Các phương trình trường biến dạng

1 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS- TS Nguyễn Thị Hà Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của cô trong suốt quá trình học tập từ khi học đại học đến hoàn thành luận văn này. Chính sự quan tâm và tận tình chỉ bảo của cô đã tạo động lực và cho em có thêm niềm tin, sự cố gắng để thực hiện luận văn này và mong muốn có những phát triển tiếp theo. Em xin trân trọng cảm ơn PGS- TS Lưu Thị Kim Thanh về sự quan tâm của cô trong suốt quá trình dài học tập và nghiên cứu của em. Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, các thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí- Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy, quan tâm chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 5 năm 2011 TÁC GIẢ Nguyễn Đức Phương 2 MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 1.1. Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát 1.2. Dao động tử q- biến dạng 1.2.1. Dao động tử boson q- biến dạng đơn mode 1.2.1a. Dao động tử boson q- biến dạng “vật lí” 1.2.1.b. Dao động tử boson q- biến dạng “toán học” 1.2.2. Dao động tử fermion q- biến dạng đơn mode 1.2.3. Dao động tử q- biến dạng đa mode 1.2.4. Dao động tử biến dạng q tổng quát 1.3. Tính phi tuyến của biến dạng lượng tử tổng quát 1.3.1. Tính phi tuyến của biến dạng lượng tử tổng quát 1.3.2. Phương trình chuyển động của dao động tử phi tuyến CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯ ỜNG 2.1. Phương trình sóng 2.2. Phương trình Klein- Gordon 2.2.1. Thiết lập phương trình 2.2.2. Nghiệm của phương trình Klein- Gordon 2.2.3. Suy ra phương trình liên tục, xác suất, mật độ dòng xác suất từ phương trình Klein- Gordon 2.3. Phương trình Maxwell 2.3.1. Phương trình Maxwell- Gauss 2.3.2. Phương trình lưu thông của điện trường 1 2 4 7 7 10 10 10 11 13 16 17 19 19 25 29 30 30 31 32 35 35 36 3 2.3.3. Phương trình Maxwell- Ampère 2.3.3a. Phương trình Maxwell- Ampère với từ trường không đổi 2.3.3b. Phương trình Maxwell- Ampère với từ trường biến thiên 2.3.4. Phương trình Maxwell- Faraday CHƯƠNG III: CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG BIẾN DẠNG 3.1. Phương trình sóng biến dạng tổng quát 3.2. Phương trình Klein- Gordon biến dạng 3.3. Phương trình Maxwell biến dạng K ẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 39 40 43 50 52 54 56 57 4 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài: Nhìn vào lịch sử vật lí, chúng ta nhận thấy rằng các nhà vật lí đã nhiều lần biến dạng các thuật toán và các phương trình để mô tả và giải thích các hiện tượng vật lí; lý thuyết mới (đã biến dạng) là tổng quát hơn và chứa lý thuyết ban đầu, lý thuyết ban đầu chỉ là một trường hợp giới hạn khi tham số biến dạng tiến đến một giá trị nhất định. (Chẳng hạn như Cơ học tương đối tính sẽ trở thành cơ học Newton khi tham số biến dạng 0 v c    hay Cơ học lượng tử sẽ cho các kết quả của Cơ học cổ điển khi giới hạn  S  , trong đó S là tác dụng,  hằng số Planck) Phát minh của Macfarlane và Biedenham về đại số lượng tử trong thuật ngữ của q- dao động tử điều hoà đã làm nảy sinh việc áp dụng biến dạng lượng tử vào các vấn đề hiện thực của vật lí. Sự biến dạng q của một hệ vật lí thông qua dao động tử điều hoà q- biến dạng là nhỏ ở vùng năng lượng bình thường nhưng trở nên đáng kể ở vùng năng lượng Planck, do đó việc nghiên cứu q- biến dạng trở thành quan trọng đối với lý thuyết trường. Nghiên cứu về biến dạng lượng tử đang là vấn đề rất được quan tâm, có khả năng đưa đến một phát triển mới trong lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết các hạt cơ bản, dẫn đến nhiều thống kê mới (như thống kê phân số, thông kê q- biến dạng, thống kê g  - biến dạng ) và đặt ra những vấn đề toán học như lý thuyết biểu diễn của những nhóm lượng tử. Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: “ Các phương trình trường biến dạng” nhằm nghiên cứu về biến dạng lượng tử tổng quát, nghiên cứu về q- biến dạng và biến dạng một số trường cụ thể. 2. Mục đích nghiên cứu: 5 Đề tài nghiên cứu về các phương trình trường sóng, trường Klein- Gordon, trường Maxell biến dạng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết chung về biến dạng tổng quát, dao động tử biến dạng dưới dạng phi tuyến từ đó biến dạng các phương trình sóng, phương trình Klein- Gordon và phương trình Maxwell thành các phương trình phi tuyến. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về q- biến dạng, biến dạng lượng tử tổng quát và dao động tử phi tuyến biến dạng. 5. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên của VLLT- VLT. - Phương pháp nghiên cứu của trường lượng tử. - Phương pháp nghiên cứu nhóm đối xứng lượng tử. 6. Cấu trúc luận văn: Chương I: Một số vấn đề về biến dạng lượng tử tổng quát Trong chương này chúng ta đề cập đến một số lý thuyết chung về dao động tử biến dạng tổng quát, dao động tử q- biến dạng; nhờ nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát dưới dạng phi tuyến mà chúng ta dẫn ra được phương trình chuyển động và biểu thức cho tọa độ vật lí x của dao động tử này. Chương II: Các phương trình trường Trong chương II chúng ta trình bày về các phương trình sóng, phương trình Klein- Gordon, phương trình Maxwell chưa biến dạng. Chương III: Các phương trình trường biến dạng Xuất phát từ các phương trình trường được trình bày trong chương II và dựa vào các kết quả được nghiên cứu về biến dạng lượng tử tổng quát trong 6 chương I, trong chương III chúng ta sẽ biến dạng các phương trình trường sóng, Klein- Gordon, Maxwell thành các phương trình phi tuyến . 7 NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BIẾN DẠNG LƯỢNG TỬ TỔNG QUÁT 1.1. Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát Chúng ta sẽ bắt đầu từ một biến dạng bất kỳ của dao động tử và xây dựng đại số của dao động tử biến dạng tổng quát. Những kết quả này là tổng quát và có thể áp dụng cho các trường hợp biến dạng. Biến dạng tổng quát của dao động tử điều hòa có thể được cho bởi hệ thức giao hoán cơ bản   aa g a a    (1.1) trong đó a, a + là các toán tử hermitic liên hợp. Gọi n là cơ sở các véc tơ trạng thái riêng của toán tử số N N n n n  (1.2) Khi đó chúng ta có thể viết:   1 a n n n   (1.3a)   1 1 a n n n     (1.3b) trong đó ký hiệu   n là một hàm số của n . Từ (1.1) và (1.3a) chúng ta có     1 a a n a n n n n      (1.4a) Tương tự, từ (1.1) và (1.3b) chúng ta có     1 1 1 aa n a n n n n       (1.4b) Với hàm bổ trợ g(x) được định nghĩa trong đại số của dao động tử bình thường 8   1 g x x  (1.5) chúng ta thu được hệ thức giao hoán: , 1a a aa a a           (1.6) Toán tử số N được định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán: , N a a        ,   , N a a  (1.7) và giả sử toán tử số N được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, hủy theo hệ thức:   N f a a   (1.8) chúng ta sẽ tìm sự liên hệ giữa các hàm ( )f x và ( )g x : Sử dụng (1.1), chúng ta có       , n n n a a a a a a a a a                n n aa a a a a             n n g a a a a a     (1.9) Tương tự chúng ta cũng thu được           , n n n a a a a g a a a a               (1.10) Các phương trình (1.9) và (1.10) dẫn đến           , a f a a f g a a f a a a          (1.11)           , a f a a a f g a a f a a             (1.12) Lưu ý các công thức (1.10) và (1.11), chúng ta thấy nếu chọn hàm       1 f g x f x   (1.13) 9 thì phương trình (1.7) được (1.8) thỏa mãn. Như vậy, từ (1.13) nếu biết hàm bổ   g x thì hàm cơ sở   f x sẽ hoàn toàn được xác định và đó là một hàm giải tích thực xác định trên trục (dương) thực. Nếu gọi   F x là hàm ngược của hàm   f x , tức là 1 F f   , hay     F f x x (1.14) thì hàm   g x được xác định thông qua hàm   f x như sau:       1 g x F f x   (1.15) Trong (1.10), nếu ta thay x bằng   a a  thì với định nghĩa (1.1), biến dạng tổng quát của dao động tử điều hòa sẽ được biểu diễn thông qua hệ thức giao hoán     1 f aa f a a     (1.16) Đây là hệ thức giao hoán biến dạng của hệ thức (1.6). Trong hệ thức giao hoán biến dạng (1.16) thì hàm   f x (và hàm   F x ) được gọi là hàm cơ sở (và hàm cấu trúc) của lý thuyết biến dạng, còn hàm   g x được gọi là hàm bổ trợ. Sử dụng (1.8) chúng ta được:       F N F f a a   , vì   N f a a   Sử dụng (1.13), coi x a a   chúng ta được:       F N F f a a a a     (1.17) Hoàn toàn tương tự chúng ta được         1 1 F N F f a a g a a aa         (1.18) 10 Từ đó chúng ta thu được hệ thức giao hoán biến dạng:     , 1 a a aa a a F N F N             (1.19) 1.2. Dao động tử q- biến dạng Trong mục này chúng tôi xin hệ thống các dao động tử q- biến dạng boson và fermion đơn mode và đa mode, dao động tử biến dạng q tổng quát cùng với biểu diễn Fock của chúng. 1.2.1. Dao động tử boson q- biến dạng đơn mode Dao động tử boson q-biến dạng đơn mode được định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán : N aa qa a q      (1.20) Trong đó q C là thông số biến dạng; , ,a a N  là toán tử sinh, hủy và toán tử số dao động thỏa mãn hệ thức (1.7) Véc tơ trạng thái riêng của toán tử số N được xác định theo công thức     0 ! n q q a n n   (1.21) Với           ! 1 1 , 0 1 q q q q q n n n    và     q q n F n  . Tùy thuộc vào dạng của hàm cấu trúc   F x chúng ta sẽ thu được hệ dao động tử q- biến dạng thông thường (còn gọi là q- boson “vật lí” ) và q- boson “toán học”. Sau đây chúng ta sẽ hệ thống lại cụ thể hai loại q- boson biến dạng này. 1.2.1a. Dao động tử boson q- biến dạng “vật lí” Hàm cấu trúc được xác định theo kiểu Macfarlane- Biedenham   1 ( ) x x Sinh x q q F x Sinh q q         (1.22) [...]... được các bổ chính của ngoặc Poisson cho các trường cổ điển biến dạng (cụ thể là trường vô hướng không khối lượng) và hướng mở rộng cho các trường lượng tử 29 CHƯƠNG II CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG Trong chương này chúng ta trình bày về phương trình một số trường trước khi biến dạng Trong lịch sử vật lí thì các phương trình này đã mang ý nghĩa mô tả và giải thích các hiện tượng nhất định 2.1 Phương trình. .. (2.9) như phương trình trường cổ điển (tương tự như phương trình cho trường  điện từ) và lượng tử hóa trường này, coi  , j ,  như là các toán tử Lúc đó,  các đại lượng e  và e j giải thích như mật độ điện tích và mật độ dòng điện tích và hạt được coi như lượng tử của trường này 35 2.3 Phương trình Maxwell 2.3.1 Phương trình Maxwell- Gauss Phương trình này thể hiện định luật thứ nhất của các định... được miêu tả bởi các hàm f Hàm f này xác định loại biến dạng đó và khi đó những dao động tử được gọi là dao động tử f- biến dạng 25 Như vậy, chúng ta có thể làm sáng tỏ bản chất của f- biến dạng này, các công thức (1.86) và (1.87) cho thấy đó chính là sự biến dạng tổng quát với dạng đặc biệt của đạo hàm của hàm cấu trúc F(x) Ví dụ với dao động tử qbiến dạng có hàm F(x) tuân theo phương trình (1.22) thì... Phương trình sóng Mọi sóng đều thoả mãn một phương trình vi phân riêng phần gọi là phương trình sóng Các phương trình sóng có thể có nhiều dạng, phụ thuộc vào môi trường truyền và kiểu lan truyền Dạng đơn giản nhất, dành cho sóng lan truyền theo chiều x, trong thời gian t và dao động sóng thay đổi trên biến y Trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng thì phương trình sóng được viết: 1 2 y 2 y  v 2... sóng dừng A(x,t) = A(x) (2.4) 30 2.2 Phương trình Klein- Gordon 2.2.1 Thiết lập phương trình Phương trình Klein- Gordon là phương trình trường lượng tử hiệp biến tương đối tính để cho các hạt có spin bằng không và chúng được mô tả bằng hàm sóng vô hướng một thành phần (hàm sóng là một đại lượng vô hướng đối với phép biến đổi Lorentz) Chúng ta đã biết rằng phương trình phi tương đối tính Schrodinger... vậy, khi giữ nguyên dạng của hàm Hamiltonian thì ngoặc Poisson của các biến số mới sẽ biến đổi Tiếp theo đây chúng ta sẽ trình bày về miêu tả hệ thống qua các tham số biến dạng khác * 2 Miêu tả hệ thống mới thông qua các biến ,  * Khi miêu tả hệ thống mới thông qua các biến ,  thì ngoặc Poisson của các biến số sẽ giữ nguyên còn dạng của hàm Hamiltonian lại thay đổi: H   ,      ,    ... * ) Sau đây chúng ta sẽ đi miêu tả hệ thống mới bằng hai cách khác nhau thông qua các tham số biến dạng khác nhau 1 Miêu tả hệ thống mới thông qua các tham số biến dạng , * miêu tả hệ thống qua các tham số biến dạng , * thì hàm Khi Hamiltonian giữ nguyên dạng: H  ,  *    * (1.79) Sử dụng (1.76) và (1.78) chúng ta tìm được phương trình chuyển động    , H     H  H   x  p p... chúng ta có thể kết luận rằng các toán tử hủy, sinh của hệ boson q- biến dạng và không biến dạng có thể biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức liên hệ (1.34) 1.2.2 Dao động tử fermion q- biến dạng đơn mode Các toán tử hủy, sinh của dao động tử biến dạng q- fermion kí hiệu là f, f  thỏa mãn hệ thức giao hoán ff   qf  f  q  N , N, f    f Trong đó N là toán tử số fermion q- biến dạng , N, f    f  ... được miêu tả bởi hàm Cosinhyperbolic của bình phương biên độ 1.3.2 Phương trình chuyển động của dao động tử phi tuyến Trước hết, chúng ta quay trở lại với các biến x, p tương ứng với tọa độ vật lí và xung lượng của dao động tử q- biến dạng, chúng ta có phương trình (1.70): x  1 ( *   ) , 2  p i 2 ( * ) Tương ứng với động học phi tuyến, từ các phương trình (1.70), (1.84) và (1.85) chúng ta thu... ứng với các biến không thời gian  x , y , z , ict  , c là vận tốc ánh sáng trong chân không, t là thời gian Vì hàm sóng  ( x ) chỉ có một thành phần và biến đổi như một vô hướng trong phép biến đổi Lorentz nên phương trình Klein- Gordon chỉ có thể mô tả các hạt với spin không như  và k meson 2.2.2 Nghiệm của phương trình Klein- Gordon Phương trình Klein- Gordon có nghiệm đơn giản dưới dạng sóng . bày về các phương trình sóng, phương trình Klein- Gordon, phương trình Maxwell chưa biến dạng. Chương III: Các phương trình trường biến dạng Xuất phát từ các phương trình trường được trình. từ trường không đổi 2.3.3b. Phương trình Maxwell- Ampère với từ trường biến thiên 2.3.4. Phương trình Maxwell- Faraday CHƯƠNG III: CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG BIẾN DẠNG 3.1. Phương trình sóng biến. đó biến dạng các phương trình sóng, phương trình Klein- Gordon và phương trình Maxwell thành các phương trình phi tuyến. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về q- biến dạng, biến