dx: h fỉ ỏ đây g = (g1, g") và gt = A haì iDJ Sử dụng (2.23), ta có thể đánh giá J a ij (x + hek) DjAhuDivdx < (||g ||2 + ||#|| 2 ) \\Dv\\2 ũ < (c»/i-|M|H1(n) + ||/||2) ỊỊDVỊ 2 V u
Tiếp tục, ta lấy hàm 77 Ễ Cg1 (íỉ) thỏa mãn 0 < Ĩ} < 1, và ta đặt V = Ĩ] 2 A HU. Ta thu được sau đó, sử dụng (2.2) và bất đẳng thức Schawrz,
À J I^-DA^mỊ 2 < J T/ 2a ij (x + heỵ) AhDiuAhDjudx
= J a ij (X + hek) DjAhu (DịV — 2Ahur)Diĩ]) dx n
< (ơ(n)A'||M||H1(n) +||/||2) (\\rìDAhu\\2 + 2\\AhuDrỉ\\2) +c {n) KịịĩỉDA^ịị^uDrỊị^.
Điều đó chỉ ra rằng
||t7A\Du||2 < c (||u||Hl(n) + ||/||2 + ||AftuD7/||2)
< C ^1 + sup IDRJL'J (||u||Hi(n) + ||/||2) ,
ở đây C = C (N, X, K ). Hàm 77 có thể được chọn như một hàm cắt cụt
2 __________
sao cho 77 = 1 trên ÍỈ' cc và Ị.D77Ị < ở đây d' = dist (ỡíỉ, ri'). Ta thu được DU € H 1 (íỉ7), U € w2(íĩ) và đánh giá (2.20) xác định.
Cuối cùng, ta có LU e LF O C (íỉ) và rõ ràng đồng nhất thức tích phân (2.5)
chỉ ra rằng LU = F hầu khắp nơi trên íỉ. □
Ta chú ý rằng trong đánh giá (2.20), đại lượng |M|H1^ có thể được thay bởi |M|iW
Kết quả sau đây về sự tồn tại nghiệm cho bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic có dạng
LU = aij (X ) DỊỊU + Ứ (à?) DỊU + C(X)U = /, (2.24) được suy ra từ định lý 2.5.
Định lý 2.6. [3] Giả sử toán tử L là elliptic ngặt trên íĩ và có các hệ số a ij € С0,1
(П) , ò\c G L°° (ri) , с < 0. Cho tùy ý f € L2 (ri) và e H 1 (íỉ). Khi đó tồn tại duy nhất hàm и £ H1 (íĩ) nH^ 0C (íĩ) thỏa mãn Lu = f hầu khắp nơi trên ri và и — ip e (ri).
Tuy nhiên tính duy nhất của kết quả bên trên sẽ phá vỡnếu giả thiết về tính liên tục của (ÝI bị làm suy yếu, tức là cho phép gián đoạn
ữij Ç. LOC n]iư (Jược chứng minh bởi phương trình
AU + Ь^ -Ệ-DIỊU = 0, B = — 1 + ---, 0 < Л < 1.
\x\2 1-A
Với N > 2(2 — Л) > 2 có hai nghiệm Ml (X ) = 1, U 2 (X ) = |ж|А e H2 (В ) và phù hợp trên
ÕB
: Ở đây в là hình cầu đơn vị BI (0).
Hơn nữa tính khả vi cấp cao của nghiệm suy rộng có thể được suy diễn dễ dàng từ Định lý 2.5. Giả sử rằng ta củng cố điều kiện tính trơn trên các hệ số bởi giả thiết aij, ứ € с1,1 (fỉ)
,C\D € с0,1 (Ü) cùng với / e H1 (íỉ). Thay V bởi D K V với Ĩ < К < N, trong đồng nhất thức (2.22), ta thu được sau khi tính tích phân từng phần
và từ И G (ri) ta có DKG G Lj (Q). Do đó DỴU G (ri). Bằng phép quy nạp, ta có thể mở rộng Định lý 2.5 như sau.
Định lý 2.7. [3] Giả sửu £ H 1 (ri) là một nghiệm yếu của phương trình Lu — f trên íl, ở đó L ỉà elliptic ngặt trên các hệ số a ij , ò* e ск,х (П), các hệ số é, d e ck~ljl (rỉ) và hàm số ĩ € H fc (íỉ), к > 1. Khi đó với bất kì miền con íì' С С Q, ta có и £ H fc+2 (íỉ') và
(2.2
VỚIC = С {N,\,K,D',K), Ở ĐẪY К = max I ||aij, ^ Ilc7*.i(n) ’ IK’ ^lU-^n)}' Từ Định lý 2.7 ta có hệ quả sau,
Hệ quả 2.2. [3] Giả sứ и £ H 1 (íỉ) là một nghiệm suy rộng của phương trình elliptic ngặt Lu = / trên íỉ và giả sử rằng các hàm số a ij , b\c\d, f là thuộc c°° (íỉ). Khi đó ta cũng có и E c°° (íỉ).
2.3. Bất đẳng thức Harnack
2.3.1. Bất đẳng thức Harnack yếu
Định lý 2.8. [3] Giả sử toán tử L thỏa mẫn điều kiện (2.2), (2.3) và giả sử rằng /* G Lq (íỉ), g E L9/2 (íĩ) với q > n. Giả sử и & H 1 (íĩ) là một nghiệm của phương trình (2.4) trên г ì, không âm trong hình cầu BịR ( у) С ũ và 1 < p < n/ (n — 2). Khỉ đó и thỏa mãn bất đẳng thức Harnack yếu sau đẫy
Â"”/ỉ’ll“lli.(B„(y)) 2 ° Qrf “ + k (Я)) (2-28) ở đây С = С (n, Л/Л, I/R, q, p) và К = К (R) = А-1 (д{рц, + Дм||г||,/2) (2.29) R > О, Ỏ = 1 - Q 2.3.2. Bất đẳng thức Harnack mạnh
Bổ đề 2.3. [3 ]Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) và giả sử RẰNG /*G L Q (íĩ), Ỉ = 1,N, G e
L
nghiệm của phương trình (2.4) trên với hình cầu B2R ( y) с íỉ bất kỳ và p > 1 ta có
sup U{-U) < С (.R- N /P\\U + ML(iWỉ/)) + K{RỸJ (2.30) B R ( V )
ở đăy С =
С (n,A/X,uR,q,p), U+ = max (и, 0), u~ max(— = u, 0).
Kết hợp Bổ
đề 2.3
và
Định lý 2.8 ta thu được bất đẳng thứcHarnack
đầy đủ như sau
Định lý 2.9. [3] Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) và giả sử rằng и G H 1 (íĩ) thỏa mãn и > 0 trên íỉ và Lu — 0 trên íĩ. Khi đó với hình cầu bất kỳ BịR ( у) с íỉ; ta có
sup И < С inf И , (2.31)