BỘ câu hỏi TRẮC NGHIỆM, tự LUẬN TÍCH vô HƯỚNG của VECTƠ và ỨNG DỤNG

HỆ THỐNG CÂU HỎI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG o PHẦN 1: HỆ THỐNG LÝ THUYẾT (được trình bày phần LÝ THUYẾT THUYẾT TRÌNH) o PHẦN 2: HỆ THỐNG 30 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM LÍ THUYẾT A MA TRẬN MA TRẬN Nội Dung Giá trị lượng giác góc từ 0�đến 180� Tích vơ hướng vectơ Các hệ thức lượng tam giác giải tam giác Định nghĩa Tính chất Giá trị lượng giác góc đặc biệt Góc véc tơ Định nghĩa Tính chất Biểu thức toạ độ tích vô hướng Định lý cosin hệ Định lý sin Cơng thức tính diện tích tam giác Nhận biết Thôn g hiểu Vận Dụng Vận Dụng Cao 2 1 1 1 Trang 10 12 2 2 2 Bài toán thực tế 11 11 B ĐỀ BÀI Câu Cho 90�   180�, khẳng định sau đúng? B cos   A tan   C cot   D sin   � Câu Cho ABC vuông A , góc ABC = 50� Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur ( AB , BC )  130 � ( A B BC , AC )  40� uuu r uuu r uuur uuu r ( AB , CB )  50 � ( AC , CB )  40� C D Câu Cho 0�   180�,  �90� Trong khẳng định sau, khẳng định sai? B tan  cot   2 A sin   cos   C  tan   sin  D cot   cos  sin  � Câu Cho điểm M nằm nửa đường trịn đơn vị nằm phía trục Ox cho góc xOM =120� Tọa độ điểm M là: �1 � � �2 ; � � � A � B � � � ; � � � 3� � � � � � � C � 1� � � � ; � � � � � 2 � � � D � - 1� � � � ; � � � � � 2 � � � Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? 0 A cos135   cos 45 0 B sin135  sin 45 0 C cos112  cos 68  0 D cos155  sin 25  Câu Cho 90�   180�, khẳng định sau đúng? A tan   B cos   C cot   Trang D sin   � Câu Cho ABC vng A , góc ABC = 50� Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur A ( AB, BC )  130� B ( BC , AC )  40� uuu r uuu r uuur uuu r ( AB , CB )  50 � ( AC , CB )  40� C D r r r a b Câu Cho hai vecto khác vecto Trong kết sau chọn kết đúng: A rr r r r r a.b  a b sin a, b   rr r r r r a.b   a b cos a , b  C B  D rr r r r r a.b  a b cos a , b   rr r r r r a.b   a b sin a , b   rr r r r r r r r a.b =- a b Câu Cho hai vectơ a b khác  Xác định góc α hai vectơ a b A α = � B α = � r r r r a b Câu 10 Điều kiện a b cho r r A a b ngược hướng r r C a b hướng   C α = � 0 D α = � r r B a b r r D a b đối Câu 11 Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c Đẳng thức sau sai? 2 A b  a  c  2ac cos B 2 B a  b  c  2bc cos A 2 C c  b  a  2ab cos C 2 D c  b  a  2ab cos C 2 Câu 12 Nếu tam giác ABC có BC  AC  AB � A A góc tù � B A góc vng � C A góc nhọn � D A góc nhỏ Câu 13 Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c, p nửa chu vi tam giác ABC Diện tích tam giác ABC là: A S p  p  a  p  b  p  c B Trang S  p  a  p  b  p  c C S  p  p  a  p  b  p  c D S   p  a  p  b  p  c Câu 14 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Đặt BC  a , AC  b AB  c Tìm giá trị k để hệ thức A GA2  GB  GC  k  a  b  c  k B k C k D k Câu 15 Cho tam giác ABC có BC  a, AB  c, AC  b, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chỉ đẳng thức sai đẳng thức sau: a  2R A sin A B sin A  a 2R C b sin B  R D sin C  c sin A a Câu 16 Cho hai góc nhọn      Khẳng định sau sai? B sin   sin  A cos   cos  O C     90 � cos   sin  D tan   tan   r r r a b Câu 17 Cho hai vectơ hướng khác vectơ Trong kết sau đây, chọn kết đúng: rr r r rr r r rr rr a.b  a b a b   a b A B a.b  C a.b  1 D Lời giải Câu 18 Cho vec tơ r r a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  rr a.b  a1.b1  a2 b2 A uu r uu r r r rr 1� a.b  a  b  a  b � � 2� C   , tìm biểu thức sai: rr r r r r a.b  a b cos a, b B r r r �r r uur2 uu a.b  a  b  a  b2 � � 2� D     Câu 19 Trong tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c Mệnh đề sai? A a b sin A sin B B sin C  c sin A a C a  R sin A D b  R tan B Câu 20 Cho tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c , chọn công thức đáp án sau: Trang b2  c a m   4 A a2  c b2 m   4 B 2b  2c  a m  C a2  b2 c2 m   4 D a a a a Câu 21 Cho tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c Đẳng thức sai? Câu 22 2 A b  a  c  2ac cos B 2 B a  b  c  2bc cos A 2 C c  b  a  2ab cos C 2 D c  b  a  2ab cos C Cho tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c Diện tích ABC A C SABC  ac sin C SABC  ac sin B B D S ABC  bc sin B SABC  bc sin C uuu r uuur  AB  HC  Câu 23 Cho tam giác ABC có H trực tâm Biểu thức A  AB  HC  B AB  HC biểu thức sau ? 2 C AC  AH 2 D AC  AH Câu 24 Cho tam giác ABC tam giác mệnh đề sau ? A uuuruuur AB AC  AB 2 uuur uuur uuuruuur AB AC  AB AB AC  AB 2 B C uuuruuur D AB AC  Câu 25 Cho hình thang vng ABCD , đường cao AD  h , cạnh đáy AB  a, CD  b Tìm hệ thức a, b, h để BD vng góc với trung tuyến AM tam giác ABC A h2  a  a  b  C h  h  b  a  a  b  h Câu 26 Cặp vectơ sau vng góc? r r a   2; 1 b   3;  A r r a   2; 3 b   6;  C B h2  a  b  a  D 2h  a  a  b  r r a   3; 4  b   3;  B r r a   7; 3 b   3; 7  D Trang uuu r uuur  AB  HC  Câu 27 Cho tam giác ABC có H trực tâm Biểu thức A AB  HC  AB  HC  B 2 biểu thức sau ? 2 C AC  AH 2 D AC  AH Câu 28 Cho tam giác ABC tam giác mệnh đề sau ? A uuuruuur AB AC  AB 2 uuur uuur uuuruuur AB AC  AB AB AC  AB 2 B C uuuruuur D AB AC  Câu 29 Bộ ba số sau độ dài cạnh tam giác tù? A 2;3;4 B 3;4;5 C 4;5;6 D 5;6;7 uuur uuu r  AC, CB  Câu 30 Cho tam giác ABC tam giác Góc hai vectơ A 60� B 120� C 30� D 90� C BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.C 4.A 5.D 6.D 7.A 8.B 9.A 10.B 11.C 12.C 13.A 14.B 15.C 16.A 17.A 18.C 19.D 20.C 21.C 22.C 23.A 24.A 25.C 26.A 27.A 28.A 29.B 30.A D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Cho 90�   180�, khẳng định sau đúng? A tan   B cos   C cot   D sin   � Câu Cho ABC vng A , góc ABC = 50� Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur ( AB , BC )  130 � ( A B BC , AC )  40� uuu r uuu r uuur uuu r ( AB , CB )  50 � ( AC , CB )  40� C D Câu Cho 0�   180�,  �90� Trong khẳng định sau, khẳng định sai? B tan  cot   2 A sin   cos   Trang C  tan   sin  D cot   cos  sin  � Câu Cho điểm M nằm nửa đường tròn đơn vị nằm phía trục Ox cho góc xOM =120� Tọa độ điểm M là: �1 � � �2 ; � � � A � B � � � ; � � � 3� � � � � � � C � 1� � � � ; � � � � � 2 � � � D � - 1� � � � ; � � � � � 2 � � � Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? 0 A cos135   cos 45 0 B sin135  sin 45 0 C cos112  cos 68  0 D cos155  sin 25  Câu Cho 90�   180�, khẳng định sau đúng? B cos   A tan   C cot   D sin   � Câu Cho ABC vuông A , góc ABC = 50� Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur ( AB , BC )  130 � ( A B BC , AC )  40� uuu r uuu r uuur uuu r ( AB , CB )  50 � ( AC , CB )  40� C D r r r a b Câu Cho hai vecto khác vecto Trong kết sau chọn kết đúng: A rr r r r r a.b  a b sin a, b   rr r r r r a.b   a b cos a , b  C B  D rr r r r r a.b  a b cos a , b   rr r r r r a.b   a b sin a , b   rr r r r r r r r a.b =- a b Câu Cho hai vectơ a b khác  Xác định góc α hai vectơ a b A α = � B α = � r r r r a b Câu 10 Điều kiện a b cho r r A a b ngược hướng r r C a b hướng   C α = � 0 r r B a b r r D a b đối Trang D α = � Câu 11 Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c Đẳng thức sau sai? 2 A b  a  c  2ac cos B 2 B a  b  c  2bc cos A 2 C c  b  a  2ab cos C 2 D c  b  a  2ab cos C 2 Câu 12 Nếu tam giác ABC có BC  AC  AB � A A góc tù � B A góc vng � C A góc nhọn � D A góc nhỏ Câu 13 Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c, p nửa chu vi tam giác ABC Diện tích tam giác ABC là: A C p  p  a  p  b  p  c S S  p  p  a  p  b  p  c B D S  p  a  p  b  p  c S   p  a  p  b  p  c Câu 14 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Đặt BC  a , AC  b AB  c Tìm giá trị k để hệ thức A GA2  GB  GC  k  a  b  c  k B k C k D k Câu 15 Cho tam giác ABC có BC  a, AB  c, AC  b, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chỉ đẳng thức sai đẳng thức sau: a  2R A sin A B sin A  a 2R C b sin B  R D Câu 16 Cho hai góc nhọn      Khẳng định sau sai? A cos   cos  B sin   sin  O C     90 � cos   sin  D tan   tan   Lời giải Chọn A Trang sin C  c sin A a   góc nhọn nên có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ nhất, có giá trị lượng giác dương nên tan   tan   ;    nên sin   sin  , C theo tính chất góc phụ Phương án B, C, D A sai r r r Câu 17 Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Trong kết sau đây, chọn kết đúng: rr r r rr r r rr rr a.b  a b a b   a b A B a.b  C a.b  1 D Lời giải Câu 18 Cho vec tơ r r a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  rr a.b  a1.b1  a2 b2 A uu r uu r r r rr 1� a.b  a  b  a  b � � 2� C   , tìm biểu thức sai: rr r r r r a.b  a b cos a, b B r r r �r r uur2 uu a.b  a  b  a  b2 � � 2� D     Câu 19 Trong tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c Mệnh đề sai? A a b sin A sin B B sin C  c sin A a C a  R sin A D b  R tan B Lời giải Chọn D a b c    2R Theo định lý sin ta có sin A sin B sin C �a b sin A c sin A sin C  sin B , a , a  R sin A , nên mệnh đề A, B, C Trang Vậy mệnh đề D mệnh đề sai Câu 20 Cho tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c , chọn công thức đáp án sau: A ma2  b2  c2 a2  4 B 2b  2c  a m  C ma2  a2  c2 b2  4 a2  b2 c m   4 D a a Lời giải Chọn C 2(b  c )  a 2b  2c  a m   4 Theo công thức đường trung tuyến ta có a Câu 21 Cho tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c Đẳng thức sai? 2 A b  a  c  2ac cos B 2 B a  b  c  2bc cos A 2 C c  b  a  2ab cos C 2 D c  b  a  2ab cos C Lời giải 2 Theo định lí hàm số cosin, c  b  a  2ab cos C nên đáp án C sai Câu 22 Cho tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c Diện tích ABC A C SABC  ac sin C SABC  ac sin B B D S ABC  bc sin B SABC  bc sin C Lời giải Chọn C Ta có: SABC  ac sin B uuu r uuur  AB  HC  Câu 23 Cho tam giác ABC có H trực tâm Biểu thức Trang 10 biểu thức sau ? Câu Cho tam giác ABC vng A có cạnh AC = cm BC = 14 cm Tính cơsin góc hai uuur uur AC CB véc tơ uuur uuur � = 60� M ME = k MP MNP MN = MP = E MP Câu Tam giác có ; ; Lấy điểm tia đặt Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP A  2;0  B  0;  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hai điểm Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân C A  1;0  , B  5;0  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm Tìm hồnh độ điểm M cho � AMB  60�và MB  A  0;  B  3;0  C  10;4  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có , Gọi M , N chân đường phân giác phân giác ngồi góc A Tìm tọa độ M N 2 2 Câu Cho bốn điểm A , B , C , D Chứng minh AB  CD AC  BD  AD  BC Câu Cho tứ giác ABCD , AC BD cắt O Gọi H , K trực tâm tam giác ABO CDO Gọi M , N trung điểm AD BC Chứng minh HK  MN A  3;5 B  1;9  C  5;6  Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm , a) Tam giác ABC tam giác gì? b) Tính chu vi tam giác ABC A  1;  B  3;0  C  1;   Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có , , Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Cho tam giác ABC có đường cao AH uuur uuu r AH , AB a) Tính uuur uur AH , BA b) Tính ( ( ) ) Lời giải Trang 43 C H A B E uuur uuur � = 30� ( AH , AB) = HAB a) Ta có uuur uur uuur uur � � =180� ( - HAB - 30�=150� b) Vẽ AE = BA Khi AH , BA) = HAE = a =180� Câu Cho tam giác ABC vuông A có cạnh AC = cm BC = 14 cm Tính cơsin góc hai uuur uur véc tơ AC CB Lời giải uuu r uur uur uur � AC , CB =180� - CA, CB = 180� - ACB   AC cos � ACB   ACB = 60� BC nên � Mà u u u r u u r uuu r uur cos AC , CB = cos120�=AC , CB = 180� - 60�= 120� Vậy hay uuur uuur � Câu Tam giác MNP có MN = ; MP = ; M = 60� Lấy điểm E tia MP đặt ME = k MP Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP ( Ta có: ( ) ( ) ( ) ) Lời giải uuur uuur uuuu r uuur uuuu r Ta có: NE  ME  MN  k MP  MN uuur uuuu r uuur MF  MN  MP   Trang 44 uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur � k MP  MN MN  MP  NE vng góc với MF � NE.MF  uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r uuur � k  MN MP cos MN , MP  64k  16  2   � k MP.MN  k MP  MN  MN MP  �  k  1 4.8  64k  16  � k        A  2;0  B  0;  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hai điểm Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân C Lời giải uuu r uuu r CA    x ;  y  , CB    x ;  y  Gọi C ( x ; y ) , ABC C Điều kiện để tam giác vuông cân là: � �x  � � �y  � � 2 2 � � �CA  CB �  x   y  x    y  �x  �� � � CA  CB   x    x     y    y   �� � � �y  C  0;0  , C2  2;  Vậy có điểm C thỏa mãn yêu cầu toán: A  1;0  , B  5;0  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm Tìm hồnh độ điểm M cho � AMB  60�và MB  uuur uuur Lời giải MA    x ;  y  , MB    x ;  y  M  x; y Giả sử Ta có: Theo giả thiết ta có: uuur uuur MA.MB   x    x   y � cos AMB  �  � x  x   y  x  x   y  1 2 MA.MB 2   x   y   x   y2   vào  1 ta có: Thay MB  �  � x  y  10 x  21   x  20  x  16 � x   x  x �4 x �4 � � 17 �� �� � x  2 x   x  32 x  64 x  34 x  69  � � 17 x  Vậy hoành độ điểm M thỏa mãn yêu cầu toán 13 13 A  0;  B  3;0  C  10;4  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có , Gọi M , N chân đường phân giác phân giác góc A Tìm tọa độ M N Lời giải Trang 45 uuur AB uuuur 1 uuuur MB   MC  MC M  xM ; y M  AC Gọi Ta có 1 � � xM  3  xM   10  xM  � � � � �� �� 1 �4 � � �y  M�; �  y M    yM  M � Vậy �3 � � uuur AB uuuur uuuur NB  NC  NC N  xN ; y N  AC Gọi Ta có � 3  xN   10  xN  � �xN  16 � �� �� �y N  4 �  yN    yN  N   16 ;   � Vậy 2 2 Câu Cho bốn điểm A , B , C , D Chứng minh AB  CD AC  BD  AD  BC Lời giải Ta có: AC  BD  AD  BC uuur uuur2 uuur2 uuur � AC  BC  BD  AD  uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur � AC  BC AC  BC  BD  AD BD  AD  uuu r uuur uuur uuur uuur uuur � AB AC  BC  BA BD  AD  uuu r uuur uuur uuur uuur � AB AC  BC  BD  AD  uuu r uuur uuur � AB DC  DC  uuu r uuur � AB.DC  2 2 Vậy AB  CD AC  BD  AD  BC                   Câu Cho tứ giác ABCD , AC BD cắt O Gọi H , K trực tâm tam giác ABO CDO Gọi M , N trung điểm AD BC Chứng minh HK  MN Lời giải Cách Ta có: uuuu r uuur uuu r uuuu r MN  MA  AB  BN , uuuu r uuuu r uuur uuur MN  MD  DC  CN , uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuu r uuur � MN  MA  AB  BN  MD  DC  CN  AB  DC 2 Ta có    Trang 46  uuur uuuu r uuur uuur uuu r uuur HK MN  OK  OH AB  DC r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu  OK AB  OK DC  OH AB  OH DC r uuur uuur uuur uuu  OK AB  OH DC r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu  �OC  CK OB  OA  OA  AH OC  OD � � 2� u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r 1  �OB  OA  AH OC  OC  CK  OD OA�  �HA  AO  OB OC  DO  OC  CK OA� � 2� � 2� u u u r u u u r u u u r u u u r  HB.OC  DK OA  HK  MN Vậy                       Cách (sử dụng công thức r r hình uu r r chiếu) uu r r r a b  a ' b a ' b a Cơng thức hình chiếu: ( hình chiếu đường thẳng chứa ) Ta có: uuuu r uuur uuur uuur MN  MA  AC  CN uuuu r uuuu r uuur uuur MN  MD  DB  BN uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur � MN  MA  AC  CN  MD  DB  BN  AC  DB 2 Ta có uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur HK MN  AC  DB HK  AC.HK  DB.HK  AC.BD  DB AC     � HK  MN    A  3;5 B  1;9  C  5;6  Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm , a) Tam giác ABC tam giác gì? b) Tính chu vi tam giác ABC Lời giải a) Cách Trang 47  uuu r uuur uuur uuur AB   2;  , AC   2;1 AB � AC   2  �  4� 1 Ta có uuur uuur Vậy AB  AC hay tam giác ABC vuông A Cách 2uuu r uuur uuur AB   2;  , AC   2;1 , BC   4; 3 Ta có uuur AB  AB   2   42   16  Ta uuur 2 AC  AC      uuur BC  BC  42   3   16    52     5 2 2 hay AB  AC  BC Vậy  ABC tam giác vuông A Nhận xét: ABC vng A ta nên sử dụng cách dể dàng tính tốn ■ Nếu đề yêu cầu chứng uuur uuur minh ta cần tìm AB , AC sử dụng cơng thức để tính tích vơ hướng ■ Nếu đề u cầu xác định dạng tam giác ta nên sử dụng cách tìm độ dài cạnh, sau đưa nhận xét cho tam giác P  AB  AC  BC      b) Chu vi tam giác ABC ABC Ta thấy A  1;  B  3;0  C  1;   Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có , , Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Gọi I  x; y tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC uu r 2 2 IA    x ;  y  � IA    x     y  � IA2    x     y  Ta có: uur IB    x ;  y  � IB    x uur IC   1  x ;   y  � IC     y  � IB    x   y  1  x    2  y  � IC    x     y  2 ABC  I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác � x � 4x  y  � �IA  IB � �� �� �� 4x  y  �IA  IC � �y   � � I cách ba điểm A , B , C �2 � I � ; � Vậy �3 � Cách khác: Tâm đường tròn ngoại tiếp 2 I ( xI ; y I ) tam giác ABC Trang 48 BC , AC Gọi M , N u làuurtrung uuur điểm BC  (1) Ta có IM  BC � IM uur uuur IN  AC � IN AC  (2) x ,y Từ (1) (2) ta tìm I I BÀI CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A ĐỀ BÀI Bài Cho tam giác ABC có AB  , BC  độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài AC , chu vi diện tích ABC Bài Cho tam giác ABC có AB  c , BC  a , AC  b biết: � � a) A  50�, B  45�, b  Tính cạnh a c � b) C  30�, c  Tính R Bài Cho tam giác ABC có AB  , AC  tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh AB cos A   Hãy tính cạnh cịn lại tam giác ABC sin A sin B sin C   BC  10 Tính độ dài cạnh số đo ABC Bài Cho tam giác biết thỏa góc tam giác?  O; R  Tìm a để tam giác ABC có diện tích lớn Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn nhất, với AB  a ? sin A sin B sin C   m m mc Chứng minh tam giác ABC ABC a b Bài Cho tam giác thỏa Bài Cho ABC có AB  c ; BC  a ; AC  b a) Chứng minh rằng: Nếu cos  A  C   3cos B  � B  60�  cos B 2a  c  4a  c ABC cân b) Chứng minh rằng: Nếu sin B Bài Cho tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác 2 ABC Chứng minh rằng: a  b  c  R  a sin A  b sin B  c sin C  Trang 49 Bài Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển đo từ hai đèn tín hiệu A B biển thể hình vẽ Nếu đèn tín hiệu cách 1536 m núi cao (tính gần sau dấu phẩy hai chữ số)? Bài 10 Một người quan sát đứng cách tháp 15m , nhìn thấy đỉnh tháp góc 45 nhìn chân tháp góc 15 so với phương nằm ngang hình vẽ Tính chiều cao h tháp B ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Cho tam giác ABC có AB  , BC  độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài AC , chu vi diện tích ABC Lời giải +) Xét ABC , theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có: Trang 50 BM  BA2  BC AC  �  13   32  52 AC  � AC  +) Chu vi tam giác ABC AB  AC  BC     12 AB  AC  BC 12 p  6 2 Ta có: +) Diện tích tam giác ABC là: S p  p  AB   p  AC   p  BC     3        36  Bài Cho tam giác ABC có AB  c , BC  a , AC  b biết: � � a) A  50�, B  45�, b  Tính cạnh a c � b) C  30� , c  Tính R Lời giải a b c    2R a) Ta có sin A sin B sin C Suy a b sin A 4sin 50�  �4,3 sin B sin 45� Mặt khác C  180�  A  B   180�  50� 45�   85� c b sin C 4sin 85�  �5, sin B sin 45� b) Ta có R c  5 2sin C 2sin 30� Bài Cho tam giác ABC có AB  , AC  tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh AB cos A  Lời giải Trang 51  Hãy tính cạnh cịn lại tam giác ABC Theo định lí cơsin tam giác ta có:   BC  AB  AC  AB AC.cos A  32   2.3.2   25 � BC  Theo công thức đường trung tuyến ta lại có: BM  AB  BC AC 5   2 2 2  3   14 � BM  14 sin A sin B sin C   BC  10 Tính độ dài cạnh số đo ABC Bài Cho tam giác biết thỏa góc tam giác? Lời giải BC AC AB   Theo định lý sin tam giác ABC ta có: sin A sin B sin C sin A sin B sin C BC AC AB     2 nên Mà �AC  BC  20 �� �AB  BC  10 Áp đụng định lý cos tam giác ABC ta có: cosA  AB  AC  BC 400  300  100   � A  300 AB AC 2.20.10 cosC  BC  AC  AB 100  400  300   � C  600 2.BC AC 2.20.10 Trang 52  O; R  Tìm a để tam giác ABC có diện tích lớn Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn nhất, với AB  a ? Lời giải � � Tam giác ABC cân A nên AB  AC  a Đặt ABC  ACB     90� Ta có sin   a2 4R2  a2 a cos     4R 2R R nên a3 R2  a2 S  AH BC  AH HC  AC sin  cos   4R2 Diện tích tam giác Đặt y  a R  a  3 a2 a2 a2  4R2  a2  3 Khi coi biểu thức tích bốn thừa số mà tổng chúng không đổi nên y đạt giá trị lớn a2  4R2  a2 2 hay 3R  a hay a  R Khi sin   R 3  �   60� 2R , ta tam giác ABC sin A sin B sin C   m m mc Chứng minh tam giác ABC ABC a b Bài Cho tam giác thỏa Lời giải Theo định lí sin ta có: Trang 53 �sin A a  � a b c �sin B b    2R � � sin A sin B sin C �sin A  a �sin C c sin A sin B sin C   m m mc a b Khi đó: 2 �sin A ma �a ma � 2a  2c  b 2 2b  2c  a �sin B  m �b  m a �  b � � � � b b � 4 �� �� 2 2 � � � a m  b m 2 2 2 m m � a �sin A  a �a  a � � b 2a  2b  c 2b  2c  a � a �  c � � � a mc2  c ma2 � � �sin C mc �c mc � 4 �  a  b   a  b   a  b2  c2   � ab � �� �� 2 a  c a  c a  b  c        � ac � abc � � Vậy tam giác ABC Bài Cho ABC có AB  c ; BC  a ; AC  b a) Chứng minh rằng: Nếu cos  A  C   3cos B  � B  60�  cos B 2a  c  4a  c ABC cân b) Chứng minh rằng: Nếu sin B Lời giải a) Ta có: cos  A  C   3cos B  � cos  180o  B   3cos B  �  cos B  3cos B  � cos B  �  60� �B  cos B 2a  c (1  cos B) 2a  c  �  2 sin B sin B 2a  c a  c b) Ta có: � (1  2cos B  cos B )  sin B 2a  c  2a  c  sin B 2a  c Trang 54 �  cos B 2a  � 2a  c  2a  2a.cos B  cos B 2a  c � 2a c2  a  b2  c � a  b2  � a  b 2ac � ABC tam giác cân C 1   Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu 2a  2b  c hb 2hc Lời giải 1 S ABC  aha  bhb  chc 2 Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: �a  S ABC 2S 2S b  ABC c  ABC ; hb ; hc Theo giả thiết: 2a  2b  c � 2S ABC 2S 2S 1  ABC  ABC �   hb hc hb 2hc (đpcm) Bài Cho tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác 2 ABC Chứng minh rằng: a  b  c  R  a sin A  b sin B  c sin C  Lời giải Theo định lý hàm sin, ta có: Tương tự ta có: b sin B  sin A  a a2 � a sin A  2R 2R b2 c2 c sin C  R 2R a2  b2  c2 a sin A  b sin B  c sin C  2R Từ suy ra: � a  b  c  R  a sin A  b sin B  c sin C  (đpcm) Bài Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển đo từ hai đèn tín hiệu A B biển thể hình vẽ Nếu đèn tín hiệu cách 1536 m núi cao (tính gần sau dấu phẩy hai chữ số)? Trang 55 Lời giải � � � Ta có ATB  TBN  TAN  12, 2� � TB AB AB.sin TAB  � TB  � � sin � ATB Áp dụng định lí sin cho tam giác TAB : sin TAB sin ATB Xét tam giác vuông TBN ta có: � � sin 39, 6� �  AB.sin TAB.sin TBN  1536.sin 27, 4� TN  TB.sin TBN �2132,14 sin12, 2� sin � ATB Vậy chiều cao núi xấp xỉ 2132,14 m Bài 10 Một người quan sát đứng cách tháp 15m , nhìn thấy đỉnh tháp góc 45 nhìn chân tháp góc 15 so với phương nằm ngang hình vẽ Tính chiều cao h tháp Lời giải Trang 56 � Ta có BC  AC.tan BAC  15.tan 45  15 ( m)   �  15.tan150  15  ( m) CD  AC.tan DAC h  BD  BC  CD  45  15  m  Vậy chiều cao tháp 45  15  m  HẾT Trang 57 ... 10 câu – 20% 15 câu – 30% 20 câu – 40% 10 câu – 20% câu – 10% B ĐỀ TRẮC NGHIỆM Câu Cho 0�   180�,  �90� Trong khẳng định sau, khẳng định sai? B tan  cot   2 A sin   cos   Câu Câu Câu. .. o PHẦN 3: HỆ THỐNG 50 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM BÀI TẬP A MA TRẬN Mức độ Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Tổng số-Tỉ trọng Lượng giác 10 câu – 20% Tích vơ hướng 12 30 câu – 60% Kiến thức Trang... r Câu 1: Góc hai vectơ a b nhận gá trị nào? Câu 2: Nêu mối liên hệ giá trị lượng giác góc   0�� �180�  Câu 3: Hãy cho biết định nghĩa tích vơ hướng vectơ trường hợp đặc biệt chúng Câu 4: Tích