Một số trọng điểm về nhóm hữu hạn

LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành trước cổ vũ, động viên giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo - Ths Nguyễn Đình Yên - người trực tiếp hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành sớm đề tài Em xin bày tỏ lời cảm ơn đến Ban giám hiệu nhà trường, phòng Quản lí khoa học, thầy cô khoa Toán - Lí - Tin, phòng ban chức trường Đại Học Tây Bắc, bạn sinh viên lớp K52 ĐHSP Toán tạo điều kiện giúp đỡ cho em suốt trình nghiên cứu Hy vọng đề tài làm tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên yêu thích môn Đại Số muốn tìm hiểu thêm nhóm Đề tài chắn không tránh khỏi thiếu sót, em mong đóng góp thầy cô giáo bạn độc giả để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng năm 2015 Hà Thị Tình MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU PHẦN II NỘI DUNG Chương I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Quan hệ tương đương 1.1 Khái niệm 1.2 Tính chất .6 Quan hệ thứ tự - Bổ đề Zorn 2.1 Quan hệ thứ tự 2.2 Bổ đề Zorn Nhóm 3.1 Khái niệm 3.2 Tính chất 10 Nhóm 11 4.1 Khái niệm 11 4.2 Tính chất 11 4.3 Tập sinh 12 Nhóm chuẩn tắc 12 5.1 Lớp ghép 12 5.2 Nhóm chuẩn tắc 13 Đồng cấu nhóm 15 6.1 Khái niệm 15 6.2 Tính chất 16 6.3 Ảnh hạt nhân 16 Định lí Lagrange 18 Nhóm xyclic 20 8.1 Khái niệm 20 8.2 Tính chất 20 Nhóm Abel 20 9.1 Khái niệm 21 9.2 Cơ sở nhóm Abel 21 Chương II: MỘT SỐ TRỌNG ĐIỂM VỀ NHÓM HỮU HẠN 24 Nhóm đối xứng 24 1.1 Khái niệm 24 1.2 Tính chất 24 1.3 Nhúng nhóm vào nhóm đối xứng .27 Nhóm thay phiên 28 2.1 Phép chẵn, phép lẻ 28 2.2 Nhóm thay phiên 29 p-nhóm 31 3.1 Quan hệ liên hợp 31 3.2 p-nhóm .32 Nhóm Sylow 33 4.1 Khái niệm 33 4.2 Các định lí Sylow 33 Nhóm giải 38 5.1 Khái niệm 38 5.2 Tính chất 38 Nhóm xoắn 39 6.1 Khái niệm 39 6.2 Định lý 40 Nhóm Abel tự 40 7.1 Khái niệm 40 7.2 Tính chất 41 Sự phân tích nhóm xyclic 44 8.1 Nhóm không phân tích 45 8.2 Tính chất 45 Nhóm Abel hữu hạn sinh 48 9.1 Khái niệm 48 9.2 Tính chất 48 9.3 Định lý nhóm Abel hữu hạn sinh 55 Phần III KẾT LUẬN 58 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhóm khái niệm đại số đại nói chung, đại số giao hoán nói riêng có vai trò quan trọng việc xây dựng lên nghành đại số, đặc biệt lý thuyết số lý thuyết phương trình đại số định lý thặng dư Trung Hoa ví dụ ứng dụng nhóm lý thuyết số Một số trọng điểm nhóm hữu hạn trình bày số sách giáo trình chủ yếu tác giả viết dạng tổng quát, chí có số khái niệm tính chất chưa giới thiệu Trong chương trình Đại số, sinh viên tiếp cận tìm hiểu lý thuyết nhóm song thời lượng không nhiều khối lượng kiến thức lớn nên nhiều tính chất, định lý, mệnh đề không chứng minh chi tiết mà phải công nhận Bên cạnh tài liệu tham khảo lĩnh vực nghành Đại số lại không nhiều Điều gây khó khăn cho sinh viên tự học tự nghiên cứu Là sinh viên nghành Toán với mong muốn tìm hiểu thêm đại số đại phát triển cấu trúc học nghiên cứu sâu cấu trúc đó, em chọn đề tài "Một số trọng điểm nhóm hữu hạn" Em hi vọng với cố gắng đề tài làm tài liệu tham khảo cho sinh viên yêu thích môn Toán Mục đích nghiên cứu Đưa số trọng điểm nhóm hữu hạn Trình bày cách hệ thống đầy đủ tính chất, định lí chứng minh chi tiết Nâng cao kiến thức thân, chuẩn bị tốt cho vấn đề học nâng cao Nhiệm vụ nghiên cứu Sưu tầm tài liệu, nghiên cứu tài liệu hệ thống lại khái niệm, tính chất Trình bày thành tập tài liệu số trọng điểm nhóm hữu hạn Đối tượng nghiên cứu Một số trọng điểm nhóm hữu hạn, khái niệm, định lí, tính chất nhóm hữu hạn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu Trao đổi với giáo viên hướng dẫn Giới hạn, phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu vấn đề trọng điểm nhóm hữu hạn, định nghĩa, tính chất, định lí nhóm hữu hạn Cấu trúc đề tài Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Chương I: Một số kiến thức sở Quan hệ tương đương Quan hệ thứ tự - Bổ đề Zorn Nhóm Nhóm Nhóm chuẩn tắc Đồng cấu nhóm Định lí Lagrange Nhóm xyclic Nhóm Abel Chương II: Một số trọng điểm nhóm hữu han Nhóm đối xứng Nhóm thay phiên p-nhóm Nhóm Sylow Nhóm giải Nhóm xoắn Nhóm Abel tự Sự phân tích nhóm xyclic Nhóm Abel hữu hạn sinh Phần III: Kết luận Đóng góp đề tài Khóa luận trình bày cách có hệ thống kiến thức có liên quan số trọng điểm nhóm hữu hạn Khóa luận tài liệu tham khảo có giá trị cho bạn quan tâm đến vấn đề PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Quan hệ tương đương 1.1 Khái niệm Giả sử X tập hợp Mỗi tập R tập hợp tích X × X gọi quan hệ hai X Nếu (x, y) ∈ R x, y ∈ X, ta nói x có quan hệ R với y viết xRy Chẳng hạn, R = {(x, y) ∈ Z × Z : x − y chia hết cho }, xRy x y lẻ chẵn Trong ví dụ khác, R’ = {(x, y) ∈ R × R : x - y ≤ 0} xR’ y x ≤ y Định nghĩa Quan hệ hai R X gọi quan hệ tương đương có tính chất sau đây: (a) Phản xạ: xRx, ∀x ∈ X (b) Đối xứng: Nếu xRy, yRx, ∀x, y ∈ X (c) Bắc cầu: Nếu xRy, yRz, xRz, ∀x, y, z ∈ X Các quan hệ tương đương thường kí hiệu dấu ∼ Trong hai ví dụ trên, quan hệ lẻ chẵn quan hệ tương đương, quan hệ ≤ không tương đương Nếu ∼ quan hệ tương đương X, lớp tương đương ( theo quan hệ ∼ ) phần tử x ∈ X định nghĩa sau: [x] = {y ∈ X : x ∼ y} ⊂ X 1.2 Tính chất Bổ đề Giả sử ∼ quan hệ tương đương X Khi đó, với x, y ∈ X , lớp [x] [y] rời nhau, trùng Chứng minh Giả sử [x] ∩ [y] ̸= ∅ Ta phải chứng minh [x] = [y] Lấy phần tử z ∈ [x] ∩ [y] ta có x ∼ z y ∼ z Do tính đối xứng quan hệ tương đương, x ∼ z kéo theo z ∼ x Giả sử t ∈ [x], tức x ∼ t Do tính bắc cầu, z ∼ x x ∼ t kéo theo z ∼ t Tiếp theo, y ∼ z z ∼ t kéo theo y ∼ t Nghĩa t ∈ [y] Như ta chứng tỏ [x] ⊂ [y] Do vai trò [x] [y], ta có bao hàm thức ngược lại, [y] ⊂ [x] Vậy [x] = [y] Do bổ đề này, ta dùng từ " lớp tương đương " để lớp tương đương phần tử lớp Định nghĩa Mỗi phần tử lớp tương đương gọi đại biểu lớp tương đương Định nghĩa Một phân hoạch tập X họ tập { Xi : i ∈ I } cho ∪ X= Xi , Xi ̸= ∅, Xi ∩ Xj = ∅ (∀i ̸= j) i∈I Mệnh đề sau mô tả ứng dụng quan hệ tương đương Mệnh đề Mỗi quan hệ tương đương tập X xác định phân hoạch X lớp tương đương Chứng minh Mọi phần tử x ∈ X nằm lớp tương đương nó: x ∈ [x] (do tính phản xạ quan hệ tương đương) Từ đó, X hợp lớp tương đương Bổ đề chứng tỏ lớp tương đương khác rời Mệnh đề chứng minh Nhận xét: Mệnh đề đảo mệnh đề Cụ thể phân hoạch { Xi : i ∈ I} X xác định quan hệ tương đương ∼ X, cho Xi lớp tương đương Thật vậy, ∼ định nghĩa sau: x ∼ y có i ∈ I x ∈ Xi , y ∈ Xi Quan hệ thứ tự - Bổ đề Zorn 2.1 Quan hệ thứ tự Định nghĩa Giả sử ≤ quan hệ hai X Nó gọi quan hệ thứ tự, có tính chất sau đây: (a) Phản xạ: x ≤ x, ∀x ∈ X (b) Phản đối xứng: Nếu x ≤ y y ≤ x x = y, ∀x, y ∈ X (c) Bắc cầu: Nếu x ≤ y y ≤ z x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X Tập X trang bị quan hệ thứ tự gọi tập Nếu x ≤ y ta nói x đứng trước y (thay cho x có quan hệ ≤ với y) Chẳng hạn, X tập tất tập tập hợp A, X theo quan hệ bao hàm Tập S ⊂ X gọi toàn phần (hay tuyến tính) với cặp phần tử x, y ∈ S ta có x ≤ y y ≤ x Phần tử a ∈ X gọi chặn tập S x ≤ a, với x ∈ S Tập X gọi quy nạp tập toàn phần có chặn X Phần tử m ∈ X gọi phần tử cực đại X từ chỗ x ∈ X m ≤ x suy m = x Như thế, tập X có nhiều phần tử cực đại, phần tử khác X không so sánh với (theo quan hệ ≤) Ta thừa nhận tiên đề sau đây, thường gọi bổ đề Zorn, tồn phần tử cực đại tập hợp 2.2 Bổ đề Zorn Tiên đề (Bổ đề Zorn) Nếu tập hợp khác rỗng X quy nạp X tồn phần tử cực đại Mệnh đề tương đương với hàng loạt mệnh đề khác lí thuyết tập hợp, số có tiên đề chọn, Nguyên lí tối đại Hausdorff, Định đề Zermelo, Nguyên lí thứ tự tốt Mỗi số mệnh đề dùng làm tiên đề, mệnh đề lại trở thành định lí Vì lẽ đó, thói quen lịch sử, tiên đề nói thường gọi Bổ đề Zorn Nhóm 3.1 Khái niệm Định nghĩa Cho tập hợp G Mỗi ánh xạ: ◦ : G × G −→ G (x, y) −→ ◦(x, y) = x ◦ y gọi luật hợp thành (hay phép toán hai ngôi) G Tập G phép toán xác định lập thành nhóm ◦ thỏa mãn: i) Tính chất kết hợp: ∀x, y, z ∈ G, (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) ii) Có phần tử e ∈ G cho: ∀x ∈ G, x ◦ e = e ◦ x = x gọi phần tử trung lập iii) Với ∀x ∈ G, ∃x′ ∈ G cho: x ◦ x′ = x′ ◦ x = e gọi phần tử nghịch đảo x Kí hiệu: (G, ◦) nhóm với phép toán ◦ Lưu ý: • Nếu phép toán ◦ rõ không sợ nhầm lẫn, người ta gọi tắt G nhóm • Phép toán nhóm tùy ý thường kí hiệu theo lối nhân: ◦(x, y) = x.y ( tích phần tử x, y) Khi đó: - Phần tử trung lập e gọi phần tử đơn vị, thường kí hiệu - Phần tử nghịch đảo x kí hiệu x−1 - Tích n phần tử x gọi lũy thừa bậc n x, kí hiệu xn Đặc biệt x0 = 1, x1 = x Từ sau, không nói thêm, ta hiểu G nhóm viết theo lối nhân • Nếu phép toán nhóm viết theo lối cộng: ◦(x, y) = x + y ( tổng phần tử x, y ) Khi đó: - Phần tử trung lập e gọi phần tử không, thường kí hiệu - Phần tử nghịch đảo x gọi phần tử đối x, kí hiệu −x - Tổng n phần tử x với n ∈ N gọi bội x, kí hiệu nx Đặc biệt 0.x = 0, 1.x = x • Nhóm (G, ◦) hữu hạn hay vô hạn tùy thuộc vào tập G hữu hạn hay vô hạn, hay nói cách khác, tùy thuộc vào số phần tử tập G Ví dụ • Tập Z với phép toán + lập thành nhóm cộng số nguyên (Z, +) * ∀x, y, z ∈ Z, ta có: (x + y) + z = x + (y + z) * ∃ ∈ Z cho ∀ x ∈ Z, + x = x + = x * ∀ x ∈ Z, ∃ − x ∈ Z cho x + (−x) = (−x) + x = Do đó, (Z, +) nhóm với phần tử không 0, phần tử đối x −x Tương tự, ta có: • Nhóm cộng số hữu tỉ (Q, +) với phần tử không 0, phần tử đối x −x • Nhóm nhân số thực khác không (R, ) có phần tử đơn vị 1, phần tử nghịch đảo x x 3.2 Tính chất Mệnh đề Giả sử (G, ◦) nhóm Khi đó: • Phần tử trung lập G • Với ∀x ∈ G, phần tử nghịch đảo x Chứng minh * Nếu e, e′ ∈ G phần tử trung lập ta có: e ◦ e′ = e′ e′ ◦ e = e Vậy e = e′ Hay phần tử trung lập G * Nếu x′ , x′′ ∈ G phần tử nghịch đảo x Ta có: x′ = x′ ◦ e = x′ ◦ (x ◦ x′′ ) = (x′ ◦ x) ◦ x′′ = e ◦ x′′ = x′′ Vậy x′ = x′′ hay phần tử nghịch đảo x Trong nhóm G, ta có: i) Mọi phần tử G quy, tức ax = ay ⇒ x = y; xa = ya ⇒ x = y Ta nói: nhóm G, luật giản ước bên trái phải thực ii) Các phương trình ax = b ya = b có nghiệm Chứng minh i) Giả sử ax = ay, nhân hai vế bên trái với a−1 ta được: a−1 (ax) = a−1 (ay) ⇔ (a−1 a)x = (a−1 a)y ⇒ ex = ey ⇔ x = y Tương tự nhân hai vế phải xa = ya với a−1 ta xa = ya ⇒ x = y ii) Ta biết x = a−1 b y = b−1 a nghiệm phương trình cho Nếu phương trình ax = b chẳng hạn có hai nghiệm x1 , x2 ta có ax1 = ax2 Áp dụng luật giản ước ta x1 = x2 Tương tự, nghiệm ya = b 10 Chứng minh Nhóm cộng (G, +) nhóm xyclic G = ⟨a⟩∞ = {na | n ∈ Z} f : G −→ Z na −→ n f đồng cấu: ∀na, ma ∈ G ta có f (na + ma) = f ((n + m)a) = n + m = f (na) + f (ma) ⇒ f đồng cấu +) f đơn ánh: ∀na, ma ∈ G ta có f (na) = f (ma) ⇒ n = m ⇒ na = ma ⇒ f đơn ánh +) f toàn ánh ∀n ∈ Z, ∃ na ∈ G: f (na) = n ⇒ f toàn ánh Vậy, f đẳng cấu hay G ∼ =Z +) Mệnh đề 10 Mỗi nhóm xyclic cấp n đẳng cấu với nhóm cộng (Zn , +) số nguyên mod n Chứng minh Giả sử G nhóm xyclic sinh a, G = ⟨a⟩ Xét ánh xạ f : Z −→ G m −→ am Ta có ∀n1 , n2 ∈ Z : f (n1 + n2 ) = an1 +n2 = an1 an2 = f (n1 ).f (n2 ) Suy f đồng cấu Mặt khác ∀b ∈ G ta có: b = am , m ∈ Z Vì vậy, f (m) = am = b Suy f toàn ánh Theo định lý đẳng cấu: Z/Kerf ∼ = G Ta có: Kerf = nZ, n ∈ Z Thật vậy: Lấy k ∈ Kerf suy f (k) = ak = e Do k n hay k = nq, n ∈ nZ Suy Kerf ⊂ nZ Ngược lại lấy k ∈ nZ k = nq ta có f (k) = f (nq) = anq = (an )q = e Do k ∈ Kerf hay nZ ⊂ Kerf Vậy: Z/nZ ∼ = G 8.1 Nhóm không phân tích Định nghĩa 17 Nhóm G gọi không phân tích phân tích thành tổng trực tiếp hai nhóm chuẩn tắc không tầm thường 8.2 Tính chất Bổ đề Nhóm cộng số nguyên Z không phân tích 45 Chứng minh Vì nhóm Z tồn nhóm nZ nên ta có: Giả sử nhóm cộng Z phân tích thành tổng trực tiếp Z = nZ ⊕ mZ nZ, mZ nhóm không tầm thường Z Vì n ̸= 0, m ̸= ta có: { nk ∈ nZ , k ̸= mk ∈ mZ , k ̸= ⇒ mnk ∈ nZ ∩ mZ rõ ràng mnk ̸= ( mâu thuẫn với giả thiết ) Vậy Z không phân tích Tương tự ta có: Bổ đề Nhóm số hữu tỉ (Q, +) không phân tích Chứng minh Lấy G H hai Z - module khác {0} Q m p Khi tồn phân số khác không ∈ G ∈ H n q p m Ta có ̸= mp = (pn)( ) = (mp)( ) ∈ G ∩ H Suy G ∩ H ̸= n q Vậy module khác{0} Q có giao khác {0}, Q Z - module không phân tích Bổ đề Giả sử p số nguyên tố, m > Khi nhóm cộng Zpm số nguyên modulo p không phân tích Chứng minh Giả sử A = ⟨{a}⟩; B = ⟨{b}⟩ nhóm không tầm thường Zpm Do a, b ước pm nên a = pr ; b = ps ; ≤ r < m; ≤ s < m s s−r r + Nếu r < s ta có b = p = p p = ps−r a ∈ A ⇒ B ⊆ A r r−s s + Nếu r > s ta có a = p = p p =r−s b ∈ B ⇒ A ⊆ B Từ suy A ∩ B ̸= {0} Vậy giao hai nhóm không tầm thường nhóm cộng Zpm nhóm không tầm thường ⇒ Zpm không phân tích Hệ quả: Mọi nhóm xyclic nguyên sơ không phân tích Lưu ý: Nhóm xyclic cấp pm p nguyên tố; m > gọi nhóm xyclic nguyên sơ Bổ đề Nếu n = t.s t s nguyên tố Zn ∼ = Zt ⊕ Zs 46 Chứng minh Vì n = t.s mà (t, s) = suy số nguyên t nhóm cộng Zn số nguyên mod n sinh nhóm xyclic cấp s: A = {0, t, 2t, , (s − 1)t} ⇔ A = ⟨t⟩ Và số nguyên nhóm Zn sinh nhóm xyclic cấp t: B = {0, s, 2s, , (t − 1)s} ⇔ B = ⟨s⟩ Do (t, s) = ⇒ t ̸= s ⇒ A ∩ B = {0} tồn số nguyên m, q cho: t.m + s.q = ⇔ k.t.m + k.s.q = k; ∀k ∈ Zn ⇔ (k.m) t + (k.q) s = k ∈ A ∩ B Từ suy Zn = A + B Vậy Zn phân tích thành tổng trực tiếp nhóm A B ⇒ Zn ∼ = Zt ⊕ Zs - Mặt khác, cấp t số s hữu hạn A ∼ = Zs (Tính chất nhóm xyclic) - Cấp s t ⇒ B ∼ = Zt ⇒ Zn ∼ = Zt ⊕ Zs m2 mr Định lý 20 Nếu số tự nhiên n có phân tích n = pm p2 pr p1 , p2 , , pr r số nguyên tố khác thì: Zn ∼ = Zpm1 ⊕ Zpm2 ⊕ ⊕ Zpmr r Chứng minh Nếu r = n = pm suy định lí Giả sử r > định lí tích lũy thừa r − số mr m2 nguyên tố, nghĩa với t = pm p2 pr thì: Zt ∼ = Zpm1 ⊕ Zpm2 ⊕ ⊕ Zpmr−1r−1 Đặt s = pm r ta thấy t, s nguyên tố nhau; n = t.s Nên theo Bổ đề ta có: r Zn = Zt ⊕ Zs ⇔ Zn ⊕ Zt ⊕ Zpm r Theo giả thiết quy nạp ta có: Zt ∼ = Z m1 ⊕ Z m2 ⊕ ⊕ Z mr−1 Vậy Zn ∼ = Zpm1 ⊕ Zpm2 ⊕ ⊕ Zpmr r p1 p2 pr−1 Hệ Mỗi nhóm xyclic không tầm thường không phân tích nhóm xyclic vô hạn nguyên sơ Hệ 47 Mỗi nhóm xyclic hữu hạn phân tích thành tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ Nhóm Abel hữu hạn sinh 9.1 Khái niệm Định nghĩa 18 Nhóm (G, ) gọi nhóm Abel hữu hạn sinh có tập sinh hữu hạn tức là: ∃S ⊆ G, S hữu hạn, ⟨S⟩ = G Các nhóm Abel hữu hạn sinh có vai trò quan trọng nhiều ứng dụng Sau tìm hiểu cấu trúc nhóm Abel hữu hạn sinh 9.2 Tính chất Bổ đề Mỗi nhóm Abel với n phần tử sinh đẳng cấu với nhóm thương nhóm Abel tự hạng n Chứng minh Giả sử G nhóm Abel sinh S = {x1 , x2 , , xn } H nhóm Abel tự có sở S ′ = {y1 , y2 , , yn } Xét ánh xạ f: G −→ H n n ∑ ∑ y= yi −→ xi i=1 i=1 Dễ thấy: f toàn ánh f đồng cấu nhóm Thật vậy: n n ∑ ∑ ∀a, b ∈ H; a = yi ; b = bi yi i=1 i=1 ( f (a + b) = f = n ∑ i=1 n ∑ n ∑ yi + i=1 xi + n ∑ i=1 ) bi yi = n ∑ (ai + bi ) xi i=1 bi xi = f (a) + f (b) i=1 Suy f toàn cấu Vậy, theo hệ định lý đồng cấu nhóm ta có: H/Kerf ∼ =G Định lý 21 Nếu nhóm (G, ) phân tích thành tích trực tiếp nhóm chuẩn tắc A B nhóm G đẳng cấu với tích trực tiếp A × B 48 Chứng minh Mỗi phần tử x ∈ G có biểu diễn x = a.b, a ∈ A, b ∈ B Dễ dàng thấy ánh xạ f : G −→ A × B xác định f (x) = (a, b) đẳng cấu nhóm G vào nhóm A × B Một cách tổng quát: Giả sử {(Gα , )}α∈I họ nhóm cho trước Trong tập tích: { } ∏ ∪ P = Gα = f : I −→ Gα : f (α) = Gα , ∀α ∈ I α∈I α∈I Ta có tương ứng sau: ∀ f, g ∈ P ∪ f ◦ g : I −→ Gα α∈I α −→ f ◦ g(α) = f (α).g(α) ánh xạ Dễ dàng thấy P với phép toán f ◦ g nhóm, phần tử đơn vị ánh xạ: ∪ e : I −→ Gα α∈I α −→ e(α) = eα Phần tử nghịch đảo f ∈ P phần tử f −1 : I −→ ∪ Gα xác định α∈I bởi: f −1 (α) = [f (α)]−1 , ∀α ∈ I (Chú ý: f −1 kí hiệu ánh xạ ngược) Nhóm (P, ) gọi ∏ tích trực tiếp họ nhóm (Gα , )α∈I Xét tập W ⊆ Gα xác định sau: α∈I { ∪ W = f : I −→ Gα , f (α) = Gα , f (α) = eα } α∈I với hầu hết α ∈ I trừ số hữu hạn Dễ dàng chứng minh W nhóm chuẩn tắc ∑ nhóm P , gọi tổng trực tiếp họ nhóm (Gα , )α∈ kí hiệu Gα α∈I Nếu I tập hữu hạn tổng trực tiếp trùng với tích trực tiếp Ánh xạ: ∑ Pα : Gα −→ Gα α∈I f −→ Pα (f ) = f (α) 49 gọi phép chiếu lên thành phần α Dễ thấy phép chiếu toàn cấu Định lý 22 Mỗi nhóm G ̸= {0} nhóm Abel tự F hạng n nhóm Abel tự r (G) = m ≤ n Hơn có sở S = {u1 , u2 , , un } F sở B = {v1 , v2 , , } G cho vi = ui ti ; i = (1, 2, , m), ( t1 , t2 ,) , tm số nguyên dương thỏa mãn: ti chia hết cho ti+1 , i = 1, n − Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n - Nếu r (F ) = ⇔ n = ta thấy Định lý - Giả sử Định lý với trường hợp r (F ) < n, n > - Ta chứng minh cho trường hợp r (F ) = n ∗) Giả sử S0 = {x1 , x2 , , xn } sở F Khi phần tử x ∈ G biểu diễn dạng : x = k1 x1 + k2 x2 + + kn xn ; ki ∈ Z, i = 1, 2, , n (1) (Do G nhóm F ) Suy hệ số k{i phụ thuộc x } ∈ G sở S0 F Đặt ti = min(ki > 0) S0 (2) x∈G ⇒ t1 F có sở S1 = {x1 , x2 , , xn } có phần tử v1 ∈ G cho t1 hệ số biểu diễn dạng (1) v1 sở S1 tức là: v1 = t1 x1 + k2 x2 + + kn xn Chia {k2 , k3 , , kn } cho t1 ta có: k1 = qi ti + ri (i = 2, n; ≤ ri < t1 ) Đặt u1 = x1 + q2 x2 + + qn xn Khi S2 = {u1 , x2 , , xn } sở F Theo (5) ta có: (3) (4) (5) x1 = u − q2 x2 − − qn xn Theo (3) ta có: v1 = t1 u1 + (k2 − q2 t1 )x2 + + (kn − qn t1 )xn ⇔v1 = t1 u1 + r2 x2 + + rn xn Mặt khác ≤ ri < t1 (i = 2, m) cách chọn t1 (2) nên ta có ri = Vậy ta có: v1 = t1 u1 (6) ∗) Gọi H nhóm F sinh (n − 1) phần tử x2 , x3 , , xn x2 , x3 , , xn độc lập tuyến tính nên H nhóm Abel tự hạng (n−1) Xét nhóm K = H ∩ G nhóm H Theo giả thiết quy nạp, K có sở (v2 , v3 , , vm ) cho vi = ti ui , 50 i = 2, m ti số nguyên dương thỏa mãn ti chia hết cho ti+1 , i = 2, m − Gọi J nhóm xyclic F sinh phần tử u1 ; J = ⟨{vi }⟩ Vì v1 ∈ G nên J ⊆ G Mặt khác S2 = {u1 , u2 , , un } sở F v1 = t1 u1 H = ⟨{x1 , x2 , , xn }⟩; J = ⟨{v1 }⟩ Do tính chất biểu diễn phần tử qua phần tử sở nhóm Abel tự nên ta có: H ∩ J = {0} Vậy J ∩ K ≤ H ∩ J = {0} ∗) Ta chứng minh G = H + J Giả sử x ∈ G, S2 = {u1 , x2 , , xn } sở F nên ta có: x = c1 u1 + c2 x2 + + cn xn ; (ci ∈ Z) Chia c1 cho t1 ta có c1 = q.t1 + r, (0 ≤ r < t1 ) Đặt y = x − q.v1 x, v1 ∈ G nên y ∈ G Do v1 = t1 u1 nên y = c1 u1 + c2 x2 + + cn xn − t1 q.u1 ⇔ y = (c1 − t1 q)u1 + c2 x2 + + cn xn ⇔ y = ru1 + c2 x2 + + cn xn Mà ≤ r < t1 từ cách chọn t1 (2) ⇒ r = Do đó: y = c2 u2 + c3 x3 + + cn xn Do H sinh x2 , x3 , , xn nên y ∈ H Do đó: y ∈ H ∩ G = K ⇒ x = y + q.v1 ∈ J + K ⇒G=J +K Mặt khác K ∩ J = {0} ⇒ G = J ⊕ K Vậy G nhóm Abel tự r(G) = m ≤ n Dễ thấy S = {u1 , u2 , , un } sở F B = {v1 , v2 , , } sở G nên ta có vi = ti ui ; i = 1, m, { ti ∈ Z ; i = 1, m ti ti+1 ; i = 2, m − Ta chứng minh t1 chia hết t2 Giả sử t2 = q0 t1 + r0 ; (0 ≤ r0 < t1 ) Xét phần tử u1 = u1 − q0 u2 , {u1 , u2 , , un } sở F ∗) 51 Đối với sở phần tử v2 − v1 ∈ G có biểu diễn: v2 − v1 = t2 un − t1 u1 = (t1 q0 + r0 )u2 + t1 u1 = t1 q0 u2 − t1 u1 + r0 u2 = (−t1 )u1 + r0 u2 Vì (0 ≤ r0 < t1 ) theo cách chọn t1 (2) ta có r0 = 0, nên t2 = q0 t1 Vậy t2 t1 Bổ đề Mỗi nhóm Abel có n phần tử sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp n nhóm xyclic cấp t1 , t2 , , tn Trong ≤ t1 ≤ t2 ≤ ≤ tn ≤ ∞ Chứng minh Giả sử G nhóm Abel n phần tử sinh Theo Bổ đề G đẳng cấu với nhóm thương nhóm Abel tự hạng n Nếu F nhóm Abel tự hạng n, r(F ) = n ta có: G ∼ = F/Kerf với f : F → G toàn cấu Đặt A = Kerf ; A ⊆ F Ta thấy, Theo Định lý 22, ta có G nhóm Abel tự hạng r(A) = m ≤ n có sở S = {u1 , u2 , , un } F sở B = {v1 , v2 , , vm } A cho vi = ti ui ; (i = 1, 2, , m) t1 , t2 , , tm số nguyên dương thỏa mãn: ti chia hết cho ti+1 , (i = 1, m − 1) Gọi Ci nhóm xyclic sinh αi ; Ci = ⟨{αi }⟩, i = 1, n đó: - Với i ≤ m, Ci nhóm xyclic cấp ti - Với i > m, Ci nhóm xyclic cấp ∞ Đặt C = C1 ⊕ C2 ⊕ ⊕ Cn Xét toàn cấu: h : F −→ C ui −→ h(ui ) = αi Ta thấy Kerh = A.Thật vậy: ∀ x ∈ A, x = m ∑ ki vi = i=1 m ∑ (ti ki )ui i=1 m m m ∑ ∑ ∑ ⇒ h(x) = (ti ki )αi = ki (ti αi ) = ki = i=1 i=1 i=1 Vì αi phần tử cấp ti , i = 1, m nên A ⊆ Kerh Ngược lại: Giả sử x ∈ Kerh, x phần tử F nên x biểu diễn 52 dạng: x= n ∑ ki ui ; h(x) = i=1 n ∑ ki αi = i=1 Từ tính chất biểu diễn phần tử C qua phần tử αi , i = 1, n, ta có ki αi = Theo định nghĩa cấp phần tử thì: { qi ti , i ≤ m ki = ,i > m Do x = m ∑ i=1 ki ui = m ∑ i=1 qi ti ui = m ∑ qi vi ∈ A i=1 Suy Kerh ⊆ A Vậy, Kerh = A = Kerf Theo định lí đống cấu nhóm ta có: G∼ = F/A = F/Kerf ∼ = C = C1 ⊕ C2 ⊕ ⊕ Cn Bổ đề 10 Giả sử A B hai nhóm hữu hạn có cấp r s tương ứng Khi đó, nhóm tích A × B nhóm xyclic A B nhóm xyclic r, s nguyên tố Chứng minh Giả sử phần tử (x, y) ∈ A × B Ta thấy cấp (x, y) bội chung nhỏ cấp phần tử x y với x ∈ A; y ∈ B Theo giả thiết ta có cấp x chia hết cho r, cấp y chia hết cho s Do đó, cấp (x, y) ước bội chung nhỏ (r, s) Nhóm A × B xyclic có phần tử (a, b) ∈ A × B có cấp card A × B = r.s Điều tương đương cấp a r, cấp b s BCNN (r, s) = r.s tức r s nguyên tố Bổ đề 11 Giả sử φ : A → A′ toàn cấu nhóm Abel với B = Kerφ Nếu A′ nhóm Abel tự do, có nhóm C ⊂ A cho hạn chế φ C lên A′ A ∼ = B × C (Nói cách khác toàn cấu nhóm Abel lên nhóm Abel tự chẻ ra) Chứng minh Giả sử {x′i }i∈I sở nhóm A′ ; xi phần tử A với φ(xi ) = x′i , ∀i ∈ I Gọi C nhóm A sinh {x′i }i∈I Ta chứng minh C nhóm Abel tự sinh tập {xi }i∈I ∑ Giả sử ni xi = 0, tổng có hữu hạn, tức hầu hết 53 ni = 0, trừ một∑ số hữu hạn ∑ số ′i Khi = φ(0) = ni φ(xi ) = ni xi Do ni = 0, ∀i, {x′i }i∈I sở nhóm A′ Như {xi }i∈I sở nhóm Abel tự C Nếu z ∈ C φ(z) = z = Nghĩa B ∩ C = hạn chế φ len C đẳng cấu từ C lên A′ Mặt khác, ∑ A = B + C Thật ∀x ∈ A, phần tử φ(x) ∑ viết ′ ′ dạng φ(x) = ∑ mi xi tổng có giá hữu hạn nên φ(x) − mi xi = b = x − mi xi ∈ B suy x ∈ B + C Vậy đồng cấu B × C −→ A (b, c) −→ b + c đẳng cấu nhóm Định lý 23 Giả sử A nhóm Abel hữu hạn sinh B nhóm A Khi đó, B nhóm Abel tự hữu hạn sinh với r(B) ≤ r(A) Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo r(A) Giả sử (x1 , x2 , , xn ) sở A, ta có đẳng cấu nhóm: A∼ = Zx1 × × Zxn Gọi φ : A → Zxn đồng cấu cho φ(m1 x1 + + mn xn = mn xn , mi ∈ Z Giả sử B1 hạt nhân hạn chế φ lên nhóm B, B1 nhóm nhóm Abel tự hạng (n − 1) sinh (x1 , x2 , , xn−1 ) Theo giả thiết quy nạp, B1 nhóm Abel tự với hạng ≤ (n − 1) Nhóm φ(B) nhóm nhóm xyclic cấp vô hạn tức φ(B) tự hai trường hợp theo Bổ đề 8, có nhóm C1 A đẳng cấu với φ(B) cho B ∼ = B1 × C1 Vậy B nhóm Abel tự với r(B) = r(B1 ) + r(C1 ) ≤ (n − 1) + = n = r(A) Định lý 24 Mọi nhóm Abel tự hữu hạn sinh không xoắn nhóm Abel tự do, tức đẳng cấu với tích số hữu hạn nhóm xyclic Z Chứng minh Giả sử A ̸= 0, S hệ sinh hữu hạn A (x1 , x2 , , xn ) tập cực đại S có tính chất sau đây: Nếu m1 x1 + + mn xn = 0, mi ∈ Z mi = 0, ∀i 54 Nhận thấy n ≥ 1, A ̸= Gọi B nhóm A sinh (x1 , x2 , , xn ) Khi B nhóm Abel tự Do tính cực đại hệ (x1 , x2 , , xn ), với ∀y ∈ S, có số nguyên tất không m, m1 , , mn cho my + m1 x1 + + mn xn = Nhận thấy m ̸= trái lại ∀mi = 0, cách chọn (x1 , x2 , , xn ) S tập sinh A, nên có số nguyên m ̸= mA ⊂ B Theo Định lí 23 mA nhóm Abel tự Mặt khác A không xoắn nên đồng cấu A −→ A x −→ mx có hạt nhân Vậy A ∼ = mA nhóm Abel tự 9.3 Định lý nhóm Abel hữu hạn sinh Định nghĩa 19 Hạng nhóm Abel tự A/At gọi hạng nhóm Abel hữu hạn sinh Định lý 25 (Định lí nhóm Abel hữu hạn sinh) Giả sử G nhóm Abel hữu hạn sinh Khi nhóm G, tồn phân tích dạng: G∼ (*) = Zt ⊕ Zn1 ⊕ ⊕ Zns Trong G nhóm Abel tự n1 > ni chia hết cho ni+1 , ≤ i < s Chứng minh Vì nhóm xyclic cấp n đẳng cấu với nhóm cộng Zn số nguyên mod n nhóm xyclic cấp vô hạn đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên Z (tính chất nhóm xyclic) nên tồn phân tích (*) nhóm Abel hữu hạn sinh G hệ trực tiếp Bổ đề Ta chứng minh tính phân tích Gọi τ (G) nhóm xoắn nhóm G Ta có: τ (G) ∼ = Zn ⊕ Zn ⊕ ⊕ Zn ; s G/τ (G) ∼ = Zt Suy t hạng nhóm Abel tự G/τ (G) Như số t không phụ thuộc vào phân tích (*) Để chứng minh tính n1 , n2 , , ns , ta giả sử G nhóm hữu hạn Khi đó: G = τ (G) ∼ = Zn ⊕ Zn ⊕ ⊕ Zn 55 s Bởi vậy, ta chứng minh tính n1 , n2 , , ns với giả thiết nhóm G đẳng cấu với tổng trực tiếp Zn1 ⊕ Zn2 ⊕ ⊕ Zns n1 > ni chia hết cho ni+1 , ≤ i < s Vì nhóm Zni đẳng cấu với tổng trực tiếp số hữu hạn nhóm xyclic nguyên sơ Do đó, nhóm G biểu diễn dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ Nhờ Bổ đề 10, dễ dàng thử lại rằng: Từ biểu diễn nhóm G dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ, ta có cách trở phân tích nhóm G dạng Zn1 ⊕ Zn2 ⊕ ⊕ Zns n1 > ni chia hết cho ni+1 , ≤ i < s Do ta cần chứng minh rằng: Đối với số nguyên tố p số dương r số lần xuất nhóm xyclic nguyên sơ Zpr biểu diễn nhóm G dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ phụ thuộc vào nhóm G Giả sử G biểu diễn dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ p số nguyên tố, n số lớn số nguyên r cho nhóm xyclic nguyên sơ Zpr xuất phân tích cho Gọi α(p, r) số lần xuất nhóm Zpr , ≤ r < n phân tích Ta kí hiệu G[p] tập phần tử cấp p nhóm G Tập G[p] nhóm G Từ biểu diễn nhóm G dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ, ta suy nhóm G[p] ∩ pr G ∼ = (Zp )α(p,n)+ +α(p,r+1) với ≤ r < n Vậy ta có pα(p,n)+ +α(p,r+1) = cardG[p] ∩ pr G Do α(p, n) + + α(p, r + 1) = logp (cardG[p] ∩ pr G) Suy với ≤ r < n, tổng α(p, n) + + α(p, r + 1) phụ thuộc vào nhóm G Lần lượt cho r nhận giá trị từ n − đến 0, ta suy số α(p, n), α(p, n − 1), , α(p, 1) phụ thuộc vào nhóm G Áp dụng: Nhờ định lí ta xây dựng tất nhóm Abel cấp n Số nhóm Abel cấp n không đẳng cấu số phân tích có n = n1 n2 ns n > ni chia hết cho ni+1 Ví dụ 1: Với n = 24 ta có nhóm cấp 24 sau đây: Z24 , Z2 ⊕ Z12 , Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z6 Phân tích dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic cấp nhóm là: 56 Z24 ∼ = Z23 ⊕ Z3 Z2 ⊕ Z12 ∼ = Z2 ⊕ Z22 ⊕ Z3 ∼ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z6 = Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z3 Ví dụ 2: Với n = 360 ta có: 360 = 1.360 = 2.180 = 3.120 = 6.60 = 2.2.90 = 2.6.30 Vậy có kiểu nhóm Abel cấp 360 với đại diện : Z360 , Z2 ⊕ Z180 , Z3 ⊕ Z120 , Z6 ⊕ Z60 , Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z90 , Z2 ⊕ Z6 ⊕ Z30 57 KẾT LUẬN Với đề tài em trình bày số vấn đề trọng điểm nhóm hữu hạn sau Trình bày cách hệ thống, rõ ràng, xác kiến thức có liên quan như: quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, bổ đề Zorn, nhóm, nhóm con, nhóm chuẩn tắc, đồng cấu nhóm, Định lí Lagrange, nhóm xyclic, nhóm Abel Trình bày số vấn đề trọng điểm nhóm hữu hạn như: Nhóm đối xứng, nhóm thay phiên, p-nhóm, nhóm Sylow, nhóm giải được, nhóm xoắn, nhóm Abel hữu hạn sinh Do thời gian nghiên cứu đề tài có hạn kinh nghiệm thân chưa nhiều nên em tìm hiểu trình bày số vấn đề trọng điểm nhóm hữu hạn việc nêu định nghĩa chứng minh tính chất, định lý mà chưa khai thác khía cạnh khác nghiên cứu tập có liên quan Nếu có điều kiện em cố gắng vận dụng tính chất để xem xét giải tập Em mong nhận đóng góp độc giả để đề tài hoàn thiện 58 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 Nguyễn Tiến Quang, Lý thuyết module Abel Đặng Quang Việt, Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo Dục, 2005 Đặng Quang Việt, Đại số đại cương, NXB Giáo Dục, 2005 Dương Quốc Việt, Bài tập lý thuyết module, NXB Đại Học Sư Phạm, 2009 Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết module, NXB Đại Học Sư Phạm, 2008 Dương Quốc Việt - Nguyễn Văn Chua, Cơ sở lý thuyết Galoa, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội, 2003 59 [...]... mũ của a ∈ G là một bội dương của cấp của a và ngược lại Một nhóm tùy ý có thể không có số mũ Nếu G là một nhóm hữu hạn, thì một số mũ của G có thể chọn bội số chung nhỏ nhất của cấp của mọi phần tử thuộc G Hệ quả: Cấp của một nhóm hữu hạn G là một số mũ của nó Hệ quả: Trên một tập hợp hữu hạn với số phần tử là một số nguyên tố, có duy nhất (sai khác đẳng cấu) một cấu trúc nhóm, là nhóm xyclic ta sẽ... G cũng có một nhóm con cấp pm Định lí được chứng minh Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố ước của |G| Theo định lí Sylow thứ nhất, G có một nhóm con H cấp p và do đó H là một nhóm xyclic sinh bởi một phần tử nào đó a ∈ H Vậy G chứa một phần tử cấp p Ta có hệ quả sau: Hệ quả (Định lí Cauchy) Giả sử G là một nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho một số nguyên tố p Khi đó G chứa một phần... G là một p -nhóm cấp pn với n ≥ 1 Khi đó tồn tại một dãy các nhóm con của G sao cho G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ⊃ Gn = {e} trong đó Gi là nhóm con chuẩn tắc của Gi−1 và |Gi | = pn−i với mọi i = 1, 2, , n 4 Nhóm con Sylow 4.1 Khái niệm Định nghĩa 11 Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố ước của |G| Một p -nhóm con Sylow H của G là một nhóm con của G mà cấp của nó là pk , trong đó k là một số nguyên... nhất) Giả sử G là một nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố và pm là ước của |G| Khi đó G có một nhóm con cấp pm Đặc biệt luôn luôn tồn tại một p -nhóm con Sylow trong một nhóm hữu hạn Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo cấp của G Nếu |G| = 1 thì p0 là ước của |G| và do đó G chính là một nhóm con của 33 nó có cấp p0 Giả sử, |G| > 1 và định lí đúng cho tất cả các nhóm có cấp nhỏ hơn... (1, 0), b −→ (0, 1), c −→ (1, 1) là một đẳng cấu nhóm Giả sử S là một nhóm con của nhóm hữu hạn G Khi đó chỉ số của S trong G, tức là số phần tử của tập các lớp kề trái G/S được tính bằng công thức [G : S] = |G|/|S| Định lí Lagrange có thể được tổng quát hóa như sau: Định lý 7 Giả sử T là một nhóm con của S, và S là một nhóm con của G, trong đó G là một nhóm hữu hạn Khi đó : [G : T ] = [G : S][S :... đó P = H Vậy, H là p- nhóm con Sylow duy nhất của G Các định lí trên cho ta biết được sự tồn tại của p- nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G, cũng như mối liên hệ của các nhóm con này Định lí dưới đây cho ta một ước lượng số các p- nhóm con Sylow của G Định lý 12 (Định lí Sylow thứ ba) Số các p- nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn G là ước của |G| và nó có dạng 1 + pk với k là một số nguyên không âm nào... là một song ánh, ta có (ii) Từ (ii) ta lập tức nhận được (iii) Định nghĩa 9 Giả sử H là một nhóm con của một nhóm G Số các lớp ghép trái khác nhau của H trong G được gọi là chỉ số của H trong G và kí hiệu là [G:H] 5.2 Nhóm con chuẩn tắc Định nghĩa 10 Một nhóm con H của một nhóm G sao cho ∀a ∈ G, Ha = aH gọi là một nhóm con chuẩn tắc (ước chuẩn tắc) của G Kí hiệu: H ▹ G Ví dụ • Mỗi nhóm G có hai nhóm. .. điều này dẫn đến L có tính bắc cầu Do đó quan hệ L là một quan hệ tương đương trong G 34 Giả sử A là một nhóm con của một nhóm G Tập N (A) = {g ∈ G|gAg −1 = A} là một nhóm con của G và nó được gọi là chuẩn hóa tử của A trong G Chú ý rằng A là một nhóm con chuẩn tắc của N (A) Định lý 10 Giả sử H và A là các nhóm con của một nhóm hữu hạn G Khi đó số các nhóm con của G là H- liên hợp với A là [H : (H ∩ N... là một song ánh Kết quả là ta có |G| = (số lớp kề trái của S).|S| định lí được chứng minh Hệ quả: Cấp của mọi phần tử của một nhóm hữu hạn G đều là ước số của cấp G Định nghĩa 13 Giả sử G là một nhóm (i) Nếu đối với phần tử a ∈ G, có số nguyên m sao cho am = e thì m được gọi là số mũ của a (ii) Số nguyên dương m được gọi là số mũ của nhóm G nếu nó là số mũ của mọi phần tử của G Hiển nhiên là mọi số. .. trong trường hợp G là một nhóm hữu hạn Hệ quả Mỗi nhóm hữu hạn G đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng Sn , trong đó n = |G| 27 Chứng minh Sử dụng định lí trên, ta chỉ cần chứng minh rằng S(G) ∼ = Sn với n = |G| Thật vậy, hãy cố định một song ánh h : G −→ {1, 2, , n} tức là đánh số các phần tử của G Khi đó dễ dàng kiểm nghiệm rằng ánh xạ S(G) −→ Sn α −→ hαh−1 là một đẳng cấu nhóm Nhận xét (a)