Hàm lồi và các tính chất

đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học -   - Phạm Bá Tuyên Hàm lồi tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học -   - Phạm Bá Tuyên Hàm lồi tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ khoa học toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS-TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại häc khoa häc -   - Phạm Bá Tuyên Hàm lồi tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60.46.36 Tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS-TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên 9/2009 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ✷ ❍➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ✺ ✶✳✶ ❍➭♠ ❧å✐ t❤ù❝ ✶✳✷ ❚Ý♥❤ ❧å✐ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ ❣✐÷❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸ ❍➭♠ ❧✐➟♥ ợ trị tr ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ❍➭♠ ❧å✐ tr♦♥❣ ¯ R ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ Rn ✶✾ ✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷✳✷ ❍➭♠ ❧å✐ ❦❤➯ ✈✐ ✷✳✸ ❈➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ✈Ò ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷✳✹ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✺ ❍➭♠ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ✷✳✻ ❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ❈ù❝ trÞ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✹✵ ✸✳✶ ❈ù❝ t✐Ĩ✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ t♦➭♥ ❝ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✸✳✷ ❈ù❝ t✐Ó✉ ❤➭♠ ❧å✐ ✭❝ù❝ ➤➵✐ ❤➭♠ ❧â♠✮ ✸✳✸ ❈ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✸✳✹ ❈ù❝ ➤➵✐ ❤➭♠ ❧å✐ ✭❝ù❝ t✐Ó✉ ❤➭♠ ❧â♠✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾ ❑Õt ❧✉❐♥ ✺✸ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✺✺ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❍➭♠ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ❞➵♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ✭❧å✐ ❝❤➷t✱ ❧å✐ ♠➵♥❤✱ tù❛ ❧å✐ ✮ ❝ã ♥❤✐Ị✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤Đ♣ ➤➳♥❣ ❝❤ó ý ✈➭ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ ré♥❣ r➲✐ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❧ý t❤✉②Õt ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t❤ù❝ t✐Ơ♥✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ✈➭ tè✐ ➢✉ ❤♦➳✳ ❍➭♠ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ❧➭ ♠ét ❝❤đ ➤Ị ❤✃♣ ❞➱♥ ✈í✐ ♥❤✐Ị✉ ❦Õt q✉➯ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ✈➭ ❧✉➠♥ t❤✉ ❤ót sù q✉❛♥ t➞♠ ❝đ❛ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ➜Ị t➭✐ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤Ị ❝❐♣ tí✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ✈➭ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥✱ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❍➭♠ ❧å✐ ❝ã ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✿ q✉✐ ❤♦➵❝❤ t♦➳♥ ❤ä❝✱ ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ tè✐ ➢✉✱ ❧ý t❤✉②Õt trß ❝❤➡✐✱ ❦✐♥❤ tÕ t♦➳♥ ●✐➯ t❤✐Õt ✈Ị tÝ♥❤ ❧å✐ ❝đ❛ ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ t❤✐Õ✉ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ị tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ tè✐ ➢✉✱ tå♥ t➵✐ ❣✐➳ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❤❛② t×♥❤ t❤Õ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♠➠ ❤×♥❤ ❦✐♥❤ tÕ t♦➳♥✳ ❱× t❤Õ✱ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❧➭ t❤ù❝ sù ❝➬♥ t❤✐Õt ✈➭ ❤÷✉ Ý❝❤✱ ❣✐ó♣ ❤✐Ĩ✉ s➞✉ ❤➡♥ ✈Ị ♥❤✐Ị✉ ✈✃♥ ➤Ò tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ✈➭ ❧ý t❤✉②Õt tè✐ ➢✉✳ ▼ơ❝ t✐➟✉ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ➤➲ ❜✐Õt ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ✈➭ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➢✉ ý ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥ỉ✐ ❜❐t ♥❤➢ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝✱ tÝ♥❤ ❦❤➯ ✈✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ù❝ trị ộ ề tr ợ trì ❜➭② ♠ét ❝➳❝❤ ❝❤➷t ❝❤Ï ✈Ò ♠➷t t♦➳♥ ❤ä❝✱ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ♥➟✉ r❛ ❝ã ❦❒♠ t❤❡♦ ✈Ý ❞ơ ✈➭ ❤×♥❤ ✈Ï ➤Ĩ ♠✐♥❤ ❤♦➵✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✿ ❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ➇❍➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥➈ ➤Ị ❝❐♣ tí✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ♠ét ế ị trị tự ữ ❤❛② ✈➠ ❝ù❝ tr➟♥ ♠ét ❦❤♦➯♥❣ ❧✐➟♥ tơ❝ ✭❤÷✉ ❤➵♥ ❤❛② ✈➠ ❤➵♥✮ ❝ñ❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ sè t❤ù❝✳ ❍➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ❝ã ♥❤✐Ị✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➳♥❣ ❝❤ó ý ♥❤➢ tÝ♥❤ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ❤➬✉ ❦❤➝♣ ♥➡✐ tr➟♥ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤✳ ❳Ðt ♠ét sè ❤➭♠ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥✿ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t✱ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✱ tù❛ ❧å✐ ❝❤➷t✱ ❤➭♠ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❈❤➢➡♥❣ ✷✿ ➇❍➭♠ ❧å✐ tr♦♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥✿ ❍➭♠ n Rn ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ✈Ị ❤➭♠ ❧å✐ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ✈➭ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❤➭♠ t❤✉ ❤Đ♣ ❝đ❛ ♥ã ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn tr➟♥ ♠ä✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ Rn ❤Ö ❝❤➷t ❝❤Ï ✈í✐ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐✿ f ♥Õ✉ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥✳ ❍➭♠ ❧å✐ ❝ã ♠è✐ q✉❛♥ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❡♣✐ f ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ t❤× ♠ä✐ t❐♣ ♠ø❝ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐✳ ❍➭♠ ❧å✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ♠ë t❤× ❧✐➟♥ tơ❝✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦ ♥➟✉ ❝➳❝❤ ♥❤❐♥ ❜✐Õt ❤➭♠ ❧å✐ q✉❛ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ✈➭ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧➭ ❧å✐ q✉❛ ♠ét sè ❞✃✉ ❤✐Ö✉✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ❝ß♥ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ✈➭ ✈í✐ ❤➭♠ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣✳ ❈❤➢➡♥❣ ự trị ủ trì tí ❝❤✃t ❝ù❝ trÞ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤✿ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ❧✉➠♥ ❧➭ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ t♦➭♥ ❝ơ❝❀ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ❝ã ♥❤✐Ị✉ ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ t ự tể tr t ó rỗ ự t✐Ó✉ ➤ã ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥Õ✉ t❐♣ ❧➭ ❧å✐ ➤ã♥❣ rỗ ự ủ ự tể ủ ❤➭♠ ❧â♠✮ ♥Õ✉ ❝ã sÏ ➤➵t t➵✐ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ✭♥ã✐ r✐➟♥❣✱ t➵✐ ➤Ø♥❤✮ ❝đ❛ t❐♣ ➤➢ỵ❝ ①Ðt✳ ◆❣♦➭✐ r❛✱ ò trì ề ệ tố ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤➯ ✈✐✳ ❉♦ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❝ã ❤➵♥ ♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♠í✐ ỉ ệ tì ể t ợ t ❧✐Ư✉✱ s➽♣ ①Õ♣ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➲ ❝ã t❤❡♦ ❝❤đ ➤Ị ➤➷t r❛✳ ❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ✈✐Õt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝ị♥❣ ♥❤➢ tr♦♥❣ ①ư ❧ý ✈➝♥ ❜➯♥ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ❝ã ♥❤÷♥❣ s❛✐ sãt t ị rt ợ sù ❣ã♣ ý ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳ ◆❤➞♥ ị t tỏ ò ết s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ t❤➬② ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ●❙✲❚❙ ❚r➬♥ ❱ị ❚❤✐Ư✉ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐ó♣ ➤ì tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➠ ë ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö t❤➠♥❣ t✐♥ ❍➭ ◆é✐✱ ❑❤♦❛ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö t❤➠♥❣ t✐♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✈➭ P❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ s❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳ ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ư✉✱ ❝➳❝ P❤ß♥❣✱ ❇❛♥ ❝❤ø❝ ♥➝♥❣ ✈➭ ❇é ♠➠♥ ❚♦➳♥ ❚r➢ê♥❣ ❈✃♣ ■■✲■■■ ❚➞♥ ◗✉❛♥❣ ✈➭ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ❝ï♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ➤Ĩ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ tèt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ 09 ♥➝♠ 2009 ❚➳❝ ❣✐➯ P❤➵♠ ❇➳ ❚✉②➟♥ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❍➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ❍➭♠ ❧å✐ ❝ã ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✱ ➤➷❝ ❜✐Öt tr♦♥❣ tè✐ ➢✉ ❤♦➳✳ ❚❛ ❜➽t ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ❤➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➳♥❣ ❝❤ó ý ❝đ❛ ♥ã✳ ✶✳✶ ❍➭♠ ❧å✐ t❤ù❝ ✶✳✶✳✶✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❑ý ❤✐Ư✉ I ❧➭ ♠ét ❦❤♦➯♥❣ ✭➤ã♥❣✱ ♠ë ❤❛② ♥ư❛ ♠ë✱ ❤÷✉ ❤➵♥ ❤❛② ✈➠ ❤➵♥✮ tr♦♥❣ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ t❤ù❝ R✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ❦❤♦➯♥❣ ♠ë ❤÷✉ ❤➵♥ I = (p, q) ✈í✐ − ∞ < p < q < +∞ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳ ❈❤♦ ❤➭♠ ♠ét ❜✐Õ♥ sè ❛✮ f f : I → R✱ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ✭❤❛② ❤➭♠ ❧å✐✮ ♥Õ✉✿ f (λa + (1 − λ)b) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b) ✈í✐ ♠ä✐ a, b ∈ I, ✈➭ ♠ä✐ λ ∈ R, ✈í✐ < λ < ❤×♥❤ ❤ä❝ ❝đ❛ tÝ♥❤ ❧å✐✿ ❞➞② ❝✉♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ ➤➬✉ ♠ót ♥➺♠ ë ♣❤Ý❛ tr➟♥ ➤å t❤Þ ❝đ❛ ❤➭♠ ❜✮ f ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t ♥Õ✉ f f ❍×♥❤ 1.1 (a, f (a)) ✭✶✳✶✮ ❝❤♦ t❤✃② ý ♥❣❤Ü❛ ✈➭ (b, f (b)) ❧✉➠♥ ✳ ❧å✐ ✈➭ tr♦♥❣ (1.1) ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝❤➷t ❦❤✐ a = b f : I → R✳ x−a b−x f (a) + f (b) ❛✮ f (x) ≤ b−a b−a ✈í✐ ♠ä✐ a, b, x ∈ I ✈➭ a < x < b ❈❤ó ý r➺♥❣ ✈Õ ♣❤➯✐ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❚❛ ♥➟✉ ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❦❤➳❝ ✈Ị tÝ♥❤ ❧å✐ ❝đ❛ ❤➭♠ ❝ã t❤Ĩ ✈✐Õt t❤➭♥❤✿ f (a) + f (b) − f (a) (x − a) b−a ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn f (λa + µb) ≤ λf (a) + àf (b) ọ ã a, b, x ∈ I ✈➭ ♠ä✐ λ, µ ∈ R λ > 0, µ > 0, λ + µ = 1✳ s❛♦ ❝❤♦ ❉Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ❣✐➯♥ s❛✉ ➤➞② ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐✿ ❛✮ ◆Õ✉ f ✈➭ g ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ α ≥ 0, β ≥ t❤× αf + βg ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❜✮ ❚ỉ♥❣ ❝đ❛ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❝✮ ❍➭♠ ❣✐í✐ ❤➵♥ ✭t❤❡♦ tõ♥❣ ➤✐Ĩ♠✮ ❝đ❛ ❞➲② ❤➭♠ ❧å✐ ❤é✐ tơ ❧➭ ❧å✐✳ ❞✮ ●✐➯ sư f : I → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❑❤✐ ➤ã✿ n n λi xi ∈ I f ✈➭ i=1 n ≤ λi xi i=1 λi f (xi ) i=1 n ✈í✐ ♠ä✐ xi ∈ I, λi ≥ (1 ≤ i ≤ n), λi = i=1 ❡✮ ●✐➯ sö f I → R✳ ❧➭ ❝❐♥ tr➟♥ t❤❡♦ tõ♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ♠ét ❤ä ❜✃t ❦ú ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ◆Õ✉ f ❤÷✉ ❤➵♥ ❦❤➽♣ ♥➡✐ tr➟♥ I t❤× f ❧➭ ❧å✐✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♠Ư♥❤ ➤Ị t➢➡♥❣ tù ❦❤➠♥❣ ❝ß♥ ➤ó♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ❝❐♥ ❞➢í✐✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳ ●✐➯ sư f : I → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❑❤✐ ➤ã f (x) − f (a) f (b) − f (a) f (b) − f (x) ≤ ≤ x−a b−a b−x ✈í✐ ♠ä✐ a, b, x ∈ I, a ≤ x ≤ b✳ ◆Õ✉ f ❧å✐ ❝❤➷t t❤× ë (1.2) ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝❤➷t✳ ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✭✶✳✷✮ http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❍×♥❤ ❞è❝ 1.2 ❝❤♦ t ý ĩ ì ọ ủ ị ý ộ ❞è❝ (AB) ≤ ➤é (AC) ≤ ➤é ❞è❝ (BC) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ f ❧å✐ ♥➟♥ t❛ ❝ã f (x) ≤ x−a b−x f (a) + f (b) b−a b−a ✭✶✳✸✮ ❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ s✉② r❛ f (x) − f (a) ≤ a−x x−a x−a f (a) + f (b) = [f (b) − f (a)] b−a b−a b−a ➤ã ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤➬✉ ❝ñ❛ tù✳ ◆Õ✉ f (1.2)✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× tr♦♥❣ (1.3)✱ ❞♦ ➤ã tr♦♥❣ (1.2) ❝ã ❞✃✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✷ ❝❤➷t✳ • ❑ý ❤✐Ư✉ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝đ❛ c ∈ ✐♥t(I)✳ ●✐➯ sư [a, b] ⊂ I I s❛♦ ❝❤♦ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ a < c < b✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý 1.1 t❛ ❝ã✿ f (c) − f (a) f (x) − f (c) ≤ c−a x−c ❈ị♥❣ tõ ➤Þ♥❤ ❧ý f: I → R ❧➭ ✐♥t(I)✳ ●✐➯ sư ✈í✐ ♠ä✐x ∈ (c, b] 1.1 s✉② r❛ r➺♥❣ ❤➭♠ x→ f (x) − f (c) x−c ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ tr➟♥(c, b] ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ♣❤➯✐ f+ (c) = lim x↓c f (x) − f (c) x−c ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ t➢➡♥❣ tù ❝ã t❤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➳✐ ◆Õ✉ f− (c)✳ a < c < d < b t❤× ✈í✐ sè ❞➢➡♥❣ h ➤ñ ♥❤á t❛ ❝ã f (c) − f (c − h) f (c + h) − f (c) f (d) − f (d − h) ≤ ≤ h h h ❈❤♦ q✉❛ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❦❤✐ h↓0 t❛ ➤➢ỵ❝✿ f− (c) ≤ f+ (c) ≤ f− (d) ❱× t❤Õ✱ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳ ●✐➯ sư f: I → R ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➳✐ t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ó♠ t❤✉é❝ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❑❤✐ ➤ã✱ int(I)✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ f− f ✈➭ ❝ã ➤➵♦ ❤➭♠ ♣❤➯✐ f+ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❤➭♠ ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö ❧➭ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ ❦ú x∈C ❑❤✐ ➤ã✱ x0 t❛ ❝ã x0 ∈ C s❛♦ ❝❤♦ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ f (x0 ) ≤ f (x) ✈í✐ ♠ä✐ λ > ♥➟♥ f (x0 ) ≤ f (x)✳ ❱× x ∈ C ✈í✐ ♠ä✐ ❤❛② λ>0 U (x0 ) ❱í✐ ❜✃t ➤đ ♥❤á✳ λf (x0 ) ≤ λf (x)✳ ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t✉ú ý ♥➟♥ α = min{f (x) : x ∈ C} x0 ❉♦ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ t♦➭♥ ❝ơ❝ ❝đ❛ f trï♥❣ ✈í✐ t❐♣ C ∩ {x : f (x) ≤ α}.❚❐♣ ♥➭② ❧å✐ ❞♦ ❤➭♠ f (x) ❧å✐ ✭➜Þ♥❤ ❧ý 2.1✱ tr➟♥ C ✈➭ x ∈ C ∩ U (x0 ) xλ = λx + (1 − λ)x0 ∈ C ∩ U (x0 ) f (x0 ) ≤ f (xλ ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 ) f ◆Õ✉ t❤× Argminx∈C f (x) ❈❤➢➡♥❣ ✷✮✳ ❍Ư q✉➯ ✸✳✶✳ ❇✃t ❝ø ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♥➭♦ ❝ñ❛ ♠ét ❤➭♠ ❧â♠ tr➟♥ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ❝ị♥❣ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ➤➵✐ t♦➭♥ ❝ơ❝✳ ❚❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ ❧â♠ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ ❧å✐✳ ◆❤ê ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥➟✉ tr➟♥✱ ✈✐Ö❝ t×♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ✭❝ù❝ ➤➵✐✮ t♦➭♥ ❝ơ❝ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ ✭❤➭♠ ❧â♠✮✱ ♥ã✐ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ ♠ét ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤❛② ❤➭♠ ❛❢✐♥✱ ❞➱♥ ➤Õ♥ ✈✐Ư❝ t×♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ✭❝ù❝ ➤➵✐✮ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❤➭♠ ➤ã✳ ❇➭✐ t♦➳♥ râ r➭♥❣ trë ♥➟♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❤➡♥ r✃t ♥❤✐Ị✉✱ ❞♦ ❝ã t❤Ĩ ụ tì ự tể ị ❝đ❛ ❤➭♠✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✷✳ ❱í✐ ♠ä✐ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ❛✮ ❈ù❝ ➤➵✐ ❝ñ❛ f f ✿ tr➟♥ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❜✃t ❦ú ➤➵t t➵✐ ♠ét ➤➬✉ ♠ót ❝đ❛ ➤♦➵♥ ➤ã✳ ❜✮ ◆Õ✉ ❝đ❛ f f (x) ❤÷✉ ❤➵♥ ị tr tr ột t tì ❝ù❝ ➤➵✐ tr➟♥ ♥ư❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥➭② ➤➵t t➵✐ ➤✐Ĩ♠ ❣è❝ ❝đ❛ ♥ã✳ ❝✮ ◆Õ✉ f (x) ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ ị tr tr ột t tì f ❤➺♥❣ sè tr➟♥ t❐♣ ♥➭②✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ ❙✉② trù❝ tế từ ị ĩ ủ ì f (λx1 +(1−λ)x2 ) ≤ λf (x1 )+(1−λ)f (x2 ) ≤ max{f (x1 ), f (x2 )}∀λ ∈ [0, 1] ❜✮ ◆Õ✉ 1+λ x + f (b) > f (a) λ 1+λ a ❚õ ➤ã✱ t❤× ✈í✐ ♠ä✐ x = b + λ(b − a), λ ≥ (1 + )f (b) f (x) + f (a) ỗ t❛ ❝ã f (x) < +∞✮✱ ✹✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên b = http://www.Lrc-tnu.edu.vn ♥❣❤Ü❛ ❧➭ f (x) ≥ λ[f (b) − f (a)] + f (b) ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá f (x) → +∞ ❦❤✐ λ → +∞✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ♥Õ✉ f (x) ữ ị tr tr ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ❛ t❤× t❛ ♣❤➯✐ ❝ã M ❝✮ ●✐➯ sö f (b) > f (a) f (b) ≤ f (a) ✈í✐ ♠ä✐ b tr➟♥ ♥ư❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥➭②✳ ❧➭ t❐♣ ❛❢✐♥ tr➟♥ ➤ã f (x) ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❱í✐ ❜✃t ❦ú t❤× t❤❡♦ ♣❤➬♥ ✈õ❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✱ ♥ư❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ M f (x) ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ tr số tr M tì ế ị ❝❤➷♥ tr➟♥ tr➟♥ a q✉❛ b ❚➢➡♥❣ tù✱ ♥Õ✉ f (a) > f (b) t❤× f (x) ➤✐ tõ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ tr➟♥ ♥ư❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ f (x) a, b ∈ M, M b ➤✐ tõ f (a) = f (b), ∀a, b ∈ M ✱ a✱ q✉❛ tø❝ ❧➭ f ❱❐②✱ ♥Õ✉ ➤å♥❣ ♥❤✃t ✷ M ❚❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ✈➭ ♥➟✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ❧í♣ ❤➭♠ ♥➭② ✭➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ 2.1✱ ❈❤➢➡♥❣ ✷✮✿ ❍➭♠ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t tr➟♥ C tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ♥Õ✉ f [λx1 + (1 − λ)x2 ] < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) ✈í✐ ❜✃t ❦ú ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ x1 , x2 ∈ C ✈➭ ❜✃t ❦ú < λ < ➜➢➡♥❣ ♥❤✐➟♥✱ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ♥❤➢♥❣ ➤✐Ị✉ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳ ❍➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t f tr➟♥ C ❝ã ♥❤✐Ị✉ ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ tr➟♥ C ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❐♣ Argminx∈C f (x) ❣å♠ ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ♠ét ♣❤➬♥ tö✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆Õ✉ tÝ♥❤ ❧å✐ ❝❤➷t ❝đ❛ f ♥➟♥ f ❝ã ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ x1 , x2 ∈ C f ( 21 x1 + 12 x2 ) < f (x1 ) = f (x2 ), ➤✐Ị✉ ♥➭② ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ✷ ①➮② r❛✦ ❱Ý ❞ơ ✸✳✶✳ ❍➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ♠ét ❜✐Õ♥ t✐Ĩ✉ x∗ = tì ò t f (x) = x2 ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ó♠ ❝ù❝ f (x) = ex (x ∈ R) ❦❤➠♥❣ ❝ã ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ✷ ♥➭♦✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ➤Ĩ x0 ∈ C ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ✭t♦➭♥ ❝ơ❝✮ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ ❧å✐✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳ ●✐➯ sư ❧å✐ C ✈➭ ❣✐➯ sư x0 ∈ C ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ❤➭♠ f (x) ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❑❤✐ ➤ã✱ f (x0 ) ≤ f (x)∀x ∈ C ✭♥❣❤Ü❛ ❧➭ x0 ❧➭ ➤✐Ó♠ f (x) tr➟♥ C ✮ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ < f (x0 ), x − x0 >≥ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ C ✹✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn f (x0 ) ≤ f (x)∀x ∈ C ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✳ ●✐➯ sư ❧➭ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ❝đ❛ ❞♦ ➤ã x0 C t❤× t❤❡♦ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ t❛ ♣❤➯✐ ❝ã < f (x0 ), x − x0 >= ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉✱ f (x) f [λx + (1 − λ)x0 ], ∀x ∈ C ❈ß♥ ♥Õ✉ x0 ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ ✈➭ x0 f (x0 ) = 0✱ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❜✐➟♥ ❝đ❛ C ◆Õ✉ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ♥➟♥ t❛ ❝ã C t❤× ❞♦ f (x0 ) ≤ ≤ λ ≤ ❚õ ➤ã ✈í✐ λ > t❤× f [x0 + λ(x − x0 )] − f (x0 ) ≥0 λ ❈❤♦ q✉❛ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❦❤✐ λ → 0✱ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ < f (x0 ), x − x0 > ≥ ❜✮ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✳ ●✐➯ sư t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị < f (x0 ), x − x0 > ≥ 0∀x ∈ C ❉♦ f (x) ❧å✐ ♥➟♥ 2.4 ✭❈❤➢➡♥❣ ✷✮✱ t❛ ❝ã✿ f (x) − f (x0 ) ≥ < f (x0 ), x − x0 > ≥ ∀x ∈ C ❉♦ ➤ã f (x) ≥ f (x0 ) ∀x ∈ C ✈➭ ❱Ị ♠➷t ❤×♥❤ ❤ä❝✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ❤❛✐ ✈Ð❝t➡ ➤ã f (x0 ) ✈➭ x − x0 ◆Õ✉ x∈C ∈C t❤× tõ ▼Ư♥❤ ➤Ị x0 3.2 ♥ã✐ r➺♥❣ x0 ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ♥Õ✉ ❣ã❝ ❣✐÷❛ ❧➭ ❣ã❝ ♥❤ä♥ ✈í✐ ♠ä✐ x∈C ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ✈➭ ♥Õ✉ ✭❍×♥❤ ✸✳✶❛✮✳ f (x) ≥ f (x) ✈í✐ 2.4 s✉② r❛✿ ≥ f (x) − f (x) ≥< f (x), x − x>, ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❣ã❝ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ✈Ð❝t➡ f (x) ✈➭ x − x ❧➭ ❣ã❝ tï ✭❍×♥❤ ✸✳✶❜✮✳ ✹✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✷ f (x) tr➟♥ C ✳ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ http://www.Lrc-tnu.edu.vn x ♥➭♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳ ●✐➯ sư ▼✉è♥ ❝❤♦ x0 ∈ C C ❧➭ t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ f tr➟♥ Rn C ✈➭ f : Rn → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ❧➭ ∈ ∂f (x0 ) − NC (x0 ) ✈í✐ NC (x0 ) = {p :≥ 0∀x ∈ C} t➵✐ x0 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆Õ✉ ❝ã x∈C ❞♦ p ∈ ∂f (x0 ) f (x)− (3.1) ♥➟♥ t❤× tå♥ t➵✐ ✭✸✳✶✮ p ∈ ∂f (x0 ) ∩ NC (x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ), ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦ p ∈ NC (x0 ) ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ♥➟♥ t❛ ❝ã 0∀x ∈ C ✱ ✈× t❤Õ f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ C ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ x0 tr➟♥ C ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛ ❱í✐ ♠ä✐ f (x0 ) ≤ ≥ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ f C x0 ∈ Argminx∈C f (x) t❤× ❤Ư ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ✈➠ ệ ợ ế (x, y) C ì Rn , x − y = 0, f (y) − f (x0 ) < ➜➷t D = C × Rn ❝➬✉ ❜✃t ❦ú ➤ã B t➞♠ ✈➭ A(x, y) = x − y 0, x0 + B ⊂ Rn , ❉♦ ➤ã ✈× t❤Õ A(D) = C − Rn ❱í✐ ❤×♥❤ B = x0 − (x0 + B) ⊂ A(D)✱ ❞♦ ∈ int A(D) ❚❤❡♦ ♠ét ➤Þ♥❤ ❧ý ➤➲ ❜✐Õt ✈Ị ❤Ư ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧å✐ (xem[4]✱ ➜Þ♥❤ ❧ý 2.4, tr.59)✱ tå♥ t➵✐ ✈Ð❝t➡ p ∈ Rn s❛♦ ❝❤♦ +f (y) − f (x0 ) ≥ ∀(x, y) ∈ C × Rn ❈❤♦ y = x0 ❚✐Õ♣ ➤ã✱ ❝❤♦ ❧➭ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ x = x0 ≥ ∀x ∈ C ✱ t❛ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ f (y) − f (x0 ) ≥ p ∈ NC (x0 ) ∀y ∈ Rn ✱ ♥❣❤Ü❛ p ∈ ∂f (x0 ) ❱❐②✱ p ∈ NC (x0 ) ∩ ∂f (x0 ) ❚õ ➤ã ∈ ∂f (x0 ) − NC (x0 ) ✷ ❍Ư q✉➯ ✸✳✷✳ ❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥❤➢ tr♦♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❧✐➟♥ tô❝ ❜✃t ❦ú ✈➭ t♦➭♥ ❝ơ❝ ❝đ❛ f fC tr➟♥ x0 ∈ C NC (x0 ) = ♥Õ✉ x0 ∈ int C ✷ C ⊂ Rn ❧➭ t❐♣ compact = ∅, f : C → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧➭ ❤➭♠ ❜❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ C ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ ∈ ∂f (x0 ) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍Ư q✉➯ s✉② tõ ♥❤❐♥ ①Ðt ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✹✳ ●✐➯ sử 3.3 f tr C ó ỗ ể ự t✐Ĩ✉ ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ f C (x) tr➟♥ convC ✹✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sư fC ❉♦ ❦❤➠♥❣ ❧í♥ ❤➡♥ t❤× ❤➭♠ ❧å✐ ❤➡♥ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ t♦➭♥ ❝ơ❝ ❝đ❛ ♥➟♥ t❛ ❝ã f C (x0 ) ≤ f (x0 )✳ h(x) = max{f (x0 ), f C (x)} ◆Õ✉ ❦❤➠♥❣ ❧í♥ ❤➡♥ f (x) tr➟♥ C ✳ f C (x0 ) < f (x0 ) f ✱ ♥❤➢♥❣ ❧➵✐ ❧í♥ f C ✱ ➤ã ❧➭ ➤✐Ị✉ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ①➮② r❛✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ f C (x0 ) = f (x0 ) ✈➭ f C (x) = h(x) ∀x ∈ convC x0 ❧➭ f x0 ∈ C ❚õ ➤ã✱ f C (x0 ) = f (x0 ) ≤ f C (x) ∀x ∈ convC ✱ ❝ị♥❣ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ t♦➭♥ ❝ơ❝ ❝đ❛ ♥❣❤Ü❛ ✷ f C (x) tr➟♥ convC ∗ ➜Ó ①Ðt t❤➟♠ ột t tố ữ t ế ị ♥❣❤Ü❛ s❛✉✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✷✳ ❈❤♦ t❐♣ ❧å✐ ❝đ❛ y tr➟♥ C ❧➭ ➤✐Ó♠ x0 ∈ C C ∈ Rn ✈➭ ➤✐Ĩ♠ y ∈ Rn ❚❛ ❣ä✐ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ s❛♦ ❝❤♦ ||x0 − y|| = infx∈C ||x − y|| = δC (y) ❑ý ❤✐Ö✉ ✈➭ x0 = p(y) ✈➭ ❣ä✐ δC (y) ❧➭ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ tõ y tí✐ C ✳ ❉Ü ♥❤✐➟♥ y = p(y) δC (y) = ♥Õ✉ y ∈ C ✳ ✭❈ã t❤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ∃p(y) ♥Õ✉ C ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶✳ ▼✉è♥ ❝❤♦ ➤✐Ĩ♠ ➤ã♥❣ x0 ∈ C ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✮✳ ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ➤✐Ĩ♠ y tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ C ✱ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ❧➭ ≤ ∀x ∈ C ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö ý x∈C ✈➭ ①Ðt ➤✐Ĩ♠ x0 ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ z = λx + (1 − λ)x0 ✳ y ❉♦ tr➟♥ C ✭✸✳✷✮ C ▲✃② ♠ét ➤✐Ó♠ t✉ú ❧å✐ ♥➟♥ ∀λ ∈ [0, 1] t❤× z ∈ C ❱× ||z − y||2 = λ2 ||x − x0 ||2 + 2λ +||x0 − y||2 ❉♦ ||z − y||2 ≥ ||x0 − y||2 ✭t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉✮ ♥➟♥ λ2 ||x − x0 ||2 + 2λ ≥ ❉♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ➤ã s✉② r❛ λ ∈ [0, 1] ♥➟♥ ≥ 0✳ ❚õ (3.2)✳ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sư ❝ã (3.2)✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ C sÏ ❝ã ||x − y||2 = ||(x − x0 ) + (x0 − y)||2 ✹✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn = ||x − x0 ||2 + +||x0 − y||2 ≥ ||x0 − y||2 ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá x0 ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✺✳ ▼✉è♥ ❝❤♦ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤➯ ✈✐ y ∗ = x∗ − α f (x) tr➟♥ C, x∗ y tr➟♥ ✷ C✳ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ❧➭ C ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ x∗ = p(y ∗ ), tr♦♥❣ ➤ã f (x∗ ) ✈➭ α > ❧➭ ♠ét sè ❜✃t ❦ú✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜đ✳ ●✐➯ sư x∗ = p(y ∗ ) ❉♦ p(y ∗ ) ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ➤✐Ĩ♠ y∗ tr➟♥ C ♥➟♥ tõ (3.2) t❛ ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ≤ ∀x ∈ C ❱× y ∗ = x∗ − α f (x∗ ) ✈➭ α > ♥➟♥ < f (x∗ ), x − x∗ >≥ ∀x ∈ C, ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ❈➬♥✳ ●✐➯ sư x∗ 3.2, x∗ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ f tr➟♥ f (x) tr➟♥ C C ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ C t❛ ❝ã < f (x∗ ), x − x∗ >≥ hay − α < f (x∗ ), x − x∗ >≤ (α> 0) f (x∗ ) = y ∗ − x∗ ✱ ◆❤➢♥❣ −α 3.1, x∗ ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ➤✐Ĩ♠ ❞♦ ➤ã y∗ ≤ tr➟♥ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị C ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ x∗ = p(y ∗ ) ✹✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷ ✸✳✸ ❈ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ❙❛✉ ➤➞② t❛ ①Ðt ♠ét ❧í♣ ❤➭♠ ❧✉➠♥ ❝ã ❝ù❝ t✐Ĩ✉ tr➟♥ ♠ä✐ t❐♣ ➤ã♥❣ = ∅✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ ➤è✐ ✈í✐ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t✱ ❝ù❝ t✐Ó✉ ♥➭② ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥Õ✉ t❐♣ ➤ã ❧➭ ❧å✐✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✸✳ ❍➭♠ f (x) ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ C ⊂ Rn ♠➵♥❤✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè x, y ∈ C ✈➭ ♠ä✐ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ρ > ➤ñ ♥❤á ✭❤➺♥❣ sè ❧å✐ ♠➵♥❤✮ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ λ ∈ [0, 1] t❛ ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✿ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ||x − y||2 ❈ã t❤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❤➭♠ ✭✸✳✸✮ f (x) ❧å✐ ♠➵♥❤ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❤➭♠ f (x)−ρ.||x||2 ❧➭ ❧å✐✳ ❘â r➭♥❣ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ tì t ề ợ ú ✭❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ❤➭♠ ex , x ∈ R✱ ❧å✐ ❝❤➷t ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧å✐ ♠➵♥❤✮✳ ❈➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ❝ã ✈❛✐ trß ➤➷❝ ❜✐Ưt q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ trÞ ✭❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ f (x) ≡ f (x1 , x2 ) = x21 + 2x22 , x ∈ R2 ✱ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤✮✳ ❱Ý ❞ô ✸✳✷✳ ❳Ðt ❤➭♠ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ f (x) = tr♦♥❣ ➤ã + , Q ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ứ ị í ủ f ợ s✉② r❛ tõ ❝➳❝ ❤Ö t❤ø❝ ✭s❛✉ ❦❤✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ♠ét sè tÝ♥❤ t♦➳♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥✮✿ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ||x − y||2 , ➤Ĩ ý r➺♥❣ ✈í✐ ≤ λ ≤ t❤× λ2 ≤ λ, (1 − λ)2 ≤ (1 − λ) ✈➭ ✈× r➺♥❣ ≥ ρ||x − y||2 tr♦♥❣ ➤ã ρ ❧➭ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ♥❤á ♥❤✃t ✭❞➢➡♥❣✮ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥ Q ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✻✳ ◆Õ✉ ❛✮ f (x) ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ C < f (x) − f (y), x − y>≥ ρ||x − y||2 ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ C ✹✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷ t❤× ❜✮ ❱í✐ ❜✃t ❦ú x0 ∈ C t❐♣ ♠ø❝ ❞➢í✐ ❝✮ ❚å♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ➤✐Ĩ♠ x∗ ∈ C C0 = {x ∈ C : f (x) ≤ f (x0 )} ❜Þ ❝❤➷♥✳ s❛♦ ❝❤♦ f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ C} ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ f (x) − f (y) ≤ < f (x), x − y> ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❞♦ f ❧å✐ ♠➵♥❤ ♥➟♥ ✈í✐ λ = t❛ ❝ã✿ ❛✮ ❉♦ f ❧å✐ ♥➟♥ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ∀x, y ∈ C 2.4, t❤× 1 1 1 ρ||x − y||2 ≤ [f (x) − f ( x + y)] + [f (y) − f ( x + y)] ≤ 2 2 2 1 < f (x), x − y> + < f (y), y − x>= < f (x) − f (y), x − y> 4 ❜✮ ❉♦ f (x) − f (y) = < f [y + λ(x − y)], x − y> dλ = =< f (y), x − y> + < f [y + λ(x − y)] − f (y), x − y> dλ ♥➟♥ ❦Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ë ♣❤➬♥ a) t❛ ➤➢ỵ❝ f (x) − f (y) ≥< f (y), x − y> + ρ||x − y||2 ⇒ (cho y = x0 ) ≥ f (x) − f (x0 ) ≥ < f (x0 ), x − x0 > + ρ||x − x0 ||2 ⇒ 2 ||x − x0 ||2 ≤ < f (x0 ), x0 − x>≤ || f (x0 )|| × ||x − x0 ||, ρ ρ 0 ❚õ ➤ã s✉② r❛ ||x − x || ≤ || f (x )|| ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ C0 , ♥❣❤Ü❛ ❧➭ C0 ❜Þ ❝❤➷♥✳ ρ ❝✮ ❉♦ ❤➭♠ f (x) ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ C0 ⊂ C ✱ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ x∗ ∈ C0 s❛♦ ❝❤♦ f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ C0 } = min{f (x) : x ∈ C} ❱× ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ❝ị♥❣ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t✱ ♥➟♥ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị x∗ 3.1 ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ✷ ✹✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✼✳ ●✐➯ sư t✐Ĩ✉ ❝đ❛ f tr➟♥ f (x) ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ C C ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ C ✈➭ x0 ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t❛ ❝ã ||x − x0 ||2 ≤ [f (x) − f (x0 )] ρ ữ ế f tì ||x x0 || ≤ || ρ ✈➭ ✭✸✳✹✮ f (x)|| ≤ f (x) − f (x0 ) ≤ || ρ ✭✸✳✺✮ f (x)||2 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ✭❤Ư t❤ø❝ λ = )✿ (3.3)✮ s✉② r❛ ✭✈í✐ 1 1 f ( x + x0 ) ≤ f (x) + f (x0 ) − ρ||x − x0 ||2 2 2 1 0 ❚õ ➤ã ✈➭ f (x ) ≤ f ( x + x ) s✉② r❛ (3.4) ❚➵✐ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ x ❝đ❛ f 2 C ✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị 3.2, < f (x0 ), x − x0 > ≥ ∀x ∈ C ▼➷t ❦❤➳❝✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị tr➟♥ 3.6 ❛✮ t❛ ❝ã✿ ρ||x − x0 ||2 ≤ < f (x) − f (x0 ), x − x0 > ≤ ≤ < f (x), x − x0 >≤ || ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ f (x)||.||x − x0 || (3.5) ❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ tõ ▼Ư♥❤ ➤Ị 2.4 ✈➭ ❤Ư t❤ø❝ (3.5) s✉② r❛ ≤ f (x)−f (x0 ) ≤< f (x), x−x0 >≤ || f (x)||×||x−x0 || ≤ || f (x)||2 ρ ✸✳✹ ❈ù❝ ➤➵✐ ❤➭♠ ❧å✐ ✭❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❤➭♠ ❧â♠✮ ❑❤➳❝ ✈í✐ ❝ù❝ t✐Ĩ✉✱ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ➤➵✐ t♦➭♥ ❝ơ❝✳ ◆ã✐ ❝❤✉♥❣✱ t❤➠♥❣ t✐♥ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤đ ➤Ĩ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ➤➵✐ t♦➭♥ ❝ơ❝ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐✳ ✹✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn C ⊂ Rn ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✽✳ ●✐➯ sư f (x) C ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐ tr➟♥ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ f: C → R t➵✐ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ t➢➡♥❣ ➤è✐ x0 ❝đ❛ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ◆Õ✉ C (x0 ∈ riC) t❤× f (x) ❜➺♥❣ ❤➺♥❣ sè tr➟♥ C ❚❐♣ Argmaxx∈C f (x) ❧➭ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ♠ét sè ❞✐Ư♥ ❝đ❛ C ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sư x ❧➭ ➤✐Ó♠ t✉ú ý t❤✉é❝ λx + (1 − λ)y ❱× t❤Õ ✈í✐ C f ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐ tr➟♥ x0 riC C t ể tì ợ x0 ∈ riC y∈C ✈➭ ❣✐➯ sö s❛♦ ❝❤♦ x0 = λ ♥➭♦ ➤ã ∈ (0, 1) ❑❤✐ ➤ã✱ f (x0 ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) λf (x) ≥ f (x0 ) − (1 − λ)f (y) ≥ f (x0 ) − (1 − λ)f (x0 ) = λf (x0 ) ◆❤➢ ✈❐②✱ f (x) ≥ f (x0 ) ❚õ ➤ã f (x) = f (x0 ) ✈➭ ♣❤➬♥ ➤➬✉ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤➬♥ t❤ø ❤❛✐ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị✱ t❛ ể ý r ỗ ể ự x0 C ➤Ị✉ ∃ ❞✐Ư♥ F ❝đ❛ C s❛♦ ❝❤♦ x0 ∈ riF ✳ ❱× t❤Õ t❤❡♦ ❧❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥ ➤➞②✱ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ t❤✉é❝ ❞✐Ư♥ ♥➭② ➤Ị✉ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ➤➵✐ t♦➭♥ ❝ơ❝ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✾✳ ●✐➯ sư C ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥➭♦ ✈➭ tr♦♥❣ C f (x) f tr➟♥ f : C → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ C.✷ ◆Õ✉ C ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ tr➟♥ ♠ä✐ ♥ư❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ t❤× sup{f (x) : x ∈ C} = sup{f (x) : x ∈ V (C)}, tr♦♥❣ ➤ã V (C) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝đ❛ f (x) ➤➵t ➤➢ỵ❝ tr➟♥ C C✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ế ự ủ tì ự ũ t ợ tr➟♥ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✱ tr♦♥❣ ➤ã K V (C) C = convV (C) + K, ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ s✐♥❤ ❜ë✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝đ❛ C ▼ét ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ✺✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❦ú t❤✉é❝ C ♠➭ ♥ã ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✱ sÏ t❤✉é❝ ♥ư❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ♠ét ➤✐Ĩ♠ K ❉♦ f (x) v ♥➭♦ ➤ã ∈ V (C) t ủ ột t tr ữ ị ❝❤➷♥ tr➟♥ tr➟♥ ♥ö❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥➭②✱ ♥➟♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝đ❛ ♥ã tr➟♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥➭② ➤➵t ➤➢ỵ❝ t➵✐ v supremum ❝đ❛ f (x) ❝đ❛ ➤ã✱ ❜ë✐ ✈× ❜✃t ❦ú ✈➭ λi ≥ 0, i∈I tr➟♥ C q✉✐ ✈Ò supremum x ∈ convV (C) ➤Ò✉ ❝ã ❞➵♥❣ x = λi = 1, ❝❤♦ ♥➟♥ f (x) ≤ ❍Ö q✉➯ ✸✳✸✳ ❍➭♠ ❧å✐ t❤ù❝ i∈I 3.2✮✳ ✭➜Þ♥❤ ❧ý f tr➟♥ i∈I ◆❤➢ ✈❐②✱ convV (C) λi v i ✈í✐ v i ∈ V (C) λi f (v i ) ≤ maxi∈I f (v i ) ✷ f (x) tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥ D✱ ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥➭♦✱ ❤♦➷❝ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ tr➟♥ ♠ét ❝➵♥❤ ✈➠ ❤➵♥ ♥➭♦ ➤ã ❝ñ❛ ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐ t➵✐ ♠ét ➤Ø♥❤ ❝ñ❛ ❑❤✐ D✱ ❤♦➷❝ ✷ D ❍Ö q✉➯ ✸✳✹✳ ❍➭♠ ❧å✐ t❤ù❝ f (x) tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ compactC ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐ t➵✐ ♠ét ✷ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝đ❛ ❈✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ✸✳✶✳ ❚❤ù❝ r❛✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥➟✉ tr♦♥❣ ❍Ư q✉➯ 3.4 ❝ị♥❣ ➤ó♥❣ ❝❤♦ ❧í♣ ❤➭♠ ré♥❣ ❤➡♥✳ ❈ơ t❤Ĩ ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ [−∞, +∞] ✈í✐ ♠ä✐ s❛♦ ❝❤♦ ❝➳❝ t❐♣ ♠ø❝ ❞➢í✐ α∈R ✭➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ 2.3✱ Iα = {x ∈ Rn : f (x) ≤ α} ❈❤➢➡♥❣ 2✮✳ I i∈I λi v i ✱ tr♦♥❣ ➤ã vi ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥✱ ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ❝❤Ø sè✳ ◆Õ✉ α = maxi∈I f (v i ) ◆❤➢ ✈❐②✱ t❤× f (x) x ∈ C λi ≥ 0, ❉♦ C ∩ Iα i∈I ❧å✐✱ ♥➟♥ f (x) ≤ α = maxi∈I f (v i ), ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝đ❛ f t➵✐ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝đ❛ ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ λi = ✈➭ C ✈➭ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ❤÷✉ ❤➵♥ tr➟♥ v i ∈ C ∩ Iα , ∀i ∈ I ❧➭ ❧å✐ compactC ❚❤❐t ✈❐②✱ ❞♦ t❐♣ ❧å✐ ❜➺♥❣ ❜❛♦ ❧å✐ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ♥ã✱ ♥➟♥ ❜✃t ❦ú x= f : Rn → x ∈ C ∩ Iα ✳ tr➟♥ C ➤➵t ➤➢ỵ❝ ✷ C ❈ị♥❣ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣ ❝❐♥ tr➟♥ ❝ñ❛ ♠ét ❤ä ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✱ ♥❤➢♥❣ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✳ ❚ã♠ ❧➵✐✱ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② trì ữ tí t ự trị ❧✐➟♥ q✉❛♥ tí✐ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤✳ ➜➳♥❣ ❝❤ó ý ❧➭ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ ❧✉➠♥ ❧➭ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ t♦➭♥ ❝ơ❝✱ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ♥Õ✉ ❝ã ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ❧✉➠♥ ➤➵t ❝ù❝ t✐Ó✉ tr➟♥ t❐♣ ➤ã♥❣ ✺✶ Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn rỗ ự t✐Ó✉ ➤ã ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥Õ✉ t❐♣ ❧➭ ❧å✐ ➤ã♥❣ rỗ ự ủ ế ó ➤➵t t➵✐ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ✭♥ã✐ r✐➟♥❣✱ t➵✐ ➤Ø♥❤✮ ❝đ❛ t❐♣ ➤➢ỵ❝ ①Ðt✳ ✺✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❑Õt ❧✉❐♥ ❈➳❝ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ ❛❢✐♥ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❤➭♠ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ ♣❤ỉ ❜✐Õ♥ ♥❤✃t✳ ❍➭♠ ❧å✐ t❤✉é❝ ❧í♣ ❤➭♠ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❤❛② ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t❤ù❝ tÕ✱ ✈× ❤➭♠ ❧å✐ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ❞➵♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ✭❧å✐ ❝❤➷t✱ ❧å✐ ♠➵♥❤✱ tù❛ ❧å✐ ✮ ❝ã ♥❤✐Ị✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤Đ♣ r✃t ➤➳♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤ó ý✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝❤đ ②Õ✉ t❐♣ tr✉♥❣ ✈➭♦ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ✈➭ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥✱ ❝ï♥❣ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣✱ ➤➝❝ ❜✐Ưt ❧➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝✱ tÝ♥❤ ❦❤➯ ✈✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ù❝ trÞ✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ➤Ị ❝❐♣ tí✐ ❝➳❝ ột ế trị ữ ✈➠ ❝ù❝✳ ❍➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ I ⊆ R Lipschits ❧➭ tr➟♥ [a, b] ⊂ int(I)✱ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ int(I) ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ❤➬✉ ❦❤➽♣ ♥➡✐ tr➟♥ I ◆Õ✉ ❤➭♠ f ❤❛✐ ❧➬♥ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ ♠ë ♠ä✐ I t❤× ❤➭♠ f ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ f (x) ≥ ✈í✐ x ∈ I ❈❤➢➡♥❣ ✷ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ✈Ị ❤➭♠ ❧å✐ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ♥❤➢✿ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ t❐♣ tr➟♥ ➤å t❤Þ ❝đ❛ ♥ã ❧➭ ❧å✐✱ ❤➭♠ f ❧å✐ t❤× ❝➳❝ t❐♣ ♠ø❝ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ❝➳❝❤ ♥❤❐♥ ❜✐➟t ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❜➯♦ t♦➭♥ tÝ♥❤ ❧å✐ ❝đ❛ ❤➭♠✱ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ❞➢ã✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ✈➭ ✈í✐ ❤➭♠ ❧✐➟♥ ợ trì tí t ự trị ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤✱ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tè✐ ➢✉ ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤➯ ✈✐ ✈➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ✈Ị ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ✭❝ù❝ ➤➵✐✮ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐✳ ➜➳♥❣ ❝❤ó ý ❧➭ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ ❧✉➠♥ ❧➭ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ t♦➭♥ ❝ơ❝✱ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ♥Õ✉ ❝ã ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ❧✉➠♥ ➤➵t ❝ù❝ t✐Ó✉ tr➟♥ t❐♣ ➤ã♥❣ rỗ ự tể ó t ế t ó rỗ ự ủ ♥Õ✉ ❝ã sÏ ➤➵t t➵✐ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ❜✐➟♥ ✭♥ã✐ r✐➟♥❣✱ t➵✐ ➤Ø♥❤✮ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐ ➤➢ỵ❝ ①Ðt✳ ✺✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ❝è ❣➽♥❣ s➽♣ ①Õ♣ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ✈✃♥ ➤Ị t❤❡♦ ❝➳❝❤ ❤✐Ĩ✉ râ r➭♥❣ ✈➭ trù❝ q✉❛♥ ♥❤✃t ❝ã t❤Ĩ✱ ➤➢❛ r❛ ♥❤✐Ị✉ ✈Ý ❞ơ ✈➭ ❤×♥❤ ✈Ï ❝ơ t❤Ĩ ➤Ĩ ♠✐♥❤ ❤♦➵ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ sù ❦✐Ư♥ ➤➢ỵ❝ ➤Ị ❝❐♣ tí✐ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❍② ✈ä♥❣ t➳❝ ❣✐➯ ❧✉❐♥ ✈➝♥ sÏ ❝ã ❞Þ♣ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ❧í♣ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤➳❝ ✈➭ ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ✈➭ t❤ù❝ t✐Ơ♥✳ ✺✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❚✐Õ♥❣ ❱✐Öt ❬✶❪ ❚✳ ❱✳ ❚❤✐Ö✉ ✭✷✵✵✸✮✱ ❈➡ së ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✱ ❇➭✐ ❣✐➯♥❣ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝✱ ❱✐Ư♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✷❪ ❚✳ ❱✳ ❚❤✐Ư✉ ✭✷✵✵✹✮✱ ●✐➳♦ tr×♥❤ tè✐ ➢✉ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ◆①❜ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❚✐Õ♥❣ ❆♥❤ ❬✸❪ ❏✳ ❚✐❡❧ ✭✶✾✽✹✮✱ ❈♦♥✈❡① ❆♥❛❧②s✐s ✲ ❆♥ ■♥tr♦❞✉❝t♦r② ❚❡①t✱ ❏♦❤♥ ❲✐❧❡② ❛♥❞ ❙♦♥s✱ ❚♦r♦♥t♦ ✲ ❙✐♥❣❛♣♦r❡✳ ❬✹❪ ❍✳ ❚✉② ✭✶✾✾✽✮✱ ❈♦♥✈❡① ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ●❧♦❜❛❧ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ❑❧✉✇❡r ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜❧✐s❤❡rs✱ ❇♦st♦♥✴ ▲♦♥❞♦♥✴ ❉♦r❞r❡❝❤t✳ ❚✐Õ♥❣ ◆❣❛ ✺✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ...đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học -   - Phạm Bá Tuyên Hàm lồi tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ khoa học toán häc Ng-êi... http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học -   - Phạm Bá Tuyên Hàm lồi tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60.46.36 Tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời