MỘT số ĐỊNH lý về nhóm hữu hạn

1 LỜI NÓI ĐẦU Trong học phần "Đại số đại cương" năm thứ học số kiến thức Lý thuyết nhóm Các kiến thức gợi cho hứng thú tìm hiểu thêm tốn học cao cấp, toán học mở rộng thêm kiến thức học hỏi thêm phương pháp tư Trong khố luận chúng tơi hệ thống hóa lại số kiến thức nhóm tiếp thu qua giảng chương trình đào tạo bậc đại học, tìm hiểu thêm số kiến thức Lý thuyết nhóm trình bày sách chun khảo ngồi nước Các chủ đề nhóm tìm hiểu chủ yếu xoay quanh nhóm hữu hạn Khoá luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức sở nhóm Trong chương chúng tơi hệ thống hóa số kiến thức sở nhóm Việc hệ thống hóa vừa làm cho nội dung khóa luận có hệ thống, vừa cần thiết cho trình bày nội dung chương sau Chương 2: Nhóm hữu hạn Trong chương chúng tơi trình bày số định lý nhóm hữu hạn có liên quan đến vấn đề p - nhóm, nhóm p - Sylow nhóm Do có hạn chế lực toán học ngoại ngữ nên việc tìm hiểu kiến thức đề tài thuộc lĩnh vực toán học đại lý thuyết nhóm hữu hạn chúng tơi phải vượt qua nhiều khó khăn Dù chúng tơi có nhiều cố gắng chắn khóa luận cịn có khiếm khuyết Dẫu vậy, việc hồn thành khóa luận mang lại cho chúng tơi kiến thức bổ ích hứng thú việc tìm hiểu kiến thức toán học làm giàu thêm vốn kiến thức Để hồn thành khố luận này, nhận hướng dẫn nhiệt tình TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp cho phép tơi bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực Chúng tơi xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số bạn sinh viên giúp đỡ hồn thành khố luận CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ NHÓM 1.1 KHÁI NIỆM VỀ NHĨM 1.1.1 Định nghĩa Nhóm tập hợp khác rỗng phần tử G phép toán hai ngơi xác định G, kí hiệu gọi phép nhân, thoả mãn tiên đề sau: (1) Phép tốn có tính chất kết hợp, nghĩa là: (a.b).c  a.(b.c); a,b,c �G (2) G có phần tử đơn vị, tức  e  G cho ae = e.a = a; a  G (3) Với phần tử a  G tồn G phần tử a’ cho a.a’ = a’.a = e Ta thường dùng kí hiệu (G, ) để G nhóm phép tốn nhân (.) Nếu phép tốn nhóm G thoả mãn điều kiện a.b = b.a, a,b G nhóm G gọi nhóm Abel (hay nhóm giao hốn) 1.1.2 Ví dụ a) Tập hợp tất số nguyên Z, tập hợp tất số hữu tỷ Q, tập hợp tất số thực R, tập hợp tất số phức C với phép toán cộng lập thành nhóm Abel Các nhóm kí hiệu (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) b) Tập hợp tất số hữu tỉ khác 0, tập hợp tất số thực khác 0, tập hợp tất số phức khác 0, tập hợp tất số hữu tỉ dương, tập hợp tất số thực dương, tập hợp tất số phức có mơđun 1, tập hợp tất giá trị phức bậc n với phép tốn nhân lập thành nhóm giao hốn Các nhóm kí hiệu (Q *, ), (R*, ), (C*, ), (Q+, ), (R+, ), (C1, ), (C1,n, ) c) Tập hợp tất vectơ khơng gian với phép tốn cộng vectơ nhóm giao hốn với đơn vị (phần tử trung hịa) vectơ khơng d) Tập hợp ma trận vng khơng suy biến có thành phần thuộc trường k cho trước với phép toán nhân ma trận lập thành nhóm Nhóm thường gọi nhóm tuyến tính tổng qt trường k kí hiệu GL(n, k) Nhóm khơng giao hoán e) Tập hợp Sn gồm tất phép bậc n, tức song ánh từ {1 2, , n} lên với phép tốn tích ánh xạ làm thành nhóm Nhóm khơng giao hốn 1.1.3 Tính chất Từ định nghĩa nhóm G ta có số tính chất sau: i) Phần tử đơn vị G ii) Mỗi phần tử x  G có phần tử nghịch đảo iii) Trong G thực luật giản ước bên phải bên trái, nghĩa x, y, z  G: xy = xz ( yx = zx)  y = z iv) Trong nhóm phương trình xa = b (ax = b) có nghiệm x = ba-1 (x = a-1b) v) Trong nhóm G, x, y G  (xy)-1 = y-1x-1 Tổng quát: Cho x1, x2, , xn phần tử nhóm G Khi đó: (x 1.x2… xn)-1 = x n1.x n11 x 21.x11 với nN* Thực điều kiện (2) (3) định nghĩa nhóm cịn làm cho đơn giản Hai tính chất sau cho thấy điều đó: vi) Nếu G tập hợp có phép tốn thỏa mãn tính chất kết hợp G nhóm G tồn phần tử đơn vị trái e phần tử xG, tồn x’G cho x’x = e vii) Nếu G tập hợp có phép tốn thỏa mãn tính chất kết hợp G nhóm với a, bG phương trình ax = b ya = b có nghiệm G Trong tính chất vi) ta thay cụm từ phần tử đơn vị trái e phần tử đơn vị phải e điều kiện x’x = e điều kiện xx’ = e Điều kiện phương trình có nghiệm vii) thay điều kiện aG = G Ga = G, với aG Các tính chất i) – v) suy trực tiếp từ định nghĩa Chứng minh tính chất vi) vii) trình bày tài liệu tham khảo liệt kê cuối khóa luận thường gọi định nghĩa tương đương nhóm 1.1.4 Định lý Cho G nhóm với phần tử đơn vị kí hiệu e g G Nếu gr = gk với hai số nguyên dương r k khác Khi tồn số nguyên dương t cho gt = e Nếu kí hiệu m số nguyên dương nhỏ cho g m = e (1) i,jN (0 < i < j < m) (gi  gj) (2) gt = e m ước t (3) { gn: n số nguyên dương} = {e, g, …, gm-1} Chứng minh Giả sử r > k từ g r = gk cách nhân hai vế đẳng thức với phần tử (gk)-1 = g-k = (g-1)k ta có: gr-k = e Vì vậy, có số nguyên dương t cho gt = e Ta chọn số nguyên dương m nhỏ cho gm = e Bây giờ,  i < j < m gi = gj j – i < m g j-i = e Điều trái với lựa chọn m Vì (1) chứng minh Với t bội số m, tức t = mk, với số nguyên k đó, ta có gt = gmk = (gm)k = ek = e Ngược lại, giả sử gt = e ta chứng minh t bội số m Từ Tính chất 1.1.3(iv) viết t = mg + v (0  v < m) Khi đó, e = gt = gmq + v = gmq gv = (gm)q.gv = e.gv = gv Từ lựa chọn m khơng thể có < v < m Do v =  m ước số t (2) chứng minh Bây ta xét gn, chứng minh trên, ta có n = mq + w,  w < m gn = gw Điều chứng tỏ có (3) 1.1.5 Cấp phần tử nhóm Giả sử G nhóm với đơn vị e, a G am  e với m > ta nói a có cấp vơ hạn Nếu ngược lại, số nguyên dương nhỏ m, cho am = e gọi cấp a 1.2 NHÓM CON Chúng ta bắt đầu phần từ việc nhắc lại định nghĩa tiêu chuẩn nhận biết nhóm 1.2.1 Định nghĩa Một tập S khác rỗng nhóm (G, ) gọi nhóm G S khép kín phép tốn (S, ) nhóm 1.2.2 Mệnh đề Tập S  , S  G, (S, ) nhóm (G, ) ab �S ; a,b �S � �1 a �S ; a �S � Chứng minh Điều kiện cần: (S, ) nhóm (G, ) nên theo định nghĩa (S, ) nhóm Do ta có: a, b  S a.b  S  a S a-1  S Điều kiện đủ: Vì S   nên tồn x S Khi x-1 S x.x-1S, tức phần tử đơn vị e G thuộc S Vì S  G nên tính chất kết hợp phép tốn có G có tập hợp S Do với phần tử aS ta có phần tử a-1S nên phần tử S có nghịch đảo thuộc S Vậy S làm thành nhóm phép tốn G, tức S nhóm G 1.2.3 Mệnh đề Giả sử G nhóm S tập hợp khác rỗng G (S,.) lập thành nhãm cđa G vµ chØ khi: a, b  S: ab-1  S Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Do S khác rỗng nên tồn phần tử a nhóm G mà aS Từ điều kiện mệnh đề, ta có: e = aa-1  S x  S, x-1 = e x-1  S  x-1  S x, y  S, ta có y-1  S (vì y  S) Từ đó, xy = x(y-1)-1  S Vậy theo Mệnh đề 1.2.2 ta có S nhóm G Mệnh đề sau ứng dụng tiêu chuẩn nhận biết nhóm 1.2.4 Mệnh đề Nếu A B nhóm G A  B nhóm G Chứng minh Rõ ràng e A  B nên A  B   Với x, y  A  B �x �A �x �B � � �y �A �y �B 1 � �xy �A � xy 1 �A �B Do đó: � 1 �xy �B Vì thế, A  B nhóm Mệnh đề 2.1.4 khẳng định giao nhóm nhóm G nhóm Lập luận chứng minh Mệnh đề 1.2.4 cịn cho trường hợp có số hữu hạn n nhóm nhóm Để tiếp tục mở rộng kết cho số tùy ý nhóm (có thể vơ hạn), trước hết nhắc lại khái niệm họ phần tử tập hợp Khi phần tử nhóm nhóm ta có họ nhóm Giả sử X tập hợp khác rỗng, I tập hợp Ta gọi ánh xạ từ tập hợp I vào tập hợp X họ phần tử X số hóa tập hợp I Vì ánh xạ từ I vào X hoàn toàn xác định biết ảnh tất phần tử I, coi họ phần tử X số hóa tập hợp I danh sách ảnh phần tử I qua ánh xạ từ I vào X Khi ánh xạ từ I vào X đơn ánh danh sách gồm phần tử phân biệt Trong trường hợp ánh xạ khơng phải đơn ánh danh sách có phần tử trùng (tức có phần tử liệt kê nhiều lần) Đây dấu hiệu để phân biệt họ phần tử với tập hợp phần tử tập hợp Người ta thường kí hiệu họ phần tử X số hóa tập hợp I F = {xi, iI} {xi}iI Khi I tập hợp rỗng ta có họ rỗng Ta khái quát Mệnh đề 1.2.4 cho trường hợp giao họ khác rỗng nhóm nhóm 1.2.5 Định lý Giao h khác rỗng bt k nhng nhúm ca mt nhóm G nhóm G Chứng minh Xét họ (Aa)a  I nhóm G gọi A giao chúng Trước hết ta có A   phần tử trung lập e G thuộc A a với aI, e  A Bây ta lấy hai phần tử x, y  A.Vì x, y  A nên x, y  Aa với a I.Vì Aa nhóm nên xy -1  Aa với a  I Do xy-1  A Vậy A nhóm G Định lý 1.2.5 sở để định nghĩa khái niệm nhóm sinh tập hợp cho trước nhóm Giả sử G nhóm S tập hợp G Khi họ gồm nhóm G chứa tập hợp S họ khác rỗng (vì G nhóm G thuộc họ đó) Theo Định lý 1.2.5 đây, giao họ nhóm G nhóm G Vì nhóm họ chứa tập hợp S nên rõ ràng giao chúng chứa tập hợp S Vì giao họ nhóm G chứa S nhóm G chứa tập hợp S nhóm bé theo quan hệ bao hàm có tính chất Ta gọi nhóm nhóm G sinh tập hợp S kí hiệu Vậy ta có định nghĩa sau: 1.2.6 Định nghĩa Cho S tập hợp nhóm G Ta gọi giao tất nhóm G chứa tập hợp S nhóm G sinh tập hợp S kí hiệu Trường hợp S gồm phần tử a nhóm sinh {a} kí hiệu đơn giản gọi nhóm cyclic sinh phần tử a Từ định nghĩa ta nhận thấy nhóm bé G chứa tập hợp S Nếu kí hiệu phần tử đơn vị G e = {e}, = {e} Với a phần tử G ta có = {a n | nZ} Một cách khái quát, ta có mệnh đề sau: 1.2.7 Mệnh đề Cho G nhóm, S tập hợp khác rỗng G Khi ={a1r(1).a2r(2) anr(n)|aiS, r(i) = -1, nN*, i = 1, 2, ., n} Chứng minh Ta chứng minh tập hợp A mô tả {a 1r(1).a2r(2) anr(n)|aiS, r(i) = -1, nN*, i = 1, 2, ., n} vế phải làm thành nhóm G, nhóm chứa tập hợp S nhóm bé chứa S nhóm G Thật vậy, S khác rỗng nên tồn phần tử s (của nhóm G) thuộc S Khi s.s -1 thuộc A, eA Lấy phần tử xA Khi x tích số hữu hạn phần tử mô tả Ta có x -1 tích phần tử có dạng với thứ tự số đảo ngược lại số mũ đổi dấu Với phần tử x, yA ta có x, y tích hữu hạn phần tử mô tả Do tích xy tích hữu hạn mơ tả đó, nên xyA Vậy A làm thành nhóm G Hiển nhiên A chứa phần tử thuộc S, A chứa S Nếu có nhóm B G chứa S B chứa tất phần tử sS s-1 với sS Do B chứa tất phần tử A Đối với nhóm G giao hốn ta có ab = ba, tức aba -1b-1 = e, với a, b thuộc G Trong trường hợp nhóm G khơng giao hốn tồn cặp phần tử a, b thuộc G cho aba -1b-1  e Ta tìm hiểu nhóm G sinh tập hợp tất phần tử dạng aba-1b-1 1.2.8 Định nghĩa Cho G nhóm, a va b phần tử thuộc G Ta gọi tích aba-1b-1 hoán tử hai phần tử a, b kí hiệu [a, b] Nhóm G sinh tập hợp tất hoán tử G gọi nhóm hốn tử G kí hiệu G’ G’ cịn gọi đạo nhóm G Trong nhóm nhóm G, nhóm chuẩn tắc có vai trị quan trọng việc mơ tả cấu trúc nhóm ứng dụng vào nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác Sau chúng tơi hệ thống hóa vài kiến thức liên quan đến nhóm chuẩn tắc 1.2.9 Định nghĩa Cho G nhóm A nhóm G A gọi nhóm chuẩn tắc G với phần tử a thuộc A, phần tử g thuộc G ln có g-1ag phần tử thuộc A Trong thực tế cho G nhóm A nhóm G với phần tử x thuộc G, tập hợp xA = {xa | a A} tập hợp Ax = {ax | a A} không thiết Đối với nhóm chuẩn tắc ta có mệnh đề 1.2.10 Mệnh đề Nhóm A nhóm G nhóm chuẩn tắc xA = Ax, với x G Chứng minh Giả sử A nhóm chuẩn tắc G x phần tử thuộc G Ta chứng minh xA = Ax Ta chứng minh xA  Ax, phần lại chứng minh tương tự Thật vậy, lấy phần tử a thuộc A Khi xa phần tử thuộc xA Ta lại có xa = xax-1x = a’x, với a’ = xax-1 Do A nhóm chuẩn tắc nên a’ thuộc A Điều kéo theo a’x Ax, xA Ax Ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử có xA = Ax, với x thuộc G Khi với phần tử a thuộc A, phần tử x thuộc G ta có axAx = xA nên tồn a’A cho ax = xa’ Do x -1ax = x-1xa’ = a’A Vậy A nhóm chuẩn tắc G 1.2.11 Mệnh đề Cho G nhóm A nhóm G Khi tập hợp {xA| x�G} tạo thành chia lớp G Tập hợp {Ax| xG} tạo thành chia lớp G Khi A nhóm chuẩn tắc hai chia lớp G trùng Để chứng minh khẳng định thứ khẳng định thứ hai Mệnh đề ta cần chứng minh tập hợp mô tả trùng rời hợp chúng G Khẳng định cuối hiển nhiên có Ax = xA, với x thuộc G Nếu A nhóm chuẩn tắc G chia lớp nói mệnh đề 1.2.11 kí hiệu G/A = {xA| xG} gọi tập hợp thương G 10 nhóm chuẩn tắc A Ta đưa phép toán vào tập hợp G/A cho G/A với phép toán làm thành nhóm 1.2.12 Mệnh đề Cho A nhóm chuẩn tắc nhóm G G/A tập hợp thương nhóm G nhóm chuẩn tắc A Khi quy tắc cho cặp phần tử (xA, yA) ứng với xyA xác định phép toán G/A G/A với phép toán làm thành nhóm Nhóm G/A Mệnh đề 1.2.12 gọi nhóm thương nhóm G nhóm chuẩn tắc A 1.2.13 Mệnh đề Với nhóm G ta ln có nhóm thương G/G’ nhóm giao hốn nhóm thương G/A, với A nhóm chuẩn tắc G giao hốn A chứa G’ Chứng minh Do [a, b] = aba-1b-1 nên ([a, b])-1 = (aba-1b-1)-1 = bab-1a-1= [b, a] hốn tử Kí hiệu S tập hợp tất hốn tử nhóm G Khi G’ tập hợp tất tích hữu hạn hoán tử Giả sử sS xG phần tử Khi x-1sx = x-1sxs-1s = (x-1sxs-1)s = [x-1, s]s tích số hữu hạn hốn tử Do x-1sxG’ Vậy G’ nhóm chuẩn tắc G Ta chứng minh G/G’ nhóm giao hốn Thật vậy, giả sử xG’ yG’G/G’ Khi ta có xyx-1y-1=[x, y]G’ Vì x-1y-1 = (yx)-1 nên ta có (xy)(yx)1G’ Do xyG’ = yxG’ xG’yG’ = yG’xG’, tức G/G’ nhóm giao hốn Cuối cùng, giả sử A nhóm chuẩn tắc G cho G/A nhóm giáo hoán, ta chứng minh A chứa G’ Ta cần chứng minh A chứa tất hoán tử G Giả sử x, yG phần tử Do G/A giao hốn nên xAyA = yAxA, tức xyA = yxA Điều kéo theo (xy)(yx) -1A, tức xyx-1yA Vậy [x, y]A Vậy A chứa hoán tử G nên A chứa G’ 1.3 ĐỒNG CẤU NHÓM 1.3.1 Định nghĩa Cho A B nhóm f: AB ánh xạ f gọi đồng cấu nhóm f(ab) = f(a)f(b), với a, b thuộc A 17 CHƯƠNG NHĨM HỮU HẠN Nhóm hữu hạn nhóm có số phần tử hữu hạn Số gọi cấp nhóm Trong lí thuyết trường, lí thuyết số, thực hành máy tính lí thuyết nhóm hữu hạn ứng dụng nhiều Vì chương chúng tơi tìm hiểu trình bày lại số vấn nhóm hữu hạn Như thông lệ, số phần tử tập hợp A kí hiệu | A |, cấp nhóm G kí hiệu | G | 2.1 NHÓM CON CỦA NHÓM HỮU HẠN Hiển nhiên nhóm nhóm hữu hạn nhóm hữu hạn Trong chương chúng tơi nhắc đến lớp ghép bên phải bên trái phần tử nhóm nhóm Đối với nhóm hữu hạn số lớp ghép hữu hạn Bổ đề sau cho mối liên hệ phần tử lớp ghép, số lớp ghép cấp nhóm hữu hạn G 2.1.1.Định nghĩa Giả sử H nhóm nhóm hữu hạn G, với x  G tập hợp Hx   ax | a �H xH   xa | a �H gọi tương ứng lớp kề phải (lớp ghép phải) lớp kề trái (lớp ghép trái) H x Vì He = H nên H lớp ghép phải 2.1.2 Bổ đề Giả sử G nhóm, H nhóm cấp m G Với x  G, lớp ghép trái xH gồm m phần tử Chứng minh Xét ánh xạ f: H  xH xác định f(a) = xa, a H Khi đó, y xH, a = x-1y  H cho: f(a) = xa = x(x-1y) = (xx-1)y = ey = y  f toàn ánh Giả sử f(a1) = f(a2), a1, a2  H  xa1 = xa2 18  a1 = a2 (vì G nhóm nên có luật giản ước)  f đơn ánh Do đó, f song ánh Suy H  xH mà H gồm m phần tử nên xH gồm m phần tử 2.1.3 Định lý (Định lý Lagrange) Cấp nhóm hữu hạn bội số cấp nhóm cuả Chứng minh Giả sử G nhóm hữu hạn cấp n H nhóm G Khi cấp H hữu hạn, giả sử m Ta chứng minh n chia hết cho m Thật vậy, ta phân hoạch G thành lớp ghép trái (hoặc lớp phải) Giả sử có k lớp ghép Vì số phần tử lớp m (cấp H) nên số phần tử G mk Theo giả thiết G gồm n phần tử nên n = mk Điều chứng tỏ G = |H|.[G: H], hay |G| bội H Chú ý Định lý Lagrange H nhóm G Trong trường hợp H nhóm chuẩn tắc, ta xây dựng nhóm thương cấp nhóm thương số lớp ghép trái G theo H Nói cách khác, |G/H| = [G: H] Từ ta có hệ 2.1.4 Hệ Cho G nhóm hữu hạn H nhóm chuẩn tắc G Khi cấp G bội số cấp nhóm thương G/H Từ Định lý 2.1.4 ta tổng quát hóa sau: 2.1.5 Định lý Giả sử T nhóm S S nhóm G, G nhóm hữu hạn Khi đó: [G:T] = [G: S].[S: T] Chứng minh Giả sử x1S, …, xmS (tương ứng y1T, …ynT tập đại diện lớp kề trái S G (tương ứng T S) Khi đó, m   G : S ; n   S : T  G, S phân tích thành hợp rời rạc G  x1S �x 2S � �x mS S  y1T �y 2T � �y n T Theo luật giản ước ta có: 19 x iS  x i y1T � �x i y n T m �G U i 1  n Ux y T i j j1  Vậy x i y j , i  1,m; j  1,n tập đại diện lớp kề trái T G  [G: T] = m.n = [G: S].[S: T] Định lý chứng minh Ta biết phần tử nhóm G cho trước sinh nhóm cyclic Trong trường hợp G nhóm hữu hạn nhóm cyclic hữu hạn cấp nhóm cyclic sinh phần tử a sử dụng để định nghĩa cấp a Vì vậy, từ định lí Lagrange, ta có hệ 2.1.6 Hệ Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp cuả G Một trường hợp đặc biệt nhóm hữu hạn nhóm có cấp nguyên tố p Lúc p có ước số p Vì Hệ 2.1.6 cho thấy phần tử G có cấp là p Phần tử cấp hiển nhiên phần tử đơn vị e G Những phần tử khác e có cấp p Như phần tử khác đơn vị e sinh nhóm cyclic cấp p nhóm G Vì G có p phần tử nên nhóm cyclic sinh phần tử khác e phải nhóm G Như G nhóm cyclic Từ ta có hệ sau 2.1.7 Hệ Mọi nhóm hữu hạn cấp nguyên tố nhóm cyclic ta chọn phần tử khác đơn vị e G làm phần tử sinh nhóm G Từ Hệ 2.1.7 ta khảo sát tính giao hốn số nhóm hữu hạn đơn giản Trước hết ta chứng minh bổ đề nhóm có phần tử cấp Bổ đề vượt ngồi khn khổ nhóm hữu hạn sử dụng lập luận chứng minh mệnh đề sau nên chúng tơi chứng minh chi tiết bổ đề 2.1.8 Bổ đề Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e cho phần tử x thuộc G thỏa mãn điều kiện x2 = e Khi G nhóm giao hốn Chứng minh Giả sử a b phần tử G Ta chứng minh ab = ba Thật vậy, từ điều kiện x2 = e, với xG, ta có x-1 = x, với xG Do ta 20 có (ab)-1 = ab; a-1 = a; b-1 = b Mặt khác (ab)-1 = b-1a-1 Sử dụng đẳng thức ta có ab = ba 2.1.9 Mệnh đề Mọi nhóm có cấp bé nhóm giao hốn Chứng minh Nếu nhóm G có cấp G nhóm có phần tử phần tử đơn vị nên G rõ ràng giao hốn Nếu G có cấp 2, 3, cấp G số nguyên tố nên G nhóm cyclic Do G giao hốn Ta cịn phải xét trường hợp G nhóm có cấp Khi cấp phần tử G 1, 2, 4, số có ước số 1, hay mà Nếu G có phần tử cấp G nhóm cyclic nên nhóm giao hốn Nếu khơng có phần tử G có cấp G có phần tử e cấp phần tử cịn lại có cấp Những nhóm nhóm giao hốn theo Bổ đề 2.1.8 Mọi nhóm có cấp nhóm giao hốn nhóm cyclic (cấp ngun tố) Trong trường hợp tổng quát, nhóm cấp có giao hốn hay khơng? Sử dụng nhóm phép S ta có câu trả lời: S3 nhóm cấp khơng giao hốn, nhóm cấp giao hốn (như nhóm cyclic cấp 6) mà khơng giao hốn (như nhóm S3) Chúng nhắc lại ta định nghĩa phép bậc n song ánh từ tập hợp {1, 2, …, n} vào Tập hợp tất phép bậc n kí hiệu Sn Khi nhóm Sn làm thành nhóm phép tốn tích (hợp thành) ánh xạ Nhóm Sn cịn gọi nhóm đối xứng cấp n Một cách tổng quát ta gọi song ánh từ tập X lên X phép X Trong trường hợp tập hợp tất phép X kí hiệu S(X) hay P(X) P(X) xét với phép tốn tích ánh xạ làm thành nhóm Khi tập hợp X có n phần tử ta gọi P(X) nhóm phép bậc n Trong kí hiệu S n ta lấy X = {1, 2, …, n} Tuy nhiên việc thay đổi X tập hợp khác có n phần tử lập luận chứng minh khơng có thay đổi đáng kể (chỉ chuyển dịch ngôn ngữ cho thích hợp) Định lí sau cho thấy vai trị nhóm phép tập hợp 21 2.1.10 Định lý (Định lý Keli) Mọi nhóm hữu hạn cấp n đẳng cấu với nhóm nhóm đối xứng Sn Chứng minh Giả sử G  {x1 , , x n } nhóm hữu hạn cấp n; P(G) nhóm song ánh từ G lên G Với a  G, ta có ánh xạ a: G  G cho a(x) = ax, x �G song ánh Thật vậy, x, y  G có a (x)  a (y)  ax = ay  x = y (sử dụng luật giản ước G) Vậy a đơn ánh Với g  G,  x = a-1g  G thỏa mãn a (x)  a x  a(a 1g)  (a a 1 )g  eg  g   toàn ánh Vậy  a song ánh Điều chứng tỏ a phép tập hợp G, tức a P(G) Ta chứng minh ánh xạ : G  P(G) cho aa đồng cấu nhóm Thật vậy, ta có a.b) = ab Với x thuộc G ta có ab(x) = (ab)x = a(bx) = a(bx) = a(b(x)) = (a b) (x) Điều chứng tỏ ab = a b , a, b  G Do đó, (a.b) = (a) (b); a, b  G Vậy  đồng cấu nhóm từ G vào P(G) Mặt khác, a, b  G mà (a) = (b)  a = b  a(e) = b(e) (e đơn vị nhóm G)  ae = be  a = b Điều chứng tỏ  đơn ánh Vậy  đơn cấu nhóm từ G vào P(G) Vậy G   G) , (G) nhóm nhóm phép bậc n, tức G đẳng cấu với nhóm nhóm phép bậc n 2.1.11 Định lý Cho A B nhóm hữu hạn nhóm G Khi AB  A.B , AB tích nhóm A B cho A �B bởi: AB = {ab| aA, bB} Chứng minh Các tích xy hình thành với x  A y  B Tất nhiên ta có A B , rắc rối có số trùng lặp ab = a 1b1 với 22 a, b, a1, b1 khác Điều cho thấy xét tích đề A  B xét quan hệ ~ sau: (a, b) ~ (c, d) ab = cd Quan hệ (∼) quan hệ tương đương Dễ dàng thấy A.B số lớp tương đương riêng biệt lớp tương đương tương ứng với phần tử AB Để chứng minh định lý điều kiện đủ cho thấy lớp tương đương có A �B phần tử Trong thực tế, chứng minh E bao gồm lớp tương đương mà (a, b) thuộc Khi đó:   E  (ax 1, xb) : x �A �B Rõ ràng x  A  B ax-1  A xb  B cho: (ax 1, xb)  A B (a,b) : (ax 1 , xb) Ngược lại, (a, b) ∼ (a1, b1) ab = a1b1 Đặt x  a11a  b1b 1 �A �B Như a1 = ax-1 b1 = xb khẳng định thoả mãn Cuối cùng, (ax-1, xb) = (ay-1, yb) x = y Vậy E có số phần tử A �B định lý chứng minh Trong phần sau chúng tơi trình bày số kiến thức nhóm hữu hạn có liên quan đến P-nhóm nhóm hữu hạn định lý Sylow 2.2 p – NHÓM VÀ NHÓM CON p- SYLOW 2.2.1 Định nghĩa Cho p số nguyên tố Nhóm G gọi p - nhóm cấp phần tử G hữu hạn luỹ thừa p Chúng ta nhận thấy G nhóm hữu hạn cấp G lũy thừa số nguyên tố p cấp nhóm G cấp phần tử G lũy thừa số nguyên tố p Do trường hợp ta có G nhóm G p- nhóm Các ví dụ sau thuộc loại nhóm 2.2.2 Ví dụ Giả sử A3 nhóm phép chẵn bậc Khi cấp A3 23 Trong � � e� � � � A3  � � � f2  � � � � 3� 3� � � ; f   (1 3) � � � 3� � �2 � � � 3� �  (1 2) � � 1� Khi cấp e = 0, cấp f1 f2 = 31 Vậy phần tử A3 có cấp bội số số nguyên tố nên A3 3- nhóm (p = 3) Giả sử G nhóm sinh phần tử a b với quan hệ a = b2 = e ba = a-1b Khi đó: G = {e; a; a2; a3; b ; ba; ba2; ba3}  G có cấp 23 =8 Mọi phần tử nhóm G có cấp ước số Vì có ước số = 20, = 21, = 22 = 23 Vậy cấp phần tử G lũy thừa nên G 2- nhóm (p = 2) Mọi nhóm G thỏa mãn điều kiện x2 = e Bổ đề 2.1.8 2nhóm (p = 2) 2.2.3 Mệnh đề Nhóm con, nhóm thương p – nhóm p – nhóm Chứng minh i) Chứng minh nhóm p - nhóm p - nhóm Giả sử G p - nhóm cấp G p n với p số nguyên tố n số tự nhiên Giả sử H nhóm G Khi cấp H ước số p n Vì p số nguyên tố nên |H| = pm, với m số tự nhiên bé hay n Cấp phần tử a thuộc H ước số p m Lại p số nguyên tố nên p m có ước số lũy thừa p Do H p-nhóm Vậy, nhóm p nhóm p - nhóm ii) Ta chứng minh nhóm thương p - nhóm p - nhóm G Giả sử H nhóm chuẩn tắc p – nhóm G G/H nhóm thương G theo nhóm chuẩn tắc H Ta có cấp nhóm thương G/H số lớp ghép G theo nhóm H, tức |G/H| = [G: H] Sử dụng công thức |G| = |H|.[G: H], với ý |G| = p n |H| = pm (n  m), ta có [G: H] = pn-m Do |G/H| = pn-m Từ phần tử G/H có cấp ước số pn-m nên lũy thừa p Vậy G/H p-nhóm 24 Giả sử ta có họ nhóm F = {Gi}iI với phần tử đơn vị Gi kí hiệu ei Ta xây dựng tích Descartes G họ F đưa vào phép toán theo thành phần Khi G làm thành nhóm Nhóm G gọi tích trực tiếp họ F nhóm Đối với họ p-nhóm hữu hạn ta có mệnh đề sau: 2.2.4 Mệnh đề Tích trực tiếp họ hữu hạn p- nhóm p - nhóm   Chứng minh Giả sử G i | i  1,n họ hữu hạn p – nhóm G tích trực n   tiếp họ cho Ta có G  �G i  g  (g1 ,g , ,g n ) | g i �G i ,i 1,n i 1 Phép toán G xác định sau: với g = (g1, g2, …, gn) h = (h1, h2, , hn), tích gh = (g1h1, g2h2, , gnhn) Ta chứng minh G p – nhóm Thật vậy, rõ ràng G có cấp hữu hạn Ta chứng minh phần tử G có cấp lũy thừa p Giả sử g = (g 1, g2,…, gn) phần tử G Do gi phần tử p-nhóm Gi nên cấp phần tử gi lũy thừa p Giả sử p mi cấp gi , với i = 1, 2, , n Khi ta có p1 bội chung p mi g P  e  G Điều cho thấy cấp g ước số p1 Ước số lũy thừa p Vậy G p-nhóm 2.2.5 Định lý Giả sử G p - nhóm cấp hữu hạn với p số nguyên tố Khi tâm Z G chứa thực nhóm đơn vị {e} Chứng minh Theo đẳng thức phân tích nhóm G theo lớp phần tử liên hợp, ta có |G| = |Z| + aZ[G: Na] Do G p- nhóm nên p ước |G| p ước [G: Na], với aZ Do p ước |Z| Vì |Z| > Lại có phần tử đơn vị e G ln thuộc tâm Z nên Z chứa thực nhóm đơn vị {e} 2.2.6 Hệ Nếu G p - nhóm hữu hạn G chứa nhóm chuẩn tắc có cấp p Chứng minh: Thật ta có Z nhóm G Vì p ước |Z| nên Z chứa phần tử c cấp p Khi ta có nhóm cyclic C sinh phần tử c 25 gồm phần tử C = < c > = {1,c, …, cp-1} Đây nhóm G có cấp p Ta chứng minh C nhóm chuẩn tắc Thật vậy, với x  G ci C (ci thuộc Z), ta có xcix-1 = xx-1ci = ciC Như C nhóm chuẩn tắc G có cấp p 2.2.7.Định lý Nếu G p - nhóm hữu hạn có cấp p r có chuỗi nhóm con:  1  G �G1 � �G r  G cho Gi nhóm chuẩn tắc G  G i1 : G i   p Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp theo r Nếu r = G1 = G điều phải chứng minh rõ Theo Hệ 2.2.6 G có nhóm chuẩn tắc G1 cấp p Xét G  G / G1 đồng cấu tự nhiên : G �� �G  r 1 G Bây G  p G  G r  G / G1 theo giả thiết quy nạp có chuỗi:  1  G �G � �G r  G Sao cho: Gi chuẩn tắc G G i1 : G i � � � � p G2 G2 G1 {1}  G1 {1} Hình minh hoạ mối liên hệ Vì Gi nghịch ảnh G i , tức G i   g :g �G | (g) �G i }, ta có Gi nhóm chuẩn tắc G Do ta có G i 1 / G i  G i 1 / G i = p Do ta có  G i1 : G i   p 2.2.8 Định lý Cho G p- nhóm hữu hạn cho S nhóm thực G Khi NS chứa thực S Chứng minh: Chúng ta biết với nhóm S nhóm G ta ln có S �NS Ta chứng minh NS chứa thực S Bằng phương pháp quy nạp theo G Nếu G abel (đặc biệt |G| = p) nhóm chuẩn tắc G 26 Vì NS  G �S Ta thấy Z tâm G chứa NS, tập S G Do đó, Z S NS �S Bây giờ, ta giả sử Z �S (xem sơ đồ G  GG/Z N NS S S biểu thị mối quan hệ nhóm khác nhau) Giả sử  :G � G / Z  G đồng cấu tự nhiên Từ Z  ta có: G / Z  G tất {1} Z {1} nhiên G/Z p-nhóm Từ giả thiết quy nạp ta có NS S G chứa thực S Giả sử N nghịch ảnh NS  Từ NS �S , ta có N �S Để hoàn thành xong chứng minh, giả sử N �NS Lưu ý g �N s �S (gsg 1 )  (g)(s)(g 1 ) phải thuộc S , (g) �N s Do gsg 1 �S với g �N , gSg-1  S, gN Nói riêng, N nhóm con, g 1Sg �S S �gSg 1 Điều chứng tỏ g �N gSg 1  S N �N s 2.2.9 Hệ Mỗi nhóm số p p - nhóm hữu hạn nhóm chuẩn tắc Chứng minh Giả sử S nhóm số p p- nhóm hữu hạn G Ta có p   G :S   G : N s  N s : S Do NS chứa thực S, ta có  Ns : S  Do đó: p   N s : S   G : N s  , tức G = Ns Điều chứng tỏ S nhóm chuẩn tắc G G G Nếu 2.2.10 Định lý Cho G p - nhóm hữu hạn S nhóm S bị chứa thực G tồn nhóm T G N S cho: T (1): S �T �G (2): S nhóm chuẩn tắc T S {1} Ư} N T P {1} 27 (3):  T : S  p Chứng minh Ta biết S nhóm chuẩn tắc thực N s Trong N  N s / S có nhóm T cấp p (hình trên) Ta có nghịch ảnh T theo đồng cấu tự nhiên N s � N nhóm Ns  có chứa S Vì nhóm chuẩn tắc T nên ta có S nhóm chuẩn tắc T 2.2.11 Hệ Nếu G p- nhóm hữu hạn, nhóm thật S G có chuỗi S  H �H1 � �H m  G cho Hi chuẩn tắc Hi+1  H i1 : H i   p ; i  0,1, , m  2.2.12 Định nghĩa Giả sử G nhóm hữu hạn, p số nguyên tố |G| = prn, p khơng ước n Một nhóm P G gọi nhóm p-Sylow G |P| = pr 2.2.13 Ví dụ Xét nhóm Z12 có cấp 22.3 (p = 2, r = 2, n = 3) Trong Z12 có nhóm A = { , , , } có cấp = 22 Nhóm A nhóm 2-Sylow nhóm Z12 Trong phần sau chúng tơi trình bày lại định lý thường gọi định lý Sylow nhóm hữu hạn 2.2.14 Định lý (Định lí Sylow thứ nhất) Đối với số nguyên tố p bất kì, nhóm hữu hạn G ln có nhóm p-Sylow Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số mũ p cấp G Nếu |G| = 1, tức G nhóm tầm thường {e} {e} nhóm p-Sylow với r = Trường hợp G nhóm có cấp hữu hạn p số nguyên tố không ước cấp G ta có nhóm p-Sylow G nhóm đơn vị Vậy trường hợp kết luận định lý Sylow thứ Xét trường hợp |G| = prn, với p không ước n r > Nếu G chứa thực nhóm S cho p khơng ước [G: S] Khi pr cần phải ước |S| Theo giả thiết quy nạp, S chứa nhóm p-Sylow cấp pr Nhóm nhóm p-Sylow G Do ta giả thiết 28 nhóm S G có p ước [G: S] Từ đẳng thức phân tích cấp nhóm G: |G| = |Z| + aZ[G: Na], ta suy p ước Z (vì p ước phần dấu ) Theo kết biết, ta có Z chứa phần tử a cấp p Vì aZ nên nhóm chuẩn tắc G Xét G = G/ Ta có | G | = pr-1n Theo giả thiết quy nạp G chứa nhóm p-Sylow P cấp pr-1 Gọi P nghịch ảnh P qua phép chiếu tự nhiên Ta chứng minh |P| = pr Do P = P/, ta có | P | = |P/| = |P| : ||, hay |P| = | P |.|| = pr-1.p = pr 2.2.15 Định lí (Định lí Sylow thứ hai) Cho G nhóm hữu hạn S p-nhóm G Khi S bị chứa nhóm p-Sylow G Chứng minh Giả sử S nhóm G cho S p- nhóm Giả sử P nhóm p-Sylow G Ta chứng minh S bị chứa thành phần liên hợp P G Giả sử P = P 1, P2, , Pt, thành phần liên hợp khác P G Ta có t = [G: N P], NP chuẩn hóa P G Vì NP chứa P nên ta có p khơng ước t Số nhóm Pj liên kết với Pi theo S [S: SNP] Do có t = [G: N P] = [S: SPi], tổng lấy theo tất đại diện lớp liên hợp Vì p khơng ước t với i, [S: SPi] chia hết cho p [S: SPi] = (do S pnhóm nên tồn i cho [S: S �Pi] = 1) Vậy S = SPi, với i đó, tức S bị chứa thành phần liên hợp Pi 2.2.16 Định lí (Định lý Sylow thứ ba) Hai nhóm p-Sylow A B nhóm G liên hợp với G, tức tồn phần tử s G cho A = sBs-1, số kp nhóm p-Sylow G ước số |G| đồng dư với theo môđun p Chứng minh Giả sử P P’ hai nhóm p-Sylow nhóm G Ta có P’ bị chứa thành phần liên hợp Pi nói định lí Sylow thứ hai Vì |P’| = |Pi| nên ta có P’ = Pi Từ cơng thức t = [G: NP] = [S: SPi], áp dụng cho S P ta có t = [P: PPi] = Do t đồng dư với theo 29 mơđun p Theo định lí Lagrange ta có t ước |G| Chú ý số t số nhóm p-Sylow G nên ta có điều phải chứng minh KẾT LUẬN Nhiệm vụ đặt cho khóa luận tìm hiểu số kiến thức lý thuyết nhóm, bước đầu làm quen với việc tự học Các kiến thức hệ thống hóa khóa luận gồm hai loại: -Loại thứ kiến thức tiếp thu giảng trình học tập phân môn đại số cao cấp -Loại thứ hai gồm số khái niệm, định lý, mệnh đề tìm hiểu qua tài liệu thầy giáo hướng dẫn yêu cầu Qua việc hồn thành khóa luận vốn kiến thức củng cố phần mở rộng thêm Việc nghiên cứu đề tài khóa luận giúp tác giả bước đầu làm quen với hoạt động tự học trau dồi số kĩ dịch tài liệu toán học từ tiếng Anh sang tiếng Việt 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Hồng Xn Sính (2000), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh Richard Dean (1966), Element of Abstract Algebra, California Institute of Technology Herstein I N (1986), Abstract Algebra, Macmillan Publishing Company New York & Collier Macmillan Publisher London 31 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ NHÓM 1.1 Khái niệm nhóm 1.2 Nhóm 1.3 Đồng cấu nhóm 10 CHƯƠNG NHÓM HỮU HẠN 16 2.1 Nhóm nhóm hữu hạn 16 2.2 p – Nhóm Nhóm p- Sylow 21 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 ... | G | 2.1 NHÓM CON CỦA NHÓM HỮU HẠN Hiển nhiên nhóm nhóm hữu hạn nhóm hữu hạn Trong chương nhắc đến lớp ghép bên phải bên trái phần tử nhóm nhóm Đối với nhóm hữu hạn số lớp ghép hữu hạn Bổ đề... Cho G nhóm S nhóm G Khi S nhóm chuẩn tắc G S bất biến tất tự đồng cấu nhóm G, tức f(S) = S, với tự đồng cấu f G 17 CHƯƠNG NHÓM HỮU HẠN Nhóm hữu hạn nhóm có số phần tử hữu hạn Số gọi cấp nhóm. .. lại định lý thường gọi định lý Sylow nhóm hữu hạn 2.2.14 Định lý (Định lí Sylow thứ nhất) Đối với số nguyên tố p bất kì, nhóm hữu hạn G ln có nhóm p-Sylow Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số