Định nghĩa 2.2. Ta nói rằng hàmu:Ω→Rlàhàm nửa lõmtrên tập lồi đóngΩnếu có một hằng sốC≥0thỏa mãn
µu(x) + (1−µ)u(y)≤u(µx+ (1−µ)y) +1
2Cµ(1−µ)|x−y|2 (2.28) với mọix,y∈Ωvà µ ∈[0,1]
Điều này đẫn đến tính lõm của hàm x7→u(x)−21C|x|2. Nếu u liên tục thì ta có một điều kiện tương đương với (2.28) đó là
u(x+h)−2u(x) +u(x−h)≤C|h|2, (2.29) với mọix∈Ωvàh∈RN, với|h|đủ nhỏ. Tất nhiên hàm lõm là hàm nửa lõm. Một lớp các hàm nửa lõm không tầm thường đó là lớp các hàm khả vi liên tục với gradient Lipschitz địa phương. Một lớp các hàm nửa lõm không khả vi đó là các hàm u(x) = infb∈Bg(x,b) với x7→ g(x,b) thỏa mãn (2.28).
Ví dụ 2.1. ChoS⊆RN,S6=∅,
d(x) =dist(x,S) =inf
Khi đód2 là hàm nửa lõm trong RN vìx7→ |x−s|2 thuộcC∞ với các đạo hàm cấp 2 là hằng số. Mặt khác , bản thând cũng là hàm nửa lõm trong mọi tập compact có khoảng cách dương đối với S, bởi vì x7→ |x−s| có đọa hàm cấp 2 bị chăn trong tập như vậy.
Những tính chất chính hàm nửa lõm sẽ được trình bày trong Mệnh đề 2.5 và Mệnh đề 2.6 sau đây.
Mệnh đề 2.5. Cho hàm u là hàm nửa lõm trongΩ. Khi đó u là liên tục Lipschitz địa phương trongΩ
Chứng minh. Với x∈Ωvà với mọihthỏa mãn x+h∈Ω,
u(x+h)−u(x) =ψ(x+h)−ψ(x) +Cx·h+C
2 |h|2,
trong đóψ(x) =u(x)−C2 |x|2 là hàm lõm và do đó liên tục Lipschitz địa phương. vậy mệnh đề được chứng minh xong.
Trong 2.2.1 ta biết rằng D+u(x) ⊆∂u(x) = coD∗u(x) với mọi u ∈
Liploc(Ω). Nếu thêm giả thiết u là hàm bán lõm thì D+u(x) = ∂u(x). Điều này và một số tính chất khả vi khác của các hàm bán lõm được trình bày trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.6. Choulà hàm bán lõm trong Ω. Khi đó với mọix∈Ωthì (a) D+u(x) =∂u(x) =coD∗u(x);
(b) hoặcD−u(x) =∅hoặcu khả vi tạix;
(c) nếuD+u(x) là tập một điểm thìukhả vi tạix; (d) ∂u
∂p(x) =minp∈D+u(x) p·qvới mọi vector đơn vị q.
Mệnh đề 2.7. Choulà một hàm bán lõm và thỏa mãn
trong đóF liên tục. Khi đóulà nghiệm nhớt trên của phương trình
F(x,u(x,Du(x))) =0 trong Ω. (2.31)
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.6 (b), tại mọi điểmx∈Ωhoặc
D−u(x) =∅hoặcD+u(x) =D−u(x) ={Du(x)}.
Trong trường hợp trên thì điều kiện nghiệm nhớt trên được thỏa mãn. Giả sử rằngxlà một điểm mà tại đóukhả vi. Khi đó, tồn tại dãyxn →xthỏa mãnukhả vi tại xn và
F(xn,u(xn),Du(xn))≥0 ∀n (2.32) (có thể lấy xn ≡ x, cho ( 2.30) đúng tại x). Từ u liên tục Lipschitz địa phương , theo định nghĩa củaD∗u(x) ta có
Du(xn)→ p∈D∗u(x) khin→+∞,
tại ít nhất một dãy con. Trong trường hợp này,
D∗u(x) =D+u(x) =D−u(x) ={Du(x)}
do đó, chon→+∞ta được
F(x,u(x),p)≥0 ∀p∈D−u(x) Vậy mệnh đề được chứng minh xong.
Kết quả tiếp theo là về tính nửa lõm của nghiệm nhớt của phương trình (HJ).
Định lý 2.4. Chou∈BC(RN)∩Lip(R)N là một nghiệm nhớt của phương trình
u(x) +H(x,Du(x)) =0, x∈RN, (HJ) với hằng số LipschitzLu. Giả sửH thỏa mãn
|H(x,p)−H(x,q)| ≤ ω|p−q| ∀x,p,q∈RN, (H3) vớiC>0vàL0 >2Lu, H6 xác định bởi
H(x+h,p+Ch)−2H(x,q) +H(x−h,p−Ch)≥ −C|h|2 (H6) đúng với mọix,h∈RN,p∈B(0,L0). Khi đóulà hàm nửa lõm trên RN.
Một cách rất thuận tiện để xấp xỉ nửa lõm của một hàm cho trước là dựa vào phép chập-inf, đây là một công cụ rất cơ bản trong giải tích lồi
và giải tích không trơn. ChoΩlà một tập con củaRN vàulà một hàm bị chặn. Với mọiε >0, đặt uε :=in f u(y)− 1 2ε |x−y|2 :y∈Ω (2.33)
hàmuε được gọi là ε chập-inf củau. Tương tự,
uε :=sup u(y)− 1 2ε |x−y|2 :y∈Ω (2.34) làε chập-sup củau.
Bổ đề 2.1. Chouliên tục bị chặn trongΩ. Khi đó (a) uε vàuε là nửa lõm trongΩ;
(b) uε %u,uε &u,khiε →0+, hội tụ đều địa phương trongΩ;
Từ Bổ đề 2.1 (c) vớiε >0đủ nhỏ ta có thể đặt Mε(x):=arg min y∈Ω n u(y) +|x−y|2/2ε o , Mε(x):=arg max y∈Ω n u(y)− |x−y|2/2ε o . Bổ đề 2.2. Chou∈C(Ω)là hàm bị chặn,x∈Ωvàε<d2(x,∂Ω)/(4kuk∞). Khi đó, hoặcD−uε(x) =∅hoặcD−uε(x) ={(x−y)/ε}, trong đó{yε}=
Mε(x) (tương ứng, hoặc D+uε(x) = ∅ hoặc D+uε(x) ={−(x−y)/ε}, trong đó{yε}=Mε(x)). Hơn nữa, với mọiyε ∈Mε(x)(tương ứng,Mε(x)), (i) |x−yε| ≤2√
εkuk1∞/2
(ii) |x−yε|2/ε →0, khi ε →0+, trên các tập con compact củaΩ; (iii) (x−yε)/ε ∈D−(y)(tương ứng −(x−yε)/ε ∈D+(y)).
Các Bổ đề 2.1 và 2.2 cho thấy rằng nghiệm nhớt liên tục của phương trình (HJ) có một xấp xỉ đều từ hai phía bởi nghiệm nhớt liên tục Lips- chitz địa phương của phương trình xấp xỉ. Chính xác hơn, ta có
Mệnh đề 2.8. Giả sửH thỏa mãn
|H(x,p)−H(y,p)| ≤ ω1(|x−y|(1+|p|)), (H1) với x,y∈ Ω,p∈ RN, trong đó ω1 là một modul. Nếu u ∈C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của (HJ) trong Ω, thì uε ∈ Liploc(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phương trình
λuε(x) +H(x,Duε(x)) =ρε(x) trong Ωε, (HJε) với Ωε = n x∈Ω:d(x,∂Ω)>2√ εkuk1∞/2o
KẾT LUẬN
Trong quá trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em đã bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó, em có nét hình dung đầu tiên về toán học hiện đại, chuyên ngành đạo hàm riêng, đồng thời thấy được sự phong phú, lý thú của toán học. Đặc biệt trong khoá luận này em đã nghiên cứu một cách khái quát về nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamilton-Jacobi, có thể xem như là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamilton-Jacobi nói riêng và phương trình đạo hàm riêng nói chung. Đó chính là thành công của đề tài.
Như vậy có thể nói đề tài đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt ra. Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích, các thầy cô trong khoa Toán.
Mặc dù em có nhiều cố gắng, song do nhiều hạn chế về thời gian và kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong các thầy cô cùng các bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt hơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Liêm,Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 1997 .
[2] Trần Đức Vân,Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 .
[B] Tài liệu tiếng Anh
[3] Martino Bardi, Italo Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Benllmam Equations,