Bài toán biên hilbert và các phương trình tích phân liên quan

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN HONG QU HNG BI TON BIấN HILBERT V CC PHNG TRèNH TCH PHN LIấN QUAN LUN VN THC S TON HC H NI - NM 2016 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN HONG QU HNG BI TON BIấN HILBERT V CC PHNG TRèNH TCH PHN LIấN QUAN LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Gii tớch Mó s: 60.46.01.02 Ngi hng dn khoa hc GS TSKH NGUYN VN MU H NI - NM 2016 Mc lc Li m u Mt s khỏi nim c bn 1.1 Cỏc khỏi nim c bn 1.1.1 iu kin Holder ă 1.1.2 Ch s ca hm s 1.1.3 Bc ca hm s 1.1.4 nh ngha tớch phõn dng Cauchy 1.2 Bi toỏn biờn Riemann 1.3 Toỏn t Schwarz 1.3.1 nh ngha 1.3.2 Bi toỏn xỏc nh mt hm gii tớch cú mt cc im vi iu kin giỏ tr thc nm trờn chu tuyn 6 9 10 11 12 13 Bi toỏn biờn Hilbert 2.1 Tha s chớnh quy húa 2.1.1 Khỏi nim 2.1.2 Cỏch xỏc nh cỏc loi tha s chớnh quy húa 2.2 Cỏc dng bi toỏn biờn Hilbert 2.2.1 Bi toỏn thun nht 2.2.2 Bi toỏn khụng thun nht 2.2.3 Bi toỏn trờn ng trũn n v 2.2.4 Bi toỏn cho ngoi ng trũn n v 2.3 Mi liờn h gia bi toỏn biờn Hilbert v bi toỏn biờn Riemann 17 17 17 18 23 23 24 26 27 Mt s dng phng trỡnh tớch phõn k d liờn quan 35 30 3.1 Mi quan h ca phng trỡnh tớch phõn k d c trng vi nhõn Hilbert v bi toỏn biờn Hilbert Cỏc dng phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Hilbert 3.2.1 Phng trỡnh thun nht 3.2.2 Phng trỡnh khụng thun nht 3.2.3 Phng trỡnh vi h s hng 35 37 37 40 43 Vớ d ỏp dng 4.1 Bi toỏn biờn Hilbert 4.2 Phng trỡnh tớch phõn kỡ d 46 46 51 3.2 Kt lun 56 Ti liu tham kho 57 Li m u Bi toỏn tỡm mt hm gii tớch mt xỏc nh t h thc liờn h gia phn thc v phn o ca giỏ tr biờn ca hm, ln u tiờn c a bi G F B Riemann vo nm 1857, c gi l bi toỏn biờn Riemann Tng t nh vy, David Hilbert ó xõy dng mt bi toỏn nh sau: Tỡm hm F (z) = u(z) + iv(z) l hm gii tớch n liờn D + gii hn bi chu tuyn L v liờn tc trờn D + L, vi iu kin biờn a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t) ú a(t), b(t) v c(t) l nhng hm thc liờn tc Hăolder trờn L Bi toỏn trờn cng thuc vo nhúm nhng bi toỏn giỏ tr biờn c bn ca hm gii tớch, mt nhng bi toỏn lõu i nht ca dng ny v thng c gi l bi toỏn biờn Hilbert Mc ớch chớnh ca lun l nghiờn cu dng c bn th hai ny ca bi toỏn biờn ca hm gii tớch v lp phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Hilbert tng ng Tip theo, kho sỏt mt s liờn quan h tr cho vic gii bi toỏn biờn Hilbert nh toỏn t Schwarz, tha s chớnh quy húa, Ni dung chớnh ca khúa lun c chia lm bn chng Chng 1: Mt s khỏi nim v kin thc b tr Chng 2: Bi toỏn giỏ tr biờn Hilbert cho n liờn, kho sỏt nghim ca bi toỏn thun nht, bi toỏn khụng thun nht, bi toỏn cho v ngoi ng trũn n v thụng qua tha s chớnh quy húa v ch s ca hm s Chng 3: Phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Hilbert T nghim ca cỏc bi toỏn giỏ tr biờn Hilbert suy nghim ca cỏc phng trỡnh tớch phõn k d tng ng v tớnh cht c bn ca phng trỡnh vi nhõn Hilbert Chng 4: p dng bi toỏn biờn Hilbert gii mt s phng trỡnh tớch phõn liờn quan LI CM N Trc trỡnh by ni dung chớnh ca lun vn, em xin by t lũng bit n sõu sc ti GS.TSKH Nguyn Vn Mu ngi ó tn tỡnh hng dn em cú th hon thnh lun ny Em cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti ton th cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn - C - Tin hc, Trng i hc Khoa Hc T Nhiờn, i Hc Quc Gia H Ni ó dy bo em tn tỡnh sut quỏ trỡnh hc ti khoa Nhõn dp ny em cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn bờn em, c v, ng viờn, giỳp em sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun tt nghip Em xin chõn thnh cm n! H Ni, ngy 14 thỏng 08 nm 2016 Hc viờn Hong Qu Hng Chng Mt s khỏi nim c bn Trong chng ny, lớ thuyt v bi toỏn biờn Riemann c trỡnh by vi a s cỏc kớ hiu c dựng sỏch ca F D Gakhov [1] Di õy l mt s kin thc chun b 1.1 Cỏc khỏi nim c bn 1.1.1 iu kin Holder ă Gi s L l chu tuyn trn v (t) l tham s húa ta ca L Ta cú nh ngha c bn di õy nh ngha 1.1 Hm (t) c gi l tha iu kin Hăolder nu vi mi cp im phõn bit tựy ý trờn L u cú | (t1 ) (t2 )| A|t1 t2 | (1.1) ú A v l cỏc s dng A c gi l hng s Hăolder, c gi l ch s Hăolder (0 < 1) Vi > thỡ (1.1) tr thnh ( t1 ) ( t2 ) A | t t | t1 t2 ly gii hn hai v t1 t2 ta c (t2 ) = vi mi t2 thuc xỏc nh Khi ú, (t) l hng s (tc l chu tuyn L suy bin thnh im) Do ú, lun ny, ta luụn xột trng hp < Vi = iu kin ny c gi l iu kin Lipschitz t (vi t 0) Ta cú t1 + t2 t1 t2 sin | sin t1 sin t2 | = cos | t1 t2 | t t2 = t1 + t2 2|t1 t2 |1/2 Vớ d 1.1 Xột hm (t) = sin ă Do ú hm tha iu kin Holder vi hng s A = v ch s = 1/2 Vớ d 1.2 Ta xột hm (t) = vi < t 1/2 vi t = 1/ln t Do lim t ln t = t > nờn vi mi hng s A, , luụn tn ti t nh cho | (t) (0)| = > A | x 0| ln t ă Cho nờn hm xỏc nh nh trờn khụng tha iu kin Holder 1.1.2 Ch s ca hm s Cho L l mt chu tuyn úng, n, trn v G (t) l hm s liờn tc v khụng trit tiờu trờn L nh ngha 1.2 Ch s ca mt hm s G (t) dc theo chu tuyn L l t s tng trng (s gia) ca argumen ca nú chuyn ng ht mt lt (theo chiu dng) dc theo chu tuyn L vi Ta ký hiu Ind G (t) l ch s ca hm G (t) Ký hiu [ ] L l s gia ca dc theo L thỡ ch s ca G (t) c vit di dng [arg G (t)] L Ch s d dng tớnh c thụng qua s bin thiờn logarit ca hm s; tc l = IndG (t) = ln G (t) = ln | G (t)| + i arg G (t) Sau chuyn ng dc theo L, | G (t)| tr li giỏ tr ban u Vy nờn [arg G (t)] L = [ln G (t)] L , i vy m [ln G (t)] L 2i Ch s cú th tớnh theo tớch phõn (hiu theo ngha Stieltjes) = = IndG (t) = d arg G (t) = L 2i dln G (t) L Vớ d 1.3 Xột hm G (t) = tn trờn chu tuyn l ng trũn n v c tham s húa bi t = ei , Khi ú, G (t) = tn = ein Do ú, = IndG (t) = 1 [ln G (t)] L = 2n = n 2i T nh ngha trờn ta thy: Vỡ hm G (t) liờn tc nờn s gia ca argumen dc theo chu tuyn úng s l bi ca Vy nờn ta cú Ch s ca mt hm s liờn tc trờn chu tuyn v khụng trit tiờu trờn ú luụn l mt s nguyờn Ch s ca tớch hai hm bng tng cỏc ch s, ch s ca thng hai hm bng hiu cỏc ch s tng ng Gi s hm G (t) l kh vi v l giỏ tr biờn ca hm gii tớch bờn hoc bờn ngoi chu tuyn L Khi ú = 2i dln G (t) = L 2i L G (t) dt G (t) õy cng chớnh l thng d logarit ca hm s G (t) T nh lý v thng d logarit, ta suy cỏc tớnh cht sau õy ca ch s Nu G (t) l giỏ tr biờn ca hm gii tớch bờn hoc bờn ngoi chu tuyn, thỡ ch s ca nú bng s khụng im t bờn hoc s khụng im t bờn ngoi ly du õm Nu G (t) l giỏ tr biờn ca hm gii tớch bờn chu tuyn tr hu hn im (cú th l cỏc cc im) thỡ ch s ca nú bng hiu gia s khụng im v s cc im (k c bi) 43 v bi toỏn gii c thỡ iu kin (2.29) cn c tha Nghim ca phng trỡnh k d cú th suy t cụng thc (3.14) nu t Q(t) 0, tc l u(s) = (s)c(s)e ( s ) (s) 2 c()e1 () cot s d, (3.16) gi s rng iu kin (3.2) c tha Ta cú th chng minh c rng iu kin (2.29) v iu kin (3.2) l c lp v ú cú th vit di dng 2 c( ) (s)e1 () sin ( s)ds d = (3.17) 0 B sung bi iu kin (2.29) 2 c()e ( ) c()e1 () sin kd = 0, cos kd = 0, (3.18) 0 (k = 0, 1, , 1) Nhn xột 3.2 Trong trng hp ch s õm, phng trỡnh tớch phõn k d c trng khụng thun nht l gii c v ch iu kin gii c (3.17) v (3.18) tha Khi ú nghim c biu din bng cụng thc (3.16) 3.2.3 Phng trỡnh vi h s hng Xột trng hp c bit cỏc h s a v b ca phng trỡnh (3.3) v (3.1) l hng s Gi s rng phộp chia bi a2 + b2 kộo theo iu kin a2 + b2 = tha 3.2.3.1 Phng trỡnh thun nht Cho phng trỡnh thun nht b a u(s) 2 u() cot s d = 0, chỳng ta cú th cú c nghim ca bi toỏn biờn Hilbert (3.4) tng ng: F (z) = u + iv = i ei(z) = i ( a + ib) 44 Do ú (s) = b, (s) = a, e1 (s) = iu kin gii c vit nh sau s d = u( ) cot Do ú, nu a = thỡ phng trỡnh thun nht cú nghim khụng tm thng Nu a = 0, phng trỡnh s d = u( ) cot cú mt hng s u(s) = c coi nh mt nghim 3.2.3.2 Phng trỡnh khụng thun nht b au(s) 2 u() cot s d = c(s) (3.19) l gii c tuyt i nu a = Theo (3.13), ta cú 2 a b c()d = 0 Thay (3.12) thỡ nghim ca (3.19) l b u(s) = ac(s) + 2 b2 s d c() cot 2a Nu a = thỡ tớnh gii c ca phng trỡnh 2 u() cot s d = c(s) l iu kin sau õy phi tha theo (3.13), c()d = 0 c() d 45 Nu iu kin ny c tha thỡ bng cỏch t (s) = v (s) = b = (3.12), ta thu c nghim u(s) = ú C l mt hng s tựy ý c() cot s d + C, 46 Chng Vớ d ỏp dng 4.1 Bi toỏn biờn Hilbert Vớ d 4.1 Gii bi toỏn giỏ tr biờn Hilbert cho ng trũn n v (cos 2s cos s + )u(s) + (sin 2s sin s)v(s) = ( cos s)2 (cos 2s + h1 cos s + h2 ), 4 ú h1 , h2 l cỏc hng s Gii Chỳng ta vit iu kin biờn di dng (2.18) Re = cos s cos s sin2 s i2 sin s(cos s ) (u + iv) 2 (cos 2s + h1 cos s + h2 ) Biu din phộp bin i a(s) ib(s) = cos s = cos s = sin2 s 2i sin s cos s 2 i sin s cos s cos s = t 2 cos s 2 + i sin s , 47 chỳng ta cú biu din nh sau : Re F (t) = cos 2s + h1 cos s + h2 t 2 ni cú th cú mt cc im cp hai Lý lun tng t trng hp tng quỏt V trỏi l giỏ tr biờn ca hm gii tớch ng trũn n v , tr im z = dn n h thc F (z) = z 2 [S(cos 2s + h1 cos s + h2 ) + Q1 (z)], ú Q1 (z) l mt hm gii tớch ng trũn n v ngoi tr im z = ú cú mt cc im cp hai, phn thc b trit tiờu trờn ng trũn n v Hm ny cú th cho bng cụng thc Q1 (z) = Q( (z)), ú (z) l hm ca ỏnh x bo giỏc t ng trũn n v vo chớnh nú v im z = c bin i thnh gc ta Ly hm z = 2z ã (z) = 2z z T cho z = eis = cos s + i sin s, |z| = cos 2s + h1 cos s + h2 = Re[z2 + h1 z + h2 ], theo tớnh nht ca hm gii tớch xỏc nh bi tớch phõn Schwarz, ta cú S(cos 2s + h1 cos s + h2 ) = z2 + h1 z + h2 Tớnh toỏn cụng thc (2.24) cho hm Q cui cựng thu c F (z) = z 2 ì 2z 2z ì z + h1 z + h2 + i + c1 + c2 2z 2z 2 c1 2z 2z c2 2z 2z T tớnh gii c tuyt i ca bi toỏn ng vi = > thỡ cỏc hng s h1 v h2 cú th chn tựy ý ã 48 Vớ d 4.2 Gii bi toỏn giỏ tr biờn Hilbert cho ng trũn n v (cos 2s cos s + 41 )u (sin 2s sin s)v = cos 2s + h1 cos s + h2 Gii T ch s ca bi toỏn = < núi chung bi toỏn l khụng gii c Nú s gii c cú s la chn c bit ca hng s h1 v h2 Bin i tng t bi toỏn trc dn n iu kin biờn : Re[(t 12 )2 F (t)] = cos 2s + h1 cos s + h2 Do ú F (z) = (z 21 )2 [S(cos 2s + h1 cos s + h2 ) + iC ] suy F (z) = (z )2 [(z2 + h1 z + h2 ) + iC ] i vi bt k h1 v h2 hm cú mt cc im cp hai ti im z = , loi b cc im ny ta cn chn cỏc hng s h1 = 1, h2 = T ú bi toỏn cú mt nghim nht F (z) = + (z )2 iC Vớ d 4.3 Gii bi toỏn Hilbert cho ng trũn n v e sin 2s cos(cos 2s)u(s) e sin 2s sin(cos 2s)v(s) = ecos s cos(sin s) Gii Ta cú a ib = e sin 2s cos(cos 2s) i e sin 2s sin(cos 2s) = e sin 2s [cos(cos 2s) + i sin(cos 2s)] = e sin 2s ei cos 2s = ei(cos 2s+i sin 2s) = eit 49 iu kin biờn ca bi toỏn c vit di dng Re [ F (t) ( a ib)] = c(s) Re [ F (t) eit ] = ecos s cos(sin s) Hm khụng cú 0- im v cc im nờn ch s = cos s + i sin s = eis = z, t |z| = Ta cú ez = e(cos s+i sin s) = ecos s ei sin s = ecos s (cos(sin s) + i sin(sin s)) = ecos s cos(sin s) + i ecos s sin(sin s) ú ecos s cos(sin s) = Re ez suy theo tớnh nht ca hm gii tớch xỏc nh bi tớch phõn Schwarz, ta cú S (ecos s cos(sin s)) = ez Nh vy, nghim ca bi toỏn cú dng F (z) eiz = S (ecos s cos(sin s)) + i F (z) = eiz (ez + i ), ú = Im F (0) Vớ d 4.4 Gii bi toỏn Hilbert cho ng trũn n v cos s u(s) (sin s + )v(s) = cos 2s + h Gii Ta cú a ib = cos s + i sin s + i = t+ i 50 iu kin biờn ca bi toỏn cú dng F (t) = c(s) a + bi Re [ F (t) ( a ib)] = c(s) Re Re F (t) (t + 2i )1 = cos 2s + h Hm s cú mt cc im bờn ng trũn n v nờn hm s cú ch s = t z = cos s + i sin s, |z| = T ú, ta cú cos 2s + h = Re[z2 + h], theo tớnh nht ca hm gii tớch xỏc nh bi tớch phõn Schwarz, ta cú S(cos 2s + h) = z2 + h Khi ú nghim ca bi toỏn cú dng i F (z) = (z + )1 [S(cos 2s + h) + iC ] Hay i F (z) = (z + )1 (z2 + h + iC ) Do C tựy ý nờn chn C = Vỡ ch s ca bi toỏn = < nờn bi toỏn ch gii c cc im i z = c loi b cú iu ny ta chn h = Khi ú i F ( z ) = ( z + ) ( z + ) i i i = (z + ) (z + )(z ) 2 i = z , ú Im F (0) = ã 51 4.2 Phng trỡnh tớch phõn kỡ d Vớ d 4.5 Gii phng trỡnh tớch phõn k d khụng thun nht cho ng trũn n v sin s (cos s + 2)u(s) 2 s d = sin s u() cot Gii Ta cú bi toỏn biờn Hilbert tng ng a1 (s)u(s) + b1 (s)v(s) = c1 (s) (cos s + 2)u(s) + sin s v(s) = sin s () Ta cú a21 + b12 = (cos s + 2)2 + sin2 s = + cos s = Phng trỡnh () tng ng vi sin s sin s cos s + u(s) + v(s) = ã + cos s + cos s + cos s Xột biu thc cos s i sin s + 2 + eis a ib = ã = + cos s + 2(eis + eis ) cos s + i sin s = eis = t, t ú a ib = |t| = + t 2t + 1 = = ã t+2 2t + 5t + + 2( t + t ) iu kin biờn ca bi toỏn c vit di dng Re [ F (t) ( a ib)] = c(s) F (t) sin s Re = ã t+2 + cos s Hm cú ch s = T ú F ( z ) = ( z + 2) S = ( z + 2) sin s + cos s + i ei sin +z d + i i + cos e z 52 cos + i sin = ei = , t cos = | | = + ; sin = 2i ú F ( z ) = ( z + 2) 2i | |=1 d i (2 + + 2) z Ta cú nờn 2 sin d + i + cos sin d = + cos F ( z ) = ( z + 2) 2i | |=1 d + i i (2 + + 2) z Xột tớch phõn 2i = | |=1 2i d i (2 + + 2) z | |=1 i d + + z 2i ta thu c F + (z) = i ; z+2 | |=1 F (z) = Do ú F (z) = (z + 2)( i d +2 z iz ã 2z + i + i ), z+2 ú = Im F (0) = Suy i i ) = i i (z + 2) = iz i z+2 Thay giỏ tr z = cos s + i sin s ta thu c F (z) = (z + 2)( F (z) = i (cos s + i sins) i = sin s i (cos s + 1) Khi ú u(s) = Re F (z) = sin s Vy nghim ca phng trỡnh tớch phõn k d l : u(s) = sin s 53 Vớ d 4.6 Gii phng trỡnh tớch phõn k d khụng thun nht cho ng trũn n v sin s cos s u(s) 2 u() cot s d = cos s (5 + sin s) Gii Ta cú bi toỏn biờn Hilbert tng ng a2 (s)u(s) + b2 (s)v(s) = c2 (s) cos s u(s) + (sin s 2) v(s) = cos s (5 + sin s) () Ta cú a22 + b22 = cos2 s + (sin s 2)2 s = sin s = Phng trỡnh () tng ng vi cos s sin s cos s(5 + sin s) u(s) + v(s) = ã sin s sin s sin s Xột biu thc a ib = cos s i sin s + 2i i 2eis ã = sin s 2e2is + 5eis + cos s + i sin s = eis = t, t |t| = ú a ib = i 2t = ã t 2i + 5it + 2t2 iu kin biờn ca bi toỏn c vit di dng Re [ F (t) ( a ib)] = c(s) cos s(5 + sin s) F (t) = Re ã t 2i sin s Hm cú ch s = T ú F (z) = (z 2i ) S = (z 2i ) cos s(5 + sin s) sin s + i ei cos (5 + sin ) +z d + i sin ei z 54 cos + i sin = ei = , t cos = | | = + ; sin = 2i ú ( + 1)( + 2i )(2 + i ) d ( 2i )(i ) z | |=1 cos (5 + sin ) d + i sin F (z) = (z 2i ) 2i Ta cú 2 cos (5 + sin ) d = sin nờn F (z) = (z 2i ) 2i | |=1 ( + 1)( + 2i )(2 + i ) d + i ( 2i )(i ) z Xột tớch phõn 2i = | |=1 2i ( + 1)( + 2i )(2 + i ) d ( 2i )(i ) z ( 5i ) | |=1 d + z 2i | |=1 i d + (i ) z 2i | |=1 10 d , 2i z ta thu c F + (z) = (z 5i ) + 10 ; z 2i F (z) = 3z + i ã z(i 2z) Do ú 10 + i z 2i = (z 2i )(z 5i ) + 10 + (z 2i )i F (z) = (z 2i ) (z 5i ) + = z2 + z(3i + i ) + Thay giỏ tr z = cos s + i sin s ta thu c F (z) = cos 2s + sin s (sin s 2) + i ( sin 2s cos s + cos s) 55 Khi ú u(s) = Re F (z) = cos 2s + sin s (sin s 2) Vy nghim ca phng trỡnh tớch phõn k d l: u(s) = cos 2s + sin s (sin s 2), ú = Im F (0) = 56 KT LUN Lun ó trỡnh by cỏc kt qu sau: - Phỏt biu v chng minh chi tit mt s nh lý i vi cỏc bi toỏn giỏ tr biờn Hilbert v phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Hilbert tng ng ng thi, trỡnh by mt s vớ d minh - S dng tha s chớnh quy húa v ch s ca hm s bin lun nghim ca bi toỏn giỏ tr biờn Hilbert v phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Hilbert tng ng - Trỡnh by cỏch gii bi toỏn Hilbert cho n liờn, c th l cho trng hp ng trũn n v - Kho sỏt phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Hilbert thụng qua nghim ca bi toỏn biờn Hilbert, t ú cú th tỡm c cỏc tớnh cht c bn ca cỏc phng trỡnh tớch phõn k d tng ng 57 Ti liu tham kho [1] Gakhov F.D (1990), Boundary value problems, Dover Pub., Inc., New York [2] Nguyen Van Mau (1997), Algebraic Elements and Boundary Value Problems in Linear Space, VNU Pub Ha Noi [3] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer ... vi nhõn Hilbert T nghim ca cỏc bi toỏn giỏ tr biờn Hilbert suy nghim ca cỏc phng trỡnh tớch phõn k d tng ng v tớnh cht c bn ca phng trỡnh vi nhõn Hilbert 4 Chng 4: p dng bi toỏn biờn Hilbert. .. Mi quan h ca phng trỡnh tớch phõn k d c trng vi nhõn Hilbert v bi toỏn biờn Hilbert Cỏc dng phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Hilbert 3.2.1 Phng trỡnh thun nht 3.2.2... toỏn biờn Hilbert Mc ớch chớnh ca lun l nghiờn cu dng c bn th hai ny ca bi toỏn biờn ca hm gii tớch v lp phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Hilbert tng ng Tip theo, kho sỏt mt s liờn quan h tr