CHUYÊN ĐỀ CẤP TRƯỜNG Người báo cáo : Nguyễn Xuân Ánh Thời gian báo cáo : 28/11/2012 Tên chuyên đề: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I-MUÏC TIEÂU: HS:-Nắm vũng các phép biến đổi đ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ CẤP TRƯỜNG Người báo cáo : Nguyễn Xuân Ánh Thời gian báo cáo : 28/11/2012 Tên chuyên đề: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I-MUÏC TIEÂU: HS:-Nắm vũng các phép biến đổi đông phân thức đại số -Rút gọn phân thức -Cộng trừ nhân chia phân thức -Rèn luyện kỷ chứng minh tính giá trị biểu thức nhanh hợp lý theo bài toán II CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng I: AÙP DUÏNG : ÑÒNH NGHÓA - TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN - RUÙT GOÏN PHAÂN THỨC ĐẠI SỐ: Ví dụ 1: Cho phân thức ( a2 +b2 +c ) ( a+ b+c ) + ( ab+ ac+ca )2 M= ( a+ b+c ) − ( ab+ bc+ca ) Hãy rút gọn phân thức M HD:Chú ý ;(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) Do đó ta đặt a2+b2+c2 =x; ab+ac+bc = y Khi đó ;(a+b+c) = x + 2y.Ta có M = a2+b2+c2+ab+ac+bc (ÑK:a2+b2+c2 ) Ví duï 2: x (x +2 y)+ y = =x+ y =¿ x +2 y − y Chứng minh với số nguyên n thì phân số n3 +2 n laø phaân soá n4 +3 n2 +1 toái giaûn HD:Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử và mẫu có ước chung lớn laø Gọi d là Ước chung n3+2n và n4+3n2+1.Ta có n3+2n ⋮ d ⇒ n(n3 +2 n)⋮ d => n4 + 2n ⋮ d (1) n2 +1 ¿2=n +2 n2+ 1⋮ d (2) ⋮d⇒ ¿ 4 Từ (1) và (2)=>(n +3n +1)- (n +2n2) ⋮ d ⇒ ⋮ d ⇒ d=1 n4+3n2+1-(n4+2n2)= n2+1 Ví duï 3: Chứng minh : 1+x+x2+x3+…+x31= (1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16) (1) HD:Goïi veá traùi laø A vaø veá phaûi laø B Ta coù (1-x).A = 1-x32=> (1-x).B = (1-x).(1+x)(1+x2)…(1+x16)=1-x32 (2) − x 32 Nếu x thì A và B viết dạng phân thức − x ,do đó A =B Nếu x = 1thì hai vế (1) 32,do đó A= B Trong hai trường hợp ,đẳng thức (1)đều đúng Luyeän taäp: Bài 1:Cho a>b>0 thỏa mãn 3a +3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức P = a− b a+ b 1 HD:Tính P2 =…= maø P>0 =>P = (Vì a>b>0) x+ y Bài 2:Cho x>y>0 và 2x2+2y2 = 5xy Tính giá trị biểu thức E = x − y HD:Nhö baøi Baøi 3:Cho a,b,c ñoâi moät khaùc nhau,thoõa maõn ab+ac+bc =1.Tính giaù trò cuûa biểu thức: a) A = c+ a ¿ ¿ b+ c ¿ ¿ a+b ¿ ¿ ¿ ¿ ( a2 +2 bc − )( b2 +2 ca −1 ) ( c2 +2 ba −1 ) ;b) B = ( a − b )2 ( b −c )2 ( c − a )2 HD:a)Ta coù 1+a2= ab+ac +bc +a2=…=(a+b)(a+c) Tương tự 1+b2=…=(b+a)(c+b);1+c2 = =(c+a)(c+b) Thay vào biểu thức A= b+ c ¿ ¿ ( a+b ) ( a+c )2 ¿ ¿ b)Ta coù a2+2bc-1 = a2+2bc-ba-ca-bc = …=(a-b)(a-c) Tương tự : b2+2ca-1=…= (b-a)(b-c) ;c2+2ab-1= (c-a)(c-b) ( a −b )2 ( b − c )2 ( c − a )2 =¿ Thay vaøo vaø ruùt goïn ta coù B =….= 2 ( a −b ) ( b − c ) ( c − a ) Bài 3:Rút gọn các phân thức -1 (3) ¿ ¿ z − x ¿2 ¿ ¿ z − x ¿2 ¿ y − z ¿2 +¿ x − y ¿2 +¿ ¿ x3 −7 x − 12 x + 45 x3 + y + z −3 xyz y + z ¿ +(¿¿ c)C= ; d D= ¿ x −19 x +33 x − x+ y ¿ +¿ ¿ a2 (b − c)+b2 ( c − a)+ c 2( a −b) x3 − y + z +3 xyz a= ; b= ¿ ab −ac − b3 + bc2 HD: x −3 ¿ (2 x+5) ¿ x −3 ¿ ( x −1) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (a −b)(b − c)( a −c ) a − c A= = ; B= (x − y + z ); C=¿ (a − b)(b − c)(b+ c) b+c n+1 Bài 4:Chứng minh phân số n2 −1 Tối giản với n là số tự nhiên HD:Goïi d laø UCLN(2n+1,2n2-1)=>2n+1 ⋮ d vaø 2n2-1 ⋮ d => n(2n+1)- (2n2-1) ⋮ d => n +1 ⋮ d =>2n +2 ⋮ d => (2n +2) – (2n +1) ⋮ d => ⋮ d => d =1 Bài 5:Chứng minh phân số : n5 +n+ n4 +n2 +1 không tôi giản với n là số nguyeân döông HD:Tử và mẫu có chứa nhân tử chung là n2+n+1>1 Bài 6:Rút gọn biểu thức:A = x − y ¿2 z − x ¿2 +¿ y − z ¿ 2+ ¿ Cho bieát :x+y+z = ¿ x2 + y2 + z2 ¿ HD:(x+y+z) = => (x+y+z)2 = =>x2+y2+z2 = -2xy-2xz-2yz Thay vào mẫu thức ta có A = Bài 7:Rút gọn biểu thức P = (14 + 4)(54 + 4)(9 +4 ) (214 +4 ) (34 + 4)(7 + 4)(114 + 4) .(23 4+ 4) (4) HD:n4+4 =(n2+2)2-4n2= (n2+2+2n)(n2+2-2n)=[n(n+2)+2][n(n-2)+2] Do đó P = …= 577 Daïng II CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: 1 Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức :A = − x + 1+x + 1+x + 1+ x + 1+ x Giải:Do đặc điểm bài toán không quy đồng mẫu thức mà ta cộng tùng phân thức 2 4 16 A = − x + 1+ x + 1+ x + 1+ x = − x + 1+ x + 1+ x = .= 1− x 16 2¿ ¿ 3¿ ¿ 3.4¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức B = Giaûi:Ñöông nhieân ta khoâng theå naøo QÑMT maø ta tìm caùch taùch moãi phaân thức thành hiệu hai phân thức dùng phương pháp khử liên tiếp Ta coù : n+1 ¿ −n ¿ n+1 ¿2 ¿ n+1 ¿2 ¿ n2¿ ¿ n+1 =¿ [ n(n+1)] => B = …=1- Ví duï 3:Cho A = n+1 ¿2 ¿ n+1 ¿2 ¿ ¿ ¿ x+ y¿ ¿ x + y ¿5 ¿ 1 ( − 2) x y ¿ ¿ ¿ ¿ 1 ( − ) ; B= ¿ y (x + y ) x Thực phép tính A+B+C (5) x+ y ¿ 4 x y ¿ Giải:Rút gọn biểu thức A = …= ;Tính B+C =…= 2 ( y + x )( y − x) ¿ y −x Tính A+B+C = …= x y x+ y ¿ x y ¿ 2( y − x) ¿ Ví dụ 5:Cho a,b,c thỏa mãn ĐK:abc =2005.Tính giá trị biểu thức 2005 a b c b c P = ab+2005 a+ 2005 + bc+b+ 2005 +ac+ c+ Giaûi:Ta khoâng theå QÑMT Thay 2005 =abc abc a =>P = ab+abc a+ abc + bc+ b+abc + ac+ c+ = =1 Luyeän taäp Bài 1:Rút gọn các biểu thức: 1 + ; a (a −b)( a −c ) b( b− a)(b − c) 1 b ¿ B= + + a( a− b)(a − c) b (b − a)(b −c ) c (c −a)( c −b) ¿ c − a −b 1 HD:A = ; b= A+ = .= ¿ ab(a −b)(a − c)(b− c) c (c −a)(c −b) abc c − a ¿2 ¿ b− c ¿2+ ¿ a − b ¿2 +¿ Bài 2:Rút gọn biểu thức A = ¿ 2 + + +¿ a− b b −c c −a a ¿ A= HD:Ñaët a-b =x;b-c =y ; c-a = z =>x+y+z = Ta coù A = 2 x2 + y + z + + + = =0 x y z xyz a+b − c b+c −a a+c −b − − =0 Chuùng minh raèng ba phaân Baøi 3:Cho ab bc ac thức vế trái có ít phân thức HD:Biến đổi vế trái ta phân thức có tử thức (a+b-c)(a-b-c) = =>a-b+c =0 a+c-b = Bài 4:Cho a,b,c là các số nguyên đôi khác Chứng minh biểu thức: a3 b3 c3 A = (a − b)(a −c ) + ( b− a)(b − c) + (c − a)(c −b) Coù giaù trò nguyeân 3 a (b − c)+b ( c − a)+ c (a −b) = =a+b +c (Phân tích tử thành nhân tử) HD:A = (a −b)(a− c)( b −c ) Bài 5:Rút gọn biểu thức ; ( a ¿ A= − ( n+1 )2 1 1 12 32 52 − − 1− ; b ¿ B= 22 32 42 n2 22 −1 42 −1 62 − ( n+2 )2 −1 )( )( ) ( ) (6) c ¿C= 23 − 33 −1 n3 −1 3 +1 +1 n +1 HD:A= (n− 1)(n+1) (n −1) .(n+1) n+1 n+1 = = = n n n 2n 22 32 n2 B= n+3 ; (2 −1)(22+ 1+ 12) (n −1)(n2 +n+ 1) (2+1)(22 − 1+ 12) (n+1)(n2 −n+ 1) (n− 1) (22 +2.+1)(32 +3+1) .(n2 +n+1) (n+1) (22 −2+1)(32 − 3+1) (n2 − n+1) 2 2(n2 +n+1) 13 21 .(n −n+1)(n +n+1) n2+ n+1 = = = n(n+1) n(n+1) n(n+1) 13 .(n2 −n+ 1) Bài 6:Rút gọn các biểu thức: ¿ 1 1 1 1 a ¿ A= + + + + ; b= + + + + ¿ 2 3 (n− 1) n 5 8 11 (3 n+2)(3 n+5) 1 1 c ¿C= + + + + 3 4 (n− 1)n(n+ 1) HD: ¿ ¿ 1 1 1 n+ ¿ = − ¿b = − Keát quaû B= − ¿= ¿ (n −1)n n −1 n (3 n+2)(3 n+5) 3 n+2 n+5 3 n+ 2(3 n+5) (n-1)(n+ 2) 1 1 c¿ = − Keát quaû: (n− 1) n(n+1) ( n− 1)n n(n+1) 4n (n+1) ( a1 [ Baøi 7: ) ( ] m n a)Tìm các số m,n để : x (x −1) = x − + x HD:m=1;n=-1 1 1 b)Rút gọn biểu thức:M= a2 − a+6 + a2 −7 a+12 + a2 − a+20 + a2 −11 a+30 1 HD:Tách phân thức: (a −2)(a− 3) = a − − a −2 Tương tự 1 1 Bài 8:Cho x+y+z=a và x + y + z = a Hãy chứng minh:tồn ba soá coù moät soá baèng a 1 1 HD:theo bài toán ta có : x + y + z = x + y + z <=>…<=> (x+y)(x+z)(y+z) = Bài 9:Cho a+b+c =0 (a ≠ ; b ≠ ; c ≠ 0) Rút gọn biểu thức : A= a2 b2 c2 + + a2 − b2 −c b − c2 −a c − a2 − b2 HD:Ta coù a+b+c = =>a3+b3+c3=3abc vaø a3+b3+c3-3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-ac-bc) Từ a+b+c =0 =>b+c=-a =>a2-b2-c2=2bc.Tương tự cho các trường hợp cò lại b2-c2-a2=2ac; c2-a2-b2 = 2ab ) (7) 2 3 a b c a +b + c Thay vào biểu thức:A = bc + ac + ab = abc = = 1 ab bc ca Bài 10:Cho a + b + c =0 Tính giá trị biểu thức:P = c + a2 + b2 HD:Vận dụng công thức x+y+z = => x3+y3+z3= 3xyz Áp dụng giải : 1 ab bc ca abc abc abc + + 3= Do đó P = + + = + + = =3 a b c abc c a b c b a Bài 11:Cho a3+b3+c3=3abc.Tính giá trị biểu thức A= (1+ ab )(1+ bc )(1+ ca ) HD:Từ a3+b3+c3=3abc <=>(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0<=> …<=> a+ b+c=0 a +b + c − ab− ac − cb=0 ¿ 2 Neáu a+b+c =0 thì A = …= -1 Nếu a2+b2+c2-ab-ac-bc =0 <=> (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = <=> a=b=c Khi đó A =8 Baøi 12:Cho a+b+c = b −c c − a c a b + + + + ( a −b )( c a b a−b b−c c−a) a −b b −c c − a HD:Goïi M = ( c + a + b ) ,ta coù c c b − c c −a c b − bc+ ac −a c (a −b)(c − a −b) 2c M =1+ + =1+ =¿ 1+ =1+ =1+ a −b a−b( a b ) a −b ab a − b ab ab a Tính giá trị biểu thức :A = 2 Tương tự cho các trường hợp còn lại: 3 2(a +b + c ) c a b +M +M =3+ =9 (Vì a3+b3+c3=3abc) A = M a −b b −c c−a abc a b c Bài 13:Cho a+b+c =0,x+y+z=0, x + y + z =0 Chứng minh ax2+by2+cz2=0 HD:Từ x+y+z =0 => x2 = (y+z)2 Tương tự cho các trường hợp còn lại Do đó ax2+by2+cz2=a(y+z)2+b(x+z)2+c(x+y)2 =a(y2+2yz+z2)+b(x2+2xz+z2)+c(x2+2xy+y2)= Khai trieån ta coù =x2(b+c)+y2(a+c)+z2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)(1) a b c Thay b+c =-a; a+b =-c; a+c = -b vaø ayz+bxz+cxy = 0( vì x + y + z =0 )vaøo (1)Ta coù ax2+by2+cz2=-ax2-by2-cz2=>…=> ax2+by2+cz2=0 (8) b− c ¿2 ¿ a− c ¿2 ¿ a − b ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ Baøi 14:Cho a b c a + + =0Chuùng minh raèng : ¿ b− c c −a a −b a b c a b c b2 − ba+ ca − c2 HD:Từ b− c + c −a + a −b =0 => b− c = a −c + b − a = (a − c)(b − a) b −c ¿2 ¿ ¿ Nhaân hai veá cho (1) a ⇒ b− c ¿ Tương tự cho các trường hợp còn lại: a−c¿ ¿ (2) a −b ¿ ¿ a2 −ca +cb −b ¿ (c −a)(a − b)(b − c) ¿ ¿ b ¿ Coäng (1),(2)vaø (3)Ta coù b−c¿ ¿ a − c ¿2 ¿ a −b ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a ¿ 2 a b c a b c Bài 15: b+c + c +a + a+b =1; Chứng minh b+ c + c+ a + a+b =0 a b c HD:Nhaân hai veá cuûa b+c + c +a + a+b =1 Cho a+b+c ta coù : 2 a +a( b+c ) b +b(c+ a) c + c (b+ a) + + =a+b+ c b+ c c+ a a+ b 2 a b c ⇒ +a+ +b+ +c=a+ b+c b+ c c +a a+ b =>Điều phải chứng minh ******************************************** (9) (10)