Đang tải... (xem toàn văn)
và khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt phẳng (P ) là lớn nhất.[r]
(1)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
DẠNG 34. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LIÊN QUAN
ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Đường thẳngd : x − x0
a =
y − y0
b =
z − z0
c có1 véc-tơ phương là
#»u
d = (a; b; c) và điểm M (xo; yo; zo) ∈ d.
Cho mặt phẳng (P ) có phương trình Ax + By + Cz + D = có véc-tơ pháp tuyến
#»
n = (A; B; C).
Cho mặt phẳng (P ) vng góc với đường thẳng ∆ có véc-tơ phương #»u(∆)
P
∆
#» n(P )
#» u(∆)
Khi mặt phẳng (P ) nhận #»u(∆) làm véc-tơ pháp tuyến #»n(P ) = #»u(∆).
Nếu có hai véc-tơ #»a ,#»b khơng phương có giá song song nằm mặt phẳng
(P ) thì ta có véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) là #»n =ỵ#»a ,#»bó.
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ Trong không gianOxyz, mặt phẳng qua điểmM (1; 1; −1)và vng góc với đường
thẳng ∆ : x +
2 = y −
2 = z −
1 có phương trình là
A 2x + 2y + z + = 0. B x − 2y − z = 0. C 2x + 2y + z − = 0. D x − 2y − z − = 0.
(2)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây dạng viết phương trình mặt phẳng.
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định véc-tơ phương #»u(∆) của đường thẳng ∆.
B2: (P ) ⊥ ∆ nên mặt phẳng (P ) nhận #»u(∆) làm véc-tơ pháp tuyến: #»n(P ) = #»u(∆).
B3: Viết phương trình mặt phẳng (P ).
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đường thẳng ∆ : x +
2 = y −
2 = z −
1 có véc-tơ phương là
#»u
(∆) = (2; 2; 1). (P ) ⊥ ∆ nên mặt phẳng (P ) nhận #»u(∆) làm véc-tơ pháp tuyến: #»n(P ) = #»u(∆) = (2; 2; 1).
Phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M (1; 1; −1) và vng góc với đường thẳng ∆ là
(P ) : 2(x − 1) + 2(y − 1) + 1(z + 1) = ⇔ 2x + 2y + z − =
Chọn phương án C
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1) và B(1; 3; 2) Viết phương
trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vng góc với đường thẳng AB.
A x + 2y + z − = 0. B x + 2y + z − = 0. C x + 4y + 3z − = 0. D y + z − = 0. Lời giải.
Ta có AB = (1; 2; 1)# » .
Mặt phẳng (P ) đi qua A và vng góc với đường thẳng AB nên nhận véc-tơ AB = (1; 2; 1)# » làm
véc-tơ pháp tuyến Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ) là:
(x − 0) + 2(y − + (z − 1) = ⇔ x + 2y + z − =
Chọn phương án B
Câu 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1; 0; −3), B(3; 2; 1) Mặt phẳng trung trực đoạn
AB có phương trình là
A x + y + 2z − = 0. B 2x + y − z + = 0. C x + y + 2z + = 0. D 2x + y − z − = 0. Lời giải.
Trung điểm đoạn AB là I(2; 1; −1) Mặt phẳng trung trực đoạn AB chứa I và có véc-tơ pháp
tuyến là AB = (2; 2; 4)# » có phương trình 2(x − 2) + 2(y − 1) + 4(z + 1) = ⇔ x + y + 2z − = 0.
(3)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN
Câu 3. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau x − −2 =
y + =
z − và x +
1 =
y −1 =
z +
3 có phương trình là
A −2x − y + 9z − 36 = 0. B 2x − y − z = 0. C 6x + 9y + z + = 0. D 6x + 9y + z − = 0. Lời giải.
Đường thẳng d1:
x − −2 =
y + =
z −
3 đi qua điểm M (1; −2; 4), có VTCP là
#»u
1 = (−2; 1; 3).
Đường thẳng d2:
x + 1 =
y −1 =
z +
3 có VTCP là
#»
u2= (1; −1; 3).
Mặt phẳng(P ) chứa hai đường thẳng cắt nhaud1, d2 ⇒ (P )qua điểmM (1; −2; 4), có VTPT là
#»
n = [ #»u1, #»u2] = (6; 9; 1) Phương trình mặt phẳng (P ) là
(P ) : 6(x − 1) + 9(y + 2) + (z − 4) = ⇔ 6x + 9y + z + =
Chọn phương án C
Câu 4. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Oz và vng góc với mặt phẳng (α) : x − y + 2z − = có phương trình là
A x + y = 0. B x + 2y = 0. C x − y = 0. D x + y − = 0. Lời giải.
Mặt phẳng (α) : x − y + 2z − = có véc-tơ pháp tuyến #»nα= (1; −1; 2).
Trên trục Oz có véc-tơ đơn vị #»k = (0; 0; 1).
Mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (α) là mặt phẳng qua O và nhận ỵ#»nα;#»k
ó = (−1; −1; 0) làm véc-tơ pháp tuyến Do có phương trình −x − y = ⇔ x + y = 0.
Chọn phương án A
Câu 5. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d: x − =
y =
z +
3 và mặt phẳng
(Q) : 2x + y − z = 0 Mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d và vng góc với mặt phẳng (Q)có phương trình là
A −x + 2y − = 0. B x − y + z = 0. C x − 2y − = 0. D x + 2y + z = 0. Lời giải.
VTCP của d là #»u = (2; 1; 3), VTPT của (Q) là #»n = (2; 1; −1).
Mặt phẳng (P ) nhận VTPT là #»v = [ #»u , #»n ] = (−4; 8; 0) = −4(1; −2; 0).
và (P ) đi qua điểm A(1; 0; −1) nên có phương trình tổng qt là x − 2y − = 0.
Chọn phương án C
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng thẳng d : x + =
y =
z −
1 Viết
phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d song song với trục Ox.
A (P ) : y − z + = 0. B (P ) : x − 2y + = 0. C (P ) : x − 2z + = 0. D (P ) : y + z − = 0. Lời giải.
Đường thẳng d đi qua điểm M (−1; 0; 2) và có véc-tơ phương #»u (2; 1; 1); trục Ox có véc-tơ đơn vị
#»
i (1; 0; 0).
(4)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
pháp tuyến #»n = #»u , #»i= (0; 1; −1).
⇒ Phương trình của (P ) là y − z + =
Chọn phương án A
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng chứa hai điểm A(1; 0; 1), B(−1; 2; 2) và
song song với trục Ox có phương trình là
A y − 2z + = 0. B x + 2z − = 0. C 2y − z + = 0. D x + y − z = 0. Lời giải.
Gọi (P ) là mặt phẳng cần tìm.
Do (P ) k Ox nên (P ) : by + cz + d = 0.
Do (P ) chứa điểm A(1; 0; 1), B(−1; 2; 2) nên
®
c + d =
2b + 2c + d = ⇒ 2b + c = 0.
Ta chọn b = ⇒ c = −2 Khi đó d = 2.
Vậy phương trình (P ) : y − 2z + = 0.
Chọn phương án A
Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1: x −
2 =
y − −2 =
z + và d2:
x −
1 =
y + =
z +
−2 Phương trình mặt phẳng (P ) chứad1 và (P ) song song với đường thẳng
d2 là
A (P ) : x + 5y + 8z − 16 = 0. B (P ) : x + 5y + 8z + 16 = 0. C (P ) : x + 4y + 6z − 12 = 0. D (P ) : 2x + y − = 0. Lời giải.
Đường thẳng d1 đi qua A(2; 6; −2) và có véc-tơ phương #»u1= (2; −2; 1).
Đường thẳng d2 có véc-tơ phương #»u2 = (1; 3; −2).
Gọi #»n là véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) Do mặt phẳng (P ) chứa d1 và (P ) song song
với đường thẳng d2 nên #»n = [ #»u1, #»u2] = (1; 5; 8).
Vậy phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A(2; 6; −2) và có véc-tơ pháp tuyến #»n = (1; 5; 8)
là
x + 5y + 8z − 16 =
Chọn phương án A
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa trục Oz và điểm M (1; 2; 1).
A (P ) : y − 2z = 0. B (P ) : 2x − y = 0. C (P ) : x − z = 0. D (P ) : x − 2y = 0. Lời giải.
Trục Oz có véc-tơ phương #»k = (0; 0; 1) và OM = (1; 2; 1)# » .
Vì mặt phẳng (P ) chứa trục Oz và điểm M (1; 2; 1) nên mặt phẳng (P ) có véc-tơ pháp tuyến
#»
n =ỵ#»k ,OM# »ó= (−2; 1; 0).
Vậy phương trình mặt phẳng (P ) đi qua qua O(0; 0; 0) có dạng −2x + y = ⇔ 2x − y = 0.
(5)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Câu 10. Cho A(1; −1; 0) và d : x +
2 =
y −
1 =
z
−3 Phương trình mặt phẳng (P ) chứa A và d
là
A x + 2y + z + = 0. B x + y + z = 0. C x + y = 0. D y + z = 0. Lời giải.
Đường thẳng d có véc-tơ phương #»u = (2; 1; −3) và M ∈ d ⇒ M (−1; 1; 0),AM = (−2; 2; 0)# » .
Vì mặt phẳng (P ) chứa trục d và điểm A(1; −1; 0) nên mặt phẳng (P ) có véc-tơ pháp tuyến
#»
n =ỵ#»u ,AM# »ó= (6; 6; 6).
Vậy phương trình mặt phẳng (P ) đi qua qua A(1; −1; 0) có dạng 1(x − 1) + 1(y + 1) + z = ⇔
x + y + z = 0.
Chọn phương án B
Câu 11. Cho hai đường thẳng chéo nhau d1: x −
1 =
y − −1 =
z
2 và d2:
x = − 2t y = z = t
Mặt phẳng
song song cách đều d1 và d2 có phương trình là
A x + 5y − 2z + 12 = 0. B x + 5y + 2z − 12 = 0. C x − 5y + 2z − 12 = 0. D x + 5y + 2z + 12 = 0. Lời giải.
d1 có VTCP #»u1 = (1; −1; 2).
d2 có VTCP #»u2 = (−2; 0; 1).
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm, có VTPT #»n = [ #»u1, #»u2] = (−1; −5; −2)
⇒ (α) : x + 5y + 2z + m = 0.
Lấy điểm M1(2; 1; 0) ∈ d1, M2(2; 3; 0) ∈ d2.
Vì (α) cách đều d1 và d2 nên
d (d1, (α)) = d (d2, (α)) ⇔ d (M1, (α)) = d (M2, (α)) ⇔ |m + 7|√
30 =
|m + 17| √
30 ⇔ m = −12 Vậy (α) : x + 5y + 2z − 12 = 0.
Chọn phương án B
Câu 12. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1: x −
2 =
y + =
z − −2 , d2:
x −
1 =
y −
3 =
z +
1 Mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = song song với d1, d2 và khoảng cách từ d1 đến
(P ) bằng lần khoảng cách từ d2 đến (P ) Tính S =
a + b + c d .
A S =
3. B S = 1.
C S = 4. D S =
34 hay S = −4. Lời giải.
Đường thẳng d1 đi qua điểm A(1; −2; 1) và có véc-tơ phương là #»u1 = (2; 1; −2).
(6)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
(P ) có VTPT là #»n = [ #»u1, #»u2] = (7; −4; 5) nên có phương trình (P ) : 7x − 4y + 5z + d = 0.
Ta có: d[A; (P )] = 2d[B; (P )] ⇔ |d + 20| = 2|d − 7| ⇔
ñ d = 34 d = −2
Vậy S =
34 hay S = −4.
Chọn phương án D
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)2+ (y + 1)2+ z2 = 11 và
hai đường thẳng d1:
x −
1 =
y +
1 =
z − , d2:
x +
1 =
y =
z
1 Viết phương trình tất mặt
phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2.
A 3x − y − z + = 0. B 3x − y − z − 15 = 0.
C 3x − y − z − = 0. D 3x − y − z + = hoặc 3x − y − z − 15 = 0. Lời giải.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 0), bán kính R =√11.
d1 qua A(5; −1; 1) và có véc-tơ phươngu#»1 = (1; 1; 2). d2 qua B(−1; 0; 0) có véc-tơ phương u#»2= (1; 2; 1).
Mặt phẳng (P ) cần tìm song song với hai đường thẳng d1, d2 nên (P ) có véc-tơ pháp tuyến là
#»
n = [ #»u1, #»u2] = (−3; 1; 1).
Phương trình mặt phẳng (P ) có dạng: −3x + y + z + d = 0.
A /∈ (P ) ⇔ d 6= 15; B /∈ (P ) ⇔ d 6= −3.
Mặt khác mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
N (0; 0; 1) ⇔ | − − + + d|√ + + =
√
11 ⇔ | − + d| = 11 ⇔ ñ
d = 15 d = −7 • d = 15 (loại)
• d = −7, ta có phương trình mặt phẳng (P ) là −3x + y + z − = ⇔ 3x − y − z + = 0.
Chọn phương án A
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x −
2 =
y =
z − 2 và điểm M (2; 5; 3) Mặt phẳng (P ) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ M đến (P ) lớn có phương trình là
(7)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
P
d A
H
I
Gọi I (1 + 2t; t; + 2t) là hình chiếu vng góc của A trên d.
d có véc-tơ phương là #»ud = (2; 1; 2).
Ta có AI · #»# » ud = 0(2t − 1)2 + (t − 5) + (2t − 1)2 = ⇔ t = suy ra I(3; 1; 4).
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P ) là AH = d (A, (P )) ≤ AI suy khoảng cách từ A đến (P )
lớn bằng AI.
Khi mặt phẳng (P ) qua I và nhận AI = (1; −4; 1)# » làm véc-tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (P ): x − 4y + z − = 0.
Chọn phương án C
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độOzyz cho điểmA(2; −1; −2)và đường thẳng(d)có phương
trình x −
1 =
y − −1 =
z −
1 Gọi (P ) là mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng (d)
và khoảng cách từ đường thẳngd tới mặt phẳng (P ) là lớn Khi mặt phẳng (P ) vng góc
với mặt phẳng sau đây?
A x − y − = 0. B x + 3y + 2z + 10 = 0. C x − 2y − 3z − = 0. D 3x + z + = 0. Lời giải.
P
A
H
(8)Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A
Gọi K(x; y; z) là hình chiếu vng góc của A lên d Tọa độ của K là nghiệm hệ
− x + = y − y − = −z + x − y + z − =
⇔
x = y = z =
⇔ K(1; 1; 1)
Ta có d ((d), (P )) = d (K, (P )) = KH ≤ KA = √14 Nên khoảng cách từ d đến (P ) đạt giá trị lớn
nhất bằng √14khi mặt phẳng (P ) qua A và vng góc với KA# ».
Khi chọn VTPT của (P ) là KA# ».
Vậy (P ) vng góc với mặt phẳng 3x + z + = 0.
Chọn phương án D
Câu 16. Trong không gian Oxyz, gọi (P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d : x −
1 =
y − =
z −1
và cắt trục Ox, Oy lần lượt tạiA và B sao cho đường thẳng AB vng góc với d Phương trình
của mặt phẳng (P ) là
A x + 2y + 5z − = 0. B x + 2y + 5z − = 0. C x + 2y − z − = 0. D 2x − y − = 0. Lời giải.
Ta có #»ud = (1; 2; −1).
®
A ∈ Ox ⇒ A(a; 0; 0) B ∈ Oy ⇒ B(0; b; 0) ⇒
# »
AB = (−a; b; 0).
Theo đề bài AB ⊥ d ⇒ AB · #»# » ud = ⇔ −a + 2b = ⇔ a = 2b ⇒AB = (−2b; b; 0)# »
⇒ #»u = (−2; 1; 0) là VTCP của AB. Ta có
®#»
u = (−2; 1; 0) #»
ud = (1; 2; −1)
⇒ [ #»u , #»ud] = (−1; −2; −5) ⇒ #»n = (1; 2; 5) là VTPT của (P ).
Kết hợp với (P ) qua M (2; 1; 0) ∈ d ⇒ (P ) : (x − 2) + 2(y − 1) + 5z = ⇔ x + 2y + 5z − = 0.
Chọn phương án C
Câu 17. Tìm tất mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d: x =
y −1 =
z
−3 và tạo với mặt phẳng
(P ): 2x − z + = góc 45◦.
A (α): 3x + z = 0. B (α): x − y − 3z = 0.
C (α): x + 3z = 0. D (α): 3x + z = hay (α): 8x + 5y + z = 0. Lời giải.
d đi qua điểm O(0; 0; 0) có vtcp #»u = (1; −1; −3).
(α) qua O có vtpt #»n = (a; b; c) có dạng ax + by + cz = 0, do #»n · #»u = ⇒ a − b − 3c = 0.
(P ): 2x − z + = vtpt #»k = (2; 0; −1). Ta có
cos 45◦=
#»n ·#»k
| #»n | ·
#» k
⇔ p |2a − c|
5 (a2+ b2+ c2) = √
2
2 ⇔ 10 a
+ b2+ c2= (4a − 2c)2
⇔ 10 b2+ 6bc + 9c2+ b2+ c2= (4b + 12c − 2c)2 ⇔ 10 2b2+ 6bc + 10c2= (4b + 10c)2
⇔ 4b2− 20bc = ⇔ ñ
(9)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
X b = ⇒ a = 3c ⇒ (α): x + 3z = 0.
X b = 5c, chọn c = ⇒ b = 5, a = ⇒ (α): 8x + 5y + z = 0.
Chọn phương án D
Câu 18. Trong không gian Oxyz,d : x −1 =
y + =
z −
1 và mặt phẳng (P ) : 2x − y − 2z + = 0.
Mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P ) góc với số đo nhỏ có phương trình
là
A x − z − = 0. B x + z − = 0. C 3x + y + z − = 0. D x + y − z + = 0. Lời giải.
Q P
d
A K E
H
Lấy điểm A(0; −1; 2) thuộc đường thẳng d.
Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng (P ).
Gọi E, K lần lượt hình chiếu vng góc của H lên mặt phẳng (Q) và đường thẳng d.
Ta có: AH ⊥ (P ), HE ⊥ (Q) ⇒
◊ (P ), (Q)
=AHE = α’ Xét cos α = HE HA ≤
HK HA.
α có số đo nhỏ khi ⇔ cos α lớn nhất ⇔ E ≡ K.
Lúc mặt phẳng (Q)chứa đường thẳng d và vng góc với mặt phẳng (HAK).
Mặt phẳng (AHK) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông với mặt phẳng (P ) ⇒ #»nAHK =
[ #»ud, #»nP] là véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (AHK).
Suy véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) ⇒ #»nQ = [ #»ud, #»nAHK] = (−6; −6; 6)
⇒ Phương trình mặt phẳng (Q): x + y − z + = 0.
Chọn phương án D
Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 1) và B(3; −1; 5) Mặt phẳng(P ) vng góc
với đường thẳng AB và cắt trục Ox, Oy và Oz lần lượt điểm D, E và F Biết thể tích
của tứ diện ODEF bằng
(10)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
A 2x − 3y + 4z ±√3
36 = 0. B 2x − 3y + 4z +3
2 = 0. C 2x − 3y + 4z ± 12 = 0. D 2x − 3y + 4z ± = 0. Lời giải.
Vì AB ⊥ (P ) nên mặt phẳng (P ) có véc-tơ pháp tuyến làAB = (2; −3; 4)# » , phương trình
mặt phẳng (P ) có dạng 2x − 3y + 4z + d = 0.
Từ tìm được D(−d
2; 0; 0), E(0; d
3; 0), F (0; 0; − d
4) suy ra OD =
|d|
2 , OE = |d|
3 , OF = |d|
4 .
Mặt khác tứ diện ODEF có OD, OE, OF đơi vng góc nên
VODEF =
6OD · OE · OF ⇔ (|d|)3
144 =
2 ⇔ |d| = ⇔ d = ±6
Vậy phương trình mặt phẳng (P ) là 2x − 3y + 4z ± = 0.
(11)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. A 3. C 4. A 5. C 6. A 7. A 8. A 9. B 10. B
h Geogebra Pro ...Lúc mặt phẳng< /h3> (Q)chứa đường thẳng< /h3> d và vng góc với mặt phẳng< /h3> (HAK).
Mặt phẳng< /h3> (AHK) là mặt phẳng chứa đường thẳng< /h3> d và vuông với mặt. .. (P ) : 2x − y − 2z + = 0.
Mặt phẳng chứa đường thẳng< /h3> d và tạo với mặt phẳng< /h3> (P ) góc với số đo nhỏ có phương trình< /h3>
là
A... và vuông với mặt phẳng< /h3> (P ) ⇒ #»nAHK =
[ #»ud, #»nP] là véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng< /h3> (AHK).
Suy véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng< /h3> (Q) ⇒ #»nQ