Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………
LUẬN VĂN
Phương pháp sử dụng
tính chất hàm lồi
1
Mu
.
cLu
.
c
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u 2
Chu
.
o
.
ng 1. Phu
.
o
.
ng pha´p su
.
’
du
.
ng tı´nh chˆat ha`m lˆo
`
i (lo
˜
m) 5
1.1 Th´u
.
tu
.
.
s˘a
´
pd¯u
.
o
.
.
ccu
’
ada
˜
ybˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c sinh bo
.
’
i ha`m lˆo
`
i (lo
˜
m) 5
1.2 Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c Karamata 11
1.3 Gi´o
.
i thiˆe
.
umˆo
.
tsˆo
´
ha`m lˆo
`
iva` ha`m lo
˜
m 19
1.3.1 Mˆo
.
tsˆo
´
ha`m lˆo
`
i 19
1.3.1 Mˆo
.
tsˆo
´
ha`m lo
˜
m 19
1.4 Ba`i tˆa
.
p 20
Chu
.
o
.
ng 2 Phu
.
o
.
ng pha´p lu
.
.
acho
.
n tham sˆo
´
24
2.1 Ca´c da
.
ng toa´n ch´u
.
a tham sˆo
´
d¯ ˆo
.
clˆa
.
p 25
2.1.1 Tham sˆo
´
chı
’
thuˆo
.
cmˆo
.
tvˆe
´
cu
’
abˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 25
2.1.2 Tham sˆo
´
co´ trong hai vˆe
´
cu
’
abˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 30
2.2 Ca´c da
.
ng toa´n ch´u
.
a tham phu
.
thuˆo
.
cva`o tham sˆo
´
kha´c 36
2.3 Ba`i tˆa
.
p 42
Chu
.
o
.
ng 3 Phu
.
o
.
ng pha´p su
.
’
du
.
ng tı´nh chˆa
´
tcu
’
a ha`m d¯o
.
nd¯iˆe
.
u 45
3.1 Ha`m d¯o
.
nd¯iˆe
.
u 45
3.2 Tı´nh d¯o
.
nd¯iˆe
.
ucu
’
a ha`m ca´c d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng trung bı`nh . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Ca´c d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng trung bı`nh 50
3.2.2 Ca´c d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng trung bı`nh suy rˆo
.
ng 50
3.3 Tı´nh d¯o
.
nd¯iˆe
.
ucu
’
a ha`m ca´c d¯a th´u
.
cd¯ˆo
´
ix´u
.
ng so
.
cˆa
´
p 55
Chu
.
o
.
ng 4 Phu
.
o
.
ng pha´p hı`nh ho
.
c 62
4.1 Hı`nh ho
.
c ho´a ca´c d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng trung bı`nh 62
4.2 Mˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng pha´p kha´c 65
4.1 Ba`i tˆa
.
p 72
Kˆe
´
t luˆa
.
ncu
’
a luˆa
.
n v˘an 73
Ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o 74
2
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c (BD
-
T) la` mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng nˆo
.
i dung quan tro
.
ng trong chu
.
o
.
ng
trı`nh toa´n phˆo
’
thˆong, no´ v`u
.
a la` d¯ˆo
´
itu
.
o
.
.
ng d¯ˆe
’
nghiˆen c´u
.
u ma` cu
˜
ng v`u
.
a la` mˆo
.
t
cˆong cu
.
d¯ ˘a
´
clu
.
.
c, v´o
.
inh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng trong nhiˆe
`
ulı
˜
nh vu
.
.
c kha´c nhau cu
’
a toa´n ho
.
c.
Trong ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i toa´n o
.
’
ca´c cˆa
´
p, nh˜u
.
ng ba`i toa´n vˆe
`
ch´u
.
ng minh
BD
-
Tthu
.
`o
.
ng xuˆa
´
thiˆe
.
nnhu
.
mˆo
.
tda
.
ng toa´n kha´ quen thuˆo
.
c, nhu
.
ng d¯ˆe
’
tı`m ra l`o
.
i
gia
’
i khˆong pha
’
i la` mˆo
.
tviˆe
.
cdˆe
˜
da`ng.
Ly´ thuyˆe
´
tBD
-
Td¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c kha´ nhiˆe
`
u ta`i liˆe
.
ud¯ˆe
`
cˆa
.
pva` ca´c ba`i tˆa
.
pvˆe
`
BD
-
Tcu
˜
ng
kha´ phong phu´, d¯a da
.
ng, trong d¯o´ ca´c phu
.
o
.
ng pha´p ch´u
.
ng minh BD
-
T la` phˆa
`
nnˆo
.
i
dung quan tro
.
ng thu
.
`o
.
ng g˘a
.
p trong nhiˆe
`
u ta`i liˆe
.
u.
Mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p ch´u
.
ng minh BD
-
T ho˘a
.
c sa´ng ta
.
o ra nh˜u
.
ng BD
-
T
m´o
.
ila`viˆe
.
c la`m ch˘a
.
tBD
-
T.
Gia
’
su
.
’
ta co´ (ho˘a
.
ccˆa
`
nch´u
.
ng minh) BD
-
T A<B(tu
.
o
.
ng tu
.
.
v´o
.
iBD
-
T A>B, A≤
B, A ≥ B). Nˆe
´
u tı`m d¯u
.
o
.
.
cbiˆe
’
uth´u
.
c C sao cho A<C<B, thı` ta no´i r˘a
`
ng BD
-
T
th ´u
.
nhˆa
´
td¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c la`m ch˘a
.
t (nghiˆem ng˘a
.
t) bo
.
’
iBD
-
Tth´u
.
hai va`hiˆe
’
n nhiˆen, BD
-
T
th ´u
.
nhˆa
´
td¯u
.
o
.
.
c suy ra t`u
.
BD
-
Tth´u
.
hai. Viˆe
.
cch´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
cBD
-
Tth´u
.
hai cho
ta mˆo
.
tca´chch´u
.
ng minh BD
-
Tth´u
.
nhˆa
´
tva`d¯ˆo
`
ng th`o
.
i sa´ng ta
.
o ra nh˜u
.
ng BD
-
Tm´o
.
i.
Do d¯o´, viˆe
.
c tı`m ra ca´c phu
.
o
.
ng pha´p d¯ˆe
’
la`m ch˘a
.
tBD
-
Tla`rˆa
´
t co´ y´ nghı
˜
a.
D
-
o´cu
˜
ng la` nˆo
.
i dung ma` luˆa
.
n v˘an na`y d¯ˆe
`
cˆa
.
p.
Luˆa
.
n v˘an da`y 74 trang, gˆo
`
m ca´c phˆa
`
nmu
.
clu
.
c, Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u,4chu
.
o
.
ng nˆo
.
i dung, Kˆe
´
t
luˆa
.
nva`Ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o.
Chu
.
o
.
ng 1: Phu
.
o
.
ng pha´p su
.
’
du
.
ng tı´nh chˆa
´
tcu
’
a ha`m lˆo
`
i (lo
˜
m) .
D
-
ˆay la` phu
.
o
.
ng pha´p co
.
ba
’
nva` quan tro
.
ng nhˆa
´
td¯ˆe
’
la`m ch˘a
.
tBD
-
Tma`mˆo
.
tsˆo
´
ta`i liˆe
.
uhiˆe
.
n ha`nh cu
˜
ng d¯a
˜
d¯ ˆe
`
cˆa
.
p, d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` ta`i liˆe
.
u [1]. Phˆa
`
nd¯o´ng go´p cu
’
a luˆa
.
n
v˘an, chu
’
yˆe
´
u la` viˆe
.
ccu
.
thˆe
’
ho´a ly´ thuyˆe
´
tcu
’
aphu
.
o
.
ng pha´p na`y b˘a
`
ng nh˜u
.
ng vı´ du
.
va` ba`i tˆa
.
pcu
.
thˆe
’
, co´ thˆe
’
ta´ch riˆeng tha`nh nh˜u
.
ng ba`i tˆa
.
pvˆe
`
BD
-
T kha´ phong phu´.
Kha´ nhiˆe
`
uBD
-
T quen thuˆo
.
c, la` tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng cu
’
a ca´c BD
-
Td¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
cta
.
orat`u
.
nh˜u
.
ng minh ho
.
a na`y. Trong phˆa
`
n cuˆo
´
i chu
.
o
.
ng, luˆa
.
n v˘an cu
˜
ng d¯a
˜
d¯ u
.
a ra d¯u
.
o
.
.
c kha´
3
nhiˆe
`
u ha`m lˆo
`
i (lo
˜
m) d¯ˆe
’
ba
.
nd¯o
.
c co´ thˆe
’
a´p du
.
ng sa´ng ta
.
o ra nhiˆe
`
uBD
-
T kha´c.
Chu
.
o
.
ng 2: Phu
.
o
.
ng pha´p lu
.
.
a cho
.
n tham sˆo
´
.
Co´ thˆe
’
minh ho
.
ay´tu
.
o
.
’
ng cu
’
aphu
.
o
.
ng pha´p na`y bo
.
’
imˆo
.
t vı´ du
.
sau d¯ˆay: Gia
’
su
.
’
a, b, c la` 3 sˆo
´
khˆong ˆam co´ tˆo
’
ng b˘a
`
ng 3. Dˆe
˜
da`ng ch´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
cbˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c
√
a +
√
b +
√
c ≥ ab + bc + ca.
Nhu
.
vˆa
.
y, v´o
.
i k ≥
1
2
thı` BD
-
T sau d¯ˆay luˆon d¯u´ng
a
k
+ b
k
+ c
k
≥ ab + bc + ca.
Mˆo
.
t cˆau ho
’
itu
.
.
nhiˆen d¯u
.
o
.
.
cd¯˘a
.
t ra, v´o
.
i k<
1
2
thı` khi na`o BD
-
T trˆen vˆa
˜
n d¯u´ng?
Viˆe
.
c tı`m d¯u
.
o
.
.
csˆo
´
k (k<
1
2
) nho
’
nhˆa
´
t sao cho BD
-
T trˆen vˆa
˜
n d¯u´ng cho ta mˆo
.
t
phu
.
o
.
ng pha´p d¯ˆe
’
la`m ch˘a
.
tBD
-
T.
D
-
o´cu
˜
ng la` nˆo
.
i dung ma` luˆa
.
nv˘and¯ˆe
`
cˆa
.
p trong chu
.
o
.
ng na`y, trong d¯o´ tham sˆo
´
k d¯ u
.
o
.
.
cxe´to
.
’
hai da
.
ng, la` tham sˆo
´
d¯ ˆo
.
clˆa
.
p ho˘a
.
c co`n phu
.
thuˆo
.
cva`o mˆo
.
t tham sˆo
´
kha´c.
Chu
.
o
.
ng 3: Phu
.
o
.
ng pha´p su
.
’
du
.
ng tı´nh chˆa
´
tcu
’
a ha`m d¯o
.
nd¯iˆe
.
u.
Phu
.
o
.
ng pha´p na`y cu
˜
ng d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
cmˆo
.
tsˆo
´
ta`i liˆe
.
ud¯ˆe
`
cˆa
.
p, d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` ta`i liˆe
.
u [1].
Phˆa
`
nd¯o´ng go´p cu
’
a luˆa
.
nv˘ano
.
’
chu
.
o
.
ng na`y chu
’
yˆe
´
u la` viˆe
.
chˆe
.
thˆo
´
ng ho´a mˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng pha´p s˘a
´
pth´u
.
tu
.
.
ca´c d¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng trung bı`nh va`cu
.
thˆe
’
ho´a ly´ thuyˆe
´
tcu
’
a
phu
.
o
.
ng pha´p b˘a
`
ng nh˜u
.
ng vı´ du
.
va` ba`i tˆa
.
pcu
.
thˆe
’
. Kha´ nhiˆe
`
uBD
-
Tm´o
.
id¯u
.
o
.
.
c luˆa
.
n
v˘an sa´ng ta´c, thˆong qua viˆe
.
c la`m ch˘a
.
tBD
-
Tb˘a
`
ng ca´ch su
.
’
du
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p na`y.
Chu
.
o
.
ng 4: Phu
.
o
.
ng pha´p hı`nh ho
.
c.
Nˆo
.
i dung chu
.
o
.
ng na`y d¯ˆe
`
cˆa
.
pd¯ˆe
´
nmˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng pha´p la`m ch˘a
.
tBD
-
Td¯a
.
isˆo
´
thˆong qua nh ˜u
.
ng u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng tru
.
.
c quan t`u
.
hı`nh ho
.
c, v´o
.
inh˜u
.
ng vı´ du
.
minh ho
.
a kha´
cu
.
thˆe
’
.
Luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n tha`nh du
.
´o
.
isu
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
ccu
’
aTiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh
D
-
a`o Chiˆe
´
n - Ngu
.
`o
.
i Thˆa
`
yrˆa
´
t nghiˆem kh˘a
´
cva`tˆa
.
n tˆam trong cˆong viˆe
.
c, ngu
.
`o
.
i Thˆa
`
y
khˆong chı
’
giu´p d¯˜o
.
, cung cˆa
´
p ta`i liˆe
.
u, go
.
.
imo
.
’
cho ta´c gia
’
nhiˆe
`
uy´tu
.
o
.
’
ng hay va`
truyˆe
`
nd¯a
.
t nhiˆe
`
ukiˆe
´
nth´u
.
c quı´ ba´u, cu
˜
ng nhu
.
nh˜u
.
ng kinh nghiˆe
.
m nghiˆen c´u
.
u khoa
ho
.
c ma` co`n chı
’
ba
’
o cho ta´c gia
’
trong ta´c phong la`m viˆe
.
c, thˆong ca
’
m, khuyˆe
´
n khı´ch
d¯ ˆo
.
ng viˆen ta´c gia
’
vu
.
o
.
.
t qua nh˜u
.
ng kho´ kh˘an trong chuyˆen mˆon va` cuˆo
.
csˆo
´
ng. Chı´nh
vı` vˆa
.
y ma` ta´c gia
’
luˆon to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh va`su
.
.
kı´nh phu
.
c sˆau s˘a
´
cd¯ˆo
´
iv´o
.
i
thˆa
`
ygia´ohu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n-Tiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n.
Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia
’
cu
˜
ng xin ba`y to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh d¯ˆe
´
n Ban Gia´m Hiˆe
.
u
4
tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Quy Nho
.
n, Pho`ng d¯a`o ta
.
oD
-
a
.
iho
.
cva` sau D
-
a
.
iho
.
c, khoa Toa´n, quı´
Thˆa
`
y cˆo gia´o tru
.
.
ctiˆe
´
p gia
’
ng da
.
yd¯a
˜
ta
.
omo
.
id¯iˆe
`
ukiˆe
.
n thuˆa
.
nlo
.
.
i trong th`o
.
i gian ta´c
gia
’
tham gia kho´a ho
.
c.
D
-
ˆo
`
ng th`o
.
i ta´c gia
’
cu
˜
ng xin ba`y to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
nd¯ˆe
´
n UBND Tı
’
nh Gia Lai, So
.
’
Gia´o du
.
cva` d¯a`o ta
.
oTı
’
nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe
.
u tru
.
`o
.
ng THPT Ia Grai, d¯a
˜
d¯ ˆo
.
ng
viˆen va`ta
.
omo
.
id¯iˆe
`
ukiˆe
.
n thuˆa
.
nlo
.
.
id¯ˆe
’
ta´c gia
’
co´ nhiˆe
`
u th`o
.
i gian nghiˆen c´u
.
uva`
hoa`n tha`nh d¯ˆe
`
ta`i.
Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y, ta´c gia
’
co`n nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
quan tˆam
d¯ ˆo
.
ng viˆen cu
’
ame
.
,vo
.
.
, ca´c anh chi
.
em trong gia d¯ı`nh, ca´c ba
.
nd¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p, ca´c anh
chi
.
em trong l´o
.
p cao ho
.
c kho´a VII, VIII, IX cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n. Ta´c gia
’
xin chˆan tha`nh ca
’
mo
.
ntˆa
´
tca
’
su
.
.
quan tˆam va`d¯ˆo
.
ng viˆen d¯o´.
D
-
ˆe
’
hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an, ta´c gia
’
d¯ a
˜
rˆa
´
tcˆo
´
g˘a
´
ng tˆa
.
p trung nghiˆen c´u
.
u, song do
ı´t nhiˆe
`
uha
.
n chˆe
´
vˆe
`
th`o
.
i gian, cu
˜
ng nhu
.
vˆe
`
n˘ang lu
.
.
cnˆen ch˘a
´
cch˘a
´
n trong luˆa
.
n v˘an
co`n nhiˆe
`
uvˆa
´
nd¯ˆe
`
chu
.
ad¯ˆe
`
cˆa
.
pd¯ˆe
´
nva` kho´ tra´nh kho
’
inh˜u
.
ng thiˆe
´
u so´t nhˆa
´
td¯i
.
nh.
Ta´c gia
’
rˆa
´
t mong nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
chı
’
ba
’
ocu
’
a quı´ thˆa
`
ycˆova`nh˜u
.
ng go´p y´ cu
’
aba
.
n
d¯ o
.
cvˆe
`
luˆa
.
n v˘an na`y.
Quy Nho
.
n, tha´ng 02 n˘am 2008
Ta´c gia
’
5
Chu
.
o
.
ng 1
Phu
.
o
.
ng ph´ap su
.
˙’
du
.
ng t´ınh chˆa
´
t
h`am lˆo
`
i (l˜om)
1.1 Th´u
.
tu
.
.
s˘a
´
pd¯u
.
o
.
.
ccu
’
ada
˜
ybˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c
sinh bo
.
’
i ha`m lˆo
`
i (lo
˜
m)
Tru
.
´o
.
chˆe
´
t, v´o
.
i hai sˆo
´
thu
.
.
c a ≥ b, ta su
.
’
du
.
ng kı´ hiˆe
.
u I(a; b)d¯ˆe
’
ngˆa
`
md¯i
.
nh mˆo
.
t
trong bˆo
´
ntˆa
.
pho
.
.
p(a; b), [a; b), (a; b]va`[a; b].
Trong [1], hai kˆe
´
t qua
’
sau d¯ˆay d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh:
D
-
i
.
nh ly´ 1.1.1. Gia
’
su
.
’
cho tru
.
´o
.
c ha`m sˆo
´
y = f(x) co´ f
(x) ≥ 0 (ha`m lˆo
`
i) trˆen
I(a; b) va` gia
’
su
.
’
x
1
,x
2
∈ I(a; b) v´o
.
i x
1
<x
2
. Khi d¯o´, v´o
.
imo
.
ida
˜
ysˆo
´
t˘ang dˆa
`
n {u
k
}
trong
x
1
;
x
1
+ x
2
2
:
x
1
= u
0
<u
1
<u
2
< < u
n
<
x
1
+ x
2
2
(1.1)
va` da
˜
ysˆo
´
gia
’
mdˆa
`
n {v
k
} trong
x
1
+ x
2
2
; x
2
:
x
1
+ x
2
2
<v
n
<v
n−1
< <v
1
<v
0
= x
2
(1.2)
sao cho
u
j
+ v
j
= x
1
+ x
2
, ∀j =0, 1, , n (1.3)
ta d¯ˆe
`
uco´
f(u
0
)+f(v
0
) ≥ f (u
1
)+f(v
1
) ≥ ≥ f (u
n
)+f(v
n
). (1.4)
No´i ca´ch kha´c: Da
˜
y
f(u
j
)+f(v
j
)
, j =0, 1, , n, la` mˆo
.
tda
˜
y gia
’
m.
6
D
-
i
.
nh ly´ 1.1.2. Gia
’
su
.
’
cho tru
.
´o
.
c ha`m sˆo
´
y = f(x) co´ f
(x) 0 (ha`m lo
˜
m) trˆen
I(a; b) va` gia
’
su
.
’
x
1
,x
2
∈ I(a; b) v´o
.
i x
1
<x
2
. Khi d¯o´, v´o
.
imo
.
ida
˜
ysˆo
´
t˘ang dˆa
`
n {u
k
}
trong
x
1
;
x
1
+ x
2
2
:
x
1
= u
0
<u
1
<u
2
< < u
n
<
x
1
+ x
2
2
va` da
˜
ysˆo
´
gia
’
mdˆa
`
n {v
k
} trong
x
1
+ x
2
2
; x
2
:
x
1
+ x
2
2
<v
n
<v
n−1
< <v
1
<v
0
= x
2
sao cho
u
j
+ v
j
= x
1
+ x
2
, ∀j =0, 1, , n,
ta d¯ˆe
`
uco´
f(u
0
)+f(v
0
) f (u
1
)+f(v
1
) f (u
n
)+f(v
n
). (1.5)
No´i ca´ch kha´c: Da
˜
y
f(u
j
)+f(v
j
)
, j =0, 1, , n, la` mˆo
.
tda
˜
y t˘ang.
Nhˆa
.
n xe´t r˘a
`
ng, d¯ˆe
’
co´ d¯u
.
o
.
.
cnh˜u
.
ng kˆe
´
t qua
’
t`u
.
D
-
i
.
nh lı´ 1.1.1 ho˘a
.
cD
-
i
.
nh lı´ 1.1.2,
d¯ i ˆe
`
u quan tro
.
ng tru
.
´o
.
chˆe
´
t la` pha
’
i xˆay du
.
.
ng trˆen I(a; b) hai da
˜
y {u
k
} va` {v
k
} thoa
’
ma
˜
nnh˜u
.
ng d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
ad¯i
.
nh lı´. Sau d¯o´ la` viˆe
.
c tı`m nh˜u
.
ng ha`m sˆo
´
y = f (x)co´
f
(x) ≥ 0 ho˘a
.
c f
(x) 0 trˆen I(a; b)d¯ˆe
’
a´p du
.
ng.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tva`i minh ho
.
a cho hai d¯i
.
nh lı´ trˆen, v´o
.
inh˜u
.
ng da
˜
ysˆo
´
va` ha`m
sˆo
´
d¯ o
.
n gia
’
n nhˆa
´
t. Ba
.
nd¯o
.
c co´ thˆe
’
tı`m ra nh˜u
.
ng kˆe
´
t qua
’
kha´c, phong phu´ho
.
n.
V´o
.
i hai sˆo
´
thu
.
.
c cho tru
.
´o
.
c x
1
<x
2
, hı`nh a
’
nh cu
’
aca´cd¯iˆe
’
m u
j
va` v
j
lˆa
`
nlu
.
o
.
.
t
”tiˆe
´
nd¯ˆe
`
u” vˆe
`
trung d¯iˆe
’
mcu
’
a d¯oa
.
n[x
1
x
2
]la`
x
1
+ x
2
2
trˆen tru
.
csˆo
´
giu´p ta xˆay du
.
.
ng
d¯ u
.
o
.
.
c hai da
˜
y {u
k
} va` {v
k
} thoa
’
ma
˜
nnh˜u
.
ng d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
aD
-
i
.
nh lı´ 1.1.1 va`D
-
i
.
nh lı´
1.1.2 nhu
.
sau:
Vı´ du
.
1.1.
u
0
= x
1
,u
1
= x
1
+
x
2
− x
1
2.(n +1)
, ,u
n
= x
1
+ n
x
2
− x
1
2(n +1)
=
(n +2)x
1
+ nx
2
2(n +1)
;
v
0
= x
2
,v
1
= x
2
−
x
2
− x
1
2.(n +1)
, ,v
n
= x
2
− n
x
2
− x
1
2(n +1)
=
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
.
Bˆay gi`o
.
, xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=x
2
; x ∈ R.
Ta co´
f
(x)=2> 0; ∀x ∈ R.
Do d¯o´, theo D
-
i
.
nh lı´ 1.1.1, ta co´
7
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.1.
x
2
1
+ x
2
2
≥
(2n +1)x
1
+ x
2
2(n +1)
2
+
x
1
+(2n +1)x
2
2(n +1)
2
≥
2nx
1
+2x
2
2(n +1)
2
+
2x
1
+2nx
2
2(n +1)
2
···
≥
(n +2)x
1
+ nx
2
2(n +1)
2
+
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
2
≥
x
1
+ x
2
2
2
; ∀x
1
,x
2
∈ R.
Tiˆe
´
ptu
.
c, nˆe
´
u xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=
1
x
; x>0.
Ta co´
f
(x)=
2
x
3
> 0; ∀x>0.
Do d¯o´, theo D
-
i
.
nh lı´ 1.1.1, ta co´
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.2.
1
x
1
+
1
x
2
≥
2(n +1)
(2n +1)x
1
+ x
2
+
2(n +1)
x
1
+(2n +1)x
2
≥
2(n +1)
2nx
1
+2x
2
+
2(n +1)
2x
1
+2nx
2
≥···
≥
2(n +1)
(n +2)x
1
+ nx
2
+
2(n +1)
nx
1
+(n +2)x
2
≥
4
x
1
+ x
2
; ∀x
1
,x
2
> 0,n≥ 1.
Bˆay gi`o
.
, xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=
√
x; x>0.
Ta co´
f
(x)=−
1
4x
√
x
> 0; ∀x>0.
Do d¯o´, theo D
-
i
.
nh lı´ 1.1.1, ta co´
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.3.
√
x
1
+
√
x
2
(2n +1)x
1
+ x
2
2(n +1)
+
x
1
+(2n + 1)3x
2
2(n +1)
2nx
1
+2x
2
2(n +1)
+
2x
1
+2nx
2
2(n +1)
···
(n +2)x
1
+ nx
2
2(n +1)
+
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
≤
x
1
+ x
2
2
; ∀x
1
,x
2
> 0 n ≥ 1.
Tiˆe
´
ptu
.
c, nˆe
´
u xe´t ha`m sˆo
´
f(x)=
sinx
1+sinx
; x ∈ (0; π).
Ta co´
f
(x)=−
sinx +1+cos
2
x
(1 + sinx)
3
< 0; ∀x ∈ (0; π).
Do d¯o´, theo D
-
i
.
nh lı´ 1.1.1, ta co´
8
Bˆa
´
td¯˘a
’
ng th´u
.
c 1.4.
sinx
1
1+sinx
1
+
sinx
2
1+sinx
2
≤
sin
(2n +1)x
1
+ x
2
2(n +1)
1+sin
(2n +1)x
1
+ x
2
2(n +1)
+
sin
x
1
+(2n +1)x
2
2(n +1)
1+sin
x
1
+(2n +1)x
2
2(n +1)
···
sin
(n +2)x
1
+ nx
2
2(n +1)
1+sin
(n +2)x
1
+ nx
2
2(n +1)
+
sin
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
1+sin
nx
1
+(n +2)x
2
2(n +1)
≤ 2
sin
x
1
+ x
2
2
1+sin
x
1
+ x
2
2
; ∀x
1
,x
2
∈ (0; π),n≥ 1
Bˆay gi`o
.
, tro
.
’
la
.
iv´o
.
iD
-
i
.
nh lı´ 1.1.1 va`D
-
i
.
nh lı´ 1.1.2. Co´ thˆe
’
ch´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
c
r˘a
`
ng kˆe
´
t qua
’
(1.4) va` (1.5) vˆa
˜
nd¯u´ngnˆe
´
u thay (1.3) bo
.
’
imˆo
.
t gia
’
thiˆe
´
tma
.
nh ho
.
n.
Ta co´ ca´c kˆe
´
t qua
’
sau d¯ˆay:
D
-
i
.
nh ly´ 1.1.3. Gia
’
su
.
’
cho tru
.
´o
.
c ha`m sˆo
´
y = f(x) co´ f
(x) ≥ 0 (ha`m lˆo
`
i) trˆen
I(a; b) va` gia
’
su
.
’
x
1
,x
2
∈ I(a; b) v´o
.
i x
1
<x
2
. Khi d¯o´, v´o
.
imo
.
ida
˜
ysˆo
´
t˘ang dˆa
`
n {u
k
}
trong
x
1
;
x
1
+ x
2
2
:
x
1
= u
0
<u
1
<u
2
< < u
n
<
x
1
+ x
2
2
va` da
˜
ysˆo
´
gia
’
mdˆa
`
n {v
k
} trong
x
1
+ x
2
2
; x
2
:
x
1
+ x
2
2
<v
n
<v
n−1
< <v
1
<v
0
= x
2
sao cho
x
1
+ x
2
= u
0
+ v
0
≥ u
1
+ v
1
≥···≥u
n
+ v
n
, (1.6)
ta d¯ˆe
`
uco´
f(u
0
)+f(v
0
) ≥ f (u
1
)+f(v
1
) ≥···≥f(u
n
)+f(v
n
).
No´i ca´ch kha´c: Da
˜
y
f(u
j
)+f(v
j
)
, j =0, 1, ··· ,n, la` mˆo
.
tda
˜
y gia
’
m.
Ch´u
.
ng minh. V´o
.
imˆo
˜
i j ∈{0, 1, ··· ,n},t`u
.
ca´c gia
’
thiˆe
´
t, ta co´
u
j
<u
j+1
<
u
j+1
+ v
j+1
2
u
0
+ v
0
2
=
x
1
+ x
2
2
<v
j+1
<v
j
.
9
Bˆay gi`o
.
,v´o
.
imˆo
˜
i j ∈{0, 1, , n},d¯˘a
.
t
u
j+1
−u
j
=
j+1
v
j
− v
j+1
= δ
j+1
.
Thˆe
´
thı`
0 <
j+1
δ
j+1
; ∀j ∈{0, 1, , n}.
Bˆay gi`o
.
,v´o
.
imˆo
˜
i j ∈{0, 1, , n}, theo D
-
i
.
nh lı´ Lagrange, ta co´
f(u
j+1
) −f (u
j
)=f
(c
j+1
)(u
j+1
− u
j
)=f
(c
j+1
)
j+1
,v´o
.
i c
j+1
∈ (u
j
; u
j+1
);
f(v
j
) −f (v
j+1
)=f
(d
j+1
)(v
j
−v
j+1
)=f
(d
j+1
)δ
j+1
,v´o
.
i d
j+1
∈ (v
j+1
; v
j
).
Ho
.
nn˜u
.
a, vı` c
j+1
<d
j+1
; ∀j ∈{0, 1, , n} va` f
(x) ≥ 0, nˆen ta co´
f
(c
j+1
) f
(d
j+1
); ∀j ∈{0, 1, , n}.
Do d¯o´, ta co´
f(u
j+1
) −f (u
j
) f (v
j
) −f (v
j+1
); ∀j ∈{0, 1, , n},
hay
f(u
j
)+f(v
j
) ≥ f(u
j+1
)+f(v
j+1
); ∀j ∈{0, 1, , n}.
Ta co´ d¯iˆe
`
u pha
’
ich´u
.
ng minh.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, ta co´
D
-
i
.
nh ly´ 1.1.4. Gia
’
su
.
’
cho tru
.
´o
.
c ha`m sˆo
´
y = f(x) co´ f
(x) 0 (ha`m lo
˜
m) trˆen
I(a; b) va` gia
’
su
.
’
x
1
,x
2
∈ I(a; b) v´o
.
i x
1
<x
2
. Khi d¯o´, v´o
.
imo
.
ida
˜
ysˆo
´
t˘ang dˆa
`
n {u
k
}
trong
x
1
;
x
1
+ x
2
2
:
x
1
= u
0
<u
1
<u
2
< ···<u
n
<
x
1
+ x
2
2
va` da
˜
ysˆo
´
gia
’
mdˆa
`
n {v
k
} trong
x
1
+ x
2
2
; x
2
:
x
1
+ x
2
2
<v
n
<v
n−1
< ···<v
1
<v
0
= x
2
sao cho
x
1
+ x
2
= u
0
+ v
0
≥ u
1
+ v
1
≥···≥u
n
+ v
n
,
ta d¯ˆe
`
uco´
f(u
0
)+f(v
0
) f (u
1
)+f(v
1
) ··· f(u
n
)+f(v
n
).
No´i ca´ch kha´c: Da
˜
y
f(u
j
)+f(v
j
)
, j =0, 1, ··· ,n, la` mˆo
.
tda
˜
y t˘ang.
. VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………
LUẬN VĂN
Phương pháp sử dụng
tính chất hàm lồi
1
Mu
.
cLu
.
c
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u 2
Chu
.
o
.
ng
Ngày đăng: 05/03/2014, 23:20
Xem thêm: LUẬN VĂN: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi pot, LUẬN VĂN: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi pot