Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)

Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)Phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THỊ THÚY HẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THỊ THÚY HẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2018 Mục lục Danh sách kí hiệu Mở đầu Phương trình hàm hàm tổng ước 1.1 Giới thiệu 1.2 Một số ký hiệu kiến thức chuẩn bị 10 1.3 Cấu trúc nghiệm 12 1.4 Nghiệm với ω(n) 1.5 Trường hợp n khơng có ước luỹ thừa bậc 17 1.6 Đếm phần tử K ∩ [1, x] 20 1.7 Kết luận Chương 24 13 Bậc cực trị số hàm số học 26 2.1 Giới thiệu 26 2.2 Chuỗi Dirichlet Vk (n) 28 2.3 Bậc cực trị liên quan đến hàm số học suy rộng cổ điển 30 2.4 Bậc cực trị liên quan đến tương tự đơn σk φk 31 2.5 Bậc cực trị liên quan đến hợp hàm số học 33 2.6 Các toán mở 38 2.7 Kết luận Chương 39 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Lời cảm ơn Trước hết, tác giả muốn tỏ lòng biết ơn đến người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Hà Huy Khối (Trường Đại học Thăng Long), người đặt toán đề tài, tận tình hướng dẫn để luận văn hoàn thành tốt đẹp Nhân dịp này, tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 10 (2016-2018) Xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Phạm Ngũ Lão, Thủy Nguyên, Hải Phòng, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ gia đình chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập Danh sách kí hiệu #X lực lượng tập hợp X x trần số x x sàn số x a|b b bội a a | b a ước b σ(n) tổng ước n vp (n) lũy thừa cao p chia hết n φ(n) hàm Euler, φ(n) = n 1− p|n p −1 ζ(s) 1− hàm zeta (ζ) Riemann, ζ(s) = p s = σ + it ∈ C σ > lim sup giới hạn lim inf giới hạn ps , Mở đầu Có thể nói, Lý thuyết số ngành khoa học sớm nhân loại Trước năm 70 kỷ XX, Lý thuyết số coi ngành túy lý thuyết, Lý thuyết số trở thành lĩnh vực có nhiều ứng dụng sơi động Tốn học Trong Lý thuyết số, hàm số học hàm số xác định tập hợp số tự nhiên có tập giá trị tập tập hợp số phức Các điều kiện đặt lên hàm số học phụ thuộc vào mục đích nghiên cứu Như Hardy & Wright yêu cầu, hàm số học phải “thể số tính số học n” Luận văn có mục đích nghiên cứu mối quan hệ hàm số học tổng ước số nguyên cho trước, sau bậc cực trị số lớp hàm số học quan trọng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương: • Chương Phương trình hàm hàm tổng ước Nội dung chương nghiên cứu nghiệm nguyên dương σ(n) = γ(n)2 , σ(n) γ(n) tương ứng tổng ước tích ước nguyên tố phân biệt n • Chương Bậc cực trị số hàm số học Chương dành để trình bày để chuỗi Dirichlet V (n) (số số quy modulo n) xác định bậc cực trị số hàm số học cổ điển, hàm tổng ước đơn n (ước d n gọi đơn n n/d nguyên tố nhau) liên hệ với hàm φ-Euler Thái Nguyên, ngày 22 tháng năm 2018 Tác giả Lại Thị Thúy Hải Chương Phương trình hàm hàm tổng ước Chương dành để nghiên cứu số nguyên n > thỏa mãn quan hệ σ(n) = γ(n)2 , σ(n) γ(n) tương ứng tổng ước tích ước nguyên tố phân biệt n Ta chứng minh nghiệm có khơng q bốn ước ngun tố phân biệt n = 1782 Ta không tồn nghiệm ước lũy thừa bậc 4, số nghiệm nhỏ x không vượt x1/4+ với > với x > x Thêm nữa, số n gọi ngun thủy khơng có ước đơn thực d n thỏa mãn σ(d) | γ(d)2 Ta số nghiệm ngun thủy phương trình khơng vượt q x nhỏ x với x > x Nội dung chương viết dựa vào tài liệu Broughan A.K et al [3] 1.1 Giới thiệu Tại hội nghị khoa học “Western Number Theory Conference” năm 2000, De Koninck J.-M (tác giả thứ hai cơng trình Broughan A.K et al [3]) đưa câu hỏi tìm nghiệm nguyên dương n phương trình σ(n) = γ(n)2 Hội nghị Lý thuyết số Bờ Tây, https://westcoastnumbertheory.org/ (1.1) (gọi “phương trình De Koninck”), σ(n) tổng tất ước dương n, γ(n) tích tất ước nguyên tố phân biệt n, gọi “cốt lõi” (core) n Dễ thấy, n = n = 1782 nghiệm, nhưng, tình đến năm 2012 - năm xuất cơng trình Broughan A.K et al [3] - người ta thêm nghiệm Một tìm kiếm máy tính với n 1011 khơng cho thấy nghiệm khác Một giả thuyết tự nhiên (được gọi “Giả thuyết De Koninck”) phương trình khơng có nghiệm khác Nó trình bày Guy R.K (2004) Có kết chứng minh nghiệm không tầm thường n phải có ba ước ngun tố, chẵn, khơng thể số hồn tồn khơng phương (tạm dịch thuật ngữ squarefree - số khơng có ước phương khác 1) Luca F (2004) số nghiệm mà số ước nguyên tố số cố định cho trước hữu hạn Thật Luca F chứng điều cho lớp rộng nghiệm dương n phương trình σ(n) = aγ(n)K K a L với K L tham số cố định Tuy nhiên, có tiến nghiên cứu Giả thuyết De Koninck Ở đây, luận văn trình bày kết nói nghiệm n = 1, 1782 số có ω(n) 4, thường lệ, ω(n) số ước nguyên tố phân biệt n Phương pháp chứng minh dựa vào chặn sơ cấp số mũ số nguyên tố xuất phân tích n, sử dụng kết thức để giải hệ phương trình đa thức thu được, mà ẩn ước nguyên tố n Ta chứng minh số ngun n khơng có ước luỹ thữa bậc (fourth power free) (tức p4 n với số ngun tố p), n khơng thể thỏa mãn phương trình De Koninck (1.1) Sau đếm số nghiệm tiềm n không vượt x Pollack & Pomerance [4], gọi số nguyên dương n nguyên tố–hoàn hảo (prime–perfect) n σ(n) chung tập hợp ước nguyên tố Rõ ràng, nghiệm n phương trình De 10 Koninck số nguyên tố–hoàn hảo Pollack & Pomerance chứng minh tập hợp số ngun tố–hồn hảo vơ hạn, hàm đếm số nguyên tố–hoàn hảo n x có lực lượng nhiều x1/3+o(1) x → ∞ Sử dụng kết Pollack & Pomerance, ta chứng minh số nghiệm x phương trình De Koninck nhiều x1/4+ với > n x > x Bằng cách hạn chế đến nghiệm “nguyên thủy” (“primitive” solutions) sử dụng phương pháp Wirsing E., ta nhận chặn O(x ) với > Khái niệm “nguyên thủy” sử dụng để số khơng có ước đơn thực d | n thỏa mãn σ(d) | γ(d)2 Cuối ta có số nhận xét tốn liên quan xác định số số nguyên n cho γ(n)2 | σ(n) Tóm lại, mục đích chương trình bày số kiện ủng hộ cho Giả thuyết De Konnick, cấu trúc cần thiết cho phản ví dụ, có Mọi nghiệm không tầm thường khác với 1782 phải chẵn, có ước nguyên tố lũy thừa có ước nguyên tố với số mũ đồng dư với mod 4, với ước ngun tố lẻ khác có lũy thừa chẵn Ít ước nguyên tố phải xuất với số mũ cao Cuối cùng, phản ví dụ, có, phải lớn 1011 1.2 Một số ký hiệu kiến thức chuẩn bị Giả sử n = pα1 · · · pαr r > số nguyên dương giả sử k số nguyên Trong suốt chương sử dụng ký hiệu sau: • p1 , p2 , — dãy số nguyên tố; • σ(n) hàm tổng ước; 27 V (n) := # Regn (2.2) Hàm V nhân tính V (pα ) = φ(pα ) + = pα − pα−1 + 1, φ hàm Euler Hệ là, V (n) = φ(d), với n d n Cũng φ(n) < V (n) n, với n > 1, V (n) = n n số hồn tồn khơng phương Như vậy, hàm V (n) tương tự hàm Euler2 φ(n) Apostol & Tóth xét tổng quát hóa nhiều chiều hàm V (n), Vk (n), k số nguyên cố định Hàm Vk (n) nhân tính Vk (pα ) = φk (pα ) + = pαk − p(α−1)k + 1, φk hàm Jordan bậc k Hệ là, Vk (n) = φk (d) với n d n Cũng φk (n) < Vk (n) nk , với n > Vk (n) = nk n hồn tồn khơng phương Tóth L (2008) chứng minh kết liên quan đến bậc cực tiểu bậc cực đại hàm V (n) V (n)/φ(n) Alkam O., Osba E (2008) khảo sát bậc cực tiểu V (n) Sándor J., Tóth L (2008) Apostol [2] nghiên cứu bậc cực trị hợp hàm số học Giả sử f (n) hàm số học nhân tính, nhận giá trị thực không âm Giả sử L = L(f ) := lim sup n→∞ f (n) log log n ρ(p) = ρ(p, f ) := sup f (pα ) α Hàm φ(n) dãy A000010 hàm V (n) dãy A055653 Bách khoa toàn thư trực tuyến dãy số nguyên, xem Sloane N.J.A [5] 28 số nguyên tố p, xét tích 1− R = R(f ) := p ρ(p) p Để chứng minh tính chất cần thiết chương này, ta áp dụng kết sau Bổ đề 2.1.1 (Tóth & Wirsing [7, Corollary 1]) Nếu f hàm số học nhân tính nhận giá trị thực cho với số nguyên tố p, −1 α 1− (1) ρ(p) = sup(f (p )) α p , (2) tồn số mũ ep = po(1) ∈ N thỏa mãn f (pep ) + p1 , lim sup n→∞ f (n) = eγ log log n 1− p ρ(p) p Ta dùng thuật ngữ “giới hạn không thực sự” (improper limit) cho dãy tiến đến ±∞ Giới hạn dãy hội tụ nhắc đến sau bao gồm giới hạn không thực Bổ đề 2.1.2 (Tóth & Wirsing [7, Theorem 1]) Giả sử ρ(p) < ∞ với số nguyên tố p tích R hội tụ vô điều kiện (tức là, không phụ thuộc thứ tự nhân tử) Khi L eγ R Bổ đề 2.1.3 (Tóth & Wirsing [7, Theorem 3]) Giả sử ρ(p) < ∞ với số nguyên tố p, với số nguyên tố p tồn số mũ ep = po(1) ∈ N f (pep )ρ(p)−1 > tích R hội tụ Khi L cho p 2.2 Chuỗi Dirichlet Vk (n) Bây ta nghiên cứu chuỗi Dirichlet Vk (n) eγ R 29 Apostol & Petrescu khảo cứu chuỗi Dirichlet V1 (n) := V (n) Chúng tơi trình bày chuỗi Dirichlet Vk (n) với k số kết cho hàm Măobius Mnh 2.2.1 Vi mi s = + it ∈ C với σ > k + 1, n Vk (n) = ζ(s − k)ζ(s) ns Chứng minh Giả sử f (n) = Vk (n) ns 1− p n n Vk (n) ns Ta có |f (n)| chuỗi p2s−k + ps − ps−k p3s−k n nσ−k < ∞, hội tụ tuyệt σ > k + Do Vk nhân tính, ta có n Vk (n) = ns p 1 · − ps−k p · − p1s 1− p p2s−k + ps − ps−k p3s−k Ta có điều cần chứng minh Hệ 2.2.2 Giả sử s = σ + it ∈ C, σ > k + Khi n µ(n)Vk (n) = ns 1− ps−k p = ζ(s − k) = ζ(s − k) ζ(2s − 2k) Cũng vậy, n |µ(n)|Vk (n) = ns Chứng minh Với f (n) = n µ(n)Vk (n) ns µ(n)Vk (n) = ns 1+ p ps−k |f (n)| hội tụ tuyệt đối, chuỗi n 1− p Đối với khẳng định thứ hai, lấy f (n) = ps−k = ζ(s − k) |µ(n)|Vk (n) ns 30 2.3 Bậc cực trị liên quan đến hàm số học suy rộng cổ điển Đối với thương σk (n) Vk (n) , ta ý lim p→∞ p∈P σk (n) Vk (n) với n Do σk (p) pk + = p→∞ lim = 1, k Vk (p) p p∈P ta nhận lim inf n→∞ σk (n) Vk (n) bậc cực tiểu σk (n) = 1; Vk (n) Bây xét thương ψk (n) Vk (n) với n ψk (n) Vk (n) Do ψk (p) pk + = Vk (p) pk với số nguyên tố p ta có lim inf n→∞ Bậc cực tiểu ψk (n) Vk (n) ψk (n) = Vk (n) Ta biết lim sup n→∞ σ(n) = e2γ V (n)(log log n)2 lim sup n→∞ ψ(n) 2γ = e ; V (n)(log log n)2 π2 xem [2] Mệnh đề 2.3.1 chứng minh bậc cực đại σk (n) Vk (n) 2γ π e (log log n) Mệnh đề 2.3.1 Với k lim sup n→∞ 2, σk (n) ψk (n) = lim sup = e2γ 2 Vk (n)(log log n) π n→∞ Vk (n)(log log n) ψk (n) Vk (n) 31 σk (n) Vk (n) Chứng minh Lấy f (n) = α f (p ) = Khi p(α+1)k − (pk − 1)(pαk − p(α−1)k + 1) p+1 = ρ(p) < p−1 1− p −1 p3k − (pk − 1)(p2k − pk + 1) f (p2 ) = 1+ p với số nguyên tố p, (ii) Bổ đề 2.1.1 thỏa mãn Ta nhận lim sup n→∞ σk (n) Vk (n) log log n 1− = p γ e = p2 γ e , π2 lim sup n→∞ Do ψk (n) σk (n) với số nguyên tố p ta có ψk (p) = σk (p) = pk + 1, kết 2.4 σk (n) = e2γ Vk (n)(log log n) π ψk (n) Vk (n)(log log n)2 có từ phía trước Bậc cực trị liên quan đến tương tự đơn σk φk Xét hàm σk∗ (n) φ∗k (n), tương ứng biểu diễn tổng quát hóa hàm tổng ước đơn n tương tự đơn hàm Euler Giả sử k số nguyên cố định Ta có σk∗ (n) = dk σk∗ (pα ) = pαk + d n Cũng vậy, φ∗k (n) := 1= gcd(a1 , ,ak )∈{1,2, ,n}k gcd(gcd(a1 ,a2 , ,ak ),n)∗ =1 d n n dk µ∗ ( ), d φ∗k (pα ) = pαk − Chú ý gcd(a, b)∗ = max{d : d|a, d b} 32 µ∗ (n) l s tng t n ca hm Măobius, c cho µ∗ (n) = (−1)ω(n) , ω(n) số ước nguyên tố phân biệt n Các hàm σk∗ (n) φ∗k (n) nhân tính Giả sử n = pα1 · · · pαr r ước nguyên tố n > Ta nhận φ∗k (n) = (pα1 k − 1) · · · (pαr r k − 1) σk∗ (n) = (p1α1 k + 1) · · · (pαr r k + 1) Nhận thấy σk∗ (n) = σk (n) φ∗k (n) = φk (n) với số khơng phương n Thêm nữa, với n φ∗k (n) φk (n) 1, nk σk∗ (n) Chúng ta xét bậc cực trị thương φ∗k (n) φ∗k (n) Vk (n) , bậc ∗ thừa Do Vσkk (n) (n) σk∗ (n) Vk (n) nghiên cứu số nguyên luỹ Vk (n) n σk (n) cực tiểu với σk∗ (p) pk + = lim =1 p→∞ Vk (p) p→∞ pk lim σk∗ (n) n→∞ Vk (n) với số nguyên tố p, suy lim inf = Nếu số nguyên n số luỹ thừa, dễ thấy α φ∗k (n) Vk (n) 1, ý là, φ∗k (pα ) Vk (pα ) Với số nguyên tố p, để ý φ∗k (p2 ) p2k − lim = lim 2k = 1, p→∞ Vk (p2 ) p→∞ p − pk + ta suy φ∗k (n) lim inf = 1, n→∞ Vk (n) bậc cự tiểu φ∗k (n) Vk (n) Đối với bậc cực đại thương ta có Mệnh đề 2.4.1 For k lim sup n→∞ 1, φ∗k (n) σk∗ (n) = lim sup = eγ Vk (n) log log n V (n) log log n n→∞ k với 33 Chứng minh Lấy f (n) = σk∗ (n) Vk (n) Bổ đề 2.1.2, mà hàm số học nhân tính nhận giá trị thực khơng âm Ta có pαk + f (p ) = αk p − p(α−1)k + 1 1− p α −1 = ρ(p) < ∞ R = 1, lim sup n→∞ Bây giả sử g(n) = φ∗k (n) Vk (n) σk∗ (n) Vk (n) log log n eγ Ở pαk − g(p ) = αk p − p(α−1)k + 1 1− p α −1 = ρ(p), g(p1 )(ρ(p))−1 = R= p (pk + 1) · p p−1 > p Do đó, Bổ đề 2.1.3 ta có φ∗k (n) lim sup n→∞ Vk (n) log log n Rõ ràng φ∗k (n) eγ σk∗ (n) với n lim sup n→∞ φ∗k (n) Vk (n) log log n eγ Ta nhận lim sup n→∞ σk∗ (n) Vk (n) log log n eγ , điều chứng tỏ σk∗ (n) φ∗k (n) lim sup = lim sup = eγ n→∞ Vk (n) log log n n→∞ Vk (n) log log n Chứng minh kết thúc Hệ 2.4.2 Bậc cực đại 2.5 σk∗ (n) Vk (n) φ∗k (n) Vk (n) eγ log log n Bậc cực trị liên quan đến hợp hàm số học Bây chuyển sang nghiên cứu bậc cực trị số hàm số học hợp Ta bắt đầu với Vk (Vk (n)) φk (Vk (n)) 34 Ta biết Vk (n) nk với n Vk (Vk (n)) nk2 1, (Vk (n))k nk2 (nk )k =1 nk2 Vk (Vk (p)) Vk (pk ) pk − p(k−1)k + lim = lim = lim = 1, k2 k2 p→∞ p→∞ pk2 p→∞ p p p∈P p∈P p∈P (trong P tập hợp số nguyên tố, viết p ∈ P nghĩa p số nguyên tố), bậc cực đại Vk (Vk (n)) nk Do φk (n) Vk (n) nk với n 1, ta có φk (Vk (n)) nk (Vk (n))k nk nk Nhưng φk (Vk (p)) pk − p(k−1)k lim = lim = 1, k2 k2 p→∞ p→∞ p p p∈P bậc cực đại φk (Vk (n)) nk Bậc cực đại V (φ(n)) khảo sát B Apostol [2] Sử dụng ý tưởng tổng quát phép chứng minh đó, ta chứng minh khẳng định sau Mệnh đề 2.5.1 Bậc cực đại Vk (φk (n)) nk Chứng minh Ta sử dụng Định lí Linnik, phát biểu gcd(t, ) = 1, tồn số nguyên tố p cho p ≡ số (có thể lấy c (mod t) p tc , c 11) Giả sử A= p k

k log x, suy r < i=1 log B log x x log x (bởi (2.5)) Do Vk (B) > Bk r i=1 1− k qi r i=1 1− qi > 1− x r 1− x O( logx x ) , Ta nhận Vk (B) >1+O k B log x Bởi (2.3), (2.4), (2.6) (AB)k (AB+1)k → x → ∞, ta nhận Vk (φk (q)) >1+O k log x q Bởi quan hệ (2.7), (2.6) Vk (φk (n)) nk (φk (n))k nk2 (2.7) Chứng minh hoàn thành Bậc cực đại V (φ∗ (n)) n (xem Apostol B [2]) Đối với bậc cực đại Vk (φ∗ (n)) ta có Mệnh đề 2.5.2 Ta có lim sup n→∞ Vk (φ∗ (n)) = nk 36 Phép chứng minh Mệnh đề dựa vào kết sau đây, mà ta không dừng lại để chứng minh Bổ đề 2.5.3 Nếu a số nguyên, a > 1, p số nguyên tố f (n) hàm số học thỏa mãn φ(n) f (n) σ(n), ta có f (N (a, p)) = 1, p→∞ N (a, p) lim N (a, p) = ap −1 a−1 (2.8) (xem, chẳng hạn, Suryanarayana [6]) Chứng minh Mệnh đề 2.5.2 Do φ∗ (n) n, ta có Vk (φ∗ (n)) (φ∗ (n))k nk , k Rõ ràng, k lim p→∞ p∈P k Vk (φ∗ (n)) n (2.9) Vk (n) đáp ứng điều kiện Bổ đề 2.5.3 Ta có Vk (φ∗ (2p )) = p→∞ lim 2p p∈P k Vk (2p − 1) = p→∞ lim 2p − p∈P k Vk (N (2, p)) = (2.10) N (2, p) Bây (2.9) (2.10) suy k lim sup n→∞ Vk (φ∗ (n)) = 1, n ta kết thúc phép chứng minh Mệnh đề 2.5.2 Apostol [2] chứng minh σ(φ∗ (n)) σ(φ∗ (n)) lim sup = lim sup = e2γ ∗ ∗ ∗ n→∞ V (φ (n))(log log n) n→∞ V (φ (n))(log log φ (n)) lim sup n→∞ ψ(φ∗ (n)) ψ(φ∗ (n)) lim sup = e2γ ∗ ∗ ∗ V (φ (n))(log log n) n→∞ V (φ (n))(log log φ (n)) π Các bậc cực đại σk (φ∗ (n)) Vk (φ∗ (n)) Mệnh đề 2.5.4 Với k ψk (φ∗ (n)) Vk (φ∗ (n)) cho sau ta có ∗ ∗ σk (φ (n)) k (φ (n)) (1) lim sup Vk (φ∗σ(n))(log log n)2 = lim sup Vk (φ∗ (n))(log log φ∗ (n))2 = n→∞ n→∞ 2γ π2 e , 37 ∗ ∗ ψk (φ (n)) k (φ (n)) (2) lim sup Vk (φ∗ψ(n))(log log n)2 = lim sup Vk (φ∗ (n))(log log φ∗ (n))2 = n→∞ n→∞ 2γ π2 e Chứng minh (1) Giả sử σk (φ∗ (n)) σk (φ∗ (n)) l2 := lim sup l1 := lim sup ∗ ∗ ∗ n→∞ Vk (φ (n))(log log φ (n)) n→∞ Vk (φ (n))(log log n) Do φ∗ (n) n với n l1 1, ta có σk (φ∗ (n)) = lim sup ∗ n→∞ Vk (φ (n))(log log n) σk (φ∗ (n)) l2 = lim sup ∗ ∗ n→∞ Vk (φ (n))(log log φ (n)) σk (m) lim sup = e2γ , π m→∞ Vk (m)(log log m) Mệnh đề 2.3.1 Do gcd(n, 1) = 1, Định lí Linnik, tồn số nguyên tố p cho p ≡ (mod n) p nc Giả sử pn số nguyên tố nhỏ cho pn ≡ (mod n), với n Khi n | pn − pn nc , log log pn ∼ log log n Nhận thấy a | b, suy β σk (p ) Vk (pβ ) σk (a) Vk (a) σk (b) Vk (b) Nếu pβ | pα (β α), dễ thấy α σk (p ) Vk (pα ) Trường hợp tổng quát suy ra, với ý σk (n) Vk (n) nhân tính Do đó, σk (φ∗ (pn )) σk (pn − 1) σk (pn − 1) = ∼ ∗ 2 Vk (φ (pn ))(log log pn ) Vk (pn − 1)(log log pn ) Vk (pn − 1)(log log n)2 Mặt khác, σk (pn − 1) Vk (pn − 1)(log log n)2 σk (n) Vk (n)(log log n)2 Do đó, lim sup n→∞ σk (φ∗ (n)) Vk (φ∗ (n))(log log n)2 σk (φ∗ (pn )) ∗ n→∞ Vk (φ (pn ))(log log pn ) σk (n) lim sup n→∞ Vk (n)(log log n) = e2γ π lim sup 38 Ta nhận 2γ e π2 l1 = l2 = l1 l2 2γ e , π2 2γ π2 e (2) Chứng minh tương tự chứng minh (1), với ý a | b suy ψk (a) Vk (a) ψk (b) Vk (b) lim sup n→∞ ψk (n) 2γ = e , Vk (n)(log log n)2 π2 Mệnh đề 2.3.1 Do vậy, bậc cực đại σk (φ∗ (n)) Vk (φ∗ (n)) ψk (φ∗ (n)) Vk (φ∗ (n)) 2γ π e (log log n) Một cách tương tự, σk∗ (n) φ∗k (n) = lim sup = eγ lim sup n→∞ Vk (n) log log n n→∞ Vk (n) log log n (sử dụng Mệnh đề 2.4.1), kiện a | b kéo theo σk∗ (a) Vk (a) σk∗ (b) Vk (b) φ∗k (a) Vk (a) φ∗k (b) , Vk (b) tương ứng, chứng minh lim sup n→∞ σk∗ (φ∗ (n)) σk∗ (φ∗ (n)) = lim sup = eγ ∗ ∗ ∗ Vk (φ (n)) log log n n→∞ Vk (φ (n)) log log φ (n) φ∗k (φ∗ (n)) φ∗k (φ∗ (n)) = lim sup = eγ lim sup ∗ ∗ ∗ n→∞ Vk (φ (n)) log log φ (n) n→∞ Vk (φ (n)) log log n 2.6 Các toán mở Bài toán mở Chú ý Vk (φ(n)) Vk (φ∗ (n)) φ∗k (V (n)) lim inf = lim inf = lim inf = n→∞ n→∞ n→∞ nk nk nk Với nk = p1 · · · pr (tích r số ngun tố đầu tiên), ta có Vk (φ(nr )) Vk ((p1 − 1) · · · (pr − 1)) = nkr pk1 · · · pkr (p1 − 1)k · · · (pr − 1)k pk1 · · · pkr 39 1 (1 − ) · · · (1 − ) p1 pr = 1 Vk (φ(nr )) (1 − = lim ) · · · (1 − ) lim r→∞ r→∞ nkr p1 pr k , k = 0, quan hệ khác tương tự Bậc cực đại Vk (φ(n)), Vk (φ∗ (n)), φ∗k (V (n)) bao nhiêu? Bài toán mở Lấy nr = p1 · · · pr (tích r số nguyên tố đầu tiên), σk∗ (p1 · · · pr ) σk∗ (V (nr )) = nkr pk1 · · · pkr (pk1 + 1) · · · (pkr + 1) = pk1 · · · pkr = 1 (1 + ) · · · (1 + ) p1 pr k →∞ r → ∞, σk∗ (V (n)) lim sup = ∞ nk n→∞ Bậc cực đại σk∗ (V (n)) bao nhiêu? 2.7 Kết luận Chương Chương nghiên cứu bậc cực trị số hàm số học Tổng kết lại, ta liệt kê vấn đề xét chương này: • Nghiên cứu chuỗi Dirichlet Vk (n) - tổng quát hóa nhiều chiều hàm số học V (n) (số số nguyên dương quy (mod n) nhỏ n) xác định bậc cực trị số hàm tương tự φ-hàm Euler; • Xác lập bậc cực trị hàm số học tổng quát hóa tổng ước đơn n hàm đơn tương ứng với hàm φ-Euler; • Nghiên cứu bậc cực trị số hàm hợp hàm số học cụ thể 40 Kết luận Những kết đạt Luận văn “Phương trình hàm số tính chất cực trị hàm số học” đạt kết sau: Trình bày phương trình hàm số học σ(n) = γ(n)2 tính chất nghiệm với ước nguyên tố Số nghiệm phương trình hàm số học σ(n) = γ(n)2 khơng vượt x > x1/4+ , với > với x > x Số nghiệm ngun thủy phương trình khơng vượt q x nhỏ x , với x > x Chuỗi Dirichlet bậc cực trị hàm số học cổ điển, hàm số học tương tự đơn σk φk , bậc cực trị số hàm hợp hàm số học Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận văn, cố gắng tiếp tục nghiên cứu chủ đề khác có liên quan, chẳng hạn như: • Nghiên cứu chi tiết bậc cực trị hàm số học hợp • Nghiên cứu bậc trung bình (average order), bậc chuẩn tắc (normal order) hàm số học ứng dụng chúng 41 Tài liệu tham khảo [1] Apostol B., Petrescu L (2013), “Extremal orders of certain functions associated with regular integers (mod n)”, Journal of Integer Sequences 16 Article 13.7.5 [2] Apostol B (2013), “Extremal orders of some functions connected to regular integers modulo n”, Analele Universitatii “Ovidius” Constanta - Seria Matematica 21, pp 5-19 [3] Broughan K.A., De Koninck J-M., Kátai I., and Luca F (2012) “On integers for which the sum of divisors is the square of the squarefree core”, Journal of Integer Sequences 15 Article 12.7.5 [4] Pollack P., Pomerance C (2012), “Prime-perfect numbers”, Integers (Selfridge memorial issue) 12A Article A14 [5] Sloane N.J.A., The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http:// oeis.org [6] Suryanarayana D (1977), “On a class of sequences of integers”, The American Mathematical Monthly 84, pp 728-730 [7] Tóth L., Wirsing E (2003), “The maximal order of a class of multiplicative arithmetical functions”, Annales Universitatis Scientiarium Budapestinensis de Rolando Eăotvă os Nominatae, Sectio Computatorica 22, pp 353-364 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THỊ THÚY HẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113... tố phân biệt n • Chương Bậc cực trị số hàm số học Chương dành để trình bày để chuỗi Dirichlet V (n) (số số quy modulo n) xác định bậc cực trị số hàm số học cổ điển, hàm tổng ước đơn n (ước d n... hàm số xác định tập hợp số tự nhiên có tập giá trị tập tập hợp số phức Các điều kiện đặt lên hàm số học phụ thuộc vào mục đích nghiên cứu Như Hardy & Wright yêu cầu, hàm số học phải “thể số tính