Định lí lagrange và ứng dụng

Trang 1

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều cỏc em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhúm Cự Mụn luụn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời cỏc thắc mắc  Đăng kớ “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

ĐỊNH Lí LAGRANGE

VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Vấn đề 1: Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức

Vấn đề 2: Sử dụng định lí Lagrange chứng minh

phơng trình có nghiệm

Học Toỏn theo nhúm (từ 1 đến 6 học sinh) cỏc lớp 9, 10, 11, 12

Giỏo viờn dạy: Lấ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngừ 86  Đường Tụ Ngọc Võn  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kớ học cho con liờn hệ 0936546689

Trang 2

định lý Lagrange và các ứng dụng

A Tóm tắt lí thuyết

Định lí Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a, b] và F '(x) tồn tại trên

(a, b) thì luôn c(a, b) sao cho

F '(c) =

a b

) a ( F ) b ( F



B phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất

đẳng thức

Từ định lí Lagrange, nếu m  F '(c)  M thì:

m 

a b

) a ( F ) b ( F



 M  m(ba)  F(b) F(a)  M(ba)

Vậy, để áp dụng đợc kết quả trên vào việc chứng minh bất đẳng thức điều quan trọng nhất là nhận ra đợc hàm F(x)

Ví dụ 1: Cho 0 < a < b <

2

 Chứng minh rằng:

a cos

a b

2

 < tgbtga <

b cos

a b

2



Giải

Chúng ta viết lại bất đẳng thức để làm xuất hiện hàm F(x):

a

cos

1

2 <

a b

tga tgb



 <

b cos

1

2

Xét hàm số F(x) = tgx khả vi và liên tục trên [a, b]  (0,

2

 ) theo định lí Lagrange luôn tồn tại c(a, b) sao cho:

F '(c) =

a b

) a ( F ) b ( F



c cos

1

2 =

a b

tga tgb



Ta có :

0 < a < b <

2

 

a cos

1

2 <

c cos

1

2 <

b cos

1

2



a cos

1

2 <

a b

tga tgb



<

b cos

1

2

Ví dụ 2: Cho 0 < b < a Chứng minh rằng:

a

b

a  < ln b

a <

b

a 

Giải

Trang 3

a

b

a  < ln

b

a <

b

a  

a

1 (ab) < lnalnb <

b

1 (ab)



a

1

<

b a

b ln a ln



 <

b

1 Xét hàm số F(x) = lnx khả vi và liên tục trên [b, a](0, + ) theo định lí Lagrange luôn tồn tại c(b, a) sao cho:

F '(c) =

b a

) b ( F ) a ( F



c

1 =

b a

b ln a ln



Ta có :

0 < b < c < a 

a

1 <

c

1 <

b

1  a

1 <

b a

b ln a ln



 <

b

1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với x > 0 luôn có:

ln(x + 1) < x

Giải

Chúng ta viết lại bất đẳng thức để làm xuất hiện hàm F:

ln(x + 1)0 < (x + 1)1 

1 ) 1 x (

1 ln ) 1 x ln(









< 0

Xét hàm số F(t) = lnt khả vi và liên tục trên [1, x + 1] với x > 0 theo định lí Lagrange luôn tồn tại c(1, x + 1) sao cho:

F '(c) =

1 ) 1 x (

) 1 ( F ) 1 x ( F









 c

1 =

x

) 1 x ln(   ln(x + 1) =

c

x

Ta có:

1 < c < x + 1  ln(x + 1) =

c

x <

1

x = x

Chú ý: Chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng đồng thời kết quả của định lí

Lagrange cùng với các bất đẳng thức quen thuộc để thực hiện yêu cầu đề ra, ví

dụ sau sẽ minh hoạ việc sử dụng thêm bất đẳng thức Côsi

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với x(0, 1) và nZ + luôn có:

xn

x

1  <

ne 2

1

Giải

x2n(1x) <

ne 2

1  2n(1x)x2n <

e 1

Ta có:

2n(1x)x2n = (2n2nx)   

tử phần n

x

x Côsi



1 n

nx 2 ) nx 2 n













=

1 n

1 n 2 n















Trang 4

Từ đó ta sẽ đi chứng minh:

1 n

2













 <

e

1  ln

1 n













 < ln

e 1



n 2 ) 1 n 2 (

n 2 ln ) 1 n 2 ln(









>

1 n 2

1

 Xét hàm số F(x) = lnx khả vi và liên tục trên [2n, 2n + 1] theo định lí Lagrange luôn tồn tại c(2n, 2n + 1) sao cho:

F '(c) =

n 2 ) 1 n 2 (

) n 2 ( F ) 1 n 2 ( F









 c

1 = ln(2n + 1)ln2n

Ta có :

0 < 2n < c < 2n + 1 

c

1 >

1 n 2

1

  ln(2n + 1)ln2n >

1 n 2

1



Vấn đề 2: Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phơng

trình có nghiệm

Từ định lí Lagrange, nếu F(b)F(a) = 0 thì c(a, b) sao cho

F'(c) =

a b

) a ( F ) b ( F



= 0

 phơng trình F'(x) = 0 có nghiệm thuộc (a, b)

Vậy, để áp dụng đợc kết quả trên vào việc chứng minh phơng trình f(x)

= 0 có nghiệm trong (a, b) điều quan trọng nhất là nhận ra đợc hàm F(x) (thực chất nó chính là nguyên hàm của hàm f(x)) Cụ thể, ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Xác định hàm số F(x) khả vi và liên tục trên [a, b] và thoả mãn:

(i.) F'(x) = f(x) (tức là F(x) = f(x)dx)

(ii.) F(b)F(a) = 0

Bớc 2: Khi đó x0(a, b) sao cho:

F'(x0) =

a b

) a ( F ) b ( F



0) = 0

 phơng trình f(x) = 0 có nghiệm x0  (a, b)

Ví dụ 1: Giả sử 2a + 3b + 6c = 0 Chứng minh rằng phơng trình:

ax2 + bx + c = 0

có nghiệm thuộc khoảng (0, 1)

Giải

Xét hàm số F(x) =

3

a x3 +

2

b x2 + cx khả vi và liên tục trên [0, 1] và:

(i.) F '(x) = ax2 + bx + c

(ii.) F(1)F(0) =

3

a + 2

b + c =

6

1 (2a + 3b + 6c) = 0

Khi đó x0(0, 1) sao cho

Trang 5

F '(x0) =

0 1

) 0 ( F ) 1 ( F



 a 2 0

x + bx0 + c = 0

 phơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x0(0, 1)

Mở rộng: Nếu 

n 0 i

i 1 i m

a = 0 với m > 0 thì phơng trình 



n 0 i

i

ix

a = 0

luôn có nghiệm trong (0, 1) bởi:

Xét hàm số F(x) = 





n 0 i

1 m i i

1 i m

x a

khả vi và liên tục trên [0, 1] và:

(i.) F '(x) = 



 n 0 i

m i

ix

a

(ii.) F(1)F(0) = 

n 0 i

i 1 i m

a = 0

F '(x0) =

0 1

) 0 ( F ) 1 ( F



 



 n 0 i

m i 0

ix



n 0 i

i 0

ix

a = 0

 phơng trình 



n 0 i

i

ix

a = 0 có nghiệm x0(0, 1)

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với:

phơng trình:

a x1 + 3b x = 4cx x ( 3 x  1 ) (1)

luôn có ít nhất một nghiệm thuộc (0, 1)

Giải

Biến đổi phơng trình về dạng:

x

2

a

+

1 x 2

b 3

 = 2xc 

x 2

a

+

1 x 2

b

 2xc = 0 Xét hàm số F(x) = a x + b x1cx2 khả vi và liên tục trên (0, 1) và:

(i) F '(x) =

x 2

a

+

1 x 2

b

 2xc

(ii) F(1)F(0) = (a + 2bc)b = a + bc(*)

0.

F '(x0) =

0 1

) 0 ( F ) 1 ( F



0

x 2

a +

1 x 2

b

0  2cx0 = 0 tức là phơng trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm x0(0, 1)

Trang 6

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phơng trình:

có nghiệm với mọi a, b, c

Giải

Xét hàm số F(x) = asinx +

2

b sin2x +

3

c sin3x khả vi và liên tục trên [0, ] và:

(i.) F '(x) = acosx + bcos2x + c.cos3x

(ii.) F()F(0) = 0

Khi đó x0(0, ) sao cho

F '(x0) =

0

) 0 ( F ) ( F









 acosx0 + bcos2x0 + c.cos3x0 = 0

 phơng trình (1) có nghiệm x0(0, )

Mở rộng:

 Phơng trình 



n 1

i i

) ix cos(

a = 0 luôn có nghiệm với mọi aiR, i = 1 , n

bởi:



n 1 i

i sin(ix) i

a

khả vi và liên tục trên [0, ] và:

(i.) F '(x) = 



n 1

i i

) ix cos(

(ii.) F()F(0) = 0

Khi đó x0(0, ) sao cho

F '(x0) =

0

) 0 ( F ) ( F









 



n 1 i

0

icos(ix )



n 1

i i

) ix cos(

a = 0 có nghiệm x0  (0, )

 Phơng trình 



n 1

i i

) ix sin(

a = 0 luôn có nghiệm với mọi aiR, i = 1 , n

bởi:



n 1 i

i cos(ix) i

a

khả vi và liên tục trên [0, 2] và:

(i.) F '(x) = 



n 1

i i

) ix sin(

(ii.) F(2)F(0) = 0

Khi đó x0(0, 2) sao cho

F '(x0) =

0 2

) 0 ( F ) 2 ( F









 



n 1

) ix sin(

Trang 7



n 1

i i

) ix sin(

a = 0 có nghiệm x0  (0, 2)

Vấn đề 3: Sử dụng định lí Lagrange giải phơng trình

Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Gọi x0 là nghiệm của phơng trình

Bớc 2: Biến đổi phơng trình về dạng thích hợp F(a) = F(b), từ đó chỉ ra

đợc hàm số F(t) khả vi và liên tục trên [a, b]

Khi đó theo định lí Lagrange (a, b) sao cho

F'() =

a b

) a ( F ) b ( F



= 0

(*)

Bớc 3: Giải (*) ta xác định đợc x0

Bớc 4: Thử lại

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

Giải

Viết lại phơng trình dới dạng:

6x  5x = 3x  2x

Giả sử phơng trình có nghiệm , khi đó :

6  5 = 3  2 (2) Xét hàm số f(t) = (t + 1)t , với t > 0

Từ (2) ta nhận đợc f(5) = f(2), do đó theo định lí Lagrange tồn tại c(2, 5) sao cho :

f '(c) = 0  [(c + 1)1c1] = 0  













1

0 Thử lại ta thấy x = 0 và x = 1 đều thoả mãn (1)

Vậy, phơng trình có nghiệm x = 0 và x = 1

Giải

Gọi x0 là nghiệm của phơng trình, ta đợc:

0 0

x

4 2 5

3    x 0 x 0 x 0 x 0

3 4 4

Xét hàm số F(t) = x 0 x 0

t ) 1 t (   khi đó:

(2)  F(4) = F(3)

và F(t) khả vi và liên tục trên [3, 4], do đó theo định lí Lagrange (3, 4) sao cho

F '() =

3 4

) 3 ( F ) 4 ( F



0[ x0 1 x0 1

t )

1 t (     ] = 0  







 1 x

0 x

0

Thử lại x0 = 0 và x0 = 1 vào (1) thấy đúng

Trang 8

Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.

Giải

Gọi x = x0 là nghiệm của phơng trình, ta đợc:

0

x

cos

3  cos x 0

2 = cosx0  cos x 0

3 3cosx0 = cos x 0

2 2cosx0 (2)

Xét hàm số F(t) = cos x 0

t tcosx0, khi đó:

(2)  F(3) = F(2)

và F(t) khả vi và liên tục trên [2, 3], do đo theo định lí Lagrange (2, 3) sao cho:

F '() =

2 3

) 2 ( F ) 3 ( F



0[tcos x011] = 0

 







 1 x cos

0 x cos

0

















 k 2 x

k 2 x

0

Thử lại x0 =

2

 + k và x0 = 2k thoả mãn (1)

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm x =

2



+ k và x = 2k, kZ.

x log3

4 + 2log3x = 2x.

Giải

Điều kiện x > 0

Đặt u = log3x  x = 3u, khi đó phơng trình có dạng:

4u + 2u = 2.3u  4u 3u = 3u 2u

Giả sử phơng trình có nghiệm u = , khi đó :

4  3 = 3 2 (1) Xét hàm số f(t) = (t1)t , với t > 0

Từ (1) ta nhận đợc f(4) = f(3), do đó theo định lí Lagrange tồn tại c(3, 4) sao cho :

f '(c) = 0  [(c1)1c1] = 0  













1

0

Thử lại ta thấy u = 0 và u = 1 đều thoả mãn Nh vậy ta đợc:









1

u

0

u

 







 1 x log

0 x log

3

 







 3 x 1 x

Vậy, phơng trình có nghiệm x = 1 và x = 3

Trang 9

Bài tập đề nghị

Bài tập 1: Cho x > 0 Chứng minh rằng:

ex > x + 1

Bài tập 2: Chứng minh rằng với x  2 luôn có:

(x + 1)cos

1

x 



xcos

x

 > 1

Bài tập 3: Cho x > y > 0 Chứng minh rằng:

2

y

x  >

y ln x ln

y x



Bài tập 1: Giả sử:

2003

a + 2002

b + 2001

c = 0

Chứng minh rằng phơng trình:

ax2 + bx + c = 0

có nghiệm thuộc khoảng (0, 1)

Bài tập 2: Chứng tỏ rằng với a3b = 15 phơng trình:

2(2x + b) x = a

luôn có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1

Bài tập 3: Chứng tỏ rằng với a + 3b = 27 phơng trình:

2(6xb) x 1 = a

luôn có ít nhất một nghiệm dơng

Bài tập 4: Chứng tỏ rằng với ab = 2 phơng trình:

a 2  x b 2 x = 2 2

x

4  luôn có ít nhất một nghiệm

Bài tập 5: Chứng tỏ rằng với abc = 0 phơng trình:

a 1  x b x = 2c x ( 1  x ) luôn có ít nhất một nghiệm

Bài tập 6: Chứng tỏ rằng với ab = 3(5c + d) phơng trình:

a 5  x b x = 2(2cx + d) x ( 5  x ) luôn có ít nhất một nghiệm

Bài tập 7: Chứng minh rằng phơng trình:







 n

1

i i

)]

x 2 ( i cos[

Trang 10

luôn có nghiệm với mọi aiR, i = 1 , n

Bài tập 8: Cho a, b, cZ + với a2 + b2 = c2 Chứng minh rằng phơng trình:

ax + bx = cx

có duy nhất nghiệm

Bài tập 1: Giải các phơng trình sau:

a 2003x + 2005x = 2.2004x

b 6x + 2x = 5x + 3x

c 2003sinx2002sinx = sinx

Bài tập 2: Giải các phơng trình:

a cos x

3  cos x

2 = cosx

b 2005 sin x2004 sin x = sinx

a (1 + cosx )(2 + 4 cos x) = 3.4 cos x

b (1 + sinx )(2 + sin x

4 ) = 3 sin x

a 2 x2x + 12 x2x = 2.7 x2x

b 2 x21 = | x |

3 + 1

a 3log4x + 5log4x = 2x.

b x log4x

3 = x 1

Bạn đọc muốn có tài liệu về lời giải các bài tập xin liên hệ tới

Nhóm Cự Môn

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	396 KB