Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THÙY DUNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỄU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌ

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỄU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ THÙY DUNG

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỄU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS Trần Văn Tuấn

HÀ NỘI – 2018

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn Tuấn đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã chỉ dẫn em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài khóa luận này.

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của Thạc sĩ Trần Văn Tuấn.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo ở cuối khóa luận.

Em xin khẳng định kết quả của đề tài Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy Dung

Mở đầu iv

1 Kiến thức chuẩn bị 21.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều 21.2 Tích vô hướng của hai véc tơ 61.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy và nguyên lý

điểm bất động 81.4 Khái quát về hệ phương trình vi phân 111.4.1 Hệ phương trình vi phân 111.4.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với

phương trình 131.4.3 Các trường hợp đặc biệt của phương trình 141.4.4 Bổ đề Gronwall 20

2 Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phândưới tác dụng của nhiễu 222.1 Khái niệm tính ổn định 222.2 Tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính 272.3 Tính ổn định của phương trình vi phân bị nhiễu 33

2.4 Hàm kỹ thuật Lyapunov 40

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Có rất nhiều bài toán xuất phát từ thực tế, chẳng hạn, ta muốn khảosát sự biến động của hệ sinh thái, hệ động lực học hay khảo sát sự ổnđịnh của mật độ dân cư, Các nhà khoa học, kĩ sư thường quan tâmđến sự tác động của ngoại cảnh ảnh hưởng thế nào đến quá trình vậnđộng tiếp theo của hệ Để khảo sát sự ổn định của quá trình đó người

ta thường mô hình hóa toán học vào các hệ đó Trong thực tế, người tamong muốn dưới tác động nhỏ của ngoại lực thì trạng thái cân bằng của

hệ vẫn ổn định Do đó lý thuyết ổn định được hình thành, phát triểnmột cách sâu rộng, mạnh mẽ và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vựckhác nhau như: khoa học kỹ thuật, kinh tế, sinh học,

Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng trong lý thuyết định tínhphương trình vi phân Ngày nay, lý thuyết ổn định đã được nghiên cứumột cách hệ thống, đạt được nhiều thành tựu và được trình bày trongnhiều tài liệu chuyên khảo [1, 4, 5] Với mục đích tìm hiểu lý thuyết

ổn định đối với phương trình vi phân tôi chọn đề tài: “Tính ổn địnhcủa nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng củanhiễu” dưới sự hướng dẫn của thầy Trần Văn Tuấn để thực hiện khóaluận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

a) Tìm hiểu phương trình vi phân thường; Bài toán Cauchy đối với

phương trình vi phân; Lý thuyết ổn định đối với phương trình viphân tuyến tính hoặc phi tuyến.

b) Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để kiểm tra tính ổn định củanghiệm dừng của các phương trình bị nhiễu

3 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến Các phương pháp đểkiểm tra tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân bịnhiễu

4 Phạm vi nghiên cứu

a) Phương trình vi phân và tính ổn định của nghiệm dừng

b) Phương trình vi phân bị nhiễu và tính ổn định của nghiệm dừngcủa phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov

5 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích các bài giải minh họa, tíchcực nghiên cứu dưới sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn

6 Cấu trúc đề tài

Khóa luận được trình bày trong hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phândưới tác dụng của nhiễu

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Sinh viên

C[a, b] Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].

Rn Không gian Euclide n chiều,

với x = (x1, x2, , xn) là các phần tử trong Rn,chuẩn Euclide kxk =

spec(A) Phổ của A (tập các giá trị riêng của A)

1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều

Kí hiệu Rn là không gian véc tơ thực n chiều Các phần tử của nó là cácvéc tơ n chiều có dạng x = (x1, x2, , xn) Đôi khi ta cũng viết véc tơ

x dưới dạng một ma trận cột Các số thực x1, x2, , xn được gọi là tọa

độ của véc tơ x Phép cộng véc tơ được xác định bằng phép cộng cáctọa độ, phép nhân véc tơ với một số thực cũng được xác định tương tự.Cho trước ma trận cấp n × m (n-dòng, m-cột), khi đó chúng ta thuđược ánh xạ tuyến tính

e

B : Rm → Rn,

cho bởi công thức eBx = Bx, trong đó Bx là kí hiệu của véc tơ cột

trong đó bji là kí hiệu của phần tử ở vị trí giao của dòng thứ i với cộtthứ j của ma trận B, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m Ngược lại, mọi ánh xạtuyến tính Rm → Rn đều có dạng trên

Ma trận chuyển vị B∗ của B là ma trận cấp m × n với các phần tử là

b∗ji = bij, ∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

Đặc biệt, với bất kì ma trận thực A cấp n × n từ một ánh xạ tuyếntính trong không gian Rn vào chính nó thì ma trận A đó được gọi là matrận không suy biến nếu định thức của nó là một hằng số khác 0 Khi

đó tồn tại duy nhất một ma trận nghịch đảo, kí hiệu là A−1 và xác địnhbởi công thức

A × A−1 = A−1 × A = I,trong đó, ta kí hiệu I là ma trận đơn vị cấp n

Định nghĩa 1.1 Một chuẩn trên Rn là ánh xạ k·k : Rn → [0, +∞) thỏamãn các tiên đề sau

(i) kxk ≥ 0, ∀x ∈ Rn

{x ∈ Rn; kx − ak ≤ a}

đóng, tập mở và tính liên tục Theo đó, một tập D ⊂ Rn được gọi là

mở nếu với mọi điểm x0 ∈ D, tồn tại một hình cầu mở tâm x0 và chứatrong D Tập C ⊂ Rn được gọi là đóng nếu mọi dãy điểm trong C hội

tụ và hội tụ tới một điểm trong C Tập K ⊂ Rn gọi là compact nếu mọidãy điểm trong K chứa một dãy con hội tụ tới một điểm trong K Cuốicùng, tập D được gọi là bao ngoài nếu nó chứa vô số hình cầu

Ta có thể thấy rằng sự hội tụ theo chuẩn tương đương với sự hội tụtheo tọa độ

Chính xác hơn, nếu cho một dãy xj ∈ Rn, xj = (xj1, xj2, , xjn),thì

Cho một ma trận thực cấp n × n với các phần tử {aij; 1 ≤ i, j ≤ n},chuẩn của nó là một số thực

Trong không gian véc tơ các ma trận tuyến tính cấp n × n (khônggian tuyến tính n2 chiều Rn2), ánh xạ A → kAk thỏa mãn tất cả các tiên

đề (i) − (iv) trong Định nghĩa 1.1

1.2 Tích vô hướng của hai véc tơ

Cho hai véc tơ

x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) ∈ Rn

Ta định nghĩa rằng tích vô hướng của chúng là một số thực có dạng

(x, y) = (y, x) , ∀x, y ∈ Rn, (1.7)(x, y + z) = (x, y) + (x, z) , (λx, y) = λ (x, y) , ∀x, y, z ∈ Rn, λ ∈ R,

(1.8)(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ R, (x, x) = 0 ⇔ x = 0 (1.9)

Ta thấy rằng hàm k·ke xác định bởi

kxke := (x, x)12 , x ∈ Rn, (1.10)

chính xác là chuẩn trong Không gian véc tơ Rn được trang bị với tích

vô hướng (1.6) và chuẩn (1.10) được gọi là không gian Euclide thực nchiều

Trong không gian Euclide, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm vềtoán tử trực giao, đối xứng và nói chung, chúng ta có thể mở rộng thànhcông một phần lớn của hình học Euclide cổ điển

1.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy và

Một tập X được trang bị cùng với một metric d được gọi là không gianmetric và được kí hiệu là (X, d)

Một không gian metric (X, d) được trang bị một tôpô tự nhiên Thậtvậy, với mọi điểm x0 ∈ X thừa nhận một hệ các lân cận bao gồm cáctập có dạng S(x0, r), trong đó S(x0, r) là hình cầu mở bán kính r tâmtại x0, đó là,

Đẳng thức này cũng có nghĩa là ∀ε > 0, ∃N (ε) ∈ N sao cho

d(xn, x) ≤ ε, ∀m, n ≥ N (ε)

Định nghĩa 1.3 (Định nghĩa không gian Metric đầy) Khônggian metric (X, d) được gọi là đầy nếu mọi dãy cơ bản bất kỳ trong Xhội tụ

Định nghĩa 1.4 (Định nghĩa ánh xạ co) Cho hai không gian metric(X, d1), (Y, d2) Ánh xạ A : (X, d1) → (Y, d2) gọi là ánh xạ co, nếu tồntại số α ∈ [0, 1) sao cho

d2(Ax1, Ax2) ≤ αd1(x1, x2), ∀x1, x2 ∈ X

Định lý 1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co Aánh xạ không gian metric đầy (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động

¯

x duy nhất, nghĩa là ¯x ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯x = ¯x

Chứng minh Lấy một điểm bất kì x0 ∈ X và lập dãy {xn} với xn =

với n ∈ N∗ Từ đó suy ra ∀n, p ∈ N∗ ta có

d (xn+p, xn) ≤ d (xn+p, xn+p−1) + d (xn+p−1, xn+p−2) + + d (xn+1, xn) Hay

Giả sử tồn tại điểm ¯y ∈ X mà A¯y = ¯y Khi đó

Giả sử x(0) = x0 = (x10, x20, , xn0) với xi0(i = 1, 2, , n) đã biết.Khi đó, bài toán đi tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.13),

˙x(t) = f (t, x(t)) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 gọi là bài toán Cauchy.Nhận xét 1.1 Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc n

x(n) = f (t, x, x0, x00, , x(n−1)) (1.14)

Đặt x = x1, x0 = x2, , x(n−1) = xn Khi đó ta có hệ phương trình viphân cấp một sau

x0n = f (t, x1, x2, , xn)

(1.15)

Nếu x = x(t) là nghiệm của phương trình (1.14) thì x1 = x(t), x2 =

x0(t), , xn = x(n−1)(t) là nghiệm của (1.15)

Ngược lại, nếu x1(t), x2(t), , xn(t) là nghiệm của hệ (1.15) thì hàm

x = x1(t) là nghiệm của phương trình (1.14)

1.4.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương

trình

Cho T, r là hai số thực dương Xét phương trình vi phân (1.13), trên trụ

∆ := {(t, x) = (t, x1, , xn) ∈ [0, T ] × Rn :

0 ≤ t ≤ T, |xi − x0i| ≤ r, i = 1, 2, , n}.Định lý 1.2 Giả sử rằng

, M := sup

(t,x)∈∆

kf (t, x)k

Chúng ta có kết quả sau đây về sự tồn tại địa phương

Định lý 1.3 Cho hàm f (t, x) : ∆ → Rn là hàm số liên tục và Lipschitzđịa phương theo x Khi đó với bất kì x0 ∈ Rn hoặc x0 thuộc miền mởtrong Rn thì phương trình (1.13) có duy nhất nghiệm x(t; x0) thỏa mãnđiều kiện x(0) = x0

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy trong lân cận củathời điểm ban đầu t0 = 0 chỉ là sự tồn tại và duy nhất địa phương chúng

ta cần tìm sự tồn tại và duy nhất trên toàn bộ tập xác định Nghĩa là,nếu hai nghiệm x = x(t), y = y(t) của phương trình (1.13) bằng nhautại điểm t0 = 0, thì chúng bằng nhau trên khoảng tồn tại chung.

Định lí tiếp theo cho ta biết về định lí duy nhất địa phương

Định lý 1.4 Giả sử f : Ω → Rn thỏa mãn các điều đã giả sử ở định lí(1.3) Nếu x, y là hai nghiệm của (1.13) lần lượt xác định trên khoảng

mở I, J và nếu x(0) = y(0), thì x(t) = y(t), ∀t ∈ I ∩ J

Chứng minh Cho (0, t1) = I ∩ J Ta sẽ chứng minh x(t) = y(t), ∀t ∈[0, t1) Cho

T := τ ∈ [0, t1) : x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, τ ]Thì T 6= ∅ và đặt T∗ := supT Ta cần chứng minh T∗ = t1

Giả sử T∗ < t1 thì x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, T∗], mà x(t), y(t) cùng lànghiệm của phương trình (1.13), ta suy ra từ định lý 1.2 rằng tồn tai

ε > 0 sao cho x(t) = y(t), ∀t ∈ [T∗, T∗ + ε] Điều đó mâu thuẫn giả sử

T∗ := supT suy ra T∗ = t1

1.4.3 Các trường hợp đặc biệt của phương trình

Trong mục này, chúng tôi dẫn ra minh hoạ cụ thể các kết quả phần trướccho một số lớp phương trình vi phân có cấu trúc đặc biệt

A Phương trình tuyến tính thuần nhất

Trước tiên, chúng ta sẽ khảo sát phương trình vi phân thuần nhất códạng sau

˙x(t) = A(t)x(t), t ∈ I, (1.16)

Định nghĩa 1.6 Giả sử {X1, , Xn} là hệ gồm n nghiệm độc lậptuyến tính của phương trình (1.16) Khi đó, ma trận vuông X(t) có cáccột X1, , Xn gọi là một ma trận cơ bản của phương trình (1.16).Theo định nghĩa, ta thấy X(t) là một nghiệm của phương trình viphân

˙X(t) = A(t)X(t), t ∈ I, (1.17)

hơn nữa ma trận nghiệm cơ bản X(t) là không duy nhất Có thể kiểmtra được ma trận nghiệm cơ bản Y (t) bất kì có dạng Y (t) = X(t)C,trong đó C là ma trận hằng cấp n × n cũng là nghiệm của (1.17)

Hệ quả 1.1 Cho X(t) là một ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.16) thìmọi nghiệm x(t) bất kì của bài toán Cauchy (1.16) thoả mãn điều kiệnđầu x(0) = x0 có biểu diễn dạng

x(t) = X(t)X(0)−1x0, t ∈ I (1.18)

B Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Ta xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng sau

˙x = A(t)x(t) + b(t), t ∈ I, (1.19)A(t) =



aij(t)



là ma trận cấp n×n với các phần tử là các hàm phụ thuộcvào biến t Ta biết rằng, tập các nghiệm phương trình vi phân thuần nhất

cấp n lập thành không gian véc tơ n chiều Từ đây và Nguyên lí chồngchất nghiệm cho phép ta biểu diễn nghiệm của phương trình vi phânkhông thuần nhất qua nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

và một nghiệm riêng của nó

Định lý 1.5 Cho X(t) là một ma trận nghiệm cơ bản của phương trìnhthuần nhất (1.16) và x (t) là một nghiệm cho trước của phương trình∼không thuần nhất (1.19) Khi đó nghiệm tổng quát x(t) của hệ (1.19)thỏa mãn với điều kiện ban đầu là x(0) = x0 có dạng

x (t) = X (t) X (0)−1x0 +∼x (t) , t ∈ I, (1.20)Chứng minh Công thức (1.20) viết lại thành

x (t) = X (t) c + ∼x (t) , t ∈ I, với c = X (0)−1x0

Hiển nhiên, hàm x(t) bất kỳ có dạng (1.20) là một nghiệm của (1.19).Bây giờ ta đi chứng minh mọi nghiệm có dạng (1.20) Cho y(t) là mộtnghiệm tùy ý của hệ (1.19) xác định bởi điều kiện ban đầu y (0) = y0,trong đó y0 ∈ Rn Xét hệ tuyến tính đại số

X (0) c = y0 −∼x (0)

Khi đó det X (0) 6= 0, hệ ở trên có một nghiệm duy nhất c0 Thì hàm

X (t) c0 +∼x (t) có giá trị y0 tại thời điểm ban đầu t0 = 0 Theo định lýtồn tại và duy nhất thì

Nói cách khác, nghiệm y(t) tùy ý có dạng (1.20)

Định lý 1.6 (Công thức biến thiên hằng số) Cho X(t) là một ma trậnnghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (1.16) thì nghiệm tổng quátx(t) của phương trình không thuần nhất (1.19) thỏa mãn điều kiện banđầu là x(0) = x0 có dạng

x (t) = X (t) X (0)−1x0 +

Z t 0

X (t) X(s)−1b (s) ds, t ∈I, (1.21)Chứng minh Từ (1.20) công thức nghiệm tổng quát của (1.19) có dạng

x (t) = X (t) X (0)−1x0 +x (t) , t ∈ I,∼Bây giờ ta đi tìm công thức nghiệm ∼x (t) của (1.19) có dạng

˙γ (t) = X(t)−1b (t) , ∀t ∈ I,

và do đó γ(t) có dạng

γ (t) =

Z t 0

X(s)−1b (s) ds, t ∈ I, (1.23)

Từ đây ta thu được điều phải chứng minh

Trong lý thuyết phương trình vi phân nói chung, các hệ điều khiểnnói riêng ma trận U (t, s) = X (t) X(s)−1, s, t ∈ I thường được gọi là matrận chuyển

C Phương trình vi phân thuần nhất với hệ số hằng

Ta sẽ nghiên cứu phương trình vi phân sau

˙x = Ax, t ≥ 0, (1.24)

trong đó A = (aij)1≤i,j≤n là một ma trận thực hằng cấp n × n Theohướng nghiên cứu bài toán Cauchy, ta tìm ma trận nghiệm cơ bản S(t)của (1.24) mà thoả mãn điều kiện S(0) = I, trong đó I là ma trận đơnvị

là ma trận cơ bản của phương trình (1.24) và do đó hàm x(t) = S(t)x0 lànghiệm duy nhất của phương trình (1.24) với điều kiện ban đầu x(0) =

x0

Chứng minh Công thức (1.25) hoàn toàn xác định vì

∞

X

k=0

(tkAk)kk!

và chuỗi bên phải hội tụ Đồng thời

ddt

(tA)kk! =

(tA)k−1(k − 1)!, ∀k ≥ 1

Nên có thể lấy đạo hàm hai vế của (1.25) và

(hA)nn!h + −

Ih



= S(t)A

Tương tự ta cũng có d

dtS(t) = S(t)A Từ đây với chú ý là xem định

lý Liouville( xem [5, Theorem 3.4])

trình vi phân với hệ số hằng không thuần nhất có dạng

x(t) = S(t)x0 +

Z t 0

S(t − s)b(s)ds, ∀t ∈ R, (1.26)với nghiệm x(t) của hệ (1.24) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0

Để kết thúc mục này chúng tôi dẫn ra một số tích chất quan trọngcủa ma trận S(t)

x(t) 6 ϕ(t) +

Z t a

ψ(s)x(s)ds, t ∈ [a, b]

trong đó ψ(t) > 0, ∀t ∈ [a, b] Khi đó

x(t) 6 ϕ(t) +

Z t a

(ϕ(s)ψ(s) exp(

Z t s

(ϕ(τ ))dτ )ds

Trường hợp đặc biệt, nếu ϕ ≡ C thì

x(t) 6 C exp(

Z t a

(ψ(s))ds)ds, ∀t ∈ [a, b]

Chứng minh Đặt y(t) =

Z t a

(ψ(s)x(s)ds thì ˙y(t) = ψ(t)x(t) và

x(t) 6 ϕ(t) +

Z t a

Nhân hai vế của bất phương trình với exp(−

Z t a

(ψ(s))ds để có

d

dt(y(t)exp(−

Z t a

(ψ(s))ds) ≤ ψ(t)ϕ(t)exp(−

Z t a

(ψ(s))ds)

Kết hợp lại ta có

y(t) ≤

Z t a

(ϕ(s)ψ(s)exp(

Z t s

(ϕ(τ ))dτ )ds

Do x(t) ≤ ϕ(t) + y(t) nên ta có

x(t) ≤ ϕ(t) + y(t) ≤ x(t) 6 ϕ(t) +

Z t a

(ϕ(s)ψ(s)exp(

Z t s

(ϕ(τ ))dτ )ds.Nên ta có điều phải chứng minh

Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu

Trong chương này chúng tôi giới thiệu về khái niệm tính ổn định (ổnđịnh đều, ổn định tiệm cận), tính ổn định (ổn định đều, ổn định tiệmcận) của phương trình vi phân và phương trình vi phân dưới tác dụngcủa nhiễu Các phương pháp để kiểm tra tính ổn định

hàm liên tục trong (t, x) và Lipschitz địa phương theo biến x.

Dưới giả thiết trên bài toán Cauchy (2.1) tồn tại và duy nhất nghiệmx(t; x0) xác định trên một khoảng cực đại [0, T ) Giả sử ϕ(t) là mộtnghiệm của bài toán (2.1) xác định trên toàn bộ bán trục [0, ∞)

Định nghĩa 2.1 Nghiệm ϕ(t) được gọi là ổn định nếu và chỉ nếu, vớimọi ε > 0 bất kì, tồn tại a > 0 và δ(ε) > 0 sao cho, với mọi x0 bất kìthỏa mãn kx0k < a, kx0 − ϕ(0)k < δ(ε) và các điều kiện sau

i) Nghiệm x(t; x0) được xác định trên [0, ∞)

ii) kx(t; x0) − ϕ(t)k ≤ ε, ∀t ≥ 0

Nghiệm ϕ(t) được gọi là ổn định đều nếu δ(ε) được chọn ở trên khôngphụ thuộc vào thời điểm ban đầu t0 = 0

Định nghĩa 2.2 Nghiệm ϕ(t) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là

ổn định và tồn tại một µ(0) > 0 sao cho

lim

t→∞kx(t; x0) − ϕ(t)k = 0, (2.2)

và với mọi x0 bất kì sao cho kx0 − ϕ(0)k ≤ µ(0)

Nghiệm ϕ(t) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó là ổn địnhđều và tồn tại một µ0 > 0 không phụ thuộc vào t0 = 0, sao cho, nếu