CHU DE 7PT bac 2 va dinh ly VIET

+ Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.. Các dạng phươ[r]

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Một số kiến thức phương trình bậc hai: a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng : ax2 + bx + c = đó a,b,c  R , a  b) Các tính chất và định lí 1/ Công thức nghiêm Cho phương trình : ax2 + bx + c = , a  và biệt thức  = b2- 4ac : * Nếu  > phương trình có hai nghiệm phân biệt b  ; 2a x1= b  ; 2a x2= b * Nếu  = phương trình có nghiệm kép : x1= x2= - 2a * Nếu  < phương trình vô nghiệm / Công thức nghiệm thu gọn: Cho phương trình : ax2 + bx + c = , a  và b = 2b’ ,  ’ = b’2 – ac : * Nếu  ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt  b'   '  b'   ' a a x1 = ; x2= b' * Nếu  ’ = phương trình có nghiệm kép x1=x2=- a * Nếu  ’ < phương trình vô nghiệm 3/ Định lí Vi – ét : * Nếu x1,x2 là hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (, a  ) thì : b   x1  x2  a  x x c  a * Cho phương trình: ax2 + bx + c = (, a  ) c + Nếu a+b+c =0 thi phương trình có nghiệm x1=1 còn nghiệm là x2= a c + Nếu a- b + c = thi phương trình có nghiệm x1=-1 còn nghiệm là x2=- a : 2/ Tình hình thực tiễn Trong đề tài này tôi xin giới thiệu với các bạn "Phương pháp giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trường THCS" ( phần đại số) Kết thu rõ ràng đã có thể vận dụng giải nhiều dạng toán và ứng dụng các bài toán này không phải là ít.Đây là vấn đề hoàn toàn mẻ và khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ bài toán đơn giản, học sinh trung bình có thể giải nhờ các kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức, biết tư sáng tạo giải bài toán mới, tập trung "sáng tạo" các vấn đề * Khảo sát trước áp dụng đề tài Qua kết khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài với 40 học sinh từ trung bình đến khá, giỏi, tôi thấy kết tiếp thu "phương pháp giải Một số bài bài toán liên quan đến phương trình bậc hai " sau: Điểm Điểm – Điểm – Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 26 65% 10 25% 7,5% 2,5% Chương II : Nội dung Cách giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = (1) đó a,b,c phụ thuộc tham số m 1/ Dạng toán : Biện luận có nghuệm phương trình (1) a/ Phương pháp giải: Xét hệ số a * Nếu a =const ( số ) Lập biệt thức  = b2- 4ac  ’ = b’2 – ac + Nếu  > (suy điều kiện m ) (1) có hai nghiệm phân biệt b  b  ; ; 2a 2a x1 = x2= +Nếu  =0 (suy điều kiện m ) (1) có nghiệm kép b x1= x2= - 2a + Nếu  < (suy điều kiện m ) (1) vô nghiệm trên R * Nếu hệ số a có chứa tham số ta xét : + Giả sử a =  m = mo  phương trình (1) trở thành bx +c = (2) c - Nếu b 0 ( với m = mo) thì (2) có nghiệm x = - b là nghiệm (1) - Nếu b = và c = ( với m = mo)  (2) vô định  (1) vô định - Nếu b = và c 0 ( với m = mo)  (2) vô nghiệm  (1) vô định + Nếu a  Lập biệt thức  = b2- 4ac  ’ = b’2 – ac - Nếu  > (suy điều kiện m ) (1) có hai nghiệm phân biệt b  b  ; ; 2a 2a x1 = x2= -Nếu  =0 (suy điều kiện m ) (1) có nghiệm kép b x1= x2= - 2a - Nếu  < (suy điều kiện m ) (1) vô nghiệm trên R Sau đó tóm tắt phần biện luận trên b/ Ví dụ : VD1 Biện luận có nghiệm phường trình sau theo tham số m x2 – 4x + m = (1) Giải  ’ = b’2 – ac = – m Ta có + Nếu ’ >  – m >  m <  (1) có hai nghiệm phân biệt  ( 2)   m  ( 2)   m 2   m 2  1 x1= ; x2= + Nếu  ’ =  – m =  m =  (1) có nghiệm kép 2 x1=x2=- = + Nếu  ’ <  – m <  m <  (1) vô nghiệm Vậy :Với m < phương trình đã cho có his nghiệm phân biệt x1=   m ; x2 =  4 m Với m = phương trình có nghiệm kép Với m>4 x1=x2 =2 phương trình vô nghiệm VD2: Biện luận theo m có nghiệm phương trình (m+1) x2 + 2mx + m -3 =0 (1) Giải *Nếu (m+1) =  m = -1 phương trình (1) trở thành -2x – = 4  x =-  = - là nghiệm *Nếu m +1  Ta có  (1) m -1  ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 4 m ’ > + Nếu  2m + >  m > -2 thì phương trình có hai  m  2m   m  2m  m 1 m 1 nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = + Nếu  ’ =  2m + =  m =- thì phương trình có nghiệm kép m x1 = x2 = - m   ’ <  2m +3 <  m < - thì phương trình vô nghiệm + Nếu Vậy : Với m =-1 phương trình (1) có nghiệm x =-2 Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  m  2m   m  2m  m 1 m 1 x1= ; x2 = Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép Với m < - phương trình (1) vô nghiệm m x = x2 = - m  (Trong qua trình thực HS có thể mắc sai lầm sau Ta có  ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 ’ > + Nếu  2m + >  m > -2 thì phương trình có hai  m  2m   m  2m  m 1 m 1 nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = + Nếu  ’ =  2m + = m x1 = x2 = - m   m =- thì phương trình có nghiệm kép  ’ <  2m +3 <  m < - thì phương trình vô nghiệm + Nếu Vậy : Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  m  2m   m  2m  m 1 m 1 x1= ; x2 = Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép Với m < - phương trình (1) vô nghiệm m x = x2 = - m  Như h/s đã bỏ sót nghiêm “trong trương hợp m = - 1” là x = - ) / Dạng toán Tìm điều kiện tham số m để phương trình (1) có nghiệm a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có nghiệm thì :  a 0 a 0    ( ' ) 0 Hoặc b 0 (I)  (II) (Nếu hệ số a là số thì ta giải hệ (II) ,nếu hệ số a có chứa tham số ta phải giải (I) và (II) các giá trị m cần tìm là tất các giá tri m thoả mãm (I) (II) b/ Ví dụ VD3: Với giá trị nào m thì phương trình x2 + 3x – m = có nghiệm Giải Ta có :  = b2- 4ac = + 4m Để phương trình trên có nghiệm thì :    + 4m   m - Vậy với m - thi phương trình (4) luôn có nghiệm VD4 Tìm điều kiện m để phương trình (m+1) x2 – (2m + 1)x + m = (4) có nghiệm Giải Để phương trình (4) có nghiệm thì : m  0  Hoặc  (2m  1) 0 (I) m  0   ( (2m  1))  4( m  1)m 0 (II) Giải (I) m  0   (2m  1) 0 ta có m+1=0  m = - 1, và -(2m+1) 0 suy m - phương trình có nghiệm m  0   ( (2m  1))  4(m  1)m 0 Giải (II) Ta có m +1 0  m -1  = (-(2m+1))2 – 4(m+1)m 0  4m2 + 4m +1 – 4m2 – 4m    0  m Vậy với m - 3/Dạng toán m -1 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm Tìm điều kiện m để (1) có hai nghiệm phân biệt a/ Phưong pháp giải phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và  a 0  '  (  ) 0 b/ Ví dụ VD5: Tìm điều kiện m để phương trình (m+3)x – (2m +1)x +m = (5) có hai nghiệm phân biệt Giải Phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt và m  0   ( (2m  1))  4(m  3)m  Ta có m +3 0  m  - và  = (-(2m+1))2 – 4(m+3)m >  4m2 +4m + – 4m2 – 12m >  - 8m +1 >  m < Vậy với m  - và m < thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt VD6: Tìm điều kiện m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = (6) có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt thì  > Thật ta có  = (-3)2 – 4.2(m+1) >  – 8m – >  m< Vậy với m < thì phương trình (6) luôn có hai nghiệm phân biệt 4/ Dạng toán a/ Phương pháp giải Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm Phương trình (1) có nghiệm và a 0  b 0 a 0   0 b/ Ví Dụ VD7 : tìm điều kiện m để phương trình mx2 + (m + )x +3m = (7) có nghiệm Giải Phương trình (7) có nghiệm và m 0  m  0 (I) m 0   (m 1)  4m3m 0 (II) Giải (I):  m 0   m  0  m 0  m  Giải (II): Ta có m 0 và  = (m + 1)2 – 4m3m =0  m2 +2m +1 – 12m2 =  -11m2 +2m +1 = (*) Có  = 12 –(-11)1 = 12 suy (*) có hai nghiệm phân biệt   12   12 m1=  11 ; m2 =  11 m 0  Vậy với m  m 0 và đã cho có nghiệm   12   12 m1=  11 ; m2 =  11 VD8 : Với giá trị nào m thi phương trình x2 – 2mx +4 = (8) có nghiệm Giải Phương trình (8) có nghiệm và  =  m2 – =  (m +2 )( m – ) =  m = m = - thì phương trình Vậy với m = m = - thi phương trình (8) có nghiệm 5/ Dạng toán : Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu a/ Phương pháp giải ` Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu thì :  0 và P > b/ Ví Dụ VD9: Tìm điều kiện m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = (9) có hai nghiệm cùng dấu Giải Phương trình (9) có hai nghiệm cùng dấu và :  ( 3)  4.2(m  1) 0   m 1 0 P   Ta có  = (- 3)2- 4.2 (m + )   – 8m –   - 8m +   m  m 1 Và P = >  m + >  m > - Vậy với 6/ Dạng toán : -1 < m  thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm dương a/ Phương pháp giải  ,(  ' ) 0  c  P   a  b   S  a  Để phương trình (1) có hai nghiệm dương thi : b/ Ví Dụ Ví Dụ10: Tìm điều kiện m để phương trình x2 – 4x +m = (10) có hai nghiệm dương Giải    ' 4  m 0(1)   P m  0(2)  4  S   0(3)  Để phương trình (10) có hai nghiệm dương thì : (1)  – m   m  (2)  m > (3)  >  m Vậy với < m  thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương 7/ Dạng toán 7: Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm âm a/ Phương pháp giải   , ( ' ) 0  c  P   a  b   S  a  Để phương trình (1) có hai nghiệm âm thì : b/ Ví Dụ VD11: Tìm điều kiện m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = (11) có hai nghiệm âm Giải   ( (2m  1))  4(m  3) m 0(1)  m   0(2) P  m    (2m  1)   S  m   0(3) Phương trình (11) có hai nghiệm âm và : (1)  (-(2m + 1))2 – 4(m + )m   4m2+ 4m + -4m2 – 12m 0  - 8m +1   m  m (2)  m  >  m (m + ) >  m   m   (I) m   m   (II) (I)  m > và m + >  m > - (II)  m < và m + <  m < -3 Vậy m(m + ) >  m > m < -  (2m 1) (3)  m  <  - ( 2m + ) (m + ) <  2m    2m       m   (*)  m   (**) (*)  2m + >  m > - và m + >  m > - (**)  2m + <  m < - và m + <  m < - Vậy -(2m + )( m + ) <  m > - m < - Vậy phương trình trên có hai nghiệm âm và ; < m  m < - 8/ Dạng toán Tìm điều kiện m để (1) có hai nghiệm trái dấu a/ Phương pháp giải Phương trinh (1) có hai nghiệm trái dấu và :  >0 và P < a.c < b/ Ví Dụ VD12 : Tìm điều kiện m để phương trình x2 + 3x + m + = có hai nghiệm trái dấu Giải  32  4.2( m  1)    m 1 0 P  Phương trình trên có hai nghiệm trái dấu và :  Ta có  = 32 - 4.2(m+1) >  – 8m – >  -8m + >  m < Và m 1 <0  m+1<0  m<-1 2( m+ 1) <  m < - Vậy để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : m < -1 VD13 : Với giá trị nào m thì phương trình : mx2 + 2(m+1)x + (m – 1) = có hai nghiêm trái dấu Giải  ' (m  1)  m(m  1)    m 0 P  m Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì :  Ta có  ’= (m+1)2 – m(m-1) >  m2 + 2m + – m2 + m >  3m + >  m > - m   m   m m   Và P = m <  m <  (m-1)m <  m  m  m   m    m   m   +, m    +, m  m    m  Vậy với - < m < < m < thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu 9/Dạng toán nghiệm Tìm điều kiện tham số để (1) có nghiệm x = x tìm a/ Phương pháp giải Thay x = x1 vào (1) ta có ax12 + bx1+ c =  m = mo Thay giá trị m = mo vào (1)  x1,x2 P Hoặc tính x2= S – x1 x2 = x1 b/ Ví Dụ VD14 Định m để phương trình x2 +3x – m = có nghiệm -2 Tìm nghiệm Giải + Do phương trình trên có nghiệm -2 nên ta có : (-2)2 + 3(-2) – m =  4–6–m=0  m=-2 Vậy với m = -2 thì phương trình trên có nghiệm – + Tìm nghiệm còn lại - Cách : Thay m = -2 vào (1) ta x2 + 3x + = Phương trình trên có dạng a-b + c = thứ hai là x = - - Cách 2: nên có hai nghiệm -1 và -2 Vậy nghiệm Ta có x1 + x2 = -3  x2= - – x1 = -3 –(-2) = - - Cách 3: 2 Ta có : x1x2= -m =  x2 = = - VD15: Với giá trị nào m thì phương trình : x2 + mx +3 = có nghiệm ? Tìm nghiệm Giải * Do phương trình đã cho có nghiệm nên ta có :  m+4=0  m=-4 12 + m.1 + = Vậy với m = - thì phương trình đã cho có nghiệm * Tìm nghiệm còn lại Ta có : x1+x2 = - m =  x2 = – x1 = -1 = VD16 : Biết phương trình : x + 2(d – 1)x + d2 + = (Với d là tham số ) có nghiệm x = Tìm nghiệm còn lại phương trình này Giải * Do phương trình đã cho có nghiệm nên ta có : 12 + 2( d- ) + d2 + = d2 + 2d + =  (d + )2 =  d = - *Tìm nghiệm còn lại Ta có x1 + x2 = - 2(d- 1) = -2 (-1 – ) =  x2 = – x1 = – =  x2 = 10/Dạng toán 10: Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn  x1 +  x2 =  (*) a/ Phương pháp giải Để (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì:   (**) và (1) b   x1  x2  a (2)  c   x1 x2  a   x1   x2    (3) Thay các giá trị x1 và x2 vào (2)  b   x1  x2  a   x   x  c a Giải hệ   x1,x2 m Chọn các giá trị m thoả mãn (**) b/ Ví Dụ VD17 Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : 2x1 + 3x2 = (*) Giải Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì  = (a – )2 – 4.1.( - 2a)  và  ( a  2)  a   x1  x2    2a  (1)  2a  x1.x2   2 x1  x2 0   (2) (3) Ta có (a – )2 – 4.1.( - 2a)   a2- 4a +4 + 8a 0  a2 + 4a +   (a + )2   a  R Từ (1) và (2) ta có hệ Thay  x1  x2 a    x1  x2 0  x1  x2 2(a  2)    x1  3x2 0  x2 = - 2(a – ) x2 vào (1) ta x1 = 3(a – ) Thay x1,x2 vào (2) ta -2(a – )3(a – 2) = - 2a  6(a – )2 = 2a  6a2 – 24a + 24 = 2a  6a2 – 26a + 24 =  3a2 – 13a + 12 = Có  = 132 -4.3.12 = 169- 144 = 25 Vậy với a = VD18:   =  a1 = , a2 = - a = -3 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) Với giá trị nào m thì phương trình : x2 -8x + m + = (I) có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 10 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) là:  ’ = (-4)2 – (m+5)  và  x1  x2 (1)   x1.x2 m (2) 2 x  x 10  (3) Ta có  ’   (-4)2 –(m + 5)   16 - m –   11 – m   m  11 Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình  x1  x2 8   x1  x2 10 2 x1  x2 16   2 x1  3x2 10  x2=- thay x2 vào phương trình (1) ta x1 = 14 Thay x1,x2 vào phương trình (2) ta có 14(-6) = m +  m = -89 kết hợp với (1’) giá trị m cần tìm là : m = -89 VD19 Tìm m để phương trình : mx2 +2(m- 1)x +m – = (I) có hai nghiệm thoả mãn 3x1 – x2 = (*) Giải Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì:  ’ = (m- )2 – m(m- 2)  và 2(m (1) 1)  x  x   m  m  (2)  x1.x2  m  3 x1  x2 2   Ta có  ’   m2 – 2m +1 – m2 +2m   2(m  1)   x1  x2  m  3x1  x2 2 Từ (1) và (3) ta cóv hệ phương trình  4x1 = m  x1= 2m (3)   m (1’) (m  1)  4x1 = - m  4m thay x1 vào (3) ta x2 = 2m Thay x1,x2 vào (2) ta :  4m m  2m 2m = m 2m2 =3  m =  3  4m m    4m m  – 4m = 2m(m-2) Kết hợp với (1’) suy giá trị m cần tìm là m =  11/Dạng toán 11 Tìm điều kiện m để phương trình (I)có hai nghiệm thoả mãn = k (*) a/ Phương pháp giải x12 + x22 Để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì :   và   x 21  x 2 ( x1  x2 )  x1 x2 k  (1) b   x1  x2  a (2)  c   x1.x2  a (3) Thay (2),(3) vào (1) ta có : S2- 2P = k (4) giải (4)  m Chọn m thoả mãn (*’) b/ Ví Dụ VD20: Tìm tát các giá trị m để phương trình : x2 +mx +m +7 = (I) có hai nghiệm thoả mãn x12  x22 10 Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là :  0   = m2- 4(m + 7)   m2 – 4m – 28  2 Ta có : x1  x2 ( x1  x2 )  x1.x2 = 10 (1) mà Thay (2) vào (1) ta : m2 - 2(m+7) = 10  m2 – 2m - 14 = 10  m2 – 2m – 24 = (4) Phương trình (4) có hai nghiệm là m1=6 , m2= - (+)  x1  x2  m   x1.x2 (2)m  Thay các giá trị m vao (+) ta có : Với m1= thay vào (+) ta có : 62 - 4.6 – 28 0 vô lý Với m2 =-4 thay vào (+) ta có : 42 – 4.(-4) -28 =4  Vậy với m = -4 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD21: Hảy xác định các giá trị m để phương trình : 2 x2 + (m- )x - (m2 + 1) = (I) có hai nghiệm thỏa mãn : x1  x2 5 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là:  0  (m – 2)2 + 4(m2 + 1)   m (**)  phương trình (I) luôn có hai nghiệm phân biệt 2 Ta có : x1  x2  (x1+ x2)2 – 2x1.x2 = (1’) đó x1+ x2 = –(m-2) và x1.x2 =-(m2 + ) thay vào (1’) ta : (m – 2)2 + 2(m2 + 1) =  m2 – 4m + + 2m2 +2 – =   m1 = V m2 = Kết hợp với (**) Vậy giá trị m cần tìm là : 3m2 – 4m + = m=1 Vm=3 VD22: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = (I) 2 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : x1  x2 =8 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là :  0  (a- 2)2 – 4.1.(-2a)   a2- 4a +4 + 8a 0  a2 + 4a +   (a + )2   a  R 2 Ta có x1  x2 = (x1+x2 )2 – 2x1x2 = (1) đó x1+x2 = a-2 và x1.x2 = - 2a Thay vào (1) ta : (a- 2)2 – 2(-2a) =  a2 – 4a +4 + 4a =  a2 =  a =  Vậy với a = a = - thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) 12/ Dạng toán 12 Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn 1  x1 x2 = n (*) a/ Phương pháp giải Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là :  0 (1’) và 1  x1 x2 = n  x +x = nx x (1’’) 2 Trong đó b c x1+x2 =- a , x1.x2 = a Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy điều kiện m b/ Ví Dụ VD23 Tìm các gia trị m để phương trình : 1  x x 2 = (*) (m + 1) x – 2(m – 1)x +m – = (I) có hai nghiệm thoả mãn : Giải Điều kiện để (I) có hai nghiệm là :  '   (m – 1)2 – (m+1)(m-2)   m2 – 2m +1 – m2 +m +2   - m + 0  m 3 (1’) Ta có 1 x1  x2   x1 x2 = x1 x2  4(x + x ) = 7x x (2’) 2 2(m  1) m x1+ x2 = m  và x1x2 = m  Mà 2(m  1) m m  =7 m  thay vào (2’) ta :  8(m – 1) (m + 1) = (m – 2)( m + 1) ( m - 1) (*’)  8m2 – = 7m2 – 7m – 14  m2 +7m + =  m1 = - và m2 = - Kết hợp với (1’) và (*’) giá trị m cần tìm là : m = - VD24: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = (I) 1   x x2 k (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là :  (a – )2 – 4.1.( - 2a)   0  a2- 4a +4 + 8a 0  a2 + 4a +   (a + )2   a  R (1’) 1   Ta có : x1 x2 k  x1+ x2 = k x1x2 (*’) Mà Thay vào (*’) ta : x1+ x2 = a – và x1x2 = - 2a a – = k (- 2a)  2ka + a – =  (2k + 1)a– =  a = 2k  Kết hợp với (1’) suy giá trị a cần tìm là : a = 2k 1 13/ Dạng toán 13 Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn điều 3 kiện : x1  x2 t (*) a/ Phương pháp giải Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 3 2  0 (1’) và x1  x2 t  (x1+x2 )( x1  x1 x2  x2 ) = t  (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = t  (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = t  (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = t (1’’) Trong đó b c x1+x2 =- a , x1.x2 = a Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy điều kiện m b/ Ví Dụ VD25 Với giá trị nào m thì phương trình : x2 -8x + m + = (I) 3 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn x1  x2  (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là:  ’   (-4)2 –(m + 5)   11 – m  Ta có  16 - m –   m  11 (1’) 2 x13  x23   (x1+x2 )( x1  x1 x2  x2 ) =  (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) =  (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) =  (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = (1’’) Trong đó x1+x2 =8 , x1.x2 = m + Thay vào (1’’) ta : 83 – 3.8 (m + 5) =  512 – 124 – 24m =  388 – 24m = 388 97   m = 24 Kết hợp với (1’) Vậy không có giá trị nào m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) Xác định m để phương trình : x2 + 3x - m +10 = (I) VD26 : có hai nghiệm thoả mãn x13  x23  (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là :  ’   32 - ( - m + 10)   + m – 10   m –   m  (1’) 3 2 Ta có : x1  x2 3  (x1+x2 )( x1  x1 x2  x2 ) =  (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) =  (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) =  (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = (1’’) Trong đó x1+x2 =- , x1.x2 = - m + 10 Thay vào (1’’) ta : (- 3)3 – (-3) (-m + 10) =  -27 - 9m + 90 =  -9m + 60 =  20 m= 20 Kết hợp với (1’) suy giá trị m cần tìm là : m = 14/Dạng toán 14 : Tìm điều kiện m để phương trình (1) vô nghiệm a/ Phương pháp giải Phương trình (1) vô nghiệm và : a 0  b 0 c 0  Giải (I) và (II) suy giá tri m cần tìm b/ Ví Dụ VD27: Tìm các giá trị m để phương trình : (I) a 0  , ( ')  (II) (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – = (1) vô nghiệm Giải Phương trình (I) vô nghiệm và : Giải (I) suy m = 1 và m 2 m  0  m  0 m  0   m  0  (I)   '  (II) (2) Giải (II) Ta có: m + 0  m -1 và  ’ <   (m – 1)2 – (m+1)(m-2) <0  m2 – 2m +1 – m2 +m +2 <  -m+3<  Từ (2) và (3) suy Vậy với m = 1 vô nghiệm m >3 và m 2 (3) m > thì phương trình đã cho Bài tập áp dụng : Cho phương trình : (m+3)x2 + 2(m- 1)x + m + = (1) a / Giải và biện luận phương trình (1) b/ Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm c/ Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm d/ Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm đ/ Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu e/ Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu g/ Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm dương ,hai nghiệm âm h/ Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm x = -1.Tìm nghiệm i/ Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ,x2 yhoả mãn 2 I1, 2x1 + 3x2 = ; i2, x  x = ; i3, 1  x1 x2 = ;i , x13  x23  k/ Tìm điều kiện m để phương trình (1) vô nghiệm Tiết 17: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT (CÓ HỆ SỐ b = HOẶC c = 0) I Kiến thức Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có dạng : ax  bx  c 0 Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a 0 Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai : a) 5x2 - 3x - = có a = 5, b = - 3, c = - b) 7x2 - = có a = 7, b = 0, c = -7 c) 9x2 - 9x = có a = 9, b = -9, c = Một số ví dụ giải phương trình bậc hai có hệ số b = c = * Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx =  A 0   B 0 Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa phương trình tích: A.B =  x 0  x=0  x( ax +b)=0      x  b ax+b=0  a  Ta có: ax2 + bx = Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x2 – 8x =  x 0  x  0  4x2 – 8x = ⇔ 4x( x-2) = ⇔ Giải ⇔ [ x=0 [ [ x=2 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = *Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c=0   Nếu a.c > thì phương trình vô nghiệm Nếu a.c < phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển vế và đưa c a phương trình dạng x2 = giải Ví dụ 2: Phương trình x + = vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = > Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = Giải: 5x2 – 100 = ⇔ 5x2 = 100 ⇔ ±2 √5 x2 = 20 ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = √5 ; x2 = - √5 II Bài tập áp dụng Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c phương trình đó: a) 4x3 + 2x2 + 7x - = b) 6x2 + 2x - = 4x2 + c) 7x2 + 2x = + 2x d) −2 √ x + √ x +8=8 Giải : a) Phương trình 4x3 + 2x2 + 7x - = không phải là phương trình bậc hai b) Phương trình 6x2 + 2x - = 4x2 + ⇔ 6x2 + 2x – - 4x2 - = ⇔ 2x2 + 2x - = Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - c) Phương trình 7x2 + 2x = + 2x ⇔ 7x2+2x -3 -2x = ⇔ 7x2 – =0 Là phương trình bậc hai có a = 7, b = , c = -3 d) Phương trình −2 √ x + √ x +8=8 ⇔ −2 √2 x + √ x +8−8=0 x2 + √2 x =0 Là phương trình bậc hai có a = -2 √2 ,b= √2 ⇔ -2 √2 ,c=0 Dạng 2: Giải phương trình: Bài tập 2:Giải các phương trình sau: a) 2x2 + 5x = 0, b) 5x2 - 15 = 0, c) x2 + 2010 = Giải a) 2x2 + 5x = [ x=0 ⇔ x (2x + ) = [ x=− ⇔ 5[ Vậy phương trình có hai nghiệm : x = và x = b) 5x2 - 15 = ⇔ 5x2 = 15 ⇔ x2 = ⇔ x= Vậy phương trình có hai nghiệm : x = √3  ±√ và x = - √3 c) x2 + 2010 = Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > Vậy phương trình vô nghiệm III Bài tập đề nghị Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, rõ các hệ số a, b, c chúng a) 2x2 + 5x + = 0, c) −√ 3x b) 2x2 – 2x = = 0, d) 4x + = Giải a, 2x2 + 5x + = là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = b) 2x2 – 2x = là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = c) −√ 3x = là phương trình bậc hai có a = - √3 , b = 0, c = d) 4x + = không phải là phương trình bậc hai Bài 2: Đưa các phương trình sau phương trình dạng ax  bx  c 0 và giải các phương trình đó: √ 8x a) 5x2 + = 2( x  2) , b) √ x 2+7 x−86=−( x+86 ) Giải a) x  x  x   5x  x  x  0  x  0  x  Vậy phương trình có hai nghiệm b, x và x  5 √ x +7 x−86=−( x+86 )  x  x  86  x  86   x  x 0  x  x  x  86  x  86 0  x  0  x 0  x 0    x   x  0  Vậy phương trình có hai nghiệm x 0 và x  Tiết 18: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I Kiến thức Công thức nghiệm phương trình bậc hai: 2 Đối với phương trình ax  bx  c 0 , a 0 và biệt thức  b  4ac - Nếu   thì phương trình vô nghiệm - Nếu   thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  b  2a và x2   b  2a - Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2  b 2a x  x  0 Ví dụ: Giải phương trình Giải Phương trình x  x  0 Có a = 2, b = - 5, c =  b  4ac   5  4.2.1 25  17  17  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1   b        17  17   2a 2.2 x2   b        17  17   2a 2.2 Chú ý: Nếu phương trình ax  bx  c 0 , a 0 có a và c trái dấu, tức là a.c < thì  b  4ac  đó phương trình có hai nghiệm phân biệt II Bài tập áp dụng Bài 1: Giải phương trình sau: x  2 x  0 Giải x  2 x  0 (a = 2, b =  2 , c = 1)   b  4ac   2   4.2.1 4.2  4.2 0 x1  x2  b 2 2   2a 2.2 Vậy phương trình có nghiệm kép: Bài 2: Cho phương trình x   m   x  m 0 a) Tìm m biết x = là nghiệm phương trình ? b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với m? Giải: a) Phương pháp: Vì x0 là nghiệm phương trình nên ax  bx0  c phải Vì phương trình nhận x=3 là nghiệm nên: 2.32   m    m 0  18  3m  12  m 0   2m   m 3 Vậy với m = phương trình đã cho nhận x = là nghiệm b) Để phương trình ax  bx  c 0 luôn có nghiệm thì  0 Ta có: m4.2 m816 m16 2 Vì m 0 với m đó  m  16  với m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với m III Bài tập đề nghị Bài 1: Giải các phương trình sau   a, x   2 x  b, x  x  0 3 0; Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm đó a, mx   2m  1 x  m  0 b, x   4m  3 x  2m  0 Tiết 19: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN I Kiến thức * Công thức nghiệm thu gọn: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a Ta có: ) (1) Đặt b = 2b' = b’2 – ac (1) vô nghiệm <=> < (1) có nghiệm kép <=> = 0; x1 = x2 = (1) có hai nghiệm phân biệt <=> >0  b'  ' a x1 = ; x2 = (1) có nghiệm <=> Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 10x2 + 6x + = (2) Giải: Ta có: ' = 32 - 10.1 = - ' < => phương trình (2) vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5x2 - 6x + = (3) Giải: Ta có: ' = (-3)2 - 5.1 = ; ' > => phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x2 - 10x + 25 = (4) Giải: Ta có: ' = (-5)2 - 25 = ' = => phương trình (4) có nghiệm kép: x1 = x2 = ; II Bài tập áp dụng: Bài 1: Xác định hệ số a, b', c các phương trình sau: a) 12x2 - 8x + = x2 - ( c) b) x2 - x-3=0 d) x2 - - 1)x - = x-7=6- x Giải: a) 12x2 - 8x + = b) x2 - c) d) x2 - ; c = x - = Ta có: a = 1; b' = x2 - ( Ta có: a = Ta có: a = 12; b' = ; c = -3 - 1)x - = ; b' = x-7=6- Ta có: a = 1; b' = ;c = -2 x x2 - x+ ; c = -13 x-7-6=0 x2 - x - 13 = Bài 2: Giải các phương trình sau a) -16x2 - 10x - = (5); c) x2 - ( b) 2x2 + 4x + = ( 6) - 1)x - (2 + 4) = (7); Giải: a) -16x2 - 10x - = ( 5) Ta có: ' = (-5)2 - (-16).(-1) = 25 - 16 = 9; ' > => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt: x1 = b) 4x2 + 4x + = ( 6) Ta có: ; x2 = ' = 22 - = ' = => phương trình (6) có nghiệm kép: x1 = x2 = c) Ta có: x2 - ( - 1)x + (2 ' = {2(1 - )}2 - + 4) = (7) (2 + 4) = - + 12 - 12 - = - 12 < ' < => phương trình (7) vô nghiệm Chú ý: Giáo viên dạy cần hướng dẫn học sinh biết kiểm tra kết máy tính cầm tay Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x2 + 4mx + 4m - = (8) a) Giải phương trình với m = b) Với giá trị nào m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt? Giải: a) Với m = thì phương trình (8) trở thành: 2x2 + 4x + = (8’) '2.30 phương trình (8’) vô nghiệm b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt và khi: '>0 (2m)2 - (m + 1)(4m - 1) > 3m < m< 4m2 - 4m2 + m - 4m + > Bài 4: Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm kép? 5x2 + 2mx - 2m + 15 = (9) Giải: Phương trình (9) có nghiệm kép và khi: '=0 m2 - ( 15 - 2m) = m2 + 10m - 75 = 'm = 52 - 1.(-75) = 100 => m1 = ; m2 = Vậy m =5 m = -15 thì phương trình (9) có nghiệm kép III Bài tập đề nghị: Bài 1: Xác định hệ số a, b', c phương trình, giải phương trình công thức nghiệm thu gọn: a) -x2 - 6( x + 2- = 0; c) -x2 - 8( x + 3- = (2 b) - 5x2 - (2 x; d) x2 + ( x+ x+ - = 0; -1= ( Bài 2: Giải các phương trình sau a) - x2 - 4x + = (6); b) 25x2 - 16 = (7) Giải: a) - x2 - 4x + = (6) Ta có: ' = (-2)2 - (-1).5 = + = 9; ' > => phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt: x x1 = b) 25x2 - 16 = 0; (7) Ta có: ; x2 = ' = 02 - 25.(-16) = 400 > Vậy phương trình (7) có hai nghiệm: x1 = ; x2 = Bài 3: Tìm điều kiện m để phương trình mx2 - 4(m - 1)x - = (12) có nghiệm kép Giải: Phương trình (12) có nghiệm kép và khi: ' =0 {-2(m - 1)}2 - m.(-8) = 4m2 - 8m + + 8m = 4m2 + = điều này vô lý vì: 4m2 + > Vậy phương trình (12) không có nghiệm kép với m R Tiết 20: HỆ THỨC VI-Ðt I Kiến thức bản: * Định lý Vi-ét: Nếu x1 và x2 là hai nghiệm (nghiệm kép hai nghiệm phân biệt) phương trình: ax2 + bx + c = ( a ¿ 0) thì: b a c x1 x = a ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x + x 2=− Ví dụ1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) các phương trình sau: a) 4x2 + x - = 0, b) 9x2 - 12x + = Giải: a) 4x2 + x - = (a = 4; b = 2; c = -5) Do a, c trái dấu PT chắn có hai nghiệm phân biệt, gọi x 1, x2 là nghiệm PT đã cho, theo định lý Vi-ét ta có: x1 + x2 = −b −2 = =− a ; x1 x2 = c =− a b) 9x2 - 12x + = (a = 9; b = -12; c = 4) Có Δ'=36−36=0 => PT có nghiệm kép x1 = x2 x1 + x2 = 12 = ; x1 x2 = Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm phương trình: x2 – 7x + 12 = (a = 1; b = -7; c = 12) Giải: Theo hệ thức Vi-ét ta có: 7   x1  x2  7   x x 12 12  Suy x1 = 4; x2 = x1 = 3; x2 = * Trường hợp đặc biệt: - Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ¿ 0) có a + b + c = thì phương trình có nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm là x2= c a - Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ¿ 0) có a – b + c = thì phương trình có nghiệm là x1=-1, còn nghiệm là x2= - c a Ví dụ 3: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) 2x2 – 5x + = 0; b) x2 - 49x - 50 = Giải: a) 2x2 – 5x + = (a = 2; b = -5; c = 3) Vì a + b + c = + (-5) + = nên PT có nghiệm x1 = và x2 = c a = b) x2 - 49x - 50 = (a = 1; b = -49; c = -50) Vì a - b + c = – (-49) + (-50) = + 49 – 50 = Nên PT có nghiệm x1 = - và x2 = - c a = 50 = 50 II Bài tập áp dụng: Bài 1: Nhẩm nghiệm các phương trình sau : a) x2 + 7x + 12 = 0; b) x2 + 3x - 10 = Giải: a) x2 + 7x + 12 = (a = 1; b = 7; c = 12) Ta có:  7  4.12 1   phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = -7 ; x1.x2 = 12 => x1 = - 4; x2 = -3 x1 = - 3; x2 = -4 b) x2 + 3x - 10 = (a = 1; b = 3; c = -10) Do a, c trái dấu PT chắn có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = -3 ; x1.x2 = -1 => x1 = - 5; x2 = x1 = 2; x2 = -5 Bài 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) 7x2 - 9x + = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = Giải a) 7x2 - 9x + = (a = 7; b = -9; c = 2) Vì a + b + c = + (-9) + = nên PT có nghiệm x1 = và x2 = c a = b) 23x2 - 9x - 32 = (a = 23; b = -9; c = -32) Vì a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + – 32 = Nên PT có nghiệm x1 = - và x2 = - c a = − −32 32 = 23 23 Bài 3: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) các phương trình sau: a) 2x2 – 7x + = 0; b) 5x2 + x + = 0; c) 16x2 - 8x + = Giải: a) 2x2 – 7x + = (a = 2; b = -7; c = 2) −b −(−7 ) = = 2 => x1 + x2 = a b) 5x2 + x + = (a = 5; b = 1; c = 2) Δ = b2 - 4ac = (-7)2 – 4.2.2 = 33 >0 ; x1.x2 = c =1 a Δ = b2 - 4ac = 12 – 4.5.2 = - 39 < Vậy phương trình vô nghiệm => không tồn x1 + x2 và x1.x2 Δ = b2 - 4ac = (-8)2 – 4.16.1 = c) 16x2 - 8x + = (a = 16; b = -8; c = 1) −b −(−8 ) = = => x1 + x2 = a 16 , x1.x2 = c = a 16 III Bài tập đề nghị: Bài 1: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) x2 - 10x + 21 = 0; b) x2 + x - 12 = c) x2 + 7x + 12 = d) x2 - 2x + m= Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Theo hệ thức Vi-ét ta tính: x1 + x2 = ? ; x1.x2 = ? => x1 =?; x2 = ? Bài 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) x2 - 6x + = 0; b) 4x2 - 3x - = c) - 3x2 + 12x + 15 = 0; d) 1,2x2 + 1,6 x – 2,8 = Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Tính a + b + c = ? a + b + c = => x1 = 1, x2 = c a Hoặc a – b + c = ? a - b + c = => x1 = -1, x2 = - c a Bài 3: Biết x1 là nghiệm phương trình, tìm x2? a) x2 + 2x – 35 = ; x1 = 2; b) x2 - 7x – 144 = ; x1 = - Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? c a Theo hệ thức Vi-ét x1.x2 = => x2 = Hoặc theo hệ thức Vi-ét x1 + x2 = − c a x1 =? b b − a => x2 = a - x1 = ? Tiết 21: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH I Tóm tắt kiến thức : Nếu hai số u và v có tổng là S và có tích là P thì ta tìm u và v theo các bước sau: Bước 1: Điều kiện để tồn hai số u và v là S2 – 4P ¿ Bước 2: Giải phương trình x2- Sx + P= Tính Δ = S2- 4P −S−√ Δ x1 = x2 = −S+ √ Δ Bước 3: Hai số cần tìm là x1, x2 Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng chúng là S = và tích là P = Giải Bước 1: S2 - 4P = 32 - 4.2 = – = 1>0 => tồn hai số Bước 2: Gọi hai số cần tìm là u và v và nó là nghiệm phương trình: x2 - 3x + = Ta có: Δ = S2 - 4P = 32 - 4.2 = – = −(−3)−1 x1 = =1; −(−3)+1 x2 = =2 Bước :Vậy hai số cần tìm là và Ví dụ 2: Tìm hai số biết tổng chúng là S = và tích là P = Giải S2 - 4P = 42 - 4.5= 16 – 20 = - < => không tồn hai số II Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm hai số u và v các trường hợp sau: a) u + v = 1, uv = -6; b) u + v = -5, uv = c) u + v = 2, uv = Giải: a) Ta có: S2 - 4P = 12 - 4.(-6) = 25 > => tồn hai số Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm phương trình: x2 - x - = Ta có: Δ = S2 - 4P = (-1)2 - 4.1.(-6) = 25; 1 3 x1 = ; 1  2 x2 = Vậy hai số cần tìm là và -2 b) Ta có: S2 - 4P = (-5)2 - 4.6 = 1>0 => tồn hai số Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm phương trình: x2 + 5x + = Ta có: Δ = S2 - 4P = 52 - 4.1.6 = 1;  1  2 x1 = ;  5  x2 = Vậy hai số cần tìm là -2 và -3 c) Ta có: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 < => không tồn hai số u và v III Bài tập đề nghị: Bài tập 1: a) Tìm hai số biết tổng chúng là S = 32 và tích là P = 231 b) Tìm hai số biết tổng chúng là S = -8 và tích là P = -105 c) Tìm hai số biết tổng chúng là S = và tích là P = Hướng dẫn: a) Tìm điều kiện để hai số tồn S2 - 4P = 322 – 4.231=… Tính Δ =……… x1 = …… x2 =…… Vậy hai số cần tìm là……… b) Tìm điêu kiện để hai số tồn S2 - 4P = (-8)2 – 4.(-105)=… Tính Δ =……… x1 = …… x2 =…… Vậy hai số cần tìm là……… c) Tìm điêu kiện để hai số tồn S2 - 4P = 22 – 4.9 =… Vậy có tồn hai số không ?……… Tiết 22: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH I Kiến thức - Phân số có dạng Ví dụ: đó a, b ; N và b ; là các phân số - Phân thức đại số là biểu thức dạng Ví dụ : ; , đó A,B là đa thức và B(x) ; là các phân thức - Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phân thức là tập các giá trị biến làm cho mẫu thức khác - Phân thức có ĐKXĐ là tập các giá trị x cho B(x) - ĐKXĐ phương trình là tập các giá trị biến làm cho tất các mẫu phương trình khác Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phân thức: a) b) Giải: a) Phân thức có nghĩa x - hay x có nghĩa 16 y2 - b) Phân thức hay ( 4y + 3) (4y – 3) Suy y Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) b) Giải: a) Ta thấy x - là x x và x + x -1 Vậy ĐKXĐ phương trình b) Vì x- x 2 nên ĐKXĐ phương trình là x II Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức a) ( ĐKXĐ phân thức b) ( Phân thức là 3a + xác định 6x + 18 a - ) hay x -3) Bài 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) ĐKXĐ: b) x +7 ≠0 x −3≠0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ĐKXĐ: c) ⇔ x ≠−7 x≠ ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ x −1≠0 x+1≠0 x 2−1≠0 ¿ { ¿ { ¿ ¿¿ ¿ x≠1 x≠−1 x≠±1 ¿ { ¿ { ¿ ¿¿ ¿ x x 2− 9≠0 3− x≠ ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ĐKXĐ: ( x −3 ) ( x + )≠0 3− x ≠0 <=> ¿ x −3 ≠0 x + 3≠ 3− x ≠0 <=> x ≠±3 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ III Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức a) x+1 b) x−1 Bài 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: x −3 x+6 c) ( x−1)( x−2) a) c) b) 12 =1 x−1 d) Hướng dẫn: Bài : a) x b) x 1, c) Ta có: (x - 1)(x - 2)   x – ≠ và x – Vậy với điều kiện x ≠ và x thì M xác định Bài 2: a) ĐKXĐ: x -5 b) ĐKXĐ: x c) ĐKXĐ: x d) ĐKXĐ: x x Tiết 23: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU I Kiến thức bản: Một số kiến thức liên quan: - Quy tắc chuyển vế; - Cách giải phương trình bậc ẩn, phương trình bậc hai ẩn; - Cách giải phương trình tích; - Cách tìm điều kiện xác định phương trình Cách giải phương trình chứa ẩn mẫu: + Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình; + Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức; + Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được; + Bước 4: Trong các giá trị tìm ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm phương trình đã cho Các dạng phương trình chứa ẩn mẫu: Dạng 1: Phương trình đưa dạng phương trình bậc ẩn: ax + b = ( a Ví dụ: Giải phương trình; ) x=- x−8 =2 x +4 (1) Giải: Điều kiện xác định phương trình (1) là: x + ¿ x ¿ -4 Quy đồng mẫu thức hai vế ta được: x - = 2(x + 4) x - = 2x + x - 2x = + -x = 16 x = -16 ( Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy: x = -16 là nghiệm phương trình đã cho Dạng 2: Phương trình đưa dạng phương trình bậc hai ẩn: ax2+ bx + c = (a ) = b2- 4ac + > : Phương trình có nghiệm phân biệt + < 0: Phương trình vô nghiệm + = 0: Phương trình có nghiệm kép Ví dụ: Giải phương trình: x2  3x   x 9 x Giải: Điều kiện x 3 Quy đồng mẫu thức hai vế ta được: x  3x  x   x  x   x  0  x  x  0 Giải ta có x1 1 (thỏa mãn điều kiện) x2 3 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm là x 1 II Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện xác định phương trình (1) là: x - ¿ Quy đồng, khử mẫu hai vế ta được: x + = 4(x – 1) x + = 4x - x - 4x = -4 - - 3x x = -6 = ( Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy: x = là nghiệm phương trình đã cho Bài 2: Giải phương trình: Giải: Điều kiện xác định phương trình là: x x Quy đồng mẫu thức hai vế ta được: - = ( 2x - 1)( 3x + 2) -2 = 6x2 + 4x – 3x - 6x2 + x = x( 6x + 1) = x = ( thoả mãn ĐKXĐ) x = ( Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm: ; Bài 3: Giải phương trình: Giải ⇔ Điều kiện xác định: x 14 =1+ x−3 x −9 ;x Quy đồng mẫu thức hai vế ta được: = x2 – + x +3 = 81 > 0; ⇒ x1 = x2 = -5 x2 + x - 20 = = ( thoả mãn ĐKXĐ) ( thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình có nghiệm: x1 = 4; III Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: Hướng dẫn: x2 = - = - Tìm ĐKXĐ: 2x – x+5 - Quy đồng mẫu và khử mẫu đưa phương trình dạng ax = -b x=? ( đối chiếu ĐKXĐ) kết luận nghiệm phương trình Bài 2: Giải phương trình: Hướng dẫn: - Tìm ĐKXĐ - Quy đồng mẫu và khử mẫu, đưa phương trình dạng ax2 + bx + c = - Giải phương trình; - Đối chiếu giá trị tìm x với ĐKXĐ Có nhận xét gì nghiệm phương trình đã cho Tiết 24: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG I Kiến thức Khái niệm:Phương trình trùng phương là phương trình có dạng Ví dụ: Cách giải (Bằng cách đặt ẩn số phụ): - Đặt x2 = t Điều kiện , ta phương trình bậc hai t: - Giải phương trình này để tìm t (chỉ nhận giá trị ) Sau đó tìm Ví dụ: Giải phương trình: (1) Giải: - Đặt (2) Điều kiện: Ta phương trình bậc hai ẩn t: - Giải phương trình (2): Ta có: + (-10) + = Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện * Với t = t1 = ta có x2 = * Với t = ta có Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm: II Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình: 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = (3) Giải: Đặt Điều kiện: Ta phương trình bậc hai ẩn t: 0,3t2 + 1,8t + 1,5 = (4) - Giải phương trình (4):Ta có: 0,3 - 1,8 + 1,5 = Cả hai giá trị không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình (3) vô nghiệm Chú ý : Có thể giải bài toán trên cách đưa nhận xét: Vế trái 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 1,5, còn vế phải Vậy phương trình (3) vô nghiệm Bài 2: Giải phương trình: (5) Giải: - Đặt Điều kiện: Ta phương trình bậc hai ẩn t: (6) - Giải phương trình (6): Ta có: Giá trị t1 = thỏa mãn điều kiện Giá trị t2 = -2 không thỏa mãn điều kiện * Với t = t1 = 2, ta có x2 = Vậy phương trình (5) có hai nghiệm: III Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: (1) Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: (2) 2x4 + 5x2 – = (5) D¹ng : Ph¬ng tr×nh bËc hai Trong ch¬ng tr×nh THCS chóng ta chØ xÐt chñ yÕu lµ ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn- SGK líp tËp §Þnh nghÜa: Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = (1) Trong đó x là ẩn ; a, b, c lµ nh÷ng h»ng sè cho tríc gäi lµ c¸c hÖ sè vµ a  C¸ch gi¶i: + NÕu b = (ph¬ng tr×nh khuyÕt b) th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng ax2 + c = víi c > 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm ± víi c < 0, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1,2= √ c a víi c = 0, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = + NÕu c= (ph¬ng tr×nh khuyÕt c ) th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng ax2 + bx = ta ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch + NÕu b = c = (ph¬ng tr×nh khuyÕt b vµ c) th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng ax2 = + NÕu b; c  0: C1: Đa phơng trình tích học sinh lớp 7, C2: NhÈm nghiÖm b»ng viÐt C3: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän (/) C4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän () VÝ dô ¸p dông: VD 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a, 2x2 – = b, 6x2 + 2005 = c, - 3x2 – 5x = d, 2006x2 = VD2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a, x2 – 2006x + 2005 = e, x2 = 12x + 288 x + x=19 12 12 g, b, 3x2 +7x + = c, 2x2 -7x +3 =0 Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng: Cho ph¬ng tr×nh d¹ng : ax2 + bx + c = (a; b; c chøa tham sè ) 4.1: Gi¶i ph¬ng tr×nh biÕt gi¸ trÞ cña tham sè VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m+1)x + m2 – = (1) a, Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m = -1 b, Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm (Trích đề thi vào lớp 10 Tỉnh TháI Bình 1999-2000) Gi¶i: a, Khi m = -1 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh  x x2 – = = ±2 Vậy m = -1 thì phơng trình đã cho có nghiệm là S = {±2 } VD2: Cho ph¬ng tr×nh : (m - 1) x2 – (m+ 1)x + m = Gi¶i ph¬ng tr×nh m = ; m = √2 ? Häc sinh tù gi¶i vµ cho thªm c¸c TH: m = -1; m = ; m = ; m = 1/2; m = -1/4… 4.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè biÕt ph¬ng tr×nh tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:… VD1: Tìm m để phơng trình : x2 - 2( m+1)x + m - = có nghiệm Gi¶i: Ta thấy: a =  nên phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai x cã / = {−( m+ )}2−1 ( m2 −5 ) = m2 + 2m + – m2 + = 2m + Để phơng trình đã cho có nghiệm thì /   2m +   m -3 Vậy m  -3 thì phơng trình trình đã cho có nghiệm VD2: Cho phơng trình: mx2 – (m2 + )x + 2m = Tìm m để phơng trình có nghiệm -1 T×m nghiÖm cßn l¹i? VD3: Cho phơng trình: (m-1)x2 – 2(m + )x + m = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dÊu? VD4: Cho ph¬ng tr×nh : (m-1)x2 + 2(m -1)x – m = Tìm m đẻ phơng trình có hai nghiệm phân biệt Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? VD5: Cho phơng trình : x2 – 4x + m + = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m·n x12 + x22 = 10 VD6: Cho ph¬ng tr×nh x2 + x + k + = (1) x2 – (k + 2)x + 2k + = (2) a, Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi k = -1; k = - b, Tìm k để phơng trình (2) có nghiệm √2 T×m nghiÖm cßn l¹i? c, Với giá trị nào k thì phơng trình tơng đơng (Trích đề thi vào lớp 10- Tỉnh Thái Bình : 98-99) 4.3 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n: cã nghiÖm, v« nghiÖm, (kh«ng thÓ ) VD1: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m - 1)x – – m = a, Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2; m = -3 b, Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 ∀m c, T×m m cho x12 + x22  10 Híng dÉn: b, Ta thấy a =  nên phơng trình đã cho là phơng trình bậc2 x cã / = {−(m−1)} −1(−3−m ) = m2 – 2m + + + m = m2 – m + 15 (m− )2 + >0 ; ∀ m = Chứng tỏ phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm x1; x2 ∀m (®iÒu pcm) VD2: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2mx + 2m -1 = a,Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh kh«ng thÓ v« nghiÖm b, ………………… (Häc sinh tù khai th¸c theo híng dÉn cña gi¸o viªn) VD3: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh : 12x2 + 70x + k2 + kh«ng thÓ cã hai nghiÖm d¬ng (Häc sinh tù gi¶i) 4.4 So s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh víi mét sè TH1: So s¸nh víi sè 0: + Hai nghiÖm cung dÊu (cïng d¬ng , cïng ©m) + Hai nghiÖm tr¸i dÊu TH2: So s¸nh víi sè kh¸c 0: VD1: Cho ph¬ng tr×nh : (m-1)x2 – 2(m+ 1)x + m = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Gi¶i: Phơng trình đã cho có nghiệm trái dấu và : (m-1)(m)   m−1≠ m≠0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿  m≠1 m≠0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Vậy m  và m  thì phơng trình đã cho có nghiệm trái dấu VD2: Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x – m = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt âm? VD3: Tìm các giá trị m để phơng trình sau có ít nghiệm không âm : x2+ mx + (2m – ) = (1) C¸ch 1: Ta cã  = (m- 4)2 P = 2m – S = -m Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ∀m Phơng trình có nghiệm âm khi: P > S < ⇔ ¿ m −4 > −m < ⇔ ¿ m > m > ⇔ m > ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ { Vậy điều kiện để phơng trình (1) có ít nghiệm không âm là m C¸ch 2:  = (m- 4)2 P = 2m – S = -m NÕu P  m  th× ph¬ng tr×nh (1) lu«n  nghiÖm kh«ng ©m NÕu P > th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm cïng dÊu §Ó tho¶ m·n bµi to¸n th× S > Do đó P > S > ⇔ ¿ m > m < ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ (kh«ng x¶y ra) VËy m   = (m- 4)2 C¸ch 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1): ⇒ x1 = - m x2 = - ph¶i cã x1   m  VËy m  VD4: Tìm các giá trị m để phơng trình sau có ít nghiệm không nhỏ 2: x + mx – = (HS tù gi¶i) 4.5 Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo tham sè Ph¬ng ph¸p chung: + B1: XÐt TH a = + B2: XÐt trêng hîp a  TÝnh  (/) Chia lµm trêng hîp: NÕu  <  S =  - v« nghiÖm {− 2ba NÕu  =  S = ¿ ¿} ¿ ¿ ¿ - nghiÖm kÐp − b± √ Δ 2a ¿ NÕu  >  S = { ¿} ¿¿ - nghiÖm ph©n biÖt VD1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : (m - 1)x2 + (2m – x + m + = (1) TH1: NÕu m – =  m = Lúc đó (1)  - x + =  x = TH2: Nếu m -   m  thì phơng trình (1) là phơng trình bậc hai x có  = (2m 3)2 – (m – 1) (m+ 2) = - 16m + 17 Δ< m ≠1 ⇔ ¿ 17 m > 16 m ≠1 17 ⇔ m > 16 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ NÕu th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm Δ= m≠1 17 16 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ m= NÕu −2 m+3 =7 2( m−1) th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp: x1= x2 = Δ >0 m ≠1 ⇔ 1≠ m < NÕu {¿ ¿ ¿ 17 16 ¿ ¿ −2m+3±√−16 m+17 2(m−1 ) th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ph©n biÖt: x1,2 = VËy VD2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : mx2 + 2(m+ 1)x + = (mR) (Trích đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thái Bình: 2000-2001) (HS tù gi¶i) 4.6 Tính giá trị biểu thức đối xứng các nghiệm: C¸c d¹ng thêng gÆp: 1, x12 + x22 2, 3, 4, x13 + x23 1 + x x2 1 + x x2 …………… 5, 1 + x x2 6, √ x +√ x2 VD1: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – mx + 2m – = (1) a, Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm b, Gäi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) TÝnh A = 2(x12 + x22) – x1 x2 theo m Gi¶i: b, + Theo c©u a ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x1; x2 ∀m + Theo vi Ðt ta cã x + x 2=2 m x x =2 m−1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ + Ta cã : A = 2(x12 + x22) – x1x2 = (x12 + 2x1x2+ x22) - 5x1x2 – 4x1x2 = 2(x1 + x2)2 – 9(2m- 1) = 8m2 – 18m + VËy A = m2 – 18m + VD 2: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m-1)x – – m = TÝnh A = x12 + x22 theo m ( x1,, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ) (HS tù gi¶i) VD3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + m + = a, Xác định m để phơng trình có nghiệm không âm b, Khi đó tính K = √ x1+ √ x theo m 4.7 NghiÖm h÷u tû cña ph¬ng tr×nh bËc VD1: Cho ph¬ng tr×nh : x2+ mx + n = (*) (m, n Z) a, Chứng minh rằng: phơng trình (*) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là số nguyên b, T×m nghiÖm h÷u tØ cña ph¬ng tr×nh (*) n = Gi¶i : a, NÕu (1) cã nghiÖm x = th× tho¶ m·n a ≠0 b NÕu (1) cã nghiÖm h÷u tØ x = đó a; b Z; Ta cã a a +m +n=0 b b ()  a2 = -mab –nb2  a2: b mà (a; b) = nên b = đó xZ b, Khi n = ph¬ng tr×nh (*) cã d¹ng x2 + mx + = = m2 – 12 §Ó (*) cã nghiÖm h÷u tØ th×  chÝnh ph¬ng §Æt  m2 – 12 = k2 (kN) m2 – k2 = 12  (m-k) (m+k) = 12 ¿ m+ k =6 m−k = ¿ [ ¿ m+ k =−2 m− k =−  ¿ [ {¿ ¿ ¿ ¿ V× m+ k , m-k lµ íc cña 12, cïng tÝnh ch½n lÎ, m+k ¿ nªn m-k [m=4 [ [m=−4 Víi m = ph¬ng tr×nh (*) lµ x2 + 4x + = cã nghiÖm x1 = -1 bZ*+ ; (a; b) = x2 = - Víi m= -4 ph¬ng tr×nh (*) lµ : x2 - 4x + = cã nghiÖm x1 = x2 = VD2: Cho biÕt: x = √2 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x + ax + bx + c = (a, b, cQ) T×m c¸c nghiÖm cßn l¹i? Gi¶i: Ta cã  = n2 + 16 > NÕu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ c¸c sè nguyªn th× n2 + 16 chÝnh ph¬ng §Æt n2 + 16 = k2 (kZ)  n2 – k2 = 16  (n-k) (n+k) = 16 Ta thÊy (n+k), (n-k) cïng tÝnh ch½n lÎ (n+k) – (n –k) = 2k mµ tÝch=16 (ch½n) nªn (n+k) vµ (n-k) cïng ch½n n+k  n-k nªn n+k n-k -2 -8 -4 n -3 Víi n = th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2-7x+6 =  x1 = x2 = Víi n = -3 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2-x- = 0 x1 = -2 x2=3 Víi n = th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2- 4x =  x1 = x2 = Vậy n 3; -3;0 thì phơng trình đã cho có nghiệm nguyên vd3:Tìm số nguyên tố p, biết phơng trình x2+px -12p = có 2n0 là số nguyên VD4: Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x2 - (m-1)x+m+3= (m lµ tham sè) Tìm tất các giá trị m để phơng trình có nghiệm là số nguyên ( Trích đề thi tuyển sinh THPT chuyên Thái Bình: 2005-2006) 4.9 Quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai VD1: Tìm các giá trị a để phơng trình sau có ít nghiệm chung x2+ ax + = (1) x2 + x + a = (2) Gi¶i: Giả sử xo là nghiệm chung phơng trình Khi đó ta có: x02 + ax0 + = (1/) x02+ x0 + a = (2/)  (a-1)x0 + - a = a−8 NÕu a  th× x0 = a−1 .Thay vµo (2/) vµ rót gän ta cã a3- 24a +72 =  (a + 6) (a2- 6a +12) =  [a+6=0 [ [a −6a+12=0 a=-6 Víi a = - ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh : x2- 6x + = 0, cã nghiÖm x1 = x 2= ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh: x2+x- = cã nghiÖm x1 = x2 = - đó (1) và (2) có nghiệm chung là x = Víi a = th× (1) trë thµnh x2 +x+8 = 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm (2) trë thµnh x2 +x+1 = 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VËy víi a = -6 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm chung VD2: Cho c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai : ax 2+ bx + c = px2+ qx + r = cã Ýt nhÊt nghiÖm chung CMR :( pc – ar)2 = (pb – aq)(cq - rb) (HS tù gi¶i) VD3: XÐt 2ph¬ng tr×nh: x2+x+k +1= (1) x2- (k+2)x+2k + 4= (2) a Gi¶i ph¬ng tr×nh (1)víi k = -1; k = - b Tìm k để phơng trình (2) có nhgiệm √2 .T×m nghiÖm cßn l¹i ? c Với giá trị nào k thì phơng trình tơng đơng ? (Trích đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thái Bình : 1998- 1999 ) 4.10 T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng NÕu sè u vµ v tho¶ m·n : u+v = S vµ u.v = P th× u vµ v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2 - Sx + P = (1) NhËn xÐt: NÕu (1) cã nghiÖm x1,x2 (S2  4P) th× u = x1 vµ v = x2 hoÆc u = x2 vµ v = x1 VD1: T×m c¹nh cña mét h×nh ch÷ nhËt biÕt chu vi b»ng 6m vµ diÖn tÝch b»ng 2m Gi¶i: Gọi u,v là độ dài cạnh hình chữ nhật (u, v  o), ta có [ ( u + v ) =6 [ ⇔ [ u v =2 ¿ [ u + v =3 [ ¿ [ u v= Do đó u,v là nghiệm phơng trình : t2 -3t +2 = [t 1=1 [ [t =2  Vậy cạnh hình chữ nhật có độ dài là 1m và 2m VD2: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: a, x + y=2 x y =−3 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ c, x + y =12 xy =−4 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ b, x + y + xy =−2 xy =− ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 3 √ x+ √ y= VD3: Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ √ x+9−√ x d, xy=27 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ + √ √ x+9+ √ x =4 HD: - ®kx® : x  √ √ x+9−√ x - §Æt a = b= √ √ x+9+ √ x  0<ab a b = - Do đó a+b=4 a.b =3 4.11 T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc tham sè Ph¬ng ph¸p chung: B1: Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm x1, x2 B2: ¸p dông hÖ thøc viÐtta cã x1+x2 = f(m) x1.x2 = g(m) B3: Khử m ta đợc hệ thức cần tìm VD1: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2mx – m2 = T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m Gi¶i: - Ta thấy / = 2m2  đó phơng trình đã cho có nghiệm x1, x2; ∀ m - Ta cã x1 + x2 = 2m (1) x1 x2 = - m (2) x 1+ x 2 Tõ (1)  m = x 1+ x Thay m = vµo (2) ta cã : (x1+x2)2 + 4x1x2 = VËy hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc m lµ: (x1+x2)2 + 4x1x2 = VD2: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2xsin + cos -1 = a, Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm   b, T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc  (HS tù gi¶i) VD3: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2xtg -1 – cotg2 = T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a cac nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc  Chó ý: + Sin2 + Cos2 = tg cotg = 1, + NÕu x1 + x2 hoÆc x1 x2 kh«ng chøa m th× 5) Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Trong thực tế ta có thể sử dụng phơng trình bậc hai để giải loại phơng trình sau: Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu Ph¬ng tr×nh bËc ba: ax3 + bx2 + cx + d = Ph¬ng tr×nh bËc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx = ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: ax4 + bx2+ c = Ph¬ng tr×nh håi quy: ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = Ph¬ng tr×nh d¹ng: (x+ a)(x+b)(x+c)(x+d) = m víi a+b = c+ d Ph¬ng tr×nh d¹ng: (x+a)4 + (x+b)4 = c Phơng trình: sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 10 Ph¬ng tr×nh v« tû VD1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a, x −3 x+ = x −3 x −9 b, 3x4 + 4x2 + = c, x3 + 3x2 – 2x – = d, (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – = VD2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a, x +2 x +2 − +2= 2 x −2 x+2 x +3 x 4x =5 2 ( x+2) b, x + Bµi tËp tù luyÖn: Bµi Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2- 2(a+b+c)x + 3(ab + ac + bc) = a, Chøng tá ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm  a,b,c b, Trong trờng hợp phơng trình đã cho có nghiệm kép, hãy tính a, b, c a3 – 2b2 - 3c = 0, đồng thời tính nghiệm kép đó? (Trích đề thiHSG Toán 9: 2004-2005- Hng Hà) Bµi 2: a, Cho ph¬ng tr×nh : (m+1)x2 – (m-1)x + m + = (m lµ tham sè) các giá trị m để phơng trình có nghiệm số nguyên? b, Cho sè , , f §Æt T×m tÊt c¶ a =  + + γ b =  + γ + γ  c =  γ Cmr c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : x2 + 2ax + 3b = ax2 – bx + 3c = (Trích đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Thái Bình: 2005-2006) Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x −2(2 m+1 )x +3 m +6 m =0 x−2 a, Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b, Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 16 (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán Trần Phú –Hải Phòng) A.lý thuyÕt I áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xÐt sè nghiªm ph¬ng tr×nh bËc hai Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax +bx+c=0(a 0)  b  4ac NÕu b =2b ' th×  ' = b ' - ac Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Ta cã thÓ xÐt hai trêng hîp: +Trêng hîp 1: c NÕu a = 0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= b +Trêng hîp :  a 0 0  hoÆc a 0  ' 0 2.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt  a 0 0 hoÆc  a 0  ' 0 3.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp  a 0 0 hoÆc  a 0  ' 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm  a 0 0 hoÆc  a 0  ' 0 VÝ dô1: 2 Cho phơng trình 2x -(4m+3)x+2m -1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Gi¶i:  =(4m+3) -4.2(2m -1)=24m+17 a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  a 0 0   0  17 24m 17 0  m  24 b.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt  a 0 0  0 24m 17 0   17  m 24 c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp  a 0 0   17  20  m   24m 17 0 24  d Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm  a 0 0   0 24m 17 0  m  17 24 VÝ du : Cho phơng trình mx -2(m-1)x+(m-4)=0 Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Gi¶i: ' '2   (m  1)  -m(m-4)=m -2m+1-m +4m=2m+1 Ta cã :a 0  m 0 ,  = b -ac= a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm +Trêng hîp 1: c m NÕu a=0  m=0 ,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= b 2(m  1) =2 +Trêng hîp :  a 0 0   m 0 2m 10   m0  m  b.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt   a 0 0 m 0 2m 10   mo   1  m c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp  a 0 0   m 0 2m 10  m 0   m  12 d Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm  a 0 0   m 0 2m 10 II HÖ thøc vi- Ðt vµ øng dông HÖ thøc vi- Ðt  m 0   1  m b NÕu x ,x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax +bx+c=0(a 0) th× x + x = a vµ c x x = a VÝ dô TÝnh nhÊm nghiªm cña ph¬ng tr×nh x -7x+12=0 Gi¶i 2 Ta cã  b  4ac =(-7) -4.12=49-48=1>0 b c Theo định lý Vi-ét x + x = a =7, x x = a =12  x =3; x =4 2.áp dụng để tính nhấm nghiệm Cho ph¬ng tr×nh ax +bx+c=0(a 0) c -NÕu a+b+c=0 th× x =1vµ x = a VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x -7x+4=0 Gi¶i Ta cã a+b+c=3+(-7)+4=0 c  x =1vµ x = a = c -NÕu a-b+c=0 th× x =-1vµ x = a VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh 7x -5x-12=0 Gi¶i Ta cã a-b+c=7-(-5)+(-12)=0  c 12  x =-1vµ x = a = 3.áp dụng để xác định dấu các nghiệm Cho ph¬ng tr×nh ax +bx+c=0(a 0) có nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm … Ta lập bảng xét dấu sau: P  x1 x2  Điều kiện chung  P<0 0   ; P <   P>0 0 0 ;P>0 cùng dương, + + S>0 P>0 0 0 ;P>0;S>0 cùng âm   S<0 P>0 0   ; P > ; S < Dấu nghiệm x1 x2 trái dấu  cùng dấu, S x1  x2 VÝ dô : 2 Cho ph¬ng tr×nh x +(2m+2)x+m -4=0 Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Cã hai nghiÖm cïng dÊu Cã hai nghiÖm d¬ng Cã hai nghiÖm ©m Gi¶i :  = b - 4ac = (2m+2) - 4(m -4) = 4m + 8m + - 4m -16 = 8m -12 * Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c x x = a = m - = (m+1)(m-1)<0 -Trêng hîp -1< m <1 -Trêng hîp m <-1 vµ < m *Cã hai nghiÖm cïng dÊu   0 (  ' 0) x1 x   m2  8m 120  x x c m  40  m 2;m 2  a    2  m>2 *Cã hai nghiÖm d¬ng   ' 0(  0) x1  x 0;x1 x 0   m32  m 1;m 2;m 2   8m 120  x x  b  ( 2m2)0;x x c m  40  a a 2  m>2 *Cã hai nghiÖm ©m  8m  120 0()   x x  b  ( 2m 2)0;x x c m  40 x0;12  a a  ' 2   m32  m  1;m 2;m 2   m>2 4.áp dụng để xác định hai số biết tổng S và P chủng -NÕu hai sè x ,x cho x +x =S, x x =P th× x ,x lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh x -Sx+P=0 VÝ dô: T×m hai sè, biÕt tæng cña chóng lµ 15 vµ tÝch cña chóng lµ 54 Gi¶i : NÕu hai sè ph¶i t×m lµ x ,x cho x +x =S =15, x x =P=54 th× x ,x lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh x -15x+54=0  =(-15) -4.54=225-216=9;  =3 15  15  9 6  x1 = ; x2 = VËy hai sè cÇn t×m lµ vµ b.Bµi tËp Bµi tËp Cho phơng trình (m-4)x -2mx+m-2=0,trong đó m là tham số a.Gi¶i ph¬ng tr×nh m=3 b.Tìm m để phơng trình có nghiệm x= c.Tìm m để -ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp -ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Gi¶i : a.víi m=3 ta cã -x -6x+1=0 '  ' =(-3) +1=10;  = 10 -ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt  x =-3- 10 ; x =-3+ 10 b Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= (m-4)2-2 ,thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã m+m-2=0  m=10(3+2 ) c.-Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp  a 0  ' 0  m 4  'm  (m  4)(m  2) 0  m4  m4   m   ' b m 4 4 Ta cã x = x = a = -Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt  a 0  ' 0   m 4  m  m m C«ng thøc tÝnh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = m 4 m ; x2 = m Bµi tËp Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh a.2x - (2-k)x=k(k-2) 2 b.(2k-1) x -4kx+1=0 Gi¶i : a.Phơng trình đã cho có thể viết 2x -(2-k)x-k(k-2)=0  =(2-k) +8k(k+2)=4-4k+k +8k +16k=9k +12k+4=(3k+2) 0 víi mäi k Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm với k b.- NÕu 2k-1=0 hay k= th× -4kx+1=-2x+1=0,ta cã nghiÖm x= m - NÕu 2k-1 0 hay k  thì ta tìm đợc  ' =(-2k) -(2k-1) =4k -4k +4k-1=4k-1 0 Tøc lµ k  ,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 1 VËy víi k > vµ k  ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2k  4k  2k  4k  2 x = (2k  1) ;x = (2k  1) Víi k = b' ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm kÐp x = x =- a =   2k   (2k  1) (  1) 2 Víi k < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi tËp Cho ph¬ng tr×nh x +7x-5=0.Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh a.Tæng vµ tÝch cña hai nghiÖm b.Tổng các nghịch đảo hai nghiệm c.Tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai nghiÖm d.B×nh ph¬ng cña hiÖu hai nghiÖm e.Tæng c¸c lËp ph¬ng cña hai nghiÖm Gi¶i : Ta thấy phơng trình đã cho luôn có nghiệm vì các hệ số avà c khác dấu a.Tæng cña hai nghiÖm lµ S=x +x =-7 vµ tÝch cña hai nghiÖm lµ P= x x =-5 1 x  x1  7     x1 x x1.x 5 b Tổng các nghịch đảo hai nghiệm là c.Tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai nghiÖm x12  x 2 (x1  x )  2x1x (  7)  2(  5) 49  10 59 d.B×nh ph¬ng cña hiÖu hai nghiÖm lµ (x1  x ) x12  x 2  2x1.x 59+10=69 e.Tæng c¸c lËp ph¬ng cña hai nghiÖm lµ x13  x 23 (x1  x )3  3x1.x (x1  x ) (  7)3  3(  5)(  7)  343  105  448 Bµi tËp Cho ph¬ng tr×nh 2x +(2p-1)x+p-1=0 a.Tìm p để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b.Tìm p để hai nghiệm dơng c.T×m mét hÖ thøc kh«ng phô thuéc vµo p Gi¶i : a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt  =(2p-1) 2 - 4.2(p-1)=(2p-3) >  p  b.Phơng trình có hai nghiệm dơng ta giải hệ phơng trình  x x ab 0  1 22p 0  p 12  x x c 0   p 10   p1  a 2  1 2 Hệ phơng trình vô nghiệm ,không có giá trị nào p để hai nghiệm dơng  2p x1  x  c Do S= 2p   2 p 1  2p x x vµ P= = nªn ta cã :S+2P= + VËy hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo p lµ x1  x  2x1.x  Bµi tËp Cho ph¬ng tr×nh x - mx + m-1=0 víi m lµ tham sè a.Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b.Gäi x ,x lµ c¸c nghiÖm T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A= x12  x 2 Gi¶i  m  4(m  1) m  4m  (m  2) 0m ,vËy ph¬ng tr×nh a.Ta cã lu«n cã nghiÖm víi mäi m x12  x 2 = x12  x 2 +2x x -2x x =(x +x ) - 2x x = m -2(m-1)= m - b A= 2m+2= 2 m -2m+1+1=(m-1) +1 1  m A nhá nhÊt b»ng (m-1) =0  m=1 Bµi tËp Cho ph¬ng tr×nh x - 2x + m =0 víi m lµ tham sè a.Tìm m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x ,x là số dơng b T×m m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x ,x tháa m·n : x1 x 10   x x1 Gi¶i: a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng là :   ' 0 S0,P 0   1 m 0 0,m 0  m 1 m 0   m 1 b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt  ' =1-m >  m<1(1) Khi đó S=x +x =2 và P= x x = m nên : x1 x 10 x12  x 2  10 (x1  x )  2x1x  10      x 1x x x1  x1.x S2  2P  10  2m  10    P m §iÒu kiÖn m 0 (2) Ta cã 3(4-2m)=-10m  4m=-12  m=-3 tháa m·n (1),(2) Bµi tËp 2 Cho ph¬ng tr×nh x + 2(m+1)x + m =0 ,víi m lµ tham sè a.Gi¶i ph¬ng tr×nh m=2 b.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và đó có nghiÖm b»ng (-2) Gi¶i: a.Khi m=2 thay vµo ph¬ng tr×nh ,ta cã x + 6x + 4=0  ' =3 -4=5, = Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = -3+ , x =-3- b.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt '  =(m+1) - m 1 =2m+1>0  m > c.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt và đó có nghiệm (-2) - Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt '  >0 1  m> - Theo hÖ thøc Vi- Ðt ta cã  x x ab  x x c   a 1 2  x1  x  2(m 1) x1 x m (1) - Theo gi¸ thiÕt , ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng (-2) , gi¶ sö x =-2 Tõ hÖ ph¬ng tr×nh (1) ta cã  x  2( m 1) 2 (2)  m x 2 2 2 -Tõ hÖ ph¬ng tr×nh (2), rót gän hai vÕ ta cã m +4m=0  m(m+4)=0   m 0 m  1 Víi m=-4 (lo¹i),m=0 (tháa m·n) ®iÒu kiÖn m > Vậy m=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt và đó có nghiệm (-2) Bµi tËp 2 Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x + 5x + m -1=0 ,víi m lµ tham sè a.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu b.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu và hai nghiệm đó có mét nghiÖm b»ng Gi¶i: a.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu  a 0  m 10  x x c 0   m    a   m 1 0 m  m  10  m  m 1 b.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu và hai nghiệm đó có nghiệm -¸p dông hÖ thøc Vi-Ðt ta cã  x x ab  x x c  a 1 2  x x  m51 (I)  m 1 x x   m 1  2 2 Thay gi¸ trÞ x =4 vµo (I) ta cã m +16m+35=0  m =-8+ 29 ;m =-8- 29 Các giá trị m , m thỏa mãn điều kiện m<1 và m -1 VËy m=-8+ 29 ;m=-8- 29 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ hai nghiÖm đó có nghiệm Bµi tËp Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x - 2(m-10x + m-3 =0 ,víi m lµ tham sè a.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m kh¸c (-1) b.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu c Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và hai nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm Gi¶i : a.Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt  a 0 '  0    (m  1)  ( m 1)(m  3) 0 m 10 m  0 VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m b.-Theo câu a ,ta đã có  -1  >0 víi mäi gi¸ trÞ m -1 -Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu c m x1.x   0 a  m 1     mm31  mm31 m  30 m 10 m  30 m 10   m 3 m  VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu m>3 hoÆc m<-1 c.Theo c©u a ,b ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu m>3 hoÆc m<-1  >0 vµ c x1.x   a ta cã MÆt kh¸c theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã :  x x ab  x x c  a 2  1)  x x 2(m  x x m  3m 1 (I) m 1   2 Víi gi¶ thiÕt cho x =2x ,thay vµo (I) ta cã  1)  3x 2(m m 1  2x m   m1 2  2(m  1)  m  3(m  1)   2(m  1)    Rút ta đợc : m - 2m- 35 = kiÖn m >3 vµ m <-1  m =-5 ;m =7 Với giá trị m ;m thỏa mãn điều Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm m=-5 hoÆc m=7 Bµi tËp 10 Cho ph¬ng tr×nh m(x -4x+3)+2(x-1)=0 a.Gi¶i ph¬ng tr×nh m=- b Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m c.Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên Gi¶i: a.Víi m=- 2 .Ta cã x -8x+7=0 c Cã a+b+c = 1+(-8)+7 =  x =1;x = a =7 b.Phơng trình đã cho trở thành : mx -2(m-1)x+3m-2=0 (1) + Víi m=0 ,(1) + Víi m 0 :  2x-2=0  x=1  ' 4m  4m   3m  2m m  2m  (m  1) 0 m VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m c.Ta cã m(x -4x+3)+2(x-1)= (x-1)  m(x  3)  2 0 XÐt ph¬ng tr×nh m(x-3)+2 = 3m  2 §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm th× m 0 mx-3m+2=0  x= m =3- m §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn th× m hay m= 1;m= 2 Bµi tËp 11 Cho ph¬ng tr×nh x - (m+2)x+2m = (1) a.Gi¶i ph¬ng tr×nh m=-1 b.Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x ,x thỏa mãn (x +x ) - x x 5 Gi¶i: a.Víi m=-1 Ta cã x - x-2 = Cã a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0  x =-1,x =2  =(m+2) -4.2m=m + 4m + 4- 8m = m - 4m + = ( m- 2) 0 m VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm m b Ta cã: 2 Ta cã (x +x ) - x x =m +2m+4 5  m +2m+ 1+3 5  m +2m+ 5-3  (m+1)   - m+1   -1- m  -1 Bµi tËp 12 Cho ph¬ng tr×nh x - px + p-1 = a.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña p b.TÝnh theo p gi¸ trÞ biÓu thøc M=x +x 2 - 6x x c.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M Gi¶i:  p  4p  (p  2) 0p Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã a.Ta cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña p b.Ta cã M=x +x 2 2 2 - 6x x =(x +x ) -2x x - 6x x =(x +x ) -8x x 2 = p - 8(p-1) = p - 8p + = p - 8p + 16 - = (p-4) - 2 c.M=(p-4) - -8,vậy M đạt giá trị nhỏ M=-8 (p-4) =0  p-4=0  p=4 Bµi tËp 13 Chøng minh r»ng nÕu c¸c hÖ sè cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai x +p x+q =0 vµ x +p x+ q =0 ,liªn hÖ víi bëi hÖ thøc p p =2(q +q ) th× Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghÞªm Gi¶i 2 Gäi ph¬ng tr×nh x +p x+q =0 (1) vµ x +p x+ q =0 (2) 2 p   1 2 Ta cã =p -4 q ; = -4 q ; 1 +  = p -4 q + p 2 -4 q = p + p 2 - 4(q + q ) V× 2(q +q )= p p  4(q + q ) = 2p p 2 2 p p  p  p2  0   Do đó + = p + - 4(q + q )= p + -2p p = §iÒu nµy chøng tá Ýt nhÊt mét hai biÖt thøc mét hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 1 hoÆc  ph¶i >0 VËy Ýt nhÊt Bµi tËp 14 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax + bx + c = cã nghiÖm nÕu mét hai ®iÒu kiÖn sau a) a( a + 2b + 4c ) < b) 5a + 3b + 2c = Gi¶i: Ta cã  b  4ac 2 2 a) a( a + 2b + 4c ) = a +2ab+4ac <  a +b +2ab < b -4ac 0  b -4ac > ( a+b)   0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 2 2 b) 5a + 3b + 2c =  10a +6ab+4ac=0  (3a+b) + a = b -4ac 0  ¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi tËp 15  0,ph- 2 Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh bËc hai x +p x+q =0 vµ x +p x+ q =0 cã nghiÖm chung th× : (q - q ) +(p -p )(q p -q p )=0 Giai: Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung  x  p1x q1 0 x  p x q 0 §Æt y=x ,ta cã  cã nghiÖm y  p1x q1 0 y  p x q 0 p  p1 q1p2  p1q p  p vµ y= p  p1 -NÕu p p ,gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã x= q1p  p1q p  p1 2 .Do y=x suy p  p1 p  p ) ,khai triển biến đổi ta có :(q -q ) +( q -q )( q p -q p =( )=0  p1x  y  q1 p1x  y  q -NÕu p =p ta cã hÖ Hệ này có nghiệm ,suy q =q Do đó đẳng thức cần chứng minh có dạng = 0, hiến nhiên đúng 11 BÀI PT BẬC HAI CHỨA THAM SỐ HAY (SƯU TẦM)