Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Mức độ nhận biết. Mức độ thông hiểu. Mức độ vận dụng thấp. Mức độ vận dụng cao. Khái niệm tích phân.. 1.2 Tính chất của tích phân. Phương pháp [r]

(1)

I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2

§1 – NGUYÊN HÀM 2

A

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM .2

1 Nguyên hàm tính chất 2

1.1 Nguyên hàm 2

1.2 Tính chất 2

2 Phương pháp tính nguyên hàm 3

2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số 3

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần 3

2.3 Bảng nguyên hàm 3

2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng 4

B B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP .5

| Dạng 1.1: Tính nguyên hàm bảng nguyên hàm .5

| Dạng 1.2: Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số .62

| Dạng 1.3: Nguyên hàm phần .100

C C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .116

1 Mức độ nhận biết 116

Bảng đáp án .133

2 Mức độ thông hiểu 134

3 Mức độ vận dụng thấp 151

4 Mức độ vận dụng cao 165

§2 – TÍCH PHÂN 171 A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM .171

1 Khái niệm tích phân 171

(2)

1.2 Tính chất tích phân 171

2 Phương pháp tính tích phân 171

2.1 Phương pháp đổi biến số 171

2.2 Phương pháp tích phân phần 172

B B CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP .172

| Dạng 2.4: Tích phân tính chất tính phân .172

| Dạng 2.5: Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ .184

| Dạng 2.6: Tính chất tích phân .190

| Dạng 2.7: Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Z a | f (x) | dx .220

| Dạng 2.8: Phương pháp đổi biến số .224

| Dạng 2.9: Tích phân phần .303

1 Mức độ nhận biết 340

§3 – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 445 A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM .445

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành . 446

2 Hình phẳng giới hạn hai đường cong 448

3 Tính thể tích khối trịn xoay 450

B B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP .452

| Dạng 3.10: Diện tích hình phẳng .452

| Dạng 3.11: Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường vật lí .462

| Dạng 3.12: Thể tích vật thể .470

| Dạng 3.13: Tính thể tích vật thể tròn xoay .474

(3)

(4)

PHẦN

ĐẠI SỐ VÀ

GIẢI TÍCH I

1 2

3

4

5 6

7

8

9

10

11 12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

(5)

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

3

NGUYÊN HÀM NGUYÊN HÀM

1

Chủđề

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Nguyên hàm tính chất

1.1 Nguyên hàm

c Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) K F0(x) = f (x) với x ∈ K.

d Định lí 1.1. Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K với số C, hàm số G(x) = F (x) + C nguyên hàm hàm số f (x) K.

d Định lí 1.2. Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K nguyên hàm của hàm số f (x) K có dạng F (x) + C, với C số.

d Định lí 1.3. Mọi hàm số f (x) liên tục K có nguyên hàm K.

1.2 Tính chất

c Tính chât 1.1.

Z

f0(x) dx = f (x) + C

Z

kf (x) dx = k

Z

(6)

Z

f (x) ± g(x) dx =Z f (x) dx ±

Z

g(x) dx

2. Phương pháp tính nguyên hàm

2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số

d Định lí 1.4. Nếu

Z

f (u) du = F (u) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục thì

Z

f (u(x))u0(x) dx = F (u(x)) + C. 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần

d Định lí 1.5. Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K thì

Z

u(x) · v0(x) dx = u(x)v(x) −

Z

u0(x)v(x) dx.

Nhận xét Vì v0(x) dx = dv, u0(x) dx = du nên đẳng thức viết dạng

Z

u dv = uv −

Z

v du.

Để tính nguyên hàm

Z

f (x) dx phần ta làm sau:

Bước 1: Chọn u, v cho f (x) dx = u dv (chú ý dv = v0(x) dx) Sau tính v =

Z

dv và du = u0· dx.

Bước 2: Thay vào công thức (∗) tính

Z

v du Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho

ta dễ dàng tìm v tích phân

Z

v du dễ tính hơn

Z

u dv Ta thường gặp dạng sau

Dạng 1: I =

Z

P (x)



 sin x cos x



 dx Với dạng này, ta đặt     

   

u = P (x)

dv = 

 sin x cos x 

dx

Dạng 2: I =

Z

P (x) eax+bdx, P (x) đa thức Với dạng này, ta đặt  



u = P (x)

dv = eax+bdx.

Dạng 3: I =

Z

P (x) ln (mx + n) dx, P (x) đa thức Với dạng này, ta đặt

 



u = ln (mx + n)

dv = P (x) dx.

Dạng 4: I =

Z



exd x Với dạng ta đặt     

   

u =





d x = exd x

(7)

1

Z

0 dx = C 1

Z

0 du = C

2

Z

1 dx = x + C 2

Z

1 du = u + C

3

Z

xα dx = x

α+1

α + 1+ C 3

Z

uα du = u

α+1 α + 1 + C

4

Z 1

x dx = ln |x| + C 4

Z 1

u du = ln |u| + C

5

Z

ex dx = eex+ C 5

Z

eu du = eu+ C

6

Z

ax dx = a

x

ln a + C 6

Z

au du = a

u

ln a+ C 7

Z

cos x dx = sin x + C 7

Z

cos u du = sin u + C

8

Z

sin x dx = − cos x + C 8

Z

sin u du = − cos u + C

9

Z 1

cos2x dx = tan x + C 9

Z 1

cos2u du = tan u + C

10

Z 1

sin2x dx = − cot x + C 10

Z 1

sin2u du = − cot u + C

11

Z 1

2√xd x =

√

x + C 11

Z 1

2√ud u =

√

u + C

2.3 Bảng nguyên hàm bản

1

Z

(ax + b)αd x = 1

a

(ax + b)α+1

α + 1 + C(α 6= −1) 10

Z 1

ax + bd x =

1

aln |ax + b| + C

2

Z

eax+bd x = 1

ae

ax+b+ C 11Z cos(ax + b)d x = 1

asin(ax + b) + C

3

Z

sin(ax + b)d x = −1

acos(ax + b) + C 12

Z 1

cos2(ax + b)d x =

1

atan(ax + b) + C

4

Z 1

sin2(ax + b)d x = −

1

acot(ax + b) + C 13

Z

tan(ax + b)d x = −1

aln |cos(ax + b)| + C

5

Z

cot(ax + b)d x = 1

aln |sin(ax + b)| + C 14

Z d x

a2+ x2 =

1

(8)

6

Z d x

a2− x2 =

1 2aln

a + x a − x

+ C 15

Z d x

√

x2+ a2 = ln

Ä

x +√x2+ a2ä+ C

7

Z d x

√

a2− x2 = arcsin

x

|a| = C 16

Z dx

x.√x2− a2 =

1 aarccos ... a) Mọi hàm số liên tục [a; b] có đạo hàm [a; b].

b) Mọi hàm số liên tục [a; b] có nguyên hàm [a; b]. c) Mọi hàm số có đạo hàm [a; b] có nguyên hàm [a;...

D Nếu hàm số F (x) nguyên hàm f (x) trên K hàm số F (−x) nguyên< /i> hàm f (x) trên K

Câu 96. Họ nguyên hàm hàm số f... data-page=52>
Bài 18. Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0) = k.

a) Tìm nguyên hàm hàm số F (x) hàm số f (x) = x