Chuyên đề 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng | Chuyên Đề Ôn Thi chuyen de dao ham

Chuyên đề 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng | Chuyên Đề Ôn Thi chuyen de dao ham tài liệu, giáo án, bài...

ĐẠO HÀMA KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1.1.Định nghĩa :Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng a b;và x0a b;, đạo hàm của hàm số

 Nếu hàm số yf x có đạo hàm tại x0thì nó liên tục tại điểm đó.

2 Ý nghĩa của đạo hàm

2.1.Ý nghĩa hình học: Cho hàm số yf x  có đồ thị  C

f x' 0 là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị  C của hàm số yf x  tại M0x y0, 0  C

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x tại điểm M0x y0, 0  C là :

 Cường độ tức thời của điện lượng Q Q t tại thời điểm t0 là : I t 0 Q t' 0

3 Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

sinxcosxsinuu cosu

cosxsinxcosuu.sinu

Ví dụ 6 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) y2 sin 3 cos 5xx ; b) sincos

 Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc

biệt là đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác.

Ví dụ 7.Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

Bài 11 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) y3 sin 4xcos4x 2 sin6xcos6x ; b) ycos4x2cos2x3sin4x2sin2x3 ; c) y3 sin 8xcos8x4 cos 6x2sin6x6sin4x ;

g) sinsin 2sin 3sin 4 coscos 2cos3cos 4

Bài 14. a) Cho hàm số y x 1 x2 Chứng minh : 21x2.y'y b) Cho hàm số ycot 2x Chứng minh : 2 a) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ;

b) y' có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;

b) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;

c) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12 x22 3

cĩ y ' 0 trên một đoạn cĩ độ dài bằng 1

Bài 20 Cho hàm số y mx 4 m2 9x210 1 m là tham số Xác định mđể hàm số cĩ y ' 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong  Giải phương trình (1) tìm x0 suy ra y0 f x 0

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm cĩ dạng : y k x x 0y0

 Chú ý :

 Hệ số gĩc của tiếp tuyến tại M x y 0, 0  C là kf x 0 tan Trong đĩ  là gĩc giữa chiều dương của trục hồnh và tiếp tuyến

 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số gĩc của chúng bằng nhau

 Hai đường thẳng vuơng gĩc nếu tích hệ số gĩc của chúng bằng 1

 Biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y 1; 1:

 Viết phương trình tiếp tuyến của yf x  tại M x0 0 ;y0 : yf x'  0 .x x 0y0  1

 Vì tiếp tuyến đi qua A x y 1; 1y1 f x'  0 .x1x0f x   0 *

 Giải phương trình(*) tìm x0 thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến

2.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1.Cho đường cong  C:yf x x33x2 Viết phương trình tiếp tuyến của  C trong các trường hợp sau :

a) Tại điểm M01 ; 2 ;

b) Tại điểm thuộc  C và cĩ hồnh độ x 0 1 ; c) Tại giao điểm của  C với trục hồnh d) Biết tiếp tuyến đi qua điểmA 1 ; 4

Ví dụ 2.Cho đường cong  :31

a) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d x:4y21 0 ; b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng  : 2x2y9 0 ; c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đĩ

cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

(Khối A – 2009)

Ví dụ 5 Cho hàm số yx33x22 C Tìm các điểm thuộc đồ thị C mà qua đĩ kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị  C

(Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, 1999)

Ví dụ 6 Cho  C là đồ thị của hàm số y6x x 2 Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của  C cắt trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm

2.3. Bài tập áp dụng:

Bài 21 Cho hàm số  C:y x 22x3 Viết phương trình tiếp với  C : a) Tại điểm có hoành độ x 0 2 ;

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4x y9 0 ; c) Vuông góc với đường thẳng : 2x4y2011 0 ;

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A1 ; 0

a) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M 1 ; 1 ;

b) Vết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục hoành; c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục tung ;

d) Viết phương trình tiếp tuyến của  C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d: 4x y 1 0 ; e) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 4x y8 0

Bài 23 Cho hàm số : y x 33x2  C

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm I1 ; 2 b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị  C không đi qua I

Bài 24 Cho hàm số y1x x 2  C Tìm phương trình tiếp tuyến với  C : a) Tại điểm có hoành độ 0 1

x  ;

b) Song song với đường thẳng :  d:x2y0

Bài 25 Cho hàm số y x 33mx2 m1x1 1  , m là tham số thực

Tìm các giá trị của mđể tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x 1 đi qua điểm

 Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm M 2 ; 5.

 Gọi I1 ; 2 Tìm điểm M C sao cho tiếp tuyến của  C tại

M vuông góc với đường thẳng IM

x Tìm điểm M C , biết tiếp tuyến của  C tại M cắt hai trục tọa độ

tại A B, và tam giác OAB có diện tích bằng 1 2.

(Khối D - 2007)

 Viết phương trình tiếp tuyến   của  C sao cho   và hai đường

 d1 :x1 ;d2:y1 cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

 Chứng minh rằng qua điểm A1; 1 kẻ được hai tiếp tuyến với C và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

 có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị  C Viết phương trình các tiếp tuyến ấy

 Gọi I 1 ; 0 Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của

 C đi qua điểm I

(Dự bị B2 - 2005).

Bài 35 (*) Cho hàm số yx4 2x21 C Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị  C

3 Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân

Dựa theo định nghĩa và công thức sau :

 Chohàm số yf x có đạo hàm f x  thì tích f x .x được gọi là vi phân của hàm số

Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp

Ví dụ 5. Tìm các đạo hàm cấp n của các hàm số sau :

a) ysin4xcos4x ; b) y8sin cos3 cos 4xxx

Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã cho thành

Bài 39 Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :

a) y x.cos3x tìm y ; b) y sin22x tìm y ;

Bài 40 Chứng minh các đẳng thức sau :

a) xy2y' sinxxy" 0 nếu y xsinx;

; d) y8sin sin 2 sin 3xxx ; e) ysin6xcos6x ; f) Cho ycos3x Chứng minh y2n  1 3n 2ny

5 Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn

Trong phần đại số tổ hợp khi áp dụng nhị thức Newton để tính các tổng có chứa các công thức tổ hợp đôi khi ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm các cấp của các vế ta sẽ tính được tổng cần tính

