Chuyên đề: Đạo hàm nguyên hàm tích phân

Bài tập:  Ghi nhớ:  Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm..  Nếu hàm số dưới dấu tích[r]

Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT Chuyên đề : PHẦN : ĐẠO HÀM A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1) Định nghĩa: f  x  x   f  x  y  lim x 0 x x 0 x f   x   lim 2) Các quy tắc tính đạo hàm: a) Đạo hàm tổng, hiệu:  u1  u2    un   u1  u2    un b) Đạo hàm tích:  u.v   u.v  u.v * Trường hợp đặc biệt: v  k ( k là số) ta được:  k.u   k.u  u  uv  u.v c) Đạo hàm thương:     v  0 v2 v v   * Trường hợp đặc biệt: u  ta được:      v   v v 3) Các công thức tính đạo hàm:  u   nu n u  n  A *   cot gu    n 1 u  u  k  sin u  u   2uu  u  0  e   e u  sin u   cos u.u  a   a  cos u    sin u.u  ln u    u    tgu   u u u u ln au   a  1 u u u    u   k   cos u    loga u   Lop11.com u   a  1; u   u ln a Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT B) BÀI TẬP:  Ghi nhớ: Để làm các bài toán giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức đó có chứa biểu thức F  x , y, y, y, y,  , với y  f  x  là hàm số cho trước, ta thực các bước sau:  Tìm tập xác định hàm số y  f  x   Tính y, y, y, (có ta phải rút gọn hàm số y  f  x  trước, sau đó tính đạo hàm)  Thay y, y, y, vừa tìm vào biểu thức F , thực theo yêu cầu bài toán Bài 1: Cho hàm số y  x  x  1 Giải phương trình y  xy  Bài 2: Cho hàm số y  x 2e x Chứng minh đẳng thức: xy   x   y Bài 3: Cho hàm số y  cos2 x Chứng minh đẳng thức: y cos x  y sin x  y Bài 4: Cho hàm số y  e x sin x Chứng minh rằng: y  y  y  Bài 5: Cho hàm số y   x  1 cos x Hãy tìm các giá trị x cho:  x  1 y  y   y  Bài 6: Cho hàm số y  cos4 x  sin x a Chứng minh rằng: y  sin x  b Giải phương trình y  y  Bài 7: Cho hàm số y  ln x Giải bất phương trình y  xy  x y  Bài 8: Cho hàm số y  e x  x  1 Tìm các giá trị x cho: y  y y y     Bài 9: Cho hàm số y  ln e x x    Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT   a Giải phương trình y  x  y  b Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ y Bài 10: Cho hàm số y  xe x Chứng minh bất đẳng thức sau: y  y  y  y  0, x  A Bài 11: Cho hai hàm số: f  x   cos x cos2 x ; g  x   a Tính f   x  , g  x  sin x  sin x b Chứng minh rằng: f   x   g  x   Bài 12: Cho hàm số y  f  x   tg3 x.tg x.tgx Chứng minh rằng: f   x   3tg x  2tg 2 x  tg x Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT PHẦN : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN §1 NGUYÊN HÀM: 1) Định nghĩa : Hàm số F  x  gọi là nguyên hàm hàm số f  x  trên F  x   f  x  , x   a, b   a, b  Ghi nhớ : Nếu F  x  là nguyên hàm f  x  thì hàm số có dạng F  x   C ( C là số) là nguyên hàm f  x  và hàm số có dạng F  x   C là nguyên hàm f  x  Ta gọi F  x   C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định hàm số f  x  và ký hiệu là f  x  dx  Như vậy:  f  x  dx  F  x   C 2) Tính chất: a.TC1:  kf  x  dx  k  f  x  dx;  k   b.TC2:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx c.TC3: Nếu  f  x  dx  F  x   C thì  f  u  du  F  u   C  a, b  A 3) Nguyên hàm hàm số cần nhớ dx  a  0 :  dx  x  C  ax  b  a ln ax  b  C x 1  x dx     C,   1  e dx  e  sin xdx   cos x  C ax ax e dx  e C  a  cos xdx  sin x  C  sin axdx   a cos ax  C x  dx  cos x  tgx  C , x  x C   cos axdx  a sin ax  C  k dx   tgx  C , x   k  cos2 ax a dx  sin2 x   cot gx  C, x  k 10 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT  dx  ln x  C ,  x   x dx   cot gax  C , x  k ax a  sin 4) Bài tập: Ghi nhớ:  Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) các nguyên hàm hàm số thành phần  Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số không tích (thương) các nguyên hàm hàm số thành phần  Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành tổng hiệu hàm số tìm nguyên hàm 1 x  sin x ; f  x   cos2 x a Chứng minh F  x  là nguyên hàm f  x  Bài 1: Cho hai hàm số F  x     0 4 b Tìm nguyên hàm G  x  biết G  cos x  cos x  cos x cos4 x  sin x Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x  biết F     Bài 2: Cho hàm số f  x   Bài 3: Cho hàm số f  x   cos2 x cos x Tìm hàm số G  x  biết G  x   f  x  và G     29   ; G    144  12  32 Bài 4: Cho hàm số f  x   sin x cos x cos x cos x a Giải phương trình f   x   f  x   b Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x  biết đồ thị hàm số    F  x  qua điểm M   ;    sin x là nguyên hàm f  x  Hãy tìm  cos x các giá trị x cho f  x   f   x   Bài 5: Biết hàm số F  x   11 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT Bài 6: Cho hàm số y  xe x a Tính y và y   b Tìm nguyên hàm hàm số f  x    x  2007  e x Bài 7: Cho hàm số f  x   e x sin x Chứng minh hàm số f   x   f   x  là nguyên hàm hàm số f  x  x  3x  3x  Bài 8: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   ,biết x2  2x  1 F 1  (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2 TÍCH PHÂN : b  f  x  dx  F  x  1) Định nghĩa: a b a  F  b  F  a 2) Tính chất: a TC1: b TC2: c TC3: d TC4: e TC5: b a a b  f  x  dx   f  x  dx b b a a  kf  x  dx  k  f  x  dx (k  0) b b b a a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Nếu f  x   0, x   a; b  thì b  f  x  dx  a f TC6: Nếu f  x   g  x  , x   a; b  thì b b a a  f  x  dx   g  x  dx b g TC7: Nếu m  f  x   M , x   a; b  thì m  b  a   f  x  dx  M  b  a   a 12 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT 3) Bài tập:  Ghi nhớ:  Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số đã biết nguyên hàm  Nếu hàm số dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu  Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho trên đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ Bài 1: Tính các tích phân sau đây:  a  cos x cos xdx  b  cos x  sin x dx x2  x  c  dx x  1 e2 x  ln x d  dx x x và hàm số F  x   ln x  x 1 a Chứng minh F  x  là nguyên hàm f  x  Bài 2: Cho hàm số f  x   b Áp dụng câu a tính xdx 1 x Bài 3: Cho hàm số f  x   x ln x  x ln x a Tính f   x  e  b Áp dụng câu a tính ln xdx 13 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT Bài 4: Biết hàm số F  x   cos x  sin x là nguyên hàm f  x  Hãy cos x  sin x  tính :  f   x  dx §3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:  1) Công thức tổng quát: b  f   x .   x  dx   f  t  dt a Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích f   x   (hàm số theo biến là   x  ) với đạo hàm hàm   x  Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau:  a) TH1:  f  sin x  cos xdx  Đặt t  sin x  p, q  A   t  p sin x  q  t  n p sin x  q biểu thức p sin x  q nằm n n  b) TH2:  f  cos x  sin xdx  Đặt t  cos x  t  p cos x  q  t  n  p, q  A  p cos x  q biểu thức p cos x  q nằm  c) TH3: f ln x dx    x   Đặt t  ln x  t  p ln x  q  t  n  p, q  A  p ln x  q biểu thức p ln x  q nằm dấu 14 Lop11.com n Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT  d) TH4:  f  tgx   dx cos2 x  Đặt t  tgx  t  ptgx  q  t  n ptgx  q biểu thức ptgx  q nằm dấu  e) TH5:  p, q  A   f  cotgx   n dx sin x  Đặt t  cotgx  t  pcotgx  q  t  n  p, q  A  pcotgx  q biểu thức pcotgx  q nằm n 2) Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây:  cos xdx a   sin x  1  b   cos x  sin xdx e c dx 1 x  ln x   xdx 19 d  x2  Bài 2: Tính các tích phân sau đây: a  x   dx x  4x   e2 tgx dx b  cos2 x 15 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT  dx c    d e  cot gx  sin x dx x 1 x Bài 3: Tính các tích phân sau đây:  tgxdx x a  cos   b sin x cos3 xdx   sin xdx 0 cos4 x  sin4 x c  cos xdx d   sin x  cos x  Bài 4: Tính các tích phân sau đây:  sin3 xdx a  cos4 x 3 b  x  1x 3dx  sin xdx 0 sin x  c  dx   tgx  tg x d 16 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT §4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b 1) Công thức tổng quát:  uvdx   uv  a b hay  udv   uv  a b a b a b   vudx a b   vdu (1) a 2) Các bước thực hiện:  Bước 1:  u  u( x ) du  u( x )dx ( Đạo hàm) Ñaët   dv  v( x )dx  v  v( x ) (nguyeân haøm)  Bước 2: Thế vào công thức (1) b b Tính  uv  a và suy nghĩ tìm cách tính tiếp vdu  Bước 3:  a (tích phân này có thể tính định nghĩa đổi biến số tích phân phần tùy bài toán cụ thể mà ta phải xem xét) 3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần: Tích phân phần thường áp dụng để tính các tích phân có dạng sau: b a) Dạng 1:  p  x  q  x dx a cos ( x ) Trong đó p  x  là hàm số đa thức, còn q  x  là hàm sin  ( x )  u  p x dv  q  x  dx  Trong trường hợp này ta đặt:   Ghi nhớ : Trong trường hợp này đặt ngược lại thì vào b  b  công thức ta vdu phức tạp udv ban đầu a a b b) Dạng 2:  p  x  q  x dx a Trong đó p  x  là hàm số đa thức, còn q  x  là hàm logarit 17 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT  u  q x dv  p  x  dx  Trong trường hợp này ta đặt:  Ghi nhớ: Trong trường hợp này đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn suy v từ dv 4) Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây:  a   x  1 sin xdx  b x  x  cos xdx  c  x cos xdx  xdx 0 cos2 x d e   x  1 f 3x  0 e x dx e2 x dx 1  g ( x  3)2 x dx h x  e  x dx Bài 2: Tính các tích phân sau đây: a   3x  1 ln xdx 1 b  x ln  x  1 dx 18 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT e  c ln xdx 1 d  x ln  x  1 dx §5 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính các tích phân sau đây:  a   b  1  cos x  dx sin x  ln x  x e  dx x x  c   cot g x  sin x  dx sin x     x 0  cos x   sin xdx  d   e sin x cos xdx cos2 x   1   0  x  e x f     g  cos x  h  x ln  xdx    cos xdx sin x   x  1dx §6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: C1  : y  f  x ; C2  : y  g  x ; x  a; x  b (trong đó hai đường thẳng x  a; x  b có thể thiếu hai) 19 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT a) Công thức: S  b  f  x   g  x  dx (2) a b) Các bước thực hiện:  Bước1: Nếu hai đường x  a, x  b đề bài cho thiếu hai thì giải phương trình f  x   g  x  (PTHĐGĐ  C1  và  C2  ) để tìm  Bước 2: Áp dụng công thức (2)  Bước 3: Rút gọn biểu thức f  x   g  x  , sau đó xét dấu hiệu này  Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ c) Chú ý: Nếu bài toán này cho chung bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, trên đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,  C1  nằm trên  C2  thì hiệu f  x   g  x   , và  C1  nằm  C2  thì hiệu f  x   g  x   2) Diện tích hình phẳng giới hạn các đường không rơi vào trường hợp 1:  Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát)  Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích công thức (2)  Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất các hình nhỏ 3) Thể tích hình tròn xoay quay hình phẳng giới hạn các đường sau đây quanh trục Ox: C  : y  f  x ; Ox; x  a; x  b (trong đó hai đường thẳng x  a; x  b có thể thiếu hai) b a) Công thức: V    f  x   dx (3)  a b) Các bước thực hiện:  Bước 1: Nếu hai đường x  a, x  b đề bài cho thiếu hai thì giải phương trình f  x   (PTHĐGĐ  C  và trục Ox) để tìm  Bước 2: Áp dụng công thức (3) 20 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT 4) Bài tập: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x2  6x  và trục Ox C  : y  2x  Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong  C  : y  x  x  3 và trục Ox Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C  : y  x  x và trục Ox Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C  : y  x  3x  và đường thẳng d : y  Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các C  : y  đường: x  2x  ; đường tiệm cận xiên  C  ; Ox; x  e  x 1 Bài 6: Cho đường cong  C  : y  x  x  x Viết phương trình tiếp tuyến d  C  gốc tọa độ O Từ đó tính diện tích hình phẳng giới hạn C  và d Bài 7: Cho parabol  P  : y  x  x  a Viết phương trình các tiếp tuyến  P  các giao điểm  P  với trục Ox b Tính diện tích hình phẳng giới hạn  P  và các tiếp tuyến nói câu a Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường:  C  : y  d : y   x và trục Ox x; Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  : y  x và đường thẳng d : y  x  21 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT Bài 10: Cho parabol  P  : y  x a Viết phương trình tiếp tuyến  P  điểm tung độ b Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường:  P  , trục Ox và tiếp tuyến nói câu a Bài 11: Cho đường cong  C  : y  2x  Gọi (H) là hình phẳng giới hạn x 1 các đường:  C  ; Ox; Oy Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox Bài 12: Cho đường cong  C  : y  x  x Gọi (H) là hình phẳng giới hạn  C  và trục Ox Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox 22 Lop11.com Hội đồng môn Toán - THPT