Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là[r]
(1)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
DẠNG 31. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Điểm biểu diễn số phức:
Số phức z = a + bi (a, b ∈R) biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ Oxy
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = (1 + 2i)2 điểm đây?
A P (−3; 4) B Q(5; 4) C N (4; −3) D M (4; 5)
Lời giải
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định điểm biểu diễn số phức Phương pháp
Đưa số phức z dạng z = a + bi (a, b ∈R)
Số phức z = a + bi (a, b ∈R) biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ Oxy HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính z = (1 + 2i)2 đưa dạng z = a + bi (a, b ∈R) B2: Tìm điểm biểu diễn số phức z
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Ta có: z = (1 + 2i)2= + 4i + 4i2= −3 + 4i
Vậy điểm biểu diễn số phức z = −3 + 4i có tọa độ (−3; 4) Chọn phương án A
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu Điểm M hình vẽ bên biểu thị cho số phức A − 3i
B + 2i C − 2i
D −2 + 3i O
x y
−2 M
3
Lời giải
Hoành độ, tung độ điểm M tương ứng phần thực, phần ảo số phức từ hình vẽ suy
(2)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Chọn phương án D
Câu Cho số phức z = + 2i Điểm điểm biểu diễn số phức w = z + iz mặt phẳng toạ độ?
A P (−3; 3) B M (3; 3) C Q(3; 2) D N (2; 3)
Lời giải
Ta có w = z + iz = + 2i + i(1 − 2i) = + 3i Vậy điểm biểu diễn số phức w = z + iz M (3; 3) Chọn phương án B
Câu Giả sử A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z1, z2 Khi độ dài AB# »
bằng
A |z1| − |z2| B |z2+ z1| C |z2− z1| D |z1| + |z2| Lời giải
Giả sử z1 = a + bi, z2= c + di, (a, b, c, d ∈R)
Theo đề ta có A(a; b), B(c; d) ⇒ AB =p(c − a)2+ (d − b)2. z2− z1= (a − c) + (d − b)i ⇒ |z2− z1| =
p
(c − a)2+ (d − b)2 Vậy
# » AB
= |z2− z1| Chọn phương án C
Câu Cho số phức z1 = −1 + i, z2 = + 3i, z3 = + i, z4 = − i có điểm biểu
diễn mặt phẳng phức M, N, P, Q Hỏi tứ giác M N P Q hình gì?
A Tứ giác M N P Q hình thoi B Tứ giác M N P Q hình vng C Tứ giác M N P Q hình bình hành D Tứ giác M N P Q hình chữ nhật
Lời giải
Từ giả thiết ta có tọa độ điểm biểu diễn z1 = −1 + i, z2 = + 3i, z3 = + i, z4 = − i M (−1; 1), N (2; 3), P (5; 1), Q(2; −1)
Ta có M N = (3; 2),# » QP = (3; 2),# » M P = (6; 0),# » N Q = (0; −4)# »
suy
®# »
M N = QP# » # »
M P ⊥N Q# »
Vậy tứ giác M N P Q hình thoi
x y
O M
N
P
Q
−1
−1
3
Chọn phương án A
Câu Cho số phức z = m + (m − 3)i, m ∈R Tìm m để điểm biểu diễn số phức z nằm đường phân giác góc phần tư thứ hai
A m = B m =
3 C m =
1
2 D m =
3 Lời giải
Ta có Đường phân giác góc phần tư thứ hai làd : y = −x Điểm biểu diễn số phứcz = m+(m−3)i
là M (m; m − 3) Khi theo dề ta có M ∈ d ⇔ m = − m ⇔ m =
Chọn phương án D
Câu Cho A, B, C điểm biểu diễn số phức − 3i; (1 + 2i)i;
i Tìm số
(3)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
A z = −8 + 3i B z = −8 − 4i C z = − 2i D z = − 5i
Lời giải
Ta có điểm biểu diễn số phức6 − 3i A(6; −3), (1 + 2i)i = −2 + i có điểm biểu diễn B(−2; 1)
và
i = −i có điểm biểu diễn C(0; −1)
Để ABCD hình bình hành AD =# » BC ⇔# »
®
x − = y + = −2 ⇔
®
x = y = −5
Vậy D điểm biểu diễn số phức z = − 5i Chọn phương án D
Câu Gọi M, N theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z 6= + i
2 z Trong khẳng
định sau, khẳng định đúng?
A ∆OM N tam giác B ∆OM N tam giác tù C ∆OM N tam giác vuông cân D ∆OM N tam giác nhọn
Lời giải
Gọi z = a + bi (a, b ∈R) Khi z có điểm biểu diễn M (a; b) Ta có + i
2 (a + bi) = 2a −
1 2b +
1
2a + 2b
i có điểm biểu diễn M
Å
a −
b 2;
a +
b
ã
Suy OM =√a2+ b2; ON =
…
a2+ b2
2 ; M N =
…
a2+ b2
Ta có OM2+ M M2= OM2 nên ∆OM M tam giác vuông cân Chọn phương án C
Câu Cho điểm A, B, C biểu diễn cho số phức z1, z2, z3 Biết |z1| = |z2| = |z3| z1+ z2 = Khi tam giác ABC tam giác gì?
A Tam giác ABC B Tam giác ABC vuông C
C Tam giác ABC cân C D Tam giác ABC vng cân C
Lời giải
Vì z1+ z2 = nên z1, z2 hai số phức đối nhau, hai điểm A, B đối xứng qua gốc O
Lại có |z1| = |z2| = |z3| ⇔ OA = OB = OC ⇒ CO = AB
2 Vậy ∆ABC có độ dài đường trung tuyến
bằng nửa cạnh huyền nên vuông C Chọn phương án B
Câu Cho số phức z thỏa mãn |z + − i| = |z − + 2i| Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ đường thẳng Phương trình đường thẳng
A 4x − 6y − = B 4x + 6y + = C 4x − 6y + = D 4x + 6y − =
Lời giải
Gọi z = x + yi Ta có |z + − i| = |z − + 2i| ⇔ p(x + 1)2+ (y − 1)2 = p
(x − 1)2+ (y + 2)2 ⇔ 4x − 6y − =
Chọn phương án A
(4)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
A + i B + 3i C − 3i D −2 + 3i
Lời giải
Gọi z = x + yi (x, y ∈R) suy điểm biểu diễn z M (x, y) Số phức − 2i có điểm biểu diễn E(1, −2)
Số phức −i có điểm biểu diễn F (0, −1)
Ta có: |z + 2i − 1| = |z + i| ⇔ M E = M F ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực
EF : x − y − =
Để M A ngắn M A ⊥ EF M ⇔ M (3, 1) ⇒ z = + i Chọn phương án A
Câu 11 Trong mặt phẳng phứcOxy, tập hợp điểm biểu diễn số phứczthỏa mãn z
2+ (z)2+ 2|z|2 =
16 hai đường thẳng d1, d2 Khoảng cách đường thẳng d1, d2 bao nhiêu?
A d(d1, d2) = B d(d1, d2) = C d(d1, d2) = D d(d1, d2) = Lời giải
Gọi M (x, y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈R) Ta có
z
2+ (z)2
+ 2|z|2
= 16 ⇔
x2+ 2xyi − y2+ x2− 2xyi − y2+ 2x2+ 2y2 = 16
⇔ 4x2 = 16 ⇔ x = ±2
suy d(d1, d2) = Ở lưu ý hai đường thẳng x = x = −2 song song với
Chọn phương án A
Câu 12 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phứcz thỏa mãn điều kiện|z+2−5i| =
là đường trịn có tâm bán kính
A I(2; −5), R = B I(−2; 5), R = 36 C I(2; −5), R = 36 D I(−2; 5), R =
Lời giải
Gọi z = x + yi (x, y ∈R, i2 = −1) Khi
|z + − 5i| = ⇔ |x + + (y − 5)i| = ⇔p(x + 2)2+ (y − 5)2= ⇔ (x + 2)2+ (y − 5)2 = 36.
Vậy biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I(−2; 5), R = Chọn phương án D
Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn |iz − (−3 + i)| = Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn số phức z hình vẽ đây?
A
x y
O
2
B
x y
O
2
(5)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
C
x y
O
2
D
x y
O
2
Lời giải
Đặt z = x + yi, (x, y ∈R) Ta có
|iz − (−3 + i)| = ⇔ |i(x + yi) − (−3 + i)| = ⇔ |xi − y + − i| = ⇔ |(−y + 3) + (x − 1)i| = ⇔p(−y + 3)2+ (x − 1)2 = ⇔ (x − 1)2+ (y − 3)2 =
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(1; 3) bán kính R = Chọn phương án C
Câu 14 Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + i| = |2¯z − i|
là đường trịn có bán kính R Tính giá trị R
A R = B R =
9 C R =
2
3 D R =
1 Lời giải
Đặt z = x + yi (x, y ∈R) ⇒ z = x − yi Ta
|z + i| = |2¯z − i| ⇔ |x + yi + i| = |2(x − yi) − i| ⇔ x2+ (y + 1)2 = 4x2+ (2y + 1)2 ⇔ x2+ (y + 1)2 = 4x2+ (2y + 1)2 ⇔ 3x2+ 3y2+ 2y =
⇔ x2+ y2+2 3y =
Suy R =
Chọn phương án D
Câu 15 Biết số phức z thõa mãn |z − 1| ≤ z − z có phần ảo khơng âm Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích
A 2π B π2 C π
2 D π
(6)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN
Đặt z = x + yi ⇒ z = x − yi ta có
|z − 1| ≤ ⇔ |(x + yi) − 1| ≤ ⇔ |(x − 1) + yi| ≤ ⇔ (x − 1)2+ y2 ≤ (1)
z − z = (x + yi) − (x − yi) = 2yi có phần ảo không âm suy y ≥ (2)
Từ (1) (2) ta suy phần mặt phẳng biểu diễn số phức z nửa hình trịn tâm I(1; 0) bán kính r =
Diện tích
2 · r
2π = π
2 (đvdt) x y O −1
Chọn phương án C
Câu 16 Cho số phức z thỏa mãn |z − + 4i| = w = 2z + − i Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn tâm I, bán kính R Khi
A I(−7; 9), R = B I(7; −9), R = 16 C I(7; −9), R = D I(−7; 9), R = 16
Lời giải
Giả sử z = x + yi(x, y ∈R)
Từ giả thuyết |z − + 4i| = ⇔ |x + yi − + 4i| = ⇔ (x − 3)2+ (y + 4)2 = 4(∗) Từ w = 2z + − i = 2(x + yi) + − i = (2x + 1) + (2y − 1)i
Giả sử w = a + bi(a, b ∈R) Ta có a + bi = (2x + 1) + (2y − 1)i ⇔
®
2x + = a 2y − = b ⇔
x = a − y = b +
2
Thay x, y vào phương trình (∗), ta có a −
2 −
2
+
Å
b + +
ã2
= ⇔ (a − 7)2+ (b + 9)2 = 16
Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn tâm I(7; −9), bán kính R = Lưu ý: giả sử w = x + yi(x, y ∈R), từ giả thuyết suy z = w − + i
2 =
x −
2 +
y +
2 i Thay z vào điều kiện |z − + 4i| = ta có kết
Chọn phương án C
Câu 17 Cho z1, z2 hai số phức z thỏa mãn điều kiện |z − − 3i| = 5, đồng thời |z1− z2| = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1+ z2 mặt phẳng tọa độ Oxy
đường trịn có phương trình đây?
A (x − 10)2+ (y − 6)2= 36 B (x − 10)2+ (y − 6)2 = 16
C x −
2
+y −
2
= D x −5
2
2
+y −
2
= Lời giải
Gọi A, B, M điểm biểu diễn z1, z2, w Khi A, B thuộc đường tròn (C) : (x − 5)2+ (y − 3)2= 25 AB = |z1− z2| = (C)có tâm I(5; 3) bán kínhR = 5, gọi T trung điểm AB T trung điểm OM IT =√IA2− T A2= 3.
Gọi J điểm đối xứng O qua I suy J (10; 6) IT đường trung bình tam giác OJ M, J M = 2IT =
Vậy M thuộc đường trịn tâm J bán kính có phương trình
(x − 10)2+ (y − 6)2= 36
x y O A B I J M T
(7)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Câu 18 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z + 2|trên mặt phẳng tọa độ
A đường thẳng B đường tròn C parabol D hypebol
Lời giải
Giả sử z = x + yi(x, y ∈R) ⇒ z = x − yi ⇒ z + z = 2x Ta có
2|x − + yi| = |2x + 2| ⇔ 2p(x − 1)2+ y2 = |2x + 2| ⇔ (x − 1)2+ y2 = (x + 1)2
⇔ x2− 2x + + y2 = x2+ 2x + ⇔ y2= 4x
Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z − 1| = |z + z + 2| mặt phẳng tọa độ parabol
Chọn phương án C
Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z − 2| = Trong mặt phẳng phức tập hợp điểm
M biểu diễn cho số phức z
A (C) : (x + 2)2+ (y − 2)2 = 64 B (E) : x
16 + y2 12 =
C (E) : x
12 + y2
16 = D (C) : (x + 2)
2+ (y − 2)2 = 8. Lời giải
Gọi M (x; y), F1(−2; 0), F2(2; 0) Ta có
|z + 2| + |z − 2| = ⇔px2+ (y + 2)2+px2+ (y − 2)2 = ⇔ M F
1+ M F2 =
Do điểmM (x; y)nằm elip (E)có2a = ⇔ a = 4, 2c = F1F2 = vàb2 = a2− c2 = 16 − = 12
Vậy tập hợp điểm M elip (E) : x
16 + y2 12 =
Chọn phương án B
Câu 20 Trong mặt phẳng phức, gọi A,B,C, Dlần lượt điểm biểu diễn số phức z1 = −1 + i, z2 = + 2i, z3 = − i, z4 = −3i Gọi S diện tích tứ giác ABCD Tính S
A S = 17
2 B S =
19
2 C S =
23
2 D S =
(8)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Ta có z1 = −1 + i nên A(−1; 1), z2 = + 2i nên B(1; 2), z3 = − i nên C(2; −1) z4 = −3i nên D(0; −3) Khi AC = (3; −2), AC =# »
√ 13
#»
n = (2; 3) vectơ pháp tuyến AC Phương trình đường thẳng AC
2(x + 1) + 3(y − 1) = ⇔ 2x + 3y − = Khoảng cách từ B đến AC
d(B; AC) = |2 + · − 1|√
13 =
7 √
13 ⇒ S4ABC =
2d(B; AC) · AC = 2·
√
13 ·√7 13 =
2
Khoảng cách từ D đến AC
d(D; AC) = |0 − − 1|√
13 =
10 √
13 ⇒ S4ADC =
2·d(D; AC)·AC = 2·
10 √
13· √
13 =
Vậy S = S4ABC+ S4ADC =
2 + = 17
2
x y
O −1
2
−3 −1
1 A
B
C
D
(9)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
BẢNG ĐÁP ÁN
1 D B C A D D C B A 10 A
h Geogebra Pro ... điểm biểu diễn z M (x, y) Số phức − 2i có điểm biểu diễn E(1, −2)Số phức −i có điểm biểu diễn F (0, −1)
Ta có: |z + 2i − 1| = |z + i| ⇔ M E = M F ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức. ..
Vậy biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I(−2; 5), R = Chọn phương án D
Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn |iz − (−3 + i)| = Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn số phức z hình. .. (y − 3)2 =
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(1; 3) bán kính R = Chọn phương án C
Câu 14 Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + i|