Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài toán quỹ tích lớp 11Chia sẻ: tuyhoaquyennana | Ngày: 18062014Sáng kiến kinh nghiệm đề tài Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài toán quỹ tích lớp 11 giúp các giáo viên và học sinh ứng dụng phương pháp giải toán mới trong giải toán quỹ tích lớp 11.
Trang 1So GD&DT Quảng Nam - TRUONG THPT LE QUY DON
UNG DUNG PHEP BIEN HINH DE GIAI MỘT SỎ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH LỚP 11
SÁNG KIEN KINH NGHIEM Người thực hiện: TÔ THỊ MINH TRÚC
Tổ Toán Tin
Trang 21
MO DAU
I/ LY DO CHON DE TAI:
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phố thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phố thông
Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn
quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo
dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh té, phát triển khoa học kĩ thuật xây
dựng nên văn hoá mới và con người mới ”
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bôi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề ”
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ đề học tốt những
môn học khác
Môn Toán góp phan phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cần thận chính xác, có tinh ki luật, tính phê phán, tính sáng tạo bôi đưỡng óc thầm mĩ
Trong chương I hình học 11, các phép biến hình đã là công cụ hữu hiệu
để giải các bài toán quỹ tích , dựng hình Đây là một vấn đề khó khăn vì học
sinh lần đầu tiên làm quen với khái niệm biến hình và hầu hết các em đều “ngại”
làm những bài toán liên quan đến quỹ tích
Nhưng nội dung của phép biến hình đưa vào chương trình không chỉ là công cụ đề để giải toán mà còn giúp các em làm quen với phương pháp tư duy
và suy luận mới biết nhìn sự vật hiện tượng xung quanh với quan điểm vận động
biến đồi gop phan ren luyén cho hoc sinh tinh sang tao trong hoc tap Do vay
Trang 32 với đề tài : “Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài toán quỹ tích lớp 11" tôi rất mong muốn một phần nào đó giúp học sinh thích thú hơn trong học toán
II MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG:
1.Muc tiêu :
Với đặc điểm của chương này là: Kiến thức mới , học sinh tiếp cận khá khó khăn và chất lượng học sinh không đồng đêu Mặc dù chương trình mới đã giảm tải về mặt lý thuyết rất nhiều Nhưng đề áp dụng được lý thuyết đề giải
một số bài toản quỹ tích thì thực sự là một vấn đề khó khăn đối với nhiều học
sinh Do vậy qua quá trình giảng dạy, để đảm bảo được mục đích dạy học là tất
cả đối tượng học sinh , đồng thời phát hiện được năng lực học tập đối với một số
cá nhân học sinh đòi hỏi người thầy phải có phương pháp truyền thụ thích hợp
đến mọi đối tượng học sinh Từ đó nâng cao được chất lượng học tập của học
sinh trong các tiết học
2.Phạm vi thực hiện :
Mọi đối tượng học sinh
3.Pham vi dé tai :
Một số bài tập về quỹ tích ở chương biến hình
4.Hướng phát triển :
Hoàn thiện hệ thống bài tập đa dạng phong phú hơn, bố sung thêm phép đồng
dạng
Š.Phương pháp nghiên cứu :
Nghiên cứu các loại tài liệu có liên quan đến đề tài
Phương pháp điều tra
Phương pháp đàm thoại phóng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và học sinh) Phương pháp quan sát (công việc dạy và học của giáo viên và học sinh) 6.Thời gian thực hiện đề tài :
Bat đầu từ năm 2011 đến nay
Trang 43
NỘI DUNG
LCƠ SỞ LÝ LUẬN :
1.Cơ sở triết học :
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đây quá trình phát triển Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập để các em thay được những điều mình chưa biết và khả năng
nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo trong việc lĩnh hội tri thức
Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn
2.Cơ sở tầm lý học :
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm
li thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định Một số
học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; SỐ khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác
Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt
Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình
và ứng dụng nó để giải bài toán quỹ tích, các em thường có tâm lí: không biết ứng dụng của phép biến hình đề làm gì nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không muốn học phần này Vì vậy Giáo viên cần chỉ rỡ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép biến hình vào giải bài toán Quỹ tích
3.Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập
Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Giáo viên biết định hướng, giúp
đỡ từng đối tượng học sinh
Trang 5II THỰC TRẠNG CỦA ĐÈ TÀI:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2011-2012; 2012-2013; 2013-2014
2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:
Thông qua bài khảo sát chất lượng đầu năm tôi thu được kết quả như sau: Trên trung bình 25%
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp Vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự
nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình
- Kiến thức co ban nắm chưa chắc
- Khả năng tưởng tượng tư duy lôgíc còn hạn chế
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khó
không chỉ đói với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thức tới các em Nhiều em hồng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên
chưa xác định được động cơ học tập, chưa thay được ứng dụng to lớn của môn
hình học trong đời sống
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp giáo viên nên có biện pháp giúp
đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của
tiết học, học sinh khá không nhàm chán
Trang 6III: GIAI QUYET VAN DE:
Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó đề giải các bài toán quỹ tích , học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất Vì vậy học
sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh Đề các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài bài toán
quỹ tích sử dụng phép phép biến hình để giải trong chương L hình học lớp 11
1 Phép tinh tiến :
Định nghĩa : M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ
v_ khi và chỉ khi AZM'=y
Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra được vectơ v cô định, xét
phép tịnh tiến 7, điểm M' cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M
Biết M chạy trên đường (C) thì M° chạy trên đường (C') là ảnh
của (C) qua phép 7 .Vậy quỹ tích điểm MF là đường (C’)
Bai toan 1:
Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên dường tròn do Tìm quỹ tích trực tâm HÏ của tam giác 4BC'
Hướng dân : ` Nhìn nhận được vấn đề là điểm H “liên quan” với điểm A qua phép tịnh tiễn với vécfơ nào?
- Nếu BC là đường kính thì trực tâm H của
tam giác ABC chính là A Vậy H nằm trên
đường tròn (O;R)
- Nếu BC không là đường kính , vẽ đường
kính BB' của đường tròn Ta có :
AH = BC (Do tứ giác AHCB' là hình bình
hành )
Trang 76
mà Z'€ cố định Vậy 7, biến A thành H
Do đó A chạy trên đường tròn (O;R) © H chạy trên đường tròn (O”; R) ,
O’ duoc xac dinh : OO'=B'C
Kết luận : Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O° bán kính R là ảnh của đường
tròn (O;R) qua phép tịnh tiền theo vectơ BC
Bài toán 2 :
Cho đường tròn (O,R) và mội diém M chạy trên đường tròn đó, cho một
đoạn AB có A,B không nằm trên đường tròn đó Tìm quỹ tích các điểm M' là
dinh thir tu cua hinh binh hanh ABMM’
Huong dan : Huong cho hoc sinh tim thay M co moi quan hé voi diém
nao?
Ta có tứ giác ABMM' là hình
bình hành nên : A⁄⁄'= 84 , ma BA
có định Vậy phép TS: biến M
thành M'” Do đó M chạy trên
đường tròn (O:R) © M' chạy trên
đường tròn (O°;R) O° được xác
dinh: OO'=B4
Kết luận : Quỹ tích điểm M' là
đường tròn tâm O”, bán kính R là
ảnh của đường tròn (O;R) qua
phép tịnh tiến theo vectơ BA
Bài tập tự luyện :
1) Cho hình bình hành ABCD có AB có định , đường chéo AC có độ dài
bằng m không đổi Khi C thay đồi tìm quỹ tích điểm D
2) Cho đường tròn tâm O và hai điểm A,B Mot điểm M thay đối trên đường
tròn (O) Tìm quỹ tích điểm M? sao cho :M'+ A4 = MB
Trang 87 3) Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD Cho biết A và B có định
AD=a, DC=b (a,b là hằng số dương) Tìm quỹ tích điểm D và C
4) Cho đường tròn (O:R) có định AB là đường kính có định, MN là đường
kính lưu động Tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt AM AN lân lượt tại P
và Q Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MPQ
5) Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB có định, vẽ tam giác đều CDN
với M,A.B ở cùng phía đối với CD Tìm quỹ tích của D và M biết :
a) Điểm C chạy trên đường thắng d
b) Điểm C chạy trên đường tròn (O:R)
6) Cho hình bình hành ABCD có A có định, B và D lưu động trên đường tron tam O ban kinh R=OA, day BD=—— me
a) Chứng minh trực tâm K của tam giác BCD có đinh
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AB)
e) Tìm quỹ tích điểm C
2.Phép đối xứng truc :
Định nghĩa: M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục d
khi va chi khi d là đường trang trực của MM›ˆ
Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra một đường thắng d cô định
Diém M can tìm quỹ tích là ảnh của điểm M? qua phép Є biết M”
chạy trên đường (C”) thì M chạy trên đường (C) là ảnh của (C”) qua
phép P,
Bài toán 1:
Cho hai điểm B,C cổ định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên
đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC
Hướng dân :
Trang 98
Goi I, H’ theo thứ tự là giao cua tia AH voi
BC va duong tron
Taco:
⁄BAH =⁄HCBE (tương ứng vuông góc)
⁄BAH = ⁄BCH'_ (cùng chắn một cung)
Vậy tam giác CHH' cân tại C, suy ra H và
H đối xứng nhau qua đường thăng BC
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H” cũng
chạy trên đường tròn (O) Do đó H phải chạy
trên đường tròn (O”) là ảnh của đường tròn
(O) qua phép đối xứng qua đường thắng BC
Kết luận : Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O”, bán kính R là ảnh của đường tròn (O:R) qua phép đôi xứng qua đường thăng BC
3.Phép quay và phép đối xứng tâm:
Định nghĩa phép quay: Điễêm M' là ảnh củM qua phép quay
Qwog khi va chi khi OM=OM” va (OM,OM’)=
— As , ˆ é 2 + , As
Định nghĩa phép đổi xứng tâm : M' là ảnh của M qua phép đôi
xứng tâm O khi va chi khi OM + 0M'=0
Phuong phdp tim quf tich : Chi ra mot diém O c6 dinh va mét gdc
lượng giác 4 không đôi Điểm M can tìm quỹ tích là ảnh của diém M’ qua phép Q(0,4), biết M” chạy trên đường (ø) thì M chạy trên đường (ø') là ảnh của (ø) qua phép@(@.4)_ Phép đối xứng tâm là trường hợp
đặc biệt của phép quay với góc quay là 1800
Bài toán 1:
Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC'
Hướng dân :
Trang 109 Gọi I là trung điểm của BC vẽ đường kính AM của đường tròn, rồi chứng minh I là trung điểm của HM Ta di tim quỹ tích của điểm H dựa vào phép đối xứng tâm Ï
Bài toán 2 :
Xác định ÀÁ4` sao cho MM'= M4+ MB Tìm quỹ tích điểm M' khi À4 chạy trén (O;R)
Huong dan:
Goi I 1a trung diém AB
thi I c6 dinh va
MA+ MB = 2M
Do vay :
MAT = d+ MB
© MM'=2A/I tức là
MM' nhận I làm trung
điểm hay phép Đị biến M
thành M'
Kết luận : Vậy khi M chạy trên đường tròn (O;R) thì quỹ tích điểm M? là đường
tròn (O°.R) là ảnh của đường tròn (O:R) qua phép Đ¡ O°được xác định Ø7 = 7Ø
Bài toán 3 :
Cho mửa đường tròn tâm O đường kính BC Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF' Tìm quỹ tích điểm E
Hướng dân :
Xem E là ảnh của A qua phép quay Q(B.909) Khi A chạy trên nửa đường tròn (O), thì E chạy trên nửa đường tròn (Oˆ) là ảnh của (O) qua phép Q(B.909) Bài toán 4:
Trang 1110 Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đồi trên đường
tròn(O) Gọi M¡ là điểm đối xứng của M qua A, Ma là điểm đối xứng của Mị
qua B, M: là điểm đối xứng của Ma qua C Tìm quỹ tích của điểm Ms
Hướng dân :
Gọi D là trung điểm của
MM: thì ABCD là hình bình
hành Do đó điểm D cố định
Phép đối xứng qua điểm D biến
M thành M¡
Do đó Quỹ tích điểm M: là ảnh
của đường tròn (O) qua phép
đối xứng tâm D
Bài tập tự luyện :
1) Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường tròn đó Với mỗi điểm A thay đồi trên đường tròn dựng hình vuông ABCD có tâm I
a) Tìm quỹ tích điểm C
b) Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D
e) Khi I trùng với O có nhận xét gì về ba quỹ tích nói trên
2) Cho đường thăng a và một điểm G không nằm trên a Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm G Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a
3) Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đối trên (O) Gọi MỊI là điểm đối xứng của M qua A M; là điểm đối xứng của M¡ qua B, M3 la điểm đối xứng của của M; qua C Tìm quỹ tích điểm Ma
4.Phép vi tư :