
π
67
2 3
0
4 sin
1 cos+
∫ x
dx x
π
68 ∫
−
2
3 cos cos π
π
xdx
x
69 ∫ −
2
2
2 sin sin π
π
xdx
x 70.∫
4
cos sin π
xdx x
71 ∫
2
sin π
xdx
V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
∫b
a
dx x f x
R( , ( )) Trong R(x, f(x)) có dạng:
+) R(x,
x a
x a
+ −
) Đặt x = a cos2t, t ]
2 ; [ π ∈
+) R(x, 2
x
a ) Đặt x = a sint hc x = a cost
+) R(x, n
d cx
b ax
+ +
) Đặt t = n
d cx
b ax
+ +
+) R(x, f(x)) =
γ β
α + +
+b x x
ax )
(
1
Víi (αx2+ xβ +γ )’ = k(ax+b)
Khi đặt t = αx2+ xβ +γ , đặt t =
b ax+
1
+) R(x, 2
x
a + ) Đặt x = atgt, t ]
2 ; [−π π ∈
+) R(x, 2
a
x − ) Đặt x =
x a
cos , t [0; ]\{2} π π ∈
+) R(n1 n2 ni )
x; x; ; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk ∫
+
3
5
4
x x
dx
2 ∫
−
2
3
2 x x2
(15)3 ∫
− + + +
2
2
1(2x 3) 4x2 12x
dx
4 ∫
+
2
1 x x3
dx
5 ∫ +
2
1
2008dx
x ∫
+
2
1 x2 2008 dx
7 ∫ +
1
0
2
1 x dx
x ∫ −
1
0
3
)
( x dx
9 ∫
+ +
3
1 2
1
dx x
x x
10 ∫
− +
2
0
1
dx x x
11 ∫ +
1
0 (1 x2)3
dx
12 ∫
−
2
0 (1 x2)3 dx
13 ∫ +
0
2
1 x dx 14 ∫
−
2
0
2
1 x dx x
15 ∫ +
2
0 cos2
cos π
x xdx
16 ∫ −
2
2
cos cos
sin π
dx x x
x
17 ∫ +
2
0 cos2
cos π
x xdx
18 ∫
+ +
2
0 3cos
sin sin π
dx x
x x
19 ∫ +
7
0
3
3
1 x dx x
20 ∫ −
3
0
2
10 x dx x
21 ∫ +
1
0 2x xdx
22 ∫
+ +
1
0
2
1
x x
dx x
23 ∫
+ +
7
2 2x 1
dx
24 ∫x + x dx
1
0
8 15
3
25 ∫ −
5
6
cos sin cos π
xdx x
x 26 ∫
+
3 ln
0 ex
dx
27 ∫
− + + +
1
11 x x2 dx
28 ∫
+
2 ln
0
1
x x
e dx e
29 ∫ − −
1
4
2
8
12x x dx 30.∫ +
e
dx x
x x
1
ln ln
31 ∫ + +
3
0
3
1
dx x x x
32 ∫ x − x +xdx
4
0
2
2
33 ∫ −
+ +
0
1
3
)
(e x dx
x x 34 ∫
+
3 ln
2 ln
2
1 ln ln
dx x x
(16)35 ∫
+
3
2
cos cos
2 cos π
dx x
tgx x
x
36 ∫
+
2 ln
0
3
) ( x
x
e dx e
37 ∫ +
3
0 cos2
cos π
x xdx
38 ∫
+
2
0 cos2
cos π
x xdx
39 dx
x x
∫7 ++
0
3
40 ∫ +
a
dx a x
2
0
2
VI MỘT SỐ TÍCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liªn tơc trªn [-a; a],
đó: ∫ =∫ + −
−
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)] ( ) ( [ )
(
VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [-2 ; 3π π
] tháa m·n f(x) + f(-x) = 2−2cos2x,
TÝnh: ∫ −
2
2
) ( π
π
dx x f
+) TÝnh ∫
− +
+
1
1
2
1 sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a],
khi ú: ∫ −
a
a
dx x
f( ) =
VÝ dô: TÝnh: ∫ −
+ +
1
1
2
)
ln(x x dx ∫
−
+ +
2
2
2
) ln( cos π
π
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a,
a], đó: ∫
−
a
a
dx x
f( ) = 2∫
a
dx x f
0
) (
VÝ dô: TÝnh ∫
− − +
1
1
2
1
x x
dx x
2
2
2
cos 4 sin −
+ −
∫ x x
dx x
π
π
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a,
a], ú: =∫
+
−
a a
a
x dx f x dx
b x f
0
) (
) (
(1≠b>0, ∀a)
VÝ dô: TÝnh: ∫ − +
+
3
3
2
1
dx x
x ∫
− +
2
2
1
5 cos sin sin π
π
dx e
x x x
(17)Bài toán 4: NÕu y = f(x) liªn tơc trªn [0; π
], th×
∫
∫ =
0
0
) (cos )
(sin π π
dx x f x f
VÝ dô: TÝnh ∫
+
2
2009 2009
2009
cos sin
sin π
dx x x
x
∫2 +
0 sin cos
sin π
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó:
∫
∫ = π
π π
0
) (sin
)
(sinx dx f x dx xf
VÝ dô: TÝnh ∫
+ π
01 sin
dx x x
∫
+ π
0 cos
sin
dx x x x
Bài toán 6: + =∫
b
a b
a
dx x f dx x b a
f( ) ( ) ⇒ ∫ − =∫
b b
dx x f dx x b f
0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh ∫ + π
0
2
cos
sin
dx x x x
∫ +
4
) ln( sin π
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu k× T th×:
∫ =∫
+T T
a
a
dx x f dx x f
0
) ( )
( ⇒ ∫ = ∫
T nT
dx x f n dx x f
0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh ∫ −
π
2008
0
2 cos
1 xdx
Các tập áp dụng:
1 ∫ − +
−
1
1
2
2
1
dx x
x ∫
−
+ − + −
4
4
4
cos
1 π
π
dx x
x x x x
3 ∫
− + +
1
1
2
) )(
( e x
dx
x ∫
− −
+
2
2
2
sin
cos π
π
dx x x x
5 ∫
− +
−
2
2
) 1 ln(
cos dx
x x
x sin(sinx nx)dx
2
0
∫π +
7 ∫
− +
2
2
cos
sin π
π
dx x x
8
) (
cot
1
2
2 + + =
+ ∫
∫ ga
e tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1 ∫
−
−
3
3
1dx
x ∫ − +
2
0
(18)3.∫ −
0
dx m x
x ∫
−
2
sin π
π
dx x
5 ∫ −
− π
π
dx x
sin
1 ∫ + −
3
6
2
2 cot
π
π
dx x g x
tg
7 ∫
4
2 sin π
π
dx
x ∫ +
π
0
cos
1 xdx
9 ∫ −
− − +
5
2
) 2
(x x dx 10 ∫ −
3
0
4 2x dx
11 ∫ −
−
3
2
3
cos cos
cos π
π
dx x x
x 12 2)
4
x 3x 2dx
−
− +
∫
13
3
( x x )dx
−
+ − −
∫ 14
2
2
2
1
x 2dx
x
+ −
∫
15
x
2 −4dx
∫ 16
0
1 cos2xdx
π
+
∫
17
0
1 sin xdx
π
+
∫ 18 ∫ x −xdx
2
2
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1, trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =
b/ Đồ thị hàm số y = ex+1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x =
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2π Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1, trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =
b/ Đồ thị hàm số y = ex+1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x =
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =
(19)Bài 1: Cho (p) : y = x2+ đ-ờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai đ-ờng có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn
bëi (c) vµ 0x có diện tích phía 0x phía d-ới 0x b»ng
Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng
giíi h¹n bëi
= ≤ ≤ − =
0
3
y x o
x x
y
Cã hai phần diện tích
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới x2+y2 = thành hai phần.Tính diện tích phần
Bài 5: Cho a > Tính diện tích hình phẳng giới h¹n bëi
+ − =
+ + + =
4
4 2
1
3
a ax a y
a a ax x
y
Tìm a để diện tích lớn
Bµi 6: Tính diện tích hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
y
4 x y
4
= −
=
2) (H2) :
2
y x 4x
y x
= − +
= +
3) (H3):
3x y
x y x
− − =
−
= =
4) (H4):
2
y x
x y
=
= −
5) (H5):
y x y x =
= −
6) (H6):
2
y x
x y + − =
+ − =
7) (H7):
ln x y
2 x y x e x = = =
=
8) (H8) :
2
y x 2x
y x 4x
= −
= − +
9) (H9):
2 3
y x x
2
y x
= + −
=
10) (H10):
y 2y x x y
− + =
+ =
11)
− =
=
) (
2 : ) (
: ) (
Ox
x y
d
x y C
12)
= ∆
= =
1 : ) (
2 : ) (
: ) (
x y d
e y
C x
13)
− =
+ =
1
2
x y
x y
14)
= +
− − =
0
4
2
2
y x
x y
15)
=
= − +
=
0
0
y y x
x y
16
+ = =
2
1
x y
x y
17
= = =
=
3 , ,
2
y y x y
x y
18)
= =
= =
e x e x
y x y
,
0 ,
(20)19 = = = = ; cos ; sin 2 π π x x x y x y
20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp
tun cđa (p) ®i qua M(5/6,6)
(21)41) = = = − x e y e y x Ï 42) = = − = ; 2 x x x x x y 43) − = = π / / / sin/ x y x y 44) = − − = = 4 2 y x x y x y 45) = = + + = 0 2 2 y y x x y 46) = − ) ( 2
2 f a x a x y 47) = + = y x x y π sin ) ( 48) = − = / / x x y 49) = − = / / x y x 32) = = + = sin ) ( x x y y x 33) = − = 4 2 x y x y 34) = − = = = ; ; y x x y x x 35) − = = = = − x y x y y x ; 0 36) = + = 16 2 y x x y 37) = = = x y x y x y 27 27 2 38) = − = x y x y ) ( 39) = = = = 10 , 10 / log / x x y x y 40) = = 2 x ay y ax
(a>0) 41) ≤ ≤ + = = π x x x y x y
sin2 42)
− = = 2 ) ( 27 x y x y 43)
x2/25+y2/9 = hai tiếp tuyến qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đ-ờng thẳng (d) qua
A cú hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn (p) (d) nhỏ
45) = − + − = 2 y x x x y
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY
Công thức:
) ( :
)
(C y = f x a x= b x= y b y =
x (C):x= f(y)
b y=
(22)
V [f x ] dx
b
a
2
) ( ∫
=π V [f y ] dy
b
a
2
) ( ∫ =π
Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y= x; y= −2 x; y=0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y=(x 2)− 2 y =
Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : 2
4 ;
y= −x y=x +
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn đường :
2
1 ;
1
x
y y
x
= =
+
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x +
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x
Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = 2
1
x
e
x ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x ln(1+x3) ; y = ; x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox 1)
= − =
4 )
(
y x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2)
=
= =
4
4
,
2
y
x y x y
(23)3)
= = =
+ =
1 , ,
1
2
x x y
x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)
= − =
0
2
y
x x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)
= = = =
e x x y
x x y
;
0 ln
quay quanh trôc a) 0x;
6) (D)
= + − =
> =
1
10
) (
2
y x y
x x y
quay quanh trôc a) 0x; ( H)
n»m ngoµi y = x2 7)
= =
x y
x
y
quay quanh trơc a) 0x;
8) MiỊn h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = quay quanh
trơc a) 0x; b) 0y
9) MiỊn (E):
4
2
= + y
x
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
10)
≤ ≤ = = =
1
; ,
0
x x
y xe
y Ï
quay quanh trôc 0x;
11)
= =
=
+ =
π π
x x
y
x x
y
;
sin cos4
quay quanh trôc 0x;
12)
− = =
x y
x y
3 10
2
quay quanh trục 0x;
13) Hình tròn tâm I(2;0) b¸n kÝnh R = quay quanh trơc a) 0x; b) 0y
14)
= = − =
2 ; 4
x x x
y quay quanh trôc 0x;
15)
= = =
− =
0 ;
2
y x y
x y
