DẠNG TOÁN: Đây là dạng tính tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian Oxyz.. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt2[r]
(1)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN
DẠNG 32. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTO TRONG
KHƠNG GIAN
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
a) Tọa độ véc-tơ tọa độ điểm
#»a = (a1; a2; a3) ⇔ #»a = a1#»i + a2#»j + a3#»k. M (x; y; z) ⇔OM = (x; y; z)# » .
b) Tính chất Cho véc-tơ #»a = (x; y; z) và #»b = (x0; y0; z0).
+ #»a ± #»b = (x ± x0; y ± y0; z ± z0). + k #»a = (kx; ky; kz).
+ #»a = #»b ⇔
x = x0 y = y0 z = z0
c) Tích vơ hướng hai véc-tơ
Cho véc-tơ #»a = (x; y; z) và #»b = (x0; y0; z0) Khi đó
+ | #»a | =px2+ y2+ z2. + #»a · #»b = xx0+ yy0+ zz0. + cos( #»a ,#»b ) =
#»a · #»b | #»a | · |#»b | =
xx0+ yy0+ zz0 p
x2+ y2+ z2·px02+ y02+ z02. d) Mối liên hệ tọa độ điểm tọa véc-tơ
Cho A (xA; yA; zA), B (xB; yB; zB), C (xC; yC; zC) Khi đó
+ AB = (x# » B − xA; yB − yA; zB − zA).
+ # » AB = p
(xB − xA)2+ (yB − yA)2+ (zB − zA)2.
+ Nếu I (xI; yI; zI) là trung điểm của AB thì
xI =
xA+ xB yI =
yA+ yB zI =
zA+ zB
+ Nếu G (xG; yG; zG) là trọng tâm của 4ABC thì
xG=
xA+ xB + xC yG =
yA+ yB + zC zG=
zA+ zB + zC
3
e) Tích có hướng
Cho #»a = (a1; a2; a3), #»b = (b1; b2; b3) Khi đó ỵ#»a ,#»bó= Ç
a2 a3 b2 b3 ;
a3 a1 b3 b1 ;
a1 a2 b1 b2 å
(2)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
+ Diện tích 4ABC: S4ABC =
2
ỵ# » AB,AC# »ó
.
+ Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD =
1
ỵ# »
AB,AC# »ó·AD# »
.
+ Hai véc-tơ #»a, #»b cùng phương ⇔ỵ#»a ,#»bó= #»0.
+ Ba véc-tơ #»a, #»b, #»c đồng phẳng ⇔ỵ#»a ,#»bó· #»c = 0.
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ Trong không gianOxyz, cho véc-tơ #»a = (1; 0; 3) và #»b = (−2; 2; 5) Tích vơ hướng
#»a ·Ä#»
a +#»bä bằng
A 25. B 23. C 27. D 29.
Lời giải.
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tính tích vơ hướng hai véc-tơ không gian Oxyz.
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính tổng hai véc-tơ #»a và #»b.
B2: Tính tích vơ hướng của #»a và Ä#»a + #»bä.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau #»a +#»b = (−1; 2; 8) Suy ra #»a Ä#»
a + #»bä= −1 · + · + · = 23.
Chọn phương án B
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ MỞ RỘNG
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 3), B(3; 2; −4) Véc-tơ AB# » có tọa độ là A (1; −3; −7). B (1; 3; −7). C (−1; 3; −7). D (−1; −3; −7). Lời giải.
Ta có AB = (3 − 2; − (−1); −4 − 3)# » Vậy AB = (1; 3; −7)# » .
Chọn phương án B
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −2; 3) Hình chiếu vng góc điểmA trên mặt
phẳng (Oyz) là điểm M Tọa độ điểm M là
A M (1; −2; 0). B M (0; −2; 3). C M (1; 0; 0). D M (1; 0; 3). Lời giải.
Ta có M là hình chiếu vng góc của A trên (Oyz) ⇒ xM = 0.
Do tọa độ M (0; −2; 3).
(3)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; −2; 3) và B(−1; 2; 5) Tìm tọa độ
trung điểm I của đoạn thẳng AB.
A I(2; −2; −1). B I(−2; 2; 1). C I(1; 0; 4). D I(2; 0; 8). Lời giải.
Tọa độ trung điểm I (xI, yI) của AB :
xI =
xA+ xB = yI =
yA+ yB = zI =
zA + zB =
⇒ I(1; 0; 4).
Chọn phương án C
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểmA(1; 2; 4), B(2; 4; −1) Tìm tọa độ trọng
tâm G của 4OAB.
A G(1; 2; 1). B G(2; 1; 1). C G(2; 1; 1). D G(6; 3; 3). Lời giải.
Gọi G (xG, yG, zG) là trọng tâm của 4ABC, ta có
xG =
xA+ xB + xO yG=
yA+ yB + yO zG =
zA+ zB + zO ⇔
xG= yG = zG=
⇒ G(1; 2; 1).
Chọn phương án A
Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−3; 5; 1).
Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A D(−2; 8; −3). B D(−2; 2; 5). C D(−4; 8; −5). D D(−4; 8; −3). Lời giải.
Ta có AD =# » BC ⇔ (x# » D− 1; yD − 2; zD+ 1) = (−5; 6; −2) ⇔
xD− = −5 yD − = zD+ = −2
⇒ D(−4; 8; −3).
Chọn phương án D
Câu 6. Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách hai điểm A(1; 2; −1) và điểm B(2; 1; 2).
A M1
2; 0;
. B M3
2; 0;
. C M2
3; 0;
. D M1
3; 0;
.
Lời giải.
Gọi M (x; 0; 0) ∈ Ox.
Ta có M A = M B ⇔ M A2= M B2 ⇔ (1 − x)2+ + = (2 − x)2+ + ⇔ x =
2 ⇒ M
3
2; 0;
.
Chọn phương án B
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #»u (2; 3; −1) và #»v (5; −4; m) Tìm m để #»u ⊥ #»v.
A m = 0. B m = 2. C m = 4. D m = −2.
Lời giải.
(4)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Chọn phương án D
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho A(−1; 2; 4), B(−1; 1; 4), C(0; 0; 4) Tìm số đo của
góc ’ABC.
A 60O. B 135◦. C 120O. D 45O.
Lời giải.
Ta có BA = (0; 1; 0)# » , BC = (1; −1; 0) ⇒ cos# » ’ABC =
# » BA ·BC# » BA · BC = −
1 √
2 ⇒’ABC = 135 O.
Chọn phương án B
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ ÄO;#»i ;#»j ; #»kä, cho hai véc-tơ #»a = (2; −1; 4) và #»b = #»i − 3#»k.
Tính #»a · #»b.
A #»a · #»b = −13. B #»a · #»b = 5. C #»a · #»b = −10. D #»a · #»b = −11. Lời giải.
Ta có #»b = (1; 0; −3) nên #»a · #»b = − 12 = −10.
Chọn phương án C
Câu 10. Trong không gian Oxyz, điểm N đối xứng với M (3; −1; 2) qua trục Oy là
A N (3; 1; 2). B N (−3; −1; −2). C N (3; −1; −2). D N (−3; 1; −2). Lời giải.
Điểm đối xứng với điểm M (3; −1; 2) qua trục Oy là N (−3; −1; −2).
Chọn phương án B
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; −4; −5) Tọa độ điểm A0 đối xứng
với điểm A qua mặt phẳng (Oxz) là
A (1; −4; 5). B (−1; 4; 5). C (1; 4; 5). D (1; 4; −5). Lời giải.
Đối xứng điểm A(1; −4; −5) qua mặt phẳng Oxz là điểm A0(1; 4; −5).
Chọn phương án D
Câu 12. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(−2; 1; −3) và B(1; 0; −2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A 3√3. B 11. C √11. D 27.
Lời giải.
Ta có AB =p(1 + 2)2+ (−1)2+ (−2 + 3)2 =√11.
Chọn phương án C
Câu 13. Cho #»u = (−1; 1; 0), #»v = (0; −1; 0), góc hai véc-tơ #»u và #»v là
A 120◦. B 45◦. C 135◦. D 60◦.
Lời giải.
Ta có #»u · #»v = −1 · + · (−1) + · = −1 và | #»u | · | #»v | =p(−1)2+ 12+ 02·p02+ (−1)2+ 02 =√2.
Vậy cos ( #»u , #»v ) = #» u · #»v | #»u | · | #»v | = −
1 √
2 ⇒ ( #»u , #»v ) = 135 ◦.
(5)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho hai véc-tơ #»a = (1; −1; 2) và #»b = (2; 1; −1) Tính #»a · #»b. A #»a · #»b = (2; −1; −2). B #»a · #»b = (−1; 5; 3). C #»a · #»b = 1. D #»a · #»b = −1. Lời giải.
Ta có #»a · #»b = · + (−1) · + · (−1) = −1.
Chọn phương án D
Câu 15. Cho véc-tơ #»a = (1; 2; 3); #»b = (−2; 4; 1); #»c = (−1; 3; 4) Véc-tơ #»v = #»a − 3#»b + #»c có tọa độ là
A #»v = (23; 7; 3). B #»v = (7; 23; 3). C #»v = (3; 7; 23). D #»v = (7; 3; 23). Lời giải.
Ta có #»a = (2; 4; 6), −3#»b = (6; −12; −3), #»c = (−5; 15; 20) ⇒ #»v = #»a − 3#»b + #»c = (3; 7; 23).
Chọn phương án C
Câu 16. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho #»u = (1; 2; −1) và #»v = (2; 3; 0) Tính [ #»u , #»v ]. A [ #»u , #»v ] = (3; 2; −1). B [ #»u , #»v ] = (3; −2; 1).
C [ #»u , #»v ] = (3; −2; −1). D [ #»u , #»v ] = (−3; 2; 1). Lời giải.
Ta có [ #»u , #»v ] =
Ç −1 , −1 , 2 å
= (3; −2; −1).
Chọn phương án C
Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho véc-tơ #»a = (m; 1; 0),#»b = (2; m − 1; 1), #»c = (1; m + 1; 1).
Tìm m để ba véc-tơ #»a, #»b, #»c đồng phẳng
A m = −2. B m =
2. C m = −1. D m = −
1 2. Lời giải.
Ta có ỵ#»a ;#»bó= 1; −m; m2− m − 2
⇒ỵ#»a ;#»bó· #»c = −2m − 1.
Ba véc-tơ #»a, #»b, #»a ,#»b , #»c đồng phẳng ⇔ỵ#»a ;#»bó· #»c = ⇔ −2m − = ⇔ m = −1
2.
Chọn phương án D
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #»a = (0; 3; 1), #»b = (3; 0; −1).
Tính cosÄ#»a ,#»bä.
A cosÄ#»a ,#»bä=
100. B cos
Ä#»
a ,#»bä= −
10. C cos
Ä#»
a ,#»bä=
10. D cos
Ä#»
a ,#»bä = − 100. Lời giải.
Ta có cosÄ#»a ,#»bä=
#»a · #»b | #»a | ·
#» b
= √ · + · + · (−1) 02+ 32+ 12·p
32+ 02+ (−1)2 ⇔ cos
Ä#»
a ,#»bä = −1 10.
Chọn phương án B
Câu 19. Cho hai vec tơ #»a = (1; −2; 3), #»b = (−2; 1; 2) Khi tích vơ hướng Ä#»a + #»bä·#»b bằng
A 12. B 2. C 11. D 10.
Lời giải.
Ta có #»a + #»b = (−1; −1; 5) ⇒ Ä#»a + #»bä· #»b = −1 · (−2) + (−1) · + · = 11.
(6)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giácABC cóA(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
Diện tích tam giác ABC bằng
A √
11
2 . B
√
2 . C
√
2 . D
√ . Lời giải.
Ta có AB = (−1; 0; 1)# » , AC = (1; 1; 1) ⇒# » ỵAB;# » AC# »ó= (−1; 2; −1)
⇒ S4ABC =
ỵ# » AB;AC# »ó
=
√ .
(7)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B 7. D 8. B 9. C 10. B
h Geogebra Pro ...Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tính tích vơ hướng hai véc-tơ không gian< /h3> Oxyz.
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính tổng hai véc-tơ...
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ MỞ RỘNG
Câu 1. Trong không gian< /h3> Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 3), B(3; 2; −4) Véc-tơ AB# » có...
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ Trong khơng gian< /h3>Oxyz, cho véc-tơ #»a = (1; 0; 3) và #»b = (−2; 2; 5) Tích vơ hướng< /h3>
#»a