Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản 2... Đăng ký mua file word trọn bộ chu[r]
CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ 0 TỪ ĐẾN 180 A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ a ( £ a £ 180 0 Oxy Với góc ) , ta xác định điểm M trên đường nửa · đường tròn đơn vị tâm O cho a = xOM Giả sử điểm ( x; y) M có tọa độ Khi đó: sina = y; cosa = x; tana = sin a ,cos a , tan a ,cot b Hình 2.1 y x (a ¹ 90 ); cota = (a ¹ 0 , a ¹ 180 ) x y Các số gọi giá trị lượng giác góc a Chú ý: Từ định nghĩa ta có: ( ) M OP; OQ Gọi P, Q hình chiếu M lên trục Ox, Oy 0 £ sin a £ 1; - £ cos a £ Với £ a £ 180 ta có Dấu giá trị lượng giác: Góc a 00 900 1800 sin a + + cosa + tan a + cot a + Tính chất Góc phụ Góc bù sin(90 - a ) = cos a sin(1800 - a ) = sin a cos(900 - a ) = sin a cos(1800 - a ) =- cos a tan(900 - a ) = cot a tan(1800 - a ) =- tan a cot(90 - a ) = tan a cot(1800 - a ) =- cot a Giá trị lượng giác góc đặc biệt Góc a sin a 00 300 450 600 2 1 2 2 - 3 - - 3 - 3 - cosa tan a cot a 900 1200 1350 2 - 1500 1800 2 - uuu r uur AB2 + EF = AB + EF ( - Các hệ thức lượng giác sin a 1) tan a = (a ¹ 90 ) ; cos a cos a 2) cot a = (a ¹ 0 ; 180 ) sin a 3) tan a.cot a = (a ¹ 0 ; 90 ; 180 ) 4) sin a + cos a = 1 5) + tan a = (a ¹ 900 ) cos a 6) + cot a = (a ¹ 0 ; 180 ) sin a Chứng minh: - Hệ thức 1), 2) 3) dễ dàng suy từ định nghĩa - Ta có sin a = OQ , cos a = OP Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại –1 ) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG : Xác định giá trị lượng giác góc đặc biệt Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt Sử dụng hệ thức lượng giác Các ví dụ Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: 2 a) A = a sin 90 + b cos 90 + c cos180 2 A A = a - 2c 2 B A = a - c 2 C A = 3a - c 2 D A = a - c C B = D B = 2 b) B = - sin 90 + cos 60 - tan 45 B B = A B = 2 2 0 c) C = sin 45 - sin 50 + cos 45 - sin 40 + tan 55 tan 35 A C = B C = C C = Lời giải: a) A = a + b + c ( - 1) = a - c 2 ỉư 1ữ ổ 2ử ữ ỗ ỗ ữ ỗ B = - ( 1) + ỗ ữ =1 ữ ỗ ữ ữ ỗ2 ứ ỗ ữ ố è ø b) c) C = sin 450 + 3cos 450 - ( sin 50 + sin 40 ) + tan 550.cot 550 2 ỉ2ư ỉ2ư ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ç C =ç + - ( sin 500 + cos 400 ) + = + - + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 2 è2 ø è2 ø D C = Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: 2 2 a) A = sin + sin 15 + sin 75 + sin 87 A.2 B.3 C.4 D.1 0 0 b) B = cos + cos 20 + cos 40 + + cos160 + cos180 A.2 B.3 C.4 D.0 C.4 D.0 0 0 c) C = tan tan 10 tan 15 tan 80 tan 85 A.1 B.3 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại Bài tập luyện tập: Bài 2.1: Tính giá trị biểu thức sau: 0 0 a) A = sin 45 + cos 60 - tan 30 + cot 120 + sin135 A C A= - A = 1+ - 2 0 2 b) B = 4a sin 45 - 3( a tan 45 ) +(2a cos 45 ) B D A = 1+ - A = 1+ 2 A B = a B B = 3a C B = a 2 B = a2 D 2 2 c) C = sin 35 - sin 73 + cos 35 - cos 73 A C =- D= d) B C =- C C =- D C =- 12 - tan 850 cot 950 +12 sin 104 + tan 76 A D = 18 C D = 16 B D = 17 D D = 15 2 2 e) E = sin + sin + + sin 89 + sin 90 A E= 901 B E= 101 C E= 91 D E= 3 3 f) F = cos + cos + cos + + cos 179 + cos 180 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại e) E = ( sin 10 + sin 89 ) +( sin 2 + sin 88 ) + + +( sin 440 + sin 460 ) + sin 450 + sin 900 E = ( sin 10 + cos 10 ) +( sin 2 + cos 2 ) + +( sin 44 + cos 44 ) + +1 91 E = 114444 + 14+ 444 +413+ + = 24 2 44 sô f) F = ( cos 10 + cos 179 ) + +( cos 89 + cos 910 ) + cos 90 + cos 180 F = cos 90 + cos 180 = - =- Bài 2.2: Tính giá trị biểu thức sau: P = tan ( x + ) sin x.cot ( x + 26 ) + A.3 tan ( 30 - x) + tan ( 5x + B.4 ) + cos ( x - 30 ) C.5 P = tan 34 sin 30 cot 146 + 0 Bài 2.2: Thay vào ta có: 0 x = 30 D.6 tan ( - 27 ) + tan 153 + cos 27 P =- 4.tan 34 .cot 34 + tan 27 0.cos 27 + cos 27 =- + = DẠNG : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức Phương pháp giải Sử dụng hệ thức lượng giác Sử dụng tính chất giá trị lượng giác Sử dụng đẳng thức đáng nhớ Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) 4 2 a) sin x + cos x = - sin x.cos x + cottx an x +1 = b) - cottx an x - cos x + sin x = tan x + tan x + tan x + cos x c) Lời giải 4 4 2 2 a) sin x + cos x = sin x + cos x + sin x cos x - sin x cos x = ( sin x + cos x) - sin x cos x = - sin x cos x tan x +1 + cottx t anx = t anx = an x +1 = tan x - an x - 1 - cottx 1tan x tan x b) 1+ cos x + sin x sin x = + = tan x +1 + tan x ( tan x +1) 3 cos x cos x cos x c) = tan x + tan x + tan x + Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh B B cos + - cos ( A + C ) tan B = ỉA +C ỉA + C ÷ sin B ữ cos ỗ ữ sin ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ sin Lời giải: Vì A + B + C = 180 nên B B cos cos ( 1800 - B) 2 VT = + tan B 0 ỉ ỉ sin B 180 B 180 B ữ ữ ữ ữ cos ỗ sin ỗ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø sin B B cos 2+ - - cos B tan B = sin B + cos B +1 = = VP = B B sin B 2 sin cos 2 sin Suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) 0 2 a) A = sin(90 - x) + cos(180 - x) + sin x(1 + tan x) - tan x A.0 B.1 C.2 D tanx B= b) 1 + sin x + cos x - cos x A.1 C sinx B.0 D tan x Lời giải: a) A = cos x - cos x + sin x B= b) - tan x = cos x 1 - cos x + + cos x sin x ( - cos x) ( + cos x) 2 - 2= sin x - cos x sin x sin x ổ ữ = 2ỗ = cot x ữ ỗ ỗ ữ ốsin x ø = Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x P = sin x + cos x + cos x + cos x + sin x + sin x Lời giải P= ( 1- cos x) + cos x + 3cos x + ( 1- sin x) + sin x + 3sin x = cos x + cos x +1 + sin x + sin x +1 = ( cos x + 1) + ( sin x + 1) = cos x + + sin x +1 =3 Vậy P không phụ thuộc vào x Bài tập luyên tập Bài 2.3 Chứng minh đẳng thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) 2 2 a) tan x - sin x = tan x.sin x 6 2 b) sin x + cos x = - sin x.cos x tan x cot x + = tan x + cot x 2 c) sin x sin x cos x cos x 2 2 d) sin x - tan x = tan x(cos x - cot x) tan a - tan b sin a - sin b = 2 sin a.sin b e) tan a.tan b Lời giải: Bài 2.3: a) VT = sin x - sin x = sin x ( + tan x) - sin x = VP cos x sin x + cos x = ( sin x + cos x) - sin x.cos x ( sin x + cos x) b) = - sin x.cos x c) VT = tan x ( cot x + 1) - tan x ( cot x +1) + cott3 x ( an x +1 ) = tan x + tan x - cottx - an x +cot x +cot x = VP 6 4 d) VP = tan x cos x - tan x cott x = an xsin x - tan x = tan x.cos2 x = tan x.sin x = tan x - sin x = VT (do câu a)) e) VT = 1 1 = cot b - cot a = =VP 2 tan b tan a sin b sin a Bài 2.4 Đơn giản biểu thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) a) A= - tan ( 1800 - x) - cos2 ( 1800 - x) cos x A A = sin x B.0 C.1 D tan x b) B= cos x - sin x - cos x 2 cott x - an x A B = cos x C= c) C B =- cos x B B = s inx sin a + cos3 a cos a + sin a(sin a - cos a) A C = cos a B C = sin a C C = sin a - cos a D C = sin a + cos a + sin a - sin a + - sin a + sin a D= d) D= A cos a D= B cos a D= C cos a Lời giải: 2 2 Bài 2.4: a) A = tan x + - tan x - cos x = sin x B == b) cos x - sin x - cos x 1 - 1+1 sin x cos2 x = cos x sin x - cos x =- cos x C= (sin a + cos a) ( sin a - sin a cos a + cos a) sin a - sin a cos a + cos a c) D2 = d) = = sin a + cos a + sin a - sin a + +2 - sin a + sin a ( + sin a) +( - sin a) - sin a D= Suy D B =- cos x + +2 = + sin a +2 = cos a cos a cos a Bài 2.5.Rút gọn biểu thức (giả sử biểu thức sau có nghĩa) D= D a cos a 2 a) (tan a + cot a ) - (tan a - cot a ) A.1 B.2 C.3 D.4 C.3 D.4 6 4 b) 2(sin a + cos a ) - 3(sin a + cos a ) A.-1 c) B.2 cot 300 (sin a - cos a ) + cos 60 (cos a - sin a ) - sin (90 - a ) ( tan a - 1) A.0 B.2 C.3 D.4 C.3 D.4 C.3 D 3 4 2 d) (sin x + cos x - 1)(tan x + cot x + 2) A.1 B.-2 sin x + cos x - 6 e) sin x + cos x + cos x - A.1 B.2 Lời giải: 2 Bài 2.5: a) (tan a + cot a ) - (tan a - cot a ) = 6 4 b) 2(sin a + cos a ) - 3(sin a + cos a ) = ( - sin x.cos x) - ( - sin x.cos x) =- c) cot 300 (sin a - cos a ) + cos 60 (cos a - sin a ) - sin (90 - a ) ( tan a - 1) = ( sin a - cos a ) ( sin a + cos a ) - ( sin a - cos a ) ( sin a + sin a cos a + cos a ) - ( sin a - cos a ) = ( sin a - cos a ) - ( sin a - cos a ) = 3 4 2 d) (sin x + cos x - 1)(tan x + cot x + 2) =- 3 sin x + cos x - = 6 e) sin x + cos x + cos x - Bài 2.6: Cho tam giác ABC Hãy rút gọn a) A = cos B A +C B A +C + cos + tan tan 2 2 A A = B A =- C A = D A = C B =- D B = B B cos 2 - cos ( A +C ) tan B B= A +C A +C sin B cos sin 2 b sin A B = B B = Lời giải: Bài 2.6: a) A = b) B = DẠNG : Xác định giá trị biểu thức lượng giác có điều kiện Phương pháp giải Dựa vào hệ thức lượng giác Dựa vào dấu giá trị lượng giác Sử dụng đẳng thức đáng nhớ Các ví dụ Ví dụ 1: a) Cho A sin a = cos a =- với 900 < a < 1800 Tính cos a tan a 2 C.Cả A, B b) Cho cos a =- Tính sin a cot a tan a =B 2 D.Cả A, B sai A sin a = cot a =B C.Cả A, B D.Cả A, B sai c) Cho tan g =- 2 tính giá trị lượng giác cịn lại A cos a =- cot a =C B tan a = 2 2 D.Cả A, B, C Lời giải: 0 2 a) Vì 90 < a < 180 nên cos a < mặt khác sin a + cos a = suy cos a =- 1- sin a =- sin a tan a = = cos a Do 1- =- 2 2 b) Vì sin a + cos a = nên 2 =9 sin a = - cos a = - = cos a cot a = = =sin a 5 - c) Vì tan g =- 2 < Þ cos a < mặt khác cos a =- =tan +1 1 =8 +1 tan a + = cos a nên tan a = Ta có ỉ 1ư sin a 2 ị sin a = tan a.cos a =- 2.ỗ - ữ = ữ ỗ ữ ỗ cos a è 3ø cos a Þ cot a = = =sin a 2 2 - cos a = Ví dụ 2: a) Cho A tan a + cot a A= 0 tan a + cot a với < a < 90 Tính 17 A =- B b) Cho tan a = Tính B= A ( B= ) 2- +8 17 A= C A= D sin a - cos a sin a + cos a + sin a B= B ( 2- ) +8 B= C ( ) 2- 1 +8 Lời giải: 1 +2 tan a + tan a = cos a A= = = + cos a 1 tan a +1 tan a + tan a cos a a) Ta có 17 A = + = 16 Suy tan a + sin a cos a tan a ( tan a +1) - ( tan a +1) 3 cos a cos a B= = sin a cos a sin a tan a + + tan a ( tan a +1) + + cos a cos a cos a b) B= A= ( + 1) - ( + 1) 2 + + 2 ( +1) Suy Ví dụ 3: Biết sin x + cos x = m = ( ) 2- +8 B= D ( ) 2- +8 a) Tìm A C sin x - cos x A= + 2m2 - m 3 + 2m - m4 A= 12 B A= + 2m2 - m4 + 2m - m4 A= 2 D b) Chứng minh m£ Lời giải: ( sin x + cos x) a) Ta có = sin x + sin x cos x + cos x = + sin x cos x (*) m2 - sin a cos a = 2 Mặt khác sin x + cos x = m nên m = + sin a cos a hay Đặt A = sin x - cos x Ta có A = ( sin x + cos x) ( sin x - cos x) = ( sin x + cos x) ( sin x - cos x) Þ A = ( sin x + cos x) ( sin x - cos x) = ( + sin x cos x) ( - sin x cos x) ỉ m - 1ư ỉ m2 - 1ư + m2 - m4 ÷ ÷ ỗ ữ ữ ị A2 = ỗ + = ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữỗ ữ ỗ ø ø è è Vậy A= + m - m4 2 b) Ta có sin x cos x £ sin x + cos x = kết hợp với (*) suy ( sin x + cos x) Vậy m£ £ Þ sin x + cos x £ 2 Bài tập luyện tập Bài 2.7: Tính giá trị lượng giác lại, biết a) sin a = với 00 < a < 900 4 cos a = , tan a = , cot a = A 4 cos a = , tan a =- , cot a =5 B cos a = , tan a = , cot a = C cos a = , tan a = , cot a = D cos b = b) sin a = A sin a =- C sin a = D c) cot g =- 2 , tan a = 2, cot a =- , tan a =- 2, cot a =- B sin a = , tan a =- 2, cot a = , tan a = 2, cot a = sin a = A sin a =- B sin a = C sin a = D , cos a = 3 , tan a =2 sin a = cot a =- , tan a =A cot a =- , tan a =B C , tan a =3 , cos a =- d) tan a + cot a < cot a =- , tan a =3 , cos a =- , cos a = , tan a = , tan a =- 6 cot a =- , tan a =D , cos a = cot a.sin a =- , cos a =- 6 , cos a =- , cos a =- Lời giải: 4 cos a = - sin a = , tan a = , cot a = Bài 2.7: a) sin a = - cos a = b) sin a = c) , cos a =- , tan a = 2, cot a = , tan a =3 tan a < 0, cot a < d) Ta có tan a cot a = > mà tan a + cot a < suy - =- sin a cot a =- Þ tan a =- Bài 2.8 a) Cho A A =- b) Cho A cos a = A B 26 - 2 A= 19 C A= D A= 29 3 cot a + tan a + 1 B= 0 cotta + an a với 90 < a < 180 Tính c) Cho tan a = Tính C= cot a + tan a A= cotta + an a Tính 19 sin a = B= , cos a = cot a.sin a =- B C= B= 26 - 2 C B= 26 - D B= 26 sin a + cos a sin a + cos a ; B C= C C = D C =- d) Cho cot a = Tính D = cos a + sin a cos a +1 A D= 101 27 B D= 101 23 C D= 101 26 D D= 11 26 Lời giải: Bài 2.8: a) c) 19 ; b) Từ giả thiết suy 2 26 - 2 , tan a =, cot a =- 2 Þ B = 2 cos a =- C= A= tan a + = tan a + D = cot a + 5cot a + Þ ( cot a +1) D = cot a + 5cot a +1 2 sin a d) sin a Suy D= 101 26 Bài 2.9: Biết tan x + cot x = m 2 a) Tìm tan x + cot x A m + B m - 2 C m - D m - tan x + cot x 4 b) tan x + cot x (m - m2 + 1) A m - 4m + (m C 2 (m c) Chứng minh - 2) B m - m + (m - 2) ( m4 - 4m2 + 1) m4 - 4m2 - 2 D m³ Lời giải: - 2) ( m4 - m2 + 1) m - 4m + 2 2 Bài 2.9: a) tan x + cot x=m - tan x + cot x= ( tan x + cot x) - = ( m2 - 2) - = m4 - m2 + 2 b) 2 4 2 tan x + cot x ( tan x + cot x ) ( tan x + cot x-tan xcot x ) Þ = tan x + cot x m4 - 4m2 + m2 - 2) ( m4 - 4m + 1) ( = m4 - m2 + Bài 2.10: Cho sin a cos a = 91 A 125 12 25 Tính sin a + cos a B 91 125 29 C 125 D 125 Lời giải: Bài 2.10: ( sin a + cos a ) =1+ 24 Þ sin a + cos a = 25 (do cos a > ) Þ sin a + cos a = ( sin a + cos a ) ( sin a - sin a cos a + cos a ) = 91 125 Bài 2.11: Cho tan a - cot a = Tính giá trị biểu thức sau: 2 a) A = tan a + cot a A 11 B.12 C.13 D 14 B ± 13 C ± 14 D ± 12 B ±11 13 C ±22 13 D b) B = tan a + cot a A ± 15 4 c) C = tan a - cot a A ±44 13 13 ... minh: - Hệ thức 1), 2) 3) dễ dàng suy từ định nghĩa - Ta có sin a = OQ , cos a = OP Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số... cos180 A.2 B.3 C.4 D.0 C.4 D.0 0 0 c) C = tan tan 10 tan 15 tan 80 tan 85 A.1 B.3 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số... A E= 901 B E= 101 C E= 91 D E= 3 3 f) F = cos + cos + cos + + cos 179 + cos 180 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số
