Như chúng ta đã biết, phương trình và hệ phương trình là một dạng toán hay và khó, được rất nhiều bạn học sinh và thầy cô giao yêu thích. Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải một phương trình hay hệ phương trình, nhiều khi chúng ta cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng hơn trong việc giải toán. Đó là một điều khá khó, không hẳn ai cũng làm được, không có phương pháp chung để giải. Mình xin trình bày ý tưởng của mình về phương pháp phân tích thành nhân tử trong Phương trình vô tỷ và Hệ phương trình có hệ số nguyên.
Phương pháp phân tích thành nhân tử Như biết, phương trình hệ phương trình dạng toán hay khó, nhiều bạn học sinh thầy cô giao yêu thích Nó thường xuyên xuất kì thi quan trọng kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải phương trình hay hệ phương trình, nhiều cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng việc giải toán Đó điều khó, không hẳn làm được, phương pháp chung để giải Mình xin trình bày ý tưởng phương pháp phân tích thành nhân tử Phương trình vô tỷ Hệ phương trình có hệ số nguyên I Phương trình vô tỷ: Như biết, việc phân tích thành nhân tử phương trình vô tỷ thường đưa dạng: − − − − f + k√g = (a + k1 √g )(b + k2 √g ) Phương pháp phân tích: Tìm nghiệm phương trình Ta chia làm hai trường hợp: a) Nghiệm phương trình số vô tỷ Phương pháp thể qua ví dụ sau: VD1: Giải phương trình: f(x) = x − −−−−−−−− √ + − (x + 1) x − 2x + = Hướng giải: Bước 1: Tìm tập nghiệm phương trình: S = {1 ± √2 } Bước 2: Tại giá trị xlà nghiệm giá trị thức bao nhiêu: − −−−−−−−− x = + √2 → √x − 2x + = − −−−−−−−− x = − √2 → √x − 2x + = Điều chứng tỏ sau phân tích thành nhân tử có nhân tử − −−−−−−−− √ ( x − 2x + − 2) Bước 3: Xét tổng, hiệu để làm thức: − −−−−−−−− 2 √ f(x) + (x + 1)( x − 2x + − 2) = x − 2x − Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử bước 2: − − − − −− − − − − − − − − −− − − − − 2 (√x − x + − 2) (√x − x + + 2) = x − x − Suy ra: f(x) = ( − 2)( + 2) − −−−−−−−− − −−−−−−−− 2 f(x) = (√x − 2x + − 2)(√x − 2x + + 2) − −−−−−−−− √ − (x + 1)( x − 2x + − 2) − − − − −− − − − − − − − − −− − − − − 2 f(x) = (√x − x + − 2) (√x − x + + 2) − (x + 1) − − − − −− − − − − − − − − −− − − − − 2 (√x − x + − 2) = (√x − x + − 2) − − − − −− − − − − √ ( x − x + − x + 1) Bài giải: Bạn đọc tự giải Nhận xét: Phương pháp áp dụng cho phương trình vô tỷ mà có chứa thức nghiệm phương trình số vô tỷ Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi phương pháp xét ví dụ sau: VD2: Giải phương trình: − −−−− − − − − − − − − − − f(x) = 5x + + 13 √x − − √x + − √x − = Hướng giải: (tương tự VD1) Bước 1: Tập nghiệm phương trình S 20 − √7 = Bước 2: Tại 20 − √7 x = 35 + √5 , −2 + √7 − − − − − √x − = −1 + √7 − − − − − x + = √ Bước 3: Do hệ số phương trình vô tỷ số nguyên nên giả sử sau phân tích f(x) thành nhân tử nhân tử có dạng − − − − − − − − − − a√x − + b√x + + c với a, b, c số nguyên Do đó, ta cần tìm mối liên hệ thức: − − − − − − − − − − √x + − √x − − = 35 + √ 35 + √5 Tương tự với nghiệm x mối liên hệ thức là: = − − − − − − − − − − √x − − √x + + = Do chứa f(x) nhân − − − − − − − − − − ( √x + − √x − − 1) tử − − − − − − − − − − √x − − √x + + Bước 4: Nhẩm thấy − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − f(x) = ( √x − − √x + + 6) (2 √x − − √x + + 1) (nếu không từ nhân tử, ta biến đổi nhân tử đó) Bài giải: Bạn đọc tự giải f(x) thành cụm chứa b) Nghiệm phương trình số nguyên: TH1: Phương trình vô tỷ có thức, biểu thức có dạng − − −−− √ax + b Lưu ý: Kể nghiệm phương trình số vô tỷ áp dụng phương pháp VD3: Giải phương trình: f(x) = x − −−−− − 3x + − x√3x − = Hướng giải: Bước 1: Đặt t − −−−− t = √3x − → x = + Bước 2: Thế x t + = vào phương trình, ta được: f(x) = ( t 2 ) + − ( = − t t (t − 1)(t − 2)(2 t )t + + 3t + 4) Bước 3: Thay ngược trở lại: − −−−− t = √3x − t = 3x − vào nhân tử, ta được: f(x) = − −−−− − −−−− − −−−− ( √3x − − 1)( √3x − − 2)(2(3x − 2) + √3x − + 4) f(x) = − − − − − − − − − − − − ( √3 x − − 1) (√3 x − − 2) − − − − − − (2(3 x − 2) + √3 x − + 4) = − − − − − − (√3 x − − 1) − − − − − − − − − − − − ( √3 x − − 2)(2 x + √3 x − ) Từ ta phân tích thành nhân tử TH2: Phương trình vô tỷ chứa thức biểu thức thức đa thức bậc cao VD4: Giải phương trình: f(x) = x + x − − (4 x − − − − − − − − − − x + 2)√x − x − = Nhận xét: Phương trình khó phân tích thành nhân tử có nghiệm x = nên thức biến khó có mối liên hệ Do đó, ta nghĩ tới việc tìm nghiệm phức phương trình Bước 1: Từ giải thiết ta có: = (2 x + x − 2) 2 − (4 x − x + 2) (4 x Ta không quan tâm đến nghiệm 2 − x + 2) (x = −(x − 2) (3 x 3x x = mà + 4x quan − x − 1) + x + 2) tâm đến nhân tử − 3x + Bước 2: Nếu x thỏa mãn 3x − 3x + = − − − − − − − − − − − √15 √x − x − = i = − 2x ( − x + 1) − − − − − − − − − − x − − x + 1) Do f(x) có nhân tử (√x Bước 3: Xét tổng, hiệu với nhân tử để làm thức: − − − − − − − − − √ − x + 2)( x − x − − x + 1) = −2 f(x) + (4 x x(3 x − x + 2) Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử tìm bước 2: − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 (√x − x − − x + 1) (√x − x − + x − 1) = −3 x + x − Từ ta được: − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 f(x) = 2x(√x − x − − 2x + 1)(√x − x − + 2x − 1) − − − − − − − − − √ − x + 2)( x − x − − 2x + 1) − (4 x − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 √ √ f(x) = x( x − x − − x + 1) ( x − x − + x − 1) − − − − − − − − − − x + 2) (√x − x − − x + 1) − (4 x − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 = (√x − x − − x + 1) (2 x√x − x − − x − 2) TH3: Phương trình vô tỷ chứa nhiều thức hệ số số nguyên nhỏ Lưu ý: Trường hợp áp dụng cho VD2 VD5: Giải phương trình: f(x) = x − 8x − − − − − − − − − − − 8x − 127 + 73 √x + + 39x√x − = Giả sử sau phân tích thành nhân tử, f(x) trở thành: (a − − − − − + b√ + c) (d − − − − − + e√ + f) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − (a√x + + b√x − + c) (d √x + + e √x − + f) − −−−− − − − − − Do f(x) hệ số √x − , hệ số √x − 39x , không chứa hệ số tự nên b = ux, e = vx, du + av = , u, v số nguyên Hệ số − − − − − √x + số nguyên, c f số nguyên nên a, d số nguyên Tóm lại f(x) có − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − (k√x + + kx√x − + m) (t√x + − tx√x − + n) Dễ thấy x = dạng: nghiệm phương trình nên tồn nhân tử nhận x = làm nghiệm Nếu − − − − − − − − − − (k√x + + kx√x − + m) = x = Khi 17 k + m = hay m 17 = − k Vậy 17 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ) k√x + + kx√x − + m = k(√x + + x√x − − − − − − − Suy f(x) có nhân tử (8 √x + − − − − − + x√x − − 17) Dễ dàng phân tích − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − f(x) = (8 √x + + x √x − − 17) ( √x + − x √x − − 7) − − − − − Nếu (t√x + − − − − − − tx√x − + n) = − − − − − x = − − − − − Khi n Khi f(x) có nhân tử √x + − x√x − − − − − − − − − − − − Suy nhân tử lại √x + + x√x − − 7 = − t Thành thử thấy không thỏa mãn Vậy $ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − f(x) = (8 √x + + x√x − − 17) (√x + − x√x − − 7) $ Lưu ý: Cách làm chủ yếu dựa vào đánh giá, không khái quát cách làm, dễ nhầm lẫn Do đó, ta biến đổi phương trình thành 8b với a 8b 2 − 8a − 119 + 73a + 39b = − − − − − − − − − − = √x + , b = x√x − − 8a Khi − 119 + 73a + 39b = −(8a + 8b − 17)(a − − b) = TH4: Phương trình vô tỷ có nhiều thức, có nhiều hai nghiệm hữu tỷ: Lưu ý: Trường hợp gặp VD6: Giải phương trình: − −−−− − − − − − − − − − − f(x) = 11 x + 47 − √x − − √x − − 38 √x + = Hướng giải: Bước 1: Tìm tập nghiệm phương trình: S = { 325 } , 36 Bước 2: Xét giá trị nghiệm để tìm hai số a, b thỏa mãn: − − − − − − − − − − √x − + a√x + + b = Ta a = − ,b = 5 − − − − − Chứng tỏ có nhân tử (5 √x − − − − − − − √x + + 8) Bước 3: Chia đa thức ta − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − f(x) = (5 √x − − √x + + 8) (2 √x − + √x + − 2) Tóm lại: Việc phân tích thành nhân tử phương trình vô tỷ dễ dàng việc tìm nghiệm phương trình Việc tìm nghiệm giúp ích việc giải hệ phương trình, kỹ nhẩm nghiệm quan trọng II Hệ phương trình hệ số nguyên Sau phương pháp em tự nghĩ cho việc giải hệ phương trình với hệ số nguyên Phương pháp yêu cầu phải biết trước vài cặp nghiệm hệ phương trình yêu cầu chăm việc phân tích thành nhân tử Để hiểu phương pháp, ta thử làm ví dụ sau: VD7: Giải hệ phương trình sau: +3xy − y { x + 23y − 17 = − 2xy + y − 6y − = Hướng giải: Đặt a = x + 3xy − y + 23y − 17 b = x − 2xy + y − 6y − Cách 1: Từ giả thiết ta có: = a + b = (x + 2y − 5)(2x − 3y + 4) Cách 2: Từ giả thiết ta có: = 33a + 59b = (23x + 24y − 123)(4x − 5y + 6) Từ cách ta a = b = x = my + n vào hai phương trình Lời giải dành cho bạn đọc Nhận xét: Theo cách 1, nhiều người nghĩ tới việc phân tích nhân tử a + b Tuy nhiên, làm theo cách lại xuất việc phân tích thành nhân tử 33a + 59b , lại không lấy hệ số khác mà lại lấy hệ số (33, 59)? Do phương pháp giúp bạn tìm hệ số cần biến đổi để phân tích thành nhân tử Như phương pháp phân tích thành nhân tử phương trình vô tỷ, ta chia phương pháp làm trường hợp khác nhau: TH1: Hệ phương trình hai ẩn dạng: { A = a1 x B = a2 x + b1 y + b2 y 2 + c1 xy + d x + e1 y + f + c2 xy + d x + e2 y + f = = Ta cần tìm hệ số k cho A + kB phân tích thành nhân tử Cách 1: Đặt a = a1 + ka2 , b = b1 + kb2 , c = c1 + kc2 , a = a1 + ka2 , b = b1 + kb2 , c = c1 + kc2 , d = d + kd , e = e1 + ke , f = f + kf Khi k nghiệm phương trình sau với a (cd − 2ae) = (c 2 ≠ − 4ab)(d − 4af) viết gọn thành: cde + 4abf = ae + bd + fc Cách 2: Tìm hai cặp nghiệm hệ phương trình, giả sử (x, y) = (m, n); (p, q) Khi hai điểm (m, n); (p, q) thuộc đường thẳng (n − q)x − (m − p)y + mq − np = Cho điểm khác (a, b) Khi đó, k = − (x, y) = (m, n); (p, q) thuộc (x, y) = (a, b) A = A1 , B = B1 đường thẳng số Vậy A1 B1 VD8: Giải hệ phương trình sau: x { 21 x Hướng giải: a) Theo cách cde + 4abf = ae Với + 8y − 24 y 2 + bd − 6xy + x − 3y − 624 = − 30xy − 83x + 49y + 585 = k + fc nghiệm phương trình: a = + 21k, b = − 24k, c = −6 − 30k, d = − 83k, e = −3 Ta + 49k, f = −624 + 585k (9k − 11)(31k − 1)(5265k − 227) Từ ta cách làm cho toán = b) Theo cách 2, ta tìm trước nghiệm hệ phương trình: 13 ( 169 ); (−222, − ,− 897 24 131 ); (− Chọn hai cặp nghiệm bất kì, ví dụ 1201 13 ( ) , 72 144 169 ); (−222, − ,− 897 24 ) Khi đường thẳng qua hai điểm là: 26x − 56y − 507 = Do đó, điểm ( 39 , 0) thuộc đường thẳng Tại điểm A 897 = − , 27807 B = Vậy k Tức A = − = B phân 31 tích thành nhân tử đa thức31A + B, ta (2x − 4y + 37)(26x − 56y − 507) = Lưu ý: Theo cách sau tìm k phương trình đường thẳng qua điểm nghiệm sau phân tích thành nhân tử, có nhân tử phương trình đường thẳng TH2: Hệ phương trình hai ẩn hệ số nguyên có dạng khác TH1 Ở đây, hệ số k cần nhân thêm vào số mà biểu thức chứa biến Cách làm có số khác biệt so với TH1 Hãy xem cách làm hệ phương trình sau đây, khiến Hệ phương trình có nhiều cách làm VD9: Giải hệ phương trình: x { + xy − x − y x − 9y = − 20 x − x y − 20 y = Hướng giải: Đặt a = 3x + xy − x − y − y = 0; b = x − 20 x − x y − 20 y = Bước 1: Tìm nghiệm hệ phương trình, cần hai nghiệm hữu tỷ nghiệm vô tỷ Phương trình có cặp nghiệm dễ thấy (x, y) Ngoài cặp nghiệm − − − 15 + √145 (10, 15); ( = (0, 0); (2, −1) − − − , 11 + √145 ); (10, 15); − − − 15 + √145 ( − − − , 11 + √145 ); ( − − − 15 − √145 − − − , 11 − √145 ) Bước 2: Chọn cặp nghiệm bất kì, ví dụ (x, y) đường thẳng qua hai điểm x + 2y = = (0, 0); (2, −1) Khi Tại x = −2y a = 9y(y + 1) b = −20y(y + 1)(y − 1) Vậy để sau phân tích thành nhân tử có nhân tử (x + 2y) cần lấy 20(y − 1)a + 9b = phân tích thành nhân tử Tức là: 20(y − 1)a + 9b = (x + y) (18 x Bước 3: Xét hệ mới: + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y) 3x { 18 x + xy − x − y − 9y = + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y = Theo TH1 ta tìm cách khác để phân tích nhân tử hệ Nhận xét: Với cặp nghiệm, ta có khoảng cách cho trường hợp Do toán có khoảng 10 cách làm, hầu hết cách làm giống Với cách làm kiểu này, khó khăn cho người chấm thi, khó khăn cho người làm dễ viết sai Tuy nhiên, phương pháp giải nhiều hệ phương trình hệ số nguyên Xét ví dụ sau: VD10: Giải hệ phương trình: x { x − 2y Hướng giải: Gọi a VT PT(1), − y − 3(x − 240 = − 4y ) + 4(x − 8y) = VT PT(2) Dễ thấy hệ có nghiệm (x, y) = (4, 2); (−4, −2) nên theo phương pháp nghĩ tới việc cho x = 2y ,từ lấy 5(y + 4)a − 2yb = Tuy nhiên, cách dài, không khả quan hai phương trình không chứa hệ số xy Ta đặt x = ±y + k để PT(1) giảm bậc xuống bậc 3, PT(2) bậc 3, thuận tiện việc tìm hệ số k số biểu thức Do hệ có nghiệm (x, y) = (4, 2); (−4, −2) nên ta tìm nhân tử (x + y − 6) (x + y + 6) Tại x = − y a = −24(y − 2)( y − 7y + 22) Và b = −3(y − 2)(y b − 7y + 22) Duy k = −8 Vậy lấy P T (1) − 8P T (2) ta được: (x + y − 6)(x − y + 2)((x − ) Còn x = −6 − y 2 + (y − ) ) = a = 24(y + 2)(y + 7y + 22) b = −3(y + 2)(y + y + 58) Khi k số nên loại Vậy ta phân tích nhân tử cách VD11: Giải hệ phương trình: x y { + 3x + 3y − = x y − 4xy − y + 2y − x + = Hướng giải: Gọi a, b VT PT(1), PT(2) Dễ thấy HPT có nghiệm (x, y) = (0, 1); (1, 0) nên ta nghĩ tới việc thay x = − y 2 Tại x = − y a = y (y − ) b = y Vậy ta phân tích thành nhân tử đa thức: a + (1 (x + y − 1)(3 y 2 (y − 1) Do k − y)b , ta được: = − y + xy − 2y + 2) = Xét hệ mới: 3y { + xy − 2y + = x y − 4xy − y + 2y − x + = Trong nghiệm HPT này, có cặp nghiệm mà ta phải để ý tới: − − −1 ± √23 i (x, y) = (3, ) Do đó, đường thẳng qua điểm x = Tại x = HPT trở thành PT bậc nên ta cho y = (hoặc được), 2 3y + xy − 2y + = x y − 4xy − y + 2y − x + = −2 ^ k = , nên cộng PT với nhau, ta được: (x − 3)(xy − 1) = Từ ... Do phương pháp giúp bạn tìm hệ số cần biến đổi để phân tích thành nhân tử Như phương pháp phân tích thành nhân tử phương trình vô tỷ, ta chia phương pháp làm trường hợp khác nhau: TH1: Hệ phương. .. B phân 31 tích thành nhân tử đa thức31A + B, ta (2x − 4y + 37)(26x − 56y − 507) = Lưu ý: Theo cách sau tìm k phương trình đường thẳng qua điểm nghiệm sau phân tích thành nhân tử, có nhân tử phương. .. −2y a = 9y(y + 1) b = −20y(y + 1)(y − 1) Vậy để sau phân tích thành nhân tử có nhân tử (x + 2y) cần lấy 20(y − 1)a + 9b = phân tích thành nhân tử Tức là: 20(y − 1)a + 9b = (x + y) (18 x Bước 3: