Hàm lồi và tính chất cực trị của chúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== TRẦN THỊ HUỆ HÀM LỒI VÀ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== TRẦN THỊ HUỆ HÀM LỒI VÀ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA CHÚNG Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ỡ t ỗ ỗ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ tử ỗ t t t ỗ t tự ỗ ữợ ỗ t ỹ tr ỗ ỹ tr ởt ỗ t ỹ tr ỗ t ỹ t ỗ t ỹ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳ ✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ tr ỗ ✷✻ ✸✵ ✸✶ ✸✶ ✸✶ ✸✷ ✸✻ ✸✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ tố ữ ỗ ổ õ r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✸✳✷ ❇➔✐ t tố ữ ỗ ợ r tự ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn t tố ữ ỗ ợ r ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✸✳✹ ✣è✐ ♥❣➝✉ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✺ ✣✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✻ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❋r❛♥❦ ✲ ❲♦❧❢❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✺✻ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✵ ✹✻ ✹✾ ✺✶ ✺✺ http://www.lrc-tnu.edu.vn ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ t ỗ ởt ổ q trồ t t t ỗ ự t ỗ ỗ trú ỗ ởt sü ♠ð rë♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❝➜✉ tró❝ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ trú ỗ rt tr ỳ ỹ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤✳ ❚r♦♥❣ ✤â✱ ❝ü❝ tr ỗ ởt tr ỳ t q trồ t ỗ ỵ tt ❝➔♥❣ trð ♥➯♥ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ♥❤í ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t ỗ ỗ ứ õ ữớ t ữ r❛ ♥❤ú♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝❤♦ ♠é✐ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ ✤↕✐ ❤❛② ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ♠ët ỗ tr ởt t ỗ ỹ tr ỗ õ trỏ q trồ tr t ỗ tớ õ ự tr ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ tr♦♥❣ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ ♥❤÷✿ ❚è✐ ÷✉ ❤â❛✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳✳✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❤➡♠ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❝â ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ✈➲ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ỗ ỗ tớ ợ t ởt số t tố ữ ỗ ỵ tt q ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ ♥❤÷ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉✱ ỵ tt ố t t t ỗ õ ữỡ ữỡ ởt ợ t tự ỡ t ỗ ỗ ợ t ởt số ỡ t ỗ S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ỗ ũ ợ ỳ t t trữ õ ❉♦ ♣❤➛♥ ♥➔② ❝❤➾ ♠❛♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❜ê trñ✱ ♥➯♥ t❛ s➩ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷❛ r❛ ð ✤➙②✳ ❱ỵ✐ t✐➯✉ ✤➲ ✧❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝ü❝ trà ❝õ❛ ỗ ữỡ ợ t ỳ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥✱ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➲ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ỗ ữỡ ữủ P ✤➛✉ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ỹ t ỗ P t t ✈➲ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ✈➔ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➲ ỹ ỹ t ỗ ỹ tr t q ữỡ trữợ õ ữỡ t ỹ tr ỗ ✤÷đ❝ ❞➔♥❤ ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❝ü❝ tr ỗ tr ỹ tố ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ỗ tr ởt t ỗ t ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ữ ỗ ổ õ r r tự r t tự ỗ tớ tr ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✈➔ ✤✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛✳ P❤➛♥ ❝✉è✐ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ♠ët t❤✉➟t t ỡ t q ỗ ✣â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❋r❛♥❦ ✲ ❲♦❧❢❡✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝✉è♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ỏ t ỡ t t ữớ ữợ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ tỉ✐ ❧➔ ●❙✳❚❙❑❍✳ ▲➯ ❉ơ♥❣ ▼÷✉✳ ❚❤➛② t t ữợ tổ tr sốt q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❝ỉ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣❍ ❙÷ ♣❤↕♠ ✤➣ ♥❤✐➺t t➻♥❤ tr✉②➲♥ t❤ư ❝❤♦ tỉ✐ ỳ tự qỵ ữỡ t➟♣ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr➯♥ ❣✐↔♥❣ ✤÷í♥❣✳ ❈→♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❧✉ỉ♥ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tỉ✐ ♣❤➜♥ ✤➜✉✱ ❣✐ó♣ ✤ï ✈➔ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ q✉❛✳ ▼➦❝ ❞ị ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣✱ ♥❤÷♥❣ ❞♦ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ ♥❤✐➲✉ ♠➦t ♥➯♥ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ t❤✐➳✉ sât✳ ❘➜t ♠♦♥❣ ữủ sỹ õ ỵ ổ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ t ỗ ỗ r ữỡ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♥❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ♥❤➜t ✈➲ t➟♣ ỗ ỗ ũ ỳ t t trữ ❝õ❛ ♥â✳ ❉♦ ♠❛♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❜ê trñ✱ ♥➯♥ ❝→❝ t q ữợ t s ổ ự ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✤➣ sû ❞ư♥❣ ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✷❪✱ ❬✹❪ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ ♠ö❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ✶✳✶ ❚➟♣ ỗ a, b Rn✳ ✣♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a, b ∈ Rn ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ x ∈ Rn ❝â ❞↕♥❣ {x|x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ▼ët t➟♣ C ⊆ Rn✤÷đ❝ ởt t ỗ ự t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ♥â✳ ❚ù❝ ỗ x, y C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C ❱➼ ❞ư ✶✳✶✳✸✳ ❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ t q ợ t ỗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✲ ❚r♦♥❣ R2✱ ❝→❝ ❤➻♥❤ t❛♠ ❣✐→❝✱ trỏ t ỗ q t r R3 ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤â♣✱ ❧➠♥❣ trư✱ ❤➻♥❤ ❝➛✉✱✳✳✳❝ơ♥❣ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ỗ õ tờ ủ ỗ tỡ x1, x2, , xk ♥➳✉ k k j λj x , λj ≥ 0, ∀j = 1, , k, x= j=1 λj = j=1 ỗ õ ự tờ ủ ỗ õ ự ỗ k ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k λj = 1, ∀x1 , , xk ∈ C ⇒ j=1 λj xj ∈ C j=1 ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ t C Rn ỗ t tt t ỗ ự ỵ ỗ t ởt t ỗ ọ t ự ỗ t õ ✤✐➸♠ ❛✱ ❜ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ỗ t ủ ❦❤ỉ♥❣ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✈ỵ✐ ✸ ✤➾♥❤ ❛✱ ❜✱ ❝ ✈➔ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ ♥â✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✽✳ ỗ ởt t t ủ tờ ủ ỗ tở ỵ ỗ õ ợ ❝ë♥❣✱ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈ỵ✐ ♠ët sè✱ ♣❤➨♣ ❧➜② tê ❤đ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ t➼❝❤ ❉❡❝❛st❡s✳ ❚ù❝ ❧➔✱ ♥➳✉ t ỗ tr Rn t ỗ tr Rm t t s ụ t ỗ A B = {x|x A; x ∈ B} , ✐✐✮ λa + βb = {x|x = λa + βb, a ∈ A, b ∈ B, λ, β ∈ R} , ✐✐✐✮ A × C = {x ∈ Rm+n|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✵✳ ❈❤♦ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a, b ∈ Rn✳ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❛✱ ❜ ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ x ∈ Rn ❝â ❞↕♥❣ {x|x = λa + (1 − λb), λ ∈ R} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✶✳ ▼ët t➟♣ M ∈ Rn✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❛❢❢✐♥ ✭❤❛② ✤❛ t↕♣ ❛❢❢✐♥✮ ♥➳✉ ♥â ❝❤ù❛ ♠å✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦➻ ❝õ❛ ♥â✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ M ◆❤➟♥ ①➨t✿ ởt trữớ ủ r t ỗ rộ t ỗ t ởt ✤✐➸♠ {x0}✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✱ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ Rn ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✈➼ ❞ö ✈➲ t➟♣ ❛❢❢✐♥✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✸✳ M = ∅ ❧➔ t➟♣ ❛❢❢✐♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝â ❞↕♥❣ M = L+a ✈ỵ✐ ▲ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✈➔ a ∈ M ✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ tr♦♥❣ ♠➺♥❤ ✤➲ ♥â✐ tr➯♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ ▼✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✹✳ ❚❤ù ♥❣✉②➯♥ ✭❝❤✐➲✉✮ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❛❢❢✐♥ ▼ ❧➔ t❤ù ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ ổ s s ợ ữủ ❤✐➺✉ ❧➔ ❞✐♠▼✳ ▼ët ✈➼ ❞ö ❦❤→❝ ❝õ❛ ✤❛ t➟♣ ❛❢❢✐♥ ❧➔ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣✱ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✺✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ R ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝â ❞↕♥❣ x ∈ Rn |aT x = α tr♦♥❣ ✤â a ∈ Rn ❧➔ ♠ët ✈➨❝ tì ❦❤→❝ ✵ ✈➔ α ∈ R✳ ❱➨❝ tì α ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣✳ ✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚❛ ❝â✿ intRm+1 ⊂ C✳ + ❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜② (µ0, µ1, , µm) ∈ Rm+1 + ✳ ❑❤✐ ✤â✱ µi > 0(i = 1, , m) ợ x = x t õ à0 > f (x) − f (x∗ ), µi > ≥ fi (x∗ ) (i = 1, , m) ⇒ (µ0 , µ1 , , µm ) ∈ C ⇒ intRm+1 ⊂ C ⇒ intC = ∅ + ❉♦ A, f, f1, , fm ỗ ỗ ỡ ỳ C ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ ∈ C t❤➻ ∃x ∈ A t❤ä❛ ♠➣♥✿ f (x) < f (x∗ ), fi (x) ≤ (i = 1, , m) ❉♦ ✤â x∗ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭❖P✮ ♥ú❛✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ❱➻ ✈➟② ∈ C ✳ ❚❤❡♦ ỵ t õ t t t ✵ ❜ð✐ ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤→❝ ✵✱ tù❝ tỗ t số 0, 1, , m ổ ỗ tớ s m i ài 0, ∀ (µ0 , µ1 , , µm ) ∈ C ✭✸✳✷✮ i=0 ❉♦ intRm+1 ⊂ C ✱ t❛ s✉② r❛✿ λi ≥ (i = 0, , m)✳ + ❱ỵ✐ ♠å✐ ε > ✈➔ x ∈ A✱ t❛ ❧➜② µ0 = f0(x) − f0(x∗) + ε, µi = fi(x)(i = 1, , m) rỗ t ❝❤♦ ε → 0✱ t❛ ✤÷đ❝✿ m ( λi fi (x) ≥ λ0 f0 x∗ ), λ0 f0 (x) + ∀x ∈ A i=1 ❉♦ x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✱ t❛ ❝â fi(x∗) ≤ (i = 1, , m) ◆➳✉ ∃i ∈ i = 1, , m : fi(x∗) = −α < t❤➻ ∀ε > 0✱ = f0 (x∗ ) − f0 (x∗ ) < ε, fj (x∗ ) ≤ < ε (j = 1, , i − 1, i, i + 1, , m) ✹✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✸✮ ✭ −α ð ✈à tr➼ t❤ù ✐✮ −λi α ≥ ✭❞♦ ✭✸✳✷✮ ✈➔ ❝❤♦ ε → ✮ ⇒ λi ≤ ⇒ λi = ✭❉♦ λi ≥ ✮✳ ⇒ (ε, , −α, ε, , ε) ∈ C ◆❤÷ ✈➟②✱ ♥➳✉ fi(x∗) < 0✱ t❤➻ λi = 0✳ ❉♦ ✤â✿ λi fi (x∗ ) = (i = 1, , m) ❱➟② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤ë ❧➺❝❤ ❜ị ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❱➔ ❞♦ ✤â✱ tø ✭✸✳✸✮ t❛ ❝â✿ m m ∗ λi fi (x∗ ) (∀x ∈ A) λi fi (x) ≤ λ0 f (x ) + λ0 f (x) + i=1 i=1 ❍❛② L (x∗, λ0, , λm) = Minx∈A L (x, λ0, , λm)✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✱ t❛ ❣✐↔ sû ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❙❧❛t❡r t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â λ0 > 0✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈➻ ♥➳✉ λ0 = 0✱ t❤➻ tr♦♥❣ sè ❝→❝ λ1, , λm ♣❤↔✐ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët λi > 0✳ ❉♦ ✤â m m ∗ λ0 f (x ) + λi fi (x∗ ) λi fi (x ) < = λ0 f (x ) + i=1 i=1 ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤↕♦ ❤➔♠ tr÷đt t✐➯✉ ð tr➯♥✳ ❱➟② λ0 > 0✳ ❉♦ λ0 > 0✱ ♥➯♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤✐❛ ❝❤♦ λ0 > 0✱ t❛ ❝â t❤➸ ❝♦✐ ❤➔♠ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❧➔ m L (x, λ0 , , λm ) = f (x) + λi fi (x) i=1 ❚ø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤↕♦ ❤➔♠ trữủt t ũ ợ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✱ t❛ ❝â✿ m ∗ ∗ m ∗ λi fi (x ) ≤ f (x) + f (x ) = f (x ) + i=1 λi fi (x) ≤ f (x) i=1 ✹✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤ù♥❣ tä x∗ tố ữ t P ỵ ✸✳✸✳✷✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ❤➔♠ f, f1, , fm ✈➔ ỗ f, f1, , fm tử t ♠ët ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❆❀ x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❖P✮✳ ❑❤✐ ✤â❀ ❛✮ ◆➳✉ x∗ ❧➔ P t tỗ t i 0(i = 1, , m) ổ ỗ tớ s ❝❤♦✿ ∈ λ0 ∂f (x∗ ) + λ1 ∂f1 (x∗ ) + + λm ∂fm (x∗ ) + NA (x∗ ) λi fi (x∗ ) = (i = 1, , m) ✭✸✳✹✮ ✭✸✳✺✮ ❚r♦♥❣ ✤â✱ NA(x∗) ❧➔ ♥â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ♥❣♦➔✐ ❝õ❛ ❆ t↕✐ x∗✳ ❜✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❙❧❛t❡r ✤ó♥❣✱ t❤➻ λ0 > ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✸✳✹✮✱ ✭✸✳✺✮ ð tr➯♥ ❝ô♥❣ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ ✤✐➸♠ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❖P✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳❛✮ ❳➨t ❤➔♠ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝â ❞↕♥❣✿ m λi fi (x) + δA (x∗ ) L1 (x, λ0 , λ1 , , λm ) = λ0 f (x) + i=1 ❚r♦♥❣ ✤â δA(x∗) ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾ ❝õ❛ t➟♣ ❆✳ ❉♦ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t P tứ ỵ rs ❚✉❝❦❡r✱ t❛ ❝â✿ L (x∗ , λ0 , , λm ) = Minx∈A L (x, λ0 , , λm ) L1 (x∗ , λ0 , , λm ) = Minx∈Rn L1 (x, λ0 , , λm ) λi fi (x∗ ) = (i = 1, , m) ❱➻ t❤➳✱ ❤➔♠ L1 (., λ0, , λm) ✤↕t ❝ü❝ t✐➸✉ t↕✐ x∗✳ t❤❡♦ ♠➺♥❤ ✤➲ ✭✸✳✶✳✶✮✱ ∈ ∂L1 (x∗ , λ0 , , λm ) ✹✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ◆❣♦➔✐ r❛ ∂δA(x∗) = NA(x∗)✳ ❉♦ ✈➟②✱ t❤❡♦ ỵ r r t õ ữủ λ0 ∂f0 (x∗ ) + + λm ∂fm (x∗ ) + NA (x∗ ) ❜✮ ◆➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❙❧❛t❡r ú t ỵ t s r > ✈➔ ❝â t❤➸ ①❡♠ ♥❤÷ λ0 = 1✳ ●✐↔ sỷ tọ õ tỗ t xi ∈ ∂fi(x∗) (i = 1, , m), x∗m+1 ∈ NA (x∗ ) s❛♦ ❝❤♦✿ m+1 x∗0 λi x∗i = + i=1 ⇒0= ⇒ f (x) m+1 m ∗ ∗ ∗ ∗ x0 + λi xi , x−x ≤ f (x)−f (x )+ λi (fi (x) − fi (x∗ )) , ∀x i=1 i=1 m m ∗ + i=1 λi fi (x) ≥ f (x ) + i=1 λi fi (x ), x A ứ ỵ s r❛ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭❖P✮✳ ❱➼ ❞ö ✸✳✸✳✸✳ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ R2 ✿    Min( x2 + y − x) ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥     (OP ) t(x − 1) + y ≤ 0, t ∈ 0, 1,      (x, y) ∈ C = {(x, y)|y ≥ 0, x ∈ R} ✣➦t f (x, y) = x2 + y − x, ft (x, y) = t(x − 1) + y 0, t = 0, 1, rữợ t t❤➜② ♠✐➲♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ D = (x, y) ∈ R2 |x ≤ 1, y = ✈➔ ✭✵✱ ✵✮ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✳ ✹✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∈A ❚❛ ❝â ∂f (0, 0) = (u, v) ∈ R2 |(u, v)(x, y) ≤ x2 + y − x, ∀(x, y) ∈ C = (u, v) ∈ R2 |(u + 1)2 + v ≤ , ∂ft (0, 0) = (u, v) ∈ R2 |(u, v)(x, y) − t ≤ t(x − 1) + y , ∀(x, y) ∈ C = {(t, 0)} , t = 0, 1, ∂δC (0, 0) = NC (0, 0) = (u, v) ∈ R2 |(u, v)(x, y) ≤ 0, ∀(x, y) ∈ C ❈❤å♥ λ0 = 1, λ1 = 0, λ2 = 0✱ t❛ ❝â✿ (0, 0) ∈ ∂f (0, 0) + λ0 ∂f0 (0, 0) + λ1 ∂f1 (0, 0) + λ2 ∂f2 (0, 0) + NC (0, 0), λi fi (0, 0) = 0, i = 0, 1, ❚❤❡♦ ❦➳t q✉↔ ỵ t s r ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❖P✮✳ ✸✳✹ ✣è✐ ♥❣➝✉ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✣è✐ ♥❣➝✉ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ t tr tố ữ õ ị tữ ố ợ ộ t tố ữ t ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❣è❝✮✱ t❛ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❦❤→❝ ✭❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✮ s❛♦ ❝❤♦ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❝â ♠ët ♠è✐ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❝❤➦t ❝❤➩✳ ✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ♠➔ ✈➝♥ t❤➜② ró ỵ tữ ỵ tt ố t t ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉✿     Min f (x) ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➲✉    (P ) gj (x) ≤ 0, ∀j = 1, , m      x ∈ X ❦✐➺♥ ✹✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ♥❣÷í✐ t❛ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❦❤→❝ ❝â ❞↕♥❣    max d(y)     (D) y ≥      y ∈ Rm ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❚❛ ♥â✐ ✭❉✮ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ✭P✮ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ x ❝õ❛ ✭P✮ ✈➔ y ❝õ❛ ✭❉✮ t❛ ❝â f (x) ≥ d(y) ❈➦♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✭P✮ ✈➔ ✭❉✮ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➼♥❤ tỗ t x ✭❉✮ ✈➔ y∗ ❝õ❛ ✭P✮ s❛♦ ❝❤♦ f (x∗) = d(y∗)✳ ❚r♦♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ✭P✮ ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❤➔♠ ▲❛❣r❛♥❣❡ ♥❤÷ s❛✉✿ ❳➨t ❤➔♠ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝õ❛ ✭P✮ ❧➔ m L(x, y) = f (x) + yj gj (x) i=1 ▲➜② ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❧➔ d(y) = inf L(x, y) x∈X ✈➔ ♠✐➲♥ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❝õ❛ ✭❉✮ ❧➔ Rm+ ✳ ❑❤✐ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✭❉✮ trð t❤➔♥❤ sup d(y) = sup inf L(x, y) y≥0 y≥0 xX ỵ ỵ ố sỷ ✐✮ ❇➔✐ t♦→♥ ✭P✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✹✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✐✐✮ f ✈➔ gj ✱ ✭✐ ❂ ✶✱ ✳✳✳✱ ♠✮ ỗ tử tr t ỗ õ ❳ ✐✐✐✮ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❙❧❛t❡r t❤ä❛ ♠➣♥✱ tù❝ ❧➔ ∃x0 s❛♦ ❝❤♦ gj (x0) < 0, ∀j = 1, , m ❑❤✐ ✤â ✭P✮ ✈➔ ✭❉✮ ❧➔ ❝➦♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●å✐ ❉ ❧➔ ♠✐➲♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭P✮ ∀x ∈ D, y ≥ ⇒ f (x) ≥ d(y) ❚ø ✤➙② ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✭P✮ ✈➔ ✭❉✮ ❧➔ ❝➦♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤➼♥❤ ①→❝ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤➾ r❛ ∃y ≥ s❛♦ ❝❤♦ d(y) ≥ f (x∗) ✭tr♦♥❣ ✤â x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭P✮ ✮✳ ❚❤➟t ✈➟② ❳➨t A = {(t, z) ∈ R × Rm |t > f (x), z ≥ g(x), x X} f ỗ gj ỗ s r ỗ sỷ x ✭P✮✱ ❦❤✐ ✤â u∗ = (f (x∗), 0) ∈ A✳ (f (x), 0) A s r tỗ t↕✐ ① t❤ä❛ ♠➣♥ f (x∗) > f (x), g(x) ổ ỵ ỵ t tỗ t ✈❡❝tì v = (α, y) = ∈ R × Rm s❛♦ ❝❤♦ v T u ≥ v T u∗ , ∀u = (t, z) ∈ A ∗ T ∗ ⇔ αt + y, z ≥ αf (x ) + y = αf (x ), ∀(t, z) ∈ A ✭✸✳✻✮ ❉♦ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ f, g ✭✸✳✻✮ ✤ó♥❣ ❝❤♦ ♠å✐ (t, z) ∈ A ❉♦ (f (x), g(x)) ∈ A t❤❛② ✈➔♦ ✭✸✳✻✮ t❛ ❝â✿ αf (x) + y, g(x) ≥ αf (x∗ ), ∀x ∈ X ❚❛ ❝â y ≥ 0✳ ✹✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✭✸✳✼✮ ❚❤➟t tỗ t ởt tồ yj < ❚❛ ❧➜② (t0 , z) = (t0 , z + ξej ) ∈ A, ∀ξ > ❚r♦♥❣ ✤â ej ❧➔ ✈❡❝tì ✤ì♥ ✈à t❤ù ❥✳ ❚❤❛② (t0, z) ✈➔♦ ✭✸✳✻✮ t❛ ❝â αt0 + y, z + ξej ≥ αf (x∗ ), ∀ξ > αt0 + y, z + ξ y, ej ≥ αf (x∗ ), ∀ξ > αt0 + y, z + ξyj ≥ αf (x∗ ), ∀ξ > ❈❤♦ ξ → +∞ s✉② r❛ ✈➳ tr→✐ ❜➡♥❣ −∞ ♠➔ ✈➳ ♣❤↔✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ✭♠➙✉ t❤✉➝♥✮✳ ❈❤ù♥❣ tä y ≥ 0✳ ❍ì♥ ♥ú❛ α ≥ ✭❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ y ≥ 0✮✳ ❚❛ ❝❤➾ t❤➯♠ r➡♥❣✱ ♥➳✉ α = 0✱ ❦❤✐ ✤â ✭✸✳✻✮ trð t❤➔♥❤ y, g(x) ≥ 0, ∀x ∈ X ✳ ❉♦ y ≥ 0✱ ♥➯♥ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❙❧❛t❡r✳ ❉♦ α > ♥➯♥ t❛ ❝❤✐❛ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✸✳✼✮ ❝❤♦ α t❛ ✤÷đ❝ f (x) + y , g(x) ≥ f (x∗ ), ∀x ∈ X α y d( ) ≥ f (x∗ ), ∀x ∈ X α ❚❤❡♦ tr➯♥ d( αy ) ≤ f (x∗) ❙✉② r❛ d( αy ) = f (x∗) ❱➟② ✭P✮ ✈➔ ✭❉✮ ❧➔ ❝➦♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳ ✸✳✺ ✣✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛ ✣✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛ ❧➔ ♠ët ❦❤→✐ ♥✐➺♠ r➜t ❤ú✉ ➼❝❤ tr♦♥❣ ❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✈➔ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ✹✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤♦ X ⊂ Rn, Y ⊂ Rm, F : X × Y → R✳ ▼ët ✤✐➸♠ (x∗; y) X ì Y ữủ ♥❣ü❛ ❝õ❛ ❤➔♠ ❋ tr➯♥ X × Y ✱ ♥➳✉ F (x∗ , y) ≤ F (x∗ , y ∗ ) ≤ F (x, y ∗ ), ∀x ∈ X, y ∈ Y ◆❤÷ ✈➟②✱ ♥➳✉ (x∗; y∗) ❧➔ ✤✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛ t❤➻ x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ tr➯♥ ❳ ❝õ❛ ❤➔♠ F (., y∗) ✈➔ y∗ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ ❨ ❝õ❛ F (x∗, )✳ ❚❛ ①➨t ✤✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛ ❝õ❛ ❤➔♠ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭P✮✳ ❍➔♠ ♥➔② ❧➔✿ m L(x, y) = f (x) + yj gj (x) i=1 ỵ (x; y) ②➯♥ ♥❣ü❛ ❝õ❛ ▲✭①✱ ②✮ tr➯♥ X × Rm+ t❤➻ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭P✮ ✈➔ y∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭❉✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ (x∗; y∗) ❧➔ ✤✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛ ❝õ❛ ▲✭①✱ ②✮ ♥➯♥ t❛ ❝â L(x∗ , y ∗ ) = f (x∗ ) ≤ f (x) + y ∗ , g(x) , ∀x ∈ X ❱➟② ♥➳✉ g(x) ≤ t❤➻ f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ X ❙✉② r❛ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭P✮✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ∀y > t❛ ❝â d(y) = inf f (x) + y, g(x) ≤ f (x∗ ) + y, g(x∗ ) ≤ f (x∗ ) x∈X ▼➦t ❦❤→❝ d(y ∗ ) = inf L(x, y ∗ ) = Minx∈X L(x, y ∗ ) = f (x∗ ) x∈X ❙✉② r y ỵ sỷ P ởt q ỗ ỗ tọ tr ú õ x P tỗ t Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✤➸ (x∗, y∗) ❧➔ ✤✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛ ❝õ❛ ▲ tr➯♥ X × Rm+ ✈➔ y∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✭❉✮✳ y∗ ≥ ❈❤ù♥❣ ỵ ✲ ❇➙② ❣✐í t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✿ sỷ x P P ỗ tọ tr t ỵ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ❙✉② r❛ ✭P✮✱ ✭❉✮ ❧➔ ❝➦♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳ ❚ù❝ ❧➔ f (x∗ ) = d(y ∗ ), ✈ỵ✐ y ∗ ≥ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ d(y∗) t❛ ❝â f (x∗ ) = d(y ∗ ) = inf L(x, y ∗ ) x∈X ❙✉② r❛ x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ L(., y∗) tr➯♥ ❳✳ ◆❣♦➔✐ r❛ f (x∗) ≤ f (x) + y∗, g(x) , ∀x ∈ X ❱ỵ✐ x = x∗ ⇒ y∗, g(x∗) = ❙✉② r❛ (x∗, y∗) ❧➔ ✤✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛ ỵ t y t♦→♥ ✭❉✮✳ ✸✳✻ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❋r❛♥❦ ✲ ❲♦❧❢❡ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② t❛ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ì ❜↔♥ t q ỗ õ ữỡ ♣❤→♣ ❋r❛♥❦ ✲ ❲♦❧❢❡✳ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ q✉✐ ❤♦↕❝❤ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t✉②➳♥ t➼♥❤ s❛✉   Min f (x) ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥  x ∈ D := {Ax ≤ b, x ≥ 0} ✺✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tr♦♥❣ ✤â f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❉✱ ❆ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ (m × n) ✈➔ b ∈ Rm s❛♦ ❝❤♦ ❉ ❜à ❝❤➦♥✳ ❚❛ ①➙② ❞ü♥❣ ởt tt t ữợ õ t s ũ q ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭♥➳✉ ❝➛♥✮ t➻♠ ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t x0 ∈ D✳ ✷✳ ❑❤✐ ✤➣ ❝â xk ∈ D✱ t➼♥❤ f (xk )✳ ✷❛✮ ◆➳✉ f (xk ) = 0✿ ❞ø♥❣✳ ✷❜✮ ❚r→✐ ❧↕✐✱ t❛ ❣✐↔✐ q✉✐ ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ Min f (xk ), x − xk |x ∈ D (L(xk )) t❤✉ ✤÷đ❝ ♠ët ❧í✐ ❣✐↔✐ uk ❧➔ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ❉✳ ❍❛✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝â t❤➸ ①↔② r❛ (i) f (xk ), uk − xk ≥ (ii) f (xk ), uk − xk < ❉ø♥❣ t❤✉➟t t♦→♥✳ ▲ó❝ ♥➔② dk = uk − xk = ữợ tửt ữợ xk+1 D s❛♦ ❝❤♦ f (xk+1 ) ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t tr♦♥❣ sè tr ữợ dk ố t❤➳ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✶✲ ❝❤✐➲✉ Mint f (xk + tdk ), ≤ t ≤ ●å✐ ♥❣❤✐➺♠ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ tk > 0✳ ▲➜② xk+1 = xk + tk dk ✳ ◆❤÷ ✈➟② f (xk+1 ) < f (xk ) ữợ ợ xk ✤÷đ❝ t❤❛② ❜➡♥❣ xk+1✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❤ë✐ tư t❤❡♦ ✤à♥❤ ỵ s ỵ ợ tt ♥➯✉ ð tr➯♥ t❛ ❝â ❛✮ f (xk+1) < f (xk ), ∀k, ✺✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❜✮ ◆➳✉ t❤✉➟t t♦→♥ ❦➳t t❤ó❝ t↕✐ ✤✐➸♠ xk t❤➻ xk ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ f tr➯♥ D✳ ◆➳✉ t❤✉➟t t♦→♥ ✈æ ❤↕♥ t❤➻ ♠å✐ ✤✐➸♠ tö ❝õ❛ ❞➣② xk ✤➲✉ ❧➔ ứ f ỗ t ❞ø♥❣ ✤➲✉ ❧➔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ ✈➻ t❤❡♦ ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣✱ dk ❧➔ ữợ tửt sỷ tt t t tú t ữợ f (xk ), uk xk ≥ ❉♦ uk ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ (L(xk )) ♥➯♥ ∀x ∈ D t❛ ❝â Min f (xk ), x − xk |x ∈ D ≤ Min f (xk ), uk − xk |x ∈ D ≥ ❱➟② x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ ❞ø♥❣✳ ●✐↔ sû t❤✉➟t t♦→♥ ✈æ ❤↕♥✳ ●å✐ x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ tö ❝õ❛ ❞➣② xk ✳ ❉♦ t tỗ t ởt xk tử ✤➳♥ x∗✳ ●å✐ uk ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ q✉✐ ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ (L(xk )✳ ❉♦ t➟♣ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ❉ ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❝♦✐ r➡♥❣ uk = u∗ , ∀j ✳ ❚❤❡♦ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ❝õ❛ ❞➣② f (xk ) ✈➔ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ xk +1 , u∗ , ∀0 < t < t❛ ❝â j j j j j f (xkj +1 ) ≤ f (xkj ) ≤ f (xkj + t(u∗ − xkj ) ❈❤♦ j → +∞✱ ❞♦ f ❧✐➯♥ tö❝ ♥➯♥ f (x∗ ) ≤ f (x∗ + t(u∗ − x∗ )) ❱➻ ✤✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ < t < ♥➯♥ lim+ t→0 f (x∗ + t(u∗ − x∗ )) − f (x∗ ) = t f (x∗ ), u∗ − x∗ ≥ ▼➦t ❦❤→❝✱ ❞♦ u∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ (L(xk )✱ ♥➯♥ j f (xkj ), u∗ − xkj ≤ f (xkj ), x − xkj , ∀x ∈ D ✺✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ◗✉❛ ợ t ữủ f (x ), u x ≤ f (x∗ ), x − x∗ ❱➟② f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ D ❙✉② r❛ x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ ❞ø♥❣✳ ❝✮ ◆➳✉ f ❧➔ ỗ t f (x ), x x f (x) − f (x∗ ), ∀x ∈ D ❉♦ ✤â f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ D✳ ❈❤ù♥❣ tä x∗ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ f tr➯♥ ❉✳ ✺✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑➳t ❧✉➟♥ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❝â ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ tự ỡ t ỗ ỗ õ t t ỹ tr ỗ ỗ tớ ự ♠✐♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ✤➛② ✤õ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ù♥❣ ❞ư♥❣ ỹ tr ỗ tr ỹ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ♠ët ✤✐➸♠ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t ỗ tr ởt t ỗ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♥❤÷ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ▲❛❣r❛♥❣❡✱ ✤✐➸♠ ②➯♥ ♥❣ü❛✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❋r❛♥❦✲✇♦❧❢❡✳✳✳ ✺✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ✈✐➺t ❬✶❪ ▲➯ ❉ơ♥❣ ▼÷✉✱ ổ t ỗ ự ◆❳❇ ❑❍❈◆✱ ✭s➩ r❛✮✳ ❬✷❪ ✣é ❱➠♥ ▲÷✉✱ P❤❛♥ ❍✉② t ỗ t❤✉➟t✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✸❪ ❍♦➔♥❣ ❚ö②✱ ✭✷✵✵✸✮✱ ❈♦♥✈❡① ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ●❧♦❜❛❧ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ❑❧✉✇❡r ❆❝❛❝❡❞❡♠✐❝ ♣✉❜❧✐s❤❡r✳ ❬✹❪ ❘✳ ❚✳ ❘♦❝❦❛❢❡r❧❧❛r✱ ✭✶✾✼✵✮✱ ❈♦♥✈❡① ❆♥❛❧②s✐s✱ Pr✐♥❝❡t♦♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ Pr✐♥❝❡t♦♥✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✳ ✺✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== TRẦN THỊ HUỆ HÀM LỒI VÀ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA CHÚNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái... × Fk tr♦♥❣ ✤â Fi ❧➔ Ci ỵ ỵ r t ỗ õ rộ ổ ự ữớ t õ ỹ ỵ t t t ỗ t ỗ õ ré♥❣ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ trị? ??❣ ✈ỵ✐ t♦➔♥ ❜ë ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤➲✉ ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tü❛ ❝õ❛ ♥â✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✵✳