Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học như: Các bài toán liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các bài toán chứng minh nhiều [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8, ĐỊNH LÝ TA-LÉT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Họ và tên: Lê Huy Hoàng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Tường Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 8, Số tiết: tiết (2buổi) (2) PHẦN PHẦN MỞ ĐẦU I - LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Cơ sở lí luận: Định lý Ta-lét là định lý hình học cổ điển giữ vai trò quan trọng chương trình toán THCS Định lý Ta-lét sử dụng nhiều giải toán, đặc biệt là bài toán có liên quan đến đoạn thẳng và tỉ số hai đoạn thẳng Thông qua việc vận dụng định lý Ta-lét vào giải toán ta có thể ôn lại cho học sinh các tính chất tỷ lệ thức các kỹ biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, chứng minh đường thẳng song song, diện tích đa giác Vận dụng định lý Ta-lét vào giải toán ngoài việc học sinh rèn luyện các kỹ toán học, chủ yếu còn nâng cao mặt tư toán học Các thao tác tư như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, … thường xuyên rèn luyện và phát triển Cơ sở thực tiễn Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khả vận dụng định lý Ta-lét vào giải bài toán học sinh còn hạn chế Khi học phần này, học sinh còn khó khăn: - Việc sử dụng các kỹ biến đổi đại số vào hình còn lúng túng hay mắc sai lầm - Kỹ phân tích giả thiết, kết luận bài toán để vẽ thêm yếu tố phụ, tìm lời giải cho bài toán còn chậm và hạn chế - Khả vận dụng bài toán này cho bài toán khác, kỹ chuyển đổi bài toán, khai thác bài toán theo hướng đặc biệt hoá, khái quát hoá chưa cao - Học sinh chưa có thói quen tổng hợp và ghi nhớ tri thức phương pháp qua bài toán, dạng toán Kết luận khái quát Nhận thức rõ vị trí và tầm quan trọng định lý Ta-lét chương trình Toán THCS từ đó ý tưởng chuyên: “Định lý Ta-lét và ứng dụng” đời Thông qua thực tế giảng dạy kết hợp với bồi dưỡng học sinh giỏi và số sách viết chuyên đề các nhà giáo khác, tôi nghiên cứu và thực đề tài này Những năm gần đây, các kỳ thi giao lưu HSG lớp 8,9 cấp huyện, kì thi chọn HSG lớp cấp tỉnh và các kỳ thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Toán, chuyên Tin các trường THPT chuyên thường xuất các bài toán hình học có nội dung áp dụng định lý Ta-lét Đây không phải là kiến thức mới, nhiên đòi hỏi học sinh phải có tư linh hoạt và cái nhìn nhạy bén thì áp dụng nội dung định lý (3) II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Từ thực tế giảng dạy môn Toán cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi đã rút số kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề: “Định lý Ta-lét và số ứng dụng” với mục đích áp dụng kinh nghiệm này giảng dạy để giúp học sinh : - Nắm vứng nội dụng định lý Ta-lét tam giác và định lý Ta-lét tổng quát - Trang bị cho học sinh cách có hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ tính toán, vẽ hình, phân tích, suy luận, tổng hợp,… - Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ, các thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hoá,… (4) PHẦN 2: NỘI DUNG I – GIỚI THIỆU VỀ TA- LÉT Thalès de Milet hay theo phiên âm tiếng Việt là Ta-lét (tiếng Hy Lạp: ΘαλῆςὁΜιλήσιος; khoảng 624 TCN – khoảng 546 TCN), là triết gia, nhà toán học người Hy Lạp sống trước Socrates, người đứng đầu bảy nhà hiền triết Hy Lạp Ông xem là nhà triết gia đầu tiên triết học Hy Lạp cổ đại, là "cha đẻ khoa học" Tên ông dùng để đặt cho định lý toán học ông phát Ta-lét sống khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh thành phố Miletos, thành phố cổ trên bờ biển gần cửa sông Maeander (của Thổ Nhĩ Kỳ).Tuổi thọ ông không biết cách chính xác Có hai nguồn: nguồn cho là ông sống khoảng 90 tuổi, còn nguồn khác cho là ông sống khoảng 80 tuổi Trước Ta-lét, người Hy Lạp giải thích nguồn gốc tự nhiên giới, vạn vật qua các câu truyện thần thoại chúa trời, các vị thần và các anh hùng Các tượng sấm, sét hay động đất cho là các vị thần tự nhiên.Ông quan niệm toàn giới chúng ta khởi nguồn từ nước Nước là chất chung tất vật, tượng giới Mọi cái trên gian khởi nguồn từ nước và bị phân hủy lại biến thành nước Với quan niệm nước là khởi nguyên giới, vật, tượng Ông đã đưa yếu tố vật vào quan niệm triết học giải thích giới Thế giới hình thành từ dạng vật chất cụ thể là nước không phải chúa trời hay các vị thần Định lý Ta-lét: - Hai đường thẳng song song định trên hai đường thẳng giao đoạn thẳng tỷ lệ - Góc chắn nửa đường tròn thì vuông - Đường kính chia đôi đường tròn thành hai phần - Hai góc đáy tam giác cân thì - Hai tam giác có hai cặp góc đối và cặp cạnh tương ứng thì - Hai góc đối đỉnh thì (5) Ta-lét là người đầu tiên nghiên cứu thiên văn học, hiểu biết tượng nhật thực diễn mặt trăng che khuất mặt trời Ông nghĩ phương pháp đo chiều cao các kim tự tháp Ai Cập vào bóng chúng Ta-lét coi là người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu Sự sống ngoài Trái Đất Ta-lét chết lúc già cách đột ngột xem vận hội Trên mộ ông khắc dòng chữ: “Nấm mồ này nhỏ bé làm sao! Nhưng vinh quang người này, ông vua các nhà thiên văn, vĩ đại làm sao” II - KIẾN THỨC CƠ BẢN Đoạn thẳng tỉ lệ 1.1.Tỉ số hai đoạn thẳng - Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài chúng với cùng đơn vị đo Như tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn 1.2 Đoạn thẳng tỉ lệ: - Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ AB A'B' AB CD ta có tỉ lệ thức thức: CD C'D' hay A'B' C'D' - Tỉ lệ thức các đoạn thẳng có các tính chất tỉ lệ thức các số *1 Tích các trung tỉ tích các ngoại tỉ AB A'B' AB.C 'D' A ' B '.CD CD C'D' *2 Có thể hoán vị các trung, ngoại tỉ: AB CD A'B' C'D' AB A'B' CD C'D' CD C'D' AB A'B' A'B' C'D' AB CD *3 Các tính chất dãy tỉ số nhau: AB A'B' AB A'B' (CD CD ') CD C'D' CD C'D' AB A'B' AB CD A'B' C'D' CD C'D' CD C'D' Định lý Ta-lét tam giác 2.1.Định lý thuận: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định trên hai cạnh đó đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ABC, B 'C ' BC(B' AB, C' AC) GT (6) KL AB' AC ' AB' AC ' BB' C 'C ; ; AB AC B' B C 'C AB AC 2.2 Định lý đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và định trên hai cạnh này đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại tam giác ABC, B' AB, C' AC GT AB' AC ' B 'B C 'C B 'C ' BC KL 2.3 Hệ quả: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành tam giác có cạnh tương ứng tỉ lệ với cạnh tam giác đã cho GT KL ABC, B 'C ' BC(B' AB, C' AC) AB' AC' B 'C ' AB AC BC Chú ý: Định lý Ta-lét thuận, đảo và hệ đúng trường hợp đường thẳng a song song với cạnh tam giác và cắt phần kéo dài hai cạnh còn lại: Định lý Ta-lét tổng quát: 3.1 Định lý thuận: Nhiều đường thẳng song song định trên hai cát tuyến nhữngđoạn thẳng tương ứng tỷ lệ GT Cho a//b//c; d cắt a, b, c A, B, C; d’ cắt a, b, c A’, B’,C’ AB A 'B ' KL BC B'C ' Hướng chứng minh: (7) Ta có thể chứng minh định lý này cách qua A kẻ đường thẳng song song với d’ Đường thẳng này cắt b, c theo thứ tự B '', C '' Dễ dàng chứng minh AB '' A 'B ', B''C '' B 'C ' Sau đó áp dụng định lý Ta-lét tam giác AB AB'' AB A'B' vào ACC '' để có: BC B"C'' từ đây suy kết luận BC B'C' 3.2 Định lý đảo Cho đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d’ các điểm theo thứ tự; A, B, C và A’, B’, C’ thoả AB A ' B ' mãn tỉ lệ thức: BC B ' C ' mà đường thẳng a, b, c là song song với thì đường thẳng a, b, c song song với 3.3 Hệ quả(các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song) Hệ 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định trên hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Hướng chứng minh: Ta có thể chứng minh hệ này cách xét các tam giác AOB và AOC có AB//A’B’ và AC//A’C’ Theo hệ định lý Ta-lét tam giác ta có: AB OA AC OA AB AC A ' B' OA ' và A 'C ' OA ' từ đó suy ra: A 'B' A 'C ' (đpcm) Hệ 2: Nếu nhiều đường thẳng không song song định trên hai đường thẳng song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy điểm (8) Hướng chứng minh: Gọi d1, d2, d3 là ba đường thẳng không song song cắt hai đường thẳng song song a và b A, B, C và A’, B’, C’ thỏa mãn: AB AC A 'B' A 'C ' AB 1 A 'B' d1, d2, d3 đồng quy O Ta có thể chứng minh định lý cách gọi giao điểm hai đường thẳng d1, d2 là O Ta chứng minh d3 qua O Gọi C” là giao điểm OC và đường thẳng b Ta chưng minh C ' C '' Thật vậy, AB AC AB AC vì AC//A’C’ nên hệ ta có: A 'B' A 'C '' mà theo giả thiết ta có : A 'B' A 'C ' Từ đó suy C ' C '' Hay d3 qua O hay ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy III – CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng giải toán hình học như: Các bài toán liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các bài toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng song song, nhiều đường thẳng đồng quy; các bài toán diện tích, vận dụng để chứng minh định lý Tuy nhiên khuân khổ chuyên đề, tôi chọn hai ứng dụng chính để trình bày là: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng; chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy và nhiều điểm thẳng hàng Dạng CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG Dạng bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng là dạng bài tập hay và khó Nếu lớp 7, các hệ thức đoạn thẳng còn đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng nhau, chứng minh đoạn thẳng này tổng hai đoạn thẳng khác,… thì lên lớp 8, học sinh sau học xong diện tích đa giác, định lý Ta-lét, tam giác đồng dạng, hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông và các kiến thức đường tròn thì lớp bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng và phong phú Đối với các bài toán lớp 8, thì định lý Ta-lét và các trường hợp đồng dạng tam giác là công cụ để giải toán Ví dụ 1(lớp 8) Một đường thẳng qua A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a ) AE EK EG 1 b) AE AK AG (9) c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi Hướng dẫn tìm lời giải: a) Từ AE EK EG AE EG AE EG EK AE Vậy cần tìm mối liên hệ các tỉ số EK và AE BE với ED 1 AE AE 1 AK AG b) Từ AE AK AG AE AE DE BE ; Từ đó tìm mối liên hệ các tỉ số AK AG với các tỉ số DB và BD c) Vì giả thiết cho hình bình hành có các cạnh không đổi nên ta biểu diễn mối quan hệ tích BK.DG với các cạnh hình bình hành BK.DG AB.AD BK BE AB AD ED DG Lời giải tóm tắt: a/ Vì BK//AD và AB//DG nên theo hệ quảđịnh lý Ta-lét ta có: EK EB AE AE EK EG AE ED EG (đpcm) 1 AE AE 1 b/ Từ AE AK AG suy ra: AK AG Vì BK//AD và AB//DG nên theo định lý Ta-lét ta có : AE DE AE BE AE AE DE BE BD , 1 AK DB AG BD nên AK AG DB DB BD (đpcm) c/ Vì BK//AD và KC//AD nên theo định lý Ta-lét ta có BK AB KC CG (1) KC CG AD DG (2) BK AB BK DG AB AD Nhân vế với vế (1) và (2) ta được: AD DG (không đổi) Ví dụ (lớp 8): ABC, O là điểm thuộc miền tam giác, qua O kẻ HF//BC, DE//AB, MK//AC với H, K AB; E, M BC; D, F AC Chứng minh rằng: AK BE CF 1 a) AB BC CA (10) DE FH MK 2 b) AB BC CA * Hướng dẫn tìm lời giải:Giả thiết đã cho các đường thẳng song song, ta cố định BE tỉ số hệ thức cần chứng minh chẳng hạn: BC Hãy tìm cách AK CF , chuyển các tỉ số AB CA các tỉ số có cùng mẫu là BC Lời giải (tóm tắt) a) KM//AC AK MC AB BC CF CI EM Qua F kẻ FI//AB, I BC: CA CB BC AK BE CF MC BE EM BC 1 suy ra: AB BC CA BC BC BC BC AK BE CF 1 Vậy AB BC CA (Đpcm) FH AH b) FH//BC => BC AB KM BK KM//AC => AC AB FH MK DE AH BK AK BH AH HB AK KB 2 BC AC AB AB AB AB AB AB nên ta được: (Đpcm) Ví dụ (lớp 8) Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b Qua giao điểm O hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự E 1 1 và G Chứng minh rằng: OE OG a b * Hướng dẫn tìm lời giải: 1 1 OE OE OE( ) 1 1 a b AB CD Từ OE a b Từ đó dựa vào hệ định lý Ta-lét ta tìm mối quan hệ các tỉ số * Lời gải tóm tắt: OE DE OE DE a DA (1) Vì OE//AB nên theo hệ định lý Ta-lét ta có: AB DA OE AE OE AE b DA (2) Vì OE//CD nên theo hệ định lý Ta-lét ta có: DC DA 10 (11) OE OE DE AE 1 b DA DA Cộng vế với vế (1) và (2) ta được: a 1 1 1 1 OE( ) 1 a b hay OE a b Chứng minh tương tự ta có OG a b Do đó: Nhận xét:Nếu thay đổi kiện bài toán ta có bài toán sau Ví dụ (lớp 8) (Trích đề thi HOMC 2006) Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB và AC Đường thẳng PC và QB cắt G Đường thẳng qua G và song song với BC cắt AB E và AC F Biết PQ = a và EF = b Tính độ dài BC Hướng dẫn tìm lời giải: Sau vẽ hình ta thấy tứ giác BPQC là hình thang có các yếu tố thỏa mãn ví dụ Từ đó ta có thể vận dụng kết ví dụ vào giải bài toán Lời giải tóm tắt: Đặt BC = x 1 GE a x 1 GF a x Áp dụng kết ví dụ ta có: ax GE a x ax 2ax 2ax GF ax GE GF 2 EF= b a x suy ax ax a x Từ đó suy ab ab x BC 2a b hay 2a b Từ đó tìm *Nhận xét: Định lý Ta-lét ngoài việc ứng dụng cho chứng minh đẳng thức hình học còn vận dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học Sau đây ta có thể xét ví dụ việc vận dụng định lý Ta-lét để chứng minh bất đẳng thức Ví dụ (lớp 8) Cho ABC, phân giác AD chứng minh rằng: 1 1 1 a) Nếu A = 120 thì AD AB AC b) Nếu A <120 thì AD AB AC 11 (12) 1 c) Nếu A 120 thì AD AB AC Hướng dẫn tìm lời giải: 1 Hệ thức cần chứng minh có dạng a b c có thể chuyển hệ thức dạng tỉ số đoạn thẳng: 1 a a 1 b c Dạng 1: a b c 1 1 b c b b c a bc a c Dạng 2: a b c Ở ví dụ này ta biến đổi hệ thức cần chứng minh dạng Qua C kẻ CF //AD, F AB, ta có nhận xét gì AFC? Độ dài BF? Áp dụng định lý Ta-lét vào BFC ta Đpcm Lời giải (tóm tắt): DAB F 60 a) Qua C kẻ CF //AD, F AB, ta có: (1) FCA CAD 600 (2) Từ (1) và (2) suy AFC =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC Áp dụng hệ định lý Ta-lét vào BFC, AD//FC: AD BA AD AB AC.AB AD FC BF hay AC AB AC AB AC AB AC 1 Suy ra: AD AB.AC AB AC (Đpcm) F ACF BAC ) =>AF=AC nên: BF =AB + AC b) AFC cân (do AD AB AB CF.AB AD AB AC BFC có AD//FC => CF BF AB AC 0 Do AFC cân A có góc FAC 60 => F < 60 => FC > AC nên : AD AC.AB 1 AC AB AD AB AC (Đpcm) 1 c) Khi BAC 120 lập luận tương tự ta AD AB AC Ví dụ 6(lớp 8) Cho tam giác ABC, biết AB = c; BC =a; CA = b Phân giác AD Chứng minh rằng: AD 2bc bc 12 (13) Lời gải tóm tắt: Kẻ AD là tia phân giác góc A, D∈BC Qua D kẻ DE song song với AB, E∈AC Ta có ∆EAD cân E Suy AE =ED Áp dụng hệ định lý Ta-lét vào ∆ABC ta ED EC có: AB CA AE ED EC AE 1 bc 1 AE( ) 1 AE b c b c Suy ra: AC AB AC CA hay 2bc AD 2AE b c (đpcm) Trong tam giác ADE có AD < AE + ED hay 1 b c 1 ( ) Nhận xét: Từ kết bài toán trên ta có: AD bc b c Áp dụng kết này ta có thể giải bài toán sau:Ví dụ (lớp 8) (Trích đề thi HOMC 2014).Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và x, y, x là độ dài các đường phân giác 1 1 1 x y z a b c tương ứng Chứng minh bất đẳng thức sau: Từ ví dụ ta có: 1 b c 1 1 1 ( ) ( ) AD bc b c x b c (1) Chứng minh tương tự ta có: 1 1 ( ) y c a (2) 1 1 ( ) và z a b (3) Từ (1) (2) và (3) ta có: 1 1 1 x y z a b c (đpcm) Ví dụ 9(lớp 8).Cho tứ giác lồi ABCD Gọi O là giao điểm AD và BC Gọi I, K ,H là chân các đường cao kẻ từ B, O ,C tới AD Chứng minh : AD.BI.CH BD.OK.AC Lời giải (tóm tắt) Kẻ AE BD Vì OK//HC nên theo hệ định lý Ta-lét ta có: AO OK = ⇒ AO HC=OK AC AC HC Ta lại có AD.BI.CH=2 S ABD CH Mà BD.CE=2SABD ,OA.HC=OK.AC, AO ≥AE nên AD.BI.CH=2 S ABD CH=BD.CE.CH BD.AO.CH=BD.OK.AC 13 (14) Dấu “=” xảy AE=AO hay AC BD Ví dụ 10 (lớp 9)(Câu 4c_Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013) Cho tam giác nhọn ABC ( AC AB ) có các đường cao AA ', BB ', CC ' và trực tâm H Gọi (O ) là đường tròn tâm O, đường kính BC Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O ) (M, N là các tiếp điểm) Gọi M ' là giao điểm thứ hai A ' N và đường tròn (O) , K là giao điểm OH và B ' C ' Chứng minh KB ' HB ' KC ' HC ' rằng: * Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy đẳng thưc cần chứng minh là đẳng thức các tỉ số Để chứng minh các hệ thức các tỉ số ta có thể vận dụng các kiến thức: Định lý Ta-lét; tam giác đồng dạng; hệ thức cạnh và đường cao tam giác; tính chất cát tuyến cắt với đường tròn Tuy nhiên bài toán này sử dụng phương pháp loại trừ ta có thể thấy có thể sử dụng kiến thức định lý Ta-lét và tam giác đồng dạng Để có thể sử dụng định lý Ta-lét ta cần phải vẽ thêm hình phụ:Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’ Từ đó ta có thể tìm mối quan hệ các tỉ số và chứng minh định lí B' C' K H F E B O C D Lời giải Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’ , d cắt BB’ và CC’ D, E Áp dụng hệ định lý Ta-lét ta có: KB ' KH KC ' KB ' OD OD OH OE KC ' OE (1) Ta có: BDO ECO (vì cùng BB ' C ' ) và BOD EOC 14 (15) OD OB OD OC 2 DBO ~ CEO OD.OE OC OC OE OE OE (2) Lấy F (F ≠ E) trên đường thẳng CC’ cho OE = OF 'C ' H OFC B (vì cùng OEC ' ) Lại có HB ' C ' OCF HB ' OC HB ' OC B ' C ' H ~ CFO HC ' OF HC ' OE (3) KB ' HB ' KC ' HC ' Từ (1), (2), (3) Ví dụ (lớp 9)(Trích đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp vòng huyện Tam Dương 2014 - 2015) Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu H trên AC và AB Cho D là điểm trên BC Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu D trên AB và AC Chứng minh rằng: CE AC = a) BF AB b) DB.DC = MA.MB + NA.NC Lời giải tóm tắt a/ ABC, A = 90 , AH BC Ta có: AC2 = CH.BC; AB2 = BH.BC AC2 HC AB2 HB (1) CH CE Ta có: EH // AB HB EA (Định lý Ta-lét) (2) AC AB HF BF (hệ định lý Ta-lét) hay HF // AC AC HF AC AE AB BF mà HF = AE nên AB BF (3) AC CH AC HC CE AE AC3 CE Từ (1), (2) và (3) ta có: AB HB AB HB AE BF hay AB BF b/ Dễ thấy MD//AC và ND //AB Vì MD//AC nên theo hệ định lý Ta-lét Vì ND//AB nên theo hệ định lý Ta-lét 15 BD MD MB BC AC AB (4) CD NC ND CB AC AB (5) (16) Từ (4) và (5) BD.CD MD.NC MB.ND BC2 AC AB2 MD.NC MB.ND MD.NC MB.ND NA.NC MB.MA AC2 AB2 BC2 BC2 = = BD.CD NA.NC MA.MB Ví dụ 9: (Lớp 9)(Trích câu 4b đề thi vào lớp 10 chuyên Toán và chuyên Tin – Thành phố Hà Nội – Năm học 2009 – 2010) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi BD và CE là hai đường cao tam giác ABC b/ Tia AO cắt BC A1 và cắt cung nhỏ BC A2 tia BO cắt AC B1 và cắt cung nhỏ AC B2 Tia CO cắt AB C1 và cắt cung nhỏ AB C2 A1 A2 B1B2 C1C2 1 A A B B C C 1 Chứng minh: Lời giải tóm tắt Gọi H là giao điểm BD và CE AH cắt BC K cắt BC M Ta có AK BC và BAK BCM Lại có BAK BCH (cùng phụ với góc ABC) suy BCH BCM nên tam giác BCM cân C, đó HK = KM (1) AMA 900 nên MA2//BC A1 A2 MK A1 A2 HK S HAB A A KA A A KA S ABC (2) 1 Theo định lý Ta-lét ta có: Kết hợp với (1) suy ra: B1 B2 S HAC C1C2 S HAB Tương tự ta có: B1B S ABC (3) và C1C S ABC (4) A1 A2 B1B2 C1C2 S ABC 1 A A B B C C S 1 ABC Từ (2), (3) và (4) suy ra: (đpcm) Dạng 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, NHIỀU ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY, NHIỀU ĐIỂM THẲNG HÀNG Ở lớp để chứng minh hai đường thẳng song song thì ta phải tìm các mối quan hệ góc các mối quan hệ các đường thẳng Để chứng minh đồng quy ta thường áp dụng tính chất các đường tam giác, Đến lớp 8, sau học song định lý Ta-lét đảo, từ hệ thức độ dài đoạn thẳng cho ta kết luận đường thẳng song song 16 (17) AM AN MN / / BC ABC, AB AC Như định lý Ta-lét đảo cho ta thêm cách chứng minh đường thẳng song song Ví dụ (lớp 8): ABC, trung tuyến AM, phân giác AMC cắt AC H, phân giác góc AMB cắt AB K Chứng minh HK // BC Hướng dẫn tìm lời giải: Để chứng minh KH//BC ta chứng minh AH AK HC KB , hãy tìm cách chuyển các tỉ số hai vế đẳng thức cùng tỉ số cách sử dụng tính chất đường phân giác tam giác Lời giải: Theo giả thiết: MK là phân giác AMB => AK AM KB MB AH AM MH là phân giác góc AMC suy ra: HC MC AH AK KH / / BC Mà MB = MC (theo giả thiết) nên suy ra: HC KB (định lý Ta- lét đảo) Ví dụ 2(lớp 8):Qua giao điểm O đường chéo tứ giác ABCD, kẻ đường thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB M và CD N Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC E và đường thẳng qua N song song với AB cắt BD F Chứng minh BE//CF * Hướng dẫn tìm lời giải: BE / / CF OB OE OF OC Hãy sử dụng các đường thẳng song song giả thiết và định lý Ta-lét để chứng minh hệ OB OE thức OF OC * Lời giải tóm tắt: Theo giả thiết MB//NF OB OM => OF ON OE OM NC//ME => OC ON (1) (2) 17 (18) OB OE BE / / CF Từ (1) và (2) suy ra: OF OC (Định lý Ta-lét đảo) Nhận xét: Ta chuyển từ yêu cầu chứng minh đường thẳng song song chứng a c minh hệ thức dạng b d Ví dụ 3(lớp 8):Cho ABC, có AB + AC = 2.BC Gọi I là giao điểm đường phân giác trong, G là trọng tâm ABC (I khác G) Chứng minh IG // BC * Hướng dẫn tìm lời giải: AI AG AI 2 Để chứng minh IG // BC, ta phải chứng minh ID GM hay ID AB AC 2 Từ giả thiết bài toán suy ra: BC AB AC AI ID , cách sử dụng tính chất đường phân giác Hãy chứng minh BC * Lời giải: Gọi AI cắt BC D, AG cắt BC M Nối B với I, C với I sử dụng tính chất đường phân giác tam giác ta được: AI AB AC AB AC AB AC ID BD CD BD CD BC (1) AB AC AI ID (2) Theo giả thiết AB + AC = BC => BC AI 2 Từ (1) và (2) suy ID AG 2 Vì G là trọng tâm ABC nên: GM AG AI IG BC Từ (3) và (4) suy ra: GM ID (3) (4) (Đpcm) * Chú ý: + Bài toán đảo bài toán trên đúng: Từ IG//BC => AB+ AC = 2.BC + Nếu thay giả thiết AB + AC = 2.BC giả thiết AB + AC < 2.BC thì kết luận bài toán thay đổi nào? (IG cắt tia MC) Ví dụ 4(lớp 8): ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy H Gọi M, N, P, Q là hình chiếu D trên AB, BE, CF, CA Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng * Hướng dẫn tìm lời giải: Yêu cầu bài toán chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng Giả thiết bài toán cho các đường 18 (19) thẳng vuông góc, từ đó có các đường thẳng song song Hãy chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng cách chứng minh nó cùng nằm trên đường thẳng song song với EF * Lời giải tóm tắt: Từ giả thiết suy ra: AE AH HE // DQ => EQ HD (1) (theo định lý Ta-lét) AF AH HF/ / DM => FM HD (2) (theo định lý Ta-lét) AE AF EF / / MQ EQ FM Từ (1) và (2) suy ra: (*) (theo định lý Ta-lét đảo) BM BD DM // CF suy ra: BF BC (3) (theo định lý Ta-lét) BN BD BE BC (4) (theo định lý Ta-lét) DN // CE suy ra: Từ (3) và (4) suy ra: MN // EF (**) CQ CD QE DB (5) (theo định lý Ta-lét) DQ // BE suy ra: CP CD DP // BF suy ra: PF DB (6) (theo định lý Ta-lét) CP CQ PQ / / EF Từ (5) và (6) suy ra: PF QE (***) Kết hợp (*), (**) và (***) suy ra: M, N, P , Q thẳng hàng * Nhận xét: Chứng minh các điểm thẳng hàng cách chứng minh chúng cùng nằm trên đường thẳng cố định Ví dụ 5(lớp 8): Cho tứ giác ABCD, vẽ các đường thẳng d1//d2 // AC d1 cắt AD, BC theo thứ tự E và F d2 cắt BA, BC theo thứ tự G và H (GH khác EF) Chứng minh EG, DB, HF đồng quy * Hướng dẫn tìm lời giải: Theo giả thiết EF // AC // GH yêu cầu bài toán phải chứng minh GE , BD, HF đồng quy, ta suy nghĩ đến việc sử dụng hệ định lý Ta-lét tổng quát, EG, BD, FH đồng quy ta chứng minh hệ thức ME NG ME DM MF NH , AO DO * Lời giải tóm tắt: Gọi M, O, N là giao điểm EF, AC, GH với BD 19 (20) ME DM ME // AO suy ra: AO DO MF DM MF // OC suy OC DO MF ME Từ (1) và (2) suy ra: OC AO (1) (2) hay MF OC ME OA (*) NH OC Chứng minh tương tự ta NG OA (**) NH MF Từ (*) và (**) suy ra: NG ME mà EF // GH nên suy ra: GE, BD, HF đồng quy Nhận xét: Hệ định lý Ta-lét tổng quát cho ta cách chứng minh đường thẳng đồng quy Ở bài toán trên GH = EF thì đường thẳng GE, BD, HF có mối quan hệ với nào? Ví dụ 6(lớp 8): Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cặt BC I, AC cắt BD O M, N là trung điểm AB, DC Chứng minh I, M, O, N thẳng hàng Hướng dẫn giải Đây là bài tập khá đơn giản, việc chứng minh nó có thể sử dụng định lý Ta-lét tam giác hay phương pháp diện tích đây ta trình bày lời giải theo cách sử dụng hệ định lý Ta-lét tổng quát Lời giải: Theo giả thiết M là trung điểm AB, N là MB MA trung điểm DC, nên suy ra: ND NC Mà AB // DC suy ra: MN, BD, AC đồng quy hay O MN (1) MA MB Lại có: ND NC mà AB// DC nên suy AD, MN, BC đồng quy hay I MN(2) Từ (1) và (2) suy ra: I, M, O, N thẳng hàng * Nhận xét: - Bài toán trên vận dụng nhiều giải toán với tên gọi Bổ đề hình thang: “Trong hình thang có hai đáy không nhau, đường thẳng qua giao điểm các đường chéo và qua giao điểm các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì qua trung điểm hai đáy” 20 (21) Ngược lại: “ Trong hình thang có hai đáy không nhau, giao điểm hai cạnh bên, giao điểm hai đường chéo và trung điểm hai đáy là các điểm thẳng hàng” Ta có thể sử dụng Bổ đề hình thang để dựng trung điểm đoạn thẳng mà dùng thước, và có thể vận dụng bổ đề hình thang để vận dụng giải số bài toán hình học Ta có thể xét số ví dụ sau: Ví dụ 7(lớp 8).Xét ví dụ 5_Dạng 1(Trích đề thi HOMC 2006) Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB và AC Đường thẳng PC và QB cắt G Đường thẳng qua G và song song với BC cắt AB E và AC F Biết PQ = a và EF = b Tính độ dài BC Lời giải (tóm tắt): Gọi M, N là giao điểm AG với PQ và BC Áp dụng bổ đề hình thang cho các hình thang: BCQP và BCEF dễ dàng suy được: MP = MQ; GE = GF; NB = NC Vì PQ//EF//BC nên theo hệ định lý Ta-lét ta có: BC PC BC PC b EG GC GC (1) BC GC BC GC PQ PG a PG (2) BC BC PC GC 1 ab b a PG PG BC 2a b Từ (1) và (2) ta có: suy Ví dụ (lớp 9) Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D, đường tròn tâm (J) bàng tiếp góc A tam giác tiếp xúc với cạnh BC H Vẽ đường kính DD’ đường tròn (I) Chứng minh ba điểm A, D’, H thẳng hàng Hướng dẫn tìm lời giải: Để chứng minh A, D’, H thẳng hàng ta cần chứng minh AD’ và AH trùng Mà A, I, J thẳng hàng Từ đó cho ta định hướng chứng minh góc tạo AD’ và AH với AI Từ mối quan hệ tiếp tuyến và dây cung ta suy IF//GJ 21 (22) Từ đó vận dụng định lý Ta-lét và tam giác đồng dạng ta chứng minh bài toán Lời giải tóm tắt: Gọi F và G tương ứng là tiếp điểm đường tròn (I) và đường tròn (J) với AB IF AI Ta có IF AB, GJ AB nên IF//GJ Theo Ta-lét ta có: GJ AJ mà ID’ = IF, JG = ID' AI JH nên JH AJ Lại có: DD’//JH nên AID ' AJH suy AID ' AJH (c-g-c), ta có I AD ' JAH nên hai tia AD’ và AH trùng nhau, nghĩa là ba điểm A, D’, H thẳng hàng Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy gọi bán kính đường tròn (I) là R và bán R AD ' kính đường tròn (J) là R’ thì ta có: R ' AH Vận dụng bài toán trên ta có thể giải bài toán sau: Ví dụ (lớp 9) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD Chứng minh các đường tròn bàng tiếp góc A hai tam giác ABD và ACD Lời giải tóm tắt Theo bài toán trên ta chứng minh tứ A, M’, H thẳng hàng Và A, N, E thẳng hàng 22 (23) Dễ dàng chứng minh MM’N’N là hình chữ nhật nên MM’ //BC Nên AM ' AN ' AE Theo nhận xét trên dễ dàng suy ra: theo định lý Ta-lét ta có: AH IM ' I ' N ' KH K ' E mà IM’ = I’N’ từ đó suy ra: KH = K’E (đpcm) Ví dụ 8(lớp 8).Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, kỷ I sau công nguyên) Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB cho chúng không có điểm nào, có đúng điểm thuộc các cạnh tam giác ABC Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng và A'B B ' C C ' A 1 A'C B ' A C ' B Chứng minh * Trường hợp 1: Trong điểm A’, B’, C’ có đúng điểm thuộc cạnh tam giác ABC Giả sử là B’, C’ Phần thuận Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng B’C’ M C'A AM B ' C A ' C A'B B ' C C ' A AM A ' C A ' B ; 1 Ta có: C ' B A ' B B ' A AM Vậy A ' C B ' A C ' B A ' B AM A ' C Phần đảo: Gọi A’’ là giao B’C’ với BC A''B B ' C C ' A 1 Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có A '' C B ' A C ' B A'B B ' C C ' A A''B A ' B 1 mà A ' C B ' A C ' B nên A '' C A ' C Do B’, C’ thuộc cạnh CA, AB nên A’’ nằm ngoài cạnh BC A''B A ' B Vậy A '' C A ' C và A’, A’’ nằm ngoài cạnh BC suy A '' A ' Do đó A’, B’, C’ thẳng hàng * Trường hợp 2: Trong điểm A’, B’, C’ không có điểm thuộc cạnh tam giác ABC chứng minh tương tự 23 (24) Ví dụ 9(lớp 8) Định lý Ceva (Nhà toán học Ý, 1647-1734) Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ thuộc các đường thẳng BC, A'B B ' C C ' A 1 CA, AB Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy và A ' C B ' A C ' B Chứng minh Phần thuận: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ M, N Theo hệ định lý Ta-lét ta có: B ' C BC C'A AN A ' B AM ; ; B ' A AM C ' B BC A ' C AN A'B B ' C C ' A AM BC AN 1 Vậy ta có A ' C B ' A C ' B AN AM BC Phần đảo: Gọi I là giao BB’ và CC’ Giải sử AI cắt BC A’’, suy A’’ thuộc BC A''B B ' C C ' A A'B B ' C C ' A 1 1 Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có A '' C B ' A C ' B mà A ' C B ' A C ' B A'B A '' B nên A ' C A '' C Từ đó suy A '' A ' Do đó AA’, BB’, CC’ đồng quy Nhận xét: Định lý Menelaus và định lý Ceva là định lý áp dụng nhiều các bài toán hình học bồi dưỡng HSG, các đề thi vào trường chuyên toán, chuyên tin và các kì thi học sinh giỏi Sau đây là số bài toán áp dụng các định lý trên: Ví dụ 10(lớp 9): (Trích Câu 5.d Đề HSG tỉnh Phú Thọ 2010-2011) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN là đường kính thay đổi đường tròn (M không trùng với A, B) Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d C và D Gọi I là giao điểm CO và BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng 24 (25) Lời giải Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng là B, I, M ta có: AB OI CM OI MA 1 BO IC MA IC 2CM (1) Tương tự với tam giác BCO và ba điểm thẳng hàng là A, I, F ta có: OI FB IC 2CF (2) MA FB = Từ (1) và (2) ta có CM CF Do đó MF // AB (định lý Ta lét đảo) mà AB BC 900 MF BC MFC Ta có EFB EBA (cùng phụ với góc EAB); EBA EMC (tứ giác AMEB nội tiếp) EFB EMC Tứ giác MEFC nội tiếp MFC 900 MEC Do đó: ME EC (3) Lại có MEN 90 (chắn nửa đtròn) ME EN (4) Từ (3) và (4) suy C, E, N thẳng hàng Ví dụ 11(lớp 9) (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Toán, Vĩnh Phúc 2013-2014) Cho tam giác nhọn ABC, AB AC Gọi D, E, F là chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P là giao điểm đường thẳng BC và EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt các đường thẳng AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh: a) Tứ giác BQCR nội tiếp PB DB b) PC DC và D là trung điểm QS c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC Lời giải A AB AC a) Do nên Q nằm trên tia đối tia BA và R nằm đoạn CA, E từ đó Q, C nằm cùng phía F đường thẳng BR R H 25 S B P D M Q C (26) Do tứ giác BFEC nội tiếp nên AFE BCA , Do QR song song với EF nên AFE BQR Từ đó suy BCA BQR hay tứ giác BQCR nội tiếp DB HB b) Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên AE HA DC HC Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên AF HA DB AE HB AE FB 1 Từ hai tỷ số trên ta DC AF HC AF EC Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được: PB EC FA PB AE FB 1 2 PC EA FB PC AF EC PB DB 3 Từ (1) và (2) ta PC DC DQ BD DS CD , Do QR song song với EF nên theo định lý Ta-lét PF BP PF CP Kết hợp với (3) ta DQ DS hay D là trung điểm QS c) Gọi M là trung điểm BC Ta chứng minh DP.DM DQ.DR Thật vậy, tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ.DR DB.DC (4) DC DB DP.DM DB.DC DP DB.DC Tiếp theo ta chứng minh DP DC DB 2 DB.DC DB DP DC DC DP DB DB.PC DC.PB PB DB PC DC (đúng theo phần b) Do đó DP.DM DB.DC Từ (4) và (5) ta DP.DM DQ.DR suy tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC Ví dụ 12(lớp 9) (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012)Cho tam giác ABC có AB AC Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm E , D cho DE DC Giả sử đường thẳng qua D và trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC F Chứng minh đường thẳng EF chia đôi góc AED 26 (27) Lời giải Gọi M là trung điểm BE, G là giao điểmcủa các đường thẳng EF , AC GA EA Ta chứng minh GD ED Áp dụng định lý Ménélaus cho ADM với cát tuyến G, E , F ta có: GA FD EM GA FM EA 1 GD FM EA GD FD EM Lấy I BC cho DI AB Khi đó hai tam giác FMB, FDI đồng FM BM dạng nên FD DI FM BM BM DI AB Do ABC cân, nên DCI cân, hay DI DC DE suy ra: FD DI DE EA EA Do M là trung điểm BE nên EM MB đó EM MB GA FM EA BM EA EA Vậy GD FD EM DE BM ED điều phải chứng minh KẾT LUẬN SỐ 2: - Định lý Ta-lét đảo cho ta cách chứng minh đường thẳng song song Khi gặp bài toán chứng minh hai đường thẳng song song ta có thêm cách phân tích để tìm lời giải, chuyển từ chứng minh đường thẳng song song chứng minh hệ thức đoạn thẳng - Bài toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng đồng quy ngoài cách phân tích tìm lời giải quen thuộc ta có thêm cách phân tích tìm lời giải theo hướng sử dụng kết qủa suy từ định lý Ta-lét, bổ đề hình thang, định lý Menelaus và định lý Ceva 27 (28) III – MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1(lớp 8): Cho ABC đều, trọng tâm G, M là điểm nằm bên tam giác, đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự A’, B’ , A' M B 'M C 'M 3 C’ Chứng minh: A ' G B ' G C ' G Bài 2(lớp 8): a) Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm BC, điểm N trên cạnh CN 2 CD cho: ND S( APQ ) S( AMN ) Gọi giao điểm AM, AN với BD là P, Q Chứng minh: b) Chứng minh kết luận câu a) đúng thay điều kiện : “M là CN 2 trung điểm BC, N trên cạnh CD cho: ND ” điều kiện tổng quát CN BM 2 MC ” “M trên cạnh BC, N trên cạnh CD cho ND Bài 3(lớp 8): Cho ABC, I là giao điểm đường phân giác , G là trọng tâm ABC, biết AB = 8cm, AC = 12 cm, BC = 10 cm, a) Chứng minh: IG // BC b) Tính IG = ? Bài 4(lớp 8+9): Cho ABC, trên cạnh BC, CA và AB lấy các điểm M, N BM CN AP k (k 0) và P cho: MC CA AB a) Chứng minh rằng: AM, BN, CP là độ dài ba cạnh tam giác mà ta kí hiệu là (k) b) Tìm k để diện tích tam giác (k) nhỏ Bài 5(lớp 8): Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD Chứng minh các đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABD và ACD Bài 6(lớp 8+9) Cho tam giác ABC và điểm M nằm tam giác AM, BM, CM cắt các cạnh đối diện A 1, B1, C1 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 cắt các cạnh BC, CA, AB điểm thứ hai là A2, B2, C2 Chứng minh AA2, BB2, CC2 đồng quy Bài (lớp 9) Cho (O1) và (O2) cắt hai điểm A, B Các tiếp tuyến A và B (O1) cắt K Lấy điểm M nằm trên (O1) không trùng A và B Đường thẳng AM cắt (O2) điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O 1) điểm thứ hai là 28 (29) C và đường thẳng AC cắt (O2) điểm thứ hai là Q Gọi H là giao điểm PQ với đường thẳng MC Chứng minh rằng: H là trung điểm PQ Bài 8(lớp 8+9) Cho góc xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B cho AD cắt BC E Các đường thẳng AB và CD cắt K; IA KA tia OE cắt AB I Chứng minh rằng: IB KB Bài 9(lớp 9): Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD Chứng minh các đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABD và ACD PHẦN 3: KẾT LUẬN Trong thời gian giảng dạy trường THCS, qua học hỏi kinh nghiệm các thày cô giáo và các bạn đồng nghiệp, tôi đã viết đề tài này với mong muốn trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm quá trình dạy và BD HSG toán Trong phạm vi đề tài tôi đã cố gắng hệ thống lại hai dạng bài tập vận dụng định lý Ta-lét mà học sinh thường gặp quá tình giải toán, đặc biệt là bồi dưỡng HSG Tuy đã có cố gắng tìm tòi, nghiên cứu trình độ, kinh nghiệm còn hạn chế và thời gian có hạn chắn đề tài còn có nhiều thiếu sót, hạn chế Tôi mong góp ý các bạn đồng nghiệp để nội dung đề tài phong phú và đầy đủ Trân trọng cảm ơn! 29 (30)