Một số ứng dụng của định lý viet

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET PHÚ THỌ - 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU… 1 Lý chọn đề tài khóa luận Mục tiêu khóa luận Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bố cục khóa luận CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đa thức 1.1.1 Đa thức biến 1.1.2 Đa thức nhiều biến 1.2 Đa thức đối xứng 11 1.3 Định lý Viet 13 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET .16 2.1 Ứng dụng tốn nghiệm phương trình 16 2.1.1 Bài tốn tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình bậc hai 16 2.1.2 Bài tốn tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn hệ thức cho trước 22 2.2 Ứng dụng tốn giải hệ phương trình đối xứng 26 2.3 Ứng dụng toán chứng minh bất đẳng thức .30 2.4 Ứng dụng toán khảo sát hàm số .38 2.4.1 Bài toán cực trị hàm số 38 2.4.2 Bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số 42 2.4.3 Bài toán tương giao hai đồ thị tập hợp điểm 46 2.5 Ứng dụng tốn tính giá trị biểu thức lượng giác .50 CHƯƠNG BÀI TẬP 55 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài khóa luận Ở bậc đại học, sinh viên chuyên ngành toán học nhiều học phần tốn học giải tích, hình học, đại số Nhóm học phần đại số có: số học, modun, hàm phức, đại số tuyến tính, đại số sơ cấp, đại số đại cương,…., cung cấp cho người học kiến thức về: lý thuyết số, lý thuyết nhóm nửa nhóm, vành trường, vành đa thức, phương trình đại số, phương trình tuyến tính, hệ phương trình, lý thuyết mơđun, … Tuy nhiên, đại số bậc đại học khơng phải hồn tồn lạ Trong chương trình phổ thơng, biết đến môn thông qua hệ thống số, phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức… Các kiến thức không tách rời với đại số đại học Các kiến thức phổ thông giúp người học có sở để hiểu mở rộng kiến thức Ngược lại, kiến thức đại học lí giải, làm rõ kiến thức mà bậc phổ thông cơng nhận, chưa chứng minh Trong chương trình phổ thông, tên gọi tam thức bậc hai trở nên quen thuộc Các toán đại số hầu hết nghiên cứu tam thức bậc hai Khi vận dụng kiến thức đại số đại học vào toán cho ta hướng giải nhanh gọn, đồng thời mở rộng, phát triển toán tam thức bậc hai thành toán tổng quát Việc làm giúp người học có hiểu biết sâu sắc hơn, rộng thu nhiều kết nghiên cứu cho thân Khi nhắc đến tốn tam thức bậc hai, khơng thể không nhắc đến định lý Viet Định lý mang tên nhà toán học vĩ đại người Pháp Frangxoa Viet sống kỉ XVI Định lý Viet thành to lớn ông việc nghiên cứu phương trình đại số, thiết lập mối liên hệ hệ số nghiệm phương trình Trong chương trình phổ thơng, định lý Viet cho tam thức bậc hai sử dụng rộng rãi nhiều dạng tập khác nhau: tập biểu thức nghiệm, tập hệ phương trình đối xứng, tốn khảo sát hàm số… Với mong muốn giúp người học tốn nói chung, sinh viên sư phạm tốn nói riêng có thêm tài liệu, sở để nghiên cứu, đào sâu ứng dụng định lý Viet cho tam thức bậc hai, mở rộng định lý Viet cho đa thức tổng quát Hơn với mục đích đưa hệ thống kiến thức, phân loại kiến thức tập ứng dụng, nhằm đem lại thuận lợi cho học sinh, sinh viên trình học tập nghiên cứu tập định lý Viet, em mạnh dạn chọn đề tài “ Một số ứng dụng định lý Viet ” làm hướng nghiên cứu Mục tiêu khóa luận - Hệ thống kiến thức định lý Viet - Phân loại số dạng tập liên quan đến định lý Viet - Xây dựng hệ thống tập áp dụng Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu định lý Viet cho tam thức bậc hai đa thức bậc n - Nghiên cứu ứng dụng vào dạng tập, mở rộng từ định lý Viet cụ thể định lý Viet tổng quát Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng định lý Viet phân hóa, hệ thống hóa kiến thức - Phương pháp tổng hợp, phân tích hệ thống hóa kiến thức liên quan đến nội dung nghiên cứu cách khoa học, xác - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: tham khảo ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn thầy cô giáo mơn tốn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: tam thức bậc hai, đa thức trường số, bất phương trình, hệ phương trình, định lý Viet - Phạm vi: nghiên cứu ứng dụng định lý Viet việc giải số dạng toán chương trình trung học phổ thơng Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho học sinh trường phổ thông, sinh viên ngành, đặc biệt sinh viên sư phạm tốn Khóa luận giúp người học hiểu thêm đa thức, tính chất nghiệm đa thức, đặc biệt ứng dụng định lý Viet việc giải tốn nghiệm Ngồi từ tốn, kết chứng minh ta có hướng đề xuất toán tương tự, khái quát lên tốn tổng qt Đối với thân, khóa luận hội để mở rộng sâu kiến thức đa thức, ứng dụng định lý Viet giải tốn, phát triển kỹ phân tích, tư tốn học cần thiết cho cơng tác giảng dạy trường phổ thông sau Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành chương Chương Kiến thức sở Chương Một số ứng dụng định lý Viet Chương Bài tập CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đa thức 1.1.1 Đa thức biến Định nghĩa 1.1 Cho A vành giao hốn, có đơn vị kí hiệu Gọi P tập hợp dãy  a0 , a1 , , an , ,  A với i   tất trừ số hữu hạn Ta định nghĩa phép cộng phép nhân P sau:  a , a ,, a ,   b , b ,, b ,   a  b , a  b ,  , a  b ,   a , a ,, a ,. b , b ,, b ,   c , c ,, c , n 1 n n với ck  a0bk  a1bk 1   ak b0  0 i n n  ab ; i j k j n n k  0,1, 2, Khi P với hai phép toán lập thành vành, gọi vành đa thức biến x A, kí hiệu A x  Các phần tử vành A x  gọi đa thức biến x lấy hệ tử A Nhận xét: Ta xét dãy x   0,1,0,,0, Theo quy tắc nhân ta có x   0,0,1,0,,0, x   0,0,0,1,,0,    x n   0,0,  ,0,1,0,       n   Ta quy ước viết:   x  1, 0, , 0,  Định nghĩa 1.2 Đa thức tổng có dạng a0 x  a1 x    an1 x n1  an x n  A, i  0, n gọi hệ tử đa thức x biến x i , i  0, n gọi hạng tử đa thức, đặc biệt a0 x  a0 gọi hạng tử tự Phép cộng phép nhân đa thức: Giả sử m  n Phép cộng: (a0  a1 x    an1 x n1  an x n )  (b  b1 x    bm1 x m1  bm x m )  a0  b  (a1  b1 ) x    (an  bn ) x n  bn1 x n1    bm x m Phép nhân: (a0  a1 x    an1 x n1  an x n ).(b0  b1x    bm1x m1  bm x m )  a0 b0  (a0 b1  a1 b0 ) x ++ (a0 bk  a1 bk 1    ak b0 ) x k    anbm x mn Bậc đa thức Định nghĩa 1.3 Bậc đa thức khác f ( x )  a0 x  a1 x1    an 1 x n 1  an x n với an  0, n  , n Hệ tử an gọi hệ tử cao f ( x ) Ta định nghĩa bậc đa thức khác Đối với đa thức 0, ta nói khơng có bậc Định lý 1.1 Giả sử f ( x ) g ( x ) hai đa thức khác i) Nếu bậc f ( x ) khác bậc g ( x) ta có f ( x)  g ( x)  bậc f ( x)  g ( x)  max( bậc f ( x ) , bậc g ( x) ) Nếu bậc f ( x ) = bậc g ( x) f ( x)  g ( x)  ta có bậc f ( x)  g ( x)  max( bậc f ( x ) , bậc g ( x) ) ii) Nếu f ( x).g ( x)  , ta có bậc f ( x)  g ( x)  bậc f ( x ) + bậc g ( x) ) Nghiệm đa thức Định nghĩa 1.4 Giả sử c số thực tùy ý f ( x )  a0  a1 x    an 1 x n 1  an x n đa thức tùy ý với hệ số thực Phần tử f (c)  a0  a1c    an1c n1  an c n   có cách thay x c gọi giá trị f ( x ) c Nếu f (c)  c gọi nghiệm f ( x ) Tìm nghiệm f ( x ) gọi giải phương trình đại số bậc n an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0  , với an  Định lý 1.2 c số thực tùy ý, f ( x ) đa thức với hệ số thực Dư phép chia f ( x ) cho x  c f (c) Chứng minh Nếu ta chia f ( x ) cho x  c , dư đa thức bậc bậc ( x  c) Vậy dư phần tử r   Ta có f ( x)  ( x  c) q ( x)  r Thay x c ta f (c)  0.q (c)  r Vậy r  f (c) Hệ quả: c nghiệm f ( x ) f ( x ) chia hết cho ( x  c) Định nghĩa 1.5 Giả sử c số thực, f ( x ) đa thức với hệ số thực m số tự nhiên lớn c gọi nghiệm bội cấp m f ( x ) chia hết cho ( x  c) m f ( x ) không chia hết cho ( x  c ) m 1 Trong trường hợp m  người ta gọi c nghiệm đơn, m  c nghiệm kép Người ta coi đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng Từ định nghĩa đa thức (định nghĩa 1.2), n  2; A   ta trường hợp đặc biệt đa thức, khái niệm quen thuộc với học sinh trung học: tam thức bậc hai Tam thức bậc hai có dạng tổng quát là: ax  bx  c , a  , số a, b c số thực, gọi hệ số: a hệ số x , b hệ số x, c số tự do, hay số hạng tự Nghiệm tam thức bậc hai giá trị thực x mà thay giá trị vào tam thức bậc hai ax  bx  c ta kết Tìm nghiệm tam thức bậc hai gọi giải phương trình bậc hai Phương trình có hai nghiệm khác (cịn nói hai nghiệm phân biệt), hai nghiệm (có nghiệm kép nghiệm bội hai), khơng có nghiệm (vơ nghiệm) Các nghiệm tính nhờ việc sử dụng cơng thức nghiệm phương trình bậc hai sau: A t12  t22  t32 (t1  t2  t3 )  2(t1t2  t2t3  t1 t3 )  t1 t2t3 t1t2t3 112  t  t    64  56  Theo định lý Vi-et ta có: t1t2  t2t3  t t3  64   t1t2t3  64  Thay vào biểu thức A ta A  54 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP Bài 1: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x  (  5) x  15  b) 1 2m  x2  x  Với m  2; m  ; x ẩn m2 m3 (2  m)(m  3) c)  m  3 x   m  1 x  2m   Với m tham số, x ẩn d) x3  x  x   ĐS: a) x1   3; x2  b) x1  1; x2  2m  3 m c) m   x  1 m   x1  1; x2  d) x1  1; x2  1; x3  2m  m3 1 Bài 2: a Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình x  ax   Tính S  x17  x27 theo a b Tìm đa thức bậc có hệ số ngun nhận a   làm nghiệm HD: a) Biểu diễn S  x17  x27   x14  x24   x13  x23   x13 x23  x1  x2  Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức x14  x24 ; x13  x23 Ta được: S   a  4a   a  3a   a  a  a  14a  a 55 b) Đa thức cần tìm là: 15 x  105 x  210 x  105 x  34 Bài 3: Cho phương trình x  x   , có nghiệm x1 , x2  x2   Tính giá trị biểu thức : A  x14  x23  x12  x2  B  x15  x12  x1   x2  x2 ĐS: A  18 x1  18 x2   40 B 11 Bài 4: Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  ax   x3 , x4 nghiệm phương trình x  bx   Tính giá trị biểu thức: M   x1  x3  x2  x3   x1  x4  x2  x4  theo a b ĐS: M  b  a Bài 5: Gọi a,b hai nghiệm phương trình : x  px   b, c hai nghiệm phương trình : x  qx   Chứng minh hệ thức  b  a   b  c   pq  HD: Theo định lý Viet: a  b   p b  c   q ;   ab  bc     b  a   b  c   b  ab  bc  ac Ta có  b  ab  bc  ac   ab  bc    a  b  b  c    ab  bc     p   q   1    pq  56 Bài 6: Cho phương trình  m  1 x   m   x  m   Tìm m để phương trình có: a) Một nghiệm b) Hai nghiệm dấu phân biệt c) Hai nghiệm âm phân biệt HD: a) Phương trình cho có nghiệm khi: a   m  1     a    m  5      b) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt dấu a   m  1       5 P   m   c) Phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt a      m   P    S  Bài 7: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm khơng âm:  m  1 x  x  m   1 ĐS: 1  m  Bài : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm dấu Khi nghiệm mang dấu ? a x  2mx  5m   1 b mx  mx    2 57 ĐS: a  m  m  Khi hai nghiệm dấu dương b m  12 Khi hai nghiệm dấu dương Bài : Cho phương trình  m  4 x2   m  2  m   Tìm m để phương trình a Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có GTTĐ lớn b Có nghiệm trái dấu GTTĐ ĐS: a  m  b m  Bài 10: Tìm m để phương trình x  mx  m  có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  2  x2  x  2  x2 HD: x1  2  x2    x1  2  x2 Ta m   giá trị cần tìm Bài 11: Cho phương trình  m   x   m   x  m   Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn : x1   x2 x1  x2 HD: x1   x2 x1  x2 nên S  x1  x2  a      Yêu cầu toán     m  P    S  Bài 12 : Khơng giải phương trình, tính hiệu lập phương nghiệm lớn nhỏ phương trình bậc hai: 58 x2  85 21 x   (*) 16 ĐS : x13  x23  Bài 13: Cho phương trình bậc 2: ax  bx  c  với a  , có nghiệm x1 , x2 Chứng minh rằng: với S n  x1n  x2n a.S n   b.S n 1  c.S n  HD: ax12  bx1  c  ax12 x1n  bx1 x1n  cx1n   n Từ giả thiết   n n ax2  bx2  c  ax2 x2  bx2 x2  cx2  Cộng theo vế hai phương trình ta điều cần chứng minh Bài 14: Gọi a, b nghiệm phương trình: 30 x  3x  2002  Tính M  30  a 2002  b 2002    a 2001  b 2001  a 2000  b 2000 HD: Phương trình 30 x  3x  2002  có   Gọi a,b hai nghiệm phương trình Đặt S n  a n  b n Từ 13 ta có: a.S n   b.S n 1  c.S n  Với n  2000 : S n  a 2000  b 2000 S n 1  a 2001  b 2001 S n   a 2002  b 2002  30 S n   3S n 1  2002 S n  M  2002 S n  2002 Sn Bài 15: Cho phương trình x  ax  a   có nghiệm x1 , x2 a Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: x12  x22  ? M x1 x2  x1 x22 b Tìm a để tổng bình phương hai nghiệm đạt giá trị nhỏ ? 59 3a  6a  ĐS: a M  với  a  0; a  1 a2  a b Giá trị nhỏ A a  Bài 16: Cho phương trình  m  1 x   m   x  m   Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào m (Độc lập với m) HD: điều kiện để phương trình có nghiệm x1 , x2  m  11 Hệ thức cần tìm là:  x1  x2   x1 x2  Bài 17: Cho phương trình:  m  1 x  2mx   m  a Chứng minh với m > phương trình ln có nghiệm b.Tìm hệ thức liên hệ nghiệm độc lập với tham số m HD: a Có hệ số a  m   m   ; c   m  m  Với m  ac  , suy phương trình có nghiệm phân biệt b Hệ thức cần tìm  x1  x2    x1 x2   2 Bài 18: Cho parabol  P  có phương trình:  P  : y  x Gọi A B điểm thuộc  P  có hồnh độ x A  1; xB  Lập phương trình dường thẳng A B HD: Gọi phương trình đường thẳng  AB  : y  ax  b Phương trình hồnh độ giao điểm  AB   P  là: x  ax  b  x  ax  b  * Ta có: x A  1; xB  nghiệm phương trình (*) nên theo định lý  x A  xB  a Viet:    x A xB  b a    AB  : y  x   b   60 x2 Bài 19: Cho  P  : y  Điểm A thuộc  P có hồnh độ x A  lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với  P  A ĐS: Phương trình tiếp tuyến d : y  x  Bài 20: Cho phương trình x  2mx  m   i Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ii Gọi x1 , x2 hai nghiệm nó, tìm GTLN biểu thức: A  x1 x2  x1  x2  ĐS: a 2  m  b GTLN A 25 m  Bài 21: Tìm m để hệ có nghiệm nhất:  x y  xy  2(m  1)  xy  x  y  2( m  2)  ĐS: m  ( x  x  1)( y  y  1)  Bài 22: Giải hệ phương trình :  (1  x)(1  y )  HD: Đặt u  x  y; v  xy Nghiệm hệ  x, y    1; 2  ,  2; 1  xy  yz  zx  Bài 23: Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình:  x  y  z   ĐS: nghiệm hệ  x, y, z   1;2;2  ,  2;2;1 ,  2;1;2  Bài 24: Cho phương trình ax  bx  c  với a  có hai nghiệm x1 , x2 thuộc  2;  Chứng minh :  c   4a  b       4a  2b  c  a   61 Bài 25: Cho phương trình x  2(m  1) x  (2m  5)  tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 biểu thức B  12  10 x1 x2   x22  x12  đạt giá trị lớn ĐS: Phương trình có hai nghiệm phân biệt với m Giá trị lớn B 60 m  Bài 26: Cho hàm số : y x  (m  2) x  3m  x2 2  ymin  Tìm m để hàm số có cực trị ymax ĐS: Hàm số có cực trị m  2 2  ymin  Để ymax 47 m  2 Bài 27: Cho hàm số  x  3x  m y x4 Đ CT Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu yC  y  ĐS: Hàm số có cực đại, cực tiểu m  Đ CT Để yC  y  m  Bài 28: Cho phương trình: mx   m   x   1 với m tham số a Chứng minh (1) có nghiệm với m b Giả sử (1) có nghiệm a b (m  2) Chứng minh rằng:  ma  1   mb  1  2 HD: b Đặt: X  am  1; Y  bm  62  X  Y  ma  b  m  Chứng minh :  X  Y    X  Y  với X, Y   ma  1   mb  1  2 (m  2) 2 x  mx  Bài 29: Cho hàm số  C m  y  Tìm m để  Cm  cắt trục hoành xm hai điểm phân biệt A B cho tiếp tuyến tương ứng A B vng góc HD : Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến A B Yêu cầu toán  k1.k2  1  m  2 10  x2  x  Bài 30: Cho hàm số y  Chứng minh với m đường x 1 thẳng y  m ln cắt đồ thị hai điểm phân biệt A;B Tìm m để đoạn AB ngắn HD: Đoạn AB ngắn m  1 Bài 31: Chứng minh đường cong y  x2  2x đường thẳng x 1 y   x  cắt hai điểm phân biệt A,B đối xứng qua đường thẳng y  x HD : chứng minh trung điểm đoạn AB nằm đường thẳng y  x x  mx  Bài 32: Cho hàm số y  Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường x 1 thẳng y  m hai điểm A, B cho OA vng góc với OB, với O gốc tọa độ ĐS: m  1  63 Bài 33: Cho hàm số y  x  mx  m3 với m tham số Tìm m để 2 đường thẳng y  x cắt đồ thị ba điểm phân biệt A,B,C cho AB=BC ĐS: m  0; m   Bài 34: Cho hàm số  C : y  x  x  x  Chứng minh với m, đường thẳng d : y  mx  m  cắt đồ thị điểm I cố định Xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt I,M,N Trong trường hợp tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng MN ĐS: m  Quỹ tích trung điểm đoạn thẳng MN điểm I cố định x  y  z   Bài 35: Giải hệ phương trình  x  y  z  10  x  y  z  350    ĐS : Nghiệm hệ 2;1  2;1  hốn vị x  y  z   Bài 36: Giải hệ phương trình  x  y  z  18   x y  z 4 ĐS: nghiệm hệ 1;1;4  hoán vị Bài 37: Tính tổng S  x  y  z theo a,b,c biết rằng:  x  y  z  a  2 2 x  y  z  b 1 1      x y z c ĐS: S  a  (a  b )(c  a ) 64 Bài 38: Giải hệ phương trình :  x  y  z    xy  yz  zx  27 1 1    1  x y z ĐS: nghiệm hệ 1;1;1  x  y  z  a( x  y)  a x  a3  Bài 39: Giải hệ phương trình sau:  x  y  z  b( x  y )  b x  b3 (I)  x  y  z  c( x  y )  c x  c3  HD: Đặt m  x  y  z; n  x  y; p  x Theo định lý Viet ta có a, b, c nghiệm hệ phương trình : t  pt  nt  m  a  b  c  p  x x  a  b  c   Suy ab  bc  ca   n   x  y   y  ab  bc  ca  a  b  c abc  m  x  y  z  z  ab  bc  ca  abc   Đây nghiệm hệ phương trình cho Bài 40: Chứng minh : cos  12 cos 9 9 17  17   cos cos  cos cos  12 12 12 12 12 HD: Áp dụng công thức cos3 x  4cos x  3cos x Bài 41: Cho b  giả sử phương trình : x  ax  x  b  có nghiệm x1 , x2 , x3 Chứng minh rằng: ( x1  1 1 1 )( x2  )  ( x2  )( x3  )  ( x3  )( x1  )  x1 x2 x2 x3 x3 x1 65 Bài 42: Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm dương phương trình: ax  bx  cx  d  0, với a  b 3c Chứng minh : x  x  x   81a 7 Bài 43: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng:  a  b  c  d  abc  abd  acd  bcd    ab  bc  cd  ad  bd  ac  Bài 44: Giả sử phương trình : P  x   a0 x n  a1 x n 1    an 1 x  an  với a0  có n nghiệm dương Chứng minh :  a n 1     na0  n  a    a n    n 1 Bài 45: Cho đa thức: P  x   x n  a1 x n 1    an 1 x  đa thức với hệ số khơng âm phương trình P  x   có n nghiệm thực Chứng minh rằng: P    3n 66 KẾT LUẬN Khóa luận hệ thống hóa kiến thức đa thức trường số, tính chất nghiệm đa thức, định lý Viet cho tam thức bậc hai cho đa thức tổng quát, giúp người học có sở để hiểu, vận dụng định lý Viet vào tập Khóa luận phân loại số dạng tập ứng dụng định lý Viet Trong dạng tập mà khóa luận đề cập đến: - Với dạng đưa hướng giải chung có ví dụ cụ thể, từ đơn giản đến phức tạp - Đi sâu phân tích nội dung tốn, đề xuất toán tương tự, khái quát lên toán tổng quát, đề hướng xây dựng toán - Ngồi việc áp dụng định lý Viet cịn sử dụng số bất đẳng thức để giải toán xây dựng toán tương tự, cụ thể với dạng ứng dụng định lý Viet vào chứng minh bất đẳng thức Khóa luận đưa hệ thống tập có hướng dẫn, đáp số để người học tự luyện tập hình thành kĩ vận dụng linh hoạt định lý Viet giải toán đa thức, đa thức đối xứng mở rộng dạng tập khác Hy vọng với nội dung trình bày khóa luận, khóa luận tài liệu hữu ích cho bạn học sinh, sinh viên, giúp cho việc học tập, nghiên cứu đa thức, đặc biệt nghiên cứu ứng dụng định lý Viet trở nên đơn giản 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, Nhà xuất giáo dục [2] Phan Huy Khải (2009), Trọng tâm kiến thức tập giải tích 12, Nhà xuất giáo dục [3] Phan Huy Khải (2009), Các chuyên đề tốn trung học phổ thơng: Hàm số, Nhà xuất giáo dục [4] Đoàn Quỳnh (chủ biên) (2009), Đại số 10, Nhà xuất giáo dục [5] Đoàn Quỳnh (chủ biên) (2009), Đại số giải tích 11, Nhà xuất giáo dục [6] Đoàn Quỳnh (chủ biên) (2009), Giải tích 12, Nhà xuất giáo dục [7] Hồng Xuân Sính (2007), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục 68