TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ và ỨNG DỤNG

Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vô hướng hai vectơ ứng dụng HH10 - CHƯƠNG II: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ Giá trị lượng giác góc từ 0�đến 180�   0�� �180�  ta xác định điểm M nửa Với góc �  x; y  tọa độ điểm M , ta có: đường trịn đơn vị cho MOx   Gọi  Tung độ y M sin góc  , kí hiệu sin   Hoành độ x M cơsin góc  , kí hiệu cos  y  x �0   Tỉ số x tan góc  , kí hiệu tan  x  y �0  y  Tỉ số cot góc  , kí hiệu cot   Các số sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác góc   Ta có tính chất sau: sin   sin  180�   cos    cos  180�     tan    tan  180�   cot    cot  180�      Một số hệ thức bản: 2 sin   tan  cot    sin   cos   tan   cos     cos  cot   1 sin    tan    cot   cos x sin  BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT : Góc sin 0� cos tan 30� 3 45� 60� 2 2 2 90� 120� 135� 3  2 2  1  3 150� 3   180� 1 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – cot Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng 3  1 3  Góc hai vectơ r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O bất kì, vẽ uuur r uuur r OA  a, OB  b Góc   � AOB ( với 0�� �180�hay � � ) góc vectơ r r a b r  ar, b  Kí hiệu: Chú ý:     r r r r r r 0�� a , b �180� a, b  b , a r r r r a , b  90�� a  b r r r r a, b � � a b 0 r r r r a, b �  180 a b �             Tích vơ hướng hai vectơ r r r r Định nghĩa: Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a r r r r r nghĩa r r r r b số, kí hiệu a.b , định a.b  a b bởi: cos a , b Như vậy:   uuur uuur OAOB  OA.OB.cos � AOB  Nhận xét: r r r r2 a  a.a  a  uuur2 AB  AB  r r rr r  0.a  a.0  với a r r r r rr  Chú ý: Nếu a  hay b  , ta quy ước a.b   Nhận xét: r    r r r  ar, b   � ar, b hướng, ar.b  ar b r r r r  ar, b    � ar, b ngược hướng, ar.b   ar b r r  ar, b   90�� ar.b  Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – r Chương 2: Tích vô hướng hai vectơ ứng dụng r  ar, b   90�� ar.b  r r r  ar, b   90�� ar  b � ar.b  (Điều kiện vng góc)   rrr a Các tính chất: với vectơ , b , c số thực m ,ta có:     r r r r a.b  b a ( tính chất giao hốn) r r r rr rr a b  c  a.b  a.c ( tính chất phân phối phép cộng) r r r rr rr a b  c  a.b  a.c ( tính chất phân phối phép trừ) r r rr  m.a  b  m a.b       ( tính chất kết hợp) r r r r a �0, a  � a    Nhận xét: Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy đẳng thức đáng nhớ:    r r r rr r a  b  a  2.a.b  b   r r a  b  r rr r  a  2.a.b  b r r r r r r a  b a  b  a2  b   Biểu thức tọa độ tích vô hướng ứng dụng Cho hai vectơ   r a  x; y  r b  x '; y ' Khi đó: rr a.b  x.x ' y y ' ( Tích vơ hướng hai vectơ) r a  x2  y2 ( Độ dài vectơ) rr a.b x.x ' y y ' r r cos a , b  r r  a b x  y x '2  y '    ( Góc hai vectơ) r r a  Đặc biệt:  b � x.x ' y y '  A  xA ; y A  , B  xB ; yB  Hệ quả: Cho hai điểm Khi độ dài đoạn thẳng AB ( khoảng cách hai điểm A, B ) là: uuur AB  AB   xB  xA    yB  y A  Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho tam giác ABC với BC  a, CA  b, AB  c Ta kí hiệu: hb , hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC , CA, AB ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh BC , CA, AB R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC p abc nửa chu vi tam giác S diện tích tam giác Định lí cơsin tam giác Định lí: Trong ABC với BC  a, CA  b, AB  c , ta ln có: a  b  c  2bc cos A b  c  a  2ca cos B c  a  b  2ab cos C Hệ quả: Trong ABC với BC  a, CA  b, AB  c , ta có: b2  c  a 2bc c  a  b2 cos B  2ca a  b2  c cos C  2ab cos A  Định lí sin tạm giác Định lí: Với ABC , ta có: a b c    2R sin A sin B sin C Trong đó, R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Hệ quả: Với ABC , ta có: Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng a  R sin A; b  R sin B; c  R sin C sin A  a b c ; sin B  ; sin C  2R 2R 2R Định lí đường trung tuyến: Cho ABC Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh BC  a, CA  b, AB  c Ta có: b2  c2 a2 c  a b2 a  b2 c 2 m   ; mb   ; mc   4 a Các công thức gọi công thức trung tuyến tam giác Công thức diện tích Ta có cơng thức diện tích tam giác sau: 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 i) 1 S  ab sin C  bc sin A  ca sin B 2 ii) abc S 4R iii) iv) S  p.r S v) S p  p  a  p  b  p  c  Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC CÓ GIÁ TRỊ TỪ 0�ĐẾN 180� Dạng 1: Góc dấu giá trị lượng giác  Xét dấu giá trị lượng giác: Dựa vào bảng phần tóm tắt lý thuyết ABC : 0� A B C , ,  90� 2 0� A, B , C  180�  Lưu ý: với  Tìm góc  biết giá trị lượng giác: Sử dụng bảng giá trị lượng giác để tìm Ví dụ 1: Với giá trị góc a  0�� �180� thì: a) sin  cos  dấu? c) sin  tan  dấu? b) sin  cos  khác dấu? d) sin  tan  khác dấu? Bài tập áp dụng: Bài 1: Với giá trị góc   0�� �180� thì: a) sin  cos  có giá trị âm? Bài 2: Tìm góc a) sin   2 cot   3 sin  b) cos  có giá trị âm?   0�� �180� trường hợp sau: c) tan    b) cos   d) Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau: a) A  2sin 30� cos 45� sin 60� Bài 4: Cho ABC Xét dấu: b) B  cos 30� 3sin 45� cos 60� Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – a) cos A cos B Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng b) tan B C cot Dạng 2: Cho giá trị lượng giác, tính giá trị lượng giác lại  Lựa chọn hệ thức thích hợp để từ giá thiết cho, suy dần giá trị lượng giác lại ý dấu giá trị lượng giác, góc nhọn, góc tù n n  Dùng tính chất bậc n (đẳng cấp), để chia cho sin  , cos  đưa tan  , cot  Ví dụ 1: Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị lượng giác cịn lại: cos    ,  nhọn b) cos    ,90�   180� 13 d) cot    , 0�   90� f) sin   a) c) tan   2 sin   , 0�   180� e) Ví dụ 2: Chứng minh ABC , ta có: sin A  sin  B  C  a) Bài tập áp dụng: Bài 1: Biết sin15� b) cos A   cos  B  C  6 , tan15� , cot15 � , cos105� Tính cos15� Bài 2: Cho OAB cân O có OA  a đường cao OH , AK Giả sử � AOH   Tính AK OK theo a  Bài 3: Tính giá trị biểu thức: P  3sin   cos  a) Cho 3sin   cos  A sin   cos  b) Cho tan   Tính giá trị biểu thức cos   Bài 4: Chứng minh rằng: a) sin105� sin 75� b) cot122�  cot 58� Bài 5: Biết sin x  cos x  m Tính: c) cos170�  cos10� d) tan12�  tan168� Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – a) sin x.cos x Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng 4 b) sin x.cos x Dạng 3: Chứng minh, rút gọn biểu thức  Sử dụng hệ thức điều kiện xác định  : 2 sin   sin   cos    tan  cot   tan   cos   cos    cot   1 sin    tan    cot   cos x sin   Sử dụng đẳng thức đáng nhớ học lớp Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau điều kiện xác định chúng: a) b)  tan x  cos x  sin x  cos x  c)   sin x.cos x  cot x  sin x  sin x  cos x    2sin x.cos x d) Hướng dẫn a) Điều kiện: cos x �0 sin x cos x  sin x 1  tan x     cos x cos x cos x  dpcm  Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau điệu kiện xác định chúng: 4 4 a) sin x  cos x   2sin x cos x Bài tập áp dụng: 6 2 b) sin x  cos x   3sin x cos x Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau điệu kiện xác định chúng: 4 2 2 a) sin x  cos x  sin x  cos x  2sin x   2 cos x b) sin x.cos x   tan x    cot x    2sin x.cos x c) sin x cos x   sin x  cos x cos x   tan x  sin x   cot x  cos x � sin x � � � �tan x  � �cot x  � a  sin x �  cos x � sin x cos x � d) � Hướng dẫn c) Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – sin x cos x   cos x   tan x  sin x   cot x   sin x  cos x  dpcm  Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng sin x cos x sin x cos x    � sin x � � cos x � cos x  sin x sin x  cos x cos x � 1 1 � sin x � � � cos x � � sin x � Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc vào 6 2 a) sin x  cos x  3sin x cos x cos x  cos x  2sin x  sin x tan x  b) 2  cot x  tan x    cot x  tan x  c) 2 2 d) cos x.cot x  3cos x  cot x  2sin x e)  sin x  cos x    sin x  cos x  10 x: Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – II Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Dạng 1: Tích vơ hướng hai vectơ Góc hai vectơ a) Để tính tích vơ hướng hai vectơ, ta sử dụng:  Định nghĩa, tính chất tích vơ hướng  Định lí hình chiếu b) Để tính góc hai vectơ, ta sử dụng công thức: với hai vectơ r r r r r rr b  x '; y '  a �0, b �0  r a.b x.x ' y y ' r , r a  x; y    cos a , b  r r  a b x  y x '2  y '2 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , đường cao AH Hãy vẽ tính góc cặp vectơ uuu r uuur uuu r uuu r  AB, AC  uuur uuur  AB, BC  b) a) Ví dụ 2:  AH , BC  c) uuu r uuu r  HA, AB  d) uuu r uuu r a) Cho ABC vng C có CA  b Tính AB.CA uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) Cho ABC có: BC  a, CA  b, AB  c Tính AB.BC , BC.CA, CA AB ? Hướng dẫn a) uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur AB.CA  AC  CB CA  AC CA  CB.CA   AC   b Cách 1: uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur AB.CA   AC AB   AC AB.cos AB, AC   AC AC  b Cáchuu 2: u r uuu r b) Tính AB.BC  Ta có: uuur uuur AB  BC       uuur uuur uuur uuu r uuur  AC � AB  AB.BC  BC  AC � AB.BC   AC  AB  BC  2 b  c  a2   A  3;1 , B  1; 1 , C  6;0  Ví dụ 3: Cho ABC có a) Tính góc A tam giác ABC 11 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng b) Tính tọa độ giao điểm đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính OC r Ví dụ 4: Cho hai vectơ rr  s,t  biết rằng: r r s  t 1 r r r  s  2t  ,  s  4t  vng góc với Xác định góc Bài tập áp dụng: r r Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy tính góc hai vectơ a b trường hợp sau: a) r r a   2; 3 , b   6;  b) r r a   3;  , b   5; 1 c) r r a  2; 2 , b  3;     Bài 2: Cho hình vng ABCD cạnh a Tính tích vô hướng sau: uuur uuu r uuur AC AB  AD a) ; uuu r uuur uuu r uuur uuu r AB  AC BC  BD  BA b)      ; uuu r uuur c) OA AB với O tâm hình vng Bài 3: Cho ABC có AB  2, BC  4, AC  uuur uuur a) Tính AC AB uuu r uuur uur uuu r AJ  AC b) I trung điểm AB , J điểm thỏa mãn Tính AI AJ , suy độ dài IJ AB  3a, AD  2a, BC  Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD , đường cao 9a uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC , BD   a) Tính tích vơ hướng: AC AB, AC AD, AC.BD Suy góc uuuu r uuur � b) Gọi M trung điểm AC Tính BM BD , suy cos MBD Bài 5: Cho ABC , trực tâm H , độ dài BC  a Gọi M trung điểm BC uuuur uuur Tính tích vơ hướng: MH MA ? Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng uuur2 uuur uuur BC  BC  AC  AB    Áp dụng quy tắc sau: đoạn thẳng thành phép tính tích vơ hướng uuur AB  AB   xB  xA   Áp dụng công thức tọa độ: ( áp dụng cho tập liên quan đến tọa độ) 12 ( chuyển phép tính độ dài   yB  y A  Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng uuu r uuur � Ví dụ 1: Cho ABC có AB  3a, AC  a, A  60� Tính AB AC từ suy độ dài BC Hướng dẫn Ta có: uuur uuur uuur uuur 3a AB AC  AB AC.cos AB, AC  3a.a.cos 60�   uuuur uuur uuu r 3a  BC � BC  AC  AC AB  AB � BC  a   9a  a 2 � BC  a uuur uuu r  AC  AB  � Ví dụ 2: Cho ABC , có AB  2, AC  3, A  120� uuur uuur a) Tính AC AB Suy độ dài BC uuu r uuur uuur AB , AC , từ suy  ABC AD AD b) Gọi phân giác Tính theo độ dài AD Hướng dẫn uuu r uuur uuu r uuur AB AC  AB AC.cos AB, AC  2.3.cos120� 3 a) uuur uuu r uuuur uuur uuur AC  AB  BC � BC  AC  AC AB  AB � BC  22   3   32  19     � BC  19 Bài tập áp dụng: uuu r uuur � Bài 1: Cho ABC , có AB  3a, AC  a, A  60� Tính AB AC , suy độ dài BC độ dài trung tuyến AM Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm Chứng minh ABCD hình thang cân Bài 3: Cho ba điểm đạt giá trị nhỏ A  1;  , B  2;3 , C  2; 1 r  O; i  Bài 4: Cho trụcn A  1;1 , B  0;  , C  3;1 , D  0; 2  Tìm m cho độ dài uuur uuur AB  m AC ba điểm A, B, C có tọa độ 2; 2;3 Tìm tọa 2 độ điểm M trục cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ 13 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng 2 AB  2a, AC  a, � A Bài 5: Cho ABC có a) Tính BC BM ( M trung điểm AC ) uuur N BC BN  x b) Gọi điểm cạnh , cho Tính AN uuur uuur BC , AC Suy giá trị x để AN  BM theo Dạng 3: Chứng minh vng góc hai vectơ, hai đường thẳng uuur uuur  Chứng minh hai vectơ AB CD vng góc với nhau, ta chứng minh: uuu r uuur r AB.CD  d d  Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với ta tìm d1 đường thẳng vectơ r r a1 �0 đường thẳng d2 vectơ r r a2 �0 r r a1.a2  cho  Dùng biểu thức tọa độ ( đề có liên quan đến tọa độ): cho hai r a   x; y  vectơ r b   x '; y ' r r Khi đó: a  b � xx ' yy '  r r r r a  1, b  Ví dụ 1: Cho a  b Chứng minh rằng: Vectơ r r a b góc với vectơ   r  2ar  b  vuông Hướng dẫn r r rr Vì a  b � a.b  r r r r r 2a  b   a  b   a  Ta có: r r r2  a.b  b  2.1    2 r r r r  � 2a  b  a  b      dpcm  Ví dụ 2: Cho ABC có AB  a, AC  2a Gọi D trung điểm AC , M điểm uuuu r uuur BM  BC thỏa mãn hệ thức Chứng minh BD  AM Hướng dẫn Ta có: 14 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r �1 uuur uuur � �uuur uuur � BD AM  AD  AB AB  BM  � AC  AB � �AB  BC � �2 � � � r� r uuur uuur � �1 uuur uuu r� �1 uuur uuu �uuu �1 uuur uuur �  � AC  AB � �AB  AC  AB � � AC  AB � � AC  AB � 3 �2 � � � �2 � �3 � u u u r u u u r u u u r u u u r 1  AC  AB AC  AB AC  AB 3 u u u r u u u u r 2   2a   a  � BD  AM � BD  AM  dpcm     A 0;5  , B  3;  , C  6; 5  Ví dụ 3: Cho ABC với  Chứng minh ABC vuông B Bài tập áp dụng: r r 1r r r r u  i 5j v Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho  ki  j r r a) Tìm giá trị k để u  v r r u v k b) Tìm giá trị để O Bài 2: Cho ABC nội tiếp đường tròn   Gọi H điểm xác định biểu thức: uuur uuu r uuu r uuur OH  OA  OB  OC uuur uuur a) Tính AH BC Suy H trực tâm ABC b) Tìm hệ thức độ dài ba cạnh ABC a, b, c cho OH  AM ( với M trung điểm BC ) A  2;1 Bài 3: Trên mặt phẳng xOy cho điểm Gọi B điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm C có tung độ cho ABC vng C Bài 4: Cho hình thang vng ABCD AD  a, BC  b Tìm điều kiện a, b, h để: đường cao a) AC , BD vng góc � b) AIB  90�với I trung điểm CD A  4;1 , B  2;  , C  2; 2  Bài 5: Cho ABC , có đỉnh a) Tính chu vi diện tích tam giác 15 AB  h , cạnh đáy Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng b) Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường trịn ngoại tiếp ABC Từ kiểm tra tính chất thẳng hang ba điểm I , G, H Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vectơ tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Áp dụng tính chất tích vơ hướng, định nghĩa, định lí hình chiếu, quy tắc: ba điểm, trung điểm, hình bình hành, trọng tâm lưu ý: uuur2 BC  BC Ví dụ 1: Cho ABC bất kì, gọi I trung điểm AB Chứng minh rằng: AB CA  CB  2CI  2 2 Hướng dẫn Ta có: AB 2 u u r uuu r2 � 2CA2  2CB  2CI  AB uuu r uuu r uuu r uuu r � 2CA2  2CB  CA  CB  CB  CA uuu r uuu r uuu r uuu r � 2CA2  2CB  CA2  2CA.CB  CB  CB  2CB.CA  CA CA2  CB  2CI    �00      dpcm  Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  1; 2  B  3;1 a) Tìm điểm C Ox cho C cách hai điểm A B ? � b) Tính AOB ? Hướng dẫn uuur uuur C  x;0  �Ox � AC  x  1;  , BC  x  3; 1 a) Giả sử Để C cách hai điểm A, B ta phải có: 16 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – uuur uuur2 AC  BC � AC  BC �  Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng  x  1 2    x  3   1  �  x  1    x  3  � x  x    x  x   2 �5 � � x  5 � x   � C � ; � �8 � uuu r uuur  3   2  1 cos OA, OB   �� AOB  45� 2 2   2   3   b) Ta có Bài tập áp dụng:   Bài 1: Cho bốn điểm A, B, C , D bất kì: uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur r AB CD  BC AD  CA BD  a) Chứng minh rằng: b) Suy ba đường cao tam giác đồng quy điểm ( trực tâm) r r r r O; i , j  a   1;  , b   x; 1  Bài 2: Trong hệ trục tọa độ cho r r a) Tìm x để a b vng góc với nhau? r r b) Tìm x để độ dài a b nhau? Bài 3: Cho ABC với ba đường trung tuyến AD, BE , CF Chứng minh rằng: uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur BC AD  CA.BE  AB.CF  Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm A  2;3 , B  1; 1 , C  6;0  , D  x; 3  a) Chứng minh ABC vng cân b) Tìm x để A, B, D thẳng hang c) Tìm M thuộc Oy cho ABM vuông M N  3; y  1 d) Tìm điểm cho N cách hai điểm A B III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Dạng 1: Tính tốn yếu tố tam giác Tùy theo giả thiết tốn, để tìm yếu tố tam giác ta có thể: 17 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng a) Áp dụng trực tiếp định lí cơsin, định lí sin, cơng thức trung tuyến, cơng thức diện tích,… b) Chọn hệ thức thích hợp cho phép tìm số yếu tố trung gian cần thiết, từ ta tìm yếu tố cần tìm � Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , có góc A  120�, cạnh AB  , cạnh AC  a) Tính cạnh BC b) Trên cạnh CA kéo dài lấy điểm D cho BD  Tính độ dài AD Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho ABC có cạnh a  7, b  24, c  23 A ABC ? ( làm tròn đến phút) a) Tính góc � b) Tính diện tích S , bán kính R đường trịn ngoại tiếp, bán kính r đường trịn nội tiếp , độ dài đường cao AH đường trung tuyến AM ABC     a a2  b2  c b2  c2 Bài 2: Cho ABC có cạnh thỏa Hãy tính góc B ABC � � Bài 3: Cho ABC có góc B  45� , góc C  75�, đường phân giác AD  Tính độ dài AC , BC , AB bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC � 1 � � � sin 75� � � � �   m  4, mc  Bài 4: Cho tam giác ABC có b a  Tính độ dài cạnh AB AC Dạng 2: Chứng minh hệ thức liên quan tam giác Để chứng minh hệ thức liên quan đến yếu tố tam giác, ta thường sử dụng số cách sau:  Áp dụng cơng thức có đẻ biến đổi vế thành vế  Chứng minh hai vế biểu thức  Chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đường với hệ thức biết Thơng thường ta áp dụng định lí sin, định lí cơsin để chuyển hệ thức cạnh thành hệ thức góc ngược lại Cần phân biệt kĩ giả thiết kết luận để lựa chọn hệ thức thích hợp giúp ta biến đổi nhanh 18 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng Ví dụ 1: Cho ABC với BC  a, CA  b, AB  c : tan A c  a  b  2 a) Chứng minh: tan B c  b  a b) Biết a  4, b  5, c  Tính giá trị biểu thức: M  sin A  2sin B  sin C Hướng dẫn a) Áp dụng định lí cơsin tam giác ta có: b2  c  a c  a  b2 cos A  ;cos B  2bc 2ca sin Áp dụng định lí tam giác ta có: a b c sin A  ;sin B  ;sin C  2R 2R 2R Ta có: c2  a2  b2 a tan A sin A cos B c2  a2  b2 2ca   2R :   dpcm  b tan B cos A sin B b  c  a c2  b2  a2 2R 2bc b) Ta có: a  4, b  5, c  a b c M  sin A  2sin B  sin C  2     0 2R 2R 2R 2R R 2R Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh tam giác ABC có: a) b b) b  c  a  b cos C  c cos B   c  cos A  a  c cos C  b cos B  Bài 2: Cho ABC , chứng minh hệ thức sau: a) b) R  a2  b2  c2  cot A  cot B  cot C  abc abc  cos A  cos B  cos C   a  p  a   b2  p  b   c  p  c  Bài 3: Cho ABC , có trọng tâm G Chứng minh hệ thức sau: a)  ma2  mb2  mc2    a  b  c  b) a b c GA2  GB  GC  h  R sin B sin C 2 c) a sin A  sin B cos C  cos B sin C d) 19 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng Bài 4: Gọi d khoảng cách từ trọng tâm G đến tâm đường tròn ngoại tiếp 2 2 I ABC Chứng minh rằng: a  b  c   R  d  Bài 5: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) Hai trung tuyến vẽ từ B C vng góc với khi: cot A   cot B  cot C  c mb  �1 b m c b) Nếu cot A  cot B  cot C Dạng 3: Giải tam giác ứng dụng thực tế Giải tam giác tìm yếu tố cịn lại tam giác biết yếu tố xác định tam giác Các yếu tố xác định tam giác là: c  c  c, c  g  c, g  c  g Để giải tam giác ta thường áp dụng định lí cơsin, định lí sin, cơng thức tính diện tích �  36, C �  73� a  40  cm  , B Ví dụ 1: Cho ABC với BC  a, CA  b, AB  c Biết Tính góc A cạnh b, c tam giác Hướng dẫn � Từ giả thiết ta suy A  180� 36� 73� 71� Áp dụng định lí sin tam giác ta có: � 40sin 36� b � a b c 40 b c � sin 71� R   �   �� sin A sin B sin C sin 71� sin 36 � sin 73� � 40sin 73� c sin 71� � Ví dụ 2: Từ vị trí A , người ta quan sát cao (hình b) Biết AH  4m , �  45� HB  20m , BAC Tính chiều cao 20 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra:   AB  42 202 26;cos B HB AB 20 26 26 � 110 B � ABC 790 � Áp dụng định lí tổng góc tam giác ABC ta có ACB �56 BC AB   BC 17, 4(m) sin 560 Áp dụng định lí Sin tam giác ABC ta có sin 45 Vậy chiều dài 17, m Bài tập áp dụng: � 10' Tính hai góc Bài 1: Cho tam giác ABC Biết a  42, 4cm, b  36,6cm, C  33� A, B cạnh C Bài 2: Cho ABC Biết a  25, b  16, c  14 Tính góc A, B, C , S , r Bài 3: Một người ngồi tàu hỏa từ ga A dến ga B Khi tàu đồ ga A, qua ống nhịm người nhìn thấy tháp C (hình a) Hướng nhìn từ người đến tháp tạo với hướng tàu góc 60� Khi tàu đỗ ga B, người nhìn lại thấy tháp C, hướng nhìn từ người đến tháp tạo với hướng ngược với hướng tàu góc 45� Biết đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B dài 8lm Hỏi khoảng cách từ ga A dến tháp C bao nhiêu? 21 Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng Bài 4: Khoảng cách từ A đến C đo trực tiếp phải qua đầm lầy nên người ta làm sau: Xác định điểm B có khoảng cách ACB  37� Hãy tính khoảng cách AC , biết AB  12km đo góc � BC  5km 22 ... 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Dạng 1: Tích vơ hướng hai vectơ Góc hai vectơ a) Để tính tích vơ hướng hai vectơ, ta sử dụng:  Định nghĩa, tính chất tích vơ hướng. ..  yB  y A  Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho tam giác...Nhóm 10 – PPDH mơn Tốn – cot Chương 2: Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng 3  1 3  Góc hai vectơ r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O bất kì, vẽ uuur r uuur r OA  a, OB