Tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt

Định nghĩa 2.1. Giả sửulà một hàm số xác định trên tập mởΩ∈RN. u

được gọi làhàm Lipschitz(hayhàm liên tục Lipschitz) trên lân cậnV ⊂Ω

(vớihằng số LipschitzK ≥0) nếu

|u(x)−u(y)| ≤K|x−y| ∀x,y∈V.

Hàm uđược gọi là hàm Lipschitz địa phương (hayliên tục Lipschitz địa phương) trên Ωnếu với mỗi x∈Ωtồn tại lân cận mởUx của xtrong

Ta giả sử rằngH thỏa mãn điều kiện sau H(x,p)→+∞ khi |p| →+∞, (H4) KhiH có dạng H(x,p) =sup a∈A {−f(x,a).p−l(x,a)}, (2.20)

điều kiện đủ để(H4) đúng là tính bị chặn củal cùng với giả thiết

∃r >0 :B(0,r)⊆co f(x,A), ∀x∈ RN. (2.21)

Mệnh đề 2.1. Cho điều kiện (H4). Khi đó mọi nghiệm nhớt dưới u∈

BC(RN) của phương trình (HJ) là liên tục Lipschitz.

Chứng minh. Với x∈RN xét hàm số

ϕ(y) =u(y)−C|y−x|

trong đóC >0 là một hằng số được chọn sau. Do tính bị chặn củaudẫn đến tồn tạiy¯∈RN thỏa mãn

ϕ(y¯) =max

y∈RNϕ(y).

Ta cần phải cóy¯=xvớiC đủ lớn. Nếu không ta có

λu(y¯) +H(y,¯ C y¯−x

|y¯−x|) ≤0, (2.22)

doulà một nghiệm nhớt dưới của (HJ) vày→C|y−x|khả vi tạiy=y¯6=

x. VớiC đủ lớn, thì (2.22) mâu thuẫn với(H4). Do đó vớiC như trên,

u(y)−C|y−x| ≤u(y¯)−C|y¯−x|=u(x), ∀y∈RN.

Một điều kiện khác trênH đảm bảo tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt đó là ∃C >0 :H(x,C x−y |x−y|)−H(y,C x−y |x−y|)≥ −C|x−y|, ∀x,y∈R N. (H5) Với H có dạng (2.20), điều kiện H5 đúng với C ≥M/(1−L), trong đó

f,l thỏa mãn

(f(x,a)− f(y,a)).(x−y) ≤L|x−y|2, L≥1,

|l(x,a)−l(y,a)| ≤M|x−y|, ∀x,y,a.

Mệnh đề 2.2. Cho các điều kiện(H1),(H3),(H5),λ >1vàu∈UC(RN) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ). Khi đó

|u(x)−u(y)| ≤C|x−y|.

Chứng minh. Dễ thấy rằng v(x,y) = u(x)−u(y) là nghiệm nhớt của phương trình λv(x,y) +Hb(x,y,Dxv(x,y),Dyv(x,y)) =0 trong R2N, trong đóHˆ(x,y,p,q):=H(x,p)−H(y,−q). Mặt khác,ω(x,y):=C|x−y| thỏa mãn λ ω(x,y) +Hb(x,y,Dxω(x,y),Dyω(x,y))−g(x,y) =0 trong R2N, với g(x,y) =C|x−y|+H(x,C x−y |x−y|) −H(y,C x−y |x−y|). Từg≥0bởi(H5)vàv,ω ∈UC(R2N)vàHbthỏa mãn(H1),(H3), áp dụng kết quả về sự so sánh nghiệm trong Nhận xét 2.3 ta cóv<ω trong R2N , vậy mệnh đề được chứng minh.

Bây giờ ta nêu một cách ngắn gọn một số tính chất khả vi của hàm liên tục Lipschitz địa phương. Theo định lý Rademacher, mọi hàm liên tục Lipschitz địa phương khả vi hầu khắp nơi với gradient bị chặn địa phương. Do đó, nếu u ∈ Liploc(Ω) (tập các hàm liên tục Lipschitz địa phương trongΩ), thì tập hợp D∗u(x) = p∈RN : p= lim n→+∞ Du(xn),xn →x

là tập không rỗng và đóng với mọi x∈Ω. Ký hiệu coD∗u là bao lồi của nó. Một kết quả khá nổi tiếng trong giải tích không trơn đó là đó là

coD∗u(x) =∂u(x), ∀x∈ Ω, (2.23) trong đó∂u(x)làgradient tổngquát haygradient Clarkecủautạixđược xác định bởi

∂u(x):=p∈RN :u0(x;p)≥ p.q, ∀q∈RN

=p∈RN :u0(x;p)≤ p.q, ∀q∈RN .

Với u0(x;p) và u0(x;p) là các đạo hàm theo hướng tổng quát được xác định bởi u0(x;q):= lim sup y→x,t→0+ u(y+tq)−u(y) t u0(x;q):= lim inf y→x,t→0+ u(y+tq)−u(y) t .

Một khái niệm liên quan nữa đó làđạo hàm Dini theo hướng, cụ thể là

∂+u(x;q):=lim sup t→0+ u(x+tq)−u(x) t ∂−u(x;q):=lim inf t→0+ u(x+tq)−u(x) t

Từ những định nghĩa trên ta thấy rằng

u0(x;q)≤∂−u(x,q)≤∂+u(x,q) ≤u0(x;q), ∀x∈ Ω,q∈RN, (2.24) và điều này có nghĩa là vớiu∈ Liploc(Ω),

D−u(x)∪D+u(x)⊆∂u(x), ∀x∈Ω. (2.25) Cũng thấy rằngD+u(x),D−u(x) là các tập bi chặn.

Kết quả tiếp theo là vể sự tồn tại của đạo hàm theo hướng cổ điển (một phía) của các hàm liên tục Lipschitz địa phương, đó là

∂u

∂q(x):=∂u(x,q) :=t→lim0+

u(x+tq)−u(x)

t , |q|=1.

Mệnh đề 2.3. Chou∈Liploc(Ω). Khi đó, với mọiqmà |q|=1, tồn tại

∂u

∂q(x) = p∈minD+u(x)p·q=u0(x;q) (2.26) tại mọix∈Ωmà D+u(x) =∂u(x,q).

Chứng minh. Cho p∈D+u(x) và|q|=1. Khi đó

u(x+tq)−u(x)−t p.q≤o(|t|), vớit đủ nhỏ. Ta có p.q≥ u(x+tq)−u(x) t − o(t) t , vớit >0 nhỏ. Từ đó suy ra inf p∈D+u(x)p·q≥∂+u(x,q). Kết hợp với ( 2.24) ta được u0(x;q) ≤∂−u(x;q)≤∂+u(x;q)≤ inf p∈D+u(x)p·q.

Mặt khác ta cũng có

u0(x;q) = min

p∈∂u(x)p·q;

vậy (2.26) đúng nếuxthỏa mãn D+u(x) =∂u(x,q).

Mệnh đề trên cho phép ta chứng minh một biến thề rất hữu ích của Mệnh đề 1.10 đối với các bán vi phân và đạo hàm theo hướng của hàm biênuđược xác định bởi

u(x):= inf

b∈Bg(x,b).

Mệnh đề 2.4. Giả sử B là tập compact , g liên tục trên Ω×B, khả vi đối với x với Dxg liên tục trên Ω×B. Khi đó u∈ Liploc(Ω), D+u(x) =

∂u(x,q)với mọixvà kết luận của Mệnh đề 1.10 vẫn đúng.

Chứng minh. Từ giả thiết thìx7→g(x,b) là Lipschitz địa phương đối với

b∈ B, suy ra u∈ Liploc(Ω). Tiếp theo ta chứng minh rằng D+u(x) =

coY(x) trong đó

Y(x) ={Dxg(x,b):b∈M(x)} và M(x) ={b∈B:u(x) =g(x,b)}

Theo Bổ đề 1.5 thì D+u(x)⊆coY(x). Mặt khác, do (2.23) và (2.25) nên

D∗u(x)⊆Y(x).

Cho p ∈ D∗u(x) và lấy xn →x thỏa mãn Du(xn) → p. Khi đó lấy

bn ∈ M(xn), không mất tính tổng quát ta giả sử rằng bn → b¯ ∈ B. Từ

g(xn,bn) ≤g(xn,b) với mọi n∈ Nvà b∈B, từ tính liên tục củag ta kết luận được rằng b¯ ∈ M(x). Theo tính khả vi của u tại xn và Bổ đề 1.5, ta cóDu(xn) = Dxg(xn,bn). Cho n→+∞, ta được p=Dxg(x,b¯); tức là

p∈Y(x). Sự tồn tại đạo hàm theo hướng và công thức

∂u

∂q(x) =ymin∈Y(x)y·q, ∀qmà |q|=1 (2.27) được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.3. Ta cần chứng minh rằngD−u(x) =

{y}khiY(x)là tập một điểm{y}. Thấy rằng trong trường hợp này ( 2.27) trở thành ∂u(x;q) = y·q với mọi q, điều đó cho thấy y∈ D−u(x) hay

{y} ⊆D−u(x). Chiều ngược lại được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 1.5.