TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Cho phép định lượng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của các vết nứt có thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt.. Nó sử dụng các phương pháp p

c c

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY 3 1 Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) 3

2 Phân loại cơ học phá hủy 5

3 các dạng phá hủy (Fracture modes) 6

4 Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất 7

4.1 Bài toán Westergaard 7

4.2 Hệ số cường độ ứng suất 7

4.3 Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt 8

4.4 Sự phụ thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt và phụ tải 9

4.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất 11

5 Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng 11

5.1 Cân bằng năng lượng trong vết nứt 11

5.2 Lý thuyết Griffith 12

5.3 Tỷ lệ giải phóng năng lượng G 14

5.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai 14

5.5 Mối quan hệ giữa K và G 15

6 Tích phân J – Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến 15

6.1 Định nghĩa 15

6.2 Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến 16

6.3 Sự bất biến của tích phân J 18

6.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba 19

6.5 Mối quan hệ giữa J,K và G 19

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 19 1 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn 19

1.1 Khái niệm chung 19

1.2 Nội dung của phương pháp 20

1.1 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn 21

1.2 Hàm xấp xỉ - Phép nội suy 24

2 Các phương trình cơ bản của phương pháp PTHH 29

2.1 Ma trận độ cứng phần tử , véc tơ tải phần tử 29

Giải bài toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn 32

3 Các phần tử cơ bản 38

1 Giới thiệu chung 38

2 ột số phần tử cơ bản và tính chất của chúng 40

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY

1 Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)

Phá huỷ là vấn đề mà xã hội phải đối mặt kể từ khi con người bắt đầu xây dựng những kiến trúc.Ngày nay vấn đề này thực sự trở nên quan trọng hơn nhiều bởi sự ảnh hưởng của phá hủy là rất lớn do sự phụ thuộc của con người ngày càng nhiều vào khoa học kĩ thuật và máy móc

May mắn thay, sự tiến bộ trong lĩnh vực cơ học phá huỷ đã và đang giúp chúng ta giảm thiểu đáng kể các nguy hiểm tiềm ẩn gây ra bởi sự phá hủy của các kết cấu trong

các công trình, máy móc…Nhiệm vụ của môn Cơ học phá hủy là tìm ra nguyên nhân tại

sao vật liệu bị phá huỷ và khả năng ngăn chặn, bảo vệ được sự phá huỷ của các kết cấu đó

Cơ học phá hủy là một lĩnh vực của cơ học, chuyên nghiên cứu sự hình thành của vết nứt trên vật liệu của kết cấu Cơ học phá hủy là một lĩnh vực đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện hiệu suất cơ học của vật liệu và các thành phần cơ học của kết cấu Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu về độ

bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt Cho phép định lượng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của các vết nứt có thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt Nó sử dụng các phương pháp phân tích cơ học vật rắn để tính toán động lực trên một vết nứt và những thử nghiệm của cơ học vật rắn để mô tả đặc điểm chống lại phá hủy kết cấu (theo [1])

Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các kết cấu cơ học chứa khuyết tật hình học như các liên kết bằng ren, khe hở của chi tiết trục, răng của bánh răng… Kích thước và hình dạng của chúng đóng vai trò quan trọng bởi vì chúng xác định độ bền của cấu trúc vật liệu Thông thường, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc có chứa các khuyết tật

bị ảnh hưởng bởi hai yếu tố: ứng suất và độ bền uốn Tuy nhiên, cách tiếp cận này thường sẽ cho kết quả không chính xác nếu khuyết tật có đặc trưng hình học lớn Để giải thích điểm này, chúng ta hãy xem xét các trường hợp sau (hình 1):

Phương pháp tiếp cận thông thường này được gọi là tiếp cận sức bền vật liệu

So với phương pháp tiếp cận sức bền vật liệu, phương pháp cơ học phá hủy (Fracture mechanics) bị ảnh hưởng bởi ba yếu tố: ứng suất, kích thước phá hủy và độ bền phá hủy Trong phương pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốn phù hợp tính chất vật liệu nhiệm vụ của cơ học phá hủy là phải xác định giới hạn của ba yếu tố trên Hình 3 cho thấy sự khác biệt giữa cách tiếp cận cơ học phá hủy với cách tiếp cận sức bền vật liệu

a) Phương pháp tiếp cận sức bền vật liệu

b) Phương pháp tiếp cận cơ học phá hủy

Hình 1.2 So sánh phương pháp Fracture Mechanics với phương pháp tiếp cận Sức bền

vật liệu

Ứng suất

Độ bền phá hủy Kích thước phá hủy

2 Phân oại cơ học phá hủy

Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể được

chia thành cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính-Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) và cơ học phá hủy đàn hồi dẻo-Elasto Plastic Fracture Mechanics (EPFM)

LEFM được áp dụng để tính toán cho các vật liệu có tính đàn hồi không biến dạng (đàn hồi tuyến tính), chúng bị phá hủy khi chưa xảy ra biến dạng hoặc biến dạng còn nhỏ, với các vật liệu như: thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bê tông LEFM cho kết quả tính toán có độ chính xác khá cao Tuy nhiên, đối với vật liệu dễ uốn như thép carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính dẻo luôn xảy ra trước phá hủy Tuy nhiên, khi tải trọng nhỏ, LEFM vẫn cho kết quả gần đúng EPFM được áp dụng cho để tính toán cho các kết cấu có vật liệu có tính chất đàn hồi-dẻo EPFM là trường hợp mà khi xuất hiện vết nứt, vật liệu đã có sự biến dạng (chảy dẻo)

Dựa theo tính chất của vật liệu của kết cấu Cơ học phá hủy được chia thành các dạng sau:

- Vật liệu có tính chất độc lập tuyến tính theo thời gian ( Linear time –

independent materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính

- Vật liệu có tính chất độc lập phi tuyến theo thời gian ( Nonlinear time –

independent materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi phi tuyến

- Vật liệu có tính chất thay đổi theo thời gian ( Time – dependent materials) :

Động lực học cơ học phá hủy, cơ học phá hủy nhớt đàn hồi, cơ học phá hủy nhớt dẻo

 Độ bền của tổ chức vết nứt

Hình 1.3 Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu thử kim loại

3 các dạng phá hủy (Fracture modes)

Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản

Hình 1.4 Ba chế độ phá hủy cơ bản

 Dạng mở rộng (mode I) các bề mặt phá hủy bị tách theo phương Y

 Dạng trượt (mode II) các bề mặt trượt lên nhau theo phương X

 Dạng trượt xoay (mode III) các bề mặt trượt lên nhau và xé ra theo phương Z

Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên Trong đó chế

độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật

4 Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất

4.1 Bài toán Westergaard

Khi vết nứt xuất hiện, tại vùng gần đỉnh của vết nứt có xuất hiện ứng suất tập

trung, để biểu thị cho mức độ tập trung của ứng suất tại vùng gần đỉnh của vết nứt

người ta dùng hệ số K được gọi là hệ số cường độ ứng suất

Xét bài toán khe nứt elip trong tấm phẳng có kích thước lớn vô hạn

} (1.4)

Với là các ứng suất gần đỉnh vết nứt, tương ứng với 3 dạng phá hủy ta sé cố

các hệ số cường độ ứng suất KI, KII, KIII

Kết hợp (1.1) và (1.4) với ta có: √ √ √ √ (1.5)

Kết quả (1.5) chỉ đúng trong trường hợp tấm phẳng vô hạn, đới với trường hợp

tấm phẳng hữu hạn với các mô hình nứt khác nhau thì :

KI = √ (1.6)

Với là hàm phụ thuộc vào các dạng mô hình nứt khác nhau

4.3 Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt

 Dạng phá hủy I :

Trường ứng suất

√ ( )

(1.7)

√ ( )

(1.8)

√

(1.9) Trường chuyển vị

√ * + (1.10)

√ * + (1.11)  Dạng phá hủy II : Trường ứng suất

√ ( ) (1.12)

√ ( ) (1.13)

√ (1.14)

Trường chuyển vị

√ * + (1.15)

√ * + (1.16) Đối với phá hủy dạng I và II,

√ (1.18) (1.19)

Trường chuyển vị

Ngoài ra, trường ứng suất và trường chuyển vị còn được biểu diễn dưới dạng tọa

độ cực Với mô hình nứt dạng hỗn hợp ta áp dụng nguyên lý chồng chập tuyến tính trong hệ tọa độ vuông góc hay hệ tọa độ cực để tính

4.4 Sự ph thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt và ph tải

 Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

√ (1.22) ( ) ( )

( ) ( ) (1.23)

 Tấm phẳng với hai vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

√ ( ) ( ) ( )

(1.30)

 Tấm phẳng với vết nứt biên chịu tải tập trung ở giữa và hai gối tự

4.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất

Theo lý thuyết cơ bản về tuyến tính, ứng suất tại đỉnh của vết nứt là vô cùng nhưng trong thực tế, luôn có vùng chảy dẻo tại đỉnh của vêt nứt ở đó giới hạn một ứng suất có giá trị hữu hạn Rất khó khăn để mô hình và tính toán ứng suất thực tế trong vùng chảy dẻo và so sánh chúng với giá trị ứng suất cho phép lớn nhất của vật liệu để xác định liệu rằng một vêt nứt có phát triển hay không

Một kỹ thuật tiếp cận là thực hiện một loạt các thí nghiệm đê tìm ra một giá trị hệ

số cường độ ứng suất Kc (Kc là một đặc tính của vật liệu đặc trưng cho sự chống lại sự phá hủy của vật liệu) tương ứng với mỗi vật liệu Kc được gọi là độ bền phá hủy của vật liệu một vật được xác định khả năng nứt bằng cách so sánh Ki với Kci tương ứng (i=I,II,III) Sự phá hủy xảy ra khi Ki Kci

5 Năng ượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ ệ năng ượng giải phóng

5.1 Cân bằng năng ượng trong vết nứt

Sự khác biệt giữa một khối nứt và một khối không nứt là sự suất hiện thêm các bề mặt do sự xuất hiện các vết nứt Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) sẽ tiêu thụ năng lượng từ các bề mặt mang năng lượng cao hơn năng lượng của chi tiết và giải phóng ra năng lượng Sau đó quá trình nứt có tiếp tục diễn ra hay không còn phụ thuộc vào việc nó có chứa đủ năng lượng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân bằng của nó Nói cách khác quá trình nứt diễn ra khi xảy ra sự mất cân bằng năng lượng giữa các bề mặt với năng lượng của bản thân kết cấu, chi tiết

Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời gian do

tác dụng của tải trọng (

.

W) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi nội năng đàn hồi (internal

elastic energy) ( ̇ ), năng lượng biến dạng dẻo ( ̇ ), động năng (kinetic energy) ( ̇)

của vết nứt, và năng lượng cần thiết để tăng vết nứt cho một đơn vị thời gian ( ̇) Nói

các vết nứt, chúng ta có:

A A

Ở đây,  U E W là thế năng của hệ

Phương trình (1.35) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lượng tiêu tan trong kết

cấu dẻo và tạo ra bề mặt

5.2 Lý thuyết Griffith

Theo định luật nhiệt động lực học đầu tiên, khi một hệ chuyển từ trạng thái không

cân bằng sang trạng thái cân bằng sẽ có sự suy giảm năng lượng Griffith áp dụng ý

tưởng này để giải thích sự hình thành vết nứt Một vết nứt có thể hình thành nếu có một

quá trình nào đó làm cho tổng năng lượng suy giảm hoặc cònlại mộtgiátrị hằng số Do

đó điều kiện cần thiết để định nghĩa một khe nứt tồntại dưới điều kiện cân bằng là

không có sự thay đổi trong tổng năng lượng

Xét một tấm phẳng chịu ứng suất đều và có một khe

nứt chiều dài 2a Giả thiết rằng chiều rộng của tấm phẳng

rất lớn so với chiều dài 2a của khe nứt và điều kiện ở đây

là ứng suất phẳng Để khe nứt có thể tăng trưởng kích

thước thì thế năng có trong tấm phẳng phải vượt qua năng

lượng bề mặt của vật liệu Thuyết cân bằng năng lượng của

Griffith cho sự tăng trưởng của vùng nứt dưới điều kiện

cân bằng được biểu diễn như sau:

(1.36)

Hay:

(1.37)

Trong đó A là diện tích mặt nứt, E là tổng năng lượng, П là thế năng được cung cấp bởi nội năng biến dạng và ngoại lực, và Ws là công cần thiết tạo ra bề mặt mới Đối với tấm phẳng nứt trong hình trên, Griffith sử dụng phương pháp phân tích ứng suất của Inglish để chỉ ra

(1.38) Với П0 là thế năng của tấm phẳng khi chưa nứt và B là độ dày tấm phẳng Do sự hình thành khe nứt đòi hỏi sự tạo thành của hai mặt phẳng nên Ws được cho bởi:

(1.39) Với γS là năng lượng bề mặt của vật liệu

Ta có:

(1.40) (1.41)

Và ta cũng có :

(1.42)

Từ (1.41) và (1.42) ta tìm được ứng suất gây nứt : (1.43)

Phương pháp Griffith cũng có thể dùng để áp dụng tính toán cho các mô hình nứt

khác

5.3 Tỷ lệ giải phóng năng ượng G

Đối với một vật liệu giòn lý tưởng (vật liệu tuyến tính đàn hồi), năng lượng tiêu

tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và có thể được bỏ qua ( ̇ =0) Do vậy, năng

lượng để mở rộng một đơn vị của bề mặt vết nứt G có thể được xác định (theo [1]):

Phương trình trạng thái cân bằng ở trên có nghĩa là thế năng trong vật thể cần phải

thắng năng lượng bề mặt của vật liệu (năng lượng cần thiết để vết nứt lớn thêm ra) G

còn được gọi là tỷ lệ giải phóng năng lượng đàn hồi hay độ cứng chống phá hủy

Theo công thức (1.41) tỷ lệ giải phóng năng lượng trong mô hình nứt trên là:

(1.45) Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, với một vật thể có tải trọng không đổi luôn tuân

theo quy luât(theo định lý Clapeyron):





 (1.47)

Ý nghĩa vật lý đầy đủ của tỷ lệ giải phóng năng lương G là nó biểu thị năng lượng

trên một đơn vị diện tích sẽ được giải phóng nếu vết nứt phát triển Lưu ý rằng phương

trình chỉ đúng khi vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính Nếu vật thể đàn hồi phi tuyến hoặc

có tính dẻo đáng kể, phương trình không còn giá trị

5.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai

Vết nứt sẽ phát triển khi G tiến đến hoặc vượt một giá trị cực đại Gc:

(1.48)

Gc được gọi là độ bền phá hủy của vật liệu theo tiêu chuẩn năng lượng

5.5 Mối quan hệ giữa K và G

- Với mô hình phá hủy dạng I và II

Để xác định được đại lượng năng lượng sao cho mô tả chính xác ứng xử đàn dẻo của vật liệu có độ bền cao, người ta đưa ra một cách tiếp cận khác đó là tích phân J (J-Integral) Tích phân J là một loại tích phân đường được James Rice nghiên cứu và phát

triển do sự khó khăn trong việc tính toán ứng suất đối với các vết nứt kín trong vật liệu

đàn hồi phi tuyến (nonlinear elastic) hay vật liệu đàn hồi dẻo (elastic plastic)

Xét mô hình với vêt nứt bị bao quanh bởi biên dạng tùy ý có chiều ngƣợc chiều

kim đồng hồ Tích phân J đƣợc xác định nhƣ sau :

∫ ( ) (1.53) Với : w – mật độ năng lƣợng biến dạng

– thành phần vector lực tác dụng đều – thành phần vector chuyển vị

– phần tử vi phân dọc theo biên

- Trong đó mật độ năng lƣợng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

∫

ở đây, và là các tensor ứng suất và biến dạng

- Các thành phần vector lực tác dụng đều đƣợc tính nhƣ sau:

Với là các thành phần vector pháp tuyến của biên dạng

6.2 Tỷ lệ năng ƣợng giải phóng phi tuyến

Xét một vết nứt hai chiều đƣợc bao quanh bởi biên Г Bên trong là vùng diện tích Ω.Bỏ qua sự tác dụng của lực thể tích, thế năng đƣợc cho bởi công thức sau:

Khi vết nứt phát triển, sự thay đổi của thế năng nhƣ sau :

∫ ∫ ( ) (1.57)

∫ ∫ ( ) ∫ ( ) (1.58)

Do

= 0 trên miền chuyển vị bị ràng buộc =0 và

=0 trên miền chịu tác dụng của áp lực nên công thức (1.58) đƣợc viết lại nhƣ sau :

( )

( )]

Suy ra: ∫ ∫ ∫ (1.70) Thế phương trình (1.68) vào phương trình (1.70) ta có:

Do đó tích phân J được xem như là tỷ lệ giải phóng năng lượng phi tuyến

6.3 Sự bất biến của tích phân J

Tích phân J được xem là một đường độc lập khi :

- Không có lực thể tích bên trong miền lấy tích phân

- Không có áp lực lên mặt vết nứt

- ứng xử của vật liệu là đàn hồi (tuyến tính hoặc phi tuyến)

- Trong trường hợp có lực thể tích hoặc có áp lực lên mặt vêt nứt thì một vài thông số khác phải được thêm vào tích phân

Tích phân J =0 đối bất kỳ đường biên kín, đối với tích phân đường biên bao quanh vết nứt,lúc này tích phân J sẽ khác 0 và trở thành tích phân đường độc lập

6.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba

Cũng giống như hai tiêu chuẩn phá hủy trên, khi giá trị của tích phân J vượt quá một giá trị cực đại Jc Jc cũng được coi như độ bền phá hủy theo tiêu chuẩn năng lượng đối với vật liệu đàn hồi dẻo

6.5 Mối quan hệ giữa J,K và G

Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính, tích phân J cũng giống như tỷ lệ năng lượng giải phóng G, cả hai đều có mối liên hệ với hệ số cường độ ứng suất như sau :

{

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn

1.1 Khái niệm chung

Trong cơ học vật rắn, với các kết cấu phức tạp việc giải các bài toán cơ học chúng

ta thường gặp các bài toán yêu cầu xác định trường giá trị của một hay nhiều đại lượng nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng…) trong một miền xác định Khi xây dựng mô hình toán học cho kết cấu thực tế thường nhận được một hay một hệ phương trình vi phân Với miền xác định, điều kiện biên và các ngoại lực phức tạp thì việc giải quyết bài toán bằng phương pháp giải tích là không khả thi mà cần phải sử dụng các phương

pháp số như phương pháp sai phân hữu hạn,phần tử hữu hạn, phần tử biên…

Trong các phương pháp trên, phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp mạnh trong việc phân tích kết cấu cơ học

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số, đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó dựa trên ý tưởng chia một vật thể phức tạp thành các phần tử nhỏ có kết cấu đơn giản

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con V j (phần tử) Các miền này được liên kết với nhau bởi các điểm nút Trên miền con này, dạng biến phân tương

đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử

Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử

và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán

Ưu điểm của phương pháp phần tử hữu hạn là có thể dùng nó để giải các bài toán

kĩ thuật phức tạp, dễ dàng công thức hóa và số hóa bài toán kỹ thuật, có thể ứng dụng

để giải các bài toán phi tuyến Đồng thời Phương pháp PTHH có các bước giải được

hệ thống hóa rõ ràng nên được ứng dụng rộng rãi Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp PTHH là kết quả tìm được chỉ mang tính xấp xỉ và phụ thuộc vào các dạng phần

tử và mật độ các phần tử được chọn Để khắc phục những nhược điểm này ta có thể áp dụng các phương pháp kiểm tra như tính toán lại bằng tay hay dùng thí nghiệm kiểm chứng lại

1.2 Nội dung của phương pháp

Để giải một bài toán biên trong miền V, ta chia thành một số hữu hạn các miền con (e = 1, , n) sao cho hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung nhau đỉnh hoặc các cạnh Mỗi miền con được gọi là một phần tử hữu hạn

Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gian hữu hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền V Có thể chọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x), , ψn(x) có giá trị trong một số hữu hạn phần tử ở gần nhau Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu được tìm dưới dạng:

c1ψ1(x) + + cnψn(x) trong đó các ck là các số cần tìm

Thông thường người ta đưa việc tìm các ck về việc giải một phương trình đại số với ma trận thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một số đường song song nằm sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ giải Có thể lấy cạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc đường cong để xấp xỉ các miền có dạng hình học

phức tạp Phương pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình

Thông thường với bài toán cơ vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ý nghĩa vật

lý của hàm xấp xỉ, người ta có thể phân tích bài toán theo 3 dạng mô hình sau:

 Trong mô hình tương thích: Người ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước

và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phân tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange

 Theo mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ được biểu diễn dạng gần đúng phân bố

của ứng suất hay nội lự trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay nguyên lý biến phân về ứng suất (Nguyên lý Castigliano)

 Theo mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị ứng suất là 2 yếu tố độc

lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phân tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ

sở nguyên lý biến phân Reisner

Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một phương trình đại số vừa nhận được thì cũng có nghĩa là ta tìm được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cần tìm trong tất cả các phần tử Và từ đó cũng tìm ra được các đại lượng còn lại

1.1 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn

Bước 1 : Rời rạc hóa miền khảo sát

Trong bước này miền khảo sát V được chia thành các miền con hay thành các phần tử có dạng hình học thích hợp

Hình 2.1 mô hình các phần tử đơn giản

Với các bài toán cụ thể số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũng như kích thước các phần tử được xác định rõ Số điểm nút của mỗi phần tử không lấy được một cách tùy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn

Bước 2 : Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

Vì đại lượng cần tìm chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó sao cho đơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thỏa mãn các tiêu chuẩn hội tụ và thường chọn ở dạng đa thức

Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị và có thể cả các đạo hàm của nó tại các nút của phần tử {qe}

Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử [K e ] và vectơ tải phần tử {P e }

Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp hoặc sử dụng nguyên lý biến phân, hoặc các phương pháp biến phân…

Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình thức như một phương trình

[K]: Ma trận độ cứng tổng thể (hay ma trận hệ số toàn miền)

{q}: Vectơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại các nút (còn gọi là vectơ chuyển vị nút tổng thể)

{P}: Vectơ các số hạng tự do tổng thể (hay vectơ tải tổng thể )

Rồi sử dụng điều kiện biên của bài toán, mà kết quả nhận được là hệ phương trình sau: