bài toán dạng cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đồn Thị Ri A BÀI TỐN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đồn Thị Ri A BÀI TỐN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành luận văn thạc sĩ mình, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phịng Sau đại học, Khoa tốn tin giảng viên trường Đại học Sư phạm – Đại học Tiền Giang nhiệt tình truyền đạt kiến thức quý báo tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập hồn thành Luận văn Thạc sĩ Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Anh Tuấn – Người trực tiếp bảo, hướng dẫn em suốt trình nghiên cứu hồn thành Luận văn Thạc sĩ Cuối tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, khuyến khích tơi suốt trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2012 Tác giả Đoàn Thị Ri A MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN CÁC KÍ HIỆU .5 MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN 1.1 Giới thiệu toán: 1.2 Tính giải tốn (1.1), (1.2): 12 1.3 Các hệ tính giải toán (1.1), (1.2): 15 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU 18 2.1 Giới thiệu toán: 18 2.2 Các định lí tính giải toán (2.1), (2.2): 22 2.3 Tính giải tốn biên dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến đối số lệch hai chiều: 52 2.4 Các ví dụ phản ví dụ: 58 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 = ( −∞, +∞ ) , =+ [0, +∞ ) , CÁC KÍ HIỆU I = [ a, b ]  n : không gian vectơ n cột x = ( xi )i =1 với thành phần xi ∈  n 1, 2, , n ) (i = n chuẩn x = ∑ xi ; i =1 Nếu x = ( xi )i =1 sgn ( x ) = ( sgn xi )i =1 n n  n×n : khơng gian ma trận cấp n × n X = ( xik )i ,k =1 với thành phần n xik ∈  1, 2, , n ) chuẩn: ( i, k = X = n ∑x i , k =1 ik C ([ a, b ] ;  ) : Không gian Banach hàm liên tục u : , → R [ a b]  { } trang bị với= chuẩn u C max u ( t ) : t ∈ [ a, b ] C ([ a, b ] ;  ) : tập hàm liên tục tuyệt đối u : , →R [ a b]  C loc ([ a, b ] ;  ) : tập hàm u : , → R cho u ∈ C ([ a, β ] ;  ) với [ a b]  β ∈ ( a, b ) C ([ a, b ] ;  n ) : không gian vectơ hàm liên tục x : [ a, b ]  →  n với { } chuẩn: x C max x ( t ) : t ∈ [ a, b ] = L ([ a, b ] ;  ) : Không gian Banach hàm khả tích Lebesgue h : , → [ a b]  a trang bị chuẩn h L = ∫ h ( s ) ds b L ([ a, b ] ;  + )= {h ∈ L ([ a, b];  ) : h ( t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ a, b]} L ([ a, b ] ;  n ) : không gian vectơ hàm khả tích x : [ a, b ]  →  n với chuẩn: b x L = ∫ x ( t ) dt a → L ([ a, b ] :  ) ab : tập tốn tử tuyến tính bị chặn l : C ([ a, b ] :  )  ab : tập toán tử l ∈ ab bị chặn mạnh, tức tồn η ∈ L ([ a, b ] ;  + ) cho: ∀u ∈ C ([ a, b ] ;  ) , l ( u )( t ) ≤ η ( t ) u C , ∀t ∈ [ a, b ] K ([ a, b ] × A; B ) : với A ⊆  m  ( m ∈  ) B ⊆  , tập hàm f : [ a, b ] × A  → B thoả mãn điều kiện Caratheodory, tức là: i) f (., x ) : , → B hàm đo ∀x ∈ A [ a b]  ii) f ( t ,.) : A  → B hàm liên tục với t ∈ [ a, b ] iii) Với r > , tồn hàm qr ∈ L ([ a, b ] ;  + ) cho: f ( t , x ) ≤ qr ( t ) , với t ∈ [ a, b ] , ∀x ∈ A, x ≤ r = [ x ]+ x +x = , [ x ]− x −x MỞ ĐẦU Lý thuyết tốn biên cho phương trình vi phân hàm nghiên cứu nhiều tác giả năm đầu kỷ XX Song phát triển theo hướng tác giả Ivan Kiguradze Bedrich Puza năm từ 1997 đến 2003, ông thiết lập điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính, sau phát triển cho toán phi tuyến Song kết cụ thể cho toán biên như: Bài toán biên nhiều điểm, Bài tốn biên dạng tuần hồn,… cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến, cho phương trình vi phân hàm bậc cao phi tuyến chưa đạt nhiều kết quả, cần phải tiếp tục mở rộng xem xét Cụ thể là: “ Bài tốn dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều” chưa xem xét Mục đích luận văn thiết lập điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán sau: Xét đoạn [ a, b ] , tốn biên cho hệ phương trình vi phân hai chiều phi tuyến: x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ; x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t ) Với điều kiện biên dạng Cauchy: x1 ( a ) = ϕ1 ( x1 , x2 ) ; ( ) x2 ( a ) = ϕ2 ( x1 , x2 ) ( ) ( ) → L [ a, b ];  toán tử liên tục Với F1 , F2 : C [ a, b ];  × C [ a, b ];   →  phiếm hàm liên tục ϕ1 ,ϕ2 : C ([ a, b ];  ) × C ([ a, b ];  )  Nghiệm toán cặp ( x1 , x2 ) hàm liên tục tuyệt đối [ a, b ] thỏa mãn x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ; x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t ) hầu khắp nơi [ a, b ] thoả điều kiện biên x1 ( a ) = ϕ1 ( x1 , x2 ) ; x2 ( a ) = ϕ ( x1 , x2 ) Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Trong chương 2, dựa kết chương 1, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm “Bài toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều” Luận văn tài liệu tham khảo cho người quan tâm nghiên cứu toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều Những kết ứng dụng cho trường hợp hệ xét đến hệ phương trình vi phân với đối số chậm đối số lệch CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN 1.1 Giới thiệu toán: Giả sử n số tự nhiên, I = [ a, b ] đoạn trục số thực giả sử →  n toán tử liên tục, với f : C ( I ;  n )  → L ( I ;  n ) h : C ( I ;  n )  ρ ∈ [ 0, +∞ ] , điều kiện sau thỏa mãn: { sup { h ( x ) : x ∈ C ( I ;  ) , sup f ( x )(.) : x ∈ C ( I ;  n ) , x n x C C } ≤ ρ ∈ L ( I;) } ≤ ρ < +∞ Xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến: dx ( t ) = f ( x )( t ) dt (1.1) h( x) = (1.2) Với điều kiện biên: Nghiệm phương trình (1.1), hiểu vectơ hàm liên tục tuyệt đối x : I  →  n hầu khắp nơi I thỏa phương trình này, nghiệm toán (1.1), (1.2) hiểu nghiệm phương trình (1.1) thỏa (1.2) Mục đích phần xây dựng điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán Các kết chương trích từ kết hai nhà toán học I Kiguradze and B Puza, tài liệu [15] Ngoài ra, số kết lấy từ tài liệu [16] [20] Để làm thành kết chương 1, ta cần định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1: Giả sử p : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n )  → L ( I ; n ); l : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n )  → n hai toán tử liên tục Khi đó, cặp ( p, l ) gọi quán thỏa điều kiện sau: (i) ( Với x ∈ C I ;  n ( ) ( ) ( → L I ; n cố định, toán tử p ( x,.) : C I ;  n  ) ) →  n tuyến tính l ( x,.) : C I ;  n  (ii) ( ) Với x, y ∈ C I ;  n ∀t ∈ I bất đẳng thức: ( p ( x, y )( t ) ≤ α t , x C ) ( l ( x, y ) ≤ α x y C, thực hiện, với C ) y C α :  +  →  + hàm không giảm →  + hàm khả tích theo biến số thứ không giảm α : I ×  +  theo biến số thứ hai (iii) ( ) ( ) Tồn β > cho với x ∈ C I ;  n , q ∈ C I ;  n , c0 ∈  n , y ( t ) nghiệm tùy ý toán biên: dy ( t ) = p ( x, y )( t ) + q ( t ) , dt l ( x, y ) = c0 (1.3) y ( t ) thỏa đánh giá: y C ≤ β ( c0 + q L ) (1.4) Định nghĩa 1.2 (xem tài liệu [20]): ( ) ( ) ( → L I ; n Giả sử p : C I ;  n × C I ;  n  ( ) ( → L I ; n tùy ý, với p0 : C I ;  n  tính Ta nói cặp ( p0 , l0 ) ) ) ( ) ( ) → n l : C I ;  n × C I ;  n  ( ) →  n toán tử tuyến l0 : C I ;  n  thuộc tập ε pn ,l tồn dãy t t x1   x2 ( λ t ) s ′ x= d1 sin ( t ) ∫ sx2   ds − e   x1 ( t ) + q1 ( t ) , (t )   t ( (2.96) ) = x2′ ( t ) d cos ( 2t ) ∫ cos ( s ) x1 (τ ( s ) ) − x1 ( λ s ) ds + q2 ( t ) arctg ( x2 ( t ) ) ,  π s ∫x1   x2 ( λ s )ds −e x1 ( ) = c1arctg ( x2 ( t0 ) ) ,    x2 ( ) = x2 ( ) + c2 ,  π   Với d1 , d ∈  + ,  λ ∈ [ 0,1] ,  q1 , q2 ∈ L  0,  ;   ,  τ  4  (2.97)  π  π → 0,  hàm : 0,    4  4  π đo được, t0 ∈ 0,  c1 , c2 ∈   4 Rõ ràng (2.96), (2.97) trường hợp đặc biệt (2.1), (2.2) với a 0,  b = = π ,  F1 , F2 ϕ1 , ϕ cho công thức: t t z1   z2 ( λ t ) s F1 ( z1 , z2= )( t ) d1 sin ( t ) ∫ sz2   ds − e   z1 ( t ) + q1 ( t ) , 2 t ( ) = F2 ( z1 , z2 )( t ) d cos ( 2t ) ∫ cos ( s ) z1 (τ ( s ) ) − z1 ( λ s ) ds + q2 ( t ) arctg ( z2 ( t ) ) ,  π    π z2 ∈ C   với t ∈ 0,  ∀z1 , 0,  ;   ϕ1 ( z1 , z2 ) = c1arctg ( z2 ( t0 ) ) ,   4  4  π s ∫ z1   z2 ( λ s )ds  π   z2 ∈ C   −e  ϕ ( z1 , z2 ) = z2 ( ) + c2 , với z1 , 0, ;  4  Giả sử p, g g1 định nghĩa công thức: t s p ( z )( t ) = d1 sin ( t ) ∫ s  , z   ds 2 t g ( z )( t ) = d cos ( 2t ) ∫ cos ( s ) z (τ ( s ) ) ds, t g1 ( z )( t ) = d cos ( 2t ) ∫ cos ( s ) z ( λ s ) ds ,  π    π với t ∈ 0,  ∀z ∈ C  0,  ;    4  4  g g1 ∈  π toán tử p, g1 toán tử – Volterra Rõ ràng p, ,  π (a) Giả sử τ ( t ) ≤ t với t ∈ 0,  Khi g toán tử –  4 Volterra đó, theo [24, Mệnh đề 3.4] [25, Mệnh đề 4.2], Bài tốn (2.96), (2.97) có nghiệm (b) Giả sử d1 , d thoả : d1d < ( ) 212 ( ) 4π + 2 − π + − 24 Thì [26, Hệ 3.2 3.3] suy điều kiện (2.60) thoả mãn Hơn nữa, với  π   u1 , 0, u2 ∈ C    ;   , Bất đẳng thức (2.9), (2.10) (2.59) thực với  4  η1 ≡ c1 π , η ≡ c2 , ω1 ≡ q1 , ω2 ≡ q2 π Do đó, theo Định lí 2.12, Bài tốn (2.96), (2.97) có nghiệm Bổ đề 2.28: Nếu toán nhất: = x1′ ( t ) l1= ( x2 )( t ) ; x2′ ( t ) l2 ( x1 )( t ) = x1 ( a ) 0;= x2 ( a ) có nghiệm khơng tầm thường, Thì tồn q1 , q2 ∈ L ([ a, b ] ;  ) c1 , c2 ∈  cho toán: x1′ ( t ) = l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t ) ; x2′ ( t ) = l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t ) = x1 ( a ) c= x2 ( a ) c2 1; khơng có nghiệm Ví dụ 2.29: Giả sử ε ∈  + Trong [9, Ví dụ 4.2], tốn tử l1 , l2 ∈ ab xây dựng cho: b b ∫ l (1)( s ) ds ∫ l ( s ) ds = a 1+ ε a toán nhất: = x1′ ( t ) l1= ( x2 )( t ) ; x2′ ( t ) l2 ( x1 )( t ) = x1 ( a ) 0;= x2 ( a ) có nghiệm khơng tầm thường Khi theo Bổ đề 2.28, tồn q1 , q2 ∈ L ([ a, b ] ;  ) c1 , c2 ∈  cho toán: x1′ ( t ) = l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t ) ; x2′ ( t ) = l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t ) = x1 ( a ) c= x2 ( a ) c2 1; khơng có nghiệm Khi có l1 , l2 , đặt: 1, Fi ( = z1 , z2 )( t ) li ( z3−i ) ( t ) + qi ( t ) , với t ∈ [ a, b ] , ∀z1 , z2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) , i = (2.98) Và ϕi ( z1 , z2 ) = ci , với z1 , z2 ∈ C ([ a, b ];  ) , i = 1, (2.99) Rõ ràng F1 , F2 ϕ1 , ϕ thỏa điều kiện ( H1 ) ( H ) theo thứ tự Hơn nữa, với u1 , u2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) , bất đẳng thức (2.9), (2.10), (2.11) với k = thỏa mãn, với = p l1= , g l2= , g1 ηi ≡ ci , ωi ≡ qi , với i = 1, (2.100) Do đó, giả thiết Định lí 2.8 với k = thỏa mãn, ngoại trừ bất đẳng thức (2.13), đẳng thức PG0 = + ε thỏa mãn Tuy nhiên, tốn (2.1), (2.2) khơng có nghiệm Ví dụ chứng tỏ bất đẳng thức nghiêm ngặt (2.13) Định lí 2.8 khơng thể bị yếu Ví dụ 2.30: Giả sử ε ∈  + , a < t1 < t2 < t3 ≤ b , giả sử toán tử p g1 định nghĩa bởi: p ( z )( t ) = f ( t ) z ( µ ( t ) ) , với t ∈ [ a, b ] ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  ) (2.89) gi ( z )( t ) = hi ( t ) z (τ i ( t ) ) , với t ∈ [ a, b ] ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  ) , i = 1, (2.90) ,với f , h1 ∈ L ([ a, b ] ;  + ) µ ,τ : [ a, b ]  → [ a, b ] hàm đo cho: t1 t3 t1 f ( s ) ds ∫ = h ( s ) ds ∫= a 1, a f ≡ 0, h1 ≡ [t1 , t2 ] , b b a a ∫ f ( s ) ds ∫ h ( s )ds= Và 4+ε , t3 f ( s ) ds ∫ = h ( s ) ds ∫= t2 t2 1,  t3 , t ∈ [ a, t2 ] µ ( t ) = = , τ1 ( t ) t1 , t ∈ [t2 , b ]   t1 , t ∈ [ a, t2 ]  t3 , t ∈ [t2 , b ]  với z1 , z2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) i = 1, , ta đặt: 0 t ∈ [ a, t1 ]  Ti ( z1 , z2 )( t ) = − zi ( t ) zi ( t ) t ∈ [t1 , t2 ] ,  t ∈ [t2 , b ] qi Với q1 , q2 ∈ L ([ a, b ] ;  ) thỏa mãn: t3 t3 ∫ q ( s ) ds −∫ q ( s )ds ≥ t t2 t2 2 − t1 (2.101) Giả sử F1 ( z= p ( z2 )( t ) + T1 ( z1 , z2 )( t ) , với t ∈ [ a, b ] ∀z1 , z2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) , , z2 )( t ) F2 ( z1 , z2 )( t ) = − g1 ( z1 )( t ) + T2 ( z1 , z2 )( t ) , với t ∈ [ a, b ] ∀z1 , z2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) 1, Và ϕi ( z1 , z2 ) = với z1 , z2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) , i = Rõ ràng điều kiện ( H1 ) ( H ) thỏa mãn với u1 , u2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) bất kỳ, bất đẳng thức (2.9) (2.10), (2.11) với k = thực hiện, với g = ηi ≡ 0, ωi ≡ qi , với i = 1, Hơn nữa, p (1) ≡ f g1 (1) ≡ h1 Do đó, giả thiết Định lí 2.8 với k = thỏa mãn, ngoại trừ bất đẳng thức thứ hai (2.13), đẳng thức PG1= + ε thỏa mãn Tuy nhiên, tốn (2.1), (2.2) khơng có nghiệm Thật vậy, giả sử trái lại ( x1 , x2 ) nghiệm toán này, tức là, = x1 ( a ) 0,= x2 ( a ) = x1′ ( t ) f ( t ) x2 ( µ ( t ) ) + T1 ( x1 , x2 )( t ) , với t ∈ [ a, b ] − h1 ( t ) x1 (τ ( t ) ) + T2 ( x1 , x2 )( t ) , với t ∈ [ a, b ] x2′ ( t ) = Lấy tích phân từ a → t1 , từ t1 → t2 từ t2 → t3 ta có: x1 ( t1 ) = x2 ( t3 ) , x2 ( t1 ) = − x1 ( t1 ) , x1 ( t1 ) x2 ( t1 ) , = , x2 ( t2 ) + x1 ( t1 ) ( t2 − t1 ) + x2 ( t1 ) ( t2 − t1 ) = x1 ( t2 ) Và t3 x1 ( t3 ) = x1 ( t2 ) + x2 ( t1 ) + ∫ q1 ( s ) ds , t2 t3 x2 ( t3 ) = x2 ( t2 ) − x1 ( t3 ) + ∫ q2 ( s ) ds , t2 Khi có: t3 t3 t2 t2 ∫ q2 ( s ) ds −∫ q1 ( s )ds < , mâu thuẫn với (2.101) t2 − t1 Sự mâu thuẫn chứng tỏ tốn (2.1), (2.2) khơng có nghiệm Ví dụ chứng tỏ bất đẳng thức nghiệm ngặt thứ hai (2.13) Định lí 2.8 khơng thể bị yếu Ví dụ 2.31: Giả sử ε1 , ε ∈ [ 0,1] , ε1 + ε > , giả sử toán tử l1 , l2 định nghĩa bởi: l1 ( z )( t ) = f ( t ) z ( µ ( t ) ) , với t ∈ [ a, b ] ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  ) , l2 ( z )( t ) = h ( t ) z ( b ) , với t ∈ [ a, b ] ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  ) , Với f , h ∈ L ([ a, b ] ;  + ) µ : [ a.b ] → [ a.b ] hàm đo cho: b ∫ a  µ(s)  f ( s )  ∫ h (ξ ) dξ ds = thỏa mãn  a    Khi tốn: = x1′ ( t ) l1= ( x2 )( t ) , x2′ ( t ) l2 ( x1 )( t ) = x1 ( a ) 0,= x2 ( a ) có nghiệm khơng tầm thường Do theo Bổ đề 2.28, tồn q1 , q2 ∈ L ([ a, b ] ;  ) c1 , c2 ∈  cho toán : x1′ ( t ) = l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t ) , x2′ ( t ) = l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t ) = x1 ( a ) c= c2 khơng có nghiệm , x2 ( a ) Giả sử F1 , F2 ϕ1 , ϕ định nghĩa (2.98) (2.99) Rõ ràng điều kiện thỏa mãn với u1 , u2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) bất kỳ, bất đẳng thức ( H1 ) ( H ) (2.9) (2.10), (2.59) với k = thực hiện, với = p l1= , g l2= , g1 ηi , ωi ( i = 1, ) định nghĩa (2.100) b Hơn nữa, bất đẳng thức (1 − ε1 )(1 − ε ) ∫ a  µ(s)  f ( s )  ∫ h (ξ ) dξ ds < thỏa mãn  a    Mệnh đề 2.24 suy ra: ( (1 − ε ) l , (1 − ε ) l ) ∈ S ( a ) 1 2 ab Rõ ràng ( l1 , 0 ) ∈ S ab ( a ) (xem Mệnh đề 2.24) Do giả thiết Định lí 2.12 với k = thỏa mãn, ngoại trừ điều kiện (2.60), điều kiện (2.61) thỏa mãn Tuy nhiên, toán (2.1), (2.2) khơng có nghiệm Ví dụ chứng tỏ giả thiết (2.60) Định lí 2.12 khơng thể thay giả thiết (2.61), với ε1 , ε nhỏ tuỳ ý thuộc [ 0,1] ε1 + ε > Ví dụ 2.32: Giả sử α ∈ [ 0,1] , ε1 , ε ∈ [ 0,1] , ε1 + ε > , a < t1 < t2 < t3 < b Đặt: ε = max {ε1 , ε } chọn f , h ∈ L ([ a, b ];  ) cho: f ( t ) ≥ 0, ( t − t1 )( t − t2 ) h ( t ) ≤ thỏa mãn, với t ∈ [ a, b] , [t2 , t3 ] , t1 ∫ a s  3α , f ( s )  ∫ h (ξ ) dξ  ds = + ε a  f ≡ h ≡ t2 ∫ t1 b ∫ t3 s   ε  t1  f ( s )  1 +  ∫ h (ξ ) dξ + ∫ h (ξ ) d ξ  ds = 1−α ,   a  t   t1  t2   ∫ f ( s ) ds ∫ h ( s ) ds  ε  t1  a , f ( s ) ds =  , t2 t1 t2 ε     1 +  ∫ h ( s ) ds + ∫ h ( s ) ds  ∫a h ( s ) ds   a t1   Và b ∫ t3 s  f ( s )  ∫ h (ξ ) dξ ds = + ε t  3  Hơn nữa, ta đặt:  ε  t t ∈ [ a, t1 ] 1 +  ∫ h ( s ) ds,   a  x2 ( t ) =  t1 t 1 + ε  h ( s ) ds + h ( s ) ds, t ∈ t , b [1 ] ∫t   ∫ a  t t ∈ [ a, t2 ]  ∫ f ( s ) x2 ( s ) ds, a  −1  ε x1 ( t ) = 1 − 1 −  ( t3 − t2 ) ( t − t2 ) , t ∈ [t2 , t3 ]   3 ε t  + ∫ f ( s ) x2 ( s ) ds, t ∈ [ t3 , b ]  t3 Rõ ràng x1 ( t3 ) = ε  ε x1 ( b ) ≤ − 1 +  , tồn t0 ∈ [t3 , b ] cho:  3  ε − 1 +  x1 ( t0 ) =  3 Giả sử g , g1 , p ∈ ab định nghĩa (2.90) p ( z )( t ) = f ( t ) z ( t ) , với t ∈ [ a, b ] ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  ) , Với  h ( t ) , t ∈ [ a, t2 ] h0 ( t ) = , h1 ( t ) = t ∈ [t2 , b ] 0, t0 , t ∈ [ a, t1 ] , τ1 ( t ) τ ( t ) = = t2 , t ∈ [t1 , b ] 0,   h ( t ) , t ∈ [ a , t3 ] a,  t2 , t ∈ [ a, t2 ] t ∈ [ t3 , b ] , t ∈ [t2 , b ] Hiển nhiên p, g , g1 ∈ ab p, g1 toán tử a - Volterra Hơn nữa, b ∫ a s  f ( s )  ∫ h0 = (ξ ) dξ ds a  t1 ∫ a t2 s   ε  t1  s  f ( s )  ∫ h (ξ ) d ξ  ds + ∫ f ( s )  1 +  ∫ h (ξ ) d ξ + ∫ h (ξ ) d ξ ds   t1 t1 a    a  t1 t2 b  ε t2  3α + ε (1 − α ) −  ∫ f ( s ) ds ∫ h ( s ) ds − ∫ f ( s ) ds ∫ h ( s ) ds  ≤ = +1−α KẾT LUẬN Nội dung luận văn xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm “ Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều” Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến (1.1), (1.2) Các kết chương là: Định lí 1.5, Hệ 1.6, Hệ 1.7 Chương 2, dựa kết chương 1, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán (2.1), (2.2) Các kết chương là: Định lí 2.8, Định lí 2.12, Định lí 2.15, Định lí 2.17, Hệ 2.18, Hệ 2.19 Tuy nhiên kết luận văn hạn chế cần mở rộng theo nhiều hướng như: Bài toán biên nhiều điểm, tốn biên dạng tuần hồn cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến với số chiều lớn hai… Do thời gian hạn hẹp khả tác giả cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận phê bình q thầy góp ý chân thành anh chị để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N V Azbelev, V P Maksimov, and L F Rakhmatullina, Introduction to the theory of functional differential equations (Russian) Nauka, Moscow, 1991 [2] S R Bernfeld and V Lakshmikantham, An introduction to nolinear boundary value problems.Academic press, Inc New York – London, 1974 [3] E Bravyi, R Hakl, and A Lomtatidze, On Cauchy problem for first order nonlinear functional differential equations of non-Volterra’s type Czechoslovak Math J 52(127) (2002), No 4, 673–690 [4] E A Coddington and N Levinson , Theory of ordinary differential equations McGraw-Hill Book Company, Inc., New York–Toronto–London, 1955 [5] N Dilnaya and A Rontó, Multistage iterations and solvability of linear Cauchy problems Miskolc Math Notes (2003), No 2, 89–102 [6] R Hakl, A Lomtatidze, and B Puza, On a boundary value problem for first order scalar functional differential equations Nonlinear Anal 53 (2003), No 3-4, 391–405 [7] R Hakl, A Lomtatidze, and J Sremr , Some boundary value problems for first order scalar functional differential equations Folia Facult Scien Natur Univ Masar Brunensis, Brno, 2002 [8] R Hakl and S Mukhigulashvili , On a boundary value problem for n-th order linear functional differential systems Georgian Math J 12 (2005), No 2, 229–236 [9] R Hakl and J Sremr , On the Cauchy problem for two dimensional systems of linear functional differential equations with monotone operators Nonlinear Oscil [10] J Hale, Theory of functional differential equations Springer Verlag, New York–Heidelberg, 1977 [11] P Hartman , Ordinary differential equations John Wiley and Sons, Inc., New York–London–Sydney, 1964 [12] I Kiguradze , Boundary value problems for systems of ordinary differential equations (Russian) Itogi Nauki Tekh., Ser Sovrem Probl Mat., Novejshie Dostizh 30 (1987), 3–103; English transl.: J Sov Math 43 (1988), No 2, 2259-2339 [13] I Kiguradze , The initial value problem and boundary value problems for systems of ordinary differential equations I (Russian) Metsniereba, Tbilisi, 1997 [14] I Kiguradze and B Puza, Boundary value problems for systems of linear functional differential equations Folia Facultatis Scientiarium Naturalium Universitatis Masarykianae Brunensis Mathematica, 12 Masaryk University, Brno, 2003 [15] I Kiguradze and B Puza, On boundary value problems for functional differential equations Mem Differential Equations Math Phys 12 (1997), 106–113 [16] I Kiguradze and B Puza, On boundary value problems for systems of linear functional differential equations Czechoslovak Math J 47(122) (1997), No 2, 341–373 [17] I Kiguradze and Z Sokhadze , On the global solvability of the Cauchy problem for singular functional differential equations Georgian Math J (1997), No 4, 355–372 [18] I Kiguradze and Z Sokhadze, On the structure of the set of solutions of the weighted Cauchy problem for evolution singular functional differential equations Fasc Math 1998 , No 28, 71–92 [19] I Kiguradze and Z Sokhadze, On the uniqueness of the solution of the Cauchy problem for functional differential equations (Russian) Differ Uravn 31 (1995),No 12, 1977–1988; English transl.: Differential Equations 31 (1995), No 12, 1947–1958 [20] I Kiguradze and B Puza, Theorems of Conti Opial type for nonlinear functional differential equations (Russian) Differ Uravn 33 (1997), No 2, 185–194; English transl.: Differential Equations 33 (1997), No 2, 184–193 [21] V Kolmanovskii and A Myshkis, Introduction to the theory and applications of functional differential equations Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999 [22] A N Ronto, Exact conditions for the solvability of the Cauchy problem for systems of first order linear functional differential equations defined by (σ ,σ , ,σ n ;τ ) - positive operators (Russian) Ukrain Mat Zh 55 (2003), No 11, 1541–1568; English transl.: Ukrainian Math J 55 (2003), No 11, 1853–1884 [23] S Schwabik, M Tvrdy, and O Vejvoda , Differential and integral equations Boundary value problems and adjoints D Reidel Publishing Co., Dordrecht–Boston, Mass.–London, 1979 [24] J Sremr , On systems of linear functional differential inequalities Georgian Math J 13 (2006), No 3, 539–572 [25] J Sremr , On the Cauchy type problem for two dimensional funtional differential systems Mem Differential Equations Math Phys Volume 40, 2007, 107 – 134 [26] J Sremr , Weak theorems on differential inequalities for two dimensional functional differential systems Port Math [27] J Sremr , On the Cauchy type problem for systems of functional differential equations Nonlinear Anal [28] W Walter , Differential and integral inequalities Springer Verlag, New York–Berlin, 1970 ... dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều? ?? Luận văn tài liệu tham khảo cho người quan tâm nghiên cứu toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều. .. hồn,… cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến, cho phương trình vi phân hàm bậc cao phi tuyến chưa đạt nhiều kết quả, cần phải tiếp tục mở rộng xem xét Cụ thể là: “ Bài toán dạng Cauchy cho hệ phương. .. phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều? ?? cịn chưa xem xét Mục đích luận văn thiết lập điều kiện đủ cho vi? ??c tồn nghiệm toán sau: Xét đoạn [ a, b ] , toán biên cho hệ phương trình vi phân hai chiều