Bài tập: Ghi nhớ: Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.. Nếu hàm số dưới dấu tích[r]
(1)ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Năm học 2008 – 2009 BAN CƠ BẢN CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I Kiến thức trọng tâm: Các kiến thức cần nhớ: a Định nghĩa, tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm số tương đối đơn giản Phương pháp đổi biến số Tính nguyên hàm phần b Định nghĩa và các tính chất tích phân Tính tích phân hàm số liên tục công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit Phương pháp tích phân phần và phương pháp đổi biến số để tính tích phân c Diện tích hình thang cong Các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân Các dạng toán cần luyện tập: a Tính nguyên hàm số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm phần b Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá lần) để tính nguyên hàm c Tính tích phân số hàm số tương đối đơn giản định nghĩa phương pháp tích phân phần d Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá lần) để tính tích phân e Tính diện tích số hình phẳng, thể tích số khối tròn xoay nhận trục hoành, nhận trục tung làm trục nhờ tích phân II Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp, phát huy tính tích cực học sinh Chia nhóm thảo luận III Nội dung: A Nguyên hàm: 1) Định nghĩa : Hàm F x gọi số là nguyên hàm hàm số f x trên a, b F x f x , x a, b Ghi nhớ : Nếu F x là nguyên hàm f x thì hàm số có dạng F x C ( C là số) là nguyên hàm f x và hàm số có dạng F x C là nguyên hàm f x Ta gọi F x C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định hàm số f x và ký hiệu là f x dx Như vậy: f x dx F x C 2) Tính chất: a.TC1: kf x dx k f x dx; k Lop12.net (2) f x g x dx f x dx g x dx b.TC2: c.TC3: Nếu f x dx F x C thì 3) Nguyên hàm hàm số cần nhớ dx x C f u du F u C a, b a : dx ax b a ln ax b C e dx e x 1 x dx C, 1 x x C sin xdx cos x C e cos xdx sin x C sin axdx a cos ax C dx cos x dx sin x tgx C , x ax dx ax e C a cos axdx a sin ax C k dx cos cot gx C , x k ax tgx C , x k a dx cot gax C , x k a ax dx ln x C , x x sin B Một số bài tập vận dụng: Bài 1: Tính: x2 x x dx dx d) (đặt u = 4x + 1) 4x 1 a) (4 x x 10)dx c) (5cos x b) e2 x )dx sin x e) cos3 x.sin xdx f) x ln(1 x)dx Hướng dẫn và đáp số: a) (4 x x 10)dx = x3 x 10 x C 2 x2 x 2x b) x ln x C dx = x dx x 1 x 1 e2 x )dx = 5sinx + 4cot2x + e2x + C c) (5cos x sin x d) Đặt u = 4x + du = 4dx dx du 1 u C 4x 1 C 4x 1 u e) Đặt u = cosx du = -sinxdx Lop12.net (3) u4 cos x 3 C C cos x.sin xdx u du 4 dx f) Đặt u = ln(1 + x) du = x 1 x2 dv = xdx v= x2 x2 Vậy: x ln(1 x)dx ln(1 x) dx 2 x 1 x2 1 ln(1 x) x dx 2 x 1 x2 x2 ln(1 x) x ln( x 1) + C 2 Bài 2: Tìm nguyên hàm các hàm số sau: x x3.e x x a) f(x) = (1 – 2x)3 b) f(x) = x3 x cos x c) f(x) = cos d) f(x) = (tanx - cotx)2 e) f(x) = ex(2 – e-x) g) f(x) = tanx h) f(x) = Bài 2: Cho hàm số f ( x) sin x Tìm nguyên hàm f(x) biết F 2 Bài 3: Cho hàm số f ( x) x x 1 f) f(x) = 22 x.3 x.5 x 10 x i) f(x) = C TÍCH PHÂN : b f x dx F x a b a F b F a 2) Tính chất: b a TC1: a b TC2: c TC3: d TC4: ln x x và hàm số F ( x) ln x Chứng minh F(x) là nguyên hàm f(x) 1) Định nghĩa: cos x a f x dx f x dx b b b a a kf x dx k f x dx (k 0) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx b c b a a c f x dx f x dx f x dx Lop12.net (4) Nếu f x 0, x a; b thì e TC5: b f x dx a Nếu f x g x , x a; b thì f TC6: b b a a f x dx g x dx b Nếu m f x M , x a; b thì m b a f x dx M b a g TC7: a 3) Bài tập: Ghi nhớ: Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số đã biết nguyên hàm Nếu hàm số dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho trên đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ D Một số bài tập vận dụng: Bài 4: Tính các tích phân sau: 1 a) x dx b) e2 x dx x x 1 2 0 c) dx 2x 1 dx cos x 2 sin x cos7 x g) e) I x x 1dx d) f) x x dx dx x2 x2 h) dx dx sin x cos x 2 i) Hướng dẫn câu i: dx cos x tan x 2 Bài 5: Tính các tích phân sau: 2x 1 x2 a) dx dt t 2 4 tan x tan x cos x b) dx x11 x6 c) dx e ln xdx x 3ln x d) g) dx x 3dx e) x5 x dx f) (esin x cos x) cos xdx h) dx x2 Bài 6: Tính các tích phân sau: a) ecos x sin xdx b) ( x 1)e x dx Lop12.net e c) x ln xdx (5) e) xe3x dx d) ( x 1) sin xdx 0 f) x 2e x dx E Diện tích, thể tích: 1) Cho hình (H) giới hạn các đường y = f(x), x = a, x = b và trục hoành Khi đó, diện tích hình (H) là: b S f ( x) dx a 2) Cho hình (H) giới hạn các đường y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b Khi đó, diện tích hình (H) là: b S f ( x) f ( x) dx (*) a Chú ý: Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Muốn ta giải phương trình f1(x) – f2(x) trên đoạn a; b Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d) Khi đó, f1(x) – f2(x) không đổi dấu trên các đoạn a; c , c; d , d ; b Trên đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn a; c ta có: c c S f ( x) f ( x) dx f ( x) f ( x) dx 2 a a 3) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay sinh đồ thị hàm số y = f(x), đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b V f ( x)dx a F Bài tập: Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) y = x2 – 4x + và trục hoành b) y = lnx, x = e và y = c) y = (x2 – 1)(x + 3) và trục hoành d) x = 0; x = 1; y = 0; y = x4 + 3x2 + e) y = x2 + 1; x + y = f) xy = 4; y = 0; x = a; x = 3a (a > 0) g) y = ex; y = e-x; x = h) x ; x ; y = 0; y = cosx Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường parabol: y = x2 – 2x + 2, tiếp tuyến với nó điểm M(3; 5) và trục tung Bài 9: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường sau quay quanh trục Ox: a) y = x3, y = 0, x = 0, x = b) y = sinx, y = 0, x = 0, x 2 c) y = 0, y = – x2 d) x = 0, x , y = sinx + cosx e) x = 1, x = 3, y = 0, y x Lop12.net (6)