Đang tải... (xem toàn văn)
LUẬN VĂN Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi Đề tài luận văn đề cập tới các hàm lồi một biến và nhiều biến, cùng với các tính chất cơ bản của...
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi 1 Mu . cLu . c Mo . ’ d¯ ˆa ` u 2 Chu . o . ng 1. Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆat ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) 5 1.1 Th´u . tu . . s˘a ´ pd¯u . o . . ccu ’ ada ˜ ybˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c sinh bo . ’ i ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) 5 1.2 Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c Karamata 11 1.3 Gi´o . i thiˆe . umˆo . tsˆo ´ ha`m lˆo ` iva` ha`m lo ˜ m 19 1.3.1 Mˆo . tsˆo ´ ha`m lˆo ` i 19 1.3.1 Mˆo . tsˆo ´ ha`m lo ˜ m 19 1.4 Ba`i tˆa . p 20 Chu . o . ng 2 Phu . o . ng pha´p lu . . acho . n tham sˆo ´ 24 2.1 Ca´c da . ng toa´n ch´u . a tham sˆo ´ d¯ ˆo . clˆa . p 25 2.1.1 Tham sˆo ´ chı ’ thuˆo . cmˆo . tvˆe ´ cu ’ abˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 25 2.1.2 Tham sˆo ´ co´ trong hai vˆe ´ cu ’ abˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 30 2.2 Ca´c da . ng toa´n ch´u . a tham phu . thuˆo . cva`o tham sˆo ´ kha´c 36 2.3 Ba`i tˆa . p 42 Chu . o . ng 3 Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆa ´ tcu ’ a ha`m d¯o . nd¯iˆe . u 45 3.1 Ha`m d¯o . nd¯iˆe . u 45 3.2 Tı´nh d¯o . nd¯iˆe . ucu ’ a ha`m ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh 50 3.2.2 Ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh suy rˆo . ng 50 3.3 Tı´nh d¯o . nd¯iˆe . ucu ’ a ha`m ca´c d¯a th´u . cd¯ˆo ´ ix´u . ng so . cˆa ´ p 55 Chu . o . ng 4 Phu . o . ng pha´p hı`nh ho . c 62 4.1 Hı`nh ho . c ho´a ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh 62 4.2 Mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng pha´p kha´c 65 4.1 Ba`i tˆa . p 72 Kˆe ´ t luˆa . ncu ’ a luˆa . n v˘an 73 Ta`i liˆe . u tham kha ’ o 74 2 Mo . ’ d¯ ˆa ` u Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c (BD - T) la` mˆo . t trong nh˜u . ng nˆo . i dung quan tro . ng trong chu . o . ng trı`nh toa´n phˆo ’ thˆong, no´ v`u . a la` d¯ˆo ´ itu . o . . ng d¯ˆe ’ nghiˆen c´u . u ma` cu ˜ ng v`u . a la` mˆo . t cˆong cu . d¯ ˘a ´ clu . . c, v´o . inh˜u . ng ´u . ng du . ng trong nhiˆe ` ulı ˜ nh vu . . c kha´c nhau cu ’ a toa´n ho . c. Trong ca´c d¯ˆe ` thi cho . nho . c sinh gio ’ i toa´n o . ’ ca´c cˆa ´ p, nh˜u . ng ba`i toa´n vˆe ` ch´u . ng minh BD - Tthu . `o . ng xuˆa ´ thiˆe . nnhu . mˆo . tda . ng toa´n kha´ quen thuˆo . c, nhu . ng d¯ˆe ’ tı`m ra l`o . i gia ’ i khˆong pha ’ i la` mˆo . tviˆe . cdˆe ˜ da`ng. Ly´ thuyˆe ´ tBD - Td¯a ˜ d¯ u . o . . c kha´ nhiˆe ` u ta`i liˆe . ud¯ˆe ` cˆa . pva` ca´c ba`i tˆa . pvˆe ` BD - Tcu ˜ ng kha´ phong phu´, d¯a da . ng, trong d¯o´ ca´c phu . o . ng pha´p ch´u . ng minh BD - T la` phˆa ` nnˆo . i dung quan tro . ng thu . `o . ng g˘a . p trong nhiˆe ` u ta`i liˆe . u. Mˆo . t trong nh˜u . ng phu . o . ng pha´p ch´u . ng minh BD - T ho˘a . c sa´ng ta . o ra nh˜u . ng BD - T m´o . ila`viˆe . c la`m ch˘a . tBD - T. Gia ’ su . ’ ta co´ (ho˘a . ccˆa ` nch´u . ng minh) BD - T A<B(tu . o . ng tu . . v´o . iBD - T A>B, A≤ B, A ≥ B). Nˆe ´ u tı`m d¯u . o . . cbiˆe ’ uth´u . c C sao cho A<C<B, thı` ta no´i r˘a ` ng BD - T th ´u . nhˆa ´ td¯a ˜ d¯ u . o . . c la`m ch˘a . t (nghiˆem ng˘a . t) bo . ’ iBD - Tth´u . hai va`hiˆe ’ n nhiˆen, BD - T th ´u . nhˆa ´ td¯u . o . . c suy ra t`u . BD - Tth´u . hai. Viˆe . cch´u . ng minh d¯u . o . . cBD - Tth´u . hai cho ta mˆo . tca´chch´u . ng minh BD - Tth´u . nhˆa ´ tva`d¯ˆo ` ng th`o . i sa´ng ta . o ra nh˜u . ng BD - Tm´o . i. Do d¯o´, viˆe . c tı`m ra ca´c phu . o . ng pha´p d¯ˆe ’ la`m ch˘a . tBD - Tla`rˆa ´ t co´ y´ nghı ˜ a. D - o´cu ˜ ng la` nˆo . i dung ma` luˆa . n v˘an na`y d¯ˆe ` cˆa . p. Luˆa . n v˘an da`y 74 trang, gˆo ` m ca´c phˆa ` nmu . clu . c, Mo . ’ d¯ ˆa ` u,4chu . o . ng nˆo . i dung, Kˆe ´ t luˆa . nva`Ta`i liˆe . u tham kha ’ o. Chu . o . ng 1: Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆa ´ tcu ’ a ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) . D - ˆay la` phu . o . ng pha´p co . ba ’ nva` quan tro . ng nhˆa ´ td¯ˆe ’ la`m ch˘a . tBD - Tma`mˆo . tsˆo ´ ta`i liˆe . uhiˆe . n ha`nh cu ˜ ng d¯a ˜ d¯ ˆe ` cˆa . p, d¯˘a . cbiˆe . t la` ta`i liˆe . u [1]. Phˆa ` nd¯o´ng go´p cu ’ a luˆa . n v˘an, chu ’ yˆe ´ u la` viˆe . ccu . thˆe ’ ho´a ly´ thuyˆe ´ tcu ’ aphu . o . ng pha´p na`y b˘a ` ng nh˜u . ng vı´ du . va` ba`i tˆa . pcu . thˆe ’ , co´ thˆe ’ ta´ch riˆeng tha`nh nh˜u . ng ba`i tˆa . pvˆe ` BD - T kha´ phong phu´. Kha´ nhiˆe ` uBD - T quen thuˆo . c, la` tru . `o . ng ho . . p riˆeng cu ’ a ca´c BD - Td¯a ˜ d¯ u . o . . cta . orat`u . nh˜u . ng minh ho . a na`y. Trong phˆa ` n cuˆo ´ i chu . o . ng, luˆa . n v˘an cu ˜ ng d¯a ˜ d¯ u . a ra d¯u . o . . c kha´ 3 nhiˆe ` u ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) d¯ˆe ’ ba . nd¯o . c co´ thˆe ’ a´p du . ng sa´ng ta . o ra nhiˆe ` uBD - T kha´c. Chu . o . ng 2: Phu . o . ng pha´p lu . . a cho . n tham sˆo ´ . Co´ thˆe ’ minh ho . ay´tu . o . ’ ng cu ’ aphu . o . ng pha´p na`y bo . ’ imˆo . t vı´ du . sau d¯ˆay: Gia ’ su . ’ a, b, c la` 3 sˆo ´ khˆong ˆam co´ tˆo ’ ng b˘a ` ng 3. Dˆe ˜ da`ng ch´u . ng minh d¯u . o . . cbˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c √ a + √ b + √ c ≥ ab + bc + ca. Nhu . vˆa . y, v´o . i k ≥ 1 2 thı` BD - T sau d¯ˆay luˆon d¯u´ng a k + b k + c k ≥ ab + bc + ca. Mˆo . t cˆau ho ’ itu . . nhiˆen d¯u . o . . cd¯˘a . t ra, v´o . i k< 1 2 thı` khi na`o BD - T trˆen vˆa ˜ n d¯u´ng? Viˆe . c tı`m d¯u . o . . csˆo ´ k (k< 1 2 ) nho ’ nhˆa ´ t sao cho BD - T trˆen vˆa ˜ n d¯u´ng cho ta mˆo . t phu . o . ng pha´p d¯ˆe ’ la`m ch˘a . tBD - T. D - o´cu ˜ ng la` nˆo . i dung ma` luˆa . nv˘and¯ˆe ` cˆa . p trong chu . o . ng na`y, trong d¯o´ tham sˆo ´ k d¯ u . o . . cxe´to . ’ hai da . ng, la` tham sˆo ´ d¯ ˆo . clˆa . p ho˘a . c co`n phu . thuˆo . cva`o mˆo . t tham sˆo ´ kha´c. Chu . o . ng 3: Phu . o . ng pha´p su . ’ du . ng tı´nh chˆa ´ tcu ’ a ha`m d¯o . nd¯iˆe . u. Phu . o . ng pha´p na`y cu ˜ ng d¯a ˜ d¯ u . o . . cmˆo . tsˆo ´ ta`i liˆe . ud¯ˆe ` cˆa . p, d¯˘a . cbiˆe . t la` ta`i liˆe . u [1]. Phˆa ` nd¯o´ng go´p cu ’ a luˆa . nv˘ano . ’ chu . o . ng na`y chu ’ yˆe ´ u la` viˆe . chˆe . thˆo ´ ng ho´a mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng pha´p s˘a ´ pth´u . tu . . ca´c d¯a . ilu . o . . ng trung bı`nh va`cu . thˆe ’ ho´a ly´ thuyˆe ´ tcu ’ a phu . o . ng pha´p b˘a ` ng nh˜u . ng vı´ du . va` ba`i tˆa . pcu . thˆe ’ . Kha´ nhiˆe ` uBD - Tm´o . id¯u . o . . c luˆa . n v˘an sa´ng ta´c, thˆong qua viˆe . c la`m ch˘a . tBD - Tb˘a ` ng ca´ch su . ’ du . ng phu . o . ng pha´p na`y. Chu . o . ng 4: Phu . o . ng pha´p hı`nh ho . c. Nˆo . i dung chu . o . ng na`y d¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ nmˆo . tsˆo ´ phu . o . ng pha´p la`m ch˘a . tBD - Td¯a . isˆo ´ thˆong qua nh ˜u . ng u . ´o . clu . o . . ng tru . . c quan t`u . hı`nh ho . c, v´o . inh˜u . ng vı´ du . minh ho . a kha´ cu . thˆe ’ . Luˆa . n v˘an d¯u . o . . c hoa`n tha`nh du . ´o . isu . . hu . ´o . ng dˆa ˜ n khoa ho . ccu ’ aTiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n - Ngu . `o . i Thˆa ` yrˆa ´ t nghiˆem kh˘a ´ cva`tˆa . n tˆam trong cˆong viˆe . c, ngu . `o . i Thˆa ` y khˆong chı ’ giu´p d¯˜o . , cung cˆa ´ p ta`i liˆe . u, go . . imo . ’ cho ta´c gia ’ nhiˆe ` uy´tu . o . ’ ng hay va` truyˆe ` nd¯a . t nhiˆe ` ukiˆe ´ nth´u . c quı´ ba´u, cu ˜ ng nhu . nh˜u . ng kinh nghiˆe . m nghiˆen c´u . u khoa ho . c ma` co`n chı ’ ba ’ o cho ta´c gia ’ trong ta´c phong la`m viˆe . c, thˆong ca ’ m, khuyˆe ´ n khı´ch d¯ ˆo . ng viˆen ta´c gia ’ vu . o . . t qua nh˜u . ng kho´ kh˘an trong chuyˆen mˆon va` cuˆo . csˆo ´ ng. Chı´nh vı` vˆa . y ma` ta´c gia ’ luˆon to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh va`su . . kı´nh phu . c sˆau s˘a ´ cd¯ˆo ´ iv´o . i thˆa ` ygia´ohu . ´o . ng dˆa ˜ n-Tiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n. Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia ’ cu ˜ ng xin ba`y to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh d¯ˆe ´ n Ban Gia´m Hiˆe . u 4 tru . `o . ng D - a . iho . c Quy Nho . n, Pho`ng d¯a`o ta . oD - a . iho . cva` sau D - a . iho . c, khoa Toa´n, quı´ Thˆa ` y cˆo gia´o tru . . ctiˆe ´ p gia ’ ng da . yd¯a ˜ ta . omo . id¯iˆe ` ukiˆe . n thuˆa . nlo . . i trong th`o . i gian ta´c gia ’ tham gia kho´a ho . c. D - ˆo ` ng th`o . i ta´c gia ’ cu ˜ ng xin ba`y to ’ lo`ng biˆe ´ to . nd¯ˆe ´ n UBND Tı ’ nh Gia Lai, So . ’ Gia´o du . cva` d¯a`o ta . oTı ’ nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe . u tru . `o . ng THPT Ia Grai, d¯a ˜ d¯ ˆo . ng viˆen va`ta . omo . id¯iˆe ` ukiˆe . n thuˆa . nlo . . id¯ˆe ’ ta´c gia ’ co´ nhiˆe ` u th`o . i gian nghiˆen c´u . uva` hoa`n tha`nh d¯ˆe ` ta`i. Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an na`y, ta´c gia ’ co`n nhˆa . nd¯u . o . . csu . . quan tˆam d¯ ˆo . ng viˆen cu ’ ame . ,vo . . , ca´c anh chi . em trong gia d¯ı`nh, ca´c ba . nd¯ˆo ` ng nghiˆe . p, ca´c anh chi . em trong l´o . p cao ho . c kho´a VII, VIII, IX cu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Qui Nho . n. Ta´c gia ’ xin chˆan tha`nh ca ’ mo . ntˆa ´ tca ’ su . . quan tˆam va`d¯ˆo . ng viˆen d¯o´. D - ˆe ’ hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an, ta´c gia ’ d¯ a ˜ rˆa ´ tcˆo ´ g˘a ´ ng tˆa . p trung nghiˆen c´u . u, song do ı´t nhiˆe ` uha . n chˆe ´ vˆe ` th`o . i gian, cu ˜ ng nhu . vˆe ` n˘ang lu . . cnˆen ch˘a ´ cch˘a ´ n trong luˆa . n v˘an co`n nhiˆe ` uvˆa ´ nd¯ˆe ` chu . ad¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ nva` kho´ tra´nh kho ’ inh˜u . ng thiˆe ´ u so´t nhˆa ´ td¯i . nh. Ta´c gia ’ rˆa ´ t mong nhˆa . nd¯u . o . . csu . . chı ’ ba ’ ocu ’ a quı´ thˆa ` ycˆova`nh˜u . ng go´p y´ cu ’ aba . n d¯ o . cvˆe ` luˆa . n v˘an na`y. Quy Nho . n, tha´ng 02 n˘am 2008 Ta´c gia ’ 5 Chu . o . ng 1 Phu . o . ng ph´ap su . ˙’ du . ng t´ınh chˆa ´ t h`am lˆo ` i (l˜om) 1.1 Th´u . tu . . s˘a ´ pd¯u . o . . ccu ’ ada ˜ ybˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c sinh bo . ’ i ha`m lˆo ` i (lo ˜ m) Tru . ´o . chˆe ´ t, v´o . i hai sˆo ´ thu . . c a ≥ b, ta su . ’ du . ng kı´ hiˆe . u I(a; b)d¯ˆe ’ ngˆa ` md¯i . nh mˆo . t trong bˆo ´ ntˆa . pho . . p(a; b), [a; b), (a; b]va`[a; b]. Trong [1], hai kˆe ´ t qua ’ sau d¯ˆay d¯a ˜ d¯ u . o . . cch´u . ng minh: D - i . nh ly´ 1.1.1. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f(x) co´ f (x) ≥ 0 (ha`m lˆo ` i) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong x 1 ; x 1 + x 2 2 : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < < u n < x 1 + x 2 2 (1.1) va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong x 1 + x 2 2 ; x 2 : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < <v 1 <v 0 = x 2 (1.2) sao cho u j + v j = x 1 + x 2 , ∀j =0, 1, , n (1.3) ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 ) ≥ f (u 1 )+f(v 1 ) ≥ ≥ f (u n )+f(v n ). (1.4) No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y f(u j )+f(v j ) , j =0, 1, , n, la` mˆo . tda ˜ y gia ’ m. 6 D - i . nh ly´ 1.1.2. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f(x) co´ f (x) 0 (ha`m lo ˜ m) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong x 1 ; x 1 + x 2 2 : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < < u n < x 1 + x 2 2 va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong x 1 + x 2 2 ; x 2 : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < <v 1 <v 0 = x 2 sao cho u j + v j = x 1 + x 2 , ∀j =0, 1, , n, ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 ) f (u 1 )+f(v 1 ) f (u n )+f(v n ). (1.5) No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y f(u j )+f(v j ) , j =0, 1, , n, la` mˆo . tda ˜ y t˘ang. Nhˆa . n xe´t r˘a ` ng, d¯ˆe ’ co´ d¯u . o . . cnh˜u . ng kˆe ´ t qua ’ t`u . D - i . nh lı´ 1.1.1 ho˘a . cD - i . nh lı´ 1.1.2, d¯ i ˆe ` u quan tro . ng tru . ´o . chˆe ´ t la` pha ’ i xˆay du . . ng trˆen I(a; b) hai da ˜ y {u k } va` {v k } thoa ’ ma ˜ nnh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ ad¯i . nh lı´. Sau d¯o´ la` viˆe . c tı`m nh˜u . ng ha`m sˆo ´ y = f (x)co´ f (x) ≥ 0 ho˘a . c f (x) 0 trˆen I(a; b)d¯ˆe ’ a´p du . ng. Du . ´o . i d¯ˆay la` mˆo . tva`i minh ho . a cho hai d¯i . nh lı´ trˆen, v´o . inh˜u . ng da ˜ ysˆo ´ va` ha`m sˆo ´ d¯ o . n gia ’ n nhˆa ´ t. Ba . nd¯o . c co´ thˆe ’ tı`m ra nh˜u . ng kˆe ´ t qua ’ kha´c, phong phu´ho . n. V´o . i hai sˆo ´ thu . . c cho tru . ´o . c x 1 <x 2 , hı`nh a ’ nh cu ’ aca´cd¯iˆe ’ m u j va` v j lˆa ` nlu . o . . t ”tiˆe ´ nd¯ˆe ` u” vˆe ` trung d¯iˆe ’ mcu ’ a d¯oa . n[x 1 x 2 ]la` x 1 + x 2 2 trˆen tru . csˆo ´ giu´p ta xˆay du . . ng d¯ u . o . . c hai da ˜ y {u k } va` {v k } thoa ’ ma ˜ nnh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ aD - i . nh lı´ 1.1.1 va`D - i . nh lı´ 1.1.2 nhu . sau: Vı´ du . 1.1. u 0 = x 1 ,u 1 = x 1 + x 2 − x 1 2.(n +1) , ,u n = x 1 + n x 2 − x 1 2(n +1) = (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) ; v 0 = x 2 ,v 1 = x 2 − x 2 − x 1 2.(n +1) , ,v n = x 2 − n x 2 − x 1 2(n +1) = nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) . Bˆay gi`o . , xe´t ha`m sˆo ´ f(x)=x 2 ; x ∈ R. Ta co´ f (x)=2> 0; ∀x ∈ R. Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ 7 Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.1. x 2 1 + x 2 2 ≥ (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) 2 + x 1 +(2n +1)x 2 2(n +1) 2 ≥ 2nx 1 +2x 2 2(n +1) 2 + 2x 1 +2nx 2 2(n +1) 2 ··· ≥ (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) 2 + nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) 2 ≥ x 1 + x 2 2 2 ; ∀x 1 ,x 2 ∈ R. Tiˆe ´ ptu . c, nˆe ´ u xe´t ha`m sˆo ´ f(x)= 1 x ; x>0. Ta co´ f (x)= 2 x 3 > 0; ∀x>0. Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.2. 1 x 1 + 1 x 2 ≥ 2(n +1) (2n +1)x 1 + x 2 + 2(n +1) x 1 +(2n +1)x 2 ≥ 2(n +1) 2nx 1 +2x 2 + 2(n +1) 2x 1 +2nx 2 ≥··· ≥ 2(n +1) (n +2)x 1 + nx 2 + 2(n +1) nx 1 +(n +2)x 2 ≥ 4 x 1 + x 2 ; ∀x 1 ,x 2 > 0,n≥ 1. Bˆay gi`o . , xe´t ha`m sˆo ´ f(x)= √ x; x>0. Ta co´ f (x)=− 1 4x √ x > 0; ∀x>0. Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.3. √ x 1 + √ x 2 (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) + x 1 +(2n + 1)3x 2 2(n +1) 2nx 1 +2x 2 2(n +1) + 2x 1 +2nx 2 2(n +1) ··· (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) + nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) ≤ x 1 + x 2 2 ; ∀x 1 ,x 2 > 0 n ≥ 1. Tiˆe ´ ptu . c, nˆe ´ u xe´t ha`m sˆo ´ f(x)= sinx 1+sinx ; x ∈ (0; π). Ta co´ f (x)=− sinx +1+cos 2 x (1 + sinx) 3 < 0; ∀x ∈ (0; π). Do d¯o´, theo D - i . nh lı´ 1.1.1, ta co´ 8 Bˆa ´ td¯˘a ’ ng th´u . c 1.4. sinx 1 1+sinx 1 + sinx 2 1+sinx 2 ≤ sin (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) 1+sin (2n +1)x 1 + x 2 2(n +1) + sin x 1 +(2n +1)x 2 2(n +1) 1+sin x 1 +(2n +1)x 2 2(n +1) ··· sin (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) 1+sin (n +2)x 1 + nx 2 2(n +1) + sin nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) 1+sin nx 1 +(n +2)x 2 2(n +1) ≤ 2 sin x 1 + x 2 2 1+sin x 1 + x 2 2 ; ∀x 1 ,x 2 ∈ (0; π),n≥ 1 Bˆay gi`o . , tro . ’ la . iv´o . iD - i . nh lı´ 1.1.1 va`D - i . nh lı´ 1.1.2. Co´ thˆe ’ ch´u . ng minh d¯u . o . . c r˘a ` ng kˆe ´ t qua ’ (1.4) va` (1.5) vˆa ˜ nd¯u´ngnˆe ´ u thay (1.3) bo . ’ imˆo . t gia ’ thiˆe ´ tma . nh ho . n. Ta co´ ca´c kˆe ´ t qua ’ sau d¯ˆay: D - i . nh ly´ 1.1.3. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f(x) co´ f (x) ≥ 0 (ha`m lˆo ` i) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong x 1 ; x 1 + x 2 2 : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < < u n < x 1 + x 2 2 va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong x 1 + x 2 2 ; x 2 : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < <v 1 <v 0 = x 2 sao cho x 1 + x 2 = u 0 + v 0 ≥ u 1 + v 1 ≥···≥u n + v n , (1.6) ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 ) ≥ f (u 1 )+f(v 1 ) ≥···≥f(u n )+f(v n ). No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y f(u j )+f(v j ) , j =0, 1, ··· ,n, la` mˆo . tda ˜ y gia ’ m. Ch´u . ng minh. V´o . imˆo ˜ i j ∈{0, 1, ··· ,n},t`u . ca´c gia ’ thiˆe ´ t, ta co´ u j <u j+1 < u j+1 + v j+1 2 u 0 + v 0 2 = x 1 + x 2 2 <v j+1 <v j . 9 Bˆay gi`o . ,v´o . imˆo ˜ i j ∈{0, 1, , n},d¯˘a . t u j+1 −u j = j+1 v j − v j+1 = δ j+1 . Thˆe ´ thı` 0 < j+1 δ j+1 ; ∀j ∈{0, 1, , n}. Bˆay gi`o . ,v´o . imˆo ˜ i j ∈{0, 1, , n}, theo D - i . nh lı´ Lagrange, ta co´ f(u j+1 ) −f (u j )=f (c j+1 )(u j+1 − u j )=f (c j+1 ) j+1 ,v´o . i c j+1 ∈ (u j ; u j+1 ); f(v j ) −f (v j+1 )=f (d j+1 )(v j −v j+1 )=f (d j+1 )δ j+1 ,v´o . i d j+1 ∈ (v j+1 ; v j ). Ho . nn˜u . a, vı` c j+1 <d j+1 ; ∀j ∈{0, 1, , n} va` f (x) ≥ 0, nˆen ta co´ f (c j+1 ) f (d j+1 ); ∀j ∈{0, 1, , n}. Do d¯o´, ta co´ f(u j+1 ) −f (u j ) f (v j ) −f (v j+1 ); ∀j ∈{0, 1, , n}, hay f(u j )+f(v j ) ≥ f(u j+1 )+f(v j+1 ); ∀j ∈{0, 1, , n}. Ta co´ d¯iˆe ` u pha ’ ich´u . ng minh. Tu . o . ng tu . . , ta co´ D - i . nh ly´ 1.1.4. Gia ’ su . ’ cho tru . ´o . c ha`m sˆo ´ y = f(x) co´ f (x) 0 (ha`m lo ˜ m) trˆen I(a; b) va` gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 ∈ I(a; b) v´o . i x 1 <x 2 . Khi d¯o´, v´o . imo . ida ˜ ysˆo ´ t˘ang dˆa ` n {u k } trong x 1 ; x 1 + x 2 2 : x 1 = u 0 <u 1 <u 2 < ···<u n < x 1 + x 2 2 va` da ˜ ysˆo ´ gia ’ mdˆa ` n {v k } trong x 1 + x 2 2 ; x 2 : x 1 + x 2 2 <v n <v n−1 < ···<v 1 <v 0 = x 2 sao cho x 1 + x 2 = u 0 + v 0 ≥ u 1 + v 1 ≥···≥u n + v n , ta d¯ˆe ` uco´ f(u 0 )+f(v 0 ) f (u 1 )+f(v 1 ) ··· f(u n )+f(v n ). No´i ca´ch kha´c: Da ˜ y f(u j )+f(v j ) , j =0, 1, ··· ,n, la` mˆo . tda ˜ y t˘ang. . VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi 1 Mu . cLu . c Mo . ’ d¯ ˆa ` u 2 Chu . o . ng