Nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm biên của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Trong nghiên cứu trước đây đã xét bài toán tìm nghiệm ổn định tiệm cận của hệ phương trình tuyến tính trong trường hợp phổ của toán tử tuyến tính đã cho là ổn định. Bài viết đã xây dựng nghiệm của bài toán biên của hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô-tô-nôm.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 17, Số (2020): 1556-1564 ISSN: 1859-3100 Vol 17, No (2020): 1556-1564 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu* NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM BIÊN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Nguyễn Việt Khoa Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Tác giả liên hệ: Nguyễn Việt Khoa – Email: khoanvi@hcmue.edu.vn Ngày nhận bài: 03-5-2020; ngày nhận sửa: 04-6-2020, ngày chấp nhận đăng: 18-9-2020 * TÓM TẮT Trong nghiên cứu trước đây, xét tốn tìm nghiệm ổn định tiệm cận hệ phương trình tuyến tính trường hợp phổ tốn tử tuyến tính cho ổn định (Nguyen, 2013; Konyaev, & Nguyen, 2014) Trong báo này, xây dựng nghiệm toán biên hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm 𝑥̇ = 𝐴(𝑡)𝑥 + 𝑓(𝑡), (𝑡 ≥ 0) (1) thỏa mãn điều kiện ban đầu ∑𝑚 (2) 𝑗=1 𝐹𝑗 𝑥(𝑡𝑗 ) = 𝛼 với = 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ 𝑡𝑚 = trường hợp phổ tốn tử tuyến tính cho khơng ổn định Thực tế tốn biên với phổ tốn tử tuyến tính cho khơng ổn định tốn khó Từ kết cơng thức nghiệm tìm được, ta áp dụng để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính tương đương với hệ phương trình (1) cho Ngoài ra, cách tiếp cận kết (Nguyen, 2013), giải nghiệm tốn biên có hệ số khuếch tán bị nhiễu 𝜀𝑥̇ = (𝑡𝐴0 + 𝜀𝐴1 (𝑡))𝑥, (𝑡 ≥ 0) thỏa mãn điều kiện ban đầu 𝐹1 𝑥(0) + 𝐹2 𝑥(1) = 𝛼 kết minh họa ví dụ cụ thể Từ khóa: hệ phương trình vi phân tuyến tính; nghiệm biên; hàm ma trận; phổ ma trận; cấu trúc nửa nguyên tố Đặt vấn đề Xét toán (1) – (2) với 𝑥; 𝑓 ∈ 𝑅 𝑛 ; 𝐴(𝑡); 𝑓(𝑡) ∈ 𝐶[0; +∞) 𝐹𝑗 , (𝑗 = 1, … , 𝑚) ma trận Cite this article as: Nguyen Viet Khoa (2020) On the existing conditions of boundary solutions of linear differential equations systems Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 17(9), 1556-1564 1556 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Việt Khoa Khi m  , điều kiện (2) trở thành F1 x  t1    Bài toán (1) - (2) lúc toán Cauchy (Konyaev, & Nguyen, 2014; Nguyen, 2017), tốn tồn nghiệm [0; ) Khi  m  n , nghiệm tốn biên (1), (2) khơng phải lúc tồn Vậy điều kiện để tồn nghiệm toán đoạn hữu hạn [0; t0 ]  R  (với t0  ) Tồn nghiệm toán biên nửa trục [0; ) Định nghĩa 2.1 Ma trận   t  gọi hàm ma trận hệ phương trình tuyến tính (1) tương ứng  f  t   0 ,   t   A  t    t  Định lí 2.2 Nếu tốn (1) - (2) thỏa mãn điều kiện det F  (với F   Fj   t j  ; m j 1   m Fj j  1, m ma trận vuông cấp n thỏa mãn (2),   t     j  t   j  t  hàm j 1 ma trận hệ phương trình tuyến tính tương ứng  f t   0 , tốn (1), (2) có nghiệm 0; t0  với  t0  1 cho dạng: m t k 1 tk x  t     t  C    k  t    1  s  f  s  ds tj m m   C  F     Fj   k  t j    1  s  f  s  ds    j 1 k 1 tk   Chứng minh: 1 (3) (4) Do k  t  , ( k  1, , m ) hàm ma trận hệ phương trình tuyến tính tương ứng  f  t   0 , (Lancaster, 1978), tức k  t   A  t  k  t  nên ta có x    t  C nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính tương ứng  f  t   0 (1) Thật vậy, ta có x    t  C  A  t    t  C  A t  x Mặt khác, ta dễ dàng kiểm tra nghiệm riêng phương trình tuyến tính khơng (1) cho dạng: m t k 1 tk y  t     k  t    1  s  f  s  ds 1557 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 17, Số (2020): 1556-1564 m t m k 1 tk k 1 Ta có y  t     k  t    1  s  f  s  ds    k  t  1  t  f  t  t m Suy y  t    A  t   k  t    1  s  f  s  ds  f  t  k 1 tk m t k 1 tk y  t   A  t    k  t    1  s  f  s  ds  f  t   A  t  y  t   f  t  Từ đó, suy nghiệm tổng quát phương trình (1) m t k 1 tk x    t  C  y  t     t  C    k  t    1  s  f  s  ds Ngoài ra, ta dễ dàng chứng minh nghiệm thỏa mãn điều kiện biên (2) Thật vậy, ta có: tj m   1 F x t  F  t C   t  s f s ds                j j j j k j  j 1 j 1 k 1   tk m m m m m tj j 1 j 1 k 1 tk   Fj   t j  C   Fj   k  t j    1  s  f  s  ds m m tj j 1 k 1 tk  FC   Fj   k  t j    1  s  f  s  ds m m tj j 1 k 1 tk  FC   Fj   k  t j    1  s  f  s  ds   tj m m   C  F     Fj   k  t j    1  s  f  s  ds    j 1 k 1 tk   Vậy định lí chứng minh Hệ 2.3 Giả sử ta biến đổi hệ (1) tương đương với hệ phương trình vi phân tuyến tính nhất: 1 x  B  t  x, t  Trong đó, (5) A  t   B  t  đủ nhỏ đoạn [0; t0 ] Khi đó, det F0  (với F0   Fj   t j  )   t     k  t  hàm ma trận hệ (5) nghiệm toán m m j 1 k 1 biên (1), (2) cho công thức: 1558 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM m t k 1 tk Nguyễn Việt Khoa x  t     t  C    k  t    1  s   A  s   B  s   x  f  s  ds tj m m   Trong đó, C  F 1     Fj   k  t j    1  s   A  s   B  s   x  f  s   ds    j 1 k 1 tk   Chứng minh: Ta có x  A  t  x  f  t   B  x   A  t  x  B  x   f t   B  x   g  x, t  , (6) đó, g  x, t   A  x   B  x   f t  Ta chứng minh x  t     t  C nghiệm tổng qt hệ phương trình tuyến tính m (6), (tức ứng với g  x, t   ) Thậy vậy,   t     k  t  hàm ma trận k 1 hệ (5) nên x  t     t  C  B  t    t  C  B  t  x Ngoài ra, nghiệm riêng hệ phương trình tuyến tính khơng (6) cho công thức: m t k 1 tk z  t     k  t    1  s  g  x, s  ds m t m k 1 tk k 1 Thật vậy, ta có z  t     k  t    1  s  g  x, s  ds   k  t  1  t  g  x, t  t z  t     t    1  s  g  x, s  ds    t   1  t  g  x, t  tk t z  t   B  t    t    1  s  g  x, s  ds  g  x, t  tk m t k 1 tk z  t   B  t    k  t    1  s  g  x, s  ds  g  x, t  z  t   B  t  z t   g  x, t  Từ đó, ta nhận nghiệm tốn biên (1) - (2) cho công thức: m t k 1 tk x  t     t  C    k  t    1  s   A  s   B  s   x  f  s  ds tj m m   Trong C  F     Fj   k  t j    1  s   A  s   B  s   x  f  s   ds    j 1 k 1 tk   Hệ 2.3 chứng minh 1 1559 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 17, Số (2020): 1556-1564 Nhận xét 2.4 Trong thực hành để giải hệ phương trình tuyến tính (1), ta xây dựng hệ (1) gần với hệ khác (5), chuẩn A  t   B  t  đủ nhỏ đoạn [0; t0 ] Mà ta m biết   t     k  t  hàm ma trận hệ (5) k 1 Tồn nghiệm tốn biên có hệ số khuếch tán bị nhiễu điểm kì dị Xét tốn biên có hệ số khuếch tán bị nhiễu  x  tA0   A1 t   x, t  (7) thỏa mãn điều kiện biên ban đầu: F1 x  0  F2 x 1   (8) Trong đó, x  t   Rn , A0 , A1  t  ma trận vuông cấp n , A1  t  hàm ma trận,  tham số đủ nhỏ Định nghĩa 3.1 Ma trận vng A0 gọi có cấu trúc nửa ngun tố tồn ma trận không suy biến S thỏa mãn 0  S01 A0 S0  diag 01; 02 ; ; 0 n  Định lí 3.2 Giả sử tốn biên (7), (8) thỏa mãn điều kiện: (D1) Ma trận A0 có cấu trúc nửa nguyên tố, nghĩa tồn ma trận không suy biến S0 thỏa mãn 0  S01 A0 S0  diag 01; 02  , với  01  diag 01 ; 02 ; ; 0 q  ,  02  diag 0,q 1 ; 0,q  ; ; 0 n  (D2) Phổ ma trận A0 thỏa mãn Re  0 j   1  , j  1, 2, , q Re  0k     , j  q  1, q  2, , n ; 1;  số (D3) det K  chuẩn A1  t  đủ nhỏ, K   K1 K  , K1  F1S0 , T K  F2 S0 Khi đó, tốn (7), (8) có nghiệm chứa hai lân cận biên t1  0, t2  Chứng minh: Do S ma trận không suy biến (Lancaster, 1978; Konyaev, 2001), nên nghiệm x  t   S0 y  t  dẫn đến kết y t   t  0 y t   g t  (9) K1 y  0  K2 y 1   1560 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Việt Khoa đó, g  t   S01 A1  t  S0 y t   B1  t  y  t  Giả sử   t ,   hàm ma trận hệ phương trình tuyến tính tương ứng  f t   0 (9) ta có  t,    t   t,    (10) Khi nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính tương ứng với (9) ytq  t ,      t ,   C (11) Ngoài ra, theo (10) ta có  t,    e t2 0 2   0,    e  t2  t2 diag  01 ; 02   2     0 Chọn   0,    e M , với M       0,      02  Ta có  2  0  t  01  0  0    , 2  t ,      t ,    1  t ,    2  t ,   , với 1  t ,    2    t    02 0 2    Mặt khác, nghiệm riêng phương trình tuyến tính khơng (9) cho bởi: t j 1 tj z  t ,      j  t ,     1  s,   g  s  ds Tóm lại nghiệm tổng qt phương trình (9) t j 1 tj y  t ,      t ,   C    j  t ,     1  s,   g  s  ds   Trong đó, C  H      1,      0,      1  s,   g  s  ds  ,   với H  K1  0,    K2 1,   1 Điều chứng tỏ rằng, hệ phương trình (9) có nghiệm chứa hai lân cận biên t1  0, t2  Định lí 2.6 chứng minh Để minh họa cho Định lí 2.6, ta cho ví dụ Ví dụ Ví dụ 4.1 Xét phương trình vi phân có hệ số khuếch tán bị nhiễu điểm kì dị, với phổ khác sau:  x t   tx t   tx t   (12) 1561 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 17, Số (2020): 1556-1564 thỏa mãn điều kiện ban đầu x  0,    1 x 1,     t Ta nghiệm x  t   e  y  t  vào (12), ta phương trình  y  t      t  y  t   t 1     1 y  t   (13)  y Đặt  y  v ,     , phương trình (13) trở thành v  y  v     t   1  t     v     v    t    (14) tiếp tục đặt t1  t  10 , hệ phương trình (14) biến đổi thành   t1   t1 A0  A1   t1   với A0   1   (15) 0 1   , A1    1  11  10 12   Nhờ nghiệm   t1   S0 z  t1  , S0   1   hệ phương trình sau 0  ma trận khơng suy biến, ta nhận 1  z  t1   B t1  z t1  (16) 0  Với B  t1   t10  B1 ,   S01 A0 S0 , B1  S01 A1S0 ,      1 Ta dễ dàng kiểm tra điều kiện (D1), (D2) (D3) thỏa mãn Do tốn có nghiệm Bây ta tiến hành tìm nghiệm tốn Áp dụng kết (Konyaev, 2001), ta có nghiệm hệ phương trình (16) cho z  t1   H  t1  u  t1  đó, H  t1   E  (17) H1 H  , H1  H1  H1 , H1  diag h11 , h22  t1 t1 Từ phương trình (17), ta suy z  t1   H t1  u t1   H t1  u t1  (18) Thế vế phải phương trình (18) vào phương trình (16), ta nhận kết  u  t1   Q t1  u t1  (19)     Với Q  t1   t1  0  1  22  t12  t1 t1   Cũng từ phương trình (18) ta lại suy    H t1   B t1  H t1   H t1  Q t1  (20) 1562 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Việt Khoa Khai triển phương trình (20) đồng hệ số theo bậc t1 ta nhận 0 H1  H10   1  P1 , P1  B1 (21) 0 H  H 0   2  P2 , P2  B1H1  H1 1 (22) từ (21) (22) suy ra:  1  P1 ,  2  P2 (23)  b12    p12  H1     , H2      p21  b21 Nhờ vậy, ta tìm  1 ,  2 , H1 H Từ suy H  t1  Q  t1  Sau phối hợp (17), (19)   t1   S0 z  t1  cho phép ta tìm nghiệm t1   t1   S0 H t1  Ce , M    Q  t  dt M (24) nghiệm y  t ,   tìm được, cuối ta đến nghiệm cần tìm t  x  t ,    e  y  t ,  , c1 , c2    t  10  2  (25) với c1; c2 số Kết luận Nội dung báo giải vấn đề điều kiện tồn nghiệm toán biên hệ phương trình vi phân tuyến tính trường hợp phổ tốn tử tuyến tính cho khơng ổn định Khi điều kiện thỏa mãn công thức nghiệm xác định Một vấn đề khác quan tâm giải tồn nghiệm toán biên có hệ số khuếch tán bị nhiễu điểm kì dị Ngồi ra, Ví dụ 4.1 góp phần minh họa vấn đề nghiên cứu hữu hiệu sinh động  Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Konyaev Yu A (2001) On some methods for studying stability Matematis Sbornik, 192(3), Moscow, 65-82 Konyaev Yu A., & Nguyen, V K (2014) Spectral analysis of some classes of non-autonomous systems with periodic and polynomially periodic matrices Bulletin of the National Research Nuclear University MEPhI 3(3), 1-7 Lancaster P (1978) Matrix Theory Moscow, Russian Federation, M.: Nauka 1563 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 17, Số (2020): 1556-1564 Nguyen, V K (2013) Analytical methods for studying the stability of linear and quasilinear systems with a polynomially periodic matrix Vestnik RUDN, series: Mathematics Informatics Physics, (4), Moscow, 18-23 Nguyen, V K (2017) Research about the asymptotical stability substitution of the linear differential systems with periodic coefficients on the basis of spectral method Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 14(6), 157-164 ON THE EXISTING CONDITIONS OF BOUNDARY SOLUTIONS OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS SYSTEMS Nguyen Viet Khoa Ho Chi Minh City University of Education, Vietnam Corresponding author: Nguyen Viet Khoa – Email: khoanvi@hcmue.edu.vn Received: May 03, 2020; Revised: June 04, 2020; Accepted: September 18, 2020 ABSTRACT In the previous studies, the problem about the asymptotical stability substitution of the linear differential systems in the case of a given linear operator's spectrum has been shown to be stable (Nguyen, 2013; Konyaev, & Nguyen, 2014) This paper investigates the existing conditions of boundary solutions of non-autonomous linear differential equations systems 𝑥̇ = 𝐴(𝑡)𝑥 + 𝑓(𝑡), (𝑡 ≥ 0) satisfied original condition ∑𝑚 𝑗=1 𝐹𝑗 𝑥(𝑡𝑗 ) = 𝛼 with = 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ 𝑡𝑚 = in the case of a given linear operator's spectrum that is not stable It is a harder problem Then it will be used to solve the solution of the linear differential equations systems which is equivalent to system (1) Besides, with the result-based approach by Nguyen (2013), the solution of the boundary problem with disturbed diffusion coefficient has been solved 𝜀𝑥̇ = (𝑡𝐴0 + 𝜀𝐴1 (𝑡))𝑥, (𝑡 ≥ 0) satisfied initial condition 𝐹1 𝑥(0) + 𝐹2 𝑥(1) = 𝛼 and the result is illustrated by an specific example Keywords: linear differential equation systems; boundary solution; matrix function; spectrum of matrices; half elemental structure 1564 ... dung báo giải vấn đề điều kiện tồn nghiệm tốn biên hệ phương trình vi phân tuyến tính trường hợp phổ tốn tử tuyến tính cho không ổn định Khi điều kiện thỏa mãn cơng thức nghiệm xác định Một vấn... lúc tồn Vậy điều kiện để tồn nghiệm toán đoạn hữu hạn [0; t0 ]  R  (với t0  ) Tồn nghiệm toán biên nửa trục [0; ) Định nghĩa 2.1 Ma trận   t  gọi hàm ma trận hệ phương trình tuyến tính. .. hàm ma trận hệ (5) k 1 Tồn nghiệm tốn biên có hệ số khuếch tán bị nhiễu điểm kì dị Xét tốn biên có hệ số khuếch tán bị nhiễu  x  tA0   A1 t   x, t  (7) thỏa mãn điều kiện biên ban đầu: