Chuyên đề: Định lí Lagrange và ứng dụng

GIỚI THIỆU Định lí Lagrange được phát biểu như sau: Cho hàm số Fx liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng a,b thì luôn tồn tại sao cho:.. Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụn[r]

Chuyên đề: ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG A GIỚI THIỆU Định lí Lagrange phát biểu sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm khoảng (a,b) thì luôn tồn cho: Chúng ta tìm hiểu bài toán sử dụng định lí Lagrange chương trình THPT sau: I Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức II Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm III Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình B NỘI DUNG I SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Phương pháp Từ định lí Lagrange , thì: Vậy Từ định lí Lagrange để áp dụng kết trên, điều quan trọng là xác định hàm số F(x) *Ví dụ minh họa VD1: CMR th×: Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với: Xét hàm số: liên tục trên , và có đạo hàm khoảng Lop12.net Theo định lí Lagrange luôn tồn cho: Ta có: (đpcm) NX: Điều quan trọng bài toán này là chúng ta nhận hàm số F(x) qua việc biến đổi tương đương BPT đã cho Ta xét VD … VD 2: Cho Chứng minh: Giải BĐT đã cho tương đương với: Đặt với Ta có: AD định lí Lagrange hàm số: trên , thì tồn cho: Từ (1) suy ra: Suy ra: (đpcm) NX: Bài này khó bài trên chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế nhận đựơc hàm số f (x) VD 3: Cho a<b<c CMR: Giải Xét hàm số: Theo định lí Lagrange tồn cho: Ta thấy: Lop12.net Từ (1) Do đó, từ Suy ra: II SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM *Phương pháp: Từ định lí Lagrange, F(b)-F(a)=0 thì tồn cho: phương trình có nghiệm thuộc Để áp dụng định lí Lagrange phải nhận hàm số F (x) (thực nó là nguyên hàm hàm số f(x)) Dạng bài toán này làm theo các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b), thoả mãn: a F'(x)=f(x) b F(b)-F(a)=0 Bước 2: Khi đó tồn cho: phương trình f(x)= có nghiệm *Ví dụ minh hoạ: VD1: CMR phương trình: có nghiệm với a,b,c Giải Xét hàm số: Dễ dàng nhận thấy: Lop12.net Khi đó tồn cho: Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng VD 2: Giả sử: CMR phương trình: có nghiệm thuộc khoảng (0, 1) Giải Xét hàm số: Khi đó tồn liên tục trên [0,1] và có đạo hàm khoảng (0,1) Ta có: cho: Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0,1) Từ VD2 ta có thể giải bài toán sau: VD3: Giả sử: CMR phương trình: có nghiệm thuộc khoảng (0,1) Giải Xét hàm số: Nhận thấy, F(x) liên tục trên [0,1] và có đạo hàm khoảng (0,1) Ta có: Lop12.net Khi đó tồn Vì cho: n ên ta c ó: V ậy ph ơng tr ình đ ã cho c ó nghi ệm thu ộc kho ảng (0,1) III SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GI ẢI PH Ư ƠNG TR ÌNH * Phương pháp: Đ ể áp d ụng đ ịnh l í Lagrange vào việc giải phương trình ta thực theo các bước sau đây: Bước 1: Gọi l à nghi ệm c ph ơng tr ình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng thích hợp trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) Khi đó theo định lí Lagrange tồn , từ đó hàm số liên tục cho: (*) Bước 3: Giải (*), ta xác định Bước 4: Thử lại * Ví dụ minh họa: VD 1: Giải phương trình: Giải Gọi là nghiệm phương trình đã cho Ta được: (1) Xét hàm số: Khi đó: (1) Vì F(t) liên tục trên [3,4] và có đạo hàm khoảng (3,4), đó theo định lí Lagrange tồn Lop12.net cho: Thử lại và thấy đúng Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=1 VD 2: Giải phương trình: Giải Gọi là nghiệm phương trình đã cho, ta có: (2) Xét hàm số: , đó: Vì F(t) liên tục trên [2,3] và có đạo hàm trên (2,3), đó theo định lí Lagrange luôn tồn cho: Thử lại thấy đúng phương trình có hai họ nghiệm C BÀI TẬP ÁP DỤNG CMR x>y> thì CMR phương trình: Giải các phương trình sau: Lop12.net và