2.1 Thừa số chính quy hóa
2.1.2 Cách xác định các loại thừa số chính quy hóa
Thừa số chính quy hóa thực
Cho thừa số chính quy hóa R(t)là một hàm thực, ký hiệu là p(s), ta có p(s)[a(s) +ib(s)] =Φ+(t).
Tính toán chỉ số của cả hai vế và lấy chỉ số của p(s)bằng 0, ta được κ =Ind[a(s) +ib(s)] =Ind Φ+(t).
Dựa vào tính chất của chỉ số trong phần (1.1.7) ta có kết quả như sau 1. Vớiκ =0thì hàmΦ+(z)không có 0-điểm nào trong miền D+; 2. Vớiκ >0thì hàmΦ+(z)cóκ không điểm trongD+ ;
3. Với κ < 0 thì hàm Φ+(z) không là giải tích trong D+; hàm cần phải có trong miền này không quá−κ cực điểm.
Để đảm bảo tính giải được và tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định thừa số chính quy hóa với chỉ số tùy ý cho trước, ta coi nghiệm là hàm giải tích có thể trừ ra một điểm là cực điểm của nó trong miềnD+.
Để đơn giản, ta giả sử gốc tọa độ nằm trong miền D+.
Định nghĩa 2.1. Thừa số chính quy hóa của hàm phức a(s) +ib(s)xác định trên chu tuyến L là một hàm số thực dương p(s) trên chu tuyến thỏa mãn tích số p(s)[a(s) + ib(s)]là giá trị biên của hàm giải tích Φ+(z) trong D+, hàm có bậc 0 khắp nơi trong miền này trừ tại gốc tọa độ có bậc bằng chỉ sốκ của hàma(s) +ib(s)(xem Định nghĩa 1.4).
Ta có khẳng định
Định lý 2.1. Mọi hàm xác định trên chu tuyến L đều có duy nhất một thừa số chính quy hóa.
Chứng minh.Xét hai trường hợp sau:
(1) κ =0.
Khi đó hàmΦ+(z)không có 0-điểm trong miềnD+và được biểu diễn bằng hàm số mũ
Φ+(z) = eiγ(z), γ(z) = ω(x,y) +iω1(x,y). Theo định nghĩa của thừa số chính quy hóa ta có
p(s)[a(s) +ib(s)] = eiγ(t) =e−ω1(s)eiω(s). (2.3)
Lập phương trình mô đun và argumen cả hai vế của hệ thức thứ hai ta thu được
p(s) q
a2(s) +b2(s) = e−ω1(s), ω(s) = arctanb(s)
a(s)ã (2.4) Đây là công thức cho giá trị biên của hàm điều hòa ω(x,y). Hàm ω(x,y) được xây dựng bằng việc giải bài toán Dirichlet, từ đó dùng phương trình Cauchy-Riemann để xác định hàm điều hòa liên hợp phức ω1(x,y); yêu cầu biểu diễn thừa số chính quy hóa p(s) trong những điều kiện giá trị biên của các hàm sau đó.
Kết quả có được dưới dạng đơn giản nhất bằng cách đưa vào toán tử Schwarz.
Kết hợp (1.9) và (2.4) ta có
γ(z) = ω(x,y) +iω1(x,y) = Sarctan b a; để đảm bảo tính xác định ta đặt điều kiện choγ(z) :
Imγ(z0) = ω1(z0) = 0. (2.5) Thừa số chính quy hóa được cho bởi công thức
p(s) = e
−ω1(s)
pa2(s) +b2(s)ã (2.6) Xét tính duy nhất của thừa số chính quy hóa.
Giả sử tồn tại hai thừa số chính quy hóa phân biệt là p(s)và p1(s). Ta có hệ thức
p(s)[a(s) +ib(s)] = Φ+(z), p1(s)[a(s) +ib(s)] =Φ1+(z).
chia vế cho vế của những hệ thức trên và đặtΦ1+(z)/Φ+(z) = ψ(z)ta thu được
p1(s)
p(s) =ψ(z).
Phần ảo của hàmψ(z)bị triệt tiêu trên chu tuyến. Do đó theo tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet Im ψ(z) = 0 khắp nơi trong miền D+. Từ đó, ψ(z) = const.
Do đó, thừa số chính quy hóa được xác định như một nhân tử hằng số với điều kiện (2.5).
Từ đó chúng ta chứng minh được tính tồn tại và duy nhất của thừa số chính quy hóa trong trường hợpκ = 0với điều kiện bổ sung (2.5).
(2) κ 6= 0.
Từ định nghĩa ta có
p(s)[a(s) +ib(s)] = tκeiγ(t) =tκe−ω1(s)eiω(s). (2.7) Lấy mô đun và argumen của hai vế ta thu được
p(s) = |t|κe−ω1(s) pa2(s) +b2(s) ,
ω(s) = arg{t−κ[a(s) +ib(s)]} =arctanb
a−κargt.
(2.8)
Do đó,
γ(z) = S
arctan b
a −κargt
. (2.9)
Thừa số chính quy hóa được cho bởi công thức (2.8). Tính duy nhất nghiệm của bài toán cũng được suy ra từ kết quả nói trên, từ đó theo hệ thức (2.7) thì bài toán là tìm thừa số chính quy hóa cho hàm t−κ[a(s) +ib(s)]với chỉ số bằng 0.
Từ đó, chứng minh được hoàn tất.
Chứng minh trên chứng tỏ rằng xác định thừa số chính quy hóa dưới dạng một hàm thực thì tương đương với việc xác định một hàm giải tích mà giá trị argumen của nó được xác định trên chu tuyến, điều này dẫn tới việc giải bài toán Dirichlet.
Thừa số chính quy hóa với mô đun là hằng Tìm số chính quy hóa dưới dạng
R(t) = eiθ(s).
Cho biểu diễn của hàm phức trong tọa độ cực là a+ib = reiα. Theo định nghĩa ta có
rei(α+θ)(s) = Φ+(t). (2.10)
Chúng ta tìm hàmθ(s) với điều kiện trong sự tịnh tiến trên chu tuyến L nó có một số gia2πν, ở đóνlà một số nguyên cho trước. Lấy chỉ số cả hai vế ta được
κ+ν = n,
trong đónlà số 0- điểm của hàmΦ+ trong miềnD+; do đó, θ(s)không chỉ phụ thuộc vào chỉ số của hàm đã choa+ibmà còn phụ thuộc vào chỉ số của thừa số chính quy hóa.
Xét hàm Φ+(z) với điều kiện có bậc n ở gốc tọa độ thuộc miền D+. Biểu diễn hàmΦ+(z)dưới dạngzneγ(z) ta có
r ei(θ+α) =tneγ(t) = tneω(s)eiω1(s).
Lập phương trình mô đun và argumen với hệ thức thứ hai ta được ω =ln(r|t|−n),
ω1 =θ+α−nargt. (2.11)
Do đó, chúng ta biết được phần thực ω của giá trị biên của hàm giải tích γ(z). Giải bài toán Dirichlet tìm được hàm điều hòaω(x,y). Tiếp theo tìm hàm liên hợp phứcω1, chúng ta xác định hàm θ theo công thức (2.11) và biểu diễn thừa số chính quy hóa bằng công thức (2.10).
Nghiệm được viết với điều kiện của toán tử Schwarz
γ(z) = ω(x,y) +iω1(x,y) = Sln(r|t|−n), (2.12) trong đó để xác định, ta chọn
Imγ(z0) = 0.
Thừa số chính quy hóa được cho bởi công thức
R(t) = ei(ω1−α+nargt). (2.13) Công thức (2.12) - (2.13) xác định duy nhất thừa số chính quy hóa của dạng đã yêu cầu.
Sự xác định của thừa số chính quy hóa với mô đun là hằng số tương đương với việc xác định của một hàm giải tích có giá trị biên là mô đun đã cho, cuối cùng là đưa về việc giải bài toán Dirichlet.