Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 58 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
58
Dung lượng
8 MB
Nội dung
đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học 0 Phạm Bá Tuyên Hàmlồivàcáctínhchất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học 0 Phạm Bá Tuyên Hàmlồivàcáctínhchất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ khoa học toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS-TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học 0 Phạm Bá Tuyên Hàmlồivàcáctínhchất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS-TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên 9/2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ¯ R R n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn . . . . . . . . . R n n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn R n f f f Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 09 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn I R I = (p, q) − ∞ < p < q < +∞ f : I → R f f(λa + (1 − λ)b) ≤ λf(a) + (1 − λ)f(b) a, b ∈ I, λ ∈ R, 0 < λ < 1. 1.1 (a, f(a)) (b, f(b)) f f f (1.1) a = b. f : I → R f(x) ≤ b − x b − a f(a) + x − a b − a f(b) a, b, x ∈ I a < x < b. f(a) + f(b) − f(a) b − a (x − a) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn f(λa + µb) ≤ λf(a) + µf(b) a, b, x ∈ I λ, µ ∈ R λ > 0, µ > 0, λ + µ = 1 • f g α ≥ 0, β ≥ 0 αf + βg f : I → R n i=1 λ i x i ∈ I f n i=1 λ i x i ≤ n i=1 λ i f(x i ) x i ∈ I, λ i ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n), n i=1 λ i = 1. f I → R f I f f : I → R f(x) − f(a) x − a ≤ f(b) − f(a) b − a ≤ f(b) − f(x) b − x a, b, x ∈ I, a ≤ x ≤ b f (1.2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.2 (AB) ≤ (AC) ≤ (BC). f f(x) ≤ b − x b − a f(a) + x − a b − a f(b) f(x) − f(a) ≤ a − x b − a f(a) + x − a b − a f(b) = x − a b − a [f(b) − f(a)] (1.2) f (1.3) (1.2) ✷ • I (I) f : I → R c ∈ (I) [a, b] ⊂ I a < c < b 1.1 f(c) − f(a) c − a ≤ f(x) − f(c) x − c x ∈ (c, b]. 1.1 x → f(x) − f(c) x − c (c, b]. f + (c) = lim x↓c f(x) − f(c) x − c f − (c) a < c < d < b h f(c) − f(c − h) h ≤ f(c + h) − f(c) h ≤ f(d) − f(d − h) h h ↓ 0 f − (c) ≤ f + (c) ≤ f − (d). f : I → R f int(I) f − f + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... 2 của hàm tựa lồi Tóm lại, chương này đề cập tới hàmlồi (hàm lồi chặt) một biến hữu hạn hay nhận giá trị vô cực và mở rộng của nó là hàm tựa lồi (hàm tựa lồi chặt) Giới thiệu một số tínhchất quan trọng của hàmlồi như tính Lipschitz, tính liên tục, tính khả vi của hàmlồivà xét khái niệm hàm liên hợp của hàmlồiCác khái niệm vàtínhchất đã xét của hàmlồi một biến sẽ được mở rộng cho hàmlồi nhiều... không nhất nhiết là hàm tựa lồi, nhưng một hàm tựa lồichặtvà liên tục là hàm tựa lồi (ví dụ x3 là hàm tựa lồichặtvà là hàm tựa lồi) + Hàmlồi là tựa lồi, nhưng điều ngược lại không chắc đúng (hàm tựa lồi, nhưng không lồi) Định lý sau cho thấy rõ điều đó Định lý 1.11 (Tính lồi kéo theo tính tựa lồi) Hàmlồi luôn là hàm tựa lồiHàmlồichặt luôn là hàm tựa lồichặt 17 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc... http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Hàmlồi trong Rn Hàmlồivàcác biến dạng của nó (lồi chặt, lồi manh, tựa lồi, ) có nhiều tínhchất đáng chú ý và hay được xét tới trong lý thuyết và ứng dụng thực tế Chương này giới thiệu về cáchàmlồi nhiều biến, cùng các tínhchất cơ bản của chúng Nội dung của chương chủ yếu dựa trên các tài liệu 2.1 [2], [4], [5] Định nghĩa và các tínhchất cơ bản Định nghĩa 2.1 + Hàm S Rn f :... f (y) < < + và mọi b R f (x) = f [a + (1 )y] < + (1 ) (do f (a) = < ) Đặt , ta có f (x) = Cáctínhchất a) e) của hàmlồi thực nêu trong mục 1.1 vẫn còn đúng đối với cáchàmlồi giá trị trong R, miễn là trong các tínhchất a), b) và d) ta hạn chế ở cáchàmlồi chính thường (để tránh các biểu thức dạng Sau đây ta sẽ dùng đến tính chất: hàmlồi chính thường trên phải và đạo hàm trái khắp... (x) = và f (x) = 2x1 6x2 2 6 2 f (x) xác định dương x nên hàm f đã cho là hàmlồichặt trên R2 Ví dụ 2.1 Xét hàm Do 2 25 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2.3 Các phép toán về hàmlồi Mệnh đề 2.6 a) Mọi tổ hợp tuyến tính dương của cáchàmlồi là hàmlồivà là hàmlồichặt nếu ít nhất một trong cáchàm đã cho là lồichặt b) Nếu f (x), x Rn , f (Ax + b) là hàm lồi. .. thường Chẳng hạn, nhưng 2 và giao của một họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi Nhận xét 2.2 Nếu rời nhau thì Khi đó hàm chỉ C (x) và D (x) C và D là hai tập lồi là cáchàmlồi chính thường, C (x) + D (x) là hàmlồi không chính thường bởi vì C (x) + D (x) = 2 + (x Rn ) Mệnh đề 2.7 Cho [, +] g(x) : Rn [, +] là một hàmlồivà (t) : Rn là hàmlồi không giảm Khi đó, f (x) = (g(x)) là hàmlồi trên Rn 26 S húa... thì cũng là hàm lồi, trong đó A là một ma trận vuông cấp n và b Rn c) Cận trên (supremum theo từng điểm) của một họ tuỳ ý cáchàmlồi (nói riêng cáchàm tuyến tính an) là hàmlồi Chứng minh a) b) Chứng minh suy trực tiếp từ định nghĩa hàmlồi c) Kết luận được suy ra từ sự kiện là nếu epi f = iI epi fi f (x) = sup fi (x) : i I f1 , , fm là cáchàmlồi chính thường thì f1 + .+fm là hàm lồi, có thể... của nó là tập lồi được gọi là hàm tựa lồi Một hàm mà mọi tập mức trên của nó là tập lồi được gọi là hàm tựa lõm Đương nhiên hàmlồi (lõm) là hàm tựa lồi (tựa lõm) Hệ quả 2.1 Giả sử fi là cáchàmlồi trên Rn , i R(i I), I là tập chỉ số bất kỳ Khi đó, tập sau đây là lồi: C = {x Rn : fi (x) i , i I} Chứng minh Do Ci = {x Rn : fi (x) i , i I} lồi i, nên C = 2 iI Ci lồi Định nghĩa 2.4 Hàm f trên Rn... của hàmlồi f : R R là lồi (do đó là một khoảng) Hàmlồi chính thường F: R R với miền hữu hiệu bằng cách mở rộng một hàmlồi hữu hạn trên F (x) = I I có thể nhận được lên toàn bộ f (x) nếu x I, + nếu x R theo cách sau: I, / 15 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Cách mở rộng này cho phép xử lý cáchàmlồi hữu hạn với các miền xác định khác nhau như những hàm lồi. .. http://www.Lrc-tnu.edu.vn a) Hàm f gọi là tựa lồi nếu f [a + (1 )b] f (b) với mọi b) Hàm a, b I f mà f (a) < f (b) và mọi (0, 1) gọi là tựa lồichặt nếu f [a + (1 )b] < f (b) với mọi a, b I mà f (a) < f (b) và mọi (0, 1) Có thể thấy: + Hàm f tựa lồi khi và chỉ khi R tập mức dưới {x I : f (x) } là lồi Đồ thị của hàm tựa lồichặt không chứa đoạn thẳng + Một hàm tựa lồichặt không nhất nhiết là hàm tựa lồi, nhưng . học khoa học 0 Phạm Bá Tuyên Hàm lồi và các tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên . học khoa học 0 Phạm Bá Tuyên Hàm lồi và các tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ khoa học toán học Ng-ời h-ớng dẫn. khoa học 0 Phạm Bá Tuyên Hàm lồi và các tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa