Bài tập biểu diễn hình học của số phức ôn thi THPT môn Toán - THI247.com

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là[r]

(1)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

DẠNG

31.

BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

1

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Điểm biểu diễn số phức:

Số phức z = a + bi (a, b ∈R) biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ Oxy

2

BÀI TẬP MẪU

Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = (1 + 2i)2 điểm đây?

A P (−3; 4) B Q(5; 4) C N (4; −3) D M (4; 5)

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định điểm biểu diễn số phức Phương pháp

Đưa số phức z dạng z = a + bi (a, b ∈R)

Số phức z = a + bi (a, b ∈R) biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ Oxy HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính z = (1 + 2i)2 đưa dạng z = a + bi (a, b ∈R) B2: Tìm điểm biểu diễn số phức z

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Ta có: z = (1 + 2i)2= + 4i + 4i2= −3 + 4i

Vậy điểm biểu diễn số phức z = −3 + 4i có tọa độ (−3; 4) Chọn phương án A

3

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Câu Điểm M hình vẽ bên biểu thị cho số phức A − 3i

B + 2i C − 2i

D −2 + 3i O

x y

−2 M

3

Lời giải

Hoành độ, tung độ điểm M tương ứng phần thực, phần ảo số phức từ hình vẽ suy

(2)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

Chọn phương án D

Câu Cho số phức z = + 2i Điểm điểm biểu diễn số phức w = z + iz mặt phẳng toạ độ?

A P (−3; 3) B M (3; 3) C Q(3; 2) D N (2; 3)

Lời giải

Ta có w = z + iz = + 2i + i(1 − 2i) = + 3i Vậy điểm biểu diễn số phức w = z + iz M (3; 3) Chọn phương án B

Câu Giả sử A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z1, z2 Khi độ dài AB# »

bằng

A |z1| − |z2| B |z2+ z1| C |z2− z1| D |z1| + |z2| Lời giải

Giả sử z1 = a + bi, z2= c + di, (a, b, c, d ∈R)

Theo đề ta có A(a; b), B(c; d) ⇒ AB =p(c − a)2+ (d − b)2. z2− z1= (a − c) + (d − b)i ⇒ |z2− z1| =

p

(c − a)2+ (d − b)2 Vậy

# » AB

= |z2− z1| Chọn phương án C

Câu Cho số phức z1 = −1 + i, z2 = + 3i, z3 = + i, z4 = − i có điểm biểu

diễn mặt phẳng phức M, N, P, Q Hỏi tứ giác M N P Q hình gì?

A Tứ giác M N P Q hình thoi B Tứ giác M N P Q hình vng C Tứ giác M N P Q hình bình hành D Tứ giác M N P Q hình chữ nhật

Lời giải

Từ giả thiết ta có tọa độ điểm biểu diễn z1 = −1 + i, z2 = + 3i, z3 = + i, z4 = − i M (−1; 1), N (2; 3), P (5; 1), Q(2; −1)

Ta có M N = (3; 2),# » QP = (3; 2),# » M P = (6; 0),# » N Q = (0; −4)# »

suy

®# »

M N = QP# » # »

M P ⊥N Q# »

Vậy tứ giác M N P Q hình thoi

x y

O M

N

P

Q

−1

3

Chọn phương án A

Câu Cho số phức z = m + (m − 3)i, m ∈R Tìm m để điểm biểu diễn số phức z nằm đường phân giác góc phần tư thứ hai

A m = B m =

3 C m =

1

2 D m =

3 Lời giải

Ta có Đường phân giác góc phần tư thứ hai làd : y = −x Điểm biểu diễn số phứcz = m+(m−3)i

là M (m; m − 3) Khi theo dề ta có M ∈ d ⇔ m = − m ⇔ m =

Câu Cho A, B, C điểm biểu diễn số phức − 3i; (1 + 2i)i;

i Tìm số

(3)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

A z = −8 + 3i B z = −8 − 4i C z = − 2i D z = − 5i

Lời giải

Ta có điểm biểu diễn số phức6 − 3i A(6; −3), (1 + 2i)i = −2 + i có điểm biểu diễn B(−2; 1)

và

i = −i có điểm biểu diễn C(0; −1)

Để ABCD hình bình hành AD =# » BC ⇔# »

®

x − = y + = −2 ⇔

®

x = y = −5

Vậy D điểm biểu diễn số phức z = − 5i Chọn phương án D

Câu Gọi M, N theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z 6= + i

2 z Trong khẳng

định sau, khẳng định đúng?

A ∆OM N tam giác B ∆OM N tam giác tù C ∆OM N tam giác vuông cân D ∆OM N tam giác nhọn

Lời giải

Gọi z = a + bi (a, b ∈R) Khi z có điểm biểu diễn M (a; b) Ta có + i

2 (a + bi) = 2a −

1 2b +

1

2a + 2b

i có điểm biểu diễn M

Å

a −

b 2;

a +

b

ã

Suy OM =√a2+ b2; ON =

…

a2+ b2

2 ; M N =

…

a2+ b2

Ta có OM2+ M M2= OM2 nên ∆OM M tam giác vuông cân Chọn phương án C

Câu Cho điểm A, B, C biểu diễn cho số phức z1, z2, z3 Biết |z1| = |z2| = |z3| z1+ z2 = Khi tam giác ABC tam giác gì?

A Tam giác ABC B Tam giác ABC vuông C

C Tam giác ABC cân C D Tam giác ABC vng cân C

Lời giải

Vì z1+ z2 = nên z1, z2 hai số phức đối nhau, hai điểm A, B đối xứng qua gốc O

Lại có |z1| = |z2| = |z3| ⇔ OA = OB = OC ⇒ CO = AB

2 Vậy ∆ABC có độ dài đường trung tuyến

bằng nửa cạnh huyền nên vuông C Chọn phương án B

Câu Cho số phức z thỏa mãn |z + − i| = |z − + 2i| Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ đường thẳng Phương trình đường thẳng

A 4x − 6y − = B 4x + 6y + = C 4x − 6y + = D 4x + 6y − =

Lời giải

Gọi z = x + yi Ta có |z + − i| = |z − + 2i| ⇔ p(x + 1)2+ (y − 1)2 = p

(x − 1)2+ (y + 2)2 ⇔ 4x − 6y − =

(4)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

A + i B + 3i C − 3i D −2 + 3i

Lời giải

Gọi z = x + yi (x, y ∈R) suy điểm biểu diễn z M (x, y) Số phức − 2i có điểm biểu diễn E(1, −2)

Số phức −i có điểm biểu diễn F (0, −1)

Ta có: |z + 2i − 1| = |z + i| ⇔ M E = M F ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực

EF : x − y − =

Để M A ngắn M A ⊥ EF M ⇔ M (3, 1) ⇒ z = + i Chọn phương án A

Câu 11 Trong mặt phẳng phứcOxy, tập hợp điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn z

2+ (z)2+ 2|z|2 =

16 hai đường thẳng d1, d2 Khoảng cách đường thẳng d1, d2 bao nhiêu?

A d(d1, d2) = B d(d1, d2) = C d(d1, d2) = D d(d1, d2) = Lời giải

Gọi M (x, y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈R) Ta có

z

2+ (z)2

+ 2|z|2

= 16 ⇔

x2+ 2xyi − y2+ x2− 2xyi − y2+ 2x2+ 2y2 = 16

⇔ 4x2 = 16 ⇔ x = ±2

suy d(d1, d2) = Ở lưu ý hai đường thẳng x = x = −2 song song với

Câu 12 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn điều kiện|z+2−5i| =

là đường trịn có tâm bán kính

A I(2; −5), R = B I(−2; 5), R = 36 C I(2; −5), R = 36 D I(−2; 5), R =

Lời giải

Gọi z = x + yi (x, y ∈R, i2 = −1) Khi

|z + − 5i| = ⇔ |x + + (y − 5)i| = ⇔p(x + 2)2+ (y − 5)2= ⇔ (x + 2)2+ (y − 5)2 = 36.

Vậy biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I(−2; 5), R = Chọn phương án D

Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn |iz − (−3 + i)| = Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn số phức z hình vẽ đây?

A

x y

O

2

B

x y

O

2

(5)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

C

x y

O

2

D

x y

O

2

Lời giải

Đặt z = x + yi, (x, y ∈R) Ta có

|iz − (−3 + i)| = ⇔ |i(x + yi) − (−3 + i)| = ⇔ |xi − y + − i| = ⇔ |(−y + 3) + (x − 1)i| = ⇔p(−y + 3)2+ (x − 1)2 = ⇔ (x − 1)2+ (y − 3)2 =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(1; 3) bán kính R = Chọn phương án C

Câu 14 Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + i| = |2¯z − i|

là đường trịn có bán kính R Tính giá trị R

A R = B R =

9 C R =

2

3 D R =

1 Lời giải

Đặt z = x + yi (x, y ∈R) ⇒ z = x − yi Ta

|z + i| = |2¯z − i| ⇔ |x + yi + i| = |2(x − yi) − i| ⇔ x2+ (y + 1)2 = 4x2+ (2y + 1)2 ⇔ x2+ (y + 1)2 = 4x2+ (2y + 1)2 ⇔ 3x2+ 3y2+ 2y =

⇔ x2+ y2+2 3y =

Suy R =

Câu 15 Biết số phức z thõa mãn |z − 1| ≤ z − z có phần ảo khơng âm Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích

A 2π B π2 C π

2 D π

(6)

50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN

Đặt z = x + yi ⇒ z = x − yi ta có

|z − 1| ≤ ⇔ |(x + yi) − 1| ≤ ⇔ |(x − 1) + yi| ≤ ⇔ (x − 1)2+ y2 ≤ (1)

z − z = (x + yi) − (x − yi) = 2yi có phần ảo không âm suy y ≥ (2)

Từ (1) (2) ta suy phần mặt phẳng biểu diễn số phức z nửa hình trịn tâm I(1; 0) bán kính r =

Diện tích

2 · r

2π = π

2 (đvdt) x y O −1

Chọn phương án C

Câu 16 Cho số phức z thỏa mãn |z − + 4i| = w = 2z + − i Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn tâm I, bán kính R Khi

A I(−7; 9), R = B I(7; −9), R = 16 C I(7; −9), R = D I(−7; 9), R = 16

Lời giải

Giả sử z = x + yi(x, y ∈R)

Từ giả thuyết |z − + 4i| = ⇔ |x + yi − + 4i| = ⇔ (x − 3)2+ (y + 4)2 = 4(∗) Từ w = 2z + − i = 2(x + yi) + − i = (2x + 1) + (2y − 1)i

Giả sử w = a + bi(a, b ∈R) Ta có a + bi = (2x + 1) + (2y − 1)i ⇔

®

2x + = a 2y − = b ⇔

  

 

x = a − y = b +

2

Thay x, y vào phương trình (∗), ta có a −

2 −

2

+

Å

b + +

ã2

= ⇔ (a − 7)2+ (b + 9)2 = 16

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn tâm I(7; −9), bán kính R = Lưu ý: giả sử w = x + yi(x, y ∈R), từ giả thuyết suy z = w − + i

2 =

x −

2 +

y +

2 i Thay z vào điều kiện |z − + 4i| = ta có kết

Câu 17 Cho z1, z2 hai số phức z thỏa mãn điều kiện |z − − 3i| = 5, đồng thời |z1− z2| = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1+ z2 mặt phẳng tọa độ Oxy

đường trịn có phương trình đây?

A (x − 10)2+ (y − 6)2= 36 B (x − 10)2+ (y − 6)2 = 16

C x −

2

+y −

2

= D x −5

2

+y −

2

= Lời giải

Gọi A, B, M điểm biểu diễn z1, z2, w Khi A, B thuộc đường tròn (C) : (x − 5)2+ (y − 3)2= 25 AB = |z1− z2| = (C)có tâm I(5; 3) bán kínhR = 5, gọi T trung điểm AB T trung điểm OM IT =√IA2− T A2= 3.

Gọi J điểm đối xứng O qua I suy J (10; 6) IT đường trung bình tam giác OJ M, J M = 2IT =

Vậy M thuộc đường trịn tâm J bán kính có phương trình

(x − 10)2+ (y − 6)2= 36

x y O A B I J M T

(7)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Câu 18 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z + 2|trên mặt phẳng tọa độ

A đường thẳng B đường tròn C parabol D hypebol

Lời giải

Giả sử z = x + yi(x, y ∈R) ⇒ z = x − yi ⇒ z + z = 2x Ta có

2|x − + yi| = |2x + 2| ⇔ 2p(x − 1)2+ y2 = |2x + 2| ⇔ (x − 1)2+ y2 = (x + 1)2

⇔ x2− 2x + + y2 = x2+ 2x + ⇔ y2= 4x

Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z + 2| mặt phẳng tọa độ parabol

Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z − 2| = Trong mặt phẳng phức tập hợp điểm

M biểu diễn cho số phức z

A (C) : (x + 2)2+ (y − 2)2 = 64 B (E) : x

16 + y2 12 =

C (E) : x

12 + y2

16 = D (C) : (x + 2)

2+ (y − 2)2 = 8. Lời giải

Gọi M (x; y), F1(−2; 0), F2(2; 0) Ta có

|z + 2| + |z − 2| = ⇔px2+ (y + 2)2+px2+ (y − 2)2 = ⇔ M F

1+ M F2 =

Do điểmM (x; y)nằm elip (E)có2a = ⇔ a = 4, 2c = F1F2 = vàb2 = a2− c2 = 16 − = 12

Vậy tập hợp điểm M elip (E) : x

16 + y2 12 =

Chọn phương án B

Câu 20 Trong mặt phẳng phức, gọi A,B,C, Dlần lượt điểm biểu diễn số phức z1 = −1 + i, z2 = + 2i, z3 = − i, z4 = −3i Gọi S diện tích tứ giác ABCD Tính S

A S = 17

2 B S =

19

2 C S =

23

2 D S =

(8)

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

Ta có z1 = −1 + i nên A(−1; 1), z2 = + 2i nên B(1; 2), z3 = − i nên C(2; −1) z4 = −3i nên D(0; −3) Khi AC = (3; −2), AC =# »

√ 13

#»

n = (2; 3) vectơ pháp tuyến AC Phương trình đường thẳng AC

2(x + 1) + 3(y − 1) = ⇔ 2x + 3y − = Khoảng cách từ B đến AC

d(B; AC) = |2 + · − 1|√

13 =

7 √

13 ⇒ S4ABC =

2d(B; AC) · AC = 2·

√

13 ·√7 13 =

2

Khoảng cách từ D đến AC

d(D; AC) = |0 − − 1|√

13 =

10 √

13 ⇒ S4ADC =

2·d(D; AC)·AC = 2·

10 √

13· √

13 =

Vậy S = S4ABC+ S4ADC =

2 + = 17

2

x y

O −1

2

−3 −1

1 A

B

C

D

(9)

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

BẢNG ĐÁP ÁN

1 D B C A D D C B A 10 A

Số phức −i có điểm biểu diễn F (0, −1)

Ta có: |z + 2i − 1| = |z + i| ⇔ M E = M F ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức. ..

Vậy biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I(−2; 5), R = Chọn phương án D

Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn |iz − (−3 + i)| = Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn số phức z hình. .. (y − 3)2 =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(1; 3) bán kính R = Chọn phương án C

Câu 14 Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + i|