LUẬN VĂN: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi pot

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi 1 Mu . cLu . c Mo . ’ d¯ ˆa ` u 2 Chu . o . ng 1. Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆat ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) 5 1.1 Th´u . tu . . s˘a ´ pd¯u . o . . ccu ’ ada ˜ ybˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c sinh bo . ’ i ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) 5 1.2 Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c Karamata 11 1.3 Gi´o . i thiˆe . umˆo . tsˆo ´ ha`m lˆo ` iva` ha`m lo ˜ m 19 1.3.1 Mˆo . tsˆo ´ ha`m lˆo ` i 19 1.3.1 Mˆo . tsˆo ´ ha`m lo ˜ m 19 1.4 Ba`i tˆa . p 20 Chu . o . ng 2 Phu . o . ng pha´p lu . . acho . n tham sˆo ´ 24 2.1 Ca´c da . ng toa´n ch´u . a tham sˆo ´ d¯ ˆo . clˆa . p 25 2.1.1 Tham sˆo ´ chı ’ thuˆo . cmˆo . tvˆe ´ cu ’ abˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 25 2.1.2 Tham sˆo ´ co´ trong hai vˆe ´ cu ’ abˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 30 2.2 Ca´c da . ng toa´n ch´u . a tham phu . thuˆo . cva`o tham sˆo ´ kha´c 36 2.3 Ba`i tˆa . p 42 Chu . o . ng 3 Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆa ´ tcu ’ a ha`m d¯o . nd¯iˆe . u 45 3.1 Ha`m d¯o . nd¯iˆe . u 45 3.2 Tı´nh d¯o . nd¯iˆe . ucu ’ a ha`m ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh 50 3.2.2 Ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh suy rˆo . ng 50 3.3 Tı´nh d¯o . nd¯iˆe . ucu ’ a ha`m ca´c d¯a th´u . cd¯ˆo ´ ix´u . ng so . cˆa ´ p 55 Chu . o . ng 4 Phu . o . ng pha´p hı`nh ho . c 62 4.1 Hı`nh ho . c ho´a ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh 62 4.2 Mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng pha´p kha´c 65 4.1 Ba`i tˆa . p 72 Kˆe ´ t luˆa . ncu ’ a luˆa . n v˘an 73 Ta`i liˆe . u tham kha ’ o 74 2 Mo . ’ d¯ ˆa ` u Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c (BD - T) la` mˆo . t trong nh˜u . ng nˆo . i dung quan tro . ng trong chu . o . ng trı`nh toa´n phˆo ’ thˆong, no´ v`u . a la` d¯ˆo ´ itu . o . . ng d¯ˆe ’ nghiˆen c´u . u ma` cu ˜ ng v`u . a la` mˆo . t cˆong cu . d¯ ˘a ´ clu . . c, v´o . inh˜u . ng ´u . ng du . ng trong nhiˆe ` ulı ˜ nh vu . . c kha´c nhau cu ’ a toa´n ho . c. Trong ca´c d¯ˆe ` thi cho . nho . c sinh gio ’ i toa´n o . ’ ca´c cˆa ´ p, nh˜u . ng ba`i toa´n vˆe ` ch´u . ng minh BD - Tthu . `o . ng xuˆa ´ thiˆe . nnhu . mˆo . tda . ng toa´n kha´ quen thuˆo . c, nhu . ng d¯ˆe ’ tı`m ra l`o . i gia ’ i khˆong pha ’ i la` mˆo . tviˆe . cdˆe ˜ da`ng. Ly´ thuyˆe ´ tBD - Td¯a ˜ d¯ u . o . . c kha´ nhiˆe ` u ta`i liˆe . ud¯ˆe ` cˆa . pva` ca´c ba`i tˆa . pvˆe ` BD - Tcu ˜ ng kha´ phong phu´, d¯a da . ng, trong d¯o´ ca´c phu . o . ng pha´p ch´u . ng minh BD - T la` phˆa ` nnˆo . i dung quan tro . ng thu . `o . ng g˘a . p trong nhiˆe ` u ta`i liˆe . u. Mˆo . t trong nh˜u . ng phu . o . ng pha´p ch´u . ng minh BD - T ho˘a . c sa´ng ta . o ra nh˜u . ng BD - T m´o . ila`viˆe . c la`m ch˘a . tBD - T. Gia ’ su . ’ ta co´ (ho˘a . ccˆa ` nch´u . ng minh) BD - T A<B(tu . o . ng tu . . v´o . iBD - T A>B, A≤ B, A ≥ B). Nˆe ´ u tı`m d¯u . o . . cbiˆe ’ uth´u . c C sao cho A<C<B, thı` ta no´i r˘a ` ng BD - T th ´u . nhˆa ´ td¯a ˜ d¯ u . o . . c la`m ch˘a . t (nghiˆem ng˘a . t) bo . ’ iBD - Tth´u . hai va`hiˆe ’ n nhiˆen, BD - T th ´u . nhˆa ´ td¯u . o . . c suy ra t`u . BD - Tth´u . hai. Viˆe . cch´u . ng minh d¯u . o . . cBD - Tth´u . hai cho ta mˆo . tca´chch´u . ng minh BD - Tth´u . nhˆa ´ tva`d¯ˆo ` ng th`o . i sa´ng ta . o ra nh˜u . ng BD - Tm´o . i. Do d¯o´, viˆe . c tı`m ra ca´c phu . o . ng pha´p d¯ˆe ’ la`m ch˘a . tBD - Tla`rˆa ´ t co´ y´ nghı ˜ a. D - o´cu ˜ ng la` nˆo . i dung ma` luˆa . n v˘an na`y d¯ˆe ` cˆa . p. Luˆa . n v˘an da`y 74 trang, gˆo ` m ca´c phˆa ` nmu . clu . c, Mo . ’ d¯ ˆa ` u,4chu . o . ng nˆo . i dung, Kˆe ´ t luˆa . nva`Ta`i liˆe . u tham kha ’ o. Chu . o . ng 1: Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆa ´ tcu ’ a ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) . D - ˆay la` phu . o . ng pha´p co . ba ’ nva` quan tro . ng nhˆa ´ td¯ˆe ’ la`m ch˘a . tBD - Tma`mˆo . tsˆo ´ ta`i liˆe . uhiˆe . n ha`nh cu ˜ ng d¯a ˜ d¯ ˆe ` cˆa . p, d¯˘a . cbiˆe . t la` ta`i liˆe . u [1]. Phˆa ` nd¯o´ng go´p cu ’ a luˆa . n v˘an, chu ’ yˆe ´ u la` viˆe . ccu . thˆe ’ ho´a ly´ thuyˆe ´ tcu ’ aphu . o . ng pha´p na`y b˘a ` ng nh˜u . ng vı´ du . va` ba`i tˆa . pcu . thˆe ’ , co´ thˆe ’ ta´ch riˆeng tha`nh nh˜u . ng ba`i tˆa . pvˆe ` BD - T kha´ phong phu´. Kha´ nhiˆe ` uBD - T quen thuˆo . c, la` tru . `o . ng ho . . p riˆeng cu ’ a ca´c BD - Td¯a ˜ d¯ u . o . . cta . orat`u . nh˜u . ng minh ho . a na`y. Trong phˆa ` n cuˆo ´ i chu . o . ng, luˆa . n v˘an cu ˜ ng d¯a ˜ d¯ u . a ra d¯u . o . . c kha´ 3 nhiˆe ` u ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) d¯ˆe ’ ba . nd¯o . c co´ thˆe ’ a´p du . ng sa´ng ta . o ra nhiˆe ` uBD - T kha´c. Chu . o . ng 2: Phu . o . ng pha´p lu . . a cho . n tham sˆo ´ . Co´ thˆe ’ minh ho . ay´tu . o . ’ ng cu ’ aphu . o . ng pha´p na`y bo . ’ imˆo . t vı´ du . sau d¯ˆay: Gia ’ su . ’ a, b, c la` 3 sˆo ´ khˆong ˆam co´ tˆo ’ ng b˘a ` ng 3. Dˆe ˜ da`ng ch´u . ng minh d¯u . o . . cbˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c √ a + √ b + √ c ≥ ab + bc + ca. Nhu . vˆa . y, v´o . i k ≥ 1 2 thı` BD - T sau d¯ˆay luˆon d¯u´ng a k + b k + c k ≥ ab + bc + ca. Mˆo . t cˆau ho ’ itu . . nhiˆen d¯u . o . . cd¯˘a . t ra, v´o . i k< 1 2 thı` khi na`o BD - T trˆen vˆa ˜ n d¯u´ng? Viˆe . c tı`m d¯u . o . . csˆo ´ k (k< 1 2 ) nho ’ nhˆa ´ t sao cho BD - T trˆen vˆa ˜ n d¯u´ng cho ta mˆo . t phu . o . ng pha´p d¯ˆe ’ la`m ch˘a . tBD - T. D - o´cu ˜ ng la` nˆo . i dung ma` luˆa . nv˘and¯ˆe ` cˆa . p trong chu . o . ng na`y, trong d¯o´ tham sˆo ´ k d¯ u . o . . cxe´to . ’ hai da . ng, la` tham sˆo ´ d¯ ˆo . clˆa . p ho˘a . c co`n phu . thuˆo . cva`o mˆo . t tham sˆo ´ kha´c. Chu . o . ng 3: Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆa ´ tcu ’ a ha`m d¯o . nd¯iˆe . u. Phu . o . ng pha´p na`y cu ˜ ng d¯a ˜ d¯ u . o . . cmˆo . tsˆo ´ ta`i liˆe . ud¯ˆe ` cˆa . p, d¯˘a . cbiˆe . t la` ta`i liˆe . u [1]. Phˆa ` nd¯o´ng go´p cu ’ a luˆa . nv˘ano . ’ chu . o . ng na`y chu ’ yˆe ´ u la` viˆe . chˆe . thˆo ´ ng ho´a mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng pha´p s˘a ´ pth´u . tu . . ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh va`cu . thˆe ’ ho´a ly´ thuyˆe ´ tcu ’ a phu . o . ng pha´p b˘a ` ng nh˜u . ng vı´ du . va` ba`i tˆa . pcu . thˆe ’ . Kha´ nhiˆe ` uBD - Tm´o . id¯u . o . . c luˆa . n v˘an sa´ng ta´c, thˆong qua viˆe . c la`m ch˘a . tBD - Tb˘a ` ng ca´ch su . ’ du . ng phu . o . ng pha´p na`y. Chu . o . ng 4: Phu . o . ng pha´p hı`nh ho . c. Nˆo . i dung chu . o . ng na`y d¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ nmˆo . tsˆo ´ phu . o . ng pha´p la`m ch˘a . tBD - Td¯a . isˆo ´ thˆong qua nh ˜u . ng u . ´o . clu . o . . ng tru . . c quan t`u . hı`nh ho . c, v´o . inh˜u . ng vı´ du . minh ho . a kha´ cu . thˆe ’ . Luˆa . n v˘an d¯u . o . . c hoa`n tha`nh du . ´o . isu . . hu . ´o . ng dˆa ˜ n khoa ho . ccu ’ aTiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n - Ngu . `o . i Thˆa ` yrˆa ´ t nghiˆem kh˘a ´ cva`tˆa . n tˆam trong cˆong viˆe . c, ngu . `o . i Thˆa ` y khˆong chı ’ giu´p d¯˜o . , cung cˆa ´ p ta`i liˆe . u, go . . imo . ’ cho ta´c gia ’ nhiˆe ` uy´tu . o . ’ ng hay va` truyˆe ` nd¯a . t nhiˆe ` ukiˆe ´ nth´u . c quı´ ba´u, cu ˜ ng nhu . nh˜u . ng kinh nghiˆe . m nghiˆen c´u . u khoa ho . c ma` co`n chı ’ ba ’ o cho ta´c gia ’ trong ta´c phong la`m viˆe . c, thˆong ca ’ m, khuyˆe ´ n khı´ch d¯ ˆo . ng viˆen ta´c gia ’ vu . o . . t qua nh˜u . ng kho´ kh˘an trong chuyˆen mˆon va` cuˆo . csˆo ´ ng. Chı´nh vı` vˆa . y ma` ta´c gia ’ luˆon to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh va`su . . kı´nh phu . c sˆau s˘a ´ cd¯ˆo ´ iv´o . i thˆa ` ygia´ohu . ´o . ng dˆa ˜ n-Tiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n. Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia ’ cu ˜ ng xin ba`y to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh d¯ˆe ´ n Ban Gia´m Hiˆe . u 4 tru . `o . ng D - a . iho . c Quy Nho . n, Pho`ng d¯a`o ta . oD - a . iho . cva` sau D - a . iho . c, khoa Toa´n, quı´ Thˆa ` y cˆo gia´o tru . . ctiˆe ´ p gia ’ ng da . yd¯a ˜ ta . omo . id¯iˆe ` ukiˆe . n thuˆa . nlo . . i trong th`o . i gian ta´c gia ’ tham gia kho´a ho . c. D - ˆo ` ng th`o . i ta´c gia ’ cu ˜ ng xin ba`y to ’ lo`ng biˆe ´ to . nd¯ˆe ´ n UBND Tı ’ nh Gia Lai, So . ’ Gia´o du . cva` d¯a`o ta . oTı ’ nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe . u tru . `o . ng THPT Ia Grai, d¯a ˜ d¯ ˆo . ng viˆen va`ta . omo . id¯iˆe ` ukiˆe . n thuˆa . nlo . . id¯ˆe ’ ta´c gia ’ co´ nhiˆe ` u th`o . i gian nghiˆen c´u . uva` hoa`n tha`nh d¯ˆe ` ta`i. Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an na`y, ta´c gia ’ co`n nhˆa . nd¯u . o . . csu . . quan tˆam d¯ ˆo . ng viˆen cu ’ ame . ,vo . . , ca´c anh chi . em trong gia d¯ı`nh, ca´c ba . nd¯ˆo ` ng nghiˆe . p, ca´c anh chi . em trong l´o . p cao ho . c kho´a VII, VIII, IX cu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Qui Nho . n. Ta´c gia ’ xin chˆan tha`nh ca ’ mo . ntˆa ´ tca ’ su . . quan tˆam va`d¯ˆo . ng viˆen d¯o´. D - ˆe ’ hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an, ta´c gia ’ d¯ a ˜ rˆa ´ tcˆo ´ g˘a ´ ng tˆa . p trung nghiˆen c´u . u, song do ı´t nhiˆe ` uha . n chˆe ´ vˆe ` th`o . i gian, cu ˜ ng nhu . vˆe ` n˘ang lu . . cnˆen ch˘a ´ cch˘a ´ n trong luˆa . n v˘an co`n nhiˆe ` uvˆa ´ nd¯ˆe ` chu . ad¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ nva` kho´ tra´nh kho ’ inh˜u . ng thiˆe ´ u so´t nhˆa ´ td¯i . nh. Ta´c gia ’ rˆa ´ t mong nhˆa . nd¯u . o . . csu . . chı ’ ba ’ ocu ’ a quı´ thˆa ` ycˆova`nh˜u . ng go´p y´ cu ’ aba . n d¯ o . cvˆe ` luˆa . n v˘an na`y. Quy Nho . n, tha´ng 02 n˘am 2008 Ta´c gia ’ 5 Chu . o . ng 1 Phu . o . ng ph´ap su . ˙’ du . ng t´ınh chˆa ´ t h`am lˆo ` i (l˜om) 1.1 Th´u . tu . . s˘a ´ pd¯u . o . . ccu ’ ada ˜ ybˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c sinh bo . ’ i ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) Tru . ´o . chˆe ´ t, v´o . i hai sˆo ´ thu . . c a ≥ b, ta su . ’ du . ng kı´ hiˆe . u I(a; b)d¯ˆe ’ ngˆa ` md¯i . nh mˆo . t trong bˆo ´ ntˆa . pho . . p(a; b), [a; b), (a; b]va`[a; b]. Trong [1], hai kˆe ´ t qua ’ sau d¯ˆay d¯a ˜ d¯ u . o . . cch´u . ng minh: D - i . nh ly´ 1.1.1. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f(x) co´ f  (x) ≥ 0 (ha`m lˆo ` i) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong  x 1 ; x 1 + x 2 2  : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < < u n < x 1 + x 2 2 (1.1) va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong  x 1 + x 2 2 ; x 2  : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < <v 1 <v 0 = x 2 (1.2) sao cho u j + v j = x 1 + x 2 , ∀j =0, 1, , n (1.3) ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 ) ≥ f (u 1 )+f(v 1 ) ≥ ≥ f (u n )+f(v n ). (1.4) No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y  f(u j )+f(v j )  , j =0, 1, , n, la` mˆo . tda ˜ y gia ’ m. 6 D - i . nh ly´ 1.1.2. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f(x) co´ f  (x)  0 (ha`m lo ˜ m) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong  x 1 ; x 1 + x 2 2  : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < < u n < x 1 + x 2 2 va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong  x 1 + x 2 2 ; x 2  : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < <v 1 <v 0 = x 2 sao cho u j + v j = x 1 + x 2 , ∀j =0, 1, , n, ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 )  f (u 1 )+f(v 1 )   f (u n )+f(v n ). (1.5) No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y  f(u j )+f(v j )  , j =0, 1, , n, la` mˆo . tda ˜ y t˘ang. Nhˆa . n xe´t r˘a ` ng, d¯ˆe ’ co´ d¯u . o . . cnh˜u . ng kˆe ´ t qua ’ t`u . D - i . nh lı´ 1.1.1 ho˘a . cD - i . nh lı´ 1.1.2, d¯ i ˆe ` u quan tro . ng tru . ´o . chˆe ´ t la` pha ’ i xˆay du . . ng trˆen I(a; b) hai da ˜ y {u k } va` {v k } thoa ’ ma ˜ nnh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ ad¯i . nh lı´. Sau d¯o´ la` viˆe . c tı`m nh˜u . ng ha`m sˆo ´ y = f (x)co´ f  (x) ≥ 0 ho˘a . c f  (x)  0 trˆen I(a; b)d¯ˆe ’ a´p du . ng. Du . ´o . i d¯ˆay la` mˆo . tva`i minh ho . a cho hai d¯i . nh lı´ trˆen, v´o . inh˜u . ng da ˜ ysˆo ´ va` ha`m sˆo ´ d¯ o . n gia ’ n nhˆa ´ t. Ba . nd¯o . c co´ thˆe ’ tı`m ra nh˜u . ng kˆe ´ t qua ’ kha´c, phong phu´ho . n. V´o . i hai sˆo ´ thu . . c cho tru . ´o . c x 1 <x 2 , hı`nh a ’ nh cu ’ aca´cd¯iˆe ’ m u j va` v j lˆa ` nlu . o . . t ”tiˆe ´ nd¯ˆe ` u” vˆe ` trung d¯iˆe ’ mcu ’ a d¯oa . n[x 1 x 2 ]la` x 1 + x 2 2 trˆen tru . csˆo ´ giu´p ta xˆay du . . ng d¯ u . o . . c hai da ˜ y {u k } va` {v k } thoa ’ ma ˜ nnh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ aD - i . nh lı´ 1.1.1 va`D - i . nh lı´ 1.1.2 nhu . sau: Vı´ du . 1.1. u 0 = x 1 ,u 1 = x 1 + x 2 − x 1 2.(n +1) , ,u n = x 1 + n x 2 − x 1 2(n +1) = (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) ; v 0 = x 2 ,v 1 = x 2 − x 2 − x 1 2.(n +1) , ,v n = x 2 − n x 2 − x 1 2(n +1) = nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) . Bˆay gi`o . , xe´t ha`m sˆo ´ f(x)=x 2 ; x ∈ R. Ta co´ f  (x)=2> 0; ∀x ∈ R. Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ 7 Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.1. x 2 1 + x 2 2 ≥  (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1)  2 +  x 1 +(2n +1)x 2 2(n +1)  2 ≥  2nx 1 +2x 2 2(n +1)  2 +  2x 1 +2nx 2 2(n +1)  2 ··· ≥  (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1)  2 +  nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1)  2 ≥  x 1 + x 2 2  2 ; ∀x 1 ,x 2 ∈ R. Tiˆe ´ ptu . c, nˆe ´ u xe´t ha`m sˆo ´ f(x)= 1 x ; x>0. Ta co´ f  (x)= 2 x 3 > 0; ∀x>0. Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.2. 1 x 1 + 1 x 2 ≥ 2(n +1) (2n +1)x 1 + x 2 + 2(n +1) x 1 +(2n +1)x 2 ≥ 2(n +1) 2nx 1 +2x 2 + 2(n +1) 2x 1 +2nx 2 ≥··· ≥ 2(n +1) (n +2)x 1 + nx 2 + 2(n +1) nx 1 +(n +2)x 2 ≥ 4 x 1 + x 2 ; ∀x 1 ,x 2 > 0,n≥ 1. Bˆay gi`o . , xe´t ha`m sˆo ´ f(x)= √ x; x>0. Ta co´ f  (x)=− 1 4x √ x > 0; ∀x>0. Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.3. √ x 1 + √ x 2   (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) +  x 1 +(2n + 1)3x 2 2(n +1)   2nx 1 +2x 2 2(n +1) +  2x 1 +2nx 2 2(n +1)  ···  (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) +  nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) ≤  x 1 + x 2 2 ; ∀x 1 ,x 2 > 0 n ≥ 1. Tiˆe ´ ptu . c, nˆe ´ u xe´t ha`m sˆo ´ f(x)= sinx 1+sinx ; x ∈ (0; π). Ta co´ f  (x)=− sinx +1+cos 2 x (1 + sinx) 3 < 0; ∀x ∈ (0; π). Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ 8 Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.4. sinx 1 1+sinx 1 + sinx 2 1+sinx 2 ≤ sin (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) 1+sin (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) + sin x 1 +(2n +1)x 2 2(n +1) 1+sin x 1 +(2n +1)x 2 2(n +1)  ···  sin (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) 1+sin (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) + sin nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) 1+sin nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) ≤ 2 sin x 1 + x 2 2 1+sin x 1 + x 2 2 ; ∀x 1 ,x 2 ∈ (0; π),n≥ 1 Bˆay gi`o . , tro . ’ la . iv´o . iD - i . nh lı´ 1.1.1 va`D - i . nh lı´ 1.1.2. Co´ thˆe ’ ch´u . ng minh d¯u . o . . c r˘a ` ng kˆe ´ t qua ’ (1.4) va` (1.5) vˆa ˜ nd¯u´ngnˆe ´ u thay (1.3) bo . ’ imˆo . t gia ’ thiˆe ´ tma . nh ho . n. Ta co´ ca´c kˆe ´ t qua ’ sau d¯ˆay: D - i . nh ly´ 1.1.3. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f(x) co´ f  (x) ≥ 0 (ha`m lˆo ` i) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong  x 1 ; x 1 + x 2 2  : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < < u n < x 1 + x 2 2 va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong  x 1 + x 2 2 ; x 2  : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < <v 1 <v 0 = x 2 sao cho x 1 + x 2 = u 0 + v 0 ≥ u 1 + v 1 ≥···≥u n + v n , (1.6) ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 ) ≥ f (u 1 )+f(v 1 ) ≥···≥f(u n )+f(v n ). No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y  f(u j )+f(v j )  , j =0, 1, ··· ,n, la` mˆo . tda ˜ y gia ’ m. Ch´u . ng minh. V´o . imˆo ˜ i j ∈{0, 1, ··· ,n},t`u . ca´c gia ’ thiˆe ´ t, ta co´ u j <u j+1 < u j+1 + v j+1 2  u 0 + v 0 2 = x 1 + x 2 2 <v j+1 <v j . 9 Bˆay gi`o . ,v´o . imˆo ˜ i j ∈{0, 1, , n},d¯˘a . t    u j+1 −u j =  j+1 v j − v j+1 = δ j+1 . Thˆe ´ thı` 0 < j+1  δ j+1 ; ∀j ∈{0, 1, , n}. Bˆay gi`o . ,v´o . imˆo ˜ i j ∈{0, 1, , n}, theo D - i . nh lı´ Lagrange, ta co´ f(u j+1 ) −f (u j )=f  (c j+1 )(u j+1 − u j )=f  (c j+1 ) j+1 ,v´o . i c j+1 ∈ (u j ; u j+1 ); f(v j ) −f (v j+1 )=f  (d j+1 )(v j −v j+1 )=f  (d j+1 )δ j+1 ,v´o . i d j+1 ∈ (v j+1 ; v j ). Ho . nn˜u . a, vı` c j+1 <d j+1 ; ∀j ∈{0, 1, , n} va` f  (x) ≥ 0, nˆen ta co´ f  (c j+1 )  f  (d j+1 ); ∀j ∈{0, 1, , n}. Do d¯o´, ta co´ f(u j+1 ) −f (u j )  f (v j ) −f (v j+1 ); ∀j ∈{0, 1, , n}, hay f(u j )+f(v j ) ≥ f(u j+1 )+f(v j+1 ); ∀j ∈{0, 1, , n}. Ta co´ d¯iˆe ` u pha ’ ich´u . ng minh. Tu . o . ng tu . . , ta co´ D - i . nh ly´ 1.1.4. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f(x) co´ f  (x)  0 (ha`m lo ˜ m) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong  x 1 ; x 1 + x 2 2  : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < ···<u n < x 1 + x 2 2 va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong  x 1 + x 2 2 ; x 2  : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < ···<v 1 <v 0 = x 2 sao cho x 1 + x 2 = u 0 + v 0 ≥ u 1 + v 1 ≥···≥u n + v n , ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 )  f (u 1 )+f(v 1 )  ··· f(u n )+f(v n ). No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y  f(u j )+f(v j )  , j =0, 1, ··· ,n, la` mˆo . tda ˜ y t˘ang. . VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi 1 Mu . cLu . c Mo . ’ d¯ ˆa ` u 2 Chu . o . ng