Một số tính chất của trường hữu hạn

Một số tính chất của trường hữu hạn

LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiếnthức tiếp thu được từ quý Thầy Cô của trường và đặc biệt là của quý Thầy Cô Bộmôn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệptoàn khóa Em xin gởi lời cảm ơn đến các Thầy Cô Bộ môn Toán, đặc biệt em xingởi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Cô Phạm Thị Vui Cô đã tận tình giúp đỡ và độngviên để em có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này Và em cũng gởi lời cảm ơnđến gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian qua

Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng nhiềunhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Mong nhận được ý kiến đóng gópquý báu từ quý Thầy Cô và các bạn

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điềukiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa

Cần thơ, tháng 05 năm 2011Sinh viên thực hiện

Võ Ngọc Ân

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

A PHẦN MỞ ĐẦU 4

BẢNG KÝ HIỆU 6

B PHẦN NỘI DUNG 8

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM 8

1.1 Nhóm con 8

1.2 Nhóm hữu hạn sinh 8

1.3 Cấp của nhóm - cấp của phần tử 9

2 MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG 9

2.1 Định nghĩa 9

2.2 Trường con 9

2.3 Đồng cấu vành 10

2.4 Đặc số của vành 11

3 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC 12

3.1 Bậc của đa thức 12

3.2 Nghiệm của đa thức và đa thức bất khả quy 12

3.3 Trường phân rã của đa thức 14

4.MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT GALOIS 15

4.1 Mở rộng trường 15

4.2 Phần tử đại số 15

CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN 17

1 Định nghĩa 17

2 Nhóm nhân của trường hữu hạn 17

3 Số phần tử của trường hữu hạn 20

CHƯƠNG III ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 24

1 Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn 24

2 Căn của đơn vị và vết 26

3 Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn 28

4 Phân tích đa thức trên trường hữu hạn 33

CHƯƠNG IV BÀI TẬP 36

Phần kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

A PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

“Lý thuyết vành và trường” là mảng kiến thức quan trọng dành cho sinh viênchuyên ngành Sư phạm Toán Đây là môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòngsay mê học và nghiên cứu Toán của sinh viên Nhưng do thời gian trên lớp có hạnnên sinh viên không thể tìm hiểu hết các vấn đề có liên quan đến môn học

Do vậy, được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn cùng với lòng say mê tìmhiểu về Trường hữu hạn với những tính chất thú vị như: Mỗi trường hữu hạn đều có

số phần tử là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó, tổng của tất cả các phần tử trongtrường hữu hạn bằng 0 ngoại trừ trườngF , nên em đã quyết định chọn đề tài2

“Một số tính chất của trường hữu hạn” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Thực hiện đề tài “Một số tính chất của trường hữu hạn”, em hướng đến mục

đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán họccòn khá mới đối với bản thân Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đềToán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống Luận văn nhằm làm rõ một sốtính chất của Trường hữu hạn Tiếp đến em tìm hiểu một số tính chất của đa thứctrên trường hữu hạn Thực hiện luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiếnthức về đại số và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là phântích, tổng hợp tài liệu để làm rõ nội dung lí thuyết Sau đó trình bày lại các tính chấttheo một hệ thống

4 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

 Nhận đề tài

 Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài

 Lập đề cương chi tiết

 Làm rõ các vấn đề mà đề tài hướng tới hoặc có liên quan đến đề tài

 Trình bày các vấn đề làm được và thông qua giáo viên hướng dẫn.

 Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn

6 NỘI DUNG LUẬN VĂN

Luận văn được chia làm 4 chương như sau:

Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản về nhóm, vành,trường, đa thức và lí thuyết Galois làm nền tảng cho các chương sau

Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN

Chương này trình bày rõ một số tính chất của trường hữu hạn

Chương III ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

Chương này trình bày rõ một số tính chất của đa thức trên trường hữu hạnnhư: Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn, đa thức bất khả quy trêntrường hữu hạn, phân tích đa thức trên trường hữu hạn

Chương IV BÀI TẬP

Gồm một số bài tập làm nhiệm vụ cũng cố, làm rõ những vấn đề được đề cậpđến trong nội dung chính

nguyên tố cùng nhau với n (hàm Euler)

a- (hay 1 a) nghịch đảo của phần tử a

[ ]

F x vành các đa thức theo biến x trên trường F

deg( ( ))f x bậc của đa thức f x( )

gcd( ( ), ( ))f x g x ước chung lớn nhất của f x( ) và g x( )

( ) ( )

( )

f x đa thức đạo hàm của f x( )

L>K hay K L L là mở rộng trường của trường K

[ : ]L K bậc của mở rộng L trên trường K

B PHẦN NỘI DUNG Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM

1.1 Nhóm con

1.1.1 Định nghĩa Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G Khi đó H là nhóm

con của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là nhóm.

Khi H là nhóm con của G ta kí hiệu H G

iii) Nếu G là một hệ sinh hữu hạn nào đó thì ta nói G là nhóm hữu hạn sinh Đặt

biệt, nếu G có hệ sinh gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic.

iv) Nếu X  x x1, , ,2 x n thì X được viết lại là x x1, , ,2 x n

1.2.2 Tính chất

i) Cho G là một nhóm và X G Khi đó:

i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là G

ii) Cấp của phần tử a  G là cấp của a và kí hiệu là a

a  Nếu tồn tại n sao cho e a n  khi và chỉ khi d n e

ii) Cho G là nhóm, a G và a n Khi đó

iv) Mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic.

v) Cho G là nhóm xyclic Khi đó, nếu H G thì H là nhóm con xyclic của nhóm

G

2.MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG

2.1 Định nghĩa Trường là một vành giao hoán, có đơn vị, nhiều hơn một phần tử và

mọi phần tử khác không đều khả nghịch

2.2 Trường con

2.2.1 Định nghĩa

i) Giả sử X là trường, tập con A khác rỗng của X được gọi là trường con của X nếu

A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là mộttrường

ii) Trường con P của F được gọi là trường con nguyên tố nếu thỏa các điều kiện

sau:

 Mọi trường con của F đều chứa P

Khi F P thì F được gọi là trường nguyên tố.

2.2.2 Tính chất

i) Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của trường X Khi đó các điều

kiện sau là tương đương:

 A là trường con của X

 x y A x y A xy A,  ,   ,  , x A và x 1 A

 nếu x 0

 x y A x y A,  ,   và xy 1 A

 nếu y 0

ii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử Khi đó các

khẳng định sau là tương đương:

 X là trường

 X không có ideal nào ngoài X và  0

 Mọi đồng cấu vành khác đồng cấu không từ vành X đến vành bất kỳ đều

Nếu X Ythì đồng cấu :f X  Y được gọi là tự đồng cấu của X

ii) Cho đồng cấu vành : f X  Y Khi đó:

f là đơn cấu nếu ánh xạ f là đơn ánh

f là toàn cấu nếu ánh xạ f là toàn ánh

f là song ánh nếu ánh xạ f là song ánh

2.3.2 Tính chất

i) Tích của hai đồng cấu là đồng cấu

ii) Giả sử : f X  Ylà một đồng cấu vành Khi đó:

 f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf Y

 f là một đơn cấu khi và chỉ khi K f er  0

2.4 Đặc số của vành

2.4.1 Định Nghĩa Giả sử X là vành Nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao

cho na  0, a X thì ta nói vành X có đặc số n Nếu không tồn tại n như vậy thì tanói vành X có đặc số 0 Đăc số của vành X được ký hiệu Ch X Nếu X là mộtartrường thì ta hiểu đặc số của trường X là đặc số của vành X

2.4.2 Tính chất

i) Giả sử X là vành có đơn vị là 1 và có đặc số n  Khi đó:0

 n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 1 0n 

 Nếu X không có ước của không ( nói riêng X là miền nguyên, X làtrường) thì n là số nguyên tố

ii) Nếu Ch Xar p là một số nguyên tố thì:

Khi đó ta nói đa thức f x có bậc n, ký hiệu   d egf x  n Phần tử a được gọi là hệ n

tử cao nhất, phần tử a được gọi là phần tử tự do, các 0 a i i 0,n được gọi là hệ tử,các i 0, 

i

3.1.2 Tính chất

Cho f x và   g x là hai đa thức khác không, khi đó:  

i) Nếu deg f x  degg x  thì    

 thìdeg f x g x   d egf x ,degg x  

iii) Nếu f x g x  thì     0 deg f x g x     deg f x degg x 

iv) Cho K là trường và f x g x ,  K x g x ,   0 Khi đó, tồn tại duy nhất cặp

đa thức q x và   r x K x  sao cho f x  g x q x    r x với

degr x degg x Các đa thức q x và   r x được gọi tương ứng là thương và dư 

trong phép chia f x cho   g x 

3.2 Nghiệm của đa thức và đa thức bất khả quy

ii) Giả sử K là một trường và c là một phần tử của K , f x là một đa thức của 

vành K x và m là số tự nhiên   m  c là một nghiệm bội cấp m của 1 f x nếu và 

chỉ nếu f x chia hết cho đa thức    m

x c và f x không chia hết cho đa thức 

x cm1

Nếu m  người ta gọi c là nghiệm đơn, 1 m  thì c được gọi là nghiệm kép.2

iii) Cho K là trường, đa thức f x( ) trong vành K x[ ] gọi là bất khả quy trên K nếu

f x khi và chỉ khi f x chia hết cho x c  

iii) Các đa thức liên kết với đa thức f x K x  là các đa thức có dạng af x 

i) Cho K là trường và f x là đa thức bậc   n  trên K Khi đó, trường E chứa1

trường K như trường con, được gọi là trường phân rã của đa thức f x trên K nếu 

 

f x có đúng n nghiệm ( kể cả nghiệm bội) trong E và E là trường tối tiểu ( theo

quan hệ bao hàm ) chứa K và các nghiệm của f x  

ii) Cho đa thức 2

3.3.2 Tính chất Cho trường K và một đa thức 0f x K x  bậc n Khi đó,

L trên K Ký hiệu L K Nếu :  L K   thì ta nói rằng L là một mở rộng hữu: 

hạn của K và ký hiệu L K  hữu hạn Ngược lại ta nói rằng L là mở rộng vô hạn của K

4.2 Phần tử đại số

4.2.1 Định nghĩa

i) Cho L K và u L Nếu tồn tại đa thức 0f x K x  sao cho f u   0

thì u được gọi là phần tử đại số trên K Nếu không tồn tại đa thức thỏa điều kiện như vậy thì u được gọi là phần tử siêu việt trên K

ii) Đa thức bất khả quy ( ) p x K x[ ] với hệ tử của bậc cao nhất bằng 1, nhận 

làm nghiệm được gọi là đa thức tối tiểu của  trên K Ta ký hiệu ( ) min( , ) p x  K 

iii) Cho L K và u L Khi đó, bậc mở rộng K u K :  được gọi là bậc của

phần tử u trên K

iv) Cho K L Trường L được gọi là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử của L đều là phần tử đại số trên K Khi đó ta ký hiệu là L K  đại số

4.2.2 Tính chất

i) Cho KL và a L Khi đó a là phần tử đại số trên K nếu và chỉ nếu một trong

các điều kiện sau đây xảy ra:

 K a  r a r K x d r n /   , er   trong đó ndegMin K a , 

 1, , , ,a a2 a n 1 là cơ sở của K a trên K 

 K a K :   n

ii) Nếu L K - hữu hạn thì L K - đại số

iii) Cho K L , giả sử L K a ,a , ,a trong đó   1 2 n a là các phần tử đại số trên K i

Khi đó L là mở rộng hữu hạn của K

Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG

HỮU HẠN

1.Định Nghĩa

Định nghĩa Trường hữu hạn là trường có hữu hạn phần tử

Định lí 2.1.1 Nếu F là trường hữu hạn thì đặc số của F là một số nguyên tố.

Chứng minh Ta có đặc số của trường hoặc là 0 hoặc là một số nguyên tố Giả sử

F là trường hữu hạn có đặc số 0 thì F chứa trường con nguyên tố đẳng cấu với Q.

Nhưng Q là trường vô hạn nên trường con nguyên tố của F là vô hạn.(mâu thuẫn).

Vây đặc số của trường hữu hạn là một số nguyên tố 

2.Nhóm nhân của trường hữu hạn

Định lí 2.2.1 Cho F qlà trường hữu hạn thì với mọi a F q ta đều có a q a

Chứng minh Với a  thì ta có 0 a q  Với a a  thì số phần tử của nhóm nhân0

*

q

F là q  Suy ra 1 F q*  q 1 Khi đó với mọi a F q* ta đều có a q 1 1

 hay a q a

Vậy a q  với mọi a a F q 

Định lí 2.2.2 Cho trường hữu hạn F q Và K là trường con của F q thì đa thức x q x

trong K x có sự phân tích trong   F x là q  q ( )

a F



   và F q là trường phân

rã của đa thức x q x trên K

Chứng minh Theo Định lí 2.2.1 ta có a q  với mọi a a F q hay a là nghiệm của

Vậy F q là trường phân rã của đa thức x q x trên K 

Định lí 2.2.3 Nhóm nhân của trường hữu hạn là nhóm xyclic

Chứng minh Giả sử F là một trường hữu hạn gồm q phần tử Đặt hF*  q 1.Nếu h 1 hoặc h là số nguyên tố thì rõ ràng *

h p

 Đặt b b b 1 2b n Khi đó, do p i, với i1,m là các số nguyên tố khác nhau

Xét trường hợp charF  p 0 Gọi F p là trường con nguyên tố của trường F Vì

G n nên mọi phần tử của G đều là nghiệm của đa thức x  n 1 Do đó, mọi phần tử

của G đều đại số trên F p, suy ra F G p( ) là mở rộng hữu hạn, đại số trên F p , do đó( )

p

F G là một trường hữu hạn Theo Định lý 2.2.3, F G p( )* là một nhóm xyclic Vì

vậy, G là một nhóm con xyclic của nhóm F G p( )*

Xét trường hợp charF 0 Vì tất cả n phần tử của G đều là nghiệm của đa thức

1

n

x  và đa thức x  n 1 bậc n có không quá n nghiệm nên G là tập nghiệm của đa

thức x  n 1 Lập luận tương tự như chứng minh Định lý 2.2.3 (ở đó, h được thay bởi

n), ta có G là một nhóm xyclic 

Định nghĩa 2.2.5 Mỗi phần tử sinh của nhóm xyclic F q* được gọi là một phần tử

nguyên thủy của F q

Nhận xét Trường hữu hạn F q có tất cả q 1 phần tử nguyên thủy, trong đó 

F   Do d gcd(q1, )r nên d r| kéo theo F q*r F q*d Và do d gcd(q1, )r

nên tồn tại các số nguyên a, b sao cho a q( 1)br d

 

 (vô lý vì i j *d

q F

 

 ) 

3.Số phần tử của trường hữu hạn

Bổ đề 2.3.1 Cho F là trường hữu hạn chứa trường con K có q phần tử thì F có n

q

với nF K: 

Chứng minh Ta có F có không gian vectơ trên K và F là hữu hạn nên số chiều của F là hữu hạn và bằng số vectơ trên K Nếu nF K:  thì F có cơ sở trên K

chứa n phần tử Ta gọi b b1, , 2 b là cơ sở của n F trên K Khi đó mọi phần tử  của

F được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

a b1 1a b2 2  a b a a n n, 1, , ,2 a nK

Ta có q cách chon a trong n phần tử i a a1, , ,2 a nK nên F có q phần tử n 

Định lí 2.3.2 F là trường hữu hạn có đặc số là p thì số phần tử của F là n

p Trong

đó p là một số nguyên tố và n là số nguyên dương bất kì.

Chứng minh Do trường hữu hạn F có đặc số p nên F có trường con nguyên tố

đẳng cấu với Z Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p Z p F Như vậy F là

một mở rộng hữu hạn của Z Gọi p nF Z: p , theo Bổ đề 2.3.1 ta suy ra F có n

trường phân rã của đa thức x q  x Theo tính chất trường phân rã thì F đẳng cấu với

F' Vậy tồn tại duy nhất một trường chứa p n phần tử sai khác một đẳng cấu 

Định lí 2.3.5 (tiêu chuẩn trường con )

Cho trường hữu hạn F p nthì mọi trường con củaF p n có p m phần tử, trong đó m là ước dương của n Ngược lại, nếu m là ước dương của n thì F p n có duy nhất trường con

  , do đó( p m ) ( p n )

Kí hiệu 'F là tập chứa p phần tử là nghiệm của đa thức m x p m  x.

Ta chứng minh 'F là trường con của F p n Thật vậy:

Dễ thấy 0, 1 thuộc 'F Với , F' thì p m , p m

Vậy 'F là trường con chứa m

p phần tử của F p n Nếu tồn tại F chứa đúng 1 m