Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THÙY DUNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỄU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THÙY DUNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỄU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS Trần Văn Tuấn HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn để em hồn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dẫn em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài khóa luận Em xin cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy Dung LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình Thạc sĩ Trần Văn Tuấn Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo cuối khóa luận Em xin khẳng định kết đề tài Tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân tác dụng nhiễu khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy Dung Mục lục Mở đầu iv Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều 1.2 Tích vơ hướng hai véc tơ 1.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy nguyên lý điểm bất động 1.4 Khái quát hệ phương trình vi phân 11 1.4.1 Hệ phương trình vi phân 11 1.4.2 Định lý tồn nghiệm phương trình 13 1.4.3 Các trường hợp đặc biệt phương trình 14 1.4.4 Bổ đề Gronwall 20 Tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân tác dụng nhiễu 22 2.1 Khái niệm tính ổn định 22 2.2 Tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính 27 2.3 Tính ổn định phương trình vi phân bị nhiễu 33 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4 NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Hàm kỹ thuật Lyapunov 40 Kết luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Lời mở đầu Lý chọn đề tài Có nhiều tốn xuất phát từ thực tế, chẳng hạn, ta muốn khảo sát biến động hệ sinh thái, hệ động lực học hay khảo sát ổn định mật độ dân cư, Các nhà khoa học, kĩ sư thường quan tâm đến tác động ngoại cảnh ảnh hưởng đến trình vận động hệ Để khảo sát ổn định trình người ta thường mơ hình hóa tốn học vào hệ Trong thực tế, người ta mong muốn tác động nhỏ ngoại lực trạng thái cân hệ ổn định Do lý thuyết ổn định hình thành, phát triển cách sâu rộng, mạnh mẽ ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: khoa học kỹ thuật, kinh tế, sinh học, Lý thuyết ổn định phần quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Ngày nay, lý thuyết ổn định nghiên cứu cách hệ thống, đạt nhiều thành tựu trình bày nhiều tài liệu chuyên khảo [1, 4, 5] Với mục đích tìm hiểu lý thuyết ổn định phương trình vi phân tơi chọn đề tài: “Tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân tác dụng nhiễu” hướng dẫn thầy Trần Văn Tuấn để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu a) Tìm hiểu phương trình vi phân thường; Bài tốn Cauchy iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG phương trình vi phân; Lý thuyết ổn định phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến b) Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để kiểm tra tính ổn định nghiệm dừng phương trình bị nhiễu Đối tượng nghiên cứu Phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến Các phương pháp để kiểm tra tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân bị nhiễu Phạm vi nghiên cứu a) Phương trình vi phân tính ổn định nghiệm dừng b) Phương trình vi phân bị nhiễu tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích giải minh họa, tích cực nghiên cứu bảo thầy giáo hướng dẫn Cấu trúc đề tài Khóa luận trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân tác dụng nhiễu Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy Dung v Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên R Tập số thực C Tập số phức R+ Tập số thực không âm C[a, b] Tập hàm liên tục đoạn [a, b] Rn Không gian Euclide n chiều, với x = (x1 , x2 , , xn ) phần tử Rn , 1/2 n |xi |2 chuẩn Euclide x = , i=1 Reλ Phần thực λ spec(A) Phổ A (tập giá trị riêng A) x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử Rn |x| Chuẩn phần tử x, Kết thúc chứng minh x21 + · · · + x2n Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm, kết liên quan đến không gian metric, không gian metric đầy, nguyên lý Banach ánh xạ co sử dụng khóa luận, chi tiết tham khảo [1, 5] 1.1 Khơng gian chuẩn hữu hạn chiều Kí hiệu Rn khơng gian véc tơ thực n chiều Các phần tử véc tơ n chiều có dạng x = (x1 , x2 , , xn ) Đôi ta viết véc tơ x dạng ma trận cột Các số thực x1 , x2 , , xn gọi tọa độ véc tơ x Phép cộng véc tơ xác định phép cộng tọa độ, phép nhân véc tơ với số thực xác định tương tự Cho trước ma trận cấp n × m (n-dòng, m-cột), thu ánh xạ tuyến tính B : R m → Rn , Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG mãn tính chất sau ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > 0, cho với ∀r > thỏa mãn ω (r) < δ (2.36) ta có r < ε Định nghĩa 2.5 Hàm số V : Ω → [0, ∞) gọi hàm Lyapunov phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện sau i) Hàm số V C Ω ii) Hàm số V xác định dương V (t, 0) = 0, ∀t > iii) ∂t V (t, x) + (gradx V (t, x), f (t, x)) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ Ω Ở trên, (·, ·) kí hiệu tắc Ơclit tích vơ hướng Rn gradx V građien hàm số x, nghĩa t gradx V := ∂x1 V , , ∂xn V Chú ý Trong thực tế khơng có thuật toán để xây dựng hàm Lyapunov số trường hợp đặc biệt, ta tìm hàm Lyapunov Định lý 2.6 (Ổn định Lyapunov) Xét phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện phần 2.1 a) Nếu phương trình (2.1) nhận hàm số Lyapunov V (t, x), nghiệm tầm thường phương trình ổn định b) Giả sử phương trình (2.1) nhận hàm số Lyapunov V (t, x) cho hàm 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG W (t, x) = ∂t V (t, x) + (gradx V (t, x) , f (t, x)) xác định âm Ω V (t, x) ≤ µ( x ), ∀(t, x) ∈ Ω, (2.37) µ : [0, ∞) → [0, ∞) hàm liên tục Thì nghiệm tầm thường phương trình (2.1) ổn định tiệm cận Chứng minh Đặt x0 ∈ Ω, xét nghiệm x(t; x0 ) nghiệm (2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x (0) = x0 Cho [0, T ) kí hiệu khoảng tồn cực đại phải nghiệm Sử dụng tính chất (iii) hàm Lyapunow, ta kết luận đẳng thức sau d V (t, x (t; x0 )) ≤ 0, ∀t ∈ [0, T ) dt Tích phân hai vế, ta có ω ( x (t; x0 ) ) ≤ V (t, x (t; x0 )) ≤ V (x0 ) , ∀t ∈ [0, T ) (2.38) Sử dụng Nhận xét 2.1 điều kiện V , ta kết luận với ε > tồn r = r (ε) > cho, với x0 thỏa mãn x0 = r (ε), ta ω ( x (t; x0 ) ) ≤ V (x0 ) < δ (ε) , ∀t ∈ [0, T ) , δ (ε) xác định (2.36) Do x (t; x0 ) < ε, ∀t ∈ [0, T ) , ∀ x0 < r (ε) 42 (2.39) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG a Nếu ta chọn ε < , ta kết luận điều kiện ban đầu x0 thỏa mãn x0 < r (ε), nghiệm x(t; x0 ) Ω có khoảng tồn Ở ta thấy T = ∞ Kể từ đó, (2.39), tham số ε > chọn tùy ý, ta kết luận nghiệm tầm thường (2.1) ổn định (b) Bây giả sử tồn hàm tăng λ nghĩa liên tục biến gốc, cho ∂t V (t, x) + (gradx V (t, x) , f (t, x)) ≤ −λ ( x ) , ∀ (t, x) ∈ Ω (2.40) Và, nữa, từ đẳng thức (2.37) Ta kết luận d V (t, x (t; x0 )) + λ ( x (t; x0 ) ) ≤ 0, ∀t ≥ dt (2.41) Tích phân hai vế ta t λ ( x (s; x0 ) ) ds ≤ V (x0 ) , ∀t ≥ V (t, x (t; x0 )) + (2.42) Từ (2.41) (2.42), ta thấy giới hạn = lim V (t, x (t; x0 )) t→0 tồn hữu hạn, hàm số t → λ ( x (t; x0 ) ) khả tích khoảng [0, ∞) Khi đó, tồn dãy tn → ∞ cho lim λ ( x (tn ; x0 ) ) = n→∞ 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Hay x(tn ; x0 ) → Từ (2.37), ta lim V (x (tn ; x0 )) = 0, n→∞ suy = Sử dụng (2.35) (2.36) ta kết luận lim x (t; x0 ) = t→∞ Định lý chứng minh Định lý 2.7 Nếu Ω = (0, ∞) × Rn , hàm số ω (2.35) có tính chất lim ω(r) = ∞, t→∞ (2.43) thì, theo giả thiết tương tự Định lý 2.6 phần b nghiệm tầm thường phương trình (2.1) ổn định tiệm cận toàn Chứng minh Cho x0 ∈ Rn tập C := sup {r ≥ 0; ω(r) ≤ V (x0 )} Từ (2.43), ta thấy C < ∞ (2.38) thấy x (t; x0 ) < ε, ∀t ∈ [0, T ) Điều chứng minh T = ∞ Sử dụng đẳng thức (2.42) ta thấy giống với chứng minh Định lý 2.6 lim x (t; x0 ) = t→∞ 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Hệ vi phân x˙ = f (x) (2.44) Ta tìm hàm Lyapunov độc lập với thời gian Chính xác hơn, f : D = {x ∈ Rn ; x < a ≤ ∞} → Rn Lipschitz địa phương Trong Định nghĩa 2.4, ta xác định hàm Lyapunov D hàm V : D → Rn thỏa mãn điều kiện sau a) V ∈ C (D), V (0) = b) V (x) > 0, ∀x = c) (gradV (x) , f (x)) ≤ 0, ∀x ∈ D Điều kiện (b) hiển nhiên V xác định dương miền có dạng sau D0 := {x ∈ Rn ; x ≤ b < a} Nếu V thỏa mãn (b) V (x) ≥ ω ( x ) , ∀x ∈ D0 , ω : [0, ∞) → [0, ∞) xác định ω (r) :=      inf r≤ x ≤b V (x) , ≤ r ≤ b ω (b) , r>b Dễ dàng thấy ω(r) liên tục, không giảm thỏa mãn (2.34) 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG (2.35) Ta đề cập đến, trường hợp đặc biệt, giả định (2.37) thỏa mãn với µ : [0, ∞) → [0, ∞) cho µ (r) =    sup V (x), ≤ r ≤ b, x b Đinh lý 2.6 2.7 có hệ trực tiếp sau Hệ 2.4 Nếu tồn hàm V thỏa mãn (a), (b), (c), nghiệm tầm thường phương trình (2.44) ổn định Nếu, V thỏa mãn (gradV (x), f (x)) < 0, ∀x ∈ D\{0}, (2.45) nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận Hơn nữa, V lim V (x) = ∞, x →∞ nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận toàn Nhận xét 2.2 Cần nhớ rằng, hàm số V độc lập với thời gian, điều kiện dương (2.35) tương đương với điều kiện V (x) > 0, ∀x = Điều dễ dàng xác minh trường hợp cụ thể Định lý 2.8 (Lyapunov) Phương trình (2.9) với A(t) ≡ A (ma trận hằng) ổn định tiệm cận tồn ma trận P đối xứng, cấp n × n, xác định dương thỏa mãn đẳng thức sau A∗ P + P A = −I, 46 (2.46) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Ở đây, thông thường, ta kí hiệu A∗ ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị Chứng minh Giả sử phương trình (2.46) nhận nghiệm P xác định dương, đối xứng Xét hàm V : Rn → R xác định V (x) = (P x, x) , ∀x ∈ Rn (2.47) Quan sát thấy gradV (x) = P x, ∀x ∈ Rn , ta thấy (2.46) (gradV (x) , Ax) = (A∗ P x, x) + (x, P Ax) = − x e (2.48) Mặt khác, P xác định dương, ta kết luận tồn υ > cho V (x) = υ x x e, ∀x ∈ Rn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2V (x) ≤ P P e = sup x e =1 e x e, ∀x ∈ Rn , P x e Do đó, V hàm Lyapunov cho hệ vi phân x˙ = Ax Do chuẩn Euclidean · e (2.49) tương đương với chuẩn · Ta kết luận hàm x → (gradV (x) , Ax) xác định dương Định lý 2.7 cho thấy nghiệm tầm thường cuả (2.49) ổn định tiệm cận 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Ngược lại, giả sử A ma trận Hurwitz Ta xác định ma trận P đẳng thức ∞ ∗ etA etA dt P := (2.50) Tích phân xác định rõ ma trận thực A∗ Hurwitz, có ma trận đặc trưng trùng với ma trận đặc trưng A Định lý ∗ 2.13, xem [5, Theorem 3.4], cho etA etA phân rã theo cấp số ∗ nhân thành không t → ∞ Chú ý etA = etA ∗ P đối xứng ∞ ∞ tA (P x, x) = tA etA x e x, e x dt = 0 dt, e ∀x ∈ Rn (2.51) Đẳng thức cho thấy P xác định dương Sử dụng (2.50), ta có ∞ ∗ AP = ∞ ∗ tA∗ tA Ae e dt = 0 d tA∗ tA e e dt dt Tích phân phận, ta thấy ∞ ∗ A P = −I − e tA∗ d tA e dt ∞ ∗ etA etA Adt = −I − P A dt = −I − Do P thỏa mãn đẳng thức (2.46) Nhận xét 2.3 Định lý 2.8 phát biểu lại sau Ma trận A Hurwitz phương trình (2.46) nhận nghiệm P xác định dương đối xứng Thấy rằng, P ma trận đối xứng cấp n × n, xác định dương, 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG hàm số (·, ·)p : Rn × Rn → R, (x, y)p = (P x, y) , tích vơ hướng Euclidean Rn Định lý 2.8 cho biết A ma trận Hurwitz tồn tích vơ hướng Euclidean ·, · Rn cho QA (x, y) = Ax, y + x, Ay , xác định âm Xét phương trình vi phân gradient, nghĩa là, phương trình có dạng x˙ + gradf (x) = 0, (2.52) điểm cân cô lập ổn định tiệm cận tối thiểu địa phương hàm số f : Rn → R Chính xác, ta có kết luận sau Định lý 2.9 Cho f : Rn → R hàm C Nếu x0 điểm cô lập quan trọng f cực tiểu địa phương, nghiệm dừng x = x0 nghiệm ổn định phương trình (2.52) Chứng minh Để khơng làm tính tổng qt, ta giả sử x0 = f (0) = Thì tồn số thực r > cho f (x) > 0, gradf (x) = 0, ∀0 < x < r Điều cho thấy hạn chế f vào { x < r} , hàm Lyapunov cho hệ (2.52) hạn chế đĩa 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Ví dụ 2.6 Xét hàm số   x5 sin f : R → R, f (x) =  0, x + , x = 0, x = 0, x F (x) = f (t)dt Chú ý F hàm số C với điểm cực tiểu x = cực tiểu địa phương Hàm số F hàm nghịch f có vơ số điểm quan trọng , n ∈ Z\{0}, − π2 + 2nπ cực tiểu địa phương cực đại địa phương tích lũy gốc tọa độ Nghiệm tầm thường phương trình x˙ + F˙ (x) = 0, ổn định, không ổn định tiệm cận Nhận xét 2.4 Định lý 2.3 cho thấy có phép chứng minh thay dựa phương pháp hàm Lyapunov Thực vậy, ma trận A nhiễu F thỏa mãn giả thiết Định lý 2.3, thì, theo Định lý 2.8, phương trình P ∗ A + AP = −I, nhận nghiệm P dương đối xứng Hàm số V (x) = 21 (P x, x) 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG hàm Lyapunov thay cho phương trình (2.18) Thật vậy, (Ax+F (t, x), gradV (x)) = (Ax+F (t, x), P x) = − ≤− x 2 e + F (t, x)||e P x||e ≤ − x x 2e +(F (t, x), P x) 2 e + CL x Do đó, số L đủ nhỏ, tồn α > cho (Ax + F (t, x), gradV (x)) ≤ −α x Vì vậy, Định lý 2.6 bao hàm tính ổn định nghiệm tầm thường Tiếp theo, đưa số ví dụ minh họa sau Ví dụ 2.7 Xét phương trình dao động khơng ma sát ·· x +g(x) = 0, ε > (2.53) Giả sử xg(x) > x = Đặt x˙ = y (2.56) trở thành   x˙ = y  y˙ = −g(x) x Chọn hàm Lyapunov hàm lượng V (x, y) = y + g(s)ds Ta có V (0, 0) = với ∀(x, y) = 0, V (x, y) > với ∀(x, y) = (0, 0) gradV = (y, g(x)) Nếu ta kí hiệu f phía bên phải hệ suy (gradV, f ) = y y˙ + g(x)x˙ = −yg(x) + yg(x) = 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Do nghiệm tầm thường phương trình (2.53) ổn định (nhưng khơng ổn định tiệm cận) Ví dụ 2.8 Cho hệ vi phân   N˙ α = − (T − T0 )  mC T˙ = −N − N0 , (2.54) mơ hình đơn giản cho hoạt động lò phản ứng hạt nhân, N = N (t) biểu thị độ lớn lò phản ứng thời điểm t T = T (t) nhiệt độ thời điểm t, tuổi thọ neutrons, m khối lượng chất phóng xạ α, C tham số dương Ta kiểm tra tính ổn định nghiệm dừng N = N0 > 0, T = T0 hệ Đổi biến, ta đặt x = ln N , N0 y = T − T0 Bây tốn chuyển sang kiểm tra tính ổn định nghiệm tầm thường hệ sau   x˙ = −µy  y˙ µ = , = ex − αmC > Ta chọn hàm Lyapunov N0 µ V (x, y) = y + 52 x (es − 1)ds (2.55) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG V (0, 0) = với (x, y) = 0, V (x, y) > với (x, y) = (0, 0) Ta có gradV = (µy, ex − 1) Nếu ta kí hiệu f phía bên phải hệ suy (gradV, f ) = µy y˙ + ex x˙ + x˙ = µy(ex − 1) + ex (−µy) − µy = −2µy Nếu y = T − T0 > nghiệm tầm thường hệ ổn định tiệm cận Ví dụ 2.9 Xét phương trình dao động có ma sát với số hạng ma sát εx˙ với ε > ·· · x +ε x +g(x) = 0, ε > (2.56) Giả sử xg(x) > x = Đặt x˙ = y (2.56) trở thành   x˙ = y  y˙ = −εy − g(x) x Ta xét hàm Lyapunov V (x, y) = y + g(s)ds Ta có V (0, 0) = với ∀(x, y) = 0, V (x, y) > với ∀(x, y) = (0, 0) Nếu ta kí hiệu f phía bên tay phải hệ (gradV, f ) = y(−εy − g(x)) + g(x)y = −εy < 0, ∀(x, y) = (0, 0) Vậy nghiệm tầm thường phương trình (2.56) ổn định tiệm cận 53 Kết luận Trên tồn nội dung khố luận đề tài: “Tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân tác dụng nhiễu” Trong khóa luận này, ngồi kiến thức mở đầu, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng phương trình tuyến tính phi tuyến Chúng tơi dẫn chứng minh tiêu chuẩn ổn định phương trình trên, đồng thời đưa ví dụ minh họa Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến Thầy, Cơ bạn để khóa luận đươc đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! 54 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2015 [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, phần 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2003 [3] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2005 [4] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 [B] Tài liệu tiếng Anh [5] V Barbu, Differential Equations, Springer, Cham, 2016 [6] A Halanay, Differential Equations: Stability, Oscillations, Time Logs, Academic Press, 1969 55 ... 20 Tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân tác dụng nhiễu 22 2.1 Khái niệm tính ổn định 22 2.2 Tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính 27 2.3 Tính ổn định phương. .. Chương Tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân tác dụng nhiễu Trong chương giới thiệu khái niệm tính ổn định (ổn định đều, ổn định tiệm cận), tính ổn định (ổn định đều, ổn định tiệm cận) phương. .. nhiễu Phạm vi nghiên cứu a) Phương trình vi phân tính ổn định nghiệm dừng b) Phương trình vi phân bị nhiễu tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov Phương pháp